3-12 -恰当方程与积分因子

2.3 恰当方程与积分因子方法(Exact differential equation and method ofintegrating factor )[教学内容] 1. 认识恰当方程，如何判定恰当方程; 2.介绍如何求解恰当方程; 3. 介绍什么叫积分因子; 4. 介绍如何寻找积分因子;5. 积分因子一些性质.[教学重难点] 重点是会判定和求解恰当方程，难点是如何寻找方程的积分因子 [教学方法] 自学1、4；讲授2、3 课堂练习 [考核目标]1. 熟练判定一个一阶方程是否为恰当方程;2. 会求解恰当方程;3. 知道积分因子的概念;4. 会寻找积分因子，并求解方程.1. 一阶微分形式的原函数存在性及其求法sin(3y)e y)u(x,2x =的全微分为cos(3y)dy 3e sin(3y)dx 2e dy u dx u du 2x 2x y x +=+=， 我们称u(x, y)为一阶微分形式cos(3y)dy 3e sin(3y)dx 2e 2x 2x +的一个原函数，并不是任一微分形式都有原函数的，例如dy xy dx 2x +。

《数学分析》下册P228定理21.12给出了如何判定dy y)Q(x,dx y)P(x,+是否存在原函数充要条件，这里P(x, y), Q(x, y)在单连通区域D 内具有一阶连续偏导数.例33. 判定一阶微分形式y)dy cos (x y)dx sin (2x ++是否为某个函数u(x, y)的全微分，如果是，求出它的原函数u(x, y).解：记 y) cos (x y)Q(x, ,y)sin (2x y)P(x,=+=， 易见P(x, y)和Q(x, y)在单连通区域2R 内具有一阶连续偏导数，且0xPx Q =∂∂-∂∂，(格林公式：⎰⎰⎰-=+D y x L )dxdy P (Q Qdy Pdx =0即积分路径无关). 因此由定理21.12知，y)dy cos (x y)dx sin (2x ++恰是某个函数u(x, y)的全微分.求函数u(x, y)方法一、由y)P(x,u x =知，C(y)y sin x x y)dx P(x,y)u(x,2++==⎰.再由y)Q(x,u y =知，y cos x (y)' C y cos x y)(x,u y =+=，即1C C(y) 0,(y)' C ==（常数）. 特别地，取0C 1=，得到一个原函数为 12C y sin x x y)u(x,++=.求原函数方法二、由定理21.12知，y)dy cos (x y)dx sin (2x ++曲线积分与路径无关性且⎰+=t)(s,(0,0)y)dy Q(x,y)dx P(x, t)u(s,. 特别地，取折线段OA: y=0, s x 0≤≤；t y 0 s, x :AB ≤≤=，则t cos s s ydy cos s 2xdx Qdy Pdx Qdy Pdx t)u(s,2ts 0ABOA+=+=+++=⎰⎰⎰⎰.将自变量(s, t)换为(x, y)得到，y cos x x y)u(x,2+=.练习28. 判定一阶微分形式)dy y -2xy -(x )dx y -2xy (x 2222++是否为某个函数u(x, y)的全微分，如果是，求出它的原函数u(x, y).2. 恰当方程(Exact equation)的概念及其解法 （1）设一阶方程为y)N(x,y)M(x,dx dy -=，其中M(x,y), N(x, y)在单连通区域内具有一阶连续偏导数，改写为对称形式（*）0y)dy N(x,y)dx M(x,=+. 如果y)dy N(x,y)dx M(x,+恰好为某个函数u(x, y)的全微分，则称方程（*）为恰当方程. （2）恰当方程y)dy N(x,y)dx M(x,+的解法：Step (a) 求出一阶微分形式一个原函数u(x, y)，则0Ndy Mdx y)du(x,=+=；Step(b) 由一个二元函数两个偏导数都为零知，该二元函数为常函数. 于是，有C y)u(x,=, 这就是恰当方程的通积分.例34. Use the method of exact equations to solve 1dxdyy cot 2x -=⋅⋅. Solution First, we rearrange the equation as 0dy y cot dx x2=+. Let y cot y)N(x, ,x 2y)M(x,==, 在0x ≠的单连通区域内，000yM x N =-=∂∂-∂∂（Test for exactness ）, 因此0dy y cot dx x2=+为恰当方程.Assume that u(x, y) is a antiderivative(原函数) ofdy y cot dx x 2+, then N u M,u y x ==. (a) Integrating the first equality, we get ⎰+==C(y)2ln x dx x2y)u(x,.(b) Differentiating the above equality, we get ysin ycos dy dC y,cot(y)' C y)(x,u y ===. (c) Integrating the above equality, we get⎰⎰=dy ysin ycos dC(y), |y sin |ln C(y)=. So u(x, y)=|y sin x |ln 2and general integral （通积分） of equation is 12C |y sin x |ln =. 例35. 求解下列方程02y)dy e (x dx e yy=++.Solution Let 2y xe y)N(x, ,e y)M(x,y y +==. First, we apply the test for exactness （恰当方程判定方法）:0e e M N y y y x =-=-. So equation is exact equation.Assume u(x, y) is an antiderivative of M d x+ N d y ， then N u M,u y x ==. (a) Integrating the first equality: u(x, y)=C(y)e x dx e y y +=⎰.(b) Differentiating the above equality: 2y (y)' C 2y,xe (y)' C e u y y y =+=+=. (c) Integrating the 2ydy dC =, we get 2y C(y)=.So u(x, y) =2y y e x +, and general integral of equation is C ~y e x 2y =+.作业29. Determine which of the following equations is exact. Solve those that are exact. (a) 0)dy y (x )dx x (y 33=++-; (b) y)dx cos x cos (e )dy xe y sin (sin x y y +=-. 作业30. For each of the following equations, find the value of n for which the equation is exact. Then solve the equation for that value of n.(a) 0y)dy x (x y)dx n x (xy 2322=+++; (b) 0dy e n x )dx e y (x 2xy 2xy =++.3. 积分因子（Integrating Factor ）如果一个方程是恰当方程，则它的求解过程是程序化的. 但并不是任一个方程都是恰当的，那么能否通过某种操作或等价变换使得它化为恰当方程呢？ 尝试如下： 例36. 求解0x)dy y (x ydx 2=-+.解：记x)y (x y)N(x, y,y)M(x,2-==，则验证0112xy M N y x ≠--=-. 即原方程不是恰当的. 但是在原方程两边乘以0x 1y)μ(x,2≠=，则新方程为0)dy x1(y dx x y 2=-+. 此时222xx)y (x y)(x,N ~ ,x y y)(x,M ~-==，有0x 1x 1M ~N ~22y x =-=-. 新方程是恰当方程. 记u(x, y)为dy N ~dx M ~+一个原函数，则N ~u ,M ~u y x ==. (a) 对第一个等式两边积分得到：⎰+-==C(y)xydx x y y)u(x,2; (b) 对上式两边关于y 求导得到：y dydC y,(y)' C ,x 1y (y)C'x 1u y ==-=+-=. (c) 对ydy dC =两边积分得到：2y C(y)2=. 于是2y x y y)u(x,2+-=.因此，原方程的通积分为12C 2y x y y)u(x,=+-=.注解37. 这里有几个问题需要回答：（1）方程0Ndy Mdx =+和乘以因子y)μ(x,后所得新方程0dy N ~dx M ~=+是否等解？如果不等解，那么问题出在哪？（2）如何寻找方程一个积分因子，使之成为恰当方程？关于问题（1）的回答是如果因子0y)μ(x,≠，则两方程等价；否则可能不等价.（上课听讲！） 关于问题（2）的回答：研究如果0Ndy Mdx =+两边乘以因子y)μ(x,所得方程0dy N ~μdx μM =+为恰当方程，则y)μ(x,需要满足什么条件？0)()(=∂∂-∂∂yM x N μμ，（**）y x y x M N M N μμμ+-=-)(，这是一个偏微分方程，由此确定出y)μ(x,难度不低于原常微分方程. 现作如下简化假定：情形一：y)μ(x,只是x 的函数，于是方程（**）简化为x y x N M N μμ-=-)(，反过来检验N )μM (N y x --是否只为变量x 的方程，若是，求解NM N dx d y x μμ)(--=，得到⎰=--dxNM N yx ey)μ(x,.情形二：y)μ(x,只是y 的函数，于是方程（**）简化为y y x M M N μμ=-)(，反过来检验M)μM (N y x -是否只为变量y 的方程，若是，求解M)μM (N dy d μy x -=，得到⎰=-dyMM N yx ey)μ(x,.例38. (1) 寻找方程0x)dy y (x ydx 2=-+的积分因子.(2) 寻找方程02xydx )dy y (3x 22=--的积分因子，并求解该方程.解：记x y x y)N(x, y,y)M(x,2-==，则1)-x(xy N 1),2(xy 112xy M N y x =-=--=-,于是，x 2NM N yx -=--恰好为x 的函数，因此，所求积分因子为2dx x 2x1e y)μ(x,=⎰=-.由例36知，原方程通积分为原方程的通积分为12C 2y x y y)u(x,=+-=.另一方面，注意到2x 1y)μ(x,=没有定义的点x=0，易验证，x=0也是方程的解. (上课听讲！) (2) 记22y -3x y)N(x, 2xy,y)M(x,=-=,2xy M 8x,2x 6x M N y x -==+=-,于是，y 4MM N yx -=-恰好为y 的函数，因此，所求积分因子为4dy y 4y1e y)μ(x,=⎰=-.0dy y)y (3x dx y 2x 0,dx y 2xy dy y )y (3x 42234422=-+-=--. 记u(x, y)为方程左端一个原函数，则C(y)yx dx y 2x y)u(x,323+-=-=⎰； 24242y y1y 3x (y)C'y x 3y)(x,u -=+=，解得y 1C(y)=, 于是u(x, y)=y 1y x 32+-.所求通积分为132C y1y x y)u(x,=+-=.另一方面，注意到4y1y)μ(x,=没有定义的点y=0，易验证，y=0也是方程的解. (上课听讲！) 作业31. Solve each of the following differential equations by finding integrating factor. （1） 0xy)dy (x 1)dx (xy 2=-+-；（2） 0y)dy csc 2y y cot (e dx e xx=++； （3）教材P60 习题 2(1)、(9)4. 更多关于积分因子知识和方法（1）积分因子是二元函数情形：（a ）0dy x dx y =-，0|)yx|d(ln y x dy x dx y ==-；（b ）0dy x dx y =-，0)yxd(arctan y x dy x dx y 22==+-.（2）设齐次方程0y)dy N(x,y)dx M(x,=+，当0yN xM ≠+时，有积分因子yN xM 1μ+=，并运用之来求解yx yx dx dy -+=.解：（a ）回忆：若R t y),M(x,t ty)M(tx,k∈∀=，则称y)M(x,为k 次齐次函数. 若M(x,y)和N(x,y)都为k 次齐次函数，则称方程y)N(x,y)M(x,dx dy -=为齐次方程.假定M(x, y)满足连续可微条件对y)M(x,t ty)M(tx,k =关于t 求导得到，y)M(x,kt ty)(tx,yM ty)(tx,xM 1k y x -=+，令t=1得到恒等式y)M(x,k y)(x,yM y) (x,xM y x =+，类似地，y)N(x,k y)(x,yN y) (x,xN y x =+.（b ）考察0yN xM y)dy N(x,y)dx M(x,=++，经计算得到=+∂∂-+∂∂)yNxM y)M(x,(y )yN xM y)N(x,(x2y y y x x x yN)(xM )MyN N (xM yN)(xM M )N yN xM (M yN)(xM N +++++-++-+=0yN)(xM NM k M N k yN)(xM )NyM (xM )M yN x (N 22y x y x =+-=++-+=. 因此新方程为恰当方程.（c ）考察方程yx yx dx dy -+=，改写为0y)dy (x -y)dx (x =-+. 取22y x 1y)x y(y)x(x 1μ+=+-++=，则新方程为0y x y)dy(x -y)dx (x 22=+-+. 分组为0y x x)dy -ydx (ydy)(xdx 22=+++，0yx x)dy-ydx (y x ydy)(xdx 2222=++++， 即0yx x)dy -ydx ()y 2(x )y d(x 222222=++++，0)x y (arctan d )y ln(x d 2122=++. 所求的通积分为xyarctan 22e C ~y x =+.另一方面22y x 1μ+=没有定义的只有(0, 0)点，因此原方程没有其他的解.（3）思考教材P61 习题10，并求解0y)dy (x x)dx (y =++-.(参见教材P38例7) 解：方程为恰当方程，因此由习题10结论知，C x 2xy y C,y)y(x x)x(y 22=-+=++-为方程的通积分.（4）思考教材P61习题9，自行阅读丁同仁、李承治《常微分方程教程》P47定理6和P48例题2，完成教材P61 习题2(11) .。