2018_2019学年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.5三角函数的应用同步练习(新版)北师大版

课时作业(六)[第一章 5 三角函数的应用]一、选择题1．如图K －6－1，为测量某物体AB 的高度，在点D 处测得点A 的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米到达点C ，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为( )链接听课例1归纳总结图K －6－1A ．10 3米B ．10米C ．20 3米 D.20 33米2．2017·泰安期中如图K －6－2，港口A 在观测站O 的正东方向，OA ＝4 km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB 的长)为( )链接听课例2归纳总结图K －6－2A ．2 2 kmB ．2 3 kmC ．4 kmD ．(3＋1)km3．如图K －6－3所示，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高20 cm 、宽30 cm.为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡．台阶的起始点为A ，斜坡的起始点为C ，若将坡角∠BCA 设计为30°，则AC 的长度应为( )图K －6－3A ．60 3 cmB ．60(3－1)cmC ．60 cmD ．60(3＋1)cm4．2017·迁安一模某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图K －6－4所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是两段栏杆的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF 最多只能升起到如图②所示的位置，其示意图如图③所示(栏杆宽度忽略不计)，其中AB ⊥BC ，EF ∥BC ，∠AEF ＝143°，AB ＝AE ＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)( )图K－6－4图K－6－5二、填空题5．2017·宁波如图K－6－6，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)图K－6－66．如图K－6－7，一艘船向正北方向航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达点B，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行的过程中距灯塔S的最近距离是________海里(结果不作近似计算).链接听课例1归纳总结图K－6－77．全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图K－6－8，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为11°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD＝10米，则此塑像的高AB约为________米(参考数据：tan78°12′≈4.8)．图K－6－88．观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图K－6－9，一人先在附近一楼房的底端点A处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后他爬到该楼房顶端点B处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房AB的高约是45 m，根据以上观测数据可求得观光塔的高CD 约是________m.图K －6－9三、解答题9．2018·菏泽2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播．如图K －6－10，在直升机的镜头C 下，观测曹州牡丹园A 处的俯角为30°，B 处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C 处的高度CD 为200米，点A ，B ，D 在同一条直线上，则A ，B 两点间的距离为多少米？(结果保留根号)图K －6－1010．2018·内江如图K －6－11是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC 的高为11米，灯杆AB 与灯柱AC 的夹角∠A ＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 的长为18米，从D ，E 两处测得路灯B 的仰角分别为α和β，且tan α＝6，tan β＝34.求灯杆AB的长度.链接听课例2归纳总结图K －6－11阅读理解题阅读材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C .利用上述结论可以求解如下题目：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若∠A ＝45°，∠B ＝30°，a ＝6，求b .解：在△ABC 中，∵a sin A ＝bsin B， ∴b ＝a sin B sin A ＝6sin30°sin45°＝6×1222＝3 2.理解应用：如图K －6－12，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B 1处，且乙船从B 1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B 2处，此时两船相距10 2海里．(1)连接A 1B 2，判断△A 1A 2B 2的形状，并给出证明； (2)求乙船每小时航行多少海里．图K －6－12详解详析【课时作业】 [课堂达标]1．[解析] A ∵在Rt △ADB 中，∠D ＝30°， ∴AB BD＝tan30°，∴BD ＝ABtan30°＝3AB .∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝60°， ∴BC ＝ABtan60°＝33AB .∵CD ＝20米， ∴CD ＝BD －BC ＝3AB －33AB ＝20， 解得AB ＝10 3(米)．故选A.2．[解析] A 如图，过点A 作AD ⊥OB 于点D .在Rt △AOD 中，∵∠ADO ＝90°，∠AOD ＝30°，OA ＝4 km ， ∴AD ＝12OA ＝2 km.在Rt △ABD 中，∵∠ADB ＝90°，∠B ＝∠CAB －∠AOB ＝75°－30°＝45°， ∴BD ＝AD ＝2 km ，∴AB ＝2AD ＝2 2 km ，∴该船航行的距离(即AB 的长)为2 2 km. 故选A.3．[解析] B 如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，根据题意，得AD ＝2×30＝60(cm)，BD ＝20×3＝60(cm)． ∵坡角∠BCA ＝30°，∴BD ∶CD ＝1∶3，∴CD ＝3BD ＝3×60＝60 3(cm)，∴AC ＝CD －AD ＝60 3－60＝60(3－1)cm. 故选B.4．[解析] A 如图，过点A 作BC 的平行线AG ，过点E 作EH ⊥AG 于点H ，则∠EHG ＝∠HEF ＝90°. ∵∠AEF ＝143°，∴∠AEH ＝∠AEF －∠HEF ＝53°，∠EAH ＝37°.在Rt △EAH 中，∠EHA ＝90°，∠EAH ＝37°，AE ＝1.2米， ∴EH ＝AE ·sin∠EAH ≈1.2×0.60＝0.72(米)．∵AB ＝1.2米，∴AB ＋EH ≈1.2＋0.72＝1.92≈1.9(米)．故选A. 5．[答案] 280[解析] 在Rt △ABC 中，AC ＝AB ·sin34°≈500×0.56≈280(米)， ∴这名滑雪运动员的高度下降了280米． 故答案为280. 6．[答案] 6 3 7．[答案] 58[解析] 如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，∵∠CDB ＝90°，∠EBD ＝90°，∴四边形EBDC 是矩形， ∴BE ＝CD ＝10米． ∵∠ECB ＝11°48′， ∴∠EBC ＝78°12′，则tan78°12′＝EC BE ＝EC10≈4.8，解得EC ≈48(米)．在Rt △AEC 中，∵∠ACE ＝45°， ∴AE ＝EC ≈48米，∴此塑像的高AB 为AE ＋BE ≈48＋10＝58(米)． 故答案为58. 8．[答案] 135[解析] ∵在点B 处观测观光塔底部D 处的俯角是30°，∴∠ADB ＝30°.在Rt △ABD 中，tan30°＝AB AD ，即45AD ＝33，∴AD ＝45 3 m.∵在楼房的底端点A 处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°， ∴在Rt △ACD 中，CD ＝AD ·tan60°＝45 3×3＝135(m)． 故答案为135.9．解：∵EC ∥AD ，∴∠A ＝30°，∠CBD ＝45°，CD ＝200米． ∵CD ⊥AB 于点D ，∴在Rt △ACD 中，∠CDA ＝90°，tan A ＝CD AD，∴AD ＝20033＝200 3(米)．在Rt △BCD 中，∠CDB ＝90°，∠CBD ＝45°， ∴BD ＝CD ＝200米，∴AB ＝AD －BD ＝(200 3－200)米．答：A ，B 两点间的距离为(200 3－200)米．10．解：如图，过点B 作BH ⊥DE ，垂足为H ，过点A 作AG ⊥BH ，垂足为G.∵BH ⊥DE ，∴∠BHD ＝∠BHE ＝90°.在Rt △BHD 中，tan α＝BH DH ＝6，在Rt △BHE 中，tan β＝BH EH ＝34，∴BH ＝6DH ，BH ＝34EH ，∴8DH ＝EH .∵DE ＝18，DE ＝DH ＋EH ， ∴9DH ＝18，∴DH ＝2，则BH ＝12.∵∠BHD ＝∠AGH ＝∠ACH ＝90°， ∴四边形ACHG 为矩形，∴AC ＝GH ＝11，∠CAG ＝90°，BG ＝BH －GH ＝12－11＝1. ∵∠BAC ＝120°，∴∠BAG ＝∠BAC －∠CAG ＝120°－90°＝30°， ∴在Rt △AGB 中，AB ＝2BG ＝2. 答：灯杆AB 的长度为2米． 素养提升解：(1)△A 1A 2B 2是等边三角形．证明如下：如图，∵甲船以每小时30 2海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达A 2处，∴A 1A 2＝30 2×13＝10 2(海里)．又∵A 2B 2＝10 2海里，∠A 1A 2B 2＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形．(2)过点B 1作B 1N ∥A 1A 2，如图． ∵B 1N ∥A 1A 2，∴∠A 1B 1N ＝75°，∴∠A 1B 1B 2＝75°－15°＝60°. ∵△A 1A 2B 2是等边三角形，∴∠A 2A 1B 2＝60°，A 1B 2＝A 1A 2＝10 2海里， ∴∠B 1A 1B 2＝180°－75°－60°＝45°. 在△B 1A 1B 2中，∵A 1B 2＝10 2海里，∠B 1A 1B 2＝45°，∠A 1B 1B 2＝60°，且由阅读材料可知B 1B 2sin45°＝A 1B 2sin60°，即B 1B 222＝10 232，解得B 1B 2＝10 2×2232＝20 33(海里)．∴乙船每小时航行20 33÷13＝20 3(海里)．。