2013天津市初中数学竞赛赛试题
专题02 数的整除性(含答案)
解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．
【例3】已知整数 能被198整除，求 ， 的值．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：198=2×9×11，整数 能被9，11整除，运用整除的相关特性建立 ， 的等式，求出 ， 的值．
【例4】已知 ， ， 都是整数，当代数式7 ＋2 ＋3 的值能被13整除时，那么代数式5 ＋7 －22 的值是否一定能被13整除，为什么？
⑵若 =13， =2 012，从 经过1 999步到 ．不妨设向右跳了 步，向左跳了 步，则 ，解得 可见，它一直向右跳，没有向左跳．
⑶设 同时满足两个条件：① =0；② ＋ ＋ ＋…＋ =0．由于 =0，故从原点出发，经过( －1)步到达 ，假定这( －1)步中，向右跳了 步，向左跳了 步，于是 = － ， ＋ = －1，则 ＋ ＋ ＋…＋ =0＋( )＋( )＋…( )=2( ＋ ＋…＋ )－[( )＋( )＋…＋( )]=2( ＋ ＋…＋ )－ ．由于 ＋ ＋ ＋…＋ =0，所以 ( －1)=4( ＋ ＋…＋ )．即4| ( －1)．
且a＋b＋c＞14．设＋86＝222n考虑到是三位数，依次取n＝1，2，3，4.分别得出的可能值为136，358，580，802，又因为a＋b＋c＞14．故＝358．
8．设N为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a，b，c(a，b，c不全相等)．将其数码重新排列后，设其中最大数为，则最小数为．故N＝－＝(1a－c)．
①若 | ， | ，则 | ；
②若 | ， | ，则 |( ± )；
③若 | ， | ，则[ ， ]| ；
④若 | ， | ，且 与 互质，则 | ；
⑤若 | ，且 与 互质，则 | ．特别地，若质数 | ，则必有 | 或 | ．
(初中数学)数的整除性精选题练习及答案
（初中数学）数的整除性精选题练习及答案阅读与思考设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1．数的整除性常见特征：①若整数a的个位数是偶数，则2|a；②若整数a的个位数是0或5，则5|a；③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)；④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)；⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)；⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a．2．整除的基本性质设a，b，c都是整数，有：①若a|b，b|c，则a|c；②若c|a，c|b，则c|(a±b)；③若b|a，c|a，则[b，c]|a；④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a；⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c．例题与求解【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．(“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论：①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数；②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中( )A．只有①正确B．只有②正确C．①，②都正确D．①，②都不正确(江苏省竞赛试题)解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．ab能被198整除，求a，b的值．(江苏省竞赛试题)【例3】已知整数13456ab能被9，11整除，运用整除的相关特性建立a，b的等式，解题思想：198=2×9×11，整数13456求出a，b的值．【例4】已知a ，b ，c 都是整数，当代数式7a ＋2b ＋3c 的值能被13整除时，那么代数式5a ＋7b －22c 的值是否一定能被13整除，为什么？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)解题思想：先把5a ＋7b －22c 构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．【例5】如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86 415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数1a ，2a ，…，n a ，满足对任意一个正整数m ，在1a ，2a ，…，n a 中都至少有一个为m 的“魔术数”．解题思想：不妨设7i i a k t =+(i =1，2，3，…，n ；t =0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为m 的“魔术数”．根据题中条件，利用10k i a m +(k 是m 的位数)被7除所得余数，分析i 的取值．【例6】一只青蛙，位于数轴上的点k a ，跳动一次后到达1k a +，已知k a ，1k a +满足|1k a +－k a |=1，我们把青蛙从1a 开始，经n －1次跳动的位置依次记作n A ：1a ，2a ，3a ，…，n a ．⑴ 写出一个5A ，使其150a a ==，且1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0；⑵ 若1a =13，2000a =2 012，求1000a 的值；⑶ 对于整数n (n ≥2)，如果存在一个n A 能同时满足如下两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．求整数n (n ≥2)被4除的余数，并说理理由．(2013年“创新杯”邀请赛试题)解题思想：⑴150a a ==．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0．只需将“向右”安排在前即可．⑵若1a =13，2000a =2 012，从1a 经过1 999步到2000a ．不妨设向右跳了x 步，向左跳了y 步，则1999132012x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得19990x y =⎧⎨=⎩可见，它一直向右跳，没有向左跳． ⑶设n A 同时满足两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．由于1a =0，故从原点出发，经过(k －1)步到达k a ，假定这(k －1)步中，向右跳了k x 步，向左跳了k y 步，于是k a =k x －k y ，k x ＋k y =k －1，则1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0＋(22x y -)＋(33x y -)＋…(n n x y -)=2(1x ＋2x ＋…＋n x )－[(22x y +)＋(33x y +)＋…＋(n n x y +)]=2(2x ＋3x ＋…＋n x )－()12n n -．由于1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0，所以n (n －1)=4(2x ＋3x ＋…＋n x )．即4|n (n －1)．能力训练A 级1．某班学生不到50人，在一次测验中，有17的学生得优，13的学生得良，12的学生得及格，则有________人不及格．2．从1到10 000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．(上海市竞赛试题)3．一个五位数398ab 能被11与9整除，这个五位数是________．4．在小于1 997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是()A ．532B ．665C ．133D ．7985．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( )A ．1B ．2C ．3D ．6 (江苏省竞赛试题)6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有()A ．12个B ．18个C ．20个D ．30个 (“希望杯”邀请赛试题)7．五位数abcde 是9的倍数，其中abcd 是4的倍数，那么abcde 的最小值为多少？(黄冈市竞赛试题)8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字abcdef ，使得三位数abc ，bcd ，cde ，def 能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．(上海市竞赛试题)9．173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的这3个数字的和是多少？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)B级1．若一个正整数a被2，3，…，9这八个自然数除，所得的余数都为1，则a的最小值为_________，a的一般表达式为____________．(“希望杯”邀请赛试题) 2．已知m，n都是正整数，若1≤m≤n≤30，且mn能被21整除，则满足条件的数对(m，n)共有___________个．(天津市竞赛试题) 3．一个六位数1989x y能被33整除，这样的六位数中最大是__________．4．有以下两个数串1,3,5,7,,1991,1993,1995,1997,19991,4,7,10,,1987,1990,1993,1996,1999⎧⎨⎩同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个．A．333 B．334 C．335 D．3365．一个六位数1991a b能被12整除，这样的六位数共有( )个．A．4 B．6 C．8 D．126．若1 059，1 417，2 312分别被自然数n除时，所得的余数都是m，则n－m的值为( )．A．15 B．1 C．164 D．1747．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数abc，然后，魔术师再要求他记下五个数：acb，bac，bca，cab，cba，并把这五个数加起来求出和N．只要讲出N的大小，魔术师就能说出原数abc是什么．如果N=3 194，请你确定abc．(美国数学邀请赛试题) 8．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数”．(武汉市竞赛试题)9．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6倍，求这个三位数．(“五羊杯”竞赛试题)10．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1 999，求这个四位数，并说明理由．(重庆市竞赛试题)11．从1，2，…，9中任取n 个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，它们的和能被10整除，求n 的最小值．(2013年全国初中数学竞赛试题)数的整除性答案例1 267 提示：333－66＝267．例2 C 提示：关于②的证明：对于a ，b 若至少有一个是3的倍数，则ab 是3的倍数．若a ，b 都不是3的倍数，则有：(1)当a ＝3m ＋1，b ＝3n ＋1时，a －b ＝3(m －n )；(2)当a ＝3m ＋1，b ＝3n ＋2时，a ＋b ＝3(m ＋n ＋1)；(3)当a ＝3m ＋2，b ＝3n ＋1时，a ＋b ＝3(m ＋n ＋1)；(4)当a ＝3m ＋2，b ＝3n ＋2时，a －b ＝3(m －n ).例3 a ＝8．b ＝0提示：由9｜(19＋a ＋b )得a ＋b ＝8或17；由11|(3＋a －b )得a －b ＝8或－3．例4 设x ，y ，z ，t 是整数，并且假设5a ＋7b －22c ＝x (7a ＋2b ＋3c ) ＋13(ya ＋zb ＋tc ).比较上式a ，b ，c的系数，应当有⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+=+2213371325137t x z x y x ，取x ＝－3，可以得到y ＝2，z ＝1，t ＝－1，则有13 (2a ＋b －c )－3(7a ＋2b ＋3c )＝5a ＋7b －22c ．既然3(7a ＋2b ＋3c )和13(2a ＋b －c )都能被13整除，则5a ＋7b －22c 就能被13整除．例5 考虑到“魔术数”均为7的倍数，又a 1，a 2，…，a n 互不相等，不妨设a 1 ＜a 2＜…＜a n ，余数必为1，2，3，4，5，6，0，设a i ＝k i ＋t (i ＝1，2，3，…，n ；t ＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一个为m 的“魔术数”，因为a i ·10k ＋m (k 是m 的位数)，是7的倍数，当i ≤b 时，而a i ·t 除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6中的6个；当i ＝7时，而a i ·10k 除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当i ＝7时，依抽屉原理，a i ·10k 与m 二者余数的和至少有一个是7，此时a i ·10k ＋m 被7整除，即n ＝7．例6 (1)A 5：0，1，2，1，0.(或A 5：0，1，0，1，0) (2)a 1000＝13＋999＝1 012． (3)n 被4除余数为0或1．A 级1．1 2．3 143 3．39 798 4．A 5．C 6．B—————＋0＋0＋0＋e 能被9整除，所以e 只能取8．因此—abcde 最小值为 10 008.8．324 561提示：d ＋f －e 是11的倍数，但6≤d ＋f ≤5＋6＝11，1≤e ≤6，故0≤d ＋f －e ≤10，因此d ＋f －e ＝0，即5＋f ＝e ，又e ≤d ，f ≥1，故f ＝l ，e ＝6，9．19 提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后两个数为8，4．B 级1．2 521 a ＝2 520n ＋1(n ∈N ＋)2．573．719 895提示：这个数能被33整除，故也能被3整除．于是，各位数字之和(x ＋1＋9＋8＋9＋y )也能被3整除，故x ＋y 能被3整除．4．B5．B6．A 提示：两两差能被n 整除，n ＝179，m ＝164．7．由题意得—acb ＋—bac ＋—bca ＋—cab ＋—cba ＝3 194，两边加上—abc ．得222(a ＋b ＋c )＝3194＋—abc∴222(a ＋b ＋c ) ＝222×14＋86＋—abc ．则—abc ＋86是222的倍数．且a ＋b ＋c ＞14．设——abc ＋86＝222n 考虑到——abc 是三位数，依次取n ＝1，2，3，4.分别得出——abc 的可能值为136，358，580，802，又因为a ＋b ＋c ＞14．故——abc ＝358．8．设N 为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a ，b ，c (a ，b ，c 不全相等)．将其数码重新排列后，设其中最大数为——abc ，则最小数为——cba ．故N ＝ ——abc －——cba ＝(100a ＋10b ＋c )－ (100c ＋10b ＋a )＝99(a －c )．可知N 为99的倍数．这样的三位数可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990．而这9个数中，只有954－ 459＝495.故495是唯一的三位“拷贝数”．9．设原六位数为———abcdef ，则6×———abcdef ＝———defabc ，即6×(1000×——abc ＋——def )＝1000×——def ＋——abc ，所以994×——def －5 999×——abc ，即142×——def ＝857×——abc ， ∵(142，857)＝1，∴ 142|—abc ，857|——def ，而——abc ，——def 为三位数，∴—abc ＝142，——def ＝857，故———abcdef ＝142857．10．设这个数为——abcd ，则1 000a ＋100b ＋10c ＋d ＋a ＋b ＋c ＋d ＝1 999，即1 001a ＋101b ＋11c ＋2d ＝1 999，得a ＝1，进而101b ＋11c ＋2d ＝998，101b ≥998－117－881，有b ＝9，则11c ＋2d ＝89，而0≤2d ≤18，71≤11c ≤89，推得c ＝7，d ＝6，故这个四位数是1 976．11．当n ＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．当n ＝5时，设a 1a 2，…，a 5是1，2，…，9中的5个不同的数，若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则125,,,a a a 中不可能同时出现1和9，2和8，3和7，4和6，于是125,,,a a a 中必定有一个为5，若125,,,a a a 中含1，则不含9，于是，不含4(45110)⨯++=，故含6；不含3(36110)⨯++=,故含7；不含2(21710)⨯++=,故含。
数的整除性试题及答案解析
数的整除性试题及答案解析阅读与思考设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1．数的整除性常见特征：①若整数a的个位数是偶数，则2|a；②若整数a的个位数是0或5，则5|a；③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)；④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)；⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)；⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a．2．整除的基本性质设a，b，c都是整数，有：①若a|b，b|c，则a|c；②若c|a，c|b，则c|(a±b)；③若b|a，c|a，则[b，c]|a；④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a；⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c．例题与求解【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．(“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论：①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数；②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中( )A．只有①正确B．只有②正确C．①，②都正确D．①，②都不正确(江苏省竞赛试题) 解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．【例3】已知整数13456ab 能被198整除，求a ，b 的值．(江苏省竞赛试题)解题思想：198=2×9×11，整数13456ab 能被9，11整除，运用整除的相关特性建立a ，b 的等式，求出a ，b 的值．【例4】已知a ，b ，c 都是整数，当代数式7a ＋2b ＋3c 的值能被13整除时，那么代数式5a ＋7b －22c 的值是否一定能被13整除，为什么？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)解题思想：先把5a ＋7b －22c 构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．【例5】如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86 415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数1a ，2a ，…，n a ，满足对任意一个正整数m ，在1a ，2a ，…，n a 中都至少有一个为m 的“魔术数”．(2013年全国初中数学竞赛试题)解题思想：不妨设7i i a k t =+(i =1，2，3，…，n ；t =0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为m 的“魔术数”．根据题中条件，利用10k i a m +(k 是m 的位数)被7除所得余数，分析i 的取值．【例6】一只青蛙，位于数轴上的点k a ，跳动一次后到达1k a +，已知k a ，1k a +满足|1k a +－k a |=1，我们把青蛙从1a 开始，经n －1次跳动的位置依次记作n A ：1a ，2a ，3a ，…，n a ．⑴ 写出一个5A ，使其150a a ==，且1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0； ⑵ 若1a =13，2000a =2 012，求1000a 的值；⑶ 对于整数n (n ≥2)，如果存在一个n A 能同时满足如下两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．求整数n (n ≥2)被4除的余数，并说理理由．(2013年“创新杯”邀请赛试题)解题思想：⑴150a a ==．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0．只需将“向右”安排在前即可．⑵若1a =13，2000a =2 012，从1a 经过1 999步到2000a ．不妨设向右跳了x 步，向左跳了y 步，则1999132012x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得1999x y =⎧⎨=⎩可见，它一直向右跳，没有向左跳． ⑶设n A 同时满足两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．由于1a =0，故从原点出发，经过(k －1)步到达k a ，假定这(k －1)步中，向右跳了k x 步，向左跳了k y 步，于是k a =k x －k y ，k x ＋k y =k －1，则1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0＋(22x y -)＋(33x y -)＋…(n n x y -)=2(1x ＋2x ＋…＋n x )－[(22x y +)＋(33x y +)＋…＋(n n x y +)]=2(2x ＋3x ＋…＋n x )－()12n n -．由于1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0，所以n (n －1)=4(2x ＋3x ＋…＋n x )．即4|n (n －1)．能力训练A级1．某班学生不到50人，在一次测验中，有17的学生得优，13的学生得良，12的学生得及格，则有________人不及格．2．从1到10 000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．(上海市竞赛试题) 3．一个五位数398ab能被11与9整除，这个五位数是________．4．在小于1 997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是( )A．532 B．665 C．133 D．7985．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( )A．1 B．2 C．3 D．6(江苏省竞赛试题) 6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有( ) A．12个B．18个C．20个D．30个(“希望杯”邀请赛试题) 7．五位数abcde是9的倍数，其中abcd是4的倍数，那么abcde的最小值为多少？(黄冈市竞赛试题)8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字abcdef，使得三位数abc，bcd，cde，def 能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．(上海市竞赛试题) 9．173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，(“华罗庚金杯”邀请赛试题)B级1．若一个正整数a被2，3，…，9这八个自然数除，所得的余数都为1，则a的最小值为_________，a的一般表达式为____________．(“希望杯”邀请赛试题) 2．已知m，n都是正整数，若1≤m≤n≤30，且mn能被21整除，则满足条件的数对(m，n)共有___________个．(天津市竞赛试题) 3．一个六位数1989x y能被33整除，这样的六位数中最大是__________．4．有以下两个数串1,3,5,7,,1991,1993,1995,1997,19991,4,7,10,,1987,1990,1993,1996,1999⎧⎨⎩同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个．A．333 B．334 C．335 D．3365．一个六位数1991a b能被12整除，这样的六位数共有( )个．A．4 B．6 C．8 D．126．若1 059，1 417，2 312分别被自然数n除时，所得的余数都是m，则n－m的值为( )．A．15 B．1 C．164 D．1747．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数abc，然后，魔术师再要求他记下五个数：acb，bac，bca，cab，cba，并把这五个数加起来求出和N．只要讲出N的大小，魔术师就能说出原数abc是什么．如果N=3 194，请你确定abc．(美国数学邀请赛试题)8．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数”．(武汉市竞赛试题)9．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6倍，求这个三位数．(“五羊杯”竞赛试题)10．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1 999，求这个四位数，并说明理由．(重庆市竞赛试题) 11．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，它们的和能被10整除，求n的最小值．(2013年全国初中数学竞赛试题)数的整除性答案解析例1267 提示：333－66＝267．例2 C 提示：关于②的证明：对于a ，b 若至少有一个是3的倍数，则ab 是3的倍数．若a ，b 都不是3的倍数，则有：(1)当a ＝3m ＋1，b ＝3n ＋1时，a －b ＝3(m －n )；(2)当a ＝3m ＋1，b ＝3n ＋2时，a ＋b ＝3(m ＋n ＋1)；(3)当a ＝3m ＋2，b ＝3n ＋1时，a ＋b ＝3(m ＋n ＋1)；(4)当a ＝3m ＋2，b ＝3n ＋2时，a －b ＝3(m －n ).例3a ＝8．b ＝0提示：由9｜(19＋a ＋b )得a ＋b ＝8或17；由11|(3＋a －b )得a －b ＝8或－3．例4设x ，y ，z ，t 是整数，并且假设5a ＋7b －22c ＝x (7a ＋2b ＋3c ) ＋13(ya ＋zb ＋tc ).比较上式a ，b ，c的系数，应当有⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+=+2213371325137t x z x y x ，取x ＝－3，可以得到y ＝2，z ＝1，t ＝－1，则有13 (2a ＋b －c )－3(7a ＋2b ＋3c )＝5a ＋7b －22c ．既然3(7a ＋2b ＋3c )和13(2a ＋b －c )都能被13整除，则5a ＋7b －22c 就能被13整除．例5 考虑到“魔术数”均为7的倍数，又a 1，a 2，…，a n 互不相等，不妨设a 1＜a 2＜…＜a n ，余数必为1，2，3，4，5，6，0，设a i ＝k i ＋t (i ＝1，2，3，…，n ；t ＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一个为m 的“魔术数”，因为a i ·10k ＋m (k 是m 的位数)，是7的倍数，当i ≤b 时，而a i ·t 除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6中的6个；当i ＝7时，而a i ·10k 除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当i ＝7时，依抽屉原理，a i ·10k 与m 二者余数的和至少有一个是7，此时a i ·10k ＋m 被7整除，即n ＝7．例6 (1)A 5：0，1，2，1，0.(或A 5：0，1，0，1，0) (2)a 1000＝13＋999＝1 012． (3)n 被4除余数为0或1．A 级1．1 2．3 143 3．39 798 4．A 5．C 6．B7．五位数—abcde ＝10×—abcd ＋e .又∵——abcd 为4的倍数．故最值为1 000，又因为—abcde 为9的倍数．故1＋0＋0＋0＋e 能被9整除，所以e 只能取8．因此—abcde 最小值为 10 008.8．324 561提示：d ＋f －e 是11的倍数，但6≤d ＋f ≤5＋6＝11，1≤e ≤6，故0≤d ＋f －e ≤10，因此d ＋f －e ＝0，即5＋f ＝e ，又e ≤d ，f ≥1，故f ＝l ，e ＝6，9．19 提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后两个数为8，4．B 级1．2 521 a ＝2 520n ＋1(n ∈N ＋) 2．573．719 895提示：这个数能被33整除，故也能被3整除．于是，各位数字之和(x ＋1＋9＋8＋9＋y )也能被3整除，故x ＋y 能被3整除． 4．B 5．B6．A 提示：两两差能被n 整除，n ＝179，m ＝164．———————∴222(a ＋b ＋c ) ＝222×14＋86＋—abc ．则—abc ＋86是222的倍数．且a ＋b ＋c ＞14．设——abc ＋86＝222n 考虑到——abc 是三位数，依次取n ＝1，2，3，4.分别得出——abc 的可能值为136，358，580，802，又因为a ＋b ＋c ＞14．故——abc ＝358．8．设N 为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a ，b ，c (a ，b ，c 不全相等)．将其数码重新排列后，设其中最大数为——abc ，则最小数为——cba ．故N ＝——abc －——cba ＝(100a ＋10b ＋c )－ (100c ＋10b ＋a )＝99(a －c )．可知N 为99的倍数．这样的三位数可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990．而这9个数中，只有954－ 459＝495.故495是唯一的三位“拷贝数”． 9．设原六位数为———abcdef ，则6×———abcdef ＝———defabc ，即6×(1000×——abc ＋——def )＝1000×——def ＋——abc ，所以994×——def －5 999×——abc ，即142×——def ＝857×——abc ， ∵(142，857)＝1，∴ 142|—abc ，857|——def ，而——abc ，——def 为三位数，∴—abc ＝142，——def ＝857，故———abcdef ＝142857．10．设这个数为——abcd ，则1 000a ＋100b ＋10c ＋d ＋a ＋b ＋c ＋d ＝1 999，即1 001a ＋101b ＋11c ＋2d ＝1 999，得a ＝1，进而101b ＋11c ＋2d ＝998，101b ≥998－117－881，有b ＝9，则11c ＋2d ＝89，而0≤2d ≤18，71≤11c ≤89，推得c ＝7，d ＝6，故这个四位数是1 976． 11．当n ＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．当n ＝5时，设a 1a 2，…，a 5是1，2，…，9中的5个不同的数，若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则125,,,a a a 中不可能同时出现1和9，2和8，3和7，4和6，于是125,,,a a a 中必定有一个为5，若125,,,a a a 中含1，则不含9，于是，不含4(45110)⨯++=，故含6；不含3(36110)⨯++=,故含7；不含2(21710)⨯++=,故含8；但是5+7+8=20是10的倍数, 矛盾. 若125,,,a a a 中含9, 则不含1, 于是不含6(69520),⨯++=故含4; 不含7(74920),⨯++=故含3; 不含8(89320),⨯++=故含2; 但是53210++=是10的倍数, 矛盾. 综上所述,n 的最小值为5。
2013年全国初中数学竞赛试题参考答案
2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）． （A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12b x x a +=-，12cx x a=，且120x x ≠，所以0c ≠，且 221212222221212()2112x x x x b a c x x x x c +--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c --+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=．3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）． （A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数． 由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC=，·DC DO DE OC =都是有理数，而AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（第3题答题）（第3题）（第4题）（A ）3 （B ）4 （C ）6（D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB= S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232**** 的值为（ ）．（A ）607967 （B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***= ，则()20132012433m ****=* 32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=* 3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．二、填空题6．设a =b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ． 【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故222b a =-=，因此33(2)9b +==． 7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ． 【答案】2013（第4题答题）（第7题答题）（第7题）【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c，d，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数） 【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d，进而2b d a c ==--=-．若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+，所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y=23ax bx+-，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线113y x=-+与y轴交于点D．求∠DBC-∠CBE．【解答】将0x=分别代入y=113x-+，23y ax bx=+-知，D(0，1)，C(0，3-)，所以B(3，0)，A(1-，0)．直线y=113x-+过点B．将点C(0，3-)的坐标代入y=(1)(3)a x x+-，得1a=．…………5分抛物线223y x x=--的顶点为E(1，4-)．于是由勾股定理得BC＝CE BE＝因为BC2＋CE2＝BE2，所以，△BCE为直角三角形，90BCE∠=︒．…………10分因此tan CBE∠=CECB=13．又tan∠DBO=13ODOB=，则∠DBO＝CBE∠．…………15分所以，45DBC CBE DBC DBO OBC∠-∠=∠-∠=∠=︒．…………20分12．设△ABC的外心，垂心分别为O H，，若B C H O，，，共圆，对于所有的△ABC，求BAC∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论．（i）若△ABC为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC∠=∠，可得1802A A︒-∠=∠，于是60A∠=︒．…………5分（ii）若△ABC为钝角三角形．当90A∠>︒时，因为（第11题答题）（第12题答题（i））（第12题答题（ii））（第11题）()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。
2013天津中考数学试题及答案
2013天津中考数学试题及答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1. 计算（-2）^{3}的结果是：A. -8B. 8C. -6D. 6答案：A2. 下列图形中，不是轴对称图形的是：A. 圆B. 等边三角形C. 等腰梯形D. 平行四边形答案：D3. 已知a=2013，b=2014，则a^{2}+b^{2}的值是：A. 2013^{2}+2014^{2}B. 2×2013×2014C. 2013×2014D. 2013+2014答案：A4. 用科学记数法表示的数，其中n的值是：A. 3.0×10^{3}，n=3B. 3.0×10^{-3}，n=-3C. 3.0×10^{-3}，n=3D. 3.0×10^{3}，n=-3答案：B5. 根据题目所给的统计图，下列说法正确的是：A. 甲组的平均成绩高于乙组B. 甲组的中位数高于乙组C. 甲组的众数高于乙组D. 乙组的极差大于甲组答案：D6. 已知x=3是方程x^{2}-6x+5=0的解，则另一个解是：A. 1B. 2C. 5D. 7答案：B7. 根据题目所给的几何图形，下列说法正确的是：A. 四边形ABCD是平行四边形B. 四边形ABCD是矩形C. 四边形ABCD是菱形D. 四边形ABCD是正方形答案：A8. 根据题目所给的函数关系式，下列说法正确的是：A. y随x的增大而增大B. y随x的增大而减小C. 当x=0时，y=0D. 当x=1时，y=1答案：B9. 根据题目所给的不等式，下列说法正确的是：A. 3x-2>0的解集是x>2/3B. 3x-2>0的解集是x<2/3C. 2x+3≤0的解集是x≤-3/2D. 2x+3≤0的解集是x≥-3/2答案：C10. 根据题目所给的几何图形，下列说法正确的是：A. ∠A+∠B+∠C=180°B. ∠A+∠B+∠C=360°C. ∠A+∠B+∠C=90°D. ∠A+∠B+∠C=270°答案：A11. 根据题目所给的代数式，下列说法正确的是：A. (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}B. (a+b)(a-b)=a^{2}+b^{2}C. (a-b)^{2}=a^{2}-b^{2}D. (a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}答案：A12. 根据题目所给的几何图形，下列说法正确的是：A. △ABC≌△DEFB. △ABC∽△DEFC. △ABC⊥△DEFD. △ABC∥△DEF答案：B二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13. 计算2^{2013}-2^{2012}的结果是：________答案：2^{2012}14. 根据题目所给的几何图形，计算∠AOB的度数是：________答案：90°15. 根据题目所给的函数关系式，当x=2时，y的值是：________答案：416. 根据题目所给的不等式，求解不等式3x-2>0的解集是：________答案：x>2/317. 根据题目所给的几何图形，计算四边形ABCD的面积是：________答案：618. 根据题目所给的代数式，计算(a+b)(a-b)的结果是：________答案：a^{2}-b^{2}三、解答题（本大题共4个小题，共46分）19. （本小题满分8分）根据题目所给的几何图形，证明△ABC≌△DEF。
【精校】2013年天津初中毕业生学业考试数学(含答案)
2013年天津市初中毕业生学业考试试卷数学第Ⅰ卷注意事项：1.每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。
2.本卷共10题，共30分。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）计算（-3）+（-9）的结果等于（A）12 （B）-12 （C）6 （D）-6（2）tan60︒的值等于（A）1 （B）2（C）3（D）2（3）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（A）（B）（C）（D）（4）中国园林网4月22日消息：为建设生态滨海，2013年天津滨海新区将完成城市绿化面积共8 210 000m2.将8210 000用科学记数法表示应为（A）4⨯（D）70.82110⨯8.2110⨯（C）6⨯（B）58211082.110（5）七年级（1）班与（2）班各选出20名学生进行英文打字比赛，通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计，两班成绩的平均数相同，（1）班成绩的方差为17.5，（2）班成绩的方差为15.由此可知（A）（1）班比（2）班的成绩稳定（B）（2）班比（1）班的成绩稳定（C）两个班的成绩一样稳定（D）无法确定哪班的成绩更稳定（6）右图是一个由3个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（A）（B）（C）（D）（7）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（A）矩形（B）菱形（C）正方形（D）梯形（8）正六边形的边心距与边长之比为（A3（B:2（C）1:2（D2（9）若222112648xx yx y x y=-=---，，则的值等于（A）117-（B）117（C）116（D）115（10）如图，是一对变量满足的函数关系的图象.有下列3个不同的问题情境：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米；第（6）题第（7）题FB②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速 向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x 分，桶内的水量为y 升；③矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，动点P 从点A 出发，依次沿对角线AC 、边CD 、边DA 运动至点A 停止，设点P 的运动路程为x ，当点P 与点A 不重合时，y ＝S △ABP ；当点P 与点A 重合时，y ＝0.其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ）3第Ⅱ卷 注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在“答题卡”上。
不等式专题拔高题
6、适合不等式 2x 1 3x 14 4x 21的 x 的取值的范围是（
）
7、已知不等式 (mx 1)(x 2) 0 的解集 3 x 2 那么 m 等于（
）
1
A、
3
B、 1 3
C、3
D、－3
8、已知 a
0 ，下面给出 4 个结论：① a2
1 0 ；②1 a2
0 ；③1
1 a2
7
mx n(m 0) 的解集为
.
（黑龙江省哈尔滨市竞赛试题）
解题思路：从已知条件出发，解关于 x 的不等式，求出 m，n 的值或 m，n 的关系.
【例
3】已知方程组
mx x
y
y
2
6
若方程组有非负整数解，求正整数
m
的值.
（天津市竞赛试题）
解题思路：解关于 x ，y 的方程组，建立关于 m 的不等式组，求出 m 的取值范围.
B、20000
C、9999
D、80000
（五羊杯“竞赛试题）
7、已知 m，n 是整数，3m＋2＝5n＋3，且 3m＋2＞30，5n＋3＜40，则 mn 的值是（ ）
A、70
B、72
C、77
D、84
8、不等式 x x 5 的解集为（ ）
A、 x 5 2
B、 x 5 2
C、 x 5 2
D、 x 5 2
能力训练
A级
1、已知关于 x 的不等式 2m x 4mx 1的解集是x 3 那么 m 的值是
3
2
4
（“希望杯”邀请赛试题）
2、不等式组
2x
2a xb
4 5
的解集是 0 x 2 ，那么 a＋b 的值为
专题02数的整除性
专题02 数的整除性阅读与思考设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1．数的整除性常见特征：①若整数a的个位数是偶数，则2|a；②若整数a的个位数是0或5，则5|a；③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)；④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)；⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)；⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a．2．整除的基本性质设a，b，c都是整数，有：①若a|b，b|c，则a|c；②若c|a，c|b，则c|(a±b)；③若b|a，c|a，则[b，c]|a；④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a；⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c．例题与求解【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．(“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论：①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数；②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中( )A．只有①正确B．只有②正确C．①，②都正确D．①，②都不正确(江苏省竞赛试题) 解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．【例3】已知整数13456ab 能被198整除，求a ，b 的值．(江苏省竞赛试题)解题思想：198=2×9×11，整数13456ab 能被9，11整除，运用整除的相关特性建立a ，b 的等式，求出a ，b 的值．【例4】已知a ，b ，c 都是整数，当代数式7a ＋2b ＋3c 的值能被13整除时，那么代数式5a ＋7b －22c 的值是否一定能被13整除，为什么？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)解题思想：先把5a ＋7b －22c 构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．【例5】如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86 415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数1a ，2a ，…，n a ，满足对任意一个正整数m ，在1a ，2a ，…，n a 中都至少有一个为m 的“魔术数”．(2013年全国初中数学竞赛试题)解题思想：不妨设7i i a k t =+(i =1，2，3，…，n ；t =0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为m 的“魔术数”．根据题中条件，利用10ki a m +(k 是m 的位数)被7除所得余数，分析i 的取值．【例6】一只青蛙，位于数轴上的点k a ，跳动一次后到达1k a +，已知k a ，1k a +满足|1k a +－k a |=1，我们把青蛙从1a 开始，经n －1次跳动的位置依次记作n A ：1a ，2a ，3a ，…，n a ．⑴ 写出一个5A ，使其150a a ==，且1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0； ⑵ 若1a =13，2000a =2 012，求1000a 的值；⑶ 对于整数n (n ≥2)，如果存在一个n A 能同时满足如下两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．求整数n (n ≥2)被4除的余数，并说理理由．(2013年“创新杯”邀请赛试题)解题思想：⑴150a a ==．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0．只需将“向右”安排在前即可．⑵若1a =13，2000a =2 012，从1a 经过1 999步到2000a ．不妨设向右跳了x 步，向左跳了y 步，则1999132012x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得19990x y =⎧⎨=⎩可见，它一直向右跳，没有向左跳． ⑶设n A 同时满足两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．由于1a =0，故从原点出发，经过(k －1)步到达k a ，假定这(k －1)步中，向右跳了k x 步，向左跳了k y 步，于是k a =k x －k y ，k x ＋k y =k －1，则1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0＋(22x y -)＋(33x y -)＋…(n n x y -)=2(1x ＋2x ＋…＋n x )－[(22x y +)＋(33x y +)＋…＋(n n x y +)]=2(2x ＋3x ＋…＋n x )－()12n n -．由于1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0，所以n (n －1)=4(2x ＋3x ＋…＋n x )．即4|n (n －1)．能力训练A级1．某班学生不到50人，在一次测验中，有17的学生得优，13的学生得良，12的学生得及格，则有________人不及格．2．从1到10 000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．(上海市竞赛试题) 3．一个五位数398ab能被11与9整除，这个五位数是________．4．在小于1 997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是( )A．532 B．665 C．133 D．7985．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( )A．1 B．2 C．3 D．6(江苏省竞赛试题) 6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有( ) A．12个B．18个C．20个D．30个(“希望杯”邀请赛试题) 7．五位数abcde是9的倍数，其中abcd是4的倍数，那么abcde的最小值为多少？(黄冈市竞赛试题)8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字abcdef，使得三位数abc，bcd，cde，def 能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．(上海市竞赛试题)9．173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的这3个数字的和是多少？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)B级1．若一个正整数a被2，3，…，9这八个自然数除，所得的余数都为1，则a的最小值为_________，a的一般表达式为____________．(“希望杯”邀请赛试题) 2．已知m，n都是正整数，若1≤m≤n≤30，且mn能被21整除，则满足条件的数对(m，n)共有___________个．(天津市竞赛试题) 3．一个六位数1989x y能被33整除，这样的六位数中最大是__________．4．有以下两个数串1,3,5,7,,1991,1993,1995,1997,19991,4,7,10,,1987,1990,1993,1996,1999⎧⎨⎩同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个．A．333 B．334 C．335 D．3365．一个六位数1991a b能被12整除，这样的六位数共有( )个．A．4 B．6 C．8 D．126．若1 059，1 417，2 312分别被自然数n除时，所得的余数都是m，则n－m的值为( )．A．15 B．1 C．164 D．1747．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数abc，然后，魔术师再要求他记下五个数：acb，bac，bca，cab，cba，并把这五个数加起来求出和N．只要讲出N的大小，魔术师就能说出原数abc是什么．如果N=3 194，请你确定abc．(美国数学邀请赛试题)8．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数”．(武汉市竞赛试题)9．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6倍，求这个三位数．(“五羊杯”竞赛试题)10．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1 999，求这个四位数，并说明理由．(重庆市竞赛试题)的和能被10整除，求n的最小值．(2013年全国初中数学竞赛试题)。
2013天津市初中数学竞赛赛试题
2013天津市初中数学竞赛赛试题所属班级 姓名 一、选择题（每小题7分，满分35分）：1、设实数,,a b c 满足2346c b a a +=-+，244c b a a -=-+，则,,a b c 的大小关系是（ ）. A 、a b c <≤ B 、b a c <≤ C 、b c a <≤ D 、c a b <≤2、设O 为锐角⊿ABC 的外心，连结AO 、BO 、CO ，并分别延长，交对边于点D 、E 、F ，若⊿ABC 的外接圆半径为6，111AD BE CF++的值是（ ）. A 、1 B 、12 C 、13 D 、163、已知20122011a x =+，20122012b x =+，20122013c x =+，那么222a b c ab bc ca ++---的值为（ ）.A 、3B 、2C 、1D 、04、如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线PA 是一次函数y x n =+的图像，与x 轴、y 轴分别交于点A 、Q. 直线PB 是一次函数2y x m=-+的图像，与x 轴交于点B.若AB=2，四边形OBPQ 的面 积等于56，则m n m n+-的值为（ ）.A 、1B 、 2C 、 3D 、 45、已知10个彼此不相等的正整数1210,,,a a a 满足条件215a a a =+，326a a a =+，437a a a =+，658a a a =+，769a a a =+，9810a a a =+，则4a 的最小值是（ ）. A 、19 B 、20 C 、21 D 、22二、填空题（每小题7分，满分35分）：6、若1111110111219a =++++，则a 的整数部分为 .7、若关于x 的不等式()250a b x a b -+->的解集为107x <，则关于x 的不等式ax b >的解集为 .8、如图，一钢球从入口处自上而下沿通道自由落下，在每个岔口处向两侧滑落是等可能的，则钢球落入出口乙的概率为 .9.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，AC 与EF 交于点O ，点M 在线段AOx y O B QAP出口丁出口丙出口乙出口甲入口M F OEND C BA上，ME 、CD 的延长线相交于点N.若∠MFB= 57︒，则∠FNC 的大小等于 . 10.在一张正方形纸片的内部给出了2013个点，连同正方形的4个顶点共有2017个点，按下列规则将这张纸片剪成一些三角形：①每个三角形的顶点都在给出的2017个点中；②每个三角形内部不再有这2017个点中的点.那么，最多可以剪出的三角形的个数是 .三、解答题（每小题20分，满分80分）：11. 已知关于x 的函数()2122y k x kx k =--++的图像与x 轴有交点. ⑴求k 的取值范围；⑵若12,x x 是函数图像与x 轴两个不同交点的横坐标，且满足()212121224k x kx k x x -+++=. ①求k 的值；②请结合图像，确定当2k x k ≤≤+时，函数y 的最大值和最小值.12.已知,,a b c 均为正整数，其中c 不是完全平方数，且24a b -=，a b c +=， 求a b c ++的值.13. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，AC ⊥BD ，垂足为H. 求证：四边形HFOE 是平行四边形.14. 如图，已知D 为锐角⊿ABC 内部的一个点，使得90ADB ACB ∠=∠+︒，且AC BD AD BC ⋅=⋅.⑴求AB CD AC BD⋅⋅的值.⑵求证：⊿ACD 的外接圆和⊿BCD 的外接圆在C 点切线互相垂直.HO FE D CBADBAC。
2013年天津市中考数学试卷及答案(word解析版)
天津市2013年中考数学试卷、选择题（共 10小题，每小题3分，满分30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 .（ 3分）（2013 ?天津）计算（-3） + （- 9）的结果等于（ ） A . 12 B .- 12 C . 6|D .- 65 . （ 3分）（2013?天津）七年级（1）班与（2）班各选出20名学生进行英文打字比赛，通过对参赛学生每分钟输入的单 词个数进行统计，两班成绩的平均数相同，（1）班成绩的方差为17.5, （2）班成绩的方差为15，由此可知（ ） A . （1）班比（2）班的成绩稳定 B . （2）班比（1）班的成绩稳定 C . 两个班的成绩一样稳定D . 无法确定哪班的成绩更稳定6. （3分）（2013?天津）如图是由3个相同的正方体组成的一个立体图形，它的三视图是（ ）考点：旋转的性质；矩形的判定.分析： 根据旋转的性质可得 AE=CE , DE=EF ,再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCF 是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出/ ADC=90 °再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答.解答： 解：•••△ ADE 绕点E 旋转180°得厶CFE ,••• AE=CE , DE=EF ,•••四边形ADCF 是平行四边形， ••• AC=BC ，点D 是边AB 的中点， •••/ ADC=90 ° •四边形ADCF 矩形.8. （ 3分）（2013?天津）正六边形的边心距与边长之比为（）B .菱形C .正方形D .梯形 2. （ 3分）（2013?天津）tan60°的值等于（）…A . 1B ..二C . |二 |D . 23. （3分）（2013?天津）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（）D . 0.821 X1072A . 821 X102B . 82.1 X105C . 8.21 XI06 7. （3分）（2013?天津）如图，在厶ABC 中，AC=BC ，点D 、E 分别是边 AB 、AC 的中点，将厶ADE 绕点E 旋转180° #△ CFE ，则四边形ADCF - -定是（）A .矩形A . 「： 3B . . -；： 2C . |1： 2 |D . :- 29.（ 3 分）（2013?天津）若 x= - 1, y=2U ；的值等于（ ）-64y 2 x-8yA. - 1B .T LC. JJD .口1T「羽16|10. （3分）（2013?天津）如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列 3个不同的问题情境：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了 5分，在原地休息了 4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x 分，离出发地的距离为 y 千米；② 有一个容积为6升的开口空桶，小亮以 1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注 5分后停止，等4分后，再以2 升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x 分，桶内的水量为y 升；③矩形ABCD 中，AB=4 , BC=3，动点P 从点A 出发，依次沿对角线 AC 、边CD 、边DA 运动至点A 停止，设点P 的 运动路程为x ，当点P 与点A 不重合时，y=S △ ABP ；当点P 与点A 重合时，y=0 .考点：函数的图象.分析： ①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了 5分，所走路程为2000米，与图象不符合；② 小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注 5分后停止，注水量为 1.20=6升，等4分钟，这段时间水 量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0,符合函数图象；③ 当点P 在AC 上运动时，S A ABP 的面积一直增加，当点 P 运动到点C 时，ABP =6，这段时间为5当点P 在CD 上运动时，S A AB P 不变，这段时间为 4,;当点P 在DA 上运动时，S A AB P 减小，这段时间为 3,符合函 数图象；解答： 解：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了 5分，所走路程为2000米，与图象不符合； ② 小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注 5分后停止，注水量为 1.20=6升，等4分钟，这段时间水 量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则 3分钟后水量为0,符合函数图象；③ 如图所示：当点P 在AC 上运动时，S A ABP 的面积一直增加，当点 P 运动到点C 时，S A AB p =6，这段时间为5,;当点P 在 CD 上运动时，S A ABP 不变，这段时间为 4,;当点P 在DA 上运动时，S A AB P 减小，这段时间为 3,符合函数图 象； 综上可得符合图中所示函数关系的问题情境的个数为 2.故选C .二、填空题（共 8小题，每小题3分，满分24分）G~711. （3分）（2013?天津）计算 a?a 的结果等于 —12.（3分）（2013?天津）一元二次方程 x （x - 6） =0的两个实数根中较大的根是 6 .13.（3分）A . 0B . 1（2013?天津）若一次函数y=kx+1 （k为常数，k旳）的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是k> 0 14. （3分）（2013?天津）如图，已知/ C=Z D,/ ABC= / BAD , AC与BD相交于点O,请写出图中一组相等的线段AC=BD （答案不唯一）考点：全等三角形的判定与性质.专题：开放型.分析：利用角角边”证明△ ABC和厶BAD全等，再根据全等三角形对应边相等解答即可.解答：解：•••在△ ABC和厶BAD中，f Zc=ZD' ZABC^ZBAD ,AB=BAL•••△ ABC ◎△ BAD （AAS ）,••• AC=BD , AD=BC .故答案为：AC=BD （答案不唯一）.15. （3分）（2013?天津）如图，PA、PB分别切O O于点A、B，若/ P=70°则/ C的大小为55 （度）.16 . （3分）（2013?天津）一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸出一个小球,然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于4的概率是—16—17. （3分）（2013?天津）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3 , / ADE=60 °贝U AE的长为7 .考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质.分析：先根据边长为9, BD=3，求出CD的长度，然后根据/ ADE=60。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2013天津市初中数学竞赛赛试题
所属班级 姓名 一、选择题（每小题7分，满分35分）：
1、设实数,,a b c 满足2346c b a a +=-+，244c b a a -=-+，则,,a b c 的大小关系是（ ）. A 、a b c <≤ B 、b a c <≤ C 、b c a <≤ D 、c a b <≤
2、设O 为锐角⊿ABC 的外心，连结AO 、BO 、CO ，并分别延长，交对边于点D 、E 、F ，若
⊿ABC 的外接圆半径为6，111AD BE CF
++的值是（ ）. A 、1 B 、12 C 、13 D 、1
6
3、已知20122011a x =+，20122012b x =+，20122013c x =+，那么222a b c ab bc ca ++---的值为（ ）. A 、3 B 、2 C 、1 D 、0
4、如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线PA 是一次函数y x n =+的
图像，与x 轴、y
轴分别交于点A 、Q. 直线PB 是一次函数2y x m =-+的图像，与x 轴
交于点B.若
AB=2，四边形OBPQ 的面
积等于56，则m n
m n
+-的值为（ ）.
A 、1
B 、 2
C 、 3
D 、 4 5、已知10个彼此不相等的正整数1210,,,a a a 满足条件215a a a =+，
326a a a =+，
437a a a =+，658a a a =+，769a a a =+，9810a a a =+，则4a 的最小值是（ ）. A 、19 B 、20 C 、21 D 、22
二、填空题（每小题7分，满分35分）：
6、若1
111110111219
a =++++ ，则a 的整数部分为 .
7、若关于x 的不等式()250a b x a b -+->的解集为10
7
x <
，则关于x 的不等式ax b >的解集为 .
8、如图，一钢球从入口处自上而下沿通道自由落下，在每个岔口处向两侧滑落是等可能的，则钢球落入出口乙的概率为 .
出口丁
出口丙出口乙出口甲
入口
9.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，AC 与EF 交于点O ，点M 在线段AO 上，ME 、CD 的延长线相交于点N.若∠MFB= 57︒，则∠FNC 的大小等于 .
10.在一张正方形纸片的内部给出了2013个点，连同正方形的4个顶点共有2017个点，按下列规则将这张纸片剪成一些三角形：①每个三角形的顶点都在给出的2017个点中；②每个三角形内部不再有这2017个点中的点.那么，最多可以剪出的三角形的个数是 .
三、解答题（每小题20分，满分80分）： 11. 已知关于x 的函数()2122y k x kx k =--++的图像与x 轴有交点.
⑴求k 的取值范围；
⑵若12,x x 是函数图像与x 轴两个不同交点的横坐标，且满足()212121224k x kx k x x -+++=. ①求k 的值；
②请结合图像，确定当2k x k ≤≤+时，函数y 的最大值和最小值.
M
F
O E N D
C
B
A
12.已知,,a b c 均为正整数，其中c 不是完全平方数，且24a b -== 求a b c ++的值.
13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E、F分别是BC、AD的中点，AC⊥BD，垂足为H. 求证：四边形HFOE是平行四边形.
14. 如图，已知D 为锐角⊿ABC 内部的一个点，使得90ADB ACB ∠=∠+︒，且AC BD AD BC ⋅=⋅.
⑴求AB CD AC BD
⋅⋅的值.
⑵求证：⊿ACD 的外接圆和⊿BCD 的外接圆在C 点切线互相垂直.
H
O F
E D C
B
A
D
B
A
C。