三角形中位线定理
三角形中位线判定定理证明
三角形中位线判定定理证明三角形中位线判定定理是指，如果在一个三角形中，三条中位线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
现在让我们来证明这个定理。
首先，我们知道一个三角形的中位线是连接一个顶点和对边中点的线段。
设三角形ABC的中位线分别为DE, FG和HI，D是BC的中点，E是顶点A到BC的中线上的点，F是AC的中点，G是顶点B到AC的中线上的点，H是AB的中点，I是顶点C到AB的中线上的点。
我们要证明如果DE=FG=HI，那么三角形ABC是等腰三角形。
首先，我们知道中位线DE等于底边BC的一半，中位线FG等于底边AC的一半，中位线HI等于底边AB的一半。
因此，DE=FG=HI意味着BC=AC=AB，即三角形的三条边相等，这就是等腰三角形的定义。
另一种证明方法是利用向量。
假设向量AD=a, DC=b, AF=c,FC=d, AE=e, EB=f。
根据中位线的定义，我们知道D是BC的中点，所以D=(B+C)/2，同理F=(A+C)/2，H=(A+B)/2。
根据向量的加法和数量积的性质，我们可以得出E=(A+B)/2，G=(B+C)/2，I=(A+C)/2。
由于DE=FG=HI，所以E-D=G-F=I-H，即E-D=G-F=I-H=0。
根据向量的性质，我们知道E-D表示向量DE的方向和长度，同理G-F表示向量FG的方向和长度，I-H表示向量HI的方向和长度。
因此，E-D=G-F=I-H=0意味着向量DE, FG和HI的方向和长度相等，即三角形ABC是等腰三角形。
综上所述，根据中位线判定定理的证明过程，我们可以得出结论，如果在一个三角形中，三条中位线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
三角形中位线定理的推论
三角形中位线定理的推论
1. 三条中位线交于一点，称为重心。
2. 重心所在的中位线距离对应顶点的距离的比例为2：1。
3. 中位线长度为底边长度的一半。
4. 重心到对边中点的距离为一半对边长。
5. 以三角形的重心为圆心，以重心到顶点的距离为半径作圆，可圆上的任意点对三角形三个顶点的距离相等。
6. 以两个中点为圆心，中位线长度为半径作圆，则两圆交点与对边中点重合。
7. 以重心为圆心，以重心到任意顶点为半径作圆，圆心角等于顶点所对的角。
8. 以中线为直径作圆，则圆心在三角形外接圆上。
如何证明三角形中位线定理
如何证明三角形中位线定理
三角形中位线定理是指一个三角形中，连接三角形的三个顶点和中点所形成的三角形，它们的面积之比为4:1。
这个定理可以通过多种方法来证明，下面我将从几何和代数两个角度来进行证明。
首先，我们从几何角度来证明。
我们可以利用平行四边形面积定理来证明三角形中位线定理。
首先，连接三角形的一个顶点和对边的中点，得到一个平行四边形。
根据平行四边形面积定理，平行四边形的面积等于对角线的一半乘以高。
然后，我们可以利用平行四边形的性质和三角形的性质进行推导，最终可以得出三角形中位线定理成立。
其次，我们从代数角度来证明。
我们可以利用向量的方法来证明三角形中位线定理。
首先，我们可以假设三角形的顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。
然后，利用向量的加法和数量积的性质，我们可以求出三角形的中位线向量。
接着，通过向量的运算，我们可以得出中位线所形成的三角形的面积。
最终，我们可以证明三角形中位线定理成立。
综上所述，通过几何和代数两个角度的证明，我们可以证明三
角形中位线定理成立。
这样的全面证明可以更加深入地理解和掌握这一定理。
三角形中位线定理
因此DE∥BC。
如图，过D作DFAC，交BC于F，则 D BF=FC。
E （E′ ）
∵四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC。 ∵FC=1 BC，
B
F
C
∴DE=2 BC。因此得：三角形中位线定理：
三 角 形 的 中 位 线 平 行 于 第 三 边，并 且 等于它的 一半。
4.10 三角形中位线定理
D
E
B
C
4.10 三 角 形 中 位 线
1、 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 A
2、观察右图，点D、E是线段AB、AC的中点
则 线段DE 是ABC的中位线。
D 3、如果再取线段BC的中点F，
E
则ABC还能画出 两 条中位
线，它们分别是 .10 三 角 形 中 位 线
初二几何
4.10 三角形的中位线
编辑: 邓 登 制作: 邓 登
4.10 三 角 形 中 位 线
1、 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
4.10 三 角 形 中 位 线
1、 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 A
2、观察右图，点D、E是线段AB、AC的中点
则 线段DE 是ABC的中位线。
4.10 三角形中位线定理
4.10 三角形中位线定理
4.10 三角形中位线定理
3、如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，则ABC的中位线
是 线段 DE、线段DF 。
C
4、图中CF是△ABC的中位线吗？
它是△ABC的中线。
D
F
A
E
B
4.10 三角形中位线定理
如图，DE是△ABC的一条中位线。如果过D作
初二数学(人教版)-三角形中位线定理
A
E
F
C
分析 EF=DE ∠AED=∠CEF AE=CE
△ADE≌△CFE
BD=AD CF=AD
D
∠A=∠ACF
CF=BD
B
CF//BD
▱ BCFD
A
E
F
C
证明：延长DE到点F，使EF=DE，连接CF．
∵ AE=CE，EF=DE，
∠AED=∠CEF， ∴ △ADE≌△CFE． ∴ AD=CF，∠A=∠ECF．
A
E
F
D
B
C
例 在四边形ABCD中，E，F，G， A H D
H分别是AB，BC，CD，DA的中点． E
G
求证：四边形EFGH是平行四边形． B
F
C
分析
连接对角线BD（AC） 三角形中位线
EH//FG， EH=FG． （HG//EF， HG=EF．）
▱
AH D
E
G
B
F
C
证明：连接BD． ∵ E，F，G，H分别是AB， BC，CD，DA的中点， ∴ EH是△ABD的中位线， FG是△CBD的中位线．
AH D
E
G
B
F
C
∴ EH //BD， FG //BD，
EH= 1 BD，FG= 1 BD．
2
2
∴ EH //FG， EH=FG．
AH D
E
G
∴ 四边形EFGH是平行四边形．B
F
C
顺次连接四边形各边中点 平行四源自形AH DEG
B
F
C
练习 如图，在▱ABCD中，E，F分别是
D
E
F
∴ CF//BD． 又 BD=AD，
6.4 三角形中位线定理
作业
P33习题 第2题.
挑战自我
如图 6-40，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 为
AB 的中点，E 为 AC 的中点，延长 BC 至 F，使 CF
=
1 2
BC，连接
EF，∠B
=∠F
吗？试至少用两种方法
证明你的结论.
课本 P32 练习 1题
1. 已知三角形的各边长分别为 8 cm，10 cm 和 12 cm，求连接三角形各边中点所得到的三角形的周 长.
.
三角形中位线定理的应用
已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， D，E，F分别是AB，AC，BC的中点. 求证：EF=CD.
1.三角形的中位线定义. 2.三角形的中位线定理. 3.三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第三 边的位置关系，而且给出了他们的数量关系，在 三角形中给出一边的中点时，要转化为中位线.
12 cm
8 cm
10 cm
课本 P33 练习 2题
2. 顺次连接矩形各边的中点，得到一个怎样的图 形？顺次连接菱形各边的中点呢？证明你的结论 .
课本 习题6.4 1题
1. 顺次连接下列四边形各边的中点，得到一个怎样 的图形？证明你的结论. （1）对角线互相垂直的四边形； （2）平行四边形； （3）正方形.
6.4 三角形中位线定理
已知： 如图所示，在△ABC中，D是AC的
中点，E是AB的中点.
求证： DE∥BC, DE= 1 BC.
A
2
D
E
F
B
C
已知： 如图所示，在△ABC中，D是AC的
中点，E是AB的中点.
求证: DE∥BC,
DE=
1 2
证明三角形中位线判定定理
证明三角形中位线判定定理连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三条中位线形成的三角形的面积是原三角形的四分之一。
下面小编给大家带来证明三角形中位线判定方法，希望能帮助到大家!证明三角形中位线判定定理证明：已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
求证DE 平行于BC且等于BC/2过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。
∵CG∥AD∴∠A=∠ACG∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括号)∴△ADE≌△CGE (A.S.A)∴AD=CG(全等三角形对应边相等)∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CG又∵BD∥CG∴BCGD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)∴DG∥BC且DG=BC∴DE=DG/2=BC/2∴三角形的中位线定理成立在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
证明三角形中位线判定定义在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
2DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
证明：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2∴AD=AB/2，AE=AC/2，即D是AB中点，E是AC中点。
在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
2D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2证明：取AC中点E'，连接DE'，则有AD=BD，AE'=CE'∴DE'是三角形ABC的中位线∴DE'∥BC又∵DE∥BC∴DE和DE'重合(过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行)∴E是中点，DE=BC/2注意：在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线!证明三角形中位线判定性质延长DE到点G，使EG=DE，连接CG∵点E是AC中点∴AE=CE∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE∴△ADE≌△CGE (S.A.S)∴AD=CG、∠G=∠ADE∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CG∵点D在边AB上∴DB∥CG∴BCGD是平行四边形∴DE=DG/2=BC/2∴三角形的中位线定理成立：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2∴DE//BC且DE=BC/2三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触)，并且等于第三边的一半。
三角形的中位线的定义及定理
三角形的中位线的定义及定理
三角形的中位线是连接三角形的一个顶点与对应边的中点的线段。
一个三角形有三条中位线。
中位线的定理是指在一个三角形中，三条中位线相交于同一点，且这个点离每条中位线所在顶点的距离是其长度的两倍。
换句话说，三角形的三条中位线的交点是由顶点到对边中点的距离的两倍。
这个特殊的点被称为三角形的重心，也是三角形的重心在欧几里得几何学中的重要属性之一。
中位线的定理可以用于解决与三角形有关的问题，例如确定重心的坐标，计算中位线的长度，以及证明与中位线相关的几何性质。
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《三角形中位线定理》导学案
阳泉曲初中编写人：张旭荣审核人：杨海华王华沈晓卿时间：2011-5-3
【教学目标】
1、领会三角形的中位线的含义，并能结合图形区分三角形的中位线与中线，能记住三角形中位线定理。
2、会直接运用三角形中位线定理进行简单的计算，并能利用它进行有关的推理论证。
3、培养同学严谨的科学态度和积极探索的精神。
【教学重点】
1、研究和探索三角形的中位线的性质
2、能熟练用三角形的中位线定理解相关的计算题;
3、能熟练利用三角形的中位线定理进行推理论证,并能理解记住一些重要结论。
【教学难点】
证明三角形中位线定理
【教学过程】
【自主学习】
一：三角形中位线的定义。
在如图所示的三角形中画出△ABC的三条中线
回答问题：1、三角形有条中位线。
2、三角形的中位线与中线一样吗？
C
中线指连接与
的线段。
中位线是连接的线段。
3、任意画一个三角形，画出它的一条中位线，猜测中位线和第三边有什么关系？（注意从大小关系和位置关系两方面考虑）
你能推理的方法验证你的猜想吗？
已知：
求证：
证明：
由此可以得出三角形中位线定理： 用符号语言表示为：
∵ ∴
4、如图：DE,DF,EF 分别是△ABC 的中位线，
则（1）△DEF 的周长与△ABC 的周长之间有什么样的关系？证明你的结论。
(2) △DEF 的面积与△ABC 的面积之间有什么样的关系？证明你的结论。
(3)四个小三角形之间有什么关系呢？
5、若DE 分别是AB,AC 的中点，则测出DE 的长，就可以求出池塘的宽BC.你知
C
道为什么吗？
6、如图，已知△ABC，D、E、F分别是BC、AB、AC边上
的中点。
(1)若△ABC的周长为18cm，它的三条中位线围成的△DEF
的周长是_
(2)图中有_____个平行四边形
(3)若∠B=40O，则∠EFD=______
7、已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是
AB、BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
总结：对于任意形状的四边形，连接各边中点得到的四边形是
8、如图，如图,DE是△ABC的中位线,AF是BC边上的中线,DE和AF交于点O.求证:DE与AF互相平分。
F
C
9、如图，怎样把一个三角形分成两部分，用这两部分可以组成一个平行四边形呢？
B
C
【课堂小结】
本节课你学到了什么？和同桌说一说 1、中位线的定义
2、中位线和中线的不同
3、中位线定理
4、连接任意四边形各边中点组成的四边形是什么四边形？ 其它：。