层次分析模型介绍

若干部门去。如能知道各部门对投入量的需求权 重，把权系数看成分配的百分比率即可。
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§ 1.2 层次分析法的基本原理和步骤
运用层次分析法解决问题，大体可以分为 四个步骤：
1. 建立问题的递阶层次结构； 2. 构造两两比较判断矩阵； 3. 由判断矩阵计算被比较元素相对权重； 4. 计算各层次元素的组合权重。
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§ 1.2.2 构造两两比较判断矩阵
在建立递阶层次结构以后，上下层次之间元 素的隶属关系就被确定了。假定上一层次的元素 Ck 作为准则，对下一层次的元素 A1, …, An 有支配 关系，我们的目的是在准则 Ck 之下按它们相对重 要性赋予 A1, …, An 相应的权重。
层次分析法
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第一讲 层次分析法
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§ 1.1 引言与引例
层次分析法（Analytic Hierarchy Process， 简称 AHP）是美国运筹学家 T. L. Saaty 教授于 上世纪 70 年代初期提出的一种简便、灵活而又 实用的多准则决策方法。
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人们在进行社会的、经济的以及科学管理 领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由 相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而 往往缺少定量数据的系统。
在这样的系统中，人们感兴趣的问题之一 是：就 n 个不同事物所共有的某一性质而言， 应该怎样对任一事物的所给性质表现出来的程 度（排序权重）赋值，使得这些数值能客观地 反映不同事物之间在该性质上的差异？
其中 x1 = 写作水平，x2 = 外语程度， x3 = 公关能力，x4 = 国内外政治经济时事， x5 =计算机操作知识，x6 = 容貌与风度， x7 = 体形高矮与肥瘦，x8 = 音色。
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如能知道底层指标 x1, …, x8 对最高层的权系数w1, …, w8 以及各底层指标的得分，就可以按照如下 的评价公式
常用来解决诸如综合评价、选择决策方案、 估计和预测、投入量的分配等问题。
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引例1.1.1：综合评价
某公司招聘工作人员，拟从能力、知识和仪态 三个方面考核应聘者的综合表现。为此建立了如 下评价指标的层次结构：
综合情况
能力
知识
仪态
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
图 1.层1.次1 分评析价模指型介标绍结构图
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一个典型的层次可以用下图表示出来：
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其次，层次数与问题的复杂程度和所需要分 析的详尽程度有关。每一层次中的元素一般不超 过 9 个，因一层中包含数目过多的元素会给两两 比较判断带来困难。
第三，一个好的层次结构对于解决问题是极 为重要的。层次结构建立在决策者对所面临的问 题具有全面深入的认识基础上，如果在层次的划 分和确定层次之间的支配关系上举棋不定，最好 重新分析问题，弄清问题各部分相互之间的关系， 以确保建立一个合理的层次结构。
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决策的制定将取决于根据这两个层次结构 确定的方案的效益权重与代价权重之比，即如 能知道底层方案 Di（i = 1, 2, 3）对最高层 Aj（j = 1, 2）的权系数 wij（i = 1, 2, 3，j = 1, 2），则 可根据如下的决策公式
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§ 1.2.1 建立递阶层次结构 建立递阶层次结构是层次分析法中的第一步。
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首先，将复杂问题分解为称之为元素的各组成 部分，把这些元素按属性不同分成若干组，以形 成不同层次。同一层次的元素作为准则，对下一 层次的某些元素起支配作用，同时它又受上一层 次元素的支配。这种从上至下的支配关系形成了 一个递阶层次。处于最上面的的层次通常只有一 个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果。 中间层次一般是准则、子准则。最低一层包括决 策的方案。层次之间元素的支配关系不一定是完 全的，即可以存在这样的元素，它并不支配下一 层次的所有元素。
Si = wi1/ wi2，i = 1, 2, 3
对三个方案进行排序、选择。
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引例1.1.3：预测或估计
在体育比赛中预测一个代表队的成绩，有三 种可能的前景：
x1 = 名列第一 x2 = 名列前八名（不包括第一） x3 = 名落孙山 所用的评价指标有三个：竞技实力、自信心、环 境因素。为此构建如下的层次结构：
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如能知道底层指标 x1, x2, x3 对最高层的权系数 w1j, w2j, w3j（j = 1, 2, 3），将各相同前景的权系数相 加，就可以按照如下的预测公式
3
Si wij, i 1,2,3 j1
对各前景 x1, x2, x3 对进层次分行析模先型介验绍 预测。
引例1.1.4：投入量的分配 在这种问题中，投入量给定，要把它们分配到
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层次分析法为这类问题的决策和排序提供 了一种新的、简洁而实用的建模方法。它把复 杂问题分解成组成因素，并按支配关系形成层 次结构，然后用两两比较的方法确定决策方案 的相对重要性。
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层次分析法在经济、科技、文化、军事、环 境乃至社会发展等方面的管理决策中都有广泛 的应用。
8
S wi xi i 1
合决策
某地要改善一条河道的过河运输条件，为此 需要确定是否要建立桥梁或隧道以代替现有的轮 渡。
在此问题中过河方式的确定取决于过河的效 益与代价（即成本）。通常我们用费效比（即效 益/代价）作为选择方案的标准。为此分别给出了 两个层次结构（图 1.1.2 和图 1.1.3）。它们分别 考虑了影响过河的效益与代价的因素，这些因素 可分为三类：经济的、社会的和环境的。
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一个递阶层次结构应具有以下特点：
(1) 从上到下顺序地存在支配关系，并用直线段表示。 除第一层外，每个元素至少受上一层一个元素支配，除 最后一层外，每个元素至少支配下一层次一个元素。上 下层元素的联系比同一层次中元素的联系要强得多，故 认为同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系。
(2) 整个结构中层次数不受限制。 (3) 最高层只有一个元素，每个元素所支配的元素一 般不超过 9 个，元素多时可进一步分组。 (4) 对某些具有子层次的结构可引入虚元素，使之成 为递阶层次结构。