专题一元二次方程的应用面积与动点问题重难点培优八年级数学下册尖子生同步培优题典原卷版浙教版
鲁教版2020八年级数学下册第八章一元二次方程单元培优测试题(附答案详解)
鲁教版2020八年级数学下册第八章一元二次方程单元培优测试题（附答案详解）1．方程220(0)ax a -+=≠ 的判别式定义零，则该方程有 （ ）． A ．两个相等的有理根； B ．两个相等的实数根； C ．两个不等的有理根；D ．两个不等的无理根．2．方程x 2)x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是（）A BC D ．13．关于x 的一元二次方程0)1(222=+-+m x m x 的两个实数根分别为1x ，2x ，且0,02121>⋅>+x x x x ，则m 的取值范围是（ ）A ．21≤m B ．21≤m 且0≠m C ．1<m D ．1<m 且0≠m4．关于x 的一元二次方程(2－a)x 2＋x ＋a 2－4＝0的一个根为0，则a 的值为（ ） A ．2B ．0C ．2或－2D ．－25．祁中初三66班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为（ ） A ．(1)2x x - =930 B ．(1)2x x +=930 C ．x （x+1）=930 D ．x （x ﹣1）=9306．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．2430x x -+= B ．20ax bx c ++= C ．220x x -+= D ．223250x xy y --= 7．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．20ax bx c ++=（a 、b 、c 是常数） B ．211103x x +-= C ．()()()523x x x x +-=-D ．()()121x x x +=+8．已知1x 和2x 是230x x +-=的两个根，则3212419x x -+的值（ ）A ．4B ．4-C ．0D ．19．关于x 的一元二次方程220x x m ++=有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．1m <B ．1m <且0m ≠C ．1m …D ．1m … 且0m ≠10．关于x 的一元二次方程ax 2+2x +c ＝0（a ≠0）有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a ，c 的值：a ＝_____，c ＝_____．11．设m n ，分别为一元二次方程x 2+2x-2019=0的两个实数根，则m 2+3m+n=____. 12．方程x （2x －1）＝x 的解是______．13．某工程一月份的产值为600万元，三月份的产值达到了726万元，设每月产值的增长率x 相同，则可列出方程为_____．14．已知一元二次方程20x ax b ++=①，20x bx a ++=②，方程①与方程②有且只有一个公共根，则a 与b 之间应满足的关系式为________．15．15．已知一元二次方程（m ﹣2）x 2﹣3x+m 2﹣4=0的一个根为0，则m=_____． 16．方程2320x x --=的解是________．17．已知m 和n 是方程22530x x --=的两根，则22m n +=________． 18．若 m 、n 是方程 x 2+2018x ﹣1=0 的两个根，则 m 2n+mn 2﹣mn=_________． 19．（x+3）2=（1﹣2x ）2．20．（1）解方程：2+20x x =; （2）用配方法解方程：2630x x ++=. 21．解方程（1）236160x -= （2）()3811x -= （3）()225920x --= （4）322x -=- 22．（1）计算：.（2）已知，关于x 的方程的两个实数根、满足，求实数m 的值.23．解方程：x 2-x-6=024．解方程()21230x x --= ()22810y y +-=25．如图所示，要在20米宽，32米长的矩形耕地上修筑同样宽的三条小路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块花田，要使花田面积为570m 2，则道路应修多宽？参考答案1．B 【解析】 【分析】根据方程根的判别式的值等于0，得到方程有两个相等的实数根． 【详解】解: ∵一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的判别式b 2-4ac=0， ∴方程有两个相等的实数根． 故选B. 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；等于0，方程有两个相等的实数根；小于0，方程没有实数根． 2．D 【解析】 【分析】把一元二次方程变形为标准形式，再把各项系数相加． 【详解】方程x 2)x 化为一般形式为x 2－)x ，系数相加为1－)1=+ .所以答案选D ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟悉一元二次方程的的变形是本题的解题关键． 3．B ． 【解析】试题分析：[]222(1)4840,m m m =--=-+≥QV 1.2m ∴≤122(1)0,x x m +=-->Q 2120,x x m ⋅=>1,0,m m ∴<≠12m ∴≤且0.m ≠故选B ． 考点：1、根的判别式；2、根与系数的关系． 4．D 【解析】【分析】把x=0代入原方程即可求解.【详解】把x=0代入原方程得a2－4＝0，解得a=±2，∵2-a≠0，故a≠2，故a=-2,选D.【点睛】此题主要考查方程的解，解题的关键是熟知一元二次方程的二次项系数不为零.5．D【解析】分析：可设全班有x名同学,则每人写(x-1)份留言,共写x(x-1)份留言,进而可列出方程即可. 详解：设全班有x名同学，则每人写（x﹣1）份留言，根据题意得：x（x﹣1）=930，故选：D．点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,其中x(x-1)不能和握手问题那样除以2,另外这类问题转化为一元二次方程求解时应注意考虑解的合理性,即考虑解的取舍. 6．A.【解析】试题分析：根据一元二次方程的定义知：选项B、C、D不是一元二次方程.故选A.考点：一元二次方程的定义.7．D【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案. 【详解】A 、方程二次项系数a 可能为0，故本选项错误；B 、不是整式方程，是分式方程，故本选项错误；C 、由原方程，得6100x -=，未知数的最高次数是1，故本选项错误；D 、由原方程，得220x x --=，符合一元二次方程的定义，故本选项正确.故选：D . 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2. 8．C 【解析】 【分析】利用根的定义使多项式降次，对代数式进行化简，然后再根据根与系数的关系代入计算． 【详解】∵x 1和x 2是230x x +-= 的两个根，∴2211223030x x x x +-=+-=，， ∴22112233x x x x =-=-，，∴32212112112419(3)4(3)19347,x x x x x x x x -+=---+=-++112123(3)474()4x x x x x =--++=++，又∵121x x +=-， ∴原式=4×(−1)+4=0. 故选：C. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式1212,,b cx x x x a a+=-= 是解决本题的关键.也考查了方程解的概念. 9．C 【解析】 【分析】由方程根的情况，根据根的判别式，可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围．【详解】Q一元二次方程220++=有实数根，x x m∴△0m…，…，即2240-…，解得1m故选：C．【点睛】主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．10．1 1．【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4-4ac=0，取a=1找出c值即可．【详解】∵关于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△＝22﹣4ac＝0，∴ac＝1，即当a＝1时，c＝1．故答案为：1,1【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．11．2017【解析】试题解析：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x-2019=0的两个实数根，∴m+n=-2，m2+2m-2019=0，∴m2+2m=2019，∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=2019-2=2017.12．x1=0，x2=1【解析】【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．【详解】解：方程移项得：x （2x-1）-x=0， 分解因式得：x （2x-1-1）=0， 可得x=0或2x-2=0， 解得：x 1=0，x 2=1． 故答案为：x 1=0，x 2=1 【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 13．600（1+x ）2=726【解析】解：设平均每月增长率是x ，由题意得：600（1+x ）2=726．故答案为：600（1+x ）2=726．点睛：本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b （当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）． 14．10a b ++= 【解析】 【分析】设两个方程的公共根，将公共根代入方程，即可求出公共根，然后即可代入方程得到a 与b 之间的关系式． 【详解】设两个方程的公共根是m ，分别把m 代入两方程有： m 2+am+b=0 ① m 2+bm+a=0 ② 把①-②有： （a-b ）m+b-a=0 解得m=1．故把m=1代入方程②得：a+b+1=0， 故答案是：a+b+1=0． 【点睛】考查的是一元二次方程的解，解题关键是设方程的公共根，代入方程相减，求出公共根． 15．﹣2．【解析】解：根据题意将x =0代入原方程得：m 2﹣4=0，解得：m =2或m =﹣2．又∵m ﹣2≠0，即m ≠2，∴m =﹣2．故答案为：﹣2．点睛：本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．16．132x =，232x =【解析】 【分析】利用一元二次方程的求根公式进行求解即可得答案. 【详解】解：a=1，b=-3，c=-2， b 2-4ac=(-3)2-4×1×（-2）=17>0，=32±，∴ 13x 2+=，23x 2=，故答案为1x =，2x =. 【点睛】本题考查了利用公式法解一元二次方程，根据一元二次方程的系数特点灵活选用恰当的方法进行求解是关键. 17．5 【解析】 【分析】由根与系数的关系可知：m+n=52，进一步整理2m+2n=2（m+n ），代入求得答案即可． 【详解】∵m 和n 是方程2x 2-5x-3=0的两根， ∴m+n=52，∴2m+2n=2（m+n）=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1•x2=ca．18．2019【解析】【分析】根据根与系数的关系得到m+n=﹣2018，mn=﹣1，把m2n+mm2﹣mn分解因式得到mn（m+n ﹣1），然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m、n 是方程x2+2018x﹣1=0 的两个根，则原式=mn（m+n﹣1）=﹣1×（﹣2018﹣1）=﹣1×（﹣2019）=2019，故答案为：2019．【点睛】本题考查了根与系数的关系，如果一元二次方程ax2+bx+c=0 的两根分别为与，则解题时要注意这两个关系的合理应用．19．x1=4，x2=﹣2 3【解析】试题分析：利用移项，先变形，然后利用平方差公式变形，应用ab=0的形式求解即可. 试题解析：（x+3）2﹣（1﹣2x）2=0，分解因式得：（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）=0，可得4﹣x=0或3x+2=0，解得：x 1=4，x 2=﹣23． 20．(1) 120,2x x ==-;(2) 1233x x =-=-【解析】试题分析：（1）方程左边提出公因式x ，利用提公因式法解答；（2）把常数项移至等号右边，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使左边成为一个完全平方式，然后再开方求解． 试题解析：解：（1）因式分解得：()20x x ＋＝， 于是得：0x ＝ ，20x ＋＝ ，1202x x ∴-＝，＝；（2）移项得：263x x -＋＝， 配方得：26939x x -＋＋＝＋，()236x ＋＝由此得：3x ±＋＝，于是得：1233x x --＝＝点睛：本题主要考查了一元二次方程的解法，常用的解法有公式法、配方法、因式分解法，正确的选择方法是解决（1）的关键，熟悉配方法的一般步骤是解决（2）的关键．21．()()()()21332211133346x x x x x =±====-或 【解析】 【分析】(1) 方程变形后，利用平方根的定义开立方即可求出解;(2) 把x-1看作一个整体，再把方程变形后，利用立方根的定义开立方即可求出解;(3) 把x-2看作一个整体，在利用平方根的定义开方即可求出解; (4) 根据立方根的定义解答即可; 【详解】（1）∵36x 2-16=0， ∴36x 2=16， ∴16423663x =±=±=±; （2）∵ 38(1)1x -= ,∴31(1)8x -=, ∴311182x -==, ∴32x = . （3）∵2259(2)0x --=,∴225(2)9x -=, ∴255293x -=±=±, ∴552233x x -=-=-或, ∴11133x x ==或 . （4）∵3322,28x -=--=-; ∴28x -=- ;∴6x =- .【点睛】本题考查了平方根、立方根的定义．22．（1）解：原式=。
浙教版2022-2023学年八下数学第二章 一元二次方程 培优测试卷
浙教版2022-2023学年八下数学第二章 一元二次方程 培优测试卷考试时间：120分钟 满分：120分一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）A ．2x −1=0B ．3x +x 2=7C ．x 2−2x −3=0D ．x +y =6 2．若关于x 的方程x 2+2x +a =0有两个不相等的实数根，则a 的值可以是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．03．用配方法解一元二次方程y 2−y −12=0时，下列变形正确的是（ ） A ．(y +12)2=1 B ．(y −12)2=34 C ．(y +12)2=34 D ．(y −12)2=1 4．一元二次方程x （x ﹣2）＝2﹣x 的根是（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝2C ．x 1＝1，x 2＝2D ．x 1＝﹣1，x 2＝25．关于x 的一元二次方程x 2+4x+（1-m ）（m -3）=0，下列选项正确的是（ ）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．根的个数与m 的取值有关6．已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程x 2−7x +12=0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）A ．12B ．13C ．12或13D ．157．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约2亿元，第三天票房收入约达到4亿元，设票房收入每天平均增长率为x ，下面所列方程正确的是（ ）A ．2(1+x)2=4B ．2(1+2x)=4C ．2(1−x)2=4D ．2+2(1+x)+2(1+x)2=48．如图，在一块长为 20m ，宽为 12m 的矩形 ABCD 空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路.四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为 40m 2 .设道路宽为 xm ，则以下方程正确的是（ ）A ．32x +4x 2=40B ．32x +8x 2=40C ．64x −4x 2=40D ．64x −8x 2=40（第8题） （第9题）9．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点 …… ，第 n 行有 n 个点 …… ，前 n 行的点数和不能是以下哪个结果（ ）A ．741B ．600C ．465D ．30010．下列关于一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的命题中：真命题有（ ）①若a ﹣b+c ＝0则b 2﹣4ac≥0；②若方程ax 2+bx+c ＝0两根为1和2，则2a ﹣c ＝0；③若方程ax 2+c ＝0有两个不相等的实根，则方程ax 2+bx+c ＝0必有实根A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①③二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx −1=0的一个解是x =1，则2023-a -b= ． 12．若a 是方程2x 2-x -5=0的一个根，则代数式2a -4a 2+1的值是13．若方程x2−(a−3)x−3a−b2=0有两个相等的根，则方程x2+ax+b=0的根分别是．14．若关于x的一元二次方程a(x－h)2+k=0的解是x1=－2，x2=1，则关于x的一元二次方程a(x－h+3)2+k=0的解是．15．已知关于x的方程x2－(k+2)x+2k=0，若等腰三角形ABC的一边长a=1，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为．16．设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根分别与方程系数之间有如下关系：x1+x2=−b a，x1x2=c a.根据该材料选择：已知a，b是方程x2+(m+2)x+1=0的两根，则(a2+ma+1)(b2+mb+1)的值为.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．按照指定方法解下列方程：（1）16x2+8x=3（公式法）；（2）2x2+5x−1=0（配方法）；（3）6−2y=(y−3)2（因式分解法）．18．如图，要在墙边围一个矩形花圃．花圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用篱笆围成．如果矩形花圃的面积为50平方米，篱笆长20米，求矩形花圃的长和宽各是多少米？19．小芳家今年添置了新电器已知今年5月份的用电量是120千瓦时，根据去年5至7月用电量的增长趋势，预计今年7月份的用电量将达到240千瓦时.假设今年5至6月用电量月增长率是6至7月用电量月增长率的1.5倍，预计小芳家今年6月份的用电量是多少千瓦时.20．已知关于x的一元二次方程：x2+（k-5）x+4-k=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求另一个根及k的值．21．已知a、b、c是△ABC的三边长，关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+a−c=0有两个相等的实数根．（1）请判断△ABC的形状；（2）当a=5，b=3时，求一元二次方程的解．22．已知关于x的方程x2+2mx+n=0（m、n是常数）有两个相等的实数根．（1）求证：m2=n；（2）求证：m+n≥−1 4．23．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件.为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润.据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件.设每件童装降价x元.（1）每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元.（3）平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由.24．已知关于x的方程x2+(m−2)x−9=0.（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根.（2）若这个方程的两个实根α，β，满足2α+β=m+1，求m的值.。
鲁教版2020八年级数学下册第八章一元二次方程单元培优测试题3(附答案详解)
鲁教版2020八年级数学下册第八章一元二次方程单元培优测试题（附答案详解） 1．等腰三角形的底和腰长是方程x 2-6x +5=0的根，则这个三角形的周长是（）A ．3B ．11C ．3或15D ．3或11或15 2．关于x 的方程()220a a x ax a -++=是一元二次方程的条件是（ ）A ．0a ≠B ．1a ≠C ．0a ≠或1a ≠D ．0a ≠且1a ≠ 3．某市要组织一次青少年排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每一天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛.（ ）A ．5 B ．6 C ．7 D ．84．若方程x 2﹣7x+12＝0的两个实数根恰好是直角△ABC 的两边的长，则△ABC 的周长为（ ）A ．12 B ． C ．12或 D ．115．解关于x 的方程()2110x mx +-=时,得到以下四个结论,其中正确的是（ ） A ．m 为任意数时,方程总有两个不相等的实数根B ．m 为任意数时,方程无实数根C ．只有当m =2时,方程才有两个相等的实数根D ．当m =±2时,方程有两个相等的实数根6．关于x 的方程x 2+（m 2﹣2）x ﹣15＝0有一个根是x ＝3，则m 的值是（ ）A ．0B ．2C ．2或﹣2D ．﹣27．方程2269x x -=的二次项系数是2，则一次项系数，常数项分别为（ ）A ．6，-9B ．-6，9C ．-6，-9D ．6，98．方程x 2=x 的根是（ ）A ．1B ．±1C ．0和1D ．09．下列说法中，正确的是（ ）A ．形如ax 2+bx+c=0的方程叫做一元二次方程B ．方程4x 2+3x=6不含常数项C ．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数、常数项均不能为0D ．（2-x ）2=0是一元二次方程10．一元二次方程240x -=的解是（ ）A ．2-B ．2C ．D ．2±11．若关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +3n ＝0有一个根是3，则m ﹣n ＝_____．12．已知关于x 的方程2230ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是___． 13．有一间会议室，它的地板长为20m ，宽为15m ，现准备在会议室地板中间铺一块地毯，要求四周未铺地毯的部分宽度相同，而且地毯的面积是会议室地板面积的一半，若设四周未铺地毯的部分宽度为 m x ，则铺地毯部分的长是__________________________，宽是_____________________，铺地毯部分的面积为______________________，可列方程______________________．14．如果关于x 的一元二次方程230x x k --=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是______．15．方程3x 2+x ﹣1＝0的解是_____．16．方程(2)4310m m x x m ++++=是关于x 的一元二次方程，则m=______.17．某农户的粮食产量平均每年的增长率为x ，第一年的产量为50000Kg ，第二年的产量为_______Kg ，第三年的产量为______Kg ，三年总产量为________Kg ．18．已知关于x 的方程x 2－(a ＋b )x ＋ab －1＝0，x 1，x 2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x 1≠x 2；②x 1x 2＜ab ；③x ＋x ＜a 2＋b 2.则正确结论的序号是__________(填序号).19．已知关于x 的一元二次方程ax 2+(a-3)x-3=0有两个实数根,则a 的取值为____.20．如果关于x 的方程kx 2﹣6x +9＝0有两个相等的实数根，那么k 的值为_____． 21．解方程：（1）3x 2＋8x －3=0；（2）x 2+3x －1=0；（3）x 2－2x －3=0；（4）（x +4）2=5（x +4）22．香香蛋糕店开业在即，老板香香要求员工通过微信转发进行宣传，于是蛋糕店开业的消息朋友圈快速流转起来．（1）开始只有香香和员工共9个人知道开业消息，两天后知道此店开业消息的人数达到1089人，如果每个人每天转发的人数相同，那么每个人每天把消息传递了几个人？ （2）老板香香根据经验估计；该店将进货价格为8元的蛋糕按每个10元售出，每天可销售200个，如果这种蛋糕每涨价1元，其销售量就减少20个，香香想通过卖这种蛋糕每天获得800元利润，他能梦想成真吗？23．如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建一横两竖同样宽度的小路，剩余的空地种植草坪，使草坪的面积为570m 2，求道路的宽度.24．解方程：x 2-2x-1=0.25．方方同学在寒假社会调查实践活动中，对某罐头加工厂进行采访，获得了该厂去年的部分生产信息如下：①该厂一月份罐头加工量为a 吨；②该厂三月份的加工量比一月份增长了44％；③该厂第一季度共加工罐头182吨；④该厂二月、三月加工量每月按相同的百分率增长；⑤该厂从四月份开始设备整修更新，加工量每月按相同的百分率开始下降；⑥六月份设备整修更新完毕，此月加工量为一月份的2.1倍，与五月份相比增长了46.68吨．利用以上信息求：（1）该厂第一季度加工量的月平均增长率；（2）该厂一月份的加工量a 的值；（3）该厂第二季度的总加工量．26．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 27．用指定的方法解方程：（1）x-2=x(x-2)（因式分解法）（2）2230x x --=（用配方法）（3）22980x x -+=（用公式法）（4）22(2)(23)x x -=+（用合适的方法）28．某水果店以每千克6元的价格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又购进一些同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了1元，已知两次一共进货600千克．（1）若该水果店两次进货的总价格不超过3200元，求第一次至多购进水果多少千克？ （2）在（1）的条件下，以第一次购进最大重量时的数量进货，在销售过程中，第一次购进的水果有3%的损耗，其售价比其进价多2a元，第二次购进的水果有5%的损耗，其售价比其进价多a元，该水果店希望售完两批水果后获利31.75%，求a的值．参考答案1．D【解析】【分析】首先解方程求出方程的根，然后分情况讨论，分别计算即可.【详解】解：∵x 2-6x+5=0，∴(x-5)(x-1)=0，∴x-5=0或x-1=0，∴x=5或x=1，当等腰三角形是等边三角形且边长为1时，周长是3；当等腰三角形是等边三角形且边长为5时，周长是15；当等腰三角形底边长是1，腰长为5时，此时三边长为1，5，5，能构成三角形，周长是11；当等腰三角形底边长是5，腰长为1时，此时三边长为1，1，5，1+1＜5，不能构成三角形，∴这个三角形的周长是：3或11或15，故选：D.【点睛】本题考查了解一元二次方程及等腰三角形的定义和性质，注意分类讨论思想的应用. 2．D【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a≠0，a b c 是常数），求出即可．【详解】解：∵方程()220a a x ax a -++=是一元二次方程，∴20a a -≠即：0a ≠且1a ≠故选：D ．【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义的理解，知道一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 是常数）是解此题的关键．3．D【解析】【分析】设应邀请x 个队参赛，每个队参赛()1x -场，总共进行()12x x -场比赛，根据题意可列出一元二次方程求解.【详解】设应邀请x 个队参赛，由题意得 ()1=742-⨯x x 解得18x =，27x =-球队数量不能为负数，所以取8x =，故选D.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解决本题的关键是找到x 个队的参赛场数，需要注意2个队伍比赛一场，则x 个队比赛场数为()12x x -.4．C【解析】【分析】通过因式分解法解方程，得到两边长，再进行分类讨论即可。
一元二次方程的解法：配方法
【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题2.3一元二次方程的解法：配方法（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•双滦区校级期末）用配方法解方程，x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）A．（x+1）2＝6B．（x﹣1）2＝6C．（x+2）2＝9D．（x﹣2）2＝92．（2022秋•东城区校级期末）用配方法解方程x2﹣4x＝1，变形后结果正确的是（ ）A．（x+2）2＝5B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝23．（2022秋•武昌区校级月考）用配方法解一元二次方程x2+2x＝3时，将其化为（x+m）2＝n的形式，则m，n的值分别是（ ）A．m＝1，n＝2B．m＝1，n＝3C．m＝1，n＝4D．m＝﹣1，n＝34．（2022秋•鄱阳县月考）将一元二次方程x2+6x+3＝0化为（x+h）2＝k的形式，则k的值为（ ）A．3B．6C．9D．125．（2022•杭州模拟）将方程x2﹣6x+1＝0化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）A．2B．3C．4D．56．（2021秋•东明县期末）用配方法解方程2x2﹣12x＝5时，先把二次项系数化为1，然后方程的两边都应加上（ ）A．4B．9C．25D．367．（2022秋•襄都区期中）用配方法解一元二次方程x2﹣2x＝35时，步骤如下：①x2﹣2x+1＝36；②（x﹣1）2＝36；③x﹣1＝±6；④x＝±7，即x1＝7，x2＝﹣7．其中开始出现错误的步骤是（ ）A．①B．②C．③D．④8．（2021秋•安平县期末）如表，在解方程2x2+4x+1＝0时，对方程进行配方，表①中是嘉嘉做的，表②中是琪琪做的，对于两人的做法，下列说法正确的是（ ）①2x2+4x＝﹣1，4x2+8x＝﹣2，4x 2+8x +4＝2，（2x +2）2＝2．②2x 2+4x ＝﹣1，x 2+2x =−12x 2+2x +1=−12+1，（x +1）2=12A ．两人都正确B ．嘉嘉正确，琪琪不正确C ．嘉嘉不正确，琪琪正确D ．两人都不正确9．（2021秋•安义县月考）在解方程2x 2+4x +1＝0时，对方程进行配方，文本框①中是小贤做的，文本框②中是小淇做的，对于两人的做法，下列说法正确的是（ ）A ．两人都正确B ．小贤正确，小淇不正确C ．小贤不正确，小淇正确D ．两人都不正确10．（2022•宁远县模拟）基本不等式的性质：一般地，对于a ＞0，b ＞0，我们有a +b ≥a ＝b 时等号成立．例如：若a ＞0，则a +9a ≥6，当且仅当a ＝3时取等号，a +9a的最小值等于6．根据上述性质和运算过程，若x ＞1，则4x +1x−1的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•仪征市期中）新定义，若关于x 的一元二次方程：m （x ﹣a ）2+b ＝0与n （x ﹣a ）2+b ＝0，称为“同类方程”．如2（x ﹣1）2+3＝0与6（x ﹣1）2+3＝0是“同类方程”．现有关于x 的一元二次方程：2（x ﹣1）2+1＝0与（a +6）x 2﹣（b +8）x +6＝0是“同类方程”．那么代数式ax 2+bx +2022能取得最大值是 ．12．（2022•青神县模拟）将一元二次方程x 2﹣8x ﹣5＝0化成（x +a ）2＝b （a 、b 为常数）的形式，则a 、b的值分别是 ．13．（2021春•霍邱县期末）把x2+2x﹣2＝0化为（x+m）2＝k的形式（m，k为常数），则m+k＝ ．14．（2019秋•相城区期中）用配方法解方程x2﹣6x＝2时，方程的两边同时加上 ，使得方程左边配成一个完全平方式．15．（2018春•松滋市期末）把一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0用配方法配成2（x﹣h）2+k＝0的形式（h，k均为常数），则h和k的值分别为 16．（2022秋•新蔡县校级月考）若定义如果存在一个数i，使（±i）2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：方程x2﹣2x+5＝0的两根为 （根用i表示）．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解一元二次方程：（1）3（x﹣2）2﹣27＝0；（2）2x2﹣4x﹣12＝0．18．用配方法解方程：（1）（2x﹣1）2＝5；（2）x2+6x+9＝2；（3）x2﹣2x+4＝﹣1．19．用配方法解下列方程：（1）x2﹣5x＝2；（2）x2+8x＝9；（3）x2+12x﹣15＝0；（4）x2−14x﹣4＝0．20．（2017•滨州）根据要求，解答下列问题：①方程x2﹣2x+1＝0的解为 ；②方程x2﹣3x+2＝0的解为 ；③方程x2﹣4x+3＝0的解为 ；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8＝0的解为 ；②关于x的方程 的解为x1＝1，x2＝n．（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8＝0，以验证猜想结论的正确性．21．（2022秋•新野县期中）阅读材料：若m2﹣2m+17＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2m+1+n2﹣8n+16＝0∴（m2﹣2m+1）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣1）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣1）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴m＝1，n＝4．根据你的观察，解答下面的问题：（1）已知x2﹣4x+y2+6y+13＝0，求xy的值；（2）已知a、b、c为△ABC三边，且2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，判断△ABC的形状．22．（2022秋•辉县市期中）阅读理解题．先阅读下面的例题，再按要求解答下面的问题：（例题）说明代数式m2+2m+4的值一定是正数．解：m2+2m+4＝m2+2m+1﹣1+4＝（m+1）2+3∵（m+1）2≥0∴（m+1）2+3≥3∴m2+2m+4的值一定是正数（1）说明代数式﹣a2+6a﹣10的值一定是负数（2）设正方形面积为S1，长方形的面积为S2，正方形的边长为a，如果长方形的一边长为4，另一边长比正方形的边长少了3．请你比较S1与S2的大小关系．并说明理由．23．（2022秋•绥宁县期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式x2+4x+5最小值．解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1，即x2+4x+5的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）已知y＝x2﹣6x+12，求y的最小值．（2）比较代数式3x2﹣x+2与2x2+3x﹣6的大小，并说明理由．知识迁移：（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P在AC边上以2cm/s的速度从点A 向C移动，点Q在CB边上以1cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形APQB的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最小值．。
一元二次方程专题能力培优(含答案)
第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值1.已知2(3)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A.m ≠3B.m ≥3C.m ≥-2D. m ≥-2且m ≠32. 已知关于x 的方程21(1)(2)10mm x m x +++--=，问：（1）m 取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程； （2）m 取何值时，它是一元一次方程？专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值3.关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2-1=0的常数项为0，求m 的值．4.若一元二次方程2(24)(36)80a x a x a -+++-=没有一次项，则a 的值为 .专题三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式5.已知关于x 的方程x 2+bx+a=0的一个根是-a （a≠0），则a-b 值为（ ） A.－1 B.0 C.1 D.26.若一元二次方程ax 2+bx+c=0中，a －b+c=0，则此方程必有一个根为 .7.已知实数a 是一元二次方程x 2－2013x+1=0的解，求代数式22120122013a a a +--的值.知识要点：1.只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项.3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根.温馨提示：1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件.2.一元二次方程的根是两个而不再是一个.方法技巧：1.ax k+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.答案： 1. D 解析：3020m m -≠⎧⎨+≥⎩，解得m ≥-2且m ≠32.解：（1）当212,10m m ⎧+=⎨+≠⎩时，它是一元二次方程.解得：m=1．当m=1时，原方程可化为2x 2-x-1=0； （2）当20,10m m -≠⎧⎨+=⎩或者当m+1+（m-2）≠0且m 2+1=1时，它是一元一次方程.解得：m=-1，m=0.故当m=-1或0时，为一元一次方程．3.解：由题意，得：210,10.m m ⎧-=⎨-≠⎩ 解得：m=－1．4.a=-2 解析：由题意得360,240.a a +=⎧⎨-≠⎩解得a=－2.5. A 解析：∵关于x 的方程x 2+bx+a=0的一个根是-a （a≠0），∴a 2－ab+a=0.∴a （a －b+1）=0.∵a≠0，∴1-b+a=0.∴a-b=-1．6.x=－1 解析：比较两个式子会发现：（1）等号右边相同；（2）等号左边最后一项相同；（3）第一个式子x 2对应了第二个式子中的1，第一个式子中的x 对应了第二个式子中的-1.故211x x ⎧=⎨=-⎩.解得x=－1.7. 解：∵实数a 是一元二次方程x 2－2013x+1=0的解，∴a 2－2013a+1=0. ∴a 2+1=2013a ，a 2－2013a=－1. ∴2.2 一元二次方程的解法专题一利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值1.若方程25x2-（k-1）x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A．-9或11 B．-7或8 C．-8或9 C．-8或92.如果代数式x2+6x+m2是一个完全平方式，则m= .3.用配方法证明：无论x为何实数，代数式－2x2+4x－5的值恒小于零．专题二利用△判定一元二次方程根的情况或者判定字母的取值范围4.已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A.没有实数根B.可能有且只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根5.关于x的方程kx2+3x+2=0有实数根，则k的取值范围是（）6.定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c专题三解绝对值方程和高次方程7.若方程（x2+y2-5）2=64，则x2+y2= .8.阅读题例，解答下题：例：解方程x2－|x－1|－1=0.解：（1）当x－1≥0，即x≥1时，x2－（x－1）－1=0，∴x2－x=0.解得：x1=0（不合题设，舍去），x2=1.（2）当x－1＜0，即x＜1时，x2+（x－1）－1=0，∴x2+x－2=0.解得x1=1（不合题设，舍去），x2=－2.综上所述，原方程的解是x=1或x=－2.依照上例解法，解方程x2+2|x+2|－4=0．专题四一元二次方程、二次三项式因式分解、不等式组之间的微妙联系9.探究下表中的奥秘，并完成填空：10.请先阅读例题的解答过程，然后再解答：代数第三册在解方程3x （x+2）=5（x+2）时，先将方程变形为3x （x+2）-5（x+2）=0， 这个方程左边可以分解成两个一次因式的积，所以方程变形为（x+2）（3x-5）=0．我们知 道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个 因式有一个等于0，它们的积等于0．因此，解方程（x+2）（3x-5）=0，就相当于解方程 x+2=0或3x-5=0，得到原方程的解为x 1=-2，x 2=53． 根据上面解一元二次方程的过程，王力推测：a ﹒b ＞0，则有 0,0a b >⎧⎨>⎩或者0,0.a b <⎧⎨<⎩请判断王力的推测是否正确？若正确，请你求出不等式51023x x ->-的解集，如果不正确，请说明理由．专题五 利用根与系数的关系求字母的取值范围及求代数式的值11. 设x 1、x 2是一元二次方程x 2+4x －3=0的两个根，2x 1（x 22+5x 2﹣3）+a =2，则a = ． 12.（2012·怀化）已知x 1、x 2是一元二次方程()0262=++-a ax x a 的两个实数根，⑴是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2=4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；⑵求使（x 1＋1）（x 2＋1）为负整数的实数a 的整数值．13.(1)教材中我们学习了：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2,x 1+x 2=－b a ,x 1·x 2=ca .根据这一性质，我们可以求出已知方程关于x 1、x 2的代数式的值．例如：已知x 1、x 2为方程x 2-2x-1=0的两根，则：（1）x 1+x 2=____，x 1·x 2=____，那么x 12+x 22=( x 1+x 2)2-2 x 1·x 2=__ __． 请你完成以上的填空．．．．．．．．．． （2）阅读材料：已知2210,10m m n n --=+-=，且1mn ≠．求1mn n+的值． 解：由210n n +-=可知0n ≠．∴21110n n +-=．∴21110n n --=. 又210,m m --=且1mn ≠，即1m n ≠．∴1,m n是方程210x x --=的两根．∴11m n +=．∴1mn n+=1．（3）根据阅读材料所提供的的方法及（1）的方法完成下题的解答．已知222310,320m m n n --=+-=，且1mn ≠．求221m n+的值．知识要点：1.解一元二次方程的基本思想——降次，解一元二次方程的常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.2.一元二次方程的根的判别式△=b-4ac 与一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的关系： 当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数解； 当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数解； △<0时，一元二次方程没有实数解.3.一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根x 1、x 2与系数a 、b 、c 之间存在着如下关系： x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=.温馨提示： 1.x 2+6x+m 2是一个完全平方式，易误以为m=3.2.若一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根x 1、x 2有双层含义：（1）ax 12+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0；（2）x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=.方法技巧：1.求二次三项式ax 2+bx+c 极值的基本步骤：（1）将ax 2+bx+c 化为a （x+h ）2+k ；（2）当a>0，k>0时，a （x+h ）2+k ≥k ；当a<0，k<0时，a （x+h ）2+k ≤k.2.若一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个根为x 1．x 2，则ax 2+bx +c =a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）． 3.解绝对值方程的基本思路是将绝对值符号去掉，所以要讨论绝对值符号内的式子与0的大小关系.4.解高次方程的基本思想是将高次方程将次转化为关于某个式子的一元二次方程求解.5.利用根与系数求解时，常常用到整体思想.答案： 1.A 解析：根据题意知，-（k-1）=±2×5×1，∴k-1=±10，即k-1=10或k-1=-10，得k=11或k=-9．2. ±3 解析：据题意得，m 2=9，∴m=±3．3.证明：－2x 2+4x －5=－2（x 2－2x ）－5=－2（x 2－2x+1）－5+2=－2（x －1）2－3.∵（x －1）2≥0，∴－2（x －1）2≤0，∴－2（x －1）2－3＜0.∴无论x 为何实数，代数式－2x 2+4x-5的值恒小于零．4.A 解析：△=（2c ）2﹣4（a +b ）（a +b ）=4（a +b +c ）（c ﹣a ﹣b ）.根据三角形三边关系，得c ﹣a ﹣b ＜0，a +b +c ＞0．∴△＜0．∴该方程没有实数根．5.A 解析：当kx 2+3x+1=0为一元一次方程方程时，必有实数根，此时k=0； 当kx 2+3x+1=0为一元二次方程且有实数根时，如果有实数根，则203420k k ≠⎧⎨-⨯⨯≥⎩.解得98k ≤且k ≠0.综上所述98k ≤.6.A 解析：∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个相等的实数根，∴△＝b 2－4ac＝0，又a ＋b ＋c ＝0，即b ＝－a －c ，代入b 2－4ac ＝0得（－a －c ）2－4ac ＝0，化简得（a－c ）2＝0，所以a ＝c ．7.13 解析：由题意得x 2+y 2-5=±8.解得x 2+y 2=13或者x 2+y 2=－3（舍去）.8.解：①当x+2≥0，即x≥－2时，x 2+2（x+2）－4=0，∴x 2+2x=0.解得x 1=0，x 2=－2；②当x+2＜0，即x ＜-2时，x 2－2（x+2）－4=0，∴x 2－2x －8=0. 解得x 1=4（不合题设，舍去），x 2=－2（不合题设，舍去）． 综上所述，原方程的解是x=0或x=－2． 9.41-，﹣3；41，3．发现的一般结论为：若一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个根为x 1．x 2，则ax 2+bx +c =a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．11.8 解析：∵x 1x 2＝－3，x 22+4x 2－3=0，∴2x 1(x 22+5x 2－3)+a =2转化为2x 1(x 22+4x 2－3+ x 2)+a =2. ∴2x 1x 2+a =2.∴2×(－3)+a ＝2.解得a ＝8.12.解：（1）根据题意，得△=（2a ）2－4×a （a －6）=24a ≥0．∴a ≥0． 又∵a －6≠0，∴a ≠6．由根与系数关系得：x 1＋x 2=－62-a a ，x 1x 2=6-a a. 由－x 1＋x 1x 2=4＋x 2 得x 1＋x 2 ＋4=x 1x 2.∴－62-a a ＋4 =6-a a，解得a =24．经检验a =24是方程－62-a a ＋4 =6-a a的解．（2）原式=x 1＋x 2 ＋x 1x 2 ＋1=－62-a a ＋6-a a ＋1=a-66为负整数，∴6－a 为－1或－2，－3，－6.解得a =7或8，9，12．13.解：（1）2，－1， 6．（3）由n 2+3n-2=0可知n ≠0,∴1+3n －2n 2=0.∴2n 2－ 3n －1=0.又2m 2-3m-1=0,且mn ≠1，即m ≠1n ．∴m 、1n是方程2x 2-3x-1=0的两根．∴m+1n = 32,m ·1n =－12,∴m 2+ 1n 2=(m+ 1n )2-2m ·1n =( 32)2-2·(－12)= 134.2.3 一元二次方程的应用专题一、利用一元二次方程解决面积问题1.在高度为2.8m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户．现用9.5m长的铝合金条制成如图所示的窗框．问：窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为3m2（铝合金条的宽度忽略不计）．2.如图：要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？3. 数学的学习贵在举一反三，触类旁通.仔细观察图形，认真思考，解决下面的问题：（1）在长为a m，宽为b m的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路（如图（1）），则余下草m；坪的面积可表示为2（2）现为了增加美感，设计师把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图（2）），则此时m；余下草坪的面积为2（3）聪明的鲁鲁结合上面的问题编写了一道应用题，你能解决吗？相信自己哦！（如图（3）），在长为50m，宽为30m的一块草坪上修了一条宽为xm的笔直小路和一条长恒m．求小路的宽x.为xm的弯曲小路（如图3），此时余下草坪的面积为14212专题二、利用一元二次方程解决变化率问题4.据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，20XX年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长5.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？6.（2012·广元）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元的价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价后，决定以每平方米5670 元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开放商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力．请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？专题三、利用一元二次方程解决市场经济问题7.（2012·济宁）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？8.（2012·南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的售价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元,每多售出1 部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元.(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元.(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）专题四、利用一元二次方程解决生活中的其他问题9. (1)经过凸n边形(n＞3)其中一个顶点．．．．．．的对角线有条.(2)一个凸多边形共有14条对角线,它是几边形？(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在,它是几边形？如果不存在,说明得出结论的道理.10.如图每个正方形是由边长为1的小正方形组成．（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设红色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2=5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由．知识要点：列方程解决实际问题的常见类型：面积问题，增长率问题、经济问题、疾病传播问题、生活中的其他问题.温馨提示：1.若设每次的平均增长(或降低)率为x，增长(或降低)前的数量为a，则第一次增长(或降低)后的数量为a(1±x)，第二次增长(或降低)后的数量为a(1±x)2．2.面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积(体积)公式列出一元二次方程．3.列方程解决实际问题时，方程的解必须使实际问题有意义，因此要注意检验结果的合理性. 方法技巧：1. 变化率问题中常用a （1±x ）n=b ，其中a 是起始量，b 是终止量，n 是变出次数，x 是变 化率.变化率问题用直接开平方法求解简单.2.解决面积问题常常用到平移的方法，利用平移前后图形面积不变建立等量关系.答案：1.解：设高为x 米，则宽为9.50.523x --米.由题意，得9.50.5233xx --⨯=.解得121.5,3x x == (舍去,高度为2.8m 的一面墙上). 当x=1.5时，宽9.50.529.50.53233x ----==.答：高为1.5米,宽为2米.2.解：设横、竖彩条的宽度分别为2xcm 、3xcm ，由题意，得（20－6x ）（30－4x ）=（1－13）×20×30.整理，得6x 2－65x ＋50＝0. 解，得x 1＝56，x 2＝10（不合题意，舍去）.∴2x ＝53，3x ＝52.答：每个横、竖彩条的宽度分别为53cm ，52cm ．3.解：(1)(1)a b -（或ab a -）；(2) (1)a b -（或ab a -）；(3)将笔直的小路平移到草坪的左边，则余下部分的长为(50-x)m,将弯曲的小路的两侧重合，则余下部分的宽为（30-x ）m,由题意得：(50-x)（30-x ）=1421. 解得 x 1=1， x 2=79（舍去）. 答：小路的宽为1m.4.解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a ，合理利用量的增长率是x ，由题意，得30%a （1+x ）2=60%a.∴x 1≈0.41，x 2≈-2.41（不合题意舍去）．∴x≈0.41． 答：每年的增长率约为41%．5.解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台电脑，依题意，得1＋x ＋(1＋x )x ＝81.整理得(1＋x )2＝81. ∴x 1＝8，x 2＝ －10（舍去）.∴(1＋x )3＝(1＋8)3＝729＞700． 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．6.解：（1）设平均每次下调%p ，则有5670%)1(70002=-p .∴81.0%)1(2=-p .∵1—p%>0，∴1—p%=0.9. p%=0.1=10%.答：平均每次下调10%；（2）先下调5%，再下调15%，这样最后单价为7000元×(1—5%)×(1—15%）=5652.5元. ∴ 销售经理的方案对购房者更优惠一些．7.解：因为60棵树苗售价为120元×60＝7200元<8800元，所以该校购买树苗超过60棵．精品资料 欢迎下载 设该校共购买了x 棵树苗，由题意，得()1200.5608800x x --=⎡⎤⎣⎦ . 解得12220,80x x ==． 当1220x =时，()1200.52206040100--=<，∴1220x =不合题意，舍去；当280x =时，()1200.58060110100--=>，∴280x =.∴80x =.答：该校共购买了80棵树苗．8.解：(1)27－0.3=26.7；（2）设需要销售出x 部汽车可盈利12万元.①当销售10部以内（含10部）时，依题可得﹝28－27+0.1（x －1）﹞x+0.5x=12.解得6)(2021=-=x x ，不合题意，舍去.当销售6部汽车时，当月可盈利12万元. ②当销售10部以上时，依题可得﹝28－27+0.1（x －1）﹞x+x=12.解得24,521-==x x ，均不合题意，应舍去.答：当销售6部汽车时，当月可盈利12万元.9.解:（1）n －3；(2)设这个凸多边形是n 边形,由题意,得(3)142n n -=. 解得127,4n n ==- (不合题意,舍去).答:这个凸多边形是七边形.(3)不存在.理由:假设存在n 边形有21条对角线. 由题意,得(3)212n n -=. 解得31772n ±=.因为多边形的边数为正整数，但31772±不是正整数，故不合题意.所以不存在有18条对角线的凸多边形.10.解：（1）1，5，9，13（奇数）2n －1；4，8，12，16（偶数）2n ．（2）由（1）可知n 为偶数时P 1=2n ．∴P 2=n 2－2n.根据题意得n 2－2n=5×2n ，n 2－12n=0，解得n=12，n=0（舍去）．∴存在偶数n=12使得P 2=5P 12．。
浙教版2022-2023学年八下数学第二章 一元二次方程 培优测试卷(解析版)
浙教版2022-2023学年八下数学第二章 一元二次方程 培优测试卷（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．x 2+1x 2=0 B ．ax 2+bx +c =0 C ．（x −1）（x +2）=1D ．x 2−2xy −y 2=0 【答案】C【解析】A.是分式方程，所以不是；B.a 的值不确定，当a=0时，所以不是；C.是；D.含有两个未知数，所以不是.故选C.2．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．x 2+1=0B ．x 2−2x +1=0C ．x 2+2x +4=0D ．x 2−x −3=0【答案】D【解析】A ．x 2+1=0中△=02-4×1×1=-4＜0，没有实数根； B ．x 2-2x+1=0中△=（-2）2-4×1×1=0，有两个相等实数根；C ．x 2+2x+4=0中△=22-4×1×4=-12＜0，没有实数根；D ．x 2-x-3=0中△=（-1）2-4×1×（-3）=13＞0，有两个不相等的实数根；故答案为：D ．3．如果关于x 的方程(x −9)2=m +4可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（ ） A ．m >3 B ．m ≥3 C ．m >−4 D ．m ≥−4【答案】D【解析】∵(x −9)2=m +4，且方程(x −9)2=m +4可以用直接开平方法求解，∴m +4≥0，∴m ≥−4．故答案为：D ．4．以x =4±√16+4c 2为根的一元二次方程可能是（ ） A ．x 2−4x −c =0 B ．x 2+4x −c =0 C ．x 2−4x +c =0 D ．x 2+4x +c =0【答案】A【解析】A ．此方程的根为x=4±√16+4c 2，符合题意； B ．此方程的根为x=−4±√16+4c 2，不符合题意； C ．此方程的根为x=4±√16−4c 2，不符合题意； D ．此方程的根为x=−4±√16−4c 2，不符合题意； 故答案为：A ．5．已知关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+m 2+4m ﹣5=0的一个根为0，则m 的值为（ ） A ．1 B ．﹣5C ．1或﹣5D ．m≠1的任意实数【答案】B【解析】把x=0代入方程（m ﹣1）x 2+x+m 2+4m ﹣5=0中，得m 2+4m ﹣5=0，解得m=﹣5或1，当m=1时，原方程二次项系数m ﹣1=0，舍去，故选B ．6．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约2亿元，第三天票房收入约达到4亿元，设票房收入每天平均增长率为x ，下面所列方程正确的是（）A．2(1+x)2=4B．2(1+2x)=4C．2(1−x)2=4D．2+2(1+x)+2(1+x)2=4【答案】A【解析】设平均每天票房的增长率为x，根据题意得：2(1+x)2=4．故答案为：A．7．某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．48(1+x)2=36B．48(1−x)2=36C．36(1+x)2=48D．36(1−x)2=48【答案】C【解析】依题意，得：36(1+x)2=48．故答案为：C．8．已知a、b是方程x2-2x-1=0的两根，则a2+a+3b的值是（）A．7B．5C．-5D．-7【答案】A【解析】由题意知，a+b=2，x²=2x+1，即a²=2a+1，∴a²+a+3b=2a+1+a+3b=3（a +b）+1=3×2+1=7．故答案为：A.9．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则一元二次方程a（x﹣1）2+b （x﹣1）＝1必有一根为（）A．12019B．2020C．2019D．2018【答案】B【解析】对于一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0，设t=x-1，所以at2+bt-1=0，而关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2019，所以at2+bt-1=0有一个根为t=2019，则x-1=2019，解得x=2020，所以一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=1必有一根为x=2020．故答案为：B．10．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a−c≠0，以下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1C．如果7是方程M的一个根，那么17是方程N的一个根D．如果方程M有两根符号相同，那么是方程N的两根符号也相同【答案】B【解析】A、在方程M：ax2+bx+c=0中△＝b2−4ac，在方程N：cx2+bx+a=0中△＝b2−4ac，∴如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根，正确；B、M−N得：（a−c）x2＋c−a＝0，即（a−c）x2＝a−c，∵a−c≠0，∴x2＝1，解得：x＝±1，错误.C、∵7是方程M的一个根，∴49a＋7b＋c＝0，∴a＋17b＋149c＝0，∴17是方程N的一个根，正确；D、∵ca和ac符号相同，∴如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，正确；故答案为：B.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．一元二次方程x2+x−2=0的解是x1=，x2=.【答案】1；-2【解析】x2+x−2=0(x−1)(x+2)=0∴x−1=0或x+2=0解得：x1=1，x2=−2；故答案为：1；-2.12．如果关于x的一元二次方程（m+3）x2+3x+m2﹣9＝0有一个解是0，那么m的值是．【答案】3【解析】由题意，把x＝0代入（m+3）x2+3x+m2﹣9＝0，得m2﹣9＝0，解得m1＝3，m2＝﹣3．又∵m+3≠0，即m≠﹣3，则m＝3符合题意．故答案是：3．13．某校准备组织一次篮球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，那么共有个队参加.【答案】8【解析】∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，∴共7×4=28场比赛，设共有x个队参赛，则由题意可列方程为：x(x−1)2=28，解得：x1=8，x2=-7（舍去），答：共有8个队参赛.故答案为：8.14．若三角形ABC两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程x2−8x+15=0的一个实数根，则该三角形的面积是.【答案】6或2√5【解析】解方程：x2-8x+15=0，即（x-5）（x-3）=0，解得：x1=3，x2=5.当x1=3时，与另两边组成等腰三角形，可求得底边4上的高AD=√5，所以该三角形的面积是4×√5÷2=2√5；当x2=5时，与另两边组成直角三角形，即3，4，5符合直角三角形三边关系，∴该三角形的面积=3×4÷2=6.综上所述，该三角形的面积是6或2√5.故答案为：6或2√5.15．已知实数x，y满足(x2+y2)2+9(x2+y2)=0，则x2+y2=.【答案】0【解析】设（x2+y2）为t且t≥0，则t2+9t=0，t（t+9）=0∴t=0或t=-9（不合题意舍去）.故答案为：0.16．对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①a+c=0，方程ax 2+bx+c=0，有两个不相等的实数；②若方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实根.则方程cx 2+bx+a=0也一定有两个不相等的实根；③若c 是方程ax 2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若m 是方程ax 2+bx+c=0的一个根，则一定有b 2-4ac=（2am+b ）2成立，其中正确的结论是 .（把你认为正确结论的序号都填上）【答案】①④【解析】①根据公式法解一元二次方程可知Δ=b 2−4ac ，若a+c=0，且a≠0，∴a ，c 异号，∴Δ>0，故此时有两个不相等的实数根，故答案为：①正确；②若c=0，b≠0，则b 2−4ac >0，∴方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，方程cx 2+bx+a=0仅有一个解，故答案为：②错误；③将x=c 代入方程ax 2+bx+c=0，可得ac 2+bc +c =0，即c(ac +bc +1)=0，解得c=0或ac+b+1=0，因此ac+b+c=0不一定成立，故答案为：③错误；④∵m 是方程ax 2+bx+c=0的一个根，∴am 2+bm+c=0，此时(2am +b)2=4a 2m 2+b 2+4abm =4a(am 2+bm)+b 2=4a(−c)+b 2=b 2−4ac ，故答案为：④正确故答案为：①④.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．按照指定方法解下列方程：（1）16x 2+8x =3（公式法）；（2）2x 2+5x −1=0（配方法）；（3）6−2y =(y −3)2（因式分解法）．【答案】（1）解：16x 2+8x =3，16x 2+8x −3=0，b 2−4ac =82−4×16×(−3)=256>0，x =−8±√2562×16，x 1=14，x 2=−34； （2）解：方程整理得：x 2+52x =12，配方得：x 2+52x +2516=12+2516，即(x +54)2=3316，开方得：x +54=±√334，解得：x 1=−54+√334，x 2=−54−√334；（3）解：方程整理得：(y −3)2+2(y −3)=0，分解因式得：(y −3)(y −3+2)=0，可得y −3=0或y −1=0，解得：y 1=3，y 2=1．18．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx +m ﹣1＝0．（1）求证：无论m 为何值，方程总有两个实数根；（2）若方程只有一个根为负数，求m 的取值范围．【答案】（1）证明：∵△＝m 2﹣4×（m ﹣1）＝m 2﹣4m+4＝（m ﹣2）2≥0，∴无论m 为何值，方程总有两个实数根（2）解：由求根公式可得 x =−b±√Δ2a =−m±|m−2|2 , 当 m ≥2 时，解得 x =−m+m−22=−1 或 x =−m−m+22=−m +1 ， 当 m <2 时，解得 x =−m+2−m 2=−m +1 或 x =−m−2+m 2=−1 ， 综上所述，无论m 取何值时，该方程的解为x ＝﹣1或x ＝﹣m+1，若方程有一个根为负数，则 ﹣m +1≥0 ，解得 m ≤1 ．故m 的取值范围为 m ≤119．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m+3）x+3m ＝0．（1）求证：无论m 取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m 的值．【答案】（1）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m ＝m 2﹣6m+9＝（m ﹣3）2．∵（m ﹣3）2≥0，即Δ≥0，∴无论m取任何实数，方程总有实数根；（2）解：当腰为4时，把x＝4代入x2﹣（m+3）x+3m＝0，得，16﹣4m﹣12+3m＝0，解得m＝4；当底为4时，则程x2﹣（m+3）x+3m＝0有两相等的实数根，∴Δ＝0，∴（m﹣3）2＝0，∴m＝3，综上所述，m的值为4或3．20．自2020年年初以来，全国多地猪肉价格连续上涨，引起了民众与政府的高度关注，政府向市场投入储备猪肉进行了价格平抑.据统计：某超市2020年1月10日这天猪肉售价为每千克56元，比去年同一天上涨了40%.（1）求2019年1月10日，该超市猪肉的售价为每千克多少元？（2）现在某超市以每千克46元的价格购进猪肉，按2020年1月10日价格出售，平均一天能销售100千克.为促进消费，超市决定对这批猪肉进行降价销售，经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，平均每日销售量就增加18千克.为了实现平均每天有950元的销售利润，超市应将每千克猪肉定为多少元？【答案】（1）解：设该超市猪肉的价格为每千克x元，根据题意得：（1+40%）x＝56，解得x＝40，答：该超市猪肉的价格为每千克40元；（2）解：设每千克猪肉降价y元，根据题意得：（56﹣46﹣y）（100+18y）＝950，解得y1＝5，y2＝﹣59（舍去），则56﹣y＝56﹣5＝51.答：每千克猪肉应该定价为51元.21．已知关于x的一元二次方程x2+4x=1-m。
专题2.12一元二次方程的应用：面积与动态几何问题大题专练(重难点培优30题)
【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题2.12一元二次方程的应用：面积与动态几何问题大题专练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、解答题1．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，求道路的宽是多少米？【答案】2m．【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可．【详解】解：设道路的宽应为x米，剩余部分拼成一个长方形，长和宽分别为（12﹣x）米、（8﹣x）米，由题意得，（12﹣x）（8﹣x）＝60．解得x＝2或x＝18（舍去）．答：道路的宽应设计为2m．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．2．（2022春·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）．（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB；（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？3．（2022秋·七年级统考期末）（1）已知一个长方形的长是宽的2倍，面积是10，求这个长方形的周长．（2）如图，已知长方形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，求图中阴影部分的面积．4．（2021秋·浙江杭州·九年级统考期中）现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．有一堵长为6米的墙可以利用，小俊设计了如图方案，其中AD的长不超过墙长．(1)要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？(2)能围成的最大面积为多少？5．（2022秋·浙江台州·九年级校考阶段练习）暑假期间，某学校计划用彩色的地面砖铺设教学楼门前一块矩形操场ABCD的地面．已知这个矩形操场地面的长为100m，宽为80m，图案设计如图所示：操场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都为小正方形的边长，在实际铺设的过程中，阴影部分铺红色地面砖，其余部分铺灰色地面砖．(1)如果操场上铺灰色地面砖的面积是铺红色地面砖面积的4倍，那么操场四角的每个小正方形边长是多少米？(2)在（1）的条件下，如果灰色地面砖的价格为每平方米30元，红色地面砖的价格为每平方米20元，学校现有15万元资金，问这些资金是否能购买所需的全部地面砖？【答案】(1)5米(2)这些资金不能购买所需的全部地面砖【分析】（1）设操场四角的每个小正方形边长是x米，根据题意列出一元二次方程进行求解即可；（2）根据题意列出代数式进行计算即可．【详解】（1）解：设操场四角的每个小正方形边长是x米，则阴影部分的总长为[2(100−2x)+2(80−2x)]米，宽为x米，依题意得：100×80−[2(100−2x)+2(80−2x)]x=4[2(100−2x)+2(80−2x)]x,整理得：x2−45x+200=0，6．（2022春·浙江湖州·八年级校联考阶段练习）某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为21m和12m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为400m2．(1)求小路的宽度；(2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以40.5万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．【答案】(1)2m(2)10%【分析】（1）设小路的宽度为x m，则长方形的长等于活动区的长加上两侧小路的宽度即为（21+2x）m，长方形的宽等于活动区的宽加上两侧小路的宽度即为（12+2x）m，再根据总面积为400m2的等量关系即可列出方程求解．（2）设每次降价的百分率为y，先用含y的代数式将降价一次后的承包价格表示出来，然后再利用降价一次的承包价格将降价两次承包价格表示出来，根据两次降价后的承包价格为40.5万元即可列出方程求解．（1）设小路的宽度是x m，根据题意得：(21+2x)(12+2x)=400，整理得：4x2+66x−148=0，解得：x1=2，x2=−18.5（舍去）．答：小路的宽度是2m；（2）设每次降价的百分率为y，依题意得：50(1−y)2=40.5，解得：y1=0.1，y2=1.9（舍去），答：每次降价的百分率为10%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系列出方程是解题关键．7．（2022春·浙江温州·八年级统考期中）准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子，（如图所示）在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为x米．(1)花园内的道路面积为______平方米（用x的代数式表示）．(2)若草坪面积为667.2平方米时，求这时道路宽度x的值．8．（2020春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．【答案】（1）长15米，宽10米；（2）不能，理由见解析【分析】（1）设养鸡场的宽为x cm，根据题意列出方程求解即可；（2）根据题意列出一元二次方程，根据根的情况判断即可；【详解】解：（1）设养鸡场的宽为x cm，根据题意得：x(33−2x+2)=150，解得：x1=10，x2=7.5，当x1=10时，33−2x+2=15<18，当x2=7.5时，33−2x+2=20>18（舍去），∴养鸡场的长15米，宽10米；（2）设养鸡场的宽为x cm，根据题意得：x(33−2x+2)=200，整理得：2x2−35x+200=0，∴△=b2−4ac=(−35)2−4×2×200=1225−1600=−375<0，∵方程没有实数根，∴不能否达到200m2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．9．（2018春·八年级单元测试）如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米，求：鸡场的长和宽各为多少米？10．（2021春·浙江金华·八年级统考期末）有两张长12cm，宽10cm的矩形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小矩形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个．（1）做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是 （填“图1”或“图2”）．（2）已知图1中裁去的小正方形边长为1.5cm，求做成的纸盒的底面积．（3）已知按图2裁剪方式做成纸盒的底面积为24cm2，则剪去的小正方形的边长为多少cm？【答案】（1）图2；（2）63cm2；（3）小正方形的边长为2cm．【分析】（1）根据长方形展开图的特征，判断即可．（2）根据长方形的面积公式求解即可．（3）设剪去的小正方形的边长为x cm，构建方程求解即可．【详解】解：（1）做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是：图2；（2）图1中裁去的小正方形边长为1.5cm，做成的纸盒的底面积=（12-3）（10-3）=63（cm2）；（3）设剪去的小正方形的边长为x cm，则有（12-2x）（10-2x）=24×2，解得x=2或9（9舍弃），∴小正方形的边长为2cm．【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，认识立体图形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．11．（2021春·浙江杭州·八年级杭州市公益中学校考期中）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米．（1）这个车棚的长和宽分别应为多少米？（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？【答案】（1）这个车棚的长为10米，宽为8米．（2）小路的宽度是1米．12．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，某校准备一面利用墙，其余三面用篱笆围成一个矩形花圃ABCD，已知旧墙可利用的最大长度为13m，篱笆长为24m，设垂直于墙的AB边长为x m．（1）若围成的花圃面积为70m2时，求BC的长；（2）如图，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为78m2，请你判断能否围成这样的花圃?如果能，求BC的长：如果不能，请说明理由．【答案】（1）10m；（2）不能，理由见解析【分析】（1）根据题意列方程，解方程即可得到结论；（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论．【详解】（1）解：根据题意得：BC=（24-2x）m，则（24-2x）x=70，解得：x1=5，x2=7，当x1=5时，BC=14，x2=7时，BC=10，墙可利用的最大长度为13m，BC=14舍去．答：BC的长为10m．（2）解：不能围成这样的花圃．理由如下：依题意可知：（24-3x）x=78，即x2-8x+26=0，△=82-4×1×26=-40＜0，所以方程无实数根，答：不能围成这样的花圃．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．13．（2020秋·浙江·九年级期末）如图，要利用一面墙（墙长为15m）建羊圈，用30m的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边AB长为x m，总面积为y m2．（1）在不浪费围栏的情况下，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）请问能否围成总面积为81m2的羊圈，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由．【答案】（1）y=-3x2+30x，10＜x≤15；（2）不能，理由见解析【分析】（1）根据长方形的面积公式可得关系式，再根据墙长15米得到不等式，得到x的范围；（2）根据题意列出方程，根据方程的解判断结果．【详解】解：（1）由题意可得：y=x（30-3x）=-3x2+30x，又0＜30-3x≤15，解得：5≤x＜10；（2）当y=81时，-3x2+30x=81，则3x2-30x+81=0，△=302-4×3×81=-72＜0，则方程无解，∴不能围成总面积为81m2的羊圈．【点睛】本题主要考查二次函数的应用能力及一元二次方程的应用的知识，根据题意找到长方形的长BC是解题的关键．14．（2020秋·浙江温州·七年级温州市第十二中学校考期中）如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．（1）阴影部分的面积为（用a的代数式表示）．（2）若空白部分面积之和为4，求a的值．15．（2020春·浙江湖州·八年级统考阶段练习）如图，有一张边长为40cm的正方形纸片，裁去角上的四个部分之后，沿图中的虚线折成了一个有盖的纸盒．纸盒的底面是图中阴影部分．（1）若纸盒的高是xcm，则纸盒的底面的两边长分别是________cm和________cm（用含x的代数式表示）；（2）若纸盒的底面的面积为512c m2，则纸盒的高是多少？．16．（2021秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x的值．（2）若平行于墙的一边长不小于8米，当x取何值时，这个苗圃园的面积有最大值，最大值是多少？17．（2019秋·浙江·九年级统考期中）已知关于x的一元二次方程x2−(a+6)x+3(a+3)=0(a≠0)（1）判别此方程根的情况，并说明理由（2）矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OC=4，OB的长是这个方程的实数根，BC长也是这个方程的实数根，求矩形ABCD的周长．18．（2021春·浙江杭州·八年级杭州春蕾中学校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A出发，沿AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC向点C以2cm s 的速度移动．(1)经过多少秒后，△PBQ的面积为8cm2？(2)线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由．(3)若点P从点A出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，同时点Q从点C出发，沿射线CB方向以2cm s 的速度移动，经过多少秒后△PBQ的面积为1cm2？依题意得：1(6−y)(8−2y2即y2−10y+23=0，解得y1=5+2，y2经检验，y1=5+2∴y=5−2；依题意得：1(6−y)(2y−82即y2−10y+25=0，解得y1=y2=5，经检验，y=5符合题意；③点P在射线AB上，点依题意得：1(y−6)(2y−8)=2即y2−10y+23=0，解得y1=5+2，y2=5−经检验，y2=5−2不符合题意，舍去，∴y=5+2，综上所述，经过(5−2)秒或19．（2022秋·浙江·八年级期中）如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC 边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A 方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．(1)出发2秒后，求PQ的长；(2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟，△PQB能形成等腰三角形？(3)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间（只要直接写出答案）．20．（2022春·浙江湖州·八年级统考阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，∠ABC＝30°．点P从点B出发，沿B→A→C以每秒3cm的速度向终点C运动，同时点Q从点B的速度向终点C运动，其中一点到达终点即停止．设点P的运动时间为t．(1)当t＝2秒时，求△BPQ的面积；(2)PQ能否与△ABC的一条边平行，如果能，求出此时t的值；如不能，说明理由；(3)△BPQ的面积能否为△ABC面积的三分之一？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由．21．（2022春·浙江绍兴·八年级嵊州市三界镇中学校联考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间t（秒）．(1)求DQ、PC的代数表达式；(2)当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；(3)当0<t<10．5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．∵QH=HD=1QD=1(16−t)，22．（2022春·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒53个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连接两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．(1)当t=3时，求PD的长？(2)当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的一半？(3)是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．法，正确用t的代数式表示线段的长度是解题的关键．23．（2022春·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D 一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）．(1)求平行四边形ABCD的面积；(2)求当t＝2s时，求△AEF的面积；(3)当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的1时，求t的值．324．（2021春·浙江绍兴·八年级统考阶段练习）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速移动，它们的速度都是2cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点都停止运动，设点P的运动时间为t s，解答下列问题：(1)求△ABC的面积；(2)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？(3)是否存在t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的2若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．3∵△ABC为等边三角形，且边长为∴AB=BC=6cm,BM∴AM=AB2−BM2=∴∠HQB=90°−∠B=30°，BQ=t cm,HQ=∴BH=1225．（2017春·浙江杭州·八年级期中）如图所示，在Rt△ABC中．∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2．（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm．（3）在（1）中△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．26．（2021春·浙江杭州·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？（3）当0<t<10.5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．（2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时，1（DQ＋CP）•AB＝60，2即1（16﹣t＋21﹣2t）×12＝60，2解得：t＝9（秒），∵QH ＝HD ＝12QD ＝12（16﹣t ），∵AH ＝BP ，∴2t ＝12（16﹣t ）＋t ，∴t ＝163秒；27．（2021春·浙江·八年级期末）如图所示，△ABC 中，∠B =90°,AB =8cm ,BC =12cm ．（1）点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动（至点B 停止），点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动（至点C 停止），当一点停止运动后另一点也停止运动，如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发①经过几秒，△PBQ的面积等于15cm2②线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由．（2）若点P沿射线AB方向从点A出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从点C出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm2？28．（2021春·浙江·八年级期末）如图，一轮船以30km/h的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以20km/h的速度由南向北移动．已知距台风中200km的区域（包括边界）都属于受台风影响区．当轮船接到台风警报时，测得BC=500km,BA=300km．问题：（1）根据题意AC=________，若设经过的时间为t小时，则台风中心与A点的距离是________，轮船与A的距离是_____________，台风中心与轮船之间的距离是__________；（用t表示）（2）若不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？若轮船进入台风影响区，那么受台风影响的时间为多少小时？（保留根号）29．（2021春·浙江·八年级期中）如图：在直角坐标系中，长方形OABC中，OA=10,OC=5，点D从点C 出发，沿射线CO方向以每秒2个单位长的速度移动，点E从点O出发，沿射线OA方向以每秒1个单位长的速度运动，设点E的运动时间为t秒．（1）如图1，当t为何值时，△ODE的面积为1；（2）当CE是∠OEB的角平分线时，求出此时点E的坐标；（3）当t为何值时，△CDE是等腰三角形？若点E在点A右侧，同理可得：BC=BE=10，∴AE=BE2−AB2=53，（3）∵△CDE是等腰三角形，若CD=CE，∵CE≥CO，∴此时点D必在y轴负半轴，若DC=DE，当点D在y轴正半轴时，CD=DE=2t，OE=t，则OD在△ODE中，(5−2t)2+t解得：t=10−53或10+5当点D在y轴负半轴时，CD=DE=2t，OE=t，则OD在△ODE中，(2t−5)2+t若CE=DE，∵OE⊥CD，∴OC=OD=5，即CD=10，∴t=10÷2=5．或10−5综上：当t为533【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，角平分线的意义，等腰三角形的性质，用运动时间t表示线段是解本题的关键，根据题意画出图形是本题的难点．30．（2021春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒．（1）填空：BQ=__________cm，PB=_________cm；（用含t的代数式表示）（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2t，（5-t）；（2）0秒或2秒；（3）存在，1秒。
鲁教版2020八年级数学下册8.6一元二次方程的应用培优练习题3(附答案详解)
鲁教版2020八年级数学下册8.6一元二次方程的应用培优练习题3（附答案详解） 1．如图，某农场有一块长40m ，宽32m 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m 2，求小路的宽．设小路的宽为x ，则可列方程为（ ）A ．（40-2x ）（32-x ）=1140B ．（40-x ）（32-x ）=1140C ．（40-x ）（32-2x ）=1140D ．（40-2x ）（32-2x ）=11402．某校准备修建一个面积为200平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的宽为x 米，根据题意可列方程为（ ）A ．x （x ﹣12）=200B ．2x +2（x ﹣12）=200C ．x （x +12）=200D ．2x +2（x +12）=2003．已知一元二次方程2x 2﹣5x+1=0的两个根为x 1，x 2，下列结论正确的是（ ）A ．x 1+x 2=﹣B ．x 1•x 2=1C ．x 1，x 2都是有理数D ．x 1，x 2都是正数 4． 某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降到了580元．设平均每次降价的百分率为x ，则下面列出的方程中正确的是（ ）A ．21185580x =B ．()211851580x -=C ．()211851580x -=D ．()258011185x += 5．奉节特产专卖店销售2015年良种夏季脐橙，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．若该专卖店销售这种脐橙要想平均每天获利2240元，为减少库存，每千克脐橙应降价多少元？（ ）A ．4元B ．6元C ．4元或6元D ．5元6．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为18m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm ，则可列方程为（ ）A ．（x+1）（x+2）=18B ．x 2﹣3x+16=0C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=07．育才中学为迎接香港回归，从1994年到1997年四年内师生共植树1997棵，已知该校1994年植树342棵，1995年植树500棵，如果1996年和1997年植树的年增长率相同，那么该校1997年植树的棵数为（）．A．600 B．604 C．595 D．6058．毕业典礼后，九年级（1）班有若干人，若没人给全班的其他成员赠送一张毕业纪念卡，则全班送贺卡共1190张，九年级（1）班人数为（）A．34 B．35 C．36 D．379．利用数轴确定不等式组2133xx+≤⎧⎨>-⎩的解集，正确的是( )A．B．C．D．10．不等式组的解集在数轴上应表示为（）A．B．C．D．11．不等式组395122x xxπ+<+⎧⎨>+⎩的解集是x＞4，则m的取值范围是（）A．m≤2B．m≥2C．m≤1D．m＞1 12．如图，数轴上表示的是某一不等式组的解集，则这个不等式组可能是（）A．B．C．D．13．若关于x的不等式521x mx-<⎧⎨-≤⎩整数解共有2个，则m的取值范围是（）A ．3≤m ＜4B ．3＜m ＜4C ．3＜m≤4D ．3≤m≤4 14．使不等式6231322x x --≤+成立的最小整数是（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．0 D ．215．由x ＜y 得到ax ＞ay 的条件是（ ）A ．a≥0B ．a≤0C ．a ＞0D ．a ＜016．不等式组20240x x +⎧⎨-≤⎩＞的解集在数轴上表示正确的是( ）A ．B ．C ．D ．17．不等式组32412x x x +⎧⎨-≥⎩＜的解集是( ) A ．x ＞4 B ．x≤3 C ．3≤x ＜4 D ．无解18．在平面直角坐标系中，点(5,34)M m --+在第三象限，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜43B ．m ＞－43C ．m ＞43D ．m ＜－4319．一包洽洽瓜子售价8元，商家为了促销，顾客每买一包洽洽瓜子获一张奖券，每4张奖券可兑换一包洽洽瓜子，则每张奖券相当于______元.20．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程是__________________________．21．甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，•最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了____元．22．某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为121元，则列出的方程是_____ 23．根据一元二次方程根的定义，解答下列问题．一个三角形两边长分别为3 cm和7 cm，第三边长为a cm，且整数a满足a2－10a＋21＝0，求三角形的周长．解：由已知可得4<a<10，则a可取5，6，7，8，9.(第一步)当a＝5时，代入a2－10a＋21得52－10×5＋21＝－4≠0，故a＝5不是方程的根．同理可知a＝6，a＝8，a＝9都不是方程的根，a＝7是方程的根．(第二步)∴三角形的周长是3＋7＋7＝17(cm)．上述过程中，第一步是根据________________________________________________________________________________________________________________________________________________，第二步应用的数学思想是__________，确定a值的大小是根据______________．24．去年2月“蒜你狠”风潮又一次来袭，某市蔬菜批发市场大蒜价格猛涨，原来单价4元/千克的大蒜，经过2月和3月连续两个月增长后，价格上升很快，物价部门紧急出台相关政策控制价格，4月大蒜价格下降了36%，恰好与涨价前的价格相同，则2月，3月的平均增长率为___________．25．x的12与5的和不大于3，用不等式表示为______________26．不等式组()3281522x xx x⎧--≤⎪⎨-⎪⎩f的整数解是____．27．如果不等式组2223xax b⎧+≥⎪⎨⎪-<⎩的解集是01x≤<，那么a b的值为__________．28．对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5．7]=5，[5]=5，[-π]=-4．如果[a]=-2，那么a的取值范围是 _____．29．不等式组2021xx x-⎧⎨>-⎩…的最小整数解是_____．30．若（m﹣1）x|m|+2＜0是关于x的一元一次不等式，则此不等式的解集是_____．31．不等式3x+1＞2x﹣1的解集为_______________．32．将“3与a的差是负数”用不等式表示为．33．某商品进价是100元，售价为120元．为促销，商店决定降价出售，但保证利润率不低于5%，则商店最多降_____元出售商品．（利润率＝利润÷成本）34．不等式1253x ->的解集是________________ 35．为丰富学生的学习生活，某校九年级1班组织学生参加春游活动，所联系的旅行社收费标准如下：如果人数超过25人，每增加1人，人均活动费用降低2元，但人均活动费用不得低于75元．如果人数不超过25人，人均活动费用为100元．春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动？ 36．一个直角三角形的两条直角边的和是14cm ，面积是24cm ．求两条直角边的长． 37．“国运兴衰，系于教育”图中给出了我国从1998─2002年每年教育经费投入的情况．.（1）由图可见，1998─2002年的五年内，我国教育经费投入呈现出_______趋势； （2）根据图中所给数据，求我国从1998年到2002年教育经费的年平均数；（3）如果我国的教育经费从2002年的5480亿元，增加到2004年7891亿元，那么这两年的教育经费平均年增长率为多少？（结果精确到0.01 1.440=1.200）38．要在一块长52m ，宽48m 的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．（1）求小亮设计方案中甬路的宽度x；（2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同）39．如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．（1）求AB与BC的长；（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为10时运动时间t的值；（3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．40．（2016湖南省永州市）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？41．现有长40米，宽30米场地，欲在中央建一游泳池，周围是等宽的便道及休息区，且游泳池与周围部分面积之比为3∶2，请给出这块场地建设的设计方案，并用图形及相关尺寸表示出来。
一元二次方程几何应用之动点问题专题复习 专题突破八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义
第03讲一元二次方程几何应用之动点问题专题复习1．（2019秋•沈北新区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（）A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，×（8﹣t）×2t＝15，解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．故选：B．2．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离是10cm．【分析】设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP＝3xcm，DQ＝（16﹣2x）cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP＝3xcm，DQ＝（16﹣2x）cm，根据题意得：（16﹣2x﹣3x）2+82＝102，解得：x1＝2，x2＝．答：当P、Q两点从出发开始到2秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．故答案为：2或．3．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．【分析】（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB＝（16﹣3x）cm，QC＝2xcm，根据梯形的面积公式可列方程：（16﹣3x+2x）×6＝33，解方程可得解；（2）作QE⊥AB，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．【解答】解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB＝（16﹣3x）cm，QC＝2xcm，根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6＝33，解之得x＝5，（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，作QE⊥AB，垂足为E，则QE＝AD＝6，PQ＝10，∵P A＝3t，CQ＝BE＝2t，∴PE＝AB﹣AP﹣BE＝|16﹣5t|，由勾股定理，得（16﹣5t）2+62＝102，解得t1＝4.8，t2＝1.6．答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．4．（2021秋•泗阳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．（1）BP＝cm；BQ＝cm；（用t的代数式表示）（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？【分析】（1）根据速度×时间＝路程列出代数式即可；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，利用三角形中位线定理求得DH的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，所以BP＝（12﹣2t）cm，故答案是：（12﹣2t）；4t；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵∠B＝90°，即AB⊥BC．∴AB∥DH．又∵D是AC的中点，∴BH＝BC＝12cm，DH是△ABC的中位线．∴DH＝AB＝6cm．根据题意，得﹣×（12﹣2t）﹣×（24﹣4t）×6﹣×2t×12＝40，整理，得t2﹣6t+8＝0．解得：t1＝2，t2＝4，即当t＝2或4时，△PBQ的面积是40cm2．5．（2021•越秀区校级一模）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．【分析】（1）经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；（2）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令×2x（5﹣x）＝7，化简该方程后，判断该方程的Δ与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．【解答】解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得（5﹣x）×2x＝4，整理得：x2﹣5x+4＝0，解得：x＝1或x＝4（舍去）．答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；（2）仿（1）得（5﹣x）2x＝7．整理，得x2﹣5x+7＝0，因为b2﹣4ac＝25﹣28＜0，所以，此方程无解．所以△PBQ的面积不可能等于7cm2．6．（2021•红谷滩区校级模拟）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为cm？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C 点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【分析】（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为cm，根据勾股定理列式求解即可；（2）设经过y秒，使△PBQ的面积等于8cm2，由三角形的面积公式列式并求解即可；（3）分三种情况列方程求解即可：①点P在线段AB上，点Q在射线CB上；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上；点P在射线AB上，点Q在射线CB上．【解答】解：（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为cm，则AP＝x（cm），QB＝2x（cm），∵AB＝6cm，BC＝8cm∴PB＝（6﹣x）（cm），∵在△ABC中，∠B＝90°∴由勾股定理得：（6﹣x）2+（2x）2＝6化简得：5x2﹣12x+30＝0∵△＝（﹣12）2﹣4×5×30＝144﹣600＜0∴点P，Q之间的距离不可能为cm．（2）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，由题意得：（6﹣x）•2x＝8解得：x1＝2，x2＝4检验发现x1，x2均符合题意∴经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2．（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上设经过m秒，0＜m≤4，依题意有（6﹣m）（8﹣2m）＝1∴m2﹣10m+23＝0解得；m1＝5+（舍），m2＝5﹣∴m＝5﹣符合题意；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上设经过n秒，4＜n≤6，依题意有（6﹣n）（2n﹣8）＝1∴n2﹣10n+25＝0解得n1＝n2＝5∴n＝5符合题意；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上设经过k秒，k＞6，依题意有（k﹣6）（2k﹣8）＝1解得k1＝5+，k2＝5﹣（舍）∴k＝5+符合题意；∴经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面积为1cm2．7．（2020•赫山区校级自主招生）等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．【分析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S＝QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t，∴S＝×t（10﹣t）＝（10t﹣t2），当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10，∴S＝×t（t﹣10）＝（t2﹣10t）．（2）∵S△ABC＝，∴当t＜10秒时，S△PCQ＝，整理得t2﹣10t+100＝0，此方程无解，当t＞10秒时，S△PCQ＝，整理得t2﹣10t﹣100＝0，解得t＝5±5（舍去负值），∴当点P运动秒时，S△PCQ＝S△ABC．（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，易证△APE≌△QCM，∴AE＝PE＝CM＝QM＝t，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM＝AC＝10∴DE＝5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE＝5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．8．（2021秋•玄武区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C运动，它们到达终点后停止运动．（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）是否存在时间t使得△DPQ的面积是22cm2？若存在请求出t，若不存在，请说明理由．【分析】（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，根据勾股定理可得PD2＝4PQ2，然后再代入相应数据可得方程82+（2t）2＝4[（10﹣2t）2+t2]，再解即可；（2）设x秒后△DPQ的面积是24cm2，利用矩形面积﹣△DPQ的面积＝周围三个三角形面积和列方程即可．【解答】解：（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，∴PD＝2PQ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∴PD2＝AP2+AD2，PQ2＝BP2+BQ2，∵PD2＝4PQ2，①0＜t≤5时，∴82+（2t）2＝4[（10﹣2t）2+t2]，解得：t1＝3，t2＝7；∵t＝7时10﹣2t＜0，∴t＝3，②5＜t≤8时，PD＝＝2，∵PD＝2PQ，∴PQ＝，∵点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C运动，∴t＝，答：3秒或秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）不存在，理由如下：设x秒后△DPQ的面积是22cm2，∵S△DPQ＝S四边形ABCD﹣S△ADP﹣S△BQP﹣S△DCQ．∴×8×2x+（10﹣2x）•x+（8﹣x）×10＝80﹣22，整理得x2﹣8x+18＝0，∵该方程无解，∴不存在时间t使得△DPQ的面积是22cm2．9．如图，直线l1：y1＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2＝x+b过点P．（1）求点P坐标和b的值；（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；②求出t为多少时，△APQ的面积小于3；③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把P（m，3）的坐标代入直线l1上的解析式即可求得P的坐标，然后根据待定系数法即可求得b；（2）根据直线l2的解析式得出C的坐标，①根据题意得出AQ＝9﹣t，然后根据S＝AQ •|y P|即可求得△APQ的面积S与t的函数关系式；②通过解不等式﹣t+＜3，即可求得t＞7时，△APQ的面积小于3；③分三种情况：当PQ＝P A时，则（t﹣7+1）2+（0﹣3）2＝（2+1）2+（0﹣3）2，当AQ＝P A时，则（t﹣7﹣2）2＝（2+1）2+（0﹣3）2，当PQ＝AQ时，则（t﹣7+1）2+（0﹣3）2＝（t﹣7﹣2）2，即可求得．【解答】解；（1）∵点P（m，3）为直线l1上一点，∴3＝﹣m+2，解得m＝﹣1，∴点P的坐标为（﹣1，3），把点P的坐标代入y2＝x+b得，3＝×（﹣1）+b，解得b＝；（2）∵b＝，∴直线l2的解析式为y＝x+，∴C点的坐标为（﹣7，0），①由直线l1：y1＝﹣x+2可知A（2，0），∴当Q在A、C之间时，AQ＝2+7﹣t＝9﹣t，∴S＝AQ•|y P|＝×（9﹣t）×3＝﹣t；当Q在A的右边时，AQ＝t﹣9，∴S＝AQ•|y P|＝×（t﹣9）×3＝t﹣；即△APQ的面积S与t的函数关系式为S＝﹣t+或S＝t﹣；②∵S＜3，∴﹣t+＜3或t﹣＜3解得7＜t＜9或9＜t＜11．③存在；设Q（t﹣7，0），当PQ＝P A时，则（t﹣7+1）2+（0﹣3）2＝（2+1）2+（0﹣3）2∴（t﹣6）2＝32，解得t＝3或t＝9（舍去），当AQ＝P A时，则（t﹣7﹣2）2＝（2+1）2+（0﹣3）2∴（t﹣9）2＝18，解得t＝9+3或t＝9﹣3；当PQ＝AQ时，则（t﹣7+1）2+（0﹣3）2＝（t﹣7﹣2）2，∴（t﹣6）2+9＝（t﹣9）2，解得t＝6．故当t的值为3或9+3或9﹣3或6时，△APQ为等腰三角形．10．（2020秋•西山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝8，∠C＝30°，点D 从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）DF＝；（用含t的代数式表示）（2）求证：△AED≌△FDE；（3）当t为何值时，△DEF是等边三角形？说明理由；（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？（请直接写出t的值）．【分析】（1）根据题意求出DC，根据含30°的直角三角形的性质用t表示出DF；（2）根据平行线的性质得到∠AED＝∠FDE，利用SAS定理证明△AED≌△FDE；（3）根据等边三角形的三边相等列式计算；（4）分∠AED＝90°、∠ADE＝90°两种情况，根据直角三角形的性质列方程，解方程得到答案．【解答】（1）解：由题意得，DC＝2t，在Rt△CFD中，∠C＝30°，∴DF＝DC＝t，故答案为：t；（2）证明：∵DF⊥BC，AB⊥BC，∴AB∥DF，∴∠AED＝∠FDE，由题意得，AE＝t，∴AE＝DF，在△AED和△FDE中，，∴△AED≌△FDE（SAS）；（3）解：∵△AED≌△FDE，∴当△DEF是等边三角形时，△AED也是等边三角形，∴AE＝AD，∴t＝8﹣2t，解得，t＝；（4）∵AE＝DF，AE∥DF，∴四边形AEFD是平行四边形，∴当△DEF为直角三角形时，△EDA也是直角三角形，当∠AED＝90°时，AD＝2AE，即8﹣2t＝2t，解得：t＝2；当∠ADE＝90°时，AE＝2AD，即t＝2（8﹣2t），解得：t＝，综上所述，当t＝2或时，△DEF为直角三角形．11．（2020秋•青羊区校级期末）如图，已知点D（﹣1，0），直线l1的解析式为y＝﹣x+6，经过点C（2，n），与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）如图1，若直线l2经过点D，与直线l1交于点C，求直线l2的解析式；（2）点M是x轴上一动点，若△CDM为等腰三角形，求点M的坐标；（3）如图2，已知点E为直线l1上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转90°到DF，若CF＝5，求此时点F坐标．【分析】（1）对于l1：y＝﹣x+6，令y＝﹣x+6＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝6，故点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，6），再求出点C的坐标为（2，4），进而求解；（2）分MC＝CD、MC＝MD、CD＝MD三种情况，利用勾股定理列出方程，分别求解即可；（3）证明△FND≌△DME（AAS），求出点F的坐标为（a﹣7，a+1），由FC2＝（a﹣7﹣2）2+（a+1﹣4）2＝25，即可求解．【解答】解：（1）对于l1：y＝﹣x+6，令y＝﹣x+6＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝6，故点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，6），当x＝2时，y＝﹣x+6＝﹣2+6＝4＝n，故点C的坐标为（2，4），设直线l2的表达式为y＝kx+b，将点C、D的坐标代入上式得，解得，故直线l2的解析式为y＝x+；（2）设点M（x，0），过点C作CH⊥x轴于点H，则MC2＝CH2+HM2＝（x﹣2）2+42，同理可得：CD2＝32+42＝25，MD2＝（x+1）2，当MC＝CD时，即（x﹣2）2+42＝25，解得x＝5或﹣1（舍去﹣1）；当MC＝MD时，同理可得x＝；当CD＝MD时，同理可得x＝4或﹣6，故点M的坐标为（5，0）或（，0）或（4，0）或（﹣6，0）；（3）设点E的坐标为（a，6﹣a），分别过点E、F作x轴的垂线，垂足分别为M、N，∵∠EDF＝90°，∴∠EDM+∠DEM＝90°，∵∠EDM+∠FDN＝90°，∴∠FDN＝∠DEM，∵∠FND＝∠DEM＝90°，DE＝DF，∴△FND≌△DME（AAS），∴FN＝DM，ND＝EM，即FN＝DM＝a+1，ND＝EM＝6﹣a，故点F的坐标为（a﹣7，a+1），而点C（2，4），由（2）知：FC2＝（a﹣7﹣2）2+（a+1﹣4）2＝25，解得a＝，∵点F的坐标为（a﹣7，a+1），∴点F的坐标为（﹣1﹣，7﹣）或（﹣1+，7+）．12．（2021秋•顺德区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A移动，其中一点到达终点后另一点也随之停止运动，设它们的运动时间为ts．（1）运动几秒时，△CPQ为等腰三角形？（2）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．【分析】（1）根据PC＝CQ列方程求解即可；（2）根据△CPQ的面积等于△ABC面积的，列出关于t的方程，解方程即可；（3）根据勾股定理列方程，此方程无解，于是得到在运动过程中，PQ的长度能否为1cm．【解答】解：经过t秒后，PC＝（4﹣2t）cm，CQ＝tcm，（1）若△CPQ为等腰三角形，则PC＝CQ，即4﹣2t＝t，解得：t＝，∴运动秒时，△CPQ为等腰三角形；（2）当△CPQ的面积等于△ABC面积的时，即×（4﹣2t）•t＝××3×4，整理得：4t2﹣8t+3＝0，解得：t1＝，t2＝，∴经过或秒后，△CPQ的面积等于△ABC面积的；（3）∵∠C＝90°，∴（4﹣2t）2+t2＝1，整理得：5t2﹣16t+15＝0，∵Δ＝162﹣4×5×15＝256﹣300＝﹣44＜0，∴此方程无实数解，∴在运动过程中，PQ的长度不能为1cm．13．（2021秋•佛山校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，动点D 从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从C出发以3cm/s的速度向点B移动，设它们的运动时间为ts．（1）根据题意知：CE＝cm，CD＝cm；（用含t的代数式表示）（2）t为何值时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的？（3）点D、E运动时，DE的长可以是4cm吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由．【分析】（1）根据动点D从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从C出发以3cm/s的速度向点B移动，可以得出CE＝3t，CD＝8﹣4t；（2）先确定当△CDE的面积等于四边形ABED的面积的时，则△CDE的面积等于△ABC的面积的，再列方程求出t的值；（3）假设可以，根据这一条件列方程并且整理出一元二次方程，再由一元二次方程根的判别式判定此方程没有实数根，则说明DE的长不可以是8cm．【解答】解：（1）∵动点D、E同时出发，动点E从C出发向点B移动，∴CE＝3tcm，∵动点D从点A出发向点C移动，∴CD＝（8﹣4t）cm，故答案为：3tcm，（8﹣4t）cm．（2）当△CDE的面积等于四边形ABED的面积的时，则△CDE的面积等于△ABC的面积的，根据题意得×3t（8﹣4t）＝××8×6，整理得t2﹣2t+1＝0，解得t1＝t2＝1，答：t＝1，即运动1秒时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的．（3）不可以，理由如下：如果可以，则由勾股定理得（3t）2+（8﹣4t）2＝42，整理得25t2﹣64t+48＝0，∵Δ＝（﹣64）2﹣4×25×48＝﹣704＜0，∴该方程没有实数根，∴DE的长不可以是4cm．。
浙教版2022-2023学年八下数学第二章 一元二次方程 培优测试卷1(解析版)
浙教版2022-2023学年八下数学第二章 一元二次方程 培优测试卷1（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．下列关于 x 的方程是一元二次方程的是（ ）.A ．ax 2+bx +c =0B ．x 2+2x =1xC ．x 2−2=0D ．x 2+y 2=1【答案】C 【解析】A 、当a≠0时是一元二次方程，故A 不符合题意；B 、不是一元二次方程，故B 不符合题意；C 、是一元二次方程，故C 符合题意；D 、不是一元二次方程，故D 不符合题意.故答案为：C.2．一元二次方程5x 2﹣2x=0，最适当的解法是（ ）A ．因式分解法B ．配方法C ．公式法D ．直接开平方法【答案】A【解析】∵在方程5x 2-2x=0中，常数项为0，∴解该方程最适当的方法是“因式分解法”.故答案为：A.3．用配方法解方程x 2-4x+2=0，配方正确的是（ ）A ．(x −2)2=4B ．(x −2)2=2C ．(x −2)2=−2D ．(x −2)2=6【答案】B【解析】∵x 2-4x+2=0，移项得x 2-4x=-2，∴x 2-4x+4=-2+4，∴（x -2）2=2，故答案为：B ．4．已知关于x 的一元二次方程mx 2+2x +1=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（） A ．m ≤1 B ．m <1C ．m ≤1，且m ≠0D ．m <1，且m ≠0【答案】D【解析】∵一元二次方程mx 2+2x +1=0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴{4−4m >0m ≠0，∴m <1且m ≠0，故答案为：D ．5．若关于x 的方程x 2-2mx+8＝0有两个相等的实数根，则(m -1)(m ＋1)的值为（ ）A ．8B ．±8C ．7D ．±7【答案】C【解析】∵ 关于x 的方程x 2-2mx+8＝0有两个相等的实数根，∴b 2-4ac=4m 2-32=0解之：m 2=8；∴(m -1)(m ＋1)=m 2-1=8-1=7.故答案为：C.6．若a ，b ，c 是△ABC 的三边，则关于x 的方程(a +b)x 2−2cx +a +b =0的根的情况是() A ．没有实数根 B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【答案】A【解析】Δ=(−2c)2−4(a +b)2=4(c +a +b)(c −a −b)∵a，b，c是△ABC的三边∴a+b+c>0，c−a−b<0∴(c+a+b)(c−a−b)<0∴4(c+a+b)(c−a−b)<0∴原方程没有实数根故答案为：A．7．某超市一月份的营业额为300万元，第一季度的营业额共1200万元，如果平均每月增长率为x，则有题意列方程为（）A．300(1+x)2=1200B．300[1+(x+1)+(x+1)2]=1200C．300+300×3x=1200D．300+300×2x=1200【答案】B【解析】∵一月份的营业额为300万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为300×（x＋1），∴三月份的营业额为300×（x＋1）×（x＋1）＝300×（x＋1）2，∴可列方程为300＋300×（x＋1）＋300×（x＋1）2＝1200.即300[1＋（x＋1）＋（x＋1）2]＝1200.故答案为：B.8．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中正确的是（）A．(x+3)(5−0.5x)=20B．(x−3)(5+0.5x)=20C．(x−3)(5−0.5x)=20D．(x+3)(5+0.5x)=20【答案】A【解析】设每盆应该多植x株，由题意得(x+3)(5−0.5x)=20，故答案为：A．9．已知等腰三角形ABC的边长分别是m，n，4，且m，n是关于x的方程x2−6x+a+1= 0的两根，则a的值为（）A．7B．8C．9D．7或8【答案】D【解析】①当m=n时，∵且m，n是关于x的方程x2−6x+a+1=0的两根，∴Δ=(−6)2−4(a+1)=0，解得，a=8，∴关于x的方程为x2−6x+9=0，解得：m=n=3，∵m+n>4，∴分别是m，n，4为边能组成三角形；②m=4或n=4时，∴4是关于x的方程x2−6x+a+1=0的根，∴42−6×4+a+1=0，解得：a=7，∴关于x的方程为x2−6x+8=0，解得：m=2，n=4，∵m+n>4，∴分别是m，n，7为边能组成三角形；综上所述：a的值为7或8.故答案为：D.10．设|x2+ax|＝4只有3个不相等的实数根，则a的值和方程的某一个根可能是（）A．a＝4，x＝2+2 √2B．a＝4，x＝2C．a＝﹣4，x＝2﹣2 √2D．a＝﹣4，x＝﹣2【答案】C【解析】∵|x2+ax|＝4，∴x2+ax﹣4＝0①或x2+ax+4＝0②，方程①②不可能有相同的根，而原方程有3个不相等的实数根，∴方程①②中有一个有等根，而Δ1＝a2+16＞0，∴△2＝a2﹣16＝0，∴a＝±4，当a＝4时，原方程为x2+4x﹣4＝0或x2+4x+4＝0，原方程的解为：x＝﹣2或﹣2±2 √2；当a＝﹣4时，原方程为x2﹣4x﹣4＝0或x2﹣4x+4＝0，原方程的解为：x＝2或2±2 √2；故答案为：C.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．如果关于x的一元二次方程x2+2x+a=0的一个根为1，那么a的值为．【答案】-3【解析】∵关于x的一元二次方程x2+2x+a=0的一个根为1，∴1+2+a=0，解得，a=−3．故答案是：−3．12．若a、b是方程x2+x−2022=0的两根，则a2+2a+b=．【答案】2021【解析】∵a、b是方程x2 +x- 2022 = 0的两根，∴ a2+a- 2022 = 0，a+b= -1，∴a2+a= 2022，∴a2+ 2a+b=a2 +a+a+b= 2022-1=2021故答案为：202113．已知方程(x2+y2)2−2(x2+y2)−3=0，则x2+y2的值为．【答案】3【解析】∵(x2+y2)2−2(x2+y2)−3=0，∴[(x2+y2)−3][(x2+y2)+1]=0，∴x2+y2−3=0或x2+y2+1=0，∴x2+y2=3或x2+y2=−1（舍去），∴x2+y2=3.故答案为：3.14．已知关于x的方程ax2-bx-c=0(a≠0)的系数满足a-b-c=0，且4a+2b-c=0，则该方程的根是【答案】x1=1，x2=-2【解析】把x=1代入方程ax2-bx-c=0，得出a-b-c=0，把x=-2代入方程ax2-bx-c=0，得出4a+2b-c=0，∴该方程的根是x1=1，x2=-2.故答案为：x1=1，x2=-2.15．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对原有的小麦品种进行改良种植研究．在保持去年种植面积不变的情况下，今年预计小麦平均亩产量将在去年的基础上增加a%，因为优化了品种，预计每千克售价将在去年的基础上上涨2a%，全部售出后预计总收入将增加68%，则a的值为．【答案】20【解析】由题意得：(1+a%)(1+2a%)=1+68%令m =a%则原方程可化简为(1+m)(1+2m)=1.68∴2m 2+3m −0.68=0(2m +3.4)(m −0.2)=0解之得：m 1=0.2 ，m 2=−1.7（不合题意，舍去）∴a%=m =0.2∴a =20．故答案为：20.16．在△ABC 中，已知两边a=3，b=4，第三边为c ．若关于x 的方程 x 2+(c −4)x +14=0 有两个相等的实数根，则该三角形的面积是【答案】6或 2√5 【解析】∵关于x 的方程x²+(c−4)x+ 14 =0有两个相等的实数根， ∴△=(c−4) ²−4×1× 14 =0， 解得：c=5或3，当c=5时，∵a=3，b=4，∴a²+b²=c²，∴△ACB=90°，∴△ABC 的面积是 12 ×3×4=6； 当c=3时，如图，，AB=BC=3，过B 作BD△AC 于D ，则AD=DC=2，∵由勾股定理得：BD= √32−22=√5 ，∴△ABC 的面积是 12 ×4× √5 =2 √5 ； 故答案为：6或2 √5 .三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．用适当的方法解下列方程：（1）4(3x − 5)2=(x − 4)2；（2）y 2− 2y − 8=0；（3）x(x − 3)=4(x − 1) .【答案】（1）解：移项，得4(3x − 5)2− (x − 4)2=0，分解因式，得 [2(3x −5)+(x −4)][2(3x −5)−(x −4)]=0 ，化简，得(7x − 14)(5x − 6)=0，所以7x − 14=0或5x − 6=0，x 1=2，x 2=1.2.（2）解：移项，得y 2− 2y=8，方程两边都加上1，得y 2− 2y+1=8+1，所以(y − 1)2=9，所以y − 1=±3y 1=4，y 2= − 2.（3）解：将方程化为x 2-7x+4=0，∵a=1，b= -7，c=4，∵b 2--4ac=33.∴x =−b ±√b 2−4ac 2a =7±√332 ∴x 1=7+√332 ， ∴x 2=7−√332 . 18．某印刷厂一月份印了50万册书，三月份印了60.5万册，那么这个印刷厂印数的月平均增长率是多少？【答案】解：设这个印刷厂印数的月平均增长率为x ．根据题意，得50(x +1)2=60.5．解得，x 1=110，x 2=−2110（不合题意，舍去）． ∴x =110=10%． 答：这个印刷厂印数的月平均增长率为10%．19．有一块长12cm ，宽8cm 的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为32cm 2的无盖的盒子，求截去的小正方形的边长．【答案】解：设截去的小正方形的边长为x cm ，根据题意列方程，得（12-2x ）（8-2x ）=32．整理，得x 2-10x+16=0．解得x 1=8，x 2=2．x 1=8不合题意，舍去．答：截去的小正方形的边长为2cm ．20．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x -k=0有两个不相等的实数根，（1）求 k 的取值范围，（2）当k=1时,求方程的解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
八年级数学下册尖子生同步培优题典【浙教版】专题2.7一元二次方程的应用（3）面积与动点问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空9道、解答5道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021秋•青山区校级月考）现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为2864m，那么小道的宽度应是()A．1B．2C．2.5D．32．（2021春•上虞区期末）取一张长与宽之比为5:2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图），并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒．要使包装盒的容积为3200cm（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张长方形纸板的长为5x厘米，则由题意可列出的方程是()A．5(510)(210)200x x+-=B．5(510)(210)200x x++=C．5(510)(210)200x x--=D．5(510)(210)200x x-+=3．（2021春•江干区期末）某公司计划用32m的材料沿墙（可利用）建造一个面积为2120m的仓库，设仓库中和墙平行的一边长为x m，则下列方程中正确的是()A．(32)120x x-=B．1 (16)1202x x-=C．(322)120x x-=D．(16)120x x-=4．（2021春•下城区期末）将正方形的一边长增加4，另一边长保持不变，所得的矩形的面积是原来的2倍．设正方形的边长为x ，则( )A ．(4)2x x +⋅=B ．(4)2x x x +⋅=C ．2(4)2x x x +⋅=D ．2(4)4x x x +⋅=5．（2021春•香坊区期末）如图，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，各彩条的宽度相等，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一．设彩条的宽为x cm ，根据题意可列方程( )A ．1(202)(302)20306x x --=⨯⨯ B ．1(202)(302)2030(1)6x x --=⨯⨯- C ．1(20)(30)20306x x --=⨯⨯ D ．1(20)(30)2030(1)6x x --=⨯⨯- 6．（2021秋•安溪县期中）在长为30m ，宽为20m 的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为2468m ，求道路的宽度设道路的宽度为()x m ，则可列方程( )A ．(302)(20)468x x --=B ．(202)(30)468x x --=C ．302023020468x x ⨯-⋅-=D ．(30)(20)468x x --= 7．（2021春•上城区校级期中）在一幅长50cm ，宽40cm 的矩形风景画的四周镶一条外框，制成一幅矩形挂图（如图所示），如果要使整个挂图的面积是23000cm ，设边框的宽为xcm ，那么x 满足的方程是( )A ．(502)(402)3000x x --=B ．(502)(402)3000x x ++=C ．(50)(40)3000x x --=D ．(50)(40)3000x x ++=8．（2020秋•官渡区期末）《生物多样性公约》第十五次缔约方大会(15)COP 将于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为32m ，宽为20m 的矩形场地ABCD （如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB 平行、另一条与AD 平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为295m ，求道路的宽度、若设道路的宽度为x m ，则x 满足的方程为( )A ．(32)(20)95x x --=B ．(322)(20)95x x --=C ．(32)(20)956x x --=⨯D ．(322)(20)956x x --=⨯9．（2020•平顶山模拟）如图所示，把四个长和宽分别为2x +和x 的矩形拼接成大正方形．若四个矩形和中间小正方形的面积和为24352⨯+，则根据题意能列出的方程是( )A ．22350x x +-=B ．22350x x ++=C ．2240x x +-=D ．2240x x ++=10．（2019秋•洛阳期末）如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x 米．则可列方程为( )A ．32203220540x x ⨯--=B ．(32)(20)540x x --=C ．3220540x x +=D ．2(32)(20)540x x x --+=二、填空题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）请把答案直接填写在横线上 11．（2021春•浦江县期末）把面积为25m 的一张纸分割成如图所示的正方形和长方形两部分，设正方形的边长为()x m，则列出的方程化为一般形式是．12．（2020秋•开江县期末）如图，有一块长21m，宽10m的矩形空地，计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为290m．设人行通道的宽度为x m，根据题意可列方程：．13．（2020秋•东安县期末）将一块长方形桌布铺在长为1.5米，宽为1米的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，并且桌布的面积是桌面面积的2倍，求桌布下垂的长度．设桌布下垂的长度为x米，可列方程为．14．（2020秋•兴隆台区期末）如图，在宽为13m，长为24m的矩形场地上修建同样宽的三条小路（横向与纵向垂直），其余部分种草坪，假设草坪面积为2264m，求道路宽为多少？设宽为xm，则列出的方程是．15．（2021•鹿城区校级开学）如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米．现已知购买这种铁皮每平方米需10元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了元．16．（2021•永嘉县校级模拟）如图，世纪广场有一块长方形绿地，18AD m=，在绿地中开辟三=，15AB m条宽为xm的道路后，剩余绿地的面积为2144m，则x=．17．（2021•商河县校级模拟）现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为2864m，那么小道的宽度应是m．18．（2021春•永嘉县校级期末）如图，在宽为4、长为6的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，若种植花卉的面积15，设铺设的石子路的宽为x，依题意可列方程．19．（2019春•任城区期中）如图，在Rt ABCC∠=︒．点D从点C出发沿CA方AB=，30∠=︒，5∆中，90B向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D．E运动的时间是t秒(0)t>．过点D作DF BC∆面积的一半．⊥于点F，连接DE、EF．则当t=时，四边形AEFD的面积是ABC三、解答题（本大题共5小题，共43分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（2020秋•浦东新区期中）如图所示，若要建一个由两个相同的小长方形组成的长方形花圃ABCD．花圃的面积为63平方米且一边靠墙（墙长15米），三边用篱笆围成．现有篱笆30米．求这个长方形花圃的长与宽．21．（2020秋•黄浦区校级期中）如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求AB、BC边各为多少米？22．（2019秋•武进区期中）如图，ABC∆中，90C∠=︒，6AC cm=，8BC cm=，点P从点A出发沿AC边向点C以1/cm s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2/cm s的速度移动；（1）若P，Q两点同时出发，几秒后可使PQC∆的面积为28cm？（2）若P，Q两点同时出发，几秒后PQ 125；（3）PCQ∆的面积能否等于ABC∆面积的一半？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．23．（2021秋•商水县月考）如图，在ABC∆中，90B∠=︒，12AB cm=，16BC cm=．点P从点A开始沿AB 边向点B以1/cm s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2/cm s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，PBQ∆的面积等于235cm？（2）当t为何值时，PQ的长度等于82cm？（3）若点P ，Q 的速度保持不变，点P 在到达点B 后返回点A ，点Q 在到达点C 后返回点B ，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t 为何值时，PBQ ∆的面积等于232cm ？24．（2021秋•仙居县期中）如图，小球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.6m ．（1）写出小球滚动的距离s （单位：)m 关于滚动的时间t （单位：)s 的函数解析式．（提示：本题中，距离=平均速度v ⨯时间t ，02t v v v +=，其中，0v 是开始时的速度，t v 是t 秒时的速度．) （2）如果斜面的长是4m ，小球从斜面顶端滚到底端用多长时间？。