天津初中数学竞赛
2010年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试区初赛试题(含答案)71
2010年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分） （1）计算2222010200920102009201122009--⨯+⨯的值为（ ）． （A ）1 （B ）1- （C ）2 009 （D ）2 010【解】选A ．原式22222222010200920102009120102009(20112)20102009--===---．（2）如图，是一个正方体的表面展开图，正方体的每个面都标注了字母．在展开前，与标注字母a 的面相对的面内标注的字母为（ ）．（A ）b （B ）d （C ）e （D ）f 【解】选B ．（3）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，E 是AD 的中点，6AB BC CD ++=, 5BE =，则梯形ABCD 的面积等于（ ）．（A ）13 （B ）8 （C ）132（D ）4 【解】选D ．如图，过点E 作//EF AB 交BC 于点F ，则12BF BC =,11()(6)22EF AB CD BC =+=-,又∵BC AB ⊥,∴EF BC ⊥∴在Rt △BFE 中，222EF BF BE +=．∴22211[(6)]()(5)22BC BC -+=，即2680BC BC -+=，解得 2BC =或4BC =，则2EF =或1EF =, ∴ 4ABCD S EF BC =⋅=梯形． （4）某个一次函数的图象与直线132y x =+平行，与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，并且过点（2-，4-），则在线段AB 上（包括点A ，B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ）．（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 【解】选B ．e c bdfa第（2）题ABC D EF ABCD E 第（3）题根据题意，设一次函数的解析式为12y x b =+，由点（2-，4-）在该函数图象上，得14(2)2b-=⨯-+，解得3b=-．所以，132y x=-．可得点A（6，0），B（0，3-）．由06x≤≤，且x为整数，取0,2,4,6x=时，对应的y是整数．因此，在线段AB上（包括点A、B），横、纵坐标都是整数的点有4个．（5）如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（23a r≥）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）．（A）2π3r（B）2(33π)3r-（C）2(33π)r-（D）2πr【解】选C．如图，当圆形纸片运动到与A∠的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心1O作两边的垂线，垂足分别为D，E，连1AO，则Rt△1ADO中，130O AD∠=︒，1O D r=，3AD r=．∴1211322ADOS O D AD r∆=⋅=．有11223ADOADO ES S r∆==四形形．∵由题意，1120DO E∠=，得12π3O DES r=扇形，∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为22π33)3r r-（2(33π)r=-．二、填空题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（6）如图，有五张点数分别为2，3，7，8，9的扑克牌，从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为．【解】710．根据题意，当不考虑抽牌顺序时，可以画出如下的树形图从上图可以看出，从五张牌中任意抽取两张，共有10种抽法，其中抽取的点数之积是点数之积3 7 8 96214 16 1837 8 921 24 27 5678 9638972第（5）题AED1O第（6）题CABDMNCABDM第（8）题偶数的有7种，所以点数之积是偶数的概率710P =． （7）如图，是一个树形图的生长过程，自上而下，一个空心圆生成一个实心圆，一个实心圆生成一个实心圆和一个空心圆，依此生长规律，第9行的实心圆的个数是 ．【解】21个． 观察图形规律，可得，从第3行起，每行中的实心圆的个数都是上两行实心圆个数的和．于是，第7行实心圆的个数为3+5=8（个）； 第8行实心圆的个数为5+8=13（个）； 第9行实心圆的个数为8+13=21（个）． （8）如图，在△ABC 中，中线CM 与高线 CD 三等分ACB ∠，则B ∠等于 （度）.【解】30︒.根据题意，可得CD AB ⊥，AM MB =，ACD MCD BCM ∠=∠=∠. ∵ACD MCD ∠=∠，CD CD =，90CDA CDM ∠=∠=︒, ∴△ACD ≅△MCD ∠. ∴12AD DM AM ==. 过点M 作MN BC ⊥于点N ,∵DCM NCM ∠=∠,CM CM =,90CDM CNM ∠=∠=︒, ∴△DCM ≅△NCM ∠. ∴DM NM =.于是12NM MB =，∴在Rt △MNB 中，30B ∠=︒.（9）有n 个连续的自然数1，2，3，…，n ，若去掉其中的一个数x 后，剩下的数的平均数是16，则满足条件的n 和x 的值分别是 .（参考公式：2)1(321+=++++=n n n S n ） 【解】30n =，1x =；31n =，16x =；32n =，32x =.由已知，n 个连续的自然数的和为(1)2n n n S +=.若x n =，剩下的数的平均数是12n S n nn -=-； 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第6行……第（7）题若1x =，剩下的数的平均数是1112n S nn -=+-， 故16122n n+≤≤，解得 3032n ≤≤. 当30n =时，30(301)29162x ⨯+⨯=-，解得1x =； 当31n =时，31(311)30162x ⨯+⨯=-，解得16x =； 当32n =时，32(321)31162x ⨯+⨯=-，解得32x =. （10）母亲节到了，小红，小莉，小莹到花店买花送给自己的母亲.小红买了3枝玫瑰，7枝康乃馨，1枝百合花，付了14元；小莉买了4枝玫瑰，10枝康乃馨，1枝百合花，付了16元；小莹买上面三种花各2枝，则她应付 元．【解】20．方法一：设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为x 元，y 元，z 元， 根据已知条件，列出方程组3714,41016.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩消去z ，得23x y =-． ③ 将③代入①，得82z y =+．④由③，④得 10x y z ++=．有 2()20x y z ++=． 所以，小莹应付20元． 方法二：(37)(410)2()m x y z n x y z x y z +++++=++，(34)(710)()222m n x m n y m n z x y z +++++=++．∴342,7102,2.m n m n m n +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得4,6.n m =-⎧⎨=⎩∴2()6(37)4(410)61441620x y z x y z x y z ++=⨯++-++=⨯-⨯=． 三、解答题（本大题共4小题，每小题满分20分，共80分） （11）（本小题满分20分）已知，抛物线2y ax bx c =++（0≠a ）经过A 、B 两点， 图中的曲线是它的一部分．根据图中提供的信息，（Ⅰ）确定a ，b ，c 的符号； （Ⅱ）当b 变化时，求a b c ++的取值范围．【解】（Ⅰ）如图，由抛物线开口向上，得0a >．……3分由抛物线过点(0,1)-，得10c =-<． ……6分①②xyO)0,1(-A )1,0(-B由抛物线对称轴在y 轴的右侧，得02ba->，又 0a >，得0b <． ∴0a >，0b <，0c <． ……………………………………10分 （Ⅱ）由抛物线过点(1,0)-，得0a b c -+=．即1a b =+，由0a >，得1b >-． ……………………………………16分 ∴10b -<<，∴(1)12a b c b b b ++=++-=．∴20a b c -<++<． ……………………………………20分 （12）（本小题满分20分）设直角三角形的两条直角边长分别为,a b ，斜边长为c ．若,,a b c 均为整数，且 1()3c ab a b =-+，求满足条件的直角三角形的个数．【解】由勾股定理，得222c a b =+． ……………………………………3分又1()3c ab a b =-+，得2222112[()]()()()393c ab a b ab ab a b a b =-+=-+++．即2222212()()293a b ab ab a b a ab b +=-++++．整理，得6()180ab a b -++=．即(6)(6)18a b --=． ………………………8分因为,a b 均为正整数，不妨设a b <， 可得61,618,a b -=⎧⎨-=⎩或62,69,a b -=⎧⎨-=⎩或63,6 6.a b -=⎧⎨-=⎩可解出7,24,25,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或8,15,17,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或9,12,15.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，满足条件的直角三角形有3个． ……………………………………20分 （13）（本小题满分20分）如图，在△ABC 中，45ABC ∠=，点D 在边 BC 上，60ADC ∠=，且12BD CD =．将△ACD 以直线AD 为轴做轴对称变换，得到△AC D '，连接BC '，（Ⅰ）求证BC BC '⊥； （Ⅱ）求C ∠的大小．（Ⅰ）【证明】∵△AC D '是△ACD 沿AD 做轴对称变换得到的，∴△AC D '≌△ACD .有C D CD '=，ADC ADC '∠=∠．………………3分 ∵12BD CD =，60ADC ∠=，∴12BD C D '=，18060BDC ADC ADC ''∠=-∠-∠=．……5分AB C D C 'ABCDC 'PBC AD 图（b ）2O 1O取C D '中点P ，连接BP ，则△BDP 为等边三角形，△BC P '为等腰三角形，…8分 有113022BC D BPD BDC ''∠=∠=∠=︒．∴90C BD '∠=，即BC BC '⊥． ……10分（Ⅱ）【解】如图，过点A 分别作,,BC C D BC ''的垂线，垂足分别为,,E F G ．∵ADC ADC '∠=∠，即点A 在C DC '∠的平分线上， ∴AE AF =．……13分 ∵90C BD '∠=，45ABC ∠=， ∴45GBA C BC ABC '∠=∠-∠=，即点A 在GBC ∠的平分线上，∴AG AE =．……16分 于是，AG AF =，则点A 在GC D '∠的平分线上．…………………………18分 又∵30BC D '∠=︒,有150GC D '∠=． ∴12AC D '∠=75GC D '∠=．∴C ∠75AC D '=∠=．………………………20分 （14）（本小题满分20分）（Ⅰ）如图（a ），在正方形ABCD 内，已知两个动圆1O 与2O 互相外切，且1O 与边AB 、AD 相切，2O 与边BC 、CD 相切．若正方形ABCD 的边长为1，1O 与2O 的半径分别为1r ，2r ．①求1r 与2r 的关系式；②求1O 与2O 面积之和的最小值．（Ⅱ）如图（b ），若将（Ⅰ）中的正方形ABCD 改为一个 宽为1，长为32的矩形，其他条件不变，则1O 与2O 面积的 和是否存在最小值，若不存在，请说明理由；若存在，请求出这个最小值． 【解】（Ⅰ）如图（a ），在正方形ABCD 中，连接AC ，显然1O 与2O 在AC 上， 且112AO r =，1212O O r r =+，222CO r =， 由11222AC AO O O CO =++=， ∴1122222r r r r +++=．∴1222r r +=-． ………………………5分BAC D 图（a ）1O2O1OACD图（a ）2O BBDC 'FGAC②根据题意，1r 12≤，2r 12≤，可得211222r r =--≤，即322-≤1r 12≤．∵1O 与2O 的面积之和2212π()S r r =+， ∴2211(22)πSr r =+--21122(22)642r r =--+- 21222()3222r -=-+-．这里，由322-≤222-12≤，…………8分 ∴当1222r -=时，1O 与2O 是等圆，其面积和的最小值为(322)π-． ……………………………………10分（Ⅱ）如图（b ），作辅助线，得到Rt △12O O P ， 则1212O O r r =+， 1121232O P AB r r r r =--=--， 212121O P BC r r r r =--=--．∵在Rt △12O O P 中，2221212O O O P O P =+， ∴2221212123()()(1)2r r r r r r +=--+--．即2121213()5()04r r r r +-++=． 解得12532r r +=+或12532r r +=-． 由于1235122r r +<+=，故12532r r +=+不合题意，应舍去． ∴12532r r +=-． ……………………………………15分 ∵1O 与2O 的面积之和2212π()S r r =+，而2221212()2r r r r ++≥，当且仅当12r r =时，等号成立，∴当12r r =时，1O 与2O 面积和存在最小值， 最小值为25(3)2π2-，即375(3)π82-． ……………………………………20分BCAD图（b ）2O1O。
培优专讲天津市南大附中初中数学竞赛内部讲义第讲平面直角坐标系部分含答案
第七讲：平面直角坐标系一、知识要点：1、特殊位置的点的特征（1）各个象限的点的横、纵坐标符号x(x,0),即纵坐标为0。
（2）坐标轴上的点的坐标：轴上的点的坐标为y(0,y)，即横坐标为0轴上的点的坐标为。
2、具有特殊位置的点的坐标特征P(x,y)P(x,y)设、221121?PPx?xy??yx。
、轴对称两点关于，且122211?Py?yPxx??y。
，且两点关于轴对称、122121?PPx??xy??y。
两点关于原点轴对称，且、1222113、距离y xx),y(x|；轴的距离为|）点A |；点A到到轴的距离：点A到轴的距离为|（1y（2）同一坐标轴上两点之间的距离：(0,y)(0,y)AB?|y?y|?,,(x0)(x0)AB?|xx|；，则B，则A；A、B、BABAABAB二、典型例题1、已知点M的坐标为（x，y），如果xy<0 , 则点M的位置( )(A)第二、第三象限(B)第三、第四象限(C)第二、第四象限(D)第一、第四象限－m，0Q（）在（），2．点P（m1）在第二象限内，则点A．x轴正半轴上B．x轴负半轴上C．y轴正半轴上D．y轴负半轴上3．已知点A（a，b）在第四象限，那么点B（b，a）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限－2）关于y1P4．点（，轴的对称点的坐标是（）- 1 - / 4－－－－2，1D．（）C．（1，A．（21，）2）B．（1，2）－－－－1）在第象限，x，y）在第二象限，那么点N（15．如果点M（1yx，1－－y）在第象限。
1，点Q（x16．如图是中国象棋的一盘残局，如果用(4，o)表示帅的位置，用(3，9)表示将的位置，那么炮的位置应表示为A．(8，7) B．(7，8) C．(8，9)D．(8，8)），0，0A、B、D的坐标分别为（7．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点的坐标为（）3）则顶点C5，0），（2，（）8，2，3）D．（7）B．（5，3）C．（7A．（3，x x一定（）），则点, P（8．已知点P 轴下方．不在xC．在x轴上方DA．在第一象限B．在第一或第四象限），则42，x轴，若点A的坐标为（－，并且ABCD中，AB=5，BC=8AB∥9．已知长方形－－－－。
2019年全国初中数学竞赛(天津赛区)初赛试卷解析版
12019年全国初中数学竞赛（天津赛区）初赛试卷一、选择题(每小题4分，共20分，每小题只有一个答案是正确的，答对的得3分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分.)1．若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足（a2012﹣c2012）（a2012﹣d2012）＝2012，（b2012﹣c2012）（b2012﹣d2012）＝2012，则（ab）2012﹣（cd）2012的值为（）A．﹣2012B．﹣2011C．2012D．20112．一个袋子中装有4个相同的小球，它们分别标有号码1，2，3，4．摇匀后随机取出一球，记下号码后放回；再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球，则第二次取出的球的号码不小于第一次取出的球的号码的概率为（）A．B．C．D．3．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝9，将其折叠，使点D与点B重合，得折痕EF，则EF的长为（）A．B．C．D．4．在正九边形ABCDEFGHI中，若对角线AE＝2，则AB+AC的值等于（）A．B．2C．D．5．有n个人报名参加甲、乙、丙、丁四项体育比赛活动，规定每人至少参加项比赛，至多参加2项比赛，但乙、丙两项比赛不能同时兼报，若在所有的报名方式中，必存在一种方式至少有20个人报名，则n的最小值等于（）A．171B．172C．180D．181二、填空题（每小题4分，共20分）.6．若，则的值为．7．若四条直线x＝1，y＝﹣1，y＝3，y＝kx﹣3所围成的凸四边形的面积等于12，则k的值为．8．如图，半径为r的⊙O沿折线ABCDE作无滑动的滚动，如果AB＝BC＝CD＝DE＝2πr，∠ABC＝∠CDE ＝150°，∠BCD＝120°，那么，⊙O自点A至点E转动了周．△9．如图，已知ABC中，D为BC中点，E，F为AB边三等分点，AD分别交CE，CF于点M，N，则AM：MN：ND等于．10．若平面内有一正方形ABCD，M是该平面内任意点，则的最小值为．三、解答题（每小题15分，共60分）.11．已知抛物线y＝x2+mx+n经过点（2，﹣1），且与x轴交于两点A（a，0）B（b，0），若点P为该抛物线的顶点，求使△P AB面积最小时抛物线的解析式．12．如图，分别以边长1为的等边三角形ABC的顶点为圆心，以其边长为半径作三个等圆，得交点D、E、F，连接CF交⊙C于点G，以点E为圆心，EG长为半径画弧，交边AB于点M，求AM的长．13．已知p与5p2﹣2同为质数，求p的值．14．已知关于x的不等式组的解集中的整数恰好有2个，求实数a的取值范围．【参考答案一、选择题1．【解答】解：设a2012与b2012看做方程（x﹣c2012）（x﹣d2012）＝2012的两个解，方程整理得：x2﹣（c2012+d2012）x+（cd）2012﹣2012＝0，则（ab）2012﹣（cd）2012＝，又x1x2＝（cd）2012﹣2012，则（ab）2012﹣（cd）2012＝＝（cd）2012﹣2012﹣（cd）2012＝﹣2012．故选：A．2．解答】解：可以分四种情况讨论：若第一次抽出1号球，则第二次抽出任一球都可满足条件，概率为＝；若第一次抽出2号球，则第二次抽出2，3，4号球可满足要求，概率为＝；若第一次抽出3号球，则第二次抽出3，4号球可满足要求，概率为若第一次抽出4号球，则第二次抽出4号球可满足要求，概率为则第二次取出的球的号码不小于第一次取出的球的号码的概率为故选：D．3．【解答】解：如右图所示，∵四边形EDCF折叠后得到四边形EBCF，∴∠1＝∠2，BE＝DE，∵四边形ABCDE是矩形，∴AD∥BC，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴BF＝BE，设AE＝x，那么BE＝9﹣x，在△Rt BAE中，AB2+AE2＝BE2，即32+x2＝（9﹣x）2，解得x＝4，＝；＝；＝；∴BE＝5，过点E作EG⊥BC于G，∵EG⊥BC，∴∠BGE＝∠A＝∠ABG＝90°，∴四边形ABGE是矩形，∴GF＝BF﹣BG＝5﹣4＝1，EG＝AB＝3，在△Rt EGF中，EF2＝EG2+GF2，＝10，∴EF＝故选：C．．4．【解答】解：如图，设O为正九边形ABCDEFGHI的中心，连接OE、OA，则∠AOE＝×4＝160°，∴∠OEA＝10°，又易得∠OED＝70°，∴∠DEA＝60°，在AE上截取EP＝ED，连接DP、PC，∵∠PDC＝140°﹣60°＝80°，∴，∴∠CP A＝70°，又∵∠CAP＝∠BAP﹣∠BAC＝40°，∴∠CAP＝70°，∴AC＝AP，又∵AB＝DE＝EP，∴AE＝AB+AC＝2．故选：B．5．【解答】解：对于一个人来说，他的报名方式有两种：报一项或两项，报一项比赛的方式有4种，报两项比赛的方式有种，故可得：每个人报名方式有9种，又题目要求要求有20人相同，故可以让每一种方式都有19个人，然后只要任意一种再加一个人即可，所以n min＝19×9+1＝172．故选：B．二、填空题6．【解答】解：平方得：，展开后，∴∴即∴，，，+＝2或﹣2（舍去）∴x2﹣＝（x+）（+）（﹣）＝﹣24，故答案为：﹣24．7．【解答】解：在y＝kx﹣3中，令y＝﹣1，解得x＝；令y＝3，x＝；当k＜0时，四边形的面积是：[（1﹣）+（1﹣）]×4＝12，解得k＝﹣2；当k＞0时，可得[（﹣1）+（﹣1）]×4＝12，解得k＝1．即k的值为﹣2或1；故答案为：﹣2或1．8．【解答】解：圆的周长是2πr，AB+BC+CD+DE＝8πr，则8πr÷2πr＝4．经过点B从AB到BC时，从与AB相切到与BC相切转动了一个∠ABC补角的度数即180﹣150＝30°，同理C、D两点都要转一个补角度数，总共转了30°，60°，则在三个点处转动了30°+30°+60°＝120°，即周．在⊙O自点A至点E转动了4+＝4周．故答案是：4．9．【解答】解：如图，作PD∥BF，QE∥BC，∵D为BC的中点，∴PD：BF＝1：2，∵E，F为AB边三等分点，∴PD：AF＝1：4，∴DN：NA＝PD：AF＝1：4，∴ND＝AD，AQ：AD＝QE：BD＝AE：AB＝1：3，AD＝AD，∴AQ＝AD，QM＝QD＝∴AM＝AQ+QM＝AD，MN＝AD﹣AM﹣ND＝AD∴AM：MN：ND＝5：3：2．故答案为5：3：2．10．【解答】解：过点M作MF⊥AD交AD的延长线与点F，作ME垂直BC交BC的延长线与点E，如图，∵MA2+MC2＝MF2+AF2+ME2+CE2，MB2+MD2＝BE2+ME2+DF2+FM2，DF＝CE，AF＝BE，∴MA2+MC2＝MB2+MD2，又∵AC2＝MA2+MC2﹣2MA•MC•cos∠AMC，BD2＝MB2+MD2﹣2MB•MD•cos∠BMD，AC＝BD，∴MA•MC•cos∠AMC＝MB•MD•cos∠BMD，，∵又∵MA2+MC2＝MB2+MD2，，∴当重合时，此时故答案为：＝最小时，这个值最小，所以当∠BMD＝90°，∠AMC＝0°时最小，即点M与点A、C．．三、解答题11．【解答】解：由题意知4+2m+n＝﹣1，即n＝﹣2m﹣5，∵A（a，0）、B（b，0）两点在抛物线y＝x2+mx+n上，∴a+b＝﹣m，ab＝n，又∵|AB|＝|a﹣b|＝x2+mx+n经过（2，﹣1），代入得，n＝﹣2m﹣5，∴，P点纵坐标为＝，，可见，当m＝﹣4时△S P AB最小，解析式为y＝x2﹣4x+3．12．【解答】解：如图，过点E作EP⊥AB，连接EA、EC、EM．∵在⊙C中，EC＝AC；在⊙A中，AE＝AC，∴EC＝AC＝AE，∴△EAC为正三角形；同理证得△ABC为正三角形，则∠ECA＝∠CAB＝60°，∴EC∥AB，又∵由相交两圆的性质得：CG⊥AB，∴EC⊥CG，∴EM＝EG＝∵∠EAP＝60°，＝，∴EP＝，AP＝，PM＝＝，∴AM＝PM﹣AP＝﹣1．13．【解答】解：∵5p2﹣2＝5p2﹣5+3＝5（p+1）（p﹣1）+3，①当p+1＝3n（n≥1），即p＝3n﹣1时，3|5（p+1）（p﹣1）+3，即5p2﹣2为合数，不符合题意；②当p﹣1＝3n（n≥1），即p＝3n+1时，3|5（p+1）（p﹣1）+3，即5p2﹣2为合数，不符合题意；③当p＝3n（n≥2）时，p为合数，不符合题意；∴p只能取3，当p＝3时，5p2﹣2＝43为质数符合题意，∴p＝3．14．【解答】解：不等式组可以化为：，即＜x＜a+1．满足原不等式组的解集中的整数恰好有2个，只需（k为整数），即（k为整数）（1）只需关于整数k的不等式组解得：1＜k≤4，得k＝2，3，4．有解．当k＝2时，代入（1），有，解得：3＜a＜4；当k＝3时，代入（1）得：，解得：4＜a≤5；当k＝4时，代入（1）得：，解得：a＝6．所以，3＜a＜4或4＜a≤5或a＝6即为所求．。
2010年天津市初中数学竞赛初赛试题-推荐下载
2010年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（1）计算的值为（）．2222010200920102009201122009--⨯+⨯（A ）1 （B ） （C ）2 009（D ）2 0101-【解】选A ．原式．22222222010200920102009120102009(20112)20102009--===---（2）如图，是一个正方体的表面展开图，正方体的每个面都标注了字母．在展开前，与标注字母的面相对的面内标注的字母为（）．a （A ） （B ）b d （C ） （D ）e f 【解】选B ．（3）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，E 是AD 的中点，,6AB BC CD ++=，则梯形ABCD 的面积等于（）．BE =（A ）13（B ）8（C ） （D ）4132【解】选D ．如图，过点E 作交BC 于点F ，//EF AB 则,,12BF BC =11()(6)22EF AB CD BC =+=-又∵,∴BC AB ⊥EF BC⊥∴在Rt △中，．BFE 222EF BF BE +=∴，即，22211[(6)]()22BC BC -+=2680BC BC -+=解得 或，则或,2BC =4BC =2EF =1EF =第（2）题A BCDEFABC DE第（3）题∴ ．4ABCDS EF BC =⋅=四四（4）某个一次函数的图象与直线平行，与轴，轴的交点分别为132y x =+x y A ，B ，并且过点（，），则在线段上（包括点A ，B ），横、纵坐标都是整数的2-4-AB 点有（ ）．（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个【解】选B ．根据题意，设一次函数的解析式为，12y x b =+由点（，）在该函数图象上，得，解得．2-4-14(2)2b -=⨯-+3b =-所以，．可得点A （6，0），B （0，）．132y x =-3-由，且为整数，取时，对应的是整数．06x ≤≤x 0,2,4,6x =y 因此，在线段上（包括点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有4个．AB （5）如图，一个半径为的圆形纸片在边长为（）的等边三角形内任ra a ≥意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）．（A ） （B2π3r 2（C ）（D ）2π)r -2πr 【解】选C ．如图，当圆形纸片运动到与的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心作两边A ∠1O 的垂线，垂足分别为D ，E ，连，则Rt △中，，，1AO 1ADO 130O AD∠=︒1O D r =．AD =∴．有．12112ADO SO D AD ∆=⋅=1122ADO ADO ES S ∆==四四四∵由题意，，得，1120DO E ∠= 12π3O DES r =四四∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为22π3)3r -四2π)r =-第（5）题AC二、填空题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（6）如图，有五张点数分别为2，3，7，8，9的扑克牌，从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为 ．【解】．710根据题意，当不考虑抽牌顺序时，可以画出如下的树形图从上图可以看出，从五张牌中任意抽取两张，共有10种抽法，其中抽取的点数之积是偶数的有7种，所以点数之积是偶数的概率．710P =（7）如图，是一个树形图的生长过程，自上而下，一个空心圆生成一个实心圆，一个实心圆生成一个实心圆和一个空心圆，依此生长规律，第9行的实心圆的个数是 ．【解】21个．观察图形规律，可得，从第3行起，每行中的实心圆的个数都是上两行实心圆个数的和．于是，第7行实心圆的个数为358（个）；+=第8行实心圆的个数为5813（个）；+=第9行实心圆的个数为81321（个）．+=（8）如图，在△ABC 中，中线CM 与高线点数之积378962141618378921242756789638972第（6）题123456……第（7）题C ABDMNCD 三等分，则等于 （度）.ACB ∠B ∠【解】.30︒根据题意，可得，，.CD AB ⊥AM MB =ACD MCD BCM ∠=∠=∠∵，，,ACD MCD ∠=∠CD CD =90CDA CDM ∠=∠=︒∴△△. ∴.ACD ≅MCD ∠12AD DM AM ==过点作于点N ,M MN BC ⊥∵,,,DCM NCM ∠=∠CM CM =90CDM CNM ∠=∠=︒∴△△. ∴.DCM ≅NCM ∠DM NM =于是，∴在Rt △中，.12NM MB =MNB 30B ∠=︒（9）有个连续的自然数1，2，3，…，，若去掉其中的一个数后，剩下的数n n x 的平均数是16，则满足条件的和的值分别是 .n x （参考公式：）2)1(321+=++++=n n n S n 【解】，；，；，.30n =1x =31n =16x =32n =32x =由已知，个连续的自然数的和为.n (1)2n n n S +=若，剩下的数的平均数是 ；x n =12n S n nn -=-若，剩下的数的平均数是 ，1x =1112n S nn -=+-故，解得 .16122nn+≤≤3032n ≤≤当时，，解得；30n =30(301)29162x ⨯+⨯=-1x =当时，，解得；31n =31(311)30162x ⨯+⨯=-16x =当时，，解得.32n =32(321)31162x ⨯+⨯=-32x =（10）母亲节到了，小红，小莉，小莹到花店买花送给自己的母亲.小红买了3枝玫瑰，7枝康乃馨，1枝百合花，付了14元；小莉买了4枝玫瑰，10枝康乃馨，1枝百合花，付了16元；小莹买上面三种花各2枝，则她应付元．【解】20．方法一：设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为元，元，元，x y z 根据已知条件，列出方程组3714,41016.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩消去，得．③z 23x y =-将③代入①，得．④82z y =+由③，④得 ．有 ．所以，小莹应付20元．10x y z ++=2()20x y z ++=方法二：，(37)(410)2()m x y z n x y z x y z +++++=++．(34)(710)()222m n x m n y m n z x y z +++++=++∴ 解得342,7102,2.m n m n m n +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩4,6.n m =-⎧⎨=⎩∴．2()6(37)4(410)61441620x y z x y z x y z ++=⨯++-++=⨯-⨯=三、解答题（本大题共4小题，每小题满分20分，共80分）（11）（本小题满分20分）已知，抛物线（）经过、2y ax bx c =++0≠a A B 图中的曲线是它的一部分．根据图中提供的信息，（Ⅰ）确定，，的符号；a b c （Ⅱ）当变化时，求的取值范围．b a b c ++【解】（Ⅰ）如图，由抛物线开口向上，得．……0a >由抛物线过点，得．……6分(0,1)-10c =-<由抛物线对称轴在轴的右侧，得，又 ，得．y 02ba->0a >0b <∴，，．……………………………………10分0a >0b <0c <（Ⅱ）由抛物线过点，得．(1,0)-0a b c -+=即，由，得．……………………………………16分1a b =+0a >1b >-∴，∴．10b -<<(1)12a b c b b b ++=++-=①②∴．……………………………………20分20a b c -<++<（12）（本小题满分20分）设直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为．若均为整数，且,a b c ,,a b c ，求满足条件的直角三角形的个数．1()3c ab a b =-+【解】由勾股定理，得． ……………………………………3分222c a b =+又，得．1()3c ab a b =-+2222112[()]()()()393c ab a b ab ab a b a b =-+=-+++即．2222212()()293a b ab ab a b a ab b +=-++++整理，得．即． ………………………8分6()180ab a b -++=(6)(6)18a b --=因为均为正整数，不妨设，,a b a b <可得或或61,618,a b -=⎧⎨-=⎩62,69,a b -=⎧⎨-=⎩63,6 6.a b -=⎧⎨-=⎩可解出或或7,24,25,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩8,15,17,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩9,12,15.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，满足条件的直角三角形有3个．……………………………………20分（13）（本小题满分20分）如图，在△中，，点在边ABC 45ABC ∠= D 上，，且．将△以BC 60ADC ∠= 12BD CD =ACD 直线为轴做轴对称变换，得到△，连接，AD AC D 'BC '（Ⅰ）求证；BC BC '⊥（Ⅱ）求的大小．C ∠（Ⅰ）【证明】∵△是△沿做轴对称变换得到的，AC D 'ACD AD ∴△≌△.AC D 'ACD 有，．………………3分C D CD '=ADC ADC '∠=∠∵，，12BD CD =60ADC ∠= ABCDC 'ABCDC 'PBC图（b ）∴，．……5分12BD C D '=18060BDC ADC ADC ''∠=-∠-∠= 取中点P ，连接，则△为等边三角形，△为等腰三角形，…8分C D 'BP BDP BC P '有．∴，即． (10)113022BC D BPD BDC ''∠=∠=∠=︒90C BD '∠= BC BC '⊥分（Ⅱ）【解】如图，过点分别作的垂线，垂足分别为．A ,,BC C D BC '',,E F G ∵，ADC ADC '∠=∠即点在的平分线上，A C DC '∠∴．……13分AE AF =∵，，90C BD '∠= 45ABC ∠= ∴，45GBA C BC ABC '∠=∠-∠= 即点在的平分线上，∴．……16分A GBC ∠AG AE =于是，，则点在的平分线上．…………………………18分AG AF =A GC D '∠又∵,有．30BC D '∠=︒150GC D '∠= ∴．∴．………………………20分12AC D '∠=75GC D '∠= C ∠75AC D '=∠= （14）（本小题满分20分）（Ⅰ）如图（），在正方形内，已知两个动圆与互相外切，且a ABCD 1O A 2O A 与边AB 、AD 相切，与边BC 、CD 相切．若正方形的边长为1，1O A 2O A ABCD 与的半径分别为，．1O A 2O A 1r 2r ①求与的关系式；1r 2r ②求与面积之和的最小值．1O A 2O A （Ⅱ）如图（b ），若将（Ⅰ）中的正方形改为一个ABCD 宽为1，长为的矩形，其他条件不变，则与面积的321O A 2O A 和是否存在最小值，若不存在，请说明理由；若存在，请求出这个最小值．BA图（a ）C【解】（Ⅰ）如图（），在正方形ABCD 中，连接，显然与在上，a AC 1O 2O AC 且，，，1AO =1212O O r r =+22CO 由，1122AC AO O O CO =++=．122r r +++=∴………………………5分122r r +=-②根据题意，，，1r 12≤2r 12≤可得，即．21122r r =-≤321r 12≤∵与的面积之和，1O A 2O A 2212π()S r r =+∴2211(2)πSr r =+-21122(26rr =-+-．这里，由， (8)分212(3r =-+-3212≤∴当时，与是等圆，其面积和的最小值为．1r =1O A 2O A (3π-……………………………………10分（Ⅱ）如图（b ），作辅助线，得到Rt △，12O O P 则，1212O O r r =+，1121232O P AB r r r r =--=--．212121O P BC r r r r =--=--∵在Rt △中，，12O O P 2221212O O O P O P =+∴．2221212123()()(1)2r r r r r r +=--+--即．2121213()5()04r r r r +-++=AD图（a）A图（b ）解得1252r r +=1252r r +=由于，故1235122r r +<+=1252r r +=+∴ ……………………………………15分1252r r +=∵与的面积之和，1O A 2O A 2212π()S r r =+而，当且仅当时，等号成立，2221212()2r r r r ++≥12r r =∴当时，与面积和存在最小值，12r r =1O A 2O A ，即．37(π8……………………………………20分。
2019年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题(含答案)
全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷一、选择题⑴若四个互不相等的正实数,,c,a b d 满足()()20122012201220122012a c a d --=，()()20122012201220122012bc bd --=，则()()20122012ab cd -的值为（）()A 2012- ()B 2011- ()C 2012 ()D 2011⑵一个袋子中装有4个相同的小球，它们分别标有号码1,2,3,4.摇匀后随机取出一球，记下号码后放回；再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球，则第二次取出的球的号码不小于第一次取出的球的号码的概率为（）()A 14 ()B 38 ()C 12 ()D 58 ⑶如图，矩形纸片ABCD 中，3AB =，9AD =，将其折叠，使点D 与点B 重合，得折痕EF ，则EF 的长为（）（A ）3（B ）23（C ）10（D ）3102⑷在正就变形ABCDEFGHI 中，若对角线2AE =,则AB AC +的值等于（） （A 3B ）2（C ）32（D ）52⑸有n 个人报名参加甲、乙、丙、丁四项体育比赛活动，规定每人至少参加 1 项比赛，至多参加2项比赛，但乙、丙两项比赛不能同时兼报，若在所有的报名方式中，必存在一种方式至少有20个人报名，则n 的最小值等于 （ ）(A ) 171 (B ) 172 (C ) 180 (D ) 181二、填空题2x x=-，则221x x -的值为⑺若四条直线1,1,3,3x y y y kx ==-==-所围成的凸四边形的面积等于12，则k 的值为__________.⑻如图，半径为r 的O 沿折线ABCDE 作无滑动的滚动，如果2AB BC CD DE r π====，150,120ABC CDE BCD ∠=∠=∠=，那么，O 自点A 至点E 转动了__________周.(9)如图，已知ABC△中，D为BC中点，,E F为AB边三等分点，AD分别交,CE CF于点,M N，则::AM MN ND等于_______.(10)若平面内有一正方形ABCD，M是该平面内任意点，则MA MCMB MD++的最小值为______.三、解答题⑾已知抛物线2y=x+mx+n经过点(2,-1)，且与x轴交于两点A(a,0) B(b,0)，若点P为该抛物线的顶点，求使PAB△面积最小时抛物线的解析式。
2012年全国初中数学竞赛天津赛区初赛
叠使点 Ｄ与点 曰 重 合 ，得 折 痕 Ｅ 则 Ｅ 的长 Ｆ 为（ ） ． （ √ Ａ）３
（ ２ Ｂ）
（ ｃ） （ Ｄ）
图２
图３
图１
９如图 ３在Ａ Ａ Ｃ中， ． ， Ｂ 已知 Ｄ 为边 Ｂ Ｃ 的中点 ， 、 Ｅ Ｆ为边 Ａ Ｂ的三等分点 ，Ｄ分别 Ａ 与 Ｃ 、 Ｆ交 于点 Ｍ、 ．则 Ａ Ｍ ： Ｄ＝ ＥＣ Ⅳ Ｍ： Ｎ Ｎ １． 平 面 内 有 一 正 方 形 Ａ Ｃ Ｍ 是 Ｏ若 Ｂ Ｄ， 该平 面 内任 意 点 ， Ｍ Ｍ Ｃ的 最 小 值 为 ￣ Ａ＋
＝ＤＥ ＝ ２ ７ ｒ． ｃ Ａ ＢＣ ＝ Ｃ ＤＥ ＝ １ ０。 ５ ，
号 码不 小 于 第 一 次 取 出球 的 号 码 的概 率 为 （ ） ．
Ｂ Ｄ＝１０ ， ｏ０ 自点 Ａ至 点 Ｅ转 动 了 Ｃ ２ 。则
周．
（÷ Ｂ （ （詈 Ａ （詈 ｃ Ｄ ） ） ） ）
ｌ ｘ～２ ＞口 ２
Ｄ＝肋＝ Ｇ丢
得 Ｅ Ｇ：￣Ｄ ２— Ｇ ／ Ｅ － ２： — Ｄ
＝＃ ， ３＇ ２ － １ － ０
．
的解集中的整数恰好有两个．求实数 口的取 值范 围．
参 考 答 案
— —
所 以 ， Ｆ＝ Ｅ Ｅ ２ Ｇ＝，ｌ ／Ｏ．
４．Ｂ．
、
１． Ａ．
三、 解答题（ 每小题 ２ 分 ， ８ 分） ０ 共 ０ ｌ． １ 已知 抛 物 线 ｙ＝ ＋ ＋，经 过 点 ｌ （ ， ）且 与 轴 交 于 （ ， ）Ｂ（ ， 两 ２ 一１ ， 口０ 、 ｂ０） 点．若 Ｐ为该抛物线的顶点， 求使Ａ Ｐ Ｂ面 Ａ 积最 小 时抛物线 的解 析式．
2010年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷参考答案及评分标准
2010年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分） （1）计算2222010200920102009201122009--⨯+⨯的值为（ ）．（A ）1 （B ）1- （C ）2 009 （D ）2 010【解】选A ．原式22222222010200920102009120102009(20112)20102009--===---． （2）如图，是一个正方体的表面展开图，正方体的每个面都标注了字母．在展开前，与标注字母a 的面相对的面内标注的字母为（ ）．（A ）b （B ）d （C ）e （D ）f 【解】选B ．（3）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，E 是AD 的中点，6AB BC CD ++=,BE =ABCD 的面积等于（ ）．（A ）13 （B ）8 （C ）132（D ）4 【解】选D ．如图，过点E 作//EF AB 交BC 于点F ，则12BF BC =,11()(6)22EF AB CD BC =+=-, 又∵BC AB ⊥,∴EF BC ⊥ ∴在Rt △BFE 中，222EF BF BE +=．∴22211[(6)]()22BC BC -+=，即2680BC BC -+=，解得 2BC =或4BC =，则2EF =或1EF =, ∴ 4ABCD S EF BC =⋅=梯形．第（2）题ABC D EF ABCD E 第（3）题（4）某个一次函数的图象与直线132y x =+平行，与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，并且过点（2-，4-），则在线段AB 上（包括点A ，B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ）．（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 【解】选B ．根据题意，设一次函数的解析式为12y x b =+， 由点（2-，4-）在该函数图象上，得14(2)2b -=⨯-+，解得3b =-．所以，132y x =-．可得点A （6，0），B （0，3-）． 由06x ≤≤，且x 为整数，取0,2,4,6x =时，对应的y 是整数． 因此，在线段AB 上（包括点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有4个．（5）如图，一个半径为r 的圆形纸片在边长为a（a ≥）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）．（A ）2π3r（B2（C）2π)r （D ）2πr 【解】选C ．如图，当圆形纸片运动到与A ∠的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心1O 作两边的垂线，垂足分别为D ，E ，连1AO ，则Rt △1ADO 中，130O AD ∠=︒，1O D r =，AD =．∴12112ADO S O D AD ∆=⋅=．有1122ADO ADO E S S ∆=四形形．∵由题意，1120DO E ∠=，得12π3O DE S r =扇形，∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为22π3)3r -2π)r =二、填空题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（6）如图，有五张点数分别为2，3，7，8，9的扑克牌，从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为 ． 第（5）题CABDMNCABDM第（8）题【解】710． 根据题意，当不考虑抽牌顺序时，可以画出如下的树形图从上图可以看出，从五张牌中任意抽取两张，共有10种抽法，其中抽取的点数之积是偶数的有7种，所以点数之积是偶数的概率710P =． （7）如图，是一个树形图的生长过程，自上而下，一个空心圆生成一个实心圆，一个实心圆生成一个实心圆和一个空心圆，依此生长规律，第9行的实心圆的个数【解】21个．观察图形规律，可得，从第3行起，每行中的实心圆的个数都是上两行实心圆个数的和．于是，第7行实心圆的个数为3+5=8（个）； 第8行实心圆的个数为5+8=13（个）； 第9行实心圆的个数为8+13=21（个）． （8）如图，在△ABC 中，中线CM 与高线 CD 三等分ACB ∠，则B ∠等于 （度）.【解】30︒.根据题意，可得CD AB ⊥，AM MB =，ACD MCD BCM ∠=∠=∠. ∵ACD MCD ∠=∠，CD CD =，90CDA CDM ∠=∠=︒,∴△ACD ≅△MCD ∠. ∴12AD DM AM ==.点数之积 3 7 8 9 6 2 14 16 183 7 8 9 21 24 27 56 7 8 963 8 9 72 1行2行3行4行5行 6行……第（7）题过点M 作MN BC ⊥于点N ,∵DCM NCM ∠=∠,CM CM =,90CDM CNM ∠=∠=︒, ∴△DCM ≅△NCM ∠. ∴DM NM =.于是12NM MB =，∴在Rt △MNB 中，30B ∠=︒.（9）有n 个连续的自然数1，2，3，…，n ，若去掉其中的一个数x 后，剩下的数的平均数是16，则满足条件的n 和x 的值分别是 .（参考公式：2)1(321+=++++=n n n S n ） 【解】30n =，1x =；31n =，16x =；32n =，32x =. 由已知，n 个连续的自然数的和为(1)2n n n S +=. 若x n =，剩下的数的平均数是12n S n nn -=-； 若1x =，剩下的数的平均数是 1112n S nn -=+-，故16122n n+≤≤，解得 3032n ≤≤. 当30n =时，30(301)29162x ⨯+⨯=-，解得1x =； 当31n =时，31(311)30162x ⨯+⨯=-，解得16x =； 当32n =时，32(321)31162x ⨯+⨯=-，解得32x =. （10）母亲节到了，小红，小莉，小莹到花店买花送给自己的母亲.小红买了3枝玫瑰，7枝康乃馨，1枝百合花，付了14元；小莉买了4枝玫瑰，10枝康乃馨，1枝百合花，付了16元；小莹买上面三种花各2枝，则她应付 元．【解】20．方法一：设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为x 元，y 元，z 元， 根据已知条件，列出方程组3714,41016.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩消去z ，得23x y =-． ③ 将③代入①，得82z y =+．④①②由③，④得 10x y z ++=．有 2()20x y z ++=． 所以，小莹应付20元． 方法二：(37)(410)2()m x y z n x y z x y z +++++=++，(34)(710)()222m n x m n y m n z x y z +++++=++．∴342,7102,2.m n m n m n +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得4,6.n m =-⎧⎨=⎩∴2()6(37)4(410)61441620x y z x y z x y z ++=⨯++-++=⨯-⨯=． 三、解答题（本大题共4小题，每小题满分20分，共80分） （11）（本小题满分20分） 已知，抛物线2y ax bx c =++（0≠a ）经过A 、B图中的曲线是它的一部分．根据图中提供的信息， （Ⅰ）确定a ，b ，c 的符号； （Ⅱ）当b 变化时，求a b c ++的取值范围． 【解】（Ⅰ）如图，由抛物线开口向上，得0a >．……由抛物线过点(0,1)-，得10c =-<． ……6分由抛物线对称轴在y 轴的右侧，得02ba->，又 0a >，得0b <． ∴0a >，0b <，0c <． ……………………………………10分 （Ⅱ）由抛物线过点(1,0)-，得0a b c -+=．即1a b =+，由0a >，得1b >-． ……………………………………16分 ∴10b -<<，∴(1)12a b c b b b ++=++-=．∴20a b c -<++<． ……………………………………20分 （12）（本小题满分20分）设直角三角形的两条直角边长分别为,a b ，斜边长为c ．若,,a b c 均为整数，且1()3c ab a b =-+，求满足条件的直角三角形的个数．【解】由勾股定理，得222c a b =+． ……………………………………3分又1()3c ab a b =-+，得2222112[()]()()()393c ab a b ab ab a b a b =-+=-+++．即2222212()()293a b ab ab a b a ab b +=-++++．整理，得6()180ab a b -++=．即(6)(6)18a b --=． ………………………8分因为,a b 均为正整数，不妨设a b <， 可得61,618,a b -=⎧⎨-=⎩或62,69,a b -=⎧⎨-=⎩或63,6 6.a b -=⎧⎨-=⎩可解出7,24,25,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或8,15,17,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或9,12,15.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，满足条件的直角三角形有3个． ……………………………………20分（13）（本小题满分20分） 如图，在△ABC 中，45ABC ∠=，点D 在边BC 上，60ADC ∠=，且12BD CD =．将△ACD 以直线AD 为轴做轴对称变换，得到△AC D '，连接BC '，（Ⅰ）求证BC BC '⊥； （Ⅱ）求C ∠的大小．（Ⅰ）【证明】∵△AC D '是△ACD 沿AD 做轴对称变换得到的，∴△AC D '≌△ACD .有C D CD '=，ADC ADC '∠=∠．………………3分∵12BD CD =，60ADC ∠=，∴12BD C D '=，18060BDC ADC ADC ''∠=-∠-∠=．……5分取C D '中点P ，连接BP ，则△BDP 为等边三角形，△BC P '为等腰三角形，…8分有113022BC D BPD BDC ''∠=∠=∠=︒．∴90C BD '∠=，即BC BC '⊥． ……10分（Ⅱ）【解】如图，过点A 分别作,,BC C D BC ''的垂线，垂足分别为,,E F G ．∵ADC ADC '∠=∠，即点A 在C DC '∠的平分线上， ∴AE AF =．……13分 ∵90C BD '∠=，45ABC ∠=， ∴45GBA C BC ABC '∠=∠-∠=，即点A 在GBC ∠的平分线上，∴AG AE =．……16分ABC DC 'ABDC 'PBDC 'FGABC图（b ）于是，AG AF =，则点A 在GC D '∠的平分线上．…………………………18分 又∵30BC D '∠=︒,有150GC D '∠=． ∴12AC D '∠=75GC D '∠=．∴C ∠75AC D '=∠=．………………………20分 （14）（本小题满分20分）（Ⅰ）如图（a ），在正方形ABCD 内，已知两个动圆1O 与2O 互相外切，且1O 与边AB 、AD 相切，2O 与边BC 、CD 相切．若正方形ABCD 的边长为1，1O 与2O 的半径分别为1r ，2r ．①求1r 与2r 的关系式；②求1O 与2O 面积之和的最小值．（Ⅱ）如图（b ），若将（Ⅰ）中的正方形ABCD 改为一个宽为1，长为32的矩形，其他条件不变，则1O 与2O 面积的 和是否存在最小值，若不存在，请说明理由；若存在，请求出 这个最小值．【解】（Ⅰ）如图（a ），在正方形ABCD 中，连接AC ，显然1O 与2O 在AC 上， 且1AO =，1212O O r r =+，22CO =， 由1122AC AO O O CO=++=，122r r +++=∴122r r += ………………………5分②根据题意，1r 12≤，2r 12≤，可得21122r r =≤，即321r 12≤．∵1O 与2O 的面积之和2212π()S r r =+，B图（a ）图（a ）∴2211(2)πSr r =+21122(26r r =-+-212(3r =-+-32-12≤，…………8分∴当1r =时，1O 与2O是等圆，其面积和的最小值为(3π-． ……………………………………10分（Ⅱ）如图（b ），作辅助线，得到Rt △12O O P ， 则1212O O r r =+，1121232O P AB r r r r =--=--， 212121O P BC r r r r =--=--．∵在Rt △12O O P 中，2221212O O O P O P =+，∴2221212123()()(1)2r r r r r r +=--+--．即2121213()5()04r r r r +-++=．解得1252r r +=+1252r r += 由于1235122r r +<+=，故1252r r +=∴1252r r +=……………………………………15分 ∵1O 与2O 的面积之和2212π()S r r =+，而2221212()2r r r r ++≥，当且仅当12r r =时，等号成立，∴当12r r =时，1O 与2O 面积和存在最小值，最小值为25(2π2-，即37(π8-． ……………………………………20分图（b ）。
塘沽一中数学竞赛初中试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列数中，既是质数又是偶数的是（）A. 2B. 3C. 4D. 52. 如果一个数的平方是25，那么这个数可能是（）A. 5B. -5C. 25D. ±53. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等边三角形C. 长方形D. 梯形4. 小明把一些相同的苹果分给同学们，每人分得2个，还剩4个；如果每人分得3个，还剩1个。
那么小明至少有多少个苹果？（）A. 10B. 11C. 12D. 135. 下列代数式中，合并同类项后得到2x的是（）A. x + x + x + x + xB. 2x - x + x - xC. 3x + 2x - 2xD. 4x - 2x + 2x二、填空题（每题5分，共25分）6. 一个数的3倍减去8等于5，这个数是______。
7. 如果a + b = 10，那么a - b的最大值是______。
8. 下列分数中，分子与分母互质的是______。
9. 一个长方体的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，那么它的体积是______cm³。
10. 在直角坐标系中，点P（-2，3）关于x轴的对称点是______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. （10分）解方程：2(x - 3) = 5x + 1。
12. （10分）计算：(-3)² - (-2) × (-4)。
13. （10分）一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，求这个三角形的周长。
四、应用题（每题15分，共30分）14. （15分）某校组织学生参加植树活动，共有5个班级参加。
如果每个班级植树10棵，那么还剩20棵；如果每个班级植树15棵，那么刚好够用。
求这个学校共有多少棵树？15. （15分）某工厂生产一批产品，原计划每天生产100件，用10天完成。
后来由于生产效率提高，实际每天生产120件，结果比原计划提前2天完成任务。
天津初中数学竞赛
天津市初中数学竞赛试卷一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．若x=a-b a+b，且a≠0，则b a等于（ ） A ．1-x 1+xB ．1+x 1-xC ．x-1 x+1D ．x+1 x-1显示解析2．如图，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等．如果13、9、3对面的数分别为a 、b 、c ，则a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值等于（ ） A ．48 B ．76C ．96D ．152显示解析3．已知一个三角形的三条边长均为正整数．若其中仅有一条边长为5，且它又不是最短边，则满足条件的三角形个数为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10显示解析4．如图．在▱ABCD 中，若边AB 上的两点E 、F 满足AE=EF=FB ．CEA ．2b=a+c B．b=a+cC．1c=1a+1bD．1c=1a+1b★☆☆☆☆显示解析6．已知a、b都是正整数，且抛物线y=ax2+bx+l与x轴有两个不同的交点A、B．若A、B到原点的距离都小于1，则a+b的最小值等于（）A．16B．10C．4D．1显示解析二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）7．已知关于x的方程x2+2px+1=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数p的取值范围是．显示解析8．有甲、乙两人，甲在汽车上碰见乙正往相反的方向走去1min后，甲下车去追赶乙．若甲的速度是乙的速度的2倍，但比汽车的速度慢4/5，则自甲下车后追上乙所用的时间为min．显示解析9．如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE=2（AB+AD）．如果∠D=120°，则∠B等于．显示解析10．如果一个凸n边形恰有4个内角是钝角，那么，这个多边形的边数n最多为．显示解析11．若在4×4的方格表的16个方格中，每个方格填入一个数，使得每个方格的所有相邻方格中的数的总和均为l（注：相邻方格是指恰有一条公共边的），则方格表中16个数的总和等于．显示解析三、解答题（共3小题，满分60分）12．已知二次函数y=a（a+1）x2-（2a+1）x+1，其中a为正整数．（1）若函数y的图象与x轴相交于A、B两点，求线段AB的长；（2）若a依次取1，2，…，2005时，函数y的图象与x轴相交所截得的2005条线段分别为A1B1，A2 B2，…，A2005 B2005，试求这2005条线段长之和．显示解析13．已知p、g、2q-1p、2p-1q都是整数，且p＞1，q＞1．求p+q的值．显示解析14．如图．△ABC内接于⊙O，AC＞BC，点D为AB的中点．求证：AD2=AC•BC+CD2．显示解析（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
天津市初中奥数
天津市初中奥数
天津市初中奥数是指天津市初中生参加的奥林匹克数学竞赛。
奥数是指数学奥林匹克竞赛，是一种高水平的数学竞赛活动，旨在培养学生的数学兴趣、创造力和解决问题的能力。
天津市初中奥数是天津市教育局组织的一项重要学科竞赛活动，旨在选拔和培养数学方面的优秀学生，为他们提供更多的学习和发展机会。
参加天津市初中奥数的学生需要具备较高的数学素养和解题能力，通过参与奥数比赛可以锻炼他们的思维能力和团队合作精神。
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天津市初中数学竞赛试卷
一、选择题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）
1．若 x=
a-b a+b
，且 a≠0，则
b a
等于（ A． ） B． C． D．
1-x 1+x
显示解析
1+x 1-x
x-1 x+1
x+1 x-1
2．如图，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等．如果 13、9、3 对面的数分别为 a、b、c，则 a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值等于（ A．48 显示解析 3．已知一个三角形的三条边长均为正整数．若其中仅有一条边长为 5，且它又不是最短边，则满足条件的 三角形个数为（ A．4 显示解析 ） B．6 C．8 D．10 B．76 ） C．96 D．152
4． 如图． 在▱ABCD 中， 若边 AB 上的两点 E、 满足 AE=EF=FB． F CE 分别与 DF、DB 交于点 M、N，则 EM：MN：NC 等于（ A．2：1：4 显示解析 5．如图，已知圆心为 A，B，C 的三个圆彼此相切，且均与直线 l 相切．若⊙A，⊙B，⊙C 的半径分别为 a，b，c（0＜c＜a＜b） ，则 a，b，c 一定满足的关系式为（ ） B．4：3：5 ） C．5：3：12
D．5：4：1
C． B．
D．
b
A．2b=a+c =
1 c
=
1 c
=
a
+
1 a
+
1 a
+
c
1 b
1 b
★☆☆☆☆显示解析 6．已知 a、b 都是正整数，且抛物线 y=ax2+bx+l 与 x 轴有两个不同的交点 A、B．若 A、B 到原点的距离 都小于 1，则 a+b 的最小值等于（ A．16 显示解析 ） B．10 C．4 D．1
二、填空题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分）
7．已知关于 x 的方程 x2+2px+1=0 的两个实数根一个小于 1，另一个大于 1，则实数 p 的取值范围是 ． 显示解析 8．有甲、乙两人，甲在汽车上碰见乙正往相反的方向走去 1min 后，甲下车去追赶乙．若甲的速度是乙的 速度的 2 倍，但比汽车的速度慢 4/5，则自甲下车后追上乙所用的时间为
min． 显示解析
9．如图，已知四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于点 E，且 AE=
1 2
（AB+AD） ．如果∠D=120° ，则∠B 等于 ． 显示解析 10．如果一个凸 n 边形恰有 4 个内角是钝角，那么，这个多边形的边数 n 最多为
． 显示解析 11．若在 4×4 的方格表的 16 个方格中，每个方格填入一个数，使得每个方格的所有相邻方格中的数的总 和均为 l（注：相邻方格是指恰有一条公共边的） ，则方格表中 16 个数的总和等于 ． 显示解析
三、解答题（共 3 小题，满分 60 分）
12．已知二次函数 y=a（a+1）x2-（2a+1）x+1，其中 a 为正整数． （1）若函数 y 的图象与 x 轴相交于 A、B 两点，求线段 AB 的长； （2） a 依次取 1， …， 若 2， 2005 时， 函数 y 的图象与 x 轴相交所截得的 2005 条线段分别为 A1B1， 2 B2， A …， A2005 B2005，试求这 2005 条线段长之和． 显示解析 13．已知 p、g、
2q-1 p
、
2p-1 q
都是整数，且 p＞1，q＞1．求 p+q 的值． 显示解析
14．如图．△ABC 内接于⊙O，AC＞BC，点 D 为
AB
的中点．求证：AD2=AC•BC+CD2． 显示解析
。