电磁学 第二章静电场中的导体汇总
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静电场中的导体
动的状态，从而电场分布不随时间变化。
说明：
一般情况表面有一定厚度，很复杂如：E=109V，则 感应电荷聚集在表面的厚度为10-10m，本课程不讨论 表面层电荷如何分布。 实际物质内部既有自由电子，又是电介质。如：气体 在一般情况下绝缘（电介质），但加高压气体会被击 穿（导体）——导体是一种理想模型。 对导体只讨论达到静电平衡以后的情况，不讨论加电 以后电荷的平衡过程。
S内
E
E d S 0
内表面不是等势面 ——导 体也不是等势体 ，矛盾
S面内 q 0
内 表面 电 荷代 数和 为 零? 内 表面 无 电荷
q 0
e内 0
空腔内部有带电体 q
导体内表面上所带电荷与腔内电荷的代数 和为零 证明：作Gauss面如图
E内＝0 E
力学：只涉及物质的机械性质，对其本身研究甚 少。 电磁学：较多地讨论场，而对物质本身的电磁性 质也涉及得很少。 物质与场是物质存在的两种形式 物质性质非常复杂（要特别注意我们课程中讨论 这种问题所加的限制）
导体静电平衡条件
导体：有足够多的自由电子 ——受电场力会移动.
静电平衡状态：体是一个等势体，导体表 面是等势面 证明：
导体内部E=0
U ab E d l 0
a
b
导体内部任意两点间电势差为零 ——各点等电势——等势体 ——表面为等势面
场强分布
E内 0
表面附近：表 表面 E 表面 ： σe 大小： E ε0
导体表面是等势 面，处处与电力 线正交 ？
S内
E d S 0
q 0 q x x q
说明：
一般情况表面有一定厚度，很复杂如：E=109V，则 感应电荷聚集在表面的厚度为10-10m，本课程不讨论 表面层电荷如何分布。 实际物质内部既有自由电子，又是电介质。如：气体 在一般情况下绝缘（电介质），但加高压气体会被击 穿（导体）——导体是一种理想模型。 对导体只讨论达到静电平衡以后的情况，不讨论加电 以后电荷的平衡过程。
S内
E
E d S 0
内表面不是等势面 ——导 体也不是等势体 ，矛盾
S面内 q 0
内 表面 电 荷代 数和 为 零? 内 表面 无 电荷
q 0
e内 0
空腔内部有带电体 q
导体内表面上所带电荷与腔内电荷的代数 和为零 证明：作Gauss面如图
E内＝0 E
力学：只涉及物质的机械性质，对其本身研究甚 少。 电磁学：较多地讨论场，而对物质本身的电磁性 质也涉及得很少。 物质与场是物质存在的两种形式 物质性质非常复杂（要特别注意我们课程中讨论 这种问题所加的限制）
导体静电平衡条件
导体：有足够多的自由电子 ——受电场力会移动.
静电平衡状态：体是一个等势体，导体表 面是等势面 证明：
导体内部E=0
U ab E d l 0
a
b
导体内部任意两点间电势差为零 ——各点等电势——等势体 ——表面为等势面
场强分布
E内 0
表面附近：表 表面 E 表面 ： σe 大小： E ε0
导体表面是等势 面，处处与电力 线正交 ？
S内
E d S 0
q 0 q x x q
静电场中的导体(精)
第二章 静电场中的导体
§3－1 静电场中的导体 §3－2 封闭金属腔内外的静电场 §3－3 电容器及其的电容 §3－4 带电体系的静电能
§3－５ 静电感应仪器（自学）
2019/6/2
1
教学要求
1.掌握导体静电平衡条件，分析带电导体的静电场中的 电荷分布；求解有导体存在时场强与电势分布； 2. 理解电容的定义，能计算简单形状电容器的电容；
5
物质中的电荷 在电场的作用 下重新分布
互相影响场分布、互相制约
达到某种新的平衡
场分布
是场与物质的相互作用问题
力学：只涉及物质的机械性质，对其本身 研究甚少。
电磁学：较多地讨论场，而对物质本身的 电磁性质也涉及得很少。
物质与场是物质存在的两种形式
2019/6/2
6
导体静电平衡条件
导体刚放入 匀强电场中
V
内
dV
0，
S 是任意的。
2019/6/2
令S→ 0，则必有 内 = 0。
10
二. 表面场强与面电荷密度的关系
E d s E表 S
小扁柱体 表面为 S
E表
en
S
导体
S
S (高） 0
E表
0
，E表
0
en
思考
E
表是小柱体内电荷的贡献还是导体表
面全部电荷的贡献？从推导中的哪一步可看出？
2019/6/2
11
三. 孤立导体表面电荷分布的特点
静电起电机工作原理
面电荷密度与曲率半径的关系
e
表 表
面凸 面较
出 平
§3－1 静电场中的导体 §3－2 封闭金属腔内外的静电场 §3－3 电容器及其的电容 §3－4 带电体系的静电能
§3－５ 静电感应仪器（自学）
2019/6/2
1
教学要求
1.掌握导体静电平衡条件，分析带电导体的静电场中的 电荷分布；求解有导体存在时场强与电势分布； 2. 理解电容的定义，能计算简单形状电容器的电容；
5
物质中的电荷 在电场的作用 下重新分布
互相影响场分布、互相制约
达到某种新的平衡
场分布
是场与物质的相互作用问题
力学：只涉及物质的机械性质，对其本身 研究甚少。
电磁学：较多地讨论场，而对物质本身的 电磁性质也涉及得很少。
物质与场是物质存在的两种形式
2019/6/2
6
导体静电平衡条件
导体刚放入 匀强电场中
V
内
dV
0，
S 是任意的。
2019/6/2
令S→ 0，则必有 内 = 0。
10
二. 表面场强与面电荷密度的关系
E d s E表 S
小扁柱体 表面为 S
E表
en
S
导体
S
S (高） 0
E表
0
，E表
0
en
思考
E
表是小柱体内电荷的贡献还是导体表
面全部电荷的贡献？从推导中的哪一步可看出？
2019/6/2
11
三. 孤立导体表面电荷分布的特点
静电起电机工作原理
面电荷密度与曲率半径的关系
e
表 表
面凸 面较
出 平
静电场中导体课件
-
C
2
B
设平行板电容器两板极上带有电荷±q, 铜板平行地两 表面上将分别产生感应电荷，面密度也为±σ ，如图 所示，此时空气中场强不变，铜板中场强为零。两 极板A 、B的电势差为
所以铜板插入后的电容C’ 为 2)由上式可见， C ’ 的值与d1 和d2 无关( d1 增大时， d2 减小。 d1 + d2 = d- d ' 不变)，所以铜板离极板的 距 离不影响C’ 的值
板极上带电±Q时所储的电能为
故两极板的间距拉开到2d后电容器中电场能量的 增量为
(2)设两极板之间的相互吸引力为F ，拉开两极板 时所加外力应等于F ，外力所作的功A=Fd ，所以
讨论：由
也可以求出F，请问此时的E=？
一个无限大平面附近的场。
例 9-11 平行板空气电容器每极+
板的面积 S = 3×10 -2 m 2 ，板极间
各自都是均匀的。设大球所带电荷量为Q，小球所带电荷 量为q，则两球的电势为
导体上的电荷分布
可见大球所带电量Q比小球所带电量q多。
两球的电荷密度分别为
可见电荷面密度和半径成反比，即曲率半径愈 小(或曲率愈大)，电荷面密度愈大。
三、静电屏蔽(electrostatic shielding)
导体放入静电场中，导体上的感应电荷只分布在导体表面， 导体内部没有净电荷，导体内部场强为零。如果导体内部挖一空腔， 空腔内无带电体时，电荷只分布在外表面， 导体内部及腔体的内表 面处处无净电荷。 下面我们简单证明一下这一结论。 假设内表面一部分带正电，另一部分带等量的负电，则必有电场线 从正电荷出发终止于负电荷。
由电容的定义可得，此球的电容为 二 、 电 容 器 的 电 容 ( capacitance of capacitor)
1.52 静电场中的导体
静电屏蔽
空
不论导体壳本
腔
身是否带电，
提
还是外界是否
供
存在电场, 腔
了
内和导体壳上
一
都无电场
个
静
电 不论导体壳本身
屏 是否带电，还是
蔽 的 条
外界是否存在电 场,都不影响腔内 的场强分布
件
2005.2
在静电平衡状态下
起到了保 护所包围 区域的作 用，使其 不受导体 壳外表面 上电荷分 布以及外 界电场的 作 用 —— 静电屏蔽
电量 0——>Q
2005.2
北京大学物理学院王稼军பைடு நூலகம்写
电容器储能公式的推广
孤立导体
Q=CU We1 2Q C2 1 2CU 21 2QU
一组导体1、2、…、n
We1 2
n i
QiUi 1 2
i
Ui edS
Si
第i个电荷的
第i个电荷
电量
的电势
2005.2
北京大学物理学院王稼军编写
北京大学物理学院王稼军编写
外 无影响内 外有影响内
若外壳接地，内、 外均无影响
讨论：
静电屏蔽是由导体静电平衡条件决定 由于电荷有正、负 —— 静电屏蔽 静电屏蔽应用：屏蔽室、高压带电操作等 要透彻理解“静电屏蔽”问题要用到静电
场边值问题的唯一性定理。 思考：引力能否屏蔽？
2005.2
北京大学物理学院王稼军编写
电容器储能
电容器的能量是如 何储存起来的？
电容器极板上的电 荷是一点一点聚集 起来的，聚集过程 中，外力克服电场 力做功 ——电容 器体系静电能。
一极板上电子 （拉出 e为正）
空
不论导体壳本
腔
身是否带电，
提
还是外界是否
供
存在电场, 腔
了
内和导体壳上
一
都无电场
个
静
电 不论导体壳本身
屏 是否带电，还是
蔽 的 条
外界是否存在电 场,都不影响腔内 的场强分布
件
2005.2
在静电平衡状态下
起到了保 护所包围 区域的作 用，使其 不受导体 壳外表面 上电荷分 布以及外 界电场的 作 用 —— 静电屏蔽
电量 0——>Q
2005.2
北京大学物理学院王稼军பைடு நூலகம்写
电容器储能公式的推广
孤立导体
Q=CU We1 2Q C2 1 2CU 21 2QU
一组导体1、2、…、n
We1 2
n i
QiUi 1 2
i
Ui edS
Si
第i个电荷的
第i个电荷
电量
的电势
2005.2
北京大学物理学院王稼军编写
北京大学物理学院王稼军编写
外 无影响内 外有影响内
若外壳接地，内、 外均无影响
讨论：
静电屏蔽是由导体静电平衡条件决定 由于电荷有正、负 —— 静电屏蔽 静电屏蔽应用：屏蔽室、高压带电操作等 要透彻理解“静电屏蔽”问题要用到静电
场边值问题的唯一性定理。 思考：引力能否屏蔽？
2005.2
北京大学物理学院王稼军编写
电容器储能
电容器的能量是如 何储存起来的？
电容器极板上的电 荷是一点一点聚集 起来的，聚集过程 中，外力克服电场 力做功 ——电容 器体系静电能。
一极板上电子 （拉出 e为正）
电磁学第02章 静电场中的导体和电介质
E P cos2 sin d P
0 20
3 0
en
P
R
d r O x O
解：（1）
P
cos
0
/ 2, 0 /2 ,0
（2） E ( x)
4 0
qx (x2
r
2 )3
2
带电圆环在其轴线上场 强例1-3题的结果
x R cos ， r R sin ， dq ' ' 2 r Rd
U qo
q
4 0 d
dq
(S球 ) 4 0 R
q
q
0
40d 40R
q R q q 。 d
作业：2.1.3，2.2.1，2.2.4
(P84~100)
1.电偶极子
1.1 电偶极子及电偶极矩 电偶极子：一对等值异号的点电荷构成的电荷系：
电偶极矩：
rr pe ql
P r
-q
q
l
(r>>l)
E
E
4 0
q r2 l2
42
EP 2E cos
E＋
E
P
4 0
ql r2 l2
32
4
E－ r
ql
4 0 r 3
pe
4 0 r 3
－q
O
l
q
r 或：E p
pr e
4 0 r 3
例题、计算电偶极子在平面内任一点 P 的场强。
解：如图所示，根据矢量叠加原理：
电偶极矩可分为：
pe
per
pe
。
per pe cos ； pe pe sin
EP
Er
Eθ P
在平面内任一点 P 的场强为： E p Er E
大学物理电磁学第二章导体周围的静电场资料
导体内场强不为零
导体达静电平衡， 导体内场强为零
静电感应现象：在外电场作用下，引起导体中电荷重 新分布而呈现出的带电现象。
导体静电平衡：导体内（包括导体表面）没有
电荷作定向运动。
静电平衡的必要条件：导体内部电场强度为零。
导体在静电平衡时的性质：
1.导一条在
3. 在导体外部， 紧靠导体表面的点的 场强方向与导体表面 垂直，场强大小与导 体表面对应点的电荷 面密度成正比。
EP
P
0
eˆn
2 2
金属导体表面的σ 及其附近的场强E一同
+++
受外界影响，但两者 + B + A
关系不变。即 En=σ/ε0
+++
++
+
+B +
+
++
2.1.2 带电导体所受的静电力
导点体场内强部为的零连，续故曲有线U所A联B 结，AB由E于 d连l线上0 各
2.导体内部电荷体密度为零，
A B
电荷只能分布在导体表面。
证明：在导体内任意选取一高斯
面强，E为由零于，在所静以电平衡E时 d，s导 体0 内的场
由高斯定理可知：导s 体内
qi 0
+ + ++
+
+
+
+
+ 高斯
+
+ +面 + +
VO
q
4
0l
dS q 1 S 4 0R 4 ol 4 0R
dS 1 q Q
S
4静电场中的导体PPT课件
q3 q2 q
1、求电势分布（用叠加
原理）
R3
r R1
U1
q
4 0 R1
q
4 0 R2
q
4 .0 R3
q3
q2
q R1
R2
21
q (1 1 1)
40 R1 R2 R3
q3
(R1 r R2 )
U2
q
4 0 r
q
4 0 R2
q
4 0 R3
q11 1
R3
q2
q R1
R2
( )
40 r R2 R3
理论上：Q分布确定，E、U分布亦确定。 但导体上的电荷分布不是人为规定的， 如何处理有导体存在时的静电场问题？
原则：1.静电平衡的条件
E内 0
或 U const
2.静电场的基本方程
qi
S E d s
i
0
L E d l 0
3.电荷守恒定律 .
12
例: 一个金属球A,带电 qA, 同心金属球壳 B, 带电 qB, 如图，试分析它们的电荷分布。
.
28
2、腔内有电荷的 封闭导体壳:
设不带电的金属壳B内有带电体A, 在静电平衡状态下,带电情况如图。
如果要求腔内电荷不影响
腔外,可以将外壳接地。
q
–q
接地使B的外表面的
电荷全部跑光。
Q+q
.
电力线不可能到外面来, 就起到了 对外的屏蔽作用。
29
从此图可以看出， q –q
重要规律（2）: 导体壳内表面上的电荷 与壳内电荷,在导体壳内 表面以外的空间的总场 强等于零。
说明：
1.这里所指的导体内部的场强是指空间中的一切电荷 （包括导体外部的电荷和导体上的电荷）在导体内部 产生的总场强。
第二章电磁学PPT课件
.
20
2.导体表面电荷及场强
设导体表面某处电荷面密度为 (x,y,z)
该处的电场强度为
E表 (x,y,z)
设P是导体外紧靠导体表面的一点
E
dSE 表 dS
EdS
E表ΔS
S
ΔS
S-ΔS
由得高E斯表 定理0 有写作E表EΔ表S0n0ˆS
E
+ +
+ + + + + E0
+
+
+
+
仅在导体表面附近适用, ，0E且E由导体上和外部电荷共同产
+
+
+
+
+
E
+E
+
外
感
+
+
+
E E E 0 内. =
+ 17
外
=
感
导体静电平衡的条件
⑴导体内部任意点的场强为零。 ⑵导体表面附近的场强方向处处与表面垂直。
体
.
18
推论：静电平衡的导体是等势体，导体表面是等势面。
证明：
等势体 a
b
等势面 p
Q
en
+ +P
+
E
dl
q1
q2
3
1 2 3 4
.
22
A
B
1-2-3-40 2 -3 123-40 1 4
12qA/S
341-2q B/S q1
q2
1(q A q B )/2 (S )4
2(q A- q B )/2 (S )-3 1 2 3 4
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外底面上E大小相等， E // dS ,
E 外底dS
ES q S
E 0
0
0
cos 1
注意： 1.E不是面积S产生的，是整个导体产生的。
2. E 是导体表面附近的场强。
例如：均匀带电球体表面附近
场强
E
q
4 0r 2
q
rR R
1
0
q
4R
2
0
导体壳
1.腔内无电荷
性质1：空腔内表面无 电荷全部电荷分布于 外表面。
电荷面密度与导体表面的曲率半径成反比。
球 1 电势
V1
q1
4 0 R1
R1 q1
0 4R12
R11
R1
R2
0
球 2 电势
V2
q2
4 0 R2
R2
0
q2
4R
2 2
R 2 2 0
两导体电势相等，
V1 V2
R11 R 2 2
0
0
R C
1
R
R1
R2
E 1
R
导体表面尖锐处 R小， 大，表面E也大； 导体表面平滑处 R大， 小，表面E也小；
四、电容器串并联 C1 C2
Cn
1.电容器串联 特点：
q1 q2 qn
U U1 U2 Un
U1 U2
Un
U
由 Uq
C 1 1 1 ... C C1 C2
注意
1 1 1 1
C C1 C2
Cn
1.电容越串容量越小。
若面积S相同，相当于将极板间距增大。
C 0S
d 2.可提高电容耐压程度，外加电压由各电 容器分压。
E E0 E 0
•静电平衡条件： 导 体内部场强为0。
外场 感应场 导体内部的场
导体静电平衡的推论
1、静电平衡时导体为等势体，导体表面为 等势面。
证明：在导体内任取两点， b
电势差为：
U ab Va Vb ab E d l
a
静电平衡时 E = 0
Va Vb 0,
Va Vb
导体为等势体，导体表面为等势面。
不适合。用两个导体组成的电容器可实现
较大的电容。
+q
-q
qUAB
C=q/UAB
A
B
q为一个极板带电量的绝对值。
符号：
电容器的电容只与电容器的大小、形状、 电介质有关，而与电量、电压无关。
三、电容的计算方法
1.设电容器的带电量为 q。 2.确定极板间的场强。 3.由 U AB AB E d l 计算两板间的电势差。 4.由电容定义 C q 计算电容。
可看出C只与几何尺寸有关，而与 q 无关。
例2：平行板电容器 平行板电容器极板面积为 S ，板间距
离为 d ，求电容器电容。
解：设极板带电量为 q
由平行板电容器场强
E
板间电势差
0
U
E dl
Ed
d 0
电容 C q U
S
U
S d
S 0
d
C 与 q 无关。
0
例3：圆柱形电容器 圆柱形电容器为内径
RA、外径 RB 两同轴圆柱 导体面 A 和 B组成，且 圆柱体的长度 l 比半径 l RB大得多，求电容。
解：设两柱面带电分别 为 +q 和 q ，则单位长 度的带电量为
q/l
RA RB
确定柱面间的场强，
高
作半径为 r、高为 l 的
斯
高斯柱面。
面
面内电荷代数和为：
q l
E
2 0r
E
2 0r
二、导体上的电荷分布
体内无电荷时：静电平衡时导体内没有未抵
消的净电荷( )0，电荷只分布于外表面。
证明：导体内作高斯面
S
E
dS
q
0
高 斯
静电平衡时E = 0， q 0
面
面内电荷是否会等量异号？ 缩小高斯面。
q 0, E 0 与静电平衡条件矛盾。
所以静电平衡时导体内无净电荷。
2.孤立导体的电荷分布 孤立导体：导体周围无其它带电体。
d
五、电容器的储能
某时刻：q,u
dA udq
W
Q
udq
Q q dq
0
0C
W Q2 1 CU 2 2C 2
三 静电场中的 电介质
一、电介质的极化
电介质就是绝缘体。
特点：电介质内无自 由电荷。
将电介质放入电 场，表面出现极化电 荷——介质的极化。
外场 极化场 介质内部的场
极化场E’ 削弱外场 E0但不能抵消外场。
2.电容器并联
q1
特点
U U1 U2 Un q q1 q2 qn
C1 q2
C2
由 q CU
qn
CU C1U1 C2U 2 CnU n
Cn
C C1 C2 Cn
注意
C C1 C2 Cn
•电容越并越大，若极板间距 d 相同，电 容并联相当增加面积 S 。
C 0S
单位：法拉，F
1微法（F）=106F
1皮法（pF）= 106 F = 1012 F
例1：如果地球当成电容，其电容为多大？ （地球半径为 6.4106 m）
解：
Cq V
q q
40R
4 0 R 4 8.85 10 12 6.4 10 6
1 (F) 1400
二、电容器的电容
孤立导体的电容很小，用它作电容器
证明：在导体面内表面作高斯面，
由高斯定理
E
dS
q
0
导体内 E 0
由于腔内有 q 电荷，
q 0
腔内表面有 –q 电荷,
由电荷守恒定律，在外 表面上产生等量的正电 荷，外表面上的电荷为：
腔内电荷变化会引起腔外电场的变化。
接地可屏蔽内部电场变 化对外部的电场影响。
例如：如家电的接地保护； 半导体中的中周外壳是金 属的。
第二章
静电场中的导 体和电介质
一 静电场中的 导体
一、导体的静电平衡条件
导体内有大量的 自由电荷，在电场的 作用下，导体表面出 现感应电荷。
1.静电平衡
导体内部无宏观 外场 E0
电荷的定向移动，导 感应场 体处在静电平衡状态。
E
导体内部的场 E
2.静电平衡条件
导体内部的场
E E0 E
静电平衡时
排列愈有序说明极化愈烈
定义
P lim
i
pi
V
量纲
SIΒιβλιοθήκη 单位c m2P
V
宏观上无限小 微观上无限大
的体积元 V
pi
每个分子的 电偶极矩
极化强度 P 与极化电荷的关系
在已极化的介质内任意作一闭合面S S 将把位于S 附近的电介质分子分为两部分
一部分在 S 内 一部分在 S 外
电偶极矩穿过S 的分子对S 内的极化电荷有贡献
P2点的场,
12 3 4
E 1 2 3 - 4 0
2 0 2 0 2 0 2 0
1 2 2 - 3
二 电容 电容器
一、孤立导体的电容 1.孤立导体：导体周围无其它带电体或导体。
2.孤立导体电容 q V
写成等式
q CV
定义：
Cq V
注意：导体电容只与导体的大小、形状有 关，与电量、电势无关。
++
介质 + S
+ +
+
+ +dS
---+--+---
+
+ ++
P
+ +
+
+ +
+
+ +dS
---+--+---
+
+ ++
P
+ +
+
S面内留下的极化电荷
rr
Ñs P dS q s
极化强度通过某封闭曲面的通量等于曲面内极化电 荷代数和的负值
dS-- -+--介-+P+质-d++S++
P
E
2）介质表面的极化电 面荷面密度。
转向极化：电偶极子 在外场作用下发生转 向。
在介质表面产生极 化电荷。
极化电荷被束缚在介质表面，无法引 出——束缚电荷。
电子的位移极化效应在任何电介质中都 存在，而分子的取向极化只在有极分子 构成的电介质中存在。
正负电荷抵消， 不显电性。
正负电荷抵消不掉, 极化电荷。
三、极化强度矢量
电偶极子排列的有序程度反 映了介质被极化的程度
屏蔽的作用：腔内不受外电场 的影响，腔内电荷对外界的影响
高压放电区的保护
防静电屏蔽袋是采用喷涂、真空沉积、电镀和粘贴
等工艺技术，在工程塑料和有机介质的表面覆盖一层 屏蔽导电薄膜，从而起到平板屏蔽的作用。
防静电屏蔽大褂
E
2 0
P1点的场,
P1
P2
E 1 - 2 - 3 - 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0
高
柱面间的电势差为
斯
U AB AB E d l
RB
RA
Edr
RB
RA
2 0r
dr
面
RA
lr
RB
q ln R B
20l R A
电容 C q U AB
q q ln R B
20l R A
20l
ln R B RA