一元二次方程定义及其解法(配方法)
一元二次方程定义及其解法(配方法) 一元二次方程的定义及其解法（配方法）
一、目标导航
1.掌握一元二次方程的定义及a、b、c的含义；
2.掌握配方法解一元二次方程的方法。
二、教学重难点
重点：
1.掌握一元二次方程的定义及a、b、c的含义；
2.掌握配方法解一元二次方程的方法。
难点：配方法解一元二次方程。
三、走进教材
知识点一：一元二次方程的定义
1.一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个
未知数，并且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0（其中a≠0），其中ax^2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b
叫做一次项系数，c叫做常数项。举例：x^2+2x-3=0.
3.一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等
的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也可以叫做一元二次方程的根。
自主练：下列方程中，是一元二次方程的有。（填序号）
①x=5；②x+y-3=0；③3x^2+2x-5x-3=0；④x(x+5)=x-2x^2；
⑤2x^2-5x+8=0；⑥4x^2-2y^2=0.
知识点二：配方法解一元二次方程
1.解一元二次方程的思路：降次，即把二次降为一次，把
一元二次方程转化为一元一次方程，化未知为已知，化繁为简，这是转化思想的体现。
2.配方法：利用配方法将一个一元二次方程的左边配成完
全平方形式，而右边是一个非负数，即把一个方程转化成
(x+n)^2=p（p≥0）的形式，这样解方程的方法叫做配方法。
3.配方法具体操作：
1）对于一个二次三项式，当二次项系数为1时，配上一
次项系数一半的平方就可以将其配成一个完全平方式，举例：解方程x^2+2x-3=0.
2）当二次项系数不为1时，首先把二次项系数化为1，
方程两边除以二次项系数，然后再利用（1）的步骤完成配方。举例：解方程2x^2+2x-3=0.
4.(x+n)^2=p（p≥0）的解法：对于方程(x+n)^2=p（p≥0），它的左边是一个完全平方式，右边是非负数，利用平方根的定义，可以将这个方程进行降次，降为两个一元一次方程，即
x+n=√p和x+n=-√p，解两个一元一次方程即可。
自主练：
题型一：直接开平方法
1.(x-1)^2=2
2.(x+2)^2=a (a≥0)
题型二：配方法
第一讲.一元二次方程的定义及解法
第一讲：一元二次方程的概念和解法 一、知识点1: 1: 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程叫做一元二次方程? 2：一般形式： ax2 + bx+ c= 0(a、b、c 是已知数，a^0) 其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项. 3:相关练习： 1、下列方程中，是一元二次方程的是( ) 2 A、x =1 B、X——-_ =1 C、，x -1 x2 = 1 D、x‘ x 1 = 0 x 2 2 2、如果(m 3)x2 -mx ? 1 = 0是关于x的一元二次方程，则( ) A、m - 3 且 m = 0 B、m -j 3 C、m -j 0 D、m - 3 3、下列方程一定是关于x的一元二次方程的是( ) A、3x =4x m B、ax -8=0 C、x y =0 D、-6xy - y 7 = 0 4、关于x的方程kx23x2 1是一元二次方程，则k的取值范围是_____________ 。 5、判断下列方程是否为一元二次方程： (1 )、—3x2+2x+y2=0 (2)、xx2-2 ^x-x 2 (3)、y2 =0 (4)、2 x1 (2x3 x k 6、关于x的方程(k 1)x' kx ^0是一元二次方程，求k的值。 7、__________________________________________ x(2x- 1) — 3x(x- 2)=0 — 二次项系数：_____ ; 一次项系数：_______ 常数项： ______ ； 2x(x— 1)=3(x + 5) — 4 —_______________ 二次项系数：_____ ; 一次项系数：_____ 常数项：________ . &关于x的一元二次方程(a-1)x2? a2-仁0的一个根为0,则a的值为( ) 1 A、1 B、-1 C、-1或 1 D、- 2 9、已知关于x的一元二次方程(m-2) x2 + 3x+ m2— 4=0有一个解是0,则 m= 。 10、关于x的方程mx2— 3x=x2- mx+2是一元二次方程的条件是_____________ . 11、已知x2-x-1=0,求-x3 2x2 2009 的值 二、知识点2 一元二次方程的解法：
一元二次方程的概念及解法
一元二次方程 一、一元二次方程的概念： （1）只含一个未知数x；（2）最高次数是2次的；（3）?整式方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 例2．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 练习: 判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5 x =0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0 例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 练习:一、选择题 1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5 x =0 A．1个B．2个C．3个D．4个 2．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）． A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数 二、填空题 1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_____，一次项系数为_______，常数项为______．2．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________． 三、综合提高题 1、关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？ 2、方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方 程为一元一次方程？ 3、当m为何值时,方程(m+1)x／4m／-4+27mx+5=0是关于x的一元二次方程 二、一元二次方程的解： 复习：方程的解 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．（只含有一个未知数的方程的解，又叫方程的根）例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值
一元二次方程解法——因式分解、配方法
一元二次方程解法——因式分解、配方法 知识点回顾： 定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 解法一 ——直接开方法 适用范围：可解部分一元二次方程 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n 归纳小结： 共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．?我们把这种思想称为“降次转化思想”． 由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x= 转化为应用直接开平方法解形如 （mx+n ）2=p （p ≥0），那么mx+n= p ＜0则方程无解 自主练习：1：用直接开平方法解下列方程： （1）2 225x =； （2）2 (1)9x -=； （3）2 (61)250x --=． （4）081)2x (42 =-- （5）2 5(21)180y -=； （6）21(31)644 x +=； （7）2 6(2)1x +=； 2. 关于x 的方程222 91240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 3. 关于x 的方程2 2 2 20x ax b a +-+=的解为 解法二——分解因式法 适用范围：可解部分一元二次方程 因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。 解下列方程． （1）2x 2+x=0 （2）3x 2+6x=0 上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解: 2x 2+x=x （2x+1），3x 2+6x=3x （x+2） 因此，上面两个方程都可以写成： （1）x （2x+1）=0 （2）3x （x+2）=0 因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是： （1）x=0或2x+1=0，所以x 1=0，x 2=- 12 ． （2）3x=0或x+2=0，所以x 1=0，x 2=-2． 因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法． 例1．解方程 （1）4x 2=11x （2）（x-2）2=2x-4 分析：（1）移项提取公因式x ；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次
一元二次方程定义及其解法(配方法)
一元二次方程定义及其解法(配方法) 一元二次方程的定义及其解法（配方法） 一、目标导航 1.掌握一元二次方程的定义及a、b、c的含义； 2.掌握配方法解一元二次方程的方法。 二、教学重难点 重点： 1.掌握一元二次方程的定义及a、b、c的含义； 2.掌握配方法解一元二次方程的方法。 难点：配方法解一元二次方程。 三、走进教材 知识点一：一元二次方程的定义 1.一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个 未知数，并且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0（其中a≠0），其中ax^2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b 叫做一次项系数，c叫做常数项。举例：x^2+2x-3=0. 3.一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等 的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也可以叫做一元二次方程的根。 自主练：下列方程中，是一元二次方程的有。（填序号） ①x=5；②x+y-3=0；③3x^2+2x-5x-3=0；④x(x+5)=x-2x^2； ⑤2x^2-5x+8=0；⑥4x^2-2y^2=0. 知识点二：配方法解一元二次方程 1.解一元二次方程的思路：降次，即把二次降为一次，把 一元二次方程转化为一元一次方程，化未知为已知，化繁为简，这是转化思想的体现。 2.配方法：利用配方法将一个一元二次方程的左边配成完 全平方形式，而右边是一个非负数，即把一个方程转化成 (x+n)^2=p（p≥0）的形式，这样解方程的方法叫做配方法。 3.配方法具体操作：
1）对于一个二次三项式，当二次项系数为1时，配上一 次项系数一半的平方就可以将其配成一个完全平方式，举例：解方程x^2+2x-3=0. 2）当二次项系数不为1时，首先把二次项系数化为1， 方程两边除以二次项系数，然后再利用（1）的步骤完成配方。举例：解方程2x^2+2x-3=0. 4.(x+n)^2=p（p≥0）的解法：对于方程(x+n)^2=p（p≥0），它的左边是一个完全平方式，右边是非负数，利用平方根的定义，可以将这个方程进行降次，降为两个一元一次方程，即 x+n=√p和x+n=-√p，解两个一元一次方程即可。 自主练： 题型一：直接开平方法 1.(x-1)^2=2 2.(x+2)^2=a (a≥0) 题型二：配方法
一元二次方程的概念及其解法
一元二次方程的概念及解法和讲义 知识点一：一元二次方程的概念 ⑴定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元二次方程。 ⑵一般表达式：ax2 bx c二0(a = 0) ⑶四个特点： (1)只含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是 2 ； (3)是整式方程?要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式 方程，若是，再对它进行整理?如果能整理为ax2 bx 0(a = 0)的形式， 则这个方程就为一元二次方程. (4)将方程化为一般形式：ax2 bx，c = 0时，应满足(aM 0) 例1:下列方程① x2+1=0;? 2y(3y-5)=6y 2+4;③ ax2+bx+c=0 ;④丄「5x「3 = 0, x 其中是一元二次方程的有______________ 。 变式：方程：① 2x2- 1 = 1 ② 2x2-5xy，y2 = 0 ③ 7x2 T=0 ④—=0 中一元3x 2 二次程的是______________ 。 例2:—元二次方程(1 3x)(^3^2x2 1化为一般形式为： _________________________ ，二次项系数为：______ ，一次项系数为：_____ ，常数项为：______ 。 变式1 : 一元二次方程3 ( x — 2 ) 2= 5x —1的一般形式是___ ，二次项系数是_________________________________ ，一次项系数 是_______ ，常数项是__________ 。 变式2:有一个一元二次方程，未知数为y,二次项的系数为—1, 一次项的系数为3，常数项为一6，请你写出它的一般形式 ____________________ 。 例3：在关于x的方程(m-5)x m-7+(m+3)x-3=0中：当m= ____ 时它是一元二次方 程；当m= ____ 时它是一元一次方程。 变式1:已知关于x的方程(m+1)x2—mx+仁0它是( ) A.—兀二次方程 B .—兀一次方程 C?一元一次方程或一元二次方程 D .以上答案都不对 变式2:当m _____ 时，关于x的方程(m-3)x m J-x=5是一元二次方程 知识点二：一元二次方程的解 (1)概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 (2)应用：利用根的概念求代数式的值； 【典型例题】 1. 已知x
一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础
一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础） 【学习目标】 1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤； 3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能 力. 【要点梳理】 知识点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式： . (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 知识点二、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．
一元二次配方法的公式
一元二次配方法的公式 一元二次方程是高中数学中的重要知识点，也是数学建模和科学研究中常用的数学工具。解一元二次方程的方法有很多种，其中最常用的方法是配方法。本文将介绍一元二次配方法的公式及其应用。 一、一元二次方程的定义 一元二次方程是指形如ax+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知常数，x是未知数。其中a≠0，x的次数为2，因此又称为二次方程。解一元二次方程的方法有很多种，其中最常用的方法是配方法。 二、一元二次配方法的公式 一元二次配方法的公式是指通过变形将一元二次方程变为平方 完全平方公式的形式，然后利用完全平方公式求解方程的方法。具体公式如下： 1、若a=1，则将方程变形为(x+b/2)-[(b/2)-c]=0，然后利用完全平方公式求解。 2、若a≠1，则将方程变形为(a/2)+(a/2)x+(b/2)-(b/2)+c=0，然后利用完全平方公式求解。 三、一元二次配方法的应用 一元二次配方法的应用非常广泛，特别是在科学研究和数学建模中。以下是一些常见的应用： 1、求解物理问题中的运动方程：例如，求解自由落体运动的高度、速度和时间等问题时，常常需要通过一元二次方程求解。 2、求解经济问题中的成本、利润和销售量等问题：例如，求解
某家公司的成本、利润和销售量等问题时，常常需要通过一元二次方程求解。 3、求解工程问题中的距离、速度和时间等问题：例如，求解两辆车相遇的距离、速度和时间等问题时，常常需要通过一元二次方程求解。 四、一元二次配方法的优缺点 一元二次配方法的优点是简单易懂，容易掌握，适用范围广。其缺点是只适用于一元二次方程，对于其他类型的方程无法求解。此外，配方法需要进行变形，难免会出现疏漏和错误，需要仔细检查。 总之，一元二次配方法是解决一元二次方程的有效方法，应用广泛。掌握这种方法，对于数学建模和科学研究都具有重要意义。
一元二次方程概念与解法
一元二次方程概念与解法 教学目标 1?了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程 2?能够利用一元二次方程解决简单的实际问题。 教学重点 一元二次方程的三种解法：配方法、公式法、分解因式法。 教学难点 列一元二次方程解决实际问题。 知识点梳理： 一元二次方程知识框图： 1?一元二次方程：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程，这样 的方程叫做一元二次方程。 2. —元二次方程的一般形式：a2x+bx+c=0(a丰0) 3?—元二次方程的解法 直接开平方法： 适用于(mx+n) 2=h (h > 0)的一元二次方程。 配方法： 适用于化为一般形式的一元二次方程。 关键：方程两边都加上一次项系数一半的平方。 公式法： -b b2 4ac x= (b2-4ac> 0) 2a 关键：b2-4ac>0时，方程才有解。 因式分解法： 适用于方程右边是0,左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。 4 .一元二次方程ax2+bx+c=0 (a丰0)的根的判别式是_____________________ ，当 _______ 时，它有两个不相等的实数根；当_____________ 时，它有两个相等的实数根；当 ____________ 时，？它没有实数根. 5.根的判别式及应用(△ =b2-4ac) (1) 判定一元二次方程根的情况.
△ >0 有两个不相等的实数根 △ =0 有两个相等的实数根 △ <0 没有实数根； △ > 0 有实数根? 6.根与系数的关系(韦达定理)的应用 b c 韦达定理：如果一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a 工的两根为X 1、X 2，则X 1+X 2=- ,X 1 X 2=. a a (1) 已知一根求另一根及未知系数； (2) 求与方程的根有关的代数式的值 ； (3) 已知两根求作方程； (4) 已知两数的和与积，求这两个数； (5) 确定根的符号：(X i ,X 2是方程两根). 0, 一元二次方程的应用 解应用题的关键是把握题意 是否符合实际意义? 例题讲解1： 一元二次方程基本概念 (1) mf-3x+x 2=0是关于X 的一元二次方程的条件是 A m=1 B m 丰-1 C m 丰0 D m 为任意实数 (2) (k-1 ) x 2-kx+仁0是关于x 的一元二次方程的条件是 Js 丰1_. 有两正根 X , x 2 x ,x 2 0 0, 有两负根 有一正根一负根 0, X 1 x 2 x 1x 2 0, 0, X 1X 2 0 有一正根一零根 0, X 1 X 2 0 X 1X 2 0 有一负根一零根 0, X 1 x 2 0 X 1=X 2=0 0, X i X 2 ，找准等量关系，列出方程?？最后还要注意求出的未知数的值
一元二次方程的概念及解法
一元二次方程及其解法一、考点突破 二、重难点提示 一、知识结构 二、解题策略与方法 解一元二次方程的基本策略是：降次。降次的主要方法是因式分解法和开平方法。 1. 一元二次方程的概念 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 一般形式：（是常数，且）． 2. 一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 形如的方程，两边开平方，即可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做直接开平方法． （2）配方法 把一元二次方程通过配方化成的形式，再用直接开平方法解，这种方法叫做配方法． 用配方法解一元二次方程（）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，也就是使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化原方程为的形式；⑤如果≥0就可通过两边开平方来求出方程的解；如果＜0，则原方程无解． （3）公式法 通过配方法可求得一元二次方程的求根公式：，用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 一元二次方程（是常数，且）的根的判别式是．利用根的判别式可以判定方程实根的个数；利用根的判别式也可以建立等式、不等式，求方程中的参数的值或取值范围；通过根的判别式可证明与方程有关的代数问题，也可运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题等。 用公式法解一元二次方程的一般步骤是：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定的值；③求出的值；④若，则代入求根公式求方程的解；若，则方程无解． （4）因式分解法
因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式，否则会丢根． 能力提升类 例1 方程（m2－1）x2＋mx－5＝0 是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（） A. m≠1 B. m≠0 C. |m|≠1 D. m＝±1 一点通：该方程为关于x的一元二次方程，根据一元二次方程的定义中的条件可求。 答案：C 评析：根据一元二次方程中二次项的系数不为0这一条件可确定二次项系数中所含字母的取值范围. 例2 解关于的方程：． 评析：本题主要考查分类讨论思想。 例3 解关于的方程： 评析：本题主要考查分类讨论，一元二次方程的概念，根的判别式及一元二次方程的解法等知识，并强化分类讨论的思想方法。 综合运用类 例4 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（） A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对 一点通：解这个方程得，。结合三角形三边关系，第三边的范围是，所以不合题意，舍去。这个三角形的三边分别为3、4、5，故周长为12． 评析：这道题将构成三角形的条件与一元二次方程的解结合在一起，并考查了分类讨论的思想。 例5 解方程： 所以,． 评析：本题主要考查含绝对值符号的方程的解法。
一元二次方程用配方法解题
一元二次方程用配方法解题 （原创版3篇） 目录（篇1） 一、问题引入 1.介绍一元二次方程的概念 2.强调配方法在解决一元二次方程中的重要性 二、配方法步骤 1.将一元二次方程的右边化为一个常数 2.将一元二次方程的左边进行配方 3.进行移项和合并同类项，使一元二次方程变成完全平方式的形式 4.进行开平方，求解一元二次方程 三、配方法的应用 1.配方法在数学中的应用 2.配方法在物理、化学、生物等其他学科中的应用 四、总结 1.总结配方法在解决一元二次方程中的重要性 2.强调配方法在实际生活中的应用 正文（篇1） 一元二次方程是一个重要的数学概念，它描述了一个含有未知数的二次方程。配方法是一种常用的解一元二次方程的方法，它可以将一元二次方程转化为完全平方式的形式，从而进行求解。以下是关于配方法的详细介绍。 1.将一元二次方程的右边化为一个常数。例如，方程x+2x+1=0，右
边为1，是一个常数。 2.将一元二次方程的左边进行配方。配方的方法是将左边的每一项加上或减去它的平方，使它变成完全平方式的形式。对于x+2x+1=0这个方程，我们可以将它配方为(x+1)=0。 3.进行移项和合并同类项，使一元二次方程变成完全平方式的形式。将方程x+2x+1=0的左边移项并合并同类项，得到x+2x=0。 4.进行开平方，求解一元二次方程。将方程x+2x=0变形为x(x+2)=0，然后进行开平方，得到x=0或x=-2。因此，原方程的解为x=0或x=-2。 配方法在数学中有着广泛的应用，除了解决一元二次方程外，还可以应用于其他学科中。例如，物理中的动能定理、化学中的化学平衡常数、生物中的遗传学等。通过配方法，我们可以将复杂的数学问题转化为简单的形式，从而更好地理解和解决这些问题。 总之，配方法是解决一元二次方程的重要方法之一，它可以将一元二次方程转化为完全平方式的形式，从而进行求解。 目录（篇2） 一、解题思路 1.配方法 2.解题步骤 3.解题方法 二、解题步骤 1.移项 2.配方 3.求解 三、解题方法
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法汇总 1．直接开方法解一元二次方程 (1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： （点击图片可放大阅览） 要点诠释： 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 2.因式分解法解一元二次方程
（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤: ①将方程右边化为0； ②将方程左边分解为两个一次式的积； ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【典型例题】 类型一、用直接开平方法解一元二次方程 （点击图片可放大阅览） 【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．
解一元二次方程(直接开方法、配方法、公式法、因式分解法)
一元二次方程 知识讲解 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 【例题讲解】 例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等． 解：去括号，得： 40-16x-10x+4x2=18 移项，得：4x2-26x+22=0 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22． 小试牛刀 1.将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次 项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 2求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
一元二次方程的解叫做一元二次方程的根 解一元二次方程:直接开方法配方法公式法因式分解法【例题讲解】 例1：解方程：x2+4x+4=1 解：由已知，得：（x+2）2=1 直接开平方，得：x+2=±1 即x+2=1，x+2=-1 所以，方程的两根x 1=-1，x 2 =-3 例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率． 解：设每年人均住房面积增长率为x， 则：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44 直接开平方，得1+x=±1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2 所以，方程的两根是x 1=0.2=20%，x 2 =-2.2 因为增长率应为正的，因此，x 2 =-2.2应舍去．即，每年人均住房面积增长率应为20%．例题共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想” 直接开方法：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x= 平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=． 【小试牛刀】 1. 求出下列方程的根吗？
一元二次方程的解法总结
一元二次方程的解法 (直接开平方法、配方法、公式法和分解法) 一元二次方程定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。一般形式：ax²+bx+c=0〔a，b，c为常数，x为未知数，且a≠0〕。 顶点式： y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数) 交点式： y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [有交点A〔x₁，0〕和 B〔x₂，0〕的抛物线，即b²-4ac≥0] .直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)²=n(n≥0)的方程，其解为x=m± 配方法: 1.将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式(此一元二次方程满足有实根) 2.将二次项系数化为1 3.将常数项移到等号右侧 4.等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5.将等号左边的代数式写成完全平方形式 6.左右同时开平方 7.整理即可得到原方程的根 公式法： 1.化方程为一般式：ax²+bx+c=0 〔a≠0〕 2.确定判别式，计算Δ〔=b²-4ac〕； 3.假设Δ>0，该方程在实数域有两个不相等的实数根：x= 假设Δ=0，该方程在实数域有两个相等的实数根:x₁=x₂= 假设Δ<0，该方程在实数域无实数根 因式分解法： 因式分解法又分“提公因式法〞；而“公式法〞〔又分“平方差公式〞和“完全平方公式〞两种〕，另外还有“十字相乘法〞，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的容在八年级上学期学完。 用因式分解法解一元二次方程的步骤 1.将方程右边化为0； 2.将方程左边分解为两个一次式的积；
3.令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 4.解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为图象经过三个点或x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0)。 (2)当题给条件为图象的顶点坐标或对称轴或极大〔小〕值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)。 (3)当题给条件为图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式： y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)。 增减性 当a>0且y在对称轴右侧时，y随x增大而增大，y在对称轴左侧那么相反，同增同减。当a<0且y在对称轴右侧时，y随x增大而减小，y在对称轴左侧那么相反，大小小大。常用公式总结： ；
初三数学一元二次方程的概念与配方法
第5次课：一元二次方程的概念与配方法 一、考点、热点回忆 〔1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02 =++c bx ax 〔a 、b 、c 、为常数，0a ≠〕的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 〔1〕定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数 是2。这三个条件必须同时满足，缺一不可。 〔2〕02 =++c bx ax 〔a 、b 、c 、为常数，0a ≠〕叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。 〔3〕在02 =++c bx ax 〔0a ≠〕中，a ，b ，c 通常表示数。 2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2 的值为0，x 的值即是一元二次方程02 =++c bx ax 的解。 3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2 的值无限接近0时，x 的值即可看做一元二次方程02 =++c bx ax 的解。 4、直接开平方法解一元二次方程： ①直接开平方法解一元二次方程x 2=a 〔a ≥0〕是利用了平方根的意义； ②由教科书中几个用直接开平方法的例子，归纳总结能直接开平方法的一元二次方程类型〔mx ＋n 〕2=p 〔p ≥0〕； ③关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋m 2=P ，当P ≥0时，原方程有实数根，当P<0时，原方程无实根． 5、数学思想方法：本节课我们应用了一个重要的数学思想方法，就是转化的思想方法，我们通过直接开方法，完成了一元二次方程的“降次〞，使得一个一元二次方程化为两个一元一次方程，从而实现解一元二次方程的目的．
一元二次方程及其解法
第2课时 一元二次方程及其解法 一·基本概念理解 1 一元二次方程的定义： 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 2、一元二次方程的解法 （1）、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方 法。直接开平方法适用于解形如 b a x =+2 )(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有2 22)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 （3）、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程 )0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式： ) 04(242 2≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为 a ，一次项的系数为 b ，常数项的系数为c （4）、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 （5）、韦达定理 若1x ，2x 是一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根，则 a b x x -=+21，a c x x =21。以上的就称为韦达定理（或称为根与系数的关系）利用 韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=a b -，二根之积 =a c 也可以表示为a b x x -=+21,a c x x =21。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用 3、一元二次方程根的判别式 根的判别式 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42 -叫做一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； III 当△<0时，一元二次方程没有实数根 4、一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么 a b x x - =+21， a c x x = 21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方 程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二
九年级数学一元二次方程全章资料
一元二次方程及其解法（一）直接开平方法（基础） 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做 一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 4.一元二次方程根的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1 是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0. （2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1 是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0. （3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一 元二次方程必有一根为0. 要点二、一元二次方程的解法 1．直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据： 平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 . 【典型例题】 类型一、关于一元二次方程的判定 1．判定下列方程是不是一元二次方程: (1)； (2) ． 举一反三： 【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程． ①21x x ++；②2960x x -=；③ 2 102y =；④ 215402x x -+=； ⑤ 2230x xy y +-=；⑥ 232y =；⑦ 2 (1)(1)x x x +-=． 类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定 2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数： (1)-3x 2-4x+2=0； (2)． 举一反三： 【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项： （1）2352x x =-； （2）(1)(1)2a x x x +-=-． 类型三、一元二次方程的解（根）