机器人逆运动学推导的重要公式
第4章 逆运动学方程
现在θ２已知，求θ１
二连杆操作臂逆运动学代数解法
解： x = l1c1 + l2 c12 = l1c1 + l2 c1c2 − l2 s1s2 = c1 (l1 + l2c2 ) − s1 (l2 s2 )
y = l1s1 + l2 s12 = l1s1 + l2 s1c2 + l2c1s2 = c1 (l2 s2 ) + s1 (l1 + l2 c2 ) x + s1 (l2 s2 ) x + s1 (l2 s2 ) c1 = ,y= (l2 s2 ) + s1 (l1 + l2 c2 ) (l1 + l2 c2 ) (l1 + l2 c2 ) x(l2 s2 ) + s1 (l2 s2 ) 2 + s1 (l1 + l2 c2 ) 2 x(l2 s2 ) + s1[(l2 s2 ) 2 + (l1 + l2c2 ) 2 ] y= = (l1 + l2 c2 ) (l1 + l2c2 )
2 x 2 + y 2 − l12 − l2 因此，θ 2 = ± arccos 2l1l2 y (l + l c ) − x(l s ) x(l + l c ) + y (l s ) s1 = 1 22 2 2 2 2 , c1 = 1 2 2 2 2 2 2 (x + y ) (x + y ) θ1 = arctan 2( s1 , c1 )
θ 3 = φ - θ1 - θ 2
式中，x = p x − l3 cos φ , y = p y − l3 sin φ
第4章机器人逆运动学(一)
第4章机器人逆运动学（一）引言概述：机器人逆运动学是研究机器人动作规划和控制的重要内容之一。
在工业领域和服务领域中，机器人逆运动学能够帮助机器人根据预设的目标位置和姿态，确定关节角度和长度，从而实现准确的动作控制。
本文将介绍机器人逆运动学的基本原理，以及逆运动学的求解方法和实际应用。
正文：1. 基本原理1.1 前向运动学和逆运动学的关系1.2 关节角度和长度的确定方法1.3 机器人姿态表示方法2. 逆运动学的求解方法2.1 解析法2.2 数值法2.3 迭代法2.4 优化算法2.5 约束条件的处理方法3. 逆运动学的实际应用3.1 机器人轨迹规划3.2 机器人运动控制3.3 机器人碰撞检测与避障3.4 机器人抓取和操作4. 逆运动学问题的局限性和挑战4.1 多解性问题4.2 存在性问题4.3 运动优化问题4.4 环境约束问题4.5 实时性和稳定性问题5. 逆运动学的发展趋势5.1 智能化和自适应控制5.2 机器学习与优化算法的结合5.3 非线性逆运动学求解方法的研究5.4 多机器人协同控制的逆运动学问题5.5 逆运动学在虚拟现实和增强现实中的应用总结：机器人逆运动学是机器人控制领域的重要研究方向之一。
本文介绍了机器人逆运动学的基本原理，包括前向运动学与逆运动学的关系、关节角度和长度的确定方法，以及机器人姿态表示方法。
同时，还介绍了逆运动学的求解方法和实际应用，包括机器人轨迹规划、运动控制、碰撞检测与避障，以及抓取和操作等。
此外，还探讨了逆运动学问题面临的局限性和挑战，并展望了逆运动学的发展趋势，包括智能化和自适应控制、机器学习与优化算法的结合等。
逆运动学的研究将有助于推动机器人应用在更广泛的领域中，提高机器人的灵活性和性能。
非球型手腕喷涂机器人逆运动学算法
１ ． ２ ． ２定义位姿增量 与末 端位姿综合误差指标
设 机 器人 期 望 的 目标 末 端 姿 态 矩 阵 为 ｔ ａ ｒ ｇ ｅ ｔ ＿ Ｒ， 相 应 的位 置 向量 为 ｔ ａ ｒ ｇ ｅ ｔ ＿ ｐ ， 当前末端 姿态矩 阵为 ｃ ｕ ｒ ＿ Ｒ， 相 应 的位 置 向量 为ｃ ｕ ｒ ＿ ｐ ；笛 卡 尔空 间 的微 分 运 动 ｄ Ｘ分 别 表 示 末 端 坐 标 系 原 点 的位 置增 量 和末 端 坐标 系姿 态 的 旋 转增 量 。位 置 增量 的表 示 为 ：
式（ ６ ） 计算雅可 比伪逆矩阵 Ｊ ， 转到 ｓ ｔ ｅ ｐ ７ ； 否则转到 ｓ ｔ ｅ ｐ ８ ；
ｓ ｔ ｅ ｐ ７ ： 根据式 （ ５ ） 计算关 节角增 量 ｄ ｑ及 关 节 角 下 一 状 态
ｄ 口 ＝ Ｊ ＋ ｄ Ｘ
（ ５ ）
ｑ 恻＝ ｑ ＋ ｄ ａ ， 转到 ｓ ｔ ｅ ｐ ２ ； ｓ ｔ ｅ ｐ ８ ： 超过最 大迭代次 数仍未算 出逆解 ， 则 返 回算 法 开 始
．
（ １ ３ ）
ｓ ｔ ｅ ｐ １ ：设 置 期 望 末 端 位 姿 倒 并 记 录 算 法 开 始 时 机 器 人 关节角状态 ｑ 最 大 迭 代 次 数 ｍａ ｘ ｌ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ和 收 敛 末 端 位 姿 综 合 误 差 指 标 ｍｉ ｎ Ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ Ｓ ｑ ｒ ； ｓ ｔ ｅ ｐ ２ ： 由式 （ ２ ） 所示正运动学方程 ， 根 据 当 前 各 关 节 角 状 态 ｑ 计 算 当前 机 器 人 末 端 位 姿 矩 阵 Ｔ ；
ｓ ｔ ｅ ｐ ３： 由式（ ４ ） 计 算 雅 可 比矩 阵 Ｊ ；
Ｄ
Ｄ
第三章机器人运动学
αi
3.2.3连杆附加坐标系的规定
（4）建立连杆坐标系的步骤
确定关节轴，并画出轴的延长线。 找出关节轴i和i+1的公垂线或交点，作为坐标系i的原点。 规定Zi的指向是沿着第i个关节轴。 规定Xi轴得指向是沿着轴i和i+1的公垂线的方向，如果关节轴 i和i+1相交，则Xi轴垂直于关节轴i和i+1所在的平面。 Yi 轴的方向由右手定则确定。 当第一个关节变量为0时，规定坐标系{0}和{1} 重合，对于坐 标系{N}，尽量选择坐标系使得连杆参数为0.
3.2.3连杆附加坐标系的规定
为了描述每个连杆和相邻连杆之间的相对位置关系,需要在每个连杆 上定义一个固连坐标系. （1）连杆中的中间连杆 规定: 坐标系{i}的Z轴称为Zi,与 关节轴i重合; 坐标系{i}的原点位于公垂 线ai与关节轴i的交点处. Xi轴沿ai方向由关节i指向 关节i+1 (若: ai =0,则Xi垂直于Zi和Zi+1所 在的平面;按照右手定则绕Xi轴的 转角定义为αi ,由于Xi轴的符号 有两种,则转角的符号也有两种.) Yi轴由右手定则确定
3.2.5 PUMA560运动学方程
（2）连续连杆变换 定义了连杆坐标系和相应得连杆参数，就能建立运动学 方程，坐标系{N}相对于坐标系{0}的变换矩阵为：
0 N
0
T T T T
0 1 1 2 2 3
N 1 N
T
变换矩阵 NT 是关于n个关节变量的函数，这些变量可以通 过放置在关节上的传感器测得，则机器人末端连杆再基坐标系 （笛卡尔坐标系）中的位置和姿态就能描述出来。
2) joint angle 关节角 描述两个相邻连杆绕公共轴线旋 转的夹角θi. 当i为转动关节时,关节角为一变量.
四轴机器人逆运动学求解
对于旋转关节θn为关节变量，而对于滑动关节 dn为关节变量。其余 为连杆参数，由机械手的几何尺寸和组合形态决定。
第一关节：带动机械手大臂旋转，交流伺 服电机驱动，减速机采用行星减速机； 第二关节：带动小臂旋转，采用内藏定位 功能的旋转平台（自带18:1减速）； 第三、四关节：实现工件的升降和旋转运 动。升降和旋转机构采用移动+旋转滚珠丝 杠，移动自由度和旋转自由度都采用一级 圆弧齿同步齿形带传动，同步带传动比都 为3:1，驱动方式皆选为交流伺服电机驱动。
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（2） 根据任务确定机械手的位姿T6
T6为机械手末端在直角坐标系（参考坐标或基坐标）中的位姿，由 任务确定，即表达式T4 = Z-1 X E-1确定。它是由三个平移分量构成的 平移矢量 P（确定空间位置）和三个旋转矢量 n，o，a（确定姿态） 组成的齐次变换矩阵描述。
第六讲 机器人运动学逆解ppt课件
3.3 机器人运动学方程
例1：已知四轴平面关节SCARA机 器 人如图所示，试计算： （1）机器人的运动学方程； （2）当关节变量取 qi=[30°，-60°，－120，90°]T 时，机器人手部的位置和姿态； （3）机器人运动学逆解的数学 表达式。sin sin cos( ) ij icos j i j i j s cos sin sin sin( ) ij i j icos j i j
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
2、运动学方程的逆解
逆运动学问题的可解性： 下面以六自由度机器人PUMA为例， 研究其可解性。
其中：
n c [ c ( c c c s s ) s s c ] s ( s c c c s ) x 1 23 4 5 6 4 6 23 5 6 1 4 5 6 4 6 n s [ c ( c c c s s ) s s c ] c ( s c c c s ) y 1 23 4 5 6 4 6 23 5 6 1 4 5 6 4 6 n s ( c c c s s ) c s c z 23 4 5 6 4 6 23 5 6
可见，我们有12个方程及6个未知数。 上述12个方程关系如何？ 我们先看看转动部分，它是3X3子矩阵 ，共有9个元素；我们知道，转动矩阵的每 列都是单位矢量，并且每列之间都两两正交 ；因此，9个元素中仅三个是独立的，或则 说，12个方程中仅有6个是独立，对应6个 未知数。 因此，一般情况下，单从数学的角度看 ，方程组应该是有解的。
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
2、运动学方程的逆解
a c ( c c c s c ) s s s x 1 23 4 5 23 5 1 4 5 a s ( c c c s c ) c s s y 1 23 4 5 23 5 1 4 5 a s c c c c z 23 4 5 23 5
机器人运动学正问题与机器人运动学逆问题
机器⼈运动学正问题与机器⼈运动学逆问题机器⼈运动学正问题与机器⼈运动学逆问题2014-11-12 11:26 作者:管理员11 来源:未知浏览: 77 次字号: ⼤中⼩摘要:机器⼈运动学正问题机器⼈运动学正问题指已知机器⼈杆件的⼏何参数和关节变量，求末端执⾏器相对于机座坐标系的位置和姿态。
机器⼈运动学⽅程的建⽴步骤如下: 1)根据D-H法建⽴机器⼈的机座坐标系和各杆件坐标系。
2)确定D-H参数和关节变最。
3)从机座坐机器⼈运动学正问题机器⼈运动学正问题指已知机器⼈杆件的⼏何参数和关节变量，求末端执⾏器相对于机座坐标系的位置和姿态。
机器⼈运动学⽅程的建⽴步骤如下:1)根据D-H法建⽴机器⼈的机座坐标系和各杆件坐标系。
2)确定D-H参数和关节变最。
3)从机座坐标系出发，根据各杆件尺⼨及相互位置参数，逐⼀确定A矩阵。
4)根据需要将若⼲个A矩阵连乘起来，即得到不同的运动⽅程。
对6⾃由度机器⼈，⼿部相对于机座坐标系的位姿变化为T6=A1·A2·A3·A4·A5·A6 (27.2-1)此即⼿部的运动⽅程。
机器⼈运动学逆问题机器⼈运动学逆间题指已知机器⼈杆件的⼏何参数和末端执⾏器相对于机座坐标系的位姿.求机器⼈各关节变量。
求解机器⼈运动学逆问题的解析法⼜称为代数法和变量分离法。
在运动⽅程两边乘以若千个A矩阵的逆阵，如将得到的新⽅程展开，每个⽅程可有12个⼦⽅程，选择等式左端仅含有所求关节变童的⼦⽅程进⾏求解，可求出相应的关节变盒。
除解析法外，还有⼏何法、迭代法等。
(责任编辑：laugh521521)。
机器人九点标定原理及公式_理论说明以及概述
机器人九点标定原理及公式理论说明以及概述1. 引言1.1 概述在现代工业生产中，机器人已经成为一个不可或缺的重要角色。
机器人的精准定位和运动能力对于各种任务的执行至关重要。
然而，由于机械结构的制造误差和其他因素的影响，机器人往往存在着一定的姿态与位置偏差。
为了提高机器人运动控制的精确度和性能，九点标定技术被广泛应用。
1.2 文章结构本文将深入介绍机器人九点标定原理及公式，并详细阐述其应用场景。
首先，在“2. 机器人九点标定原理及公式”部分，将从理论角度解释九点标定的原理和公式，并给出典型示例进行说明。
然后，在“3. 理论说明”部分，将介绍机器人坐标系简介、标定误差与校正方法以及数学模型解析等相关内容，以便读者对整个标定过程有更全面的认识。
接着，在“4. 实验验证与案例分析”部分，我们将设计实验并采集数据来验证标定结果的准确性，并进一步进行校准精度评估与案例分析。
最后，在“5. 结论与展望”部分，我们将对整个文章进行总结，并提出不足之处及改进方向，同时展望机器人九点标定技术在未来的研究前景。
1.3 目的本文的目的是向读者介绍机器人九点标定技术，并深入解析其原理、公式和应用场景。
通过实验验证和案例分析，我们希望能够说明九点标定技术在提高机器人运动控制精确度方面的重要性和有效性。
同时，我们也希望能够为相关领域的研究者提供一些有价值的参考和思路，以推动该领域更深入地发展。
2. 机器人九点标定原理及公式：2.1 九点标定原理：机器人的精确运动控制是基于其坐标系的准确性。
然而，由于加工误差、装配误差以及各种外界因素的影响，机器人的真实坐标系可能存在与理论坐标系之间的偏差。
为了解决这个问题，九点标定方法被广泛应用于机器人领域。
九点标定方法基于以下原理：在已知空间中选择九个具有确定位置关系的靶点，在不同位置和姿态下对这些靶点进行测量，并将测量数据与理论值进行比较。
通过相应计算得到的偏差信息，可以推导出机器人坐标系相对于真实物体坐标系的转换矩阵。
第4章 机器人逆运动学方程
nx ox ax n o a y y T = y 6 nz oz az 0 0 0
px py pz 1
（3）由T6 和An（n＝1，2，…，6）和式（4.1）求出相应的关节变量θn 或 dn。
4.2 逆运动学方程的解（Solving inverse kinematic equations） 逆运动学方程的解（ ）
Байду номын сангаас
（4.48）
式中
f11 = cosφ x +sin φ y
（4.49） （4.50） （4.51） （4.52）
f12 = −sin φ x +cosφ y
f13 = z
f12(a) = −sin φ ax +cosφ ay
同样，上面三个式子中的x、y、z分别表示n、o、a、p矢量的各个分量，如
比较式（4.48）等号两边矩阵的第2行第3列元素可知
这里 f11 = C1 x＋S1 y f12 = - z f13 = - S1 x＋C1 y 其中 x =[ nx ox ax px ]T， y =[ ny oy ay py ]T， z =[ nz oz az pz ]T 由第三章得到的斯坦福机械手运动学方程式（3.48）为 C2( C4C5C6 - S4S6 ) - S2S5C6 -C2( C4C5S6 + S4C6 )+ S2S5S6 C + S2( C4C5C6 - S4S6 ) + C2S5C6 -S2( C4C5 S6+ S4C6 )- C2S5S6 S4C5C6 + C4C6 -S4C5S6 + C4C6 0 0 C2C4S5 + S2C5 S2C4S5 - C2C5 S4S5 0 S2d3 -C2d3 d2 1 (4.10) (4.11) (4.12)
机器人正运动学和逆运动学
i
αi-1
ai-1
di
θi
•
•
3.1.5 PUMA 560型机器人运动学方程 12..确确定定各D-连H杆坐D标-H系参数和关1234节αadiii-=-1变1沿==量绕沿ααZ0023iXX轴ii--1,1从轴轴--9900X,,从00从° °i°°-1ZZ到ii--11X到到i的ZZdd00i24距i的的离角距;度离θθθθ31(；24；(-((990000°°°°))
3. 机器人正逆运动学
本章主要内容
机器人运动学研究的问题： 机器人末端在空间的运动与各个关节的运动之间
的关系。
3.1 机器人正运动学方程 3.2 机器人逆运动学方程
3.1 机器人正运动学方程
• 定义：
– 描述机器人末端相对于绝对坐标系或基座坐标 系的位置姿态的数学表达式
• 运动学方程的模型：
•
M f (qi )
3 L2 0
0
θ3 i 绕Zi轴, 从Xi1旋转到Xi的角度;
3.1.4操作臂运动学方程
目的：求出相邻连杆间的坐标
变换的形式，进一步求出连杆
T i 1 i
{R}
{P}
（n相1）对推于导连过杆0程的：位置和姿态。
{Q}
1.坐标系{i-1}相对于坐标系{i}的变换是由连杆四个参数构成
的函数，其中只有一个变量。
坐标系（笛卡尔坐标系）中的位置和姿态就能描述出来。
0 N
T(q1
,
q2
,
, qN
)
01T(q1)12T(q2 )
N
1 N
T(qN
)
0N00R0
0
PN 1
0