江苏省海安市2020-2021学年第一学期高二期中考试数学试卷 含答案
江苏省2020—2021学年高二数学上学期期中考试卷题库(共9套)
江苏省2020—2021学年高二数学上学期期中考试卷（一）（考试时间120分钟满分160分）一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．数列{n+2n}中的第4项是．2．抛物线x2=4y的准线方程为．3．若原点（0，0）和点（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是．4．已知等差数列{a n}，其中a1=，a2+a5=4，a n=33，则n的值为．5．若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为．6．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若27a3﹣a6=0，则=．7．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是．8．已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．9．已知数列{a n}是等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，求S5．10．已知椭圆：的焦距为4，则m为．11．若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是．12．椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．13．将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第100项，即a100=．14．若实数a，b满足a=+2，则a的最大值是．二.解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．求适合下列条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，﹣6）；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6．16．已知数列{a n}的通项公式是a n=n2+kn+4（1）若k=﹣5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，a n有最小值．并求出最小值，（2）对于n∈N*，都有a n+1＞a n，求实数k的取值范围．17．某厂家计划在2016年举行商品促销活动，经调查测算，该商品的年销售量m万件与年促销费用x万元满足：m=3﹣，已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家的产量等于销售量，而销售收入为生产成本的1.5倍（生产成本由固定投入和再投入两部分资金组成）．（1）将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；（2）该厂2016年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？18．（1）解关于x的不等式：（a2+a﹣1）x＞a2（1+x）+a﹣2（a∈R）；（2）如果x=a2﹣4在上述不等式的解集中，求实数a的取值范围．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2．（1）若椭圆C经过点（，1），求椭圆C的标准方程；（2）设A（﹣2，0），F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P，满足=，求椭圆C的离心率的取值范围．20．已知递增数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，4S n﹣4n+1=a n2．设b n=，n∈N*，且数列{b n}的前n项和为T n．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）试求所有的正整数m，使得为整数；（3）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+18（﹣1）n+1恒成立，求实数λ的取值范围．二.高二数学试题21．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60）内的汽车有辆．22．若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率为．23．已知命题甲是“{x|≥0}”，命题乙是“{x|log3（2x+1）≤0}”，则甲是乙的条件．（从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选填）24．下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确命题序号都填上）25．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．26．将扑克牌4种花色的A，K，Q共12张洗匀．（1）甲从中任意抽取2张，求抽出的2张都为A的概率；（2）若甲已抽到了2张K后未放回，求乙抽到2张A的概率．参考答案一.填空题1．解：根据题意，数列{n+2n}的通项a n=n+2n，则其第4项a4=4+24=20；故答案为：20．2．解：∵抛物线方程为x2=4y，∴其准线方程为：y=﹣1．故答案为：y=﹣1．3．解：因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）•（1+1﹣a）＜0，解得0＜a＜2，故答案为：（0，2）．4．解：在等差数列{a n}，由a1=，a2+a5=4，得2a1+5d=4，即，．∴，由a n=33，得，解得：n=50．故答案为：50．5．解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为：3．6．解：设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，由27a3﹣a6=0，得27a3﹣a3q3=0，即q=3，∴=．故答案为：28．7．解：∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0∴∴3x+4y=（3x+4y）（）=×3=5当且仅当即x=2y=1时取等号故答案为：58．解：双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±，由题意可得=，解得a=．故答案为：．9．解：数列{a n}是等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1=a1•a4，可得a4=2．再由a4与2a7的等差中项为，可得a4 +2a7 =，故有a7 =．∴q3==，∴q=，∴a1=16．∴s5==31．10．解：由题意，焦点在x轴上，10﹣m﹣m+2=4，所以m=4；焦点在y轴上，m﹣2﹣10+m=4，所以m=8，综上，m=4或8．故答案为：m=4或8．11．解：在等差数列中，a1+a2=x+y；在等比数列中，xy=b1•b2．∴===++2．当x•y＞0时， +≥2，故≥4；当x•y＜0时， +≤﹣2，故≤0．答案：[4，+∞）或（﹣∞，0]12．解：设Q（m，n），由题意可得，由①②可得：m=，n=，代入③可得：，可得，4e6+e2﹣1=0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0解得e=．故答案为：．13．解：根据题意，分析相邻两个图形的点数之间的关系：a2﹣a1=4，a3﹣a2=5，…由此我们可以推断：a n﹣a n﹣1=n+2（n≥2），又由a1=5，所以a100=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a100﹣a99）=5+4+5+…+102=5+=5252；即a100=5252；故答案为：5252．14．解：设=x，=y，且x≥0，y≥0；∴b=x2，4a﹣b=y2，即a==；∴a=+2可化为=y+2x，即（x﹣4）2+（y﹣2）2=20，其中x≥0，y≥0；又（x﹣4）2+（y﹣2）2=20表示以（4，2）为圆心，以2为半径的圆的一部分；∴a==表示圆上点到原点距离平方的，如图所示；∴a的最大值是×（2r）2=r2=20故答案为：20．二.解答题15．解：（1）设椭圆的标准方程为=1，或，a＞b＞0，∵长轴长是短轴长的2倍，∴a=2b，①∵椭圆过点（2，﹣6），∴=1，或=1，②由①②，得a2=148，b2=37或a2=52，b2=13，故所求的方程为或．（2）设椭圆的标准方程为=1，a＞b＞0，∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示，∴△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线（高），且OF=c，A1A2=2b，∴c=b=3．∴a2=b2+c2=18．故所求椭圆的方程为．16．解：（1）若k=﹣5，则a n=n2﹣5n+4=（n﹣1）（n﹣4），令a n＜0，则1＜n＜4，∴数列中第2、3项共2项为负数，∵f（x）=x2﹣5x+4是开口向上，对称轴x=的抛物线，∴当n=2或3时，a n有最小值22﹣5×2+4=﹣2；（2）依题意，a n+1＞a n，即（n+1）2+k（n+1）+4＞n2+kn+4，整理得：k＞﹣2n﹣1，又∵对于n∈N*，都有a n+1＞a n，∴k大于﹣2n﹣1的最大值，∴k＞﹣2﹣1=﹣3．17．解：（1）由题意知，每件产品的销售价格为1.5×（万元），∴利润函数y=m[1.5×]﹣（8+16m+x）=4+8m﹣x=﹣[+（x+1）]+29（x≥0）．（2）因为利润函数y=﹣[+（x+1）]+29（x≥0），所以，当x≥0时， +（x+1）≥8，∴y≤﹣8+29=21，当且仅当=x+1，即x=3（万元）时，y max=21（万元）．所以，该厂家2016年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．18．解：（1）（a2+a﹣1）x＞a2（1+x）+a﹣2，（a2+a﹣1）x﹣a2x＞a2+a﹣2，（a﹣1）x＞a2+a﹣2，（a﹣1）x＞（a﹣1）（a+2），当a＞1时，解集为{x|x＞a+2}；当a=1时，解集为∅；当a＜1时，解集为{x|x＜a+2}；（2）解法一：由题意，或，分别化为：或，解得：a＞3或﹣2＜a＜1，则实数a的取值范围为（﹣2，1）∪（3，+∞）；解法二：将x=a2﹣4代入原不等式，并整理得：（a+2）（a﹣1）（a﹣3）＞0，根据题意画出图形，如图所示：根据图形得：实数a的取值范围为（﹣2，1）∪（3，+∞）．19．解：（1）由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，又代入点（，1），可得+=1，解方程可得a=，b=，即有椭圆的方程为+=1；（2）由题意方程可得F（﹣1，0），设P（x，y），由PA=PF，可得=•，化简可得x2+y2=2，由c=1，即a2﹣b2=1，由椭圆+=1和圆x2+y2=2有交点，可得b2≤2≤a2，又b=，可得≤a≤，即有离心率e=∈[，]．20．（1）证明：由，得，…所以，即，即（n≥2），所以a n﹣2=a n﹣1（n≥2）或a n﹣2=﹣a n﹣1（n≥2），即a n﹣a n﹣1=2（n≥2）或a n+a n﹣1=2（n≥2），…若a n+a n﹣1=2（n≥2），则有a2+a1=2，又a1=1，所以a2=1，则a1=a2，这与数列{a n}递增矛盾，所以a n﹣a n﹣1=2（n≥2），故数列{a n}为等差数列．…（2）解：由（1）知a n=2n﹣1，所以==，…因为，所以，又2m﹣1≥1且2m﹣1为奇数，所以2m﹣1=1或2m﹣1=3，故m的值为1或2．…（3）解：由（1）知a n=2n﹣1，则，所以T n=b1+b2+…+b n==，…从而对任意n∈N*恒成立等价于：当n为奇数时，恒成立，记，则≥49，当n=3时取等号，所以λ＜49，当n为偶数时，恒成立．记，因为递增，所以g（n）min=g（2）=﹣40，所以λ＜﹣40．综上，实数λ的取值范围为λ＜﹣40．…二.高二数学试题21．解：由频率分布直方图得：时速在区间[40，60）内的汽车的频率为（0.01+0.03）×10=0.4．∴时速在区间[40，60）内的汽车有0.4×200=80（辆）．故答案为：80．22．解：随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，∵甲与丙都不在第一天值班，∴乙在第一天值班，∵第一天值班一共有3种不同安排，∴甲与丙都不在第一天值班的概率p=．故答案为：．23．解：命题甲：≥0，化为x（x﹣1）（x+1）≥0，且x≠1，解得：﹣1≤x≤0，或x＞1．命题乙：log3（2x+1）≤0，化为0＜2x+1≤1，解得：0．则甲是乙的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．24．解：对于①，由于否命题是对命题的条件、结论同时否定，①只否定了结论，条件没否定，故①错；对于②，由于含量词的命题有否定公式是：量词交换，结论否定，故②对；对于③，因为”￢p“为真，故p假；因为“p或q”为真，所以p，q有真，所以q一定为真，故③对；对于④，因为0＜a＜1，y=log a x是减函数，∵∴，故④错．故答案为：②③25．解：∵y=kx+1在R递增，∴k＞0，由∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，得方程x2+（2k﹣3）x+1=0有根，∴△=（2k﹣3）2﹣4≥0，解得：k≤或k≥，∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假，①若p真q假，则，∴＜k＜；②若p假q真，则，∴k≤0；综上k的范围是（﹣∞，0]∪（，）．26．解：（1）将扑克牌4种花色的A，K，Q共12张洗匀．甲从中任意抽取2张，基本事件总数n==66，抽出的2张都为A包含的基本事件个数m=，∴抽出的2张都为A的概率p==．（2）甲已抽到了2张K后未放回，余下10张中抽出2张的方法有=45，抽出的两长都是A的方法有，∴乙抽到2张A的概率p==．江苏省高二数学上学期期中考试卷（二）（考试时间120分钟满分160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}，则M∩N=．2．函数f（x）=+的定义域为．3．已知等差数列{a n}的公差为d，若a1，a3，a5，a7，a9的方差为8，则d的值为．4．现有4名学生A，B，C，D平均分乘两辆车，则“A乘坐在第一辆车”的概率为．5．如图是一个算法的流程图，则输出k的值是．6．函数f（x）=2x在点A（1，2）处切线的斜率为．7．为了得到函数y=cos3x的图象，可以将函数y=sin3x+cos3x的图象向左平移个单位．8．在平面直角坐标系xOy中，若直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x ﹣1）2+（y﹣a）2=相交于A，B两点，且△ABC为正三角形，则实数a的值是．9．已知圆柱M的底面半径为2，高为，圆锥N的底面直径和母线长相等，若圆柱M 和圆锥N的体积相同，则圆锥N的底面半径为．10．已知函数f（x）是R上的奇函数，且对任意实数x满足f（x）+f （x+）=0，若f（1）＞1，f（2）=a，则实数a的取值范围是．11．向量，的夹角为60°，且•=3，点D是线段BC的中点，则||的最小值为．12．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（3）=1，f（﹣2）=3，当x≠0时有x•f'（x）＞0恒成立，若非负实数a、b满足f（2a+b）≤1，f（﹣a﹣2b）≤3，则的取值范围为．13．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，则2a5+a4的最小值为．14．已知函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=•﹣，=（sinx，cosx），=（cosx，﹣cosx）．（1）求函数y=f（x）在x∈[0，]时的值域；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足c=2，a=3，f（B）=0，求边b的值．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M、N分别为线段A1B、AC1的中点．（1）求证：MN∥平面BB1C1C；（2）若D在边BC上，AD⊥DC1，求证：MN⊥AD．17．如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD=80m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Scm2．设∠AOC=xrad．（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．18．在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x﹣1（x∈R）与两坐标轴有三个交点，其中与x轴的交点为A，B．经过三个交点的圆记为C．（1）求圆C的方程；（2）设P为圆C上一点，若直线PA，PB分别交直线x=2于点M，N，则以MN为直径的圆是否经过线段AB上一定点？请证明你的结论．19．已知函数f（x）=x2﹣x+ce﹣2x（c∈R）．（1）若f（x）是在定义域内的增函数，求c的取值范围；（2）若函数F（x）=f（x）+f'（x）﹣（其中f'（x）为f（x）的导函数）存在三个零点，求c的取值范围．20．设各项均为正数的数列{a n}满足=pn+r（p，r为常数），其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）若p=1，r=0，求证：{a n}是等差数列；（2）若p=，a1=2，求数列{a n}的通项公式；（3）若a2016=2016a1，求p•r的值．参考答案一、填空题：1．答案为：{0，1}2．答案为：（2，3）．3．答案是：±1．4．答案为：．5．答案为：5．6．答案为：2ln2．7．答案为：．8．答案为：0．9．答案为：2．10．答案为a＜﹣1．11．答案为：．12．答案为：13．答案为：12．14．答案为（，1）．二、解答题15．解：（1）∵=（sinx，cosx），=（cosx，﹣cosx），∴f（x）=•﹣=sinxcosx﹣cos2x﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1，…4分∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴函数f（x）在[0，]的值域为[﹣，0]；…8分（2）因为f（B）=0，即sin（2B﹣）=1，∵B∈（0，π），∴2B﹣∈（﹣，），∴2B﹣=，解得B=；…10分又有c=2，a=3，在△ABC中，由余弦定理得：b2=c2+a2﹣2accos=4+9﹣2×2×3×=7，即b=．…14分．16．证明：（1）如图，连接A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形，又∵N分别为线段AC1的中点．∴AC1与A1C相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点， (2)分∵M为线段A1B的中点，∴MN∥BC，…4分又∵NN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C…6分（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC1，所以CC1⊥AD，…8分∵AD⊥DC1，DC1⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，CC1∩DC1=C1，∴AD⊥平面BB1C1C，…10分又∵BC⊂平面BB1C1C，∴AD⊥BC，…12分又由（1）知，MN∥BC，∴MN⊥AD…14分17．解：（1）由题意，S=+=800x+1600sinx（0≤x≤π）；（2）S′=800+1600cosx，∴0≤x≤，S′＞0，x＞，S′＜0，∴x=，S取得最大值+800m2．18．解：（1）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得x2+Dx+F=0，则与x2+2x﹣1=0 是同一个方程，所以D=2，F=﹣1，由f（x）=x2+2x﹣1得，f（0）=﹣1，令x=0 得y2+Ey+F=0，则此方程有一个根为﹣1，代入解得E=0，所以圆C 的方程为x2+y2+2x﹣1=0；…6分（2）由f（x）=x2+2x﹣1=0得，x=或x=，不妨设A（，0），B（，0），设直线PA的方程：y=k（x++1），因以MN为直径的圆经过线段AB上点，所以直线PB的方程：，设M（2，k（3+）），N（2，），所以MN为直径的圆方程为，化简得，，由P点任意性得：，解得x=，因为，所以x=，即过线段AB上一定点（，0）…16分．19．解：（1）因为f（x）=x2﹣x+ce﹣2x（c∈R），所以函数f（x）的定义域为R，且f'（x）=2x﹣1﹣2ce﹣2x，由f'（x）≥0得2x﹣1﹣2c•e﹣2x≥0，即对于一切实数都成立…再令，则g'（x）=2xe2x，令g'（x）=0得x=0，而当x＜0时，g'（x）＜0，当x＞0时，g'（x）＞0，所以当x=0时，g（x）取得极小值也是最小值，即．所以c的取值范围是…（2）由（1）知f'（x）=2x﹣1﹣2c•e﹣2x，所以由F（x）=0得，整理得…令，则h'（x）=2（x2+2x﹣3）e2x=2（x+3）（x﹣1）e2x，令h'（x）=0，解得x=﹣3或x=1，列表得：x（﹣∞，﹣3）﹣3（﹣3，1）1（1，+∞）h'（x）+0﹣0+h（x）增极大值减极小值增由表可知当x=﹣3时，h（x）取得极大值；…当x=1时，h（x）取得极小值．又当x＜﹣3时，，所以此时h（x）＞0，故结合图象得c的取值范围是…20．（1）证明：由p=1，r=0，得S n=na n，∴S n﹣1=（n﹣1）a n﹣1（n≥2），两式相减，得a n﹣a n﹣1=0（n≥2），∴{a n}是等差数列．（2）解：令n=1，得p+r=1，∴r=1﹣p=，则S n=a n，a n﹣1，两式相减，=，∴a n=•…=•…•2=n（n+1），化简得a n=n2+n（n≥2），又a1=2适合a n=n2+n（n≥2），∴a n=n2+n．（3）解：由（2）知r=1﹣p，∴S n=（pn+1﹣p）a n，得S n﹣1=（pn+1﹣2p）a n﹣1（n≥2），两式相减，得p（n﹣1）a n=（pn+1﹣2p）a n﹣1（n≥2），易知p≠0，∴=．①当p=时，得=，∴===…==，满足a2016=2016a1，pr=．②当p时，由p（n﹣1）a n=（pn+1﹣2p）a n﹣1（n≥2），又a n＞0，∴p（n﹣1）a n＜pna n﹣1（n≥2），即，不满足a2016=2016a1，舍去．③当且p≠0时，类似可以证明a2015=2015a1也不成立；综上所述，p=r=，∴pr=．江苏省高二数学上学期期中考试卷（三）（考试时间120分钟满分160分）一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．命题：“∃x＜﹣1，x2≥1”的否定是．2．已知函数f（x）=x2+e x，则f'（1）=．3．“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的条件．（从“充分必要”，“充分不必要”，“必要不分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）4．如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f（4）+f′（4）的值为5．抛物线x2+y=0的焦点坐标为．6．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k=．7．已知曲线y=x+sinx，则此曲线在x=处的切线方程为．8．双曲线x2﹣=1的离心率是，渐近线方程是．9．已知椭圆上一点P到左焦点的距离为，则它到右准线的距离为．10．已知函数f（x）=x2﹣8lnx，若对∀x1，x2∈（a，a+1）均满足，则a的取值范围为．二、解答题（本大题共11小题，共110分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11．求函数y=cos（2x﹣1）+的导数．12．已知方程=1表示椭圆，求k的取值范围．13．已知双曲线的对称轴为坐标轴，焦点到渐近线的距离为，并且以椭圆的焦点为顶点．求该双曲线的标准方程．14．已知p：﹣2≤≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．15．倾斜角的直线l过抛物线y2=4x焦点，且与抛物线相交于A、B 两点．（1）求直线l的方程．（2）求线段AB长．16．已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．17．已知函数f（x）=x3﹣3x，（1）过点P（2，﹣6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=0有三个不同的实数根，求m的取值范围．18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C 分别交于另两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l1的斜率为﹣1，求△PMN的面积．19．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？20．若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为2，又OA⊥OB，求a，b的值．21．已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．参考答案一、填空题：1．答案为：∀x＜﹣1，x2＜1．2．答案为：2+e．3．答案为：充分不必要．4．答案为：5.55．答案为：（0，﹣）．6．答案为：1．7．答案为：6x﹣6y+3﹣π=0．8．答案为：2，y=．9．答案为：3．10．答案为：0≤a≤1．二、解答题11．解：函数的导数y′=﹣2sin（2x﹣1）﹣2•=﹣2sin（2x﹣1）﹣．12．解：根据题意，若方程=1表示椭圆，必有，解可得2＜k＜4且k≠3，即k的取值范围是（2，3）∪（3，4）；故k的取值范围是（2，3）∪（3，4）．13．解：椭圆的焦点坐标为（±2，0），为双曲线的顶点，双曲线的焦点到渐近线的距离为，∴=b=，∴a==，∴该双曲线的标准方程为=1．14．解：由：﹣2≤≤2得﹣6≤x﹣4≤6，即﹣2≤x≤10，由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），得[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，m＞0，若￢p是￢q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，即，即，解得m≥9．15．解：（1）根据抛物线y2=4x方程得：焦点坐标F（1，0），直线AB的斜率为k=tan45°=1，由直线方程的点斜式方程，设AB：y=x﹣1，（2）将直线方程代入到抛物线方程中，得：（x﹣1）2=4x，整理得：x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=6，x1•x2=1，所以弦长|AB|=|x1﹣x2|=•=8．16．解：∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可，也就是1﹣a≥0，解得a≤1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与命题q必然一真一假，当命题p为真，命题q为假时，，∴﹣2＜a＜1，当命题p为假，命题q为真时，，∴a＞1，综上：a＞1或﹣2＜a＜1．17．解：（1）∵f′（x）=3x2﹣3，设切点坐标为（t，t3﹣3t），则切线方程为y﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（x﹣t），∵切线过点P（2，﹣6），∴﹣6﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（2﹣t），化简得t3﹣3t2=0，∴t=0或t=3．∴切线的方程：3x+y=0或24x﹣y﹣54=0．（2）由f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0，得x=1或x=﹣1．当x＜﹣1或x＞1时，f'（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f'（x）＜0，所以在（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）上f（x）单调递增，在[﹣1，1]上f（x）单调递减，在R上f（x）的极大值为f（﹣1）=2，在R上f（x）的极小值为f（1）=﹣2．函数方程f（x）=m在R上有三个不同的实数根，即直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有三个交点，由f（x）的大致图象可知，当m＜﹣2或m＞2时，直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象没有交点；当m=﹣2或m=2时，y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有两个交点；当﹣2＜m＜2时，直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有三个交点．因此实数m的取值范围是﹣2＜m＜2．18．解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N，∴，解得b2=，a2=4．∴椭圆方程为：=1．（2）设l1方程为y+1=k（x+1），联立，消去y得（1+3k2）x2+6k（k﹣1）x+3（k﹣1）2﹣4=0．∵P（﹣1，1），解得M（，）．当k≠0时，用﹣代替k，得N（，），将k=1代入，得M（﹣2，0），N（1，1），∵P（﹣1，﹣1），∴PM=，PN=2，∴△PMN的面积为=2．19．解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，则有V=（90﹣2x）（48﹣2x）x=4x3﹣276x2+4320x，（0＜x＜24）求导可得到：V′=12x2﹣552x+4320由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10，x2=36．所以当x＜10时，V′＞0，当10＜x＜36时，V′＜0，当x＞36时，V′＞0，所以，当x=10，V有极大值V（10）=19600，又V（0）=0，V（24）=0，所以当x=10，V有最大值V（10）=19600故答案为当高为10，最大容积为19600．20．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）．联立，得（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0．∴=，=1﹣=．∴M（，）．∵k OM=2，∴a=2b．①∵OA⊥OB，∴=﹣1．∴x1x2+y1y2=0．∵x1x2=，y1y2=（1﹣x1）（1﹣x2），∴y1y2=1﹣（x1+x2）+x1x2=1﹣+=．∴=0．∴a+b=2．②由①②得a=，b=．21．解：（1）∵，g（x）=x+lnx，∴，其定义域为（0，+∞），∴．∵x=1是函数h（x）的极值点，∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．∵a＞0，∴．经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，∴；（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．当x∈[1，e]时，．∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．∴[g（x）]max=g（e）=e+1．∵，且x∈[1，e]，a＞0．①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是增函数，∴．由1+a2≥e+1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合题意；②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则，若a＜x≤e，则．∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．∴[f（x）]min=f（a）=2a．由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e；③当a＞e且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是减函数．∴．由≥e+1，得a≥，又a＞e，∴a＞e；综上所述：a的取值范围为．江苏省高二数学上学期期中考试卷（四）（文科）（考试时间120分钟满分160分）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设命题P：∃x∈R，x2＞1，则¬P为．2．函数y=x2+x在区间[1，2]上的平均变化率为．3．函数y=xe x的极小值为．4．已知抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为．5．已知（2，0）是双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b=．6．设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的条件（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）．7．已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是．8．若焦点在x轴上过点的椭圆焦距为2，则椭圆的标准方程为．9．若椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，则m=．10．若函数y=ax+sinx在R上单调增，则a的最小值为．11．已知椭圆的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0，若点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是．12．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，C上一点P满足，则△PF1F2的内切圆面积为．13．如图平面直角坐标系xOy中，椭圆，A1，A2分别是椭圆的左、右两个顶点，圆A1的半径为2，过点A2作圆A1的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆于点Q．则=．14．若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定正确的有①，②，③，④f（）＞．二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．16．设函数（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最值．17．已知函数f（x）=x3+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a=0时，求曲线y=f（x）过点（1，f（1））处的切线方程．18．设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A 的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．19．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O 为原点）的斜率的取值范围．20．设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，（Ⅰ）判断函数g（x）的奇偶性；（Ⅱ）证明函数g（x）在（0，+∞）上为减函数；（Ⅲ）求不等式f（x）＞0的解集．参考答案一、填空题1．答案为：∀x∈R，x2≤1；2．答案为：4．3．答案为：．4．答案为：2．5．答案为：．6．答案为：必要不充分．7．答案为：x2﹣y2=1．8．答案为： +=1．9．答案为：1或2．10．答案为：1．11．答案为：（0，]．12．答案为：4π．13．答案为：．14．答案为：①③．二、解答题15．解：（I）由命题p为真命题，a≤x2min，a≤1；（II）由命题“p∧q”为假命题，所以p为假命题或q为假命题，p为假命题时，由（I）a＞1；q为假命题时△=4a2﹣4（2﹣a）＜0，﹣2＜a＜1，综上：a∈（﹣2，1）∪（1，+∞）．16．解：（I）定义域为（0，+∞）…得，令f'（x）=0，x=2x0＜x＜2x＞2f'（x）﹣+所以f（x）的单调减区间为（0，2）单调增区间为（2，+∞）…（II）由（I），f（x）在[1，2]减，在[2，e]增，所以f（x）min=f（2）=2﹣4ln2…又f（1）=，…因为所以f（x）min=f（2）=2﹣4ln2，…17．解：（I）由函数f（x）=x3+lnx，f（1）=1，，f'（1）=4，所以在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即4x﹣y﹣3=0；（II）函数f（x）=x3，f'（x）=3x2，设过（1，1）的直线与曲线相切于（m，n），则切线方程为y﹣1=3m2（x﹣1），所以，得或，所求切线方程为3x﹣y﹣2=0，3x﹣4y+1=0．18．解：（I）∵点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，∴，∵A（a，0），B（0，b），∴=．∵，∴，a=b．∴=．（II）由（I）可得直线AB的方程为：=1，N．设点N关于直线AB的对称点为S，线段NS的中点T，又AB垂直平分线段NS，∴，解得b=3，∴a=3．∴椭圆E的方程为：．19．解：（Ⅰ）∵离心率为，∴==，∴2a2=3b2，∴a2=3c2，b2=2c2，设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c），∵直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，∴圆心（0，0）到直线FM的距离d=，∴d2+=，即（）2+=，解得k=，即直线FM的斜率为；（Ⅱ）由（I）得椭圆方程为： +=1，直线FM的方程为y=（x+c），联立两个方程，消去y，整理得3x2+2cx﹣5c2=0，解得x=﹣c，或x=c，∵点M在第一象限，∴M（c，c），∵|FM|=，∴=，解得c=1，∴a2=3c2=3，b2=2c2=2，即椭圆的方程为+=1；（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t，∵F（﹣1，0），∴t=，即y=t（x+1）（x≠﹣1），联立方程组，消去y并整理，得2x2+3t2（x+1）2=6，又∵直线FP的斜率大于，∴＞，6﹣2x2＞6（x+1）2，整理得：x（2x+3）＜0且x≠﹣1，解得﹣＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0，设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx（x≠0），联立方程组，消去y并整理，得m2=﹣．①当x∈（﹣，﹣1）时，有y=t（x+1）＜0，因此m＞0，∴m=，∴m∈（，）；②当x∈（﹣1，0）时，有y=t（x+1）＞0，因此m＜0，∴m=﹣，∴m∈（﹣∞，﹣）；综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（﹣∞，﹣）∪（，）．20．解：（I）因为f（x）（x∈R）是奇函数，所以，所以g（x）是偶函数…（II）因为当x＞0时xf'（x）﹣f（x）＜0，所以，所以g（x）在（0，+∞）上为减函数…（III）由（I）f（﹣1）=0，g（﹣1）=g（1）=0，…x＞0时f（x）＞0等价于，即g（x）＞g（1），由（II）所以0＜x＜1，…x＜0时f（x）＞0等价于，即g（x）＞g（﹣1），由（I）（II）g（x）在（﹣∞，0）上为增函数，所以x＜﹣1．…综上不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）…江苏省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（五）（考试时间120分钟满分160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．直线的倾斜角为．2．空间两条直线a，b都平行于平面α，那么直线a，b的位置关系是．3．过圆x2+y2=4上一点P（1，﹣）的切线方程为．4．如果方程x2+y2+x+y+k=0表示一个圆，则k的取值范围是．5．已知直线l：mx﹣y=4，若直线l与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，则m的值为．6．已知正四棱柱的底面边长是3cm，侧面的对角线长是5cm，则这个正四棱柱的侧面积为．7．已知圆C：x2+y2=r2与直线3x﹣4y+10=0相切，则圆C的半径r=．8．若一个球的表面积为12π，则该球的半径为．9．若直线ax+y+1=0与连接A（2，3），B（﹣3，2）两点的线段AB相交，则实数a的取值范围是．10．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的序号是（1）若m∥l，m∥α，则l∥α；（2）若m⊥α，l⊥m，则l∥α；（3）若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m；（4）若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β11．若⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：（x﹣m）2+y2=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是．12．若关于x的方程：有两个不相等的实数解，则实数k的取值范围：．13．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为．14．一只蚂蚁从棱长为1的正方体的表面上某一点P处出发，走遍正方体的每个面的中心的最短距离d=f（P），那么d的最大值是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请将解答填写在答题卡规定的区域内，否则答题无效.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．（1）求证：AB∥EF；（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．16．已知直线m：2x﹣y﹣3=0，n：x+y﹣3=0．（Ⅰ）求过两直线m，n交点且与直线x+3y﹣1=0平行的直线方程；（Ⅱ）直线l过两直线m，n交点且与x，y正半轴交于A、B两点，△ABO的面积为4，求直线l的方程．17．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．18．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；（2）证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C；（3）求点D到平面D1AC的距离．19．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．20．在平面直角坐标系xOy中．已知圆C经过A（0，2），O（0，0），D（t，0）（t＞0）三点，M是线段AD上的动点，l1，l2是过点B（1，0）且互相垂直的两条直线，其中l1交y轴于点E，l2交圆C于P，Q两点．（1）若t=PQ=6，求直线l2的方程；（2）若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，求△EPQ的面积的最小值．参考答案一、填空题1．解：将直线方程化为斜截式得，，故斜率为，∴，故答案为2．解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ACBD∥平面A1C1B1D1①记平面ABCD为α，若直线a、b为平面A1C1B1D1内的相交直线，则直线a、b都平行于平面α，此时直线a、b相交；②记平面ABCD为α，若直线a、b为平面A1C1B1D1内的平行直线，则直线a、b都平行于平面α，此时直线a、b平行；③设E、F分别为棱AA1、BB1的中点，直线a与直线B1C1重合，直线b与EF重合，若平面ABCD为α，则直线a、b都平行于平面α，此时直线a、b异面．故答案为：平行、相交或异面3．解：设切线的斜率为k，则切线方程可表示为y+=k（x﹣1）即kx﹣y﹣k﹣=0由圆与直线相切可得d=r，即=2化简得3k2﹣2k+1=0解得k=，。
江苏省海安高级中学2020-2021学年高二上学期入学考试数学试题
【分析】
根据分段函数的解析式，分别求出 和 即可。
【详解】
由于函数 ，
所以 ， ，则 ，
故答案选D
【点睛】
本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查学生的计算能力，属于基础题。
4．C
【分析】
根据两条直线垂直的充要条件可得：（a+2）（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）=0，从而可求a的值
【详解】
【分析】
分别求出集合 ， ，利用交集的定义即可求出
【详解】
由题可得： ， ，
所以
故答案选D
【点睛】
本题考查集合交集的定义，属于基础题。
2．B
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．
【详解】
解：角α的终边经过点 ，
则sinα ，
故选B．
【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
（2）设 ， ，求点 到平面 的距离．
23．已知圆 经过两点 ， ，且圆心 在直线 ： 上．
（1）求圆 的方程；
（2）设圆 与 轴相交于 、 两点，点 为圆 上不同于 、 的任意一点，直线 、 交 轴于 、 点．当点 变化时，以 为直径的圆 是否经过圆 内一定点？请证明你的结论．
参考答案
1．D
【பைடு நூலகம்析】
A．3B．1C． D．
4．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a等于( )
A．－1B．1C．±1D．－
5． 中角 的对边分别为 ,且 ,则 （）
A． B． C． D．
6．下列命题正确的是（ ）
A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
2023-2024学年江苏省海安市曲塘高级中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省海安市曲塘高级中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．） 1．设复数z 满足z •i ＝1+i ，i 为虚数单位，则zi =（ ）A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i2．若圆x 2+y 2﹣4x +8y +2m ＝0的半径为2，则实数m 的值为（ ） A ．﹣9B ．﹣8C ．9D ．83．已知直线l 上一点向左平移3个单位长度，再向下平移2个长度后，仍在该直线上，则直线l 的斜率为（ ） A ．32B ．23C ．−32D ．−234．已知点M （a ，b ）在圆O ：x 2+y 2＝4外，则直线ax +by ＝4与圆O 的位置关系是（ ） A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定5．记正整数m ，n 的最大公约数为（m ，n ），例如，（2，5）＝1，（6，15）＝3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝（n ，n +2），则S 50＝（ ） A ．50B ．75C ．100D ．12756．下列椭圆的形状更接近于圆的是（ ） A ．x 22+y 2=1 B ．x 23+y 22=1C ．x 24+y 23=1 D ．x 25+y 24=17．已知数列{a n }中，a 1＝1，对于任意的m ，n ∈N *，都有a m +n ＝a m +a n ，若正整数k 满足a 2k ﹣1+a 2k +1+a 2k +3+…+a 2k +17＝100，则k ＝（ ） A ．1B ．10C ．50D ．1008．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，若△AOF 面积是△BOF 面积的两倍，则|AB |＝（ ） A ．4B ．92C ．5D ．112二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，少选得2分，错选或不选得0分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．） 9．已知直线l ：x +√3y +c =0(c ≠0)，O 为坐标原点，则（ ） A ．直线l 的倾斜角为120° B ．若O 到直线l 的距离为1，则c ＝2C ．过O 且与直线l 平行的直线方程为x +√3y =0D ．过O 且与直线l 垂直的直线方程为√3x −y =010．当m 变化时，方程（m ﹣1）x 2+（3﹣m ）y 2＝（m ﹣1）（3﹣m ）表示的曲线形状，下列说法中正确的是（ ）A ．m ＝1时，方程表示一条直线B ．m ＜1或m ＞3是方程表示双曲线的充要条件C ．1＜m ＜3时，方程表示椭圆D ．该方程不可能表示抛物线11．若{a n }为等差数列，S n 为其前n 项的和，则下列说法中一定成立的是（ ） A ．a 2+a 7+a 11＝a 8+a 12B ．存在A ，B ∈R ，使得a n ＝An +BC ．若S p ＝S q （p ≠q ），则S p +q ＝0D ．{Snn }是等差数列12．设曲线C 的方程为x 2+y 2＝2|x |﹣2|y |，则（ ） A ．曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．曲线C 围成图形的面积为2π﹣4 C ．曲线C 的周长为√2πD ．曲线上任意两点间距离的最大值为4三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．） 13．写出一个具有下列性质①②的数列{a n }的通项公式a n ＝ ． ①2a n +1＝a n +a n +2；②a n +1＜a n ．14．已知两条直线a 1x +b 1y +1＝0和a 2x +b 2y +1＝0都过点A （3，2），则过两点P 1（a 1，b 1）、P 2（a 2，b 2）的直线的方程为 ．15．记[x ]为不大于实数x 的最大整数，例如：[3.2]＝3，[2]＝2，[﹣3.2]＝﹣4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[lgn ]，则数列{a n }的前2023项的和S 2023＝ ．16．若y =√33x +1x 的图象是以y =√33x 和x ＝0为渐近线的双曲线，则其离心率为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在苏教版选择性必修第一册P 178的阅读材料中，由一个有趣的兔子问题引出了斐波那契数列{F n }，并根据规律得到了递推关系式：F n +2＝F n +1+F n ．现在，我们也来尝试从下列两个问题中找出类似的数列．问题1：小明要上楼梯，他每次只能向上走一级或两级．如果楼梯有n （n ∈N *）级，那么他有多少种走法？分析：我们记楼梯有n （n ∈N *）级时的不同走法数为a n ，显然，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3⋯，问题2：小明要上楼梯，他每次只能向上走一级、两级或三级．如果楼梯有n （n ∈N *）级，那么他有多少种走法？分析：我们记楼梯有n （n ∈N *）级时的不同走法数为b n ，显然，b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4⋯，请分别就上述两个问题，写出数列{a n }、{b n }的第四项和第五项，并根据规律写出一个递推关系式． 18．（12分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列． （1）求B ；（2）若c ﹣a ＝3，且△ABC 的面积为10√3，求△ABC 的外接圆的半径．19．（12分）已知直线l 经过P （﹣2，0），且与圆C ：（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝9相交于A 、B 两点．（1）若CA ⊥CB ，求直线l 的斜率；（2）若PA →=λAB →（λ＞0），求λ的取值范围． 20．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2n +3． （1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）若数列{b n }满足：b n =n 2a n ，求数列{b n }的最大项．21．（12分）已知椭圆x 24+y 23=1的左、右顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线交椭圆于两点P 1、P 2，直线A 1P 1与直线A 2P 2的交点为P ． （1）求点P 的轨迹方程Γ；（2）若曲线Γ上的点Q 满足∠A 1QA 2＝30°，求△A 1QA 2的面积．22．（12分）已知抛物线x 2＝4y ，过P （﹣1，2）作互相垂直的两条直线l 1、l 2，l 1与抛物线相交于A 、B 两点，l 2与抛物线相交于C 、D 两点，线段AB 、CD 的中点分别为M 、N ． （1）证明：直线MN 过定点；（2）若线段MN 的中点记为E ，求点E 的纵坐标的最小值．2023-2024学年江苏省海安市曲塘高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．） 1．设复数z 满足z •i ＝1+i ，i 为虚数单位，则zi =（ ）A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i解：因为z •i ＝1+i ，所以z i=z⋅i i 2=1+i i 2=−1−i ．故选：D ．2．若圆x 2+y 2﹣4x +8y +2m ＝0的半径为2，则实数m 的值为（ ） A ．﹣9B ．﹣8C ．9D ．8解：由x 2+y 2﹣4x +8y +2m ＝0，得（x ﹣2）2+（y +4）2＝20﹣2m ， 所以r =√20−2m =2，解得m ＝8． 故选：D ．3．已知直线l 上一点向左平移3个单位长度，再向下平移2个长度后，仍在该直线上，则直线l 的斜率为（ ） A ．32B ．23C ．−32D ．−23解：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx +b ，则平移后直线方程为y ＝k （x +3）+b ﹣2＝kx +3k +b ﹣2， 由于平移后与原直线重合，则3k +b ﹣2＝b ， 解得k =23，即直线l 的斜率为23．故选：B ．4．已知点M （a ，b ）在圆O ：x 2+y 2＝4外，则直线ax +by ＝4与圆O 的位置关系是（ ） A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定解：∵点M （a ，b ）在圆O ：x 2+y 2＝4外， ∴a 2+b 2＞4，∴圆心（0，0）到直线ax +by ＝4的距离：d =4√a 2+b2＝r ，∴直线ax +by ＝4与圆O 相交． 故选：C ．5．记正整数m ，n 的最大公约数为（m ，n ），例如，（2，5）＝1，（6，15）＝3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝（n ，n +2），则S 50＝（ ） A ．50B ．75C ．100D ．1275解：依题意，a 1＝（1，3）＝1，a 2＝（2，4）＝2，a 3＝（3，5）＝1，a 4＝（4，6）＝2， 以此类推……，可知当1≤n ≤50，n ∈N *时： 当n 为奇数时a n ＝1，当n 为偶数时，a n ＝2， 所以S 50＝25×1+25×2＝75． 故选：B ．6．下列椭圆的形状更接近于圆的是（ ） A ．x 22+y 2=1 B ．x 23+y 22=1C ．x 24+y 23=1 D ．x 25+y 24=1解：对于A ，a 2＝2，b 2＝1，则c 2＝a 2﹣b 2＝1，所以e =c a =1√2； 对于B ，a 2＝3，b 2＝2，则c 2＝a 2﹣b 2＝1，所以e =ca =1√3； 对于C ，a 2＝4，b 2＝3，则c 2＝a 2﹣b 2＝1，所以e =c a =12； 对于D ，a 2＝5，b 2＝4，则c 2＝a 2﹣b 2＝1，所以e =c a =1√5． 因为√2√3＞12√5，所以椭圆x 25+y 24=1的形状更接近于圆．故选：D ．7．已知数列{a n }中，a 1＝1，对于任意的m ，n ∈N *，都有a m +n ＝a m +a n ，若正整数k 满足a 2k ﹣1+a 2k +1+a 2k +3+…+a 2k +17＝100，则k ＝（ ） A ．1B ．10C ．50D ．100解：令m ＝1，则a n +1＝a 1+a n ＝1+a n ，所以{a n }是首项为1公差为1的等差数列， 所以a n ＝1+1×（n ﹣1）＝n ，a 2k−1+a 2k+1+a 2k+3+⋯+a 2k+17=2k −1+2k +1+⋯2k +17=(−1+17)×102+2k ×10=100， 解得k ＝1， 故选：A ．8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，若△AOF 面积是△BOF 面积的两倍，则|AB |＝（ ）A．4B．92C．5D．112解：由题意得F（1，0），当直线l的斜率为0时，此时与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去；设过F的直线l的方程为x＝1+my，与抛物线y2＝4x联立得：y2﹣4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＜0，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，因为△AOF面积是△BOF面积的两倍，所以y1＝﹣2y2，则y1y2=−2y22=−4，解得y2=−√2，则y1=−2y2=2√2，则4m=y1+y2=√2，解得m=√24，故x1+x2=√24(y1+y2)+2=52，则|AB|=x1+x2+2=9 2．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，少选得2分，错选或不选得0分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．）9．已知直线l：x+√3y+c=0(c≠0)，O为坐标原点，则（）A．直线l的倾斜角为120°B．若O到直线l的距离为1，则c＝2C．过O且与直线l平行的直线方程为x+√3y=0D．过O且与直线l垂直的直线方程为√3x−y=0解：直线l可化为：y=−√33x−√33c，所以斜率k=−√33，得倾斜角为150°，故A错误；由点到直线的距离公式得d=|c|1+3=1，得|c|＝2，所以c＝±2，故B错误；设与直线l 平行的直线方程为x +√3y +n =0， 因为平行直线方程经过原点，所以n ＝0， 即平行直线方程为x +√3y =0，故C 正确； 设与直线l 垂直的直线方程为√3x −y +m =0， 因为垂直直线方程经过原点，所以m ＝0， 即垂直直线方程为√3x −y =0，故D 正确． 故选：CD ．10．当m 变化时，方程（m ﹣1）x 2+（3﹣m ）y 2＝（m ﹣1）（3﹣m ）表示的曲线形状，下列说法中正确的是（ ）A ．m ＝1时，方程表示一条直线B ．m ＜1或m ＞3是方程表示双曲线的充要条件C ．1＜m ＜3时，方程表示椭圆D ．该方程不可能表示抛物线解：对于A ：当m ＝1时方程为2y 2＝0⇒y ＝0，所以此时曲线为直线y ＝0，此时图像是一条直线，A 正确；对于B ：方程可以化为x 23−m+y 2m−1=1，方程表示双曲线的等价条件是（3﹣m ）（m ﹣1）＜0，即{3−m ＞0m −1＜0或{3−m ＜0m −1＞0，解得m ＜1或者m ＞3，所以是充要条件，B 正确； 对于C ：方程可以化为x 23−m+y 2m−1=1，当m ＝2时方程为x 2+y 2＝1，此时曲线为圆，C 错误；对于D ：因为方程可以化为x 23−m+y 2m−1=1，所以不可能是抛物线，D 正确．故选：ABD ．11．若{a n }为等差数列，S n 为其前n 项的和，则下列说法中一定成立的是（ ） A ．a 2+a 7+a 11＝a 8+a 12B ．存在A ，B ∈R ，使得a n ＝An +BC ．若S p ＝S q （p ≠q ），则S p +q ＝0D ．{S n n}是等差数列解：因为{a n }为等差数列，S n 为其前n 项的和，设首项为a 1，公差为d ， 对于A ，a 2+a 7+a 11＝3a 1+17d ，a 8+a 12＝2a 1+18d ， 则当a 1≠d 时，a 2+a 7+a 11≠a 8+a 12，故A 错误； 对于B ，a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝dn +（a 1﹣d ），令A ＝d ，B ＝a 1﹣d ， 则a n ＝An +B ，B 正确； 对于C ，若S p ＝S q （p ≠q ）， 设q ＞p ，则a p +1+a p +2+…+a q ＝0， 则a q +a q ﹣1+…+a p +1＝0，两式相加得，（q ﹣p ）（a p +1+a q ）＝0，即a p +1+a q ＝0， 则S p +q ＝0，C 正确； 对于D ，S nn =na 1+n(n−1)2d n =a 1+(n−1)2d =(a 1−d 2)+d2n ，则设b n =S n n ，则b n+1−b n =[(a 1−d 2)+d 2(n +1)]−[(a 1−d 2)+d 2n]=d2，是与n 无关的常数，则其为等差数列，D 正确． 故选：BCD ．12．设曲线C 的方程为x 2+y 2＝2|x |﹣2|y |，则（ ） A ．曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．曲线C 围成图形的面积为2π﹣4 C ．曲线C 的周长为√2πD ．曲线上任意两点间距离的最大值为4解：当x ≥0，y ≥0时方程为（x ﹣1）2+（y +1）2＝2， 当x ≥0，y ＜0时方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2， 当x ＜0，y ≥0时方程为（x +1）2+（y +1）2＝2， 当x ＜0，y ＜0时方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝2， 如图所示，，对于A ：易知曲线关于x 轴对称，关于y 轴对称，关于原点中心对称，A 正确； 对于B ：因为曲线关于x 轴对称，关于y 轴对称，关于原点中心对称， 所以只需要计算第一象限内图象的面积即可，因为Q （2，0），且圆的半径r =√2，所以弦心距d =√(√2)2−12=1=|OQ|2，所以OQ̂所对的圆心角为π2， 所以该图形为圆心角为π2的扇形剪去等腰直角三角形得到的弓形，所以S =14×(√2)2π−12×√22=π2−1，所以总面积为4S ＝2π﹣4，B 正确； 对于C ：第一象限内的图形是圆心角为π2的扇形的弧长，所以l =√2×π2=√2π2，所以曲线C 的周长为4l =2√2π，C 错误；对于D ：曲线上任意两点间距离的最大值为|PQ |＝4，D 正确． 故选：ABD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．） 13．写出一个具有下列性质①②的数列{a n }的通项公式a n ＝ ﹣n （答案不唯一） ． ①2a n +1＝a n +a n +2；②a n +1＜a n ．解：因为2a n +1＝a n +a n +2，所以数列{a n }为等差数列， 因为a n +1＜a n ，所以数列数列{a n }为递减数列， 则可取a n ＝﹣n ．故答案为：﹣n （答案不唯一）．14．已知两条直线a 1x +b 1y +1＝0和a 2x +b 2y +1＝0都过点A （3，2），则过两点P 1（a 1，b 1）、P 2（a 2，b 2）的直线的方程为 3x +2y +1＝0 ．解：将点A （3，2）代入两条直线可得{3a 1+2b 1+1=03a 2+2b 2+1=0，所以点P 1（a 1，b 1），P 2（a 2，b 2）都在直线3x +2y +1＝0上， 而经过两点的直线只有一条，所以直线方程是3x +2y +1＝0， 故答案为：3x +2y +1＝0．15．记[x ]为不大于实数x 的最大整数，例如：[3.2]＝3，[2]＝2，[﹣3.2]＝﹣4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[lgn ]，则数列{a n }的前2023项的和S 2023＝ 4962 ．解：由题意可知，a n ={0，1≤n ≤91，10≤n ≤992，100≤n ≤9993，1000≤n ≤9999（n 为正整数）．则S 2023＝0×9+1×90+2×900+3×1024＝4962． 故答案为：4962．16．若y =√33x +1x 的图象是以y =√33x 和x ＝0为渐近线的双曲线，则其离心率为2√33．解：由y =√33x +1x 的图象是以y =√33x 和x ＝0为渐近线的双曲线，可得渐近线的夹角为60°， 将原坐标轴绕着原点逆时针旋转60角，可得焦点在x 轴上的双曲线的标准方程， 且其渐近线方程为y ＝±√33x ， 则双曲线的离心率为e =c a =√1+b 2a2=√1+13=2√33．故答案为：2√33． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在苏教版选择性必修第一册P 178的阅读材料中，由一个有趣的兔子问题引出了斐波那契数列{F n }，并根据规律得到了递推关系式：F n +2＝F n +1+F n ．现在，我们也来尝试从下列两个问题中找出类似的数列．问题1：小明要上楼梯，他每次只能向上走一级或两级．如果楼梯有n （n ∈N *）级，那么他有多少种走法？分析：我们记楼梯有n （n ∈N *）级时的不同走法数为a n ，显然，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3⋯，问题2：小明要上楼梯，他每次只能向上走一级、两级或三级．如果楼梯有n （n ∈N *）级，那么他有多少种走法？分析：我们记楼梯有n （n ∈N *）级时的不同走法数为b n ，显然，b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4⋯，请分别就上述两个问题，写出数列{a n }、{b n }的第四项和第五项，并根据规律写出一个递推关系式． 问题1：当n ＝4时，走法一：每次上一级楼梯；可记为1，1，1，1； 走法二：前两次上一级，第三次上两级；可记为1，1，2； 走法三：第一次一级，第二次两级，第三次一级；可记为1，2，1； 走法四：每次上两级；可记为2，2； 走法五：第一次两级，以后每次一级； 可记为2，1，1．故a 4＝5．当n ＝5时，同理可记为：（1，1，1，1，1），（1，1，1，2），（1，1，2，1）， （1，2，1，1），（2，1，1，1），（1，2，2），（2，1，2），（2，2，1） 共8种，故a 5＝8．由a 3＝a 2+a 1，a 4＝a 2+a 3，a 5＝a 4+a 3，可得a n +2＝a n +1+a n ．问题2：当n ＝4时，可记为：（1，1，1，1），（1，2，1），（1，1，2）， （2，1，1），（2，2），（1，3），（3，1）共7种，故b 4＝7．当n ＝5时，可记为：（1，1，1，1，1），（1，1，1，2），（1，1，2，1），（1，2，1，1），（2，1，1，1），（1，2，2），（2，1，2），（2，2，1），（1，3，1），（1，1，3），（3，1，1），（2，3），（3，2）共13种，故b 5＝13．由b 4＝b 3+b 2+b 1，b 5＝b 4+b 3+b 2，可得b n +3＝b n +2+b n +1+b n ．18．（12分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列．（1）求B ；（2）若c ﹣a ＝3，且△ABC 的面积为10√3，求△ABC 的外接圆的半径．解：（1）由A 、B 、C 成等差数列，可得2B ＝A +C ＝π﹣B ，解得B =π3；（2）由（1）的结论及余弦定理可得：cosB =a 2+c 2−b 22ac =12，即（a ﹣c ）2+ac ﹣b 2＝0， 又△ABC 的面积为S =12sinB ⋅ac =10√3，可得ac ＝40，又c ﹣a ＝3，则有9+40﹣b 2＝0，解得b ＝7，根据正弦定理，可得△ABC 的外接圆的半径R =b 2sinB =72×32=7√33． 19．（12分）已知直线l 经过P （﹣2，0），且与圆C ：（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝9相交于A 、B 两点．（1）若CA ⊥CB ，求直线l 的斜率；（2）若PA →=λAB →（λ＞0），求λ的取值范围．解：（1）由题意易知圆心C （4，3），半径r ＝3，易知直线l 存在斜率，设其方程为：y ＝kx +2k ，若CA ⊥CB ，则△ABC 为等腰直角三角形，所以圆心C （4，3）到直线y ＝kx +2k 的距离为d =r √2=|6k−3|√k +1+1=3√2⇒k =1或k =17； （2）同上，设l 方程为：y ＝kx +2k ，圆心到l 的距离为d ＝|CD |，则易知|AB|=2√r 2−d 2=2√9−d 2，|P A |＝|PD |−12AB |=√|PC|2−d 2−√9−d 2=√45−d 2−√9−d 2．λ=|PA →||PB →|=√45−d 2−√9−d 22√9−d =12√1+369−d 2−12， 易知d ∈[0，3)⇒9−d 2∈(0，9]⇒369−d 2∈[4，+∞)， 所以λ=12√1+369−d 2−12≥√5−12， 所以λ的取值范围为[√5−12，+∞）． 20．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2n +3．（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）若数列{b n }满足：b n =n 2a n，求数列{b n }的最大项． 解：（1）在S n =2n +3中，令n ＝1得a 1＝2+3＝5，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n +3−2n−1−3=2n−1， 其中21﹣1＝0≠5， 故a n ={5，n =12n−1，n ≥2； （2）当n ＝1时，b 1=12a 1=15， 当n ≥2时，b n =n 22n−1＞0， 则b n+1b n =(n+1)22n⋅2n−1n 2=n 2+2n+12n 2=12(1n +1)2， 当n ＝2时，b 3b 2=98＞1， 当n ≥3时，1n +1≤43，12(1n +1)2≤12×169＜1，故b n+1b n ＜1，故n ≥2时，{b n }的最大项为b 3=94，又b 3＞b 1，故数列{b n }的最大项为b 3=94． 21．（12分）已知椭圆x 24+y 23=1的左、右顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线交椭圆于两点P 1、P 2，直线A 1P 1与直线A 2P 2的交点为P ．（1）求点P 的轨迹方程Γ；（2）若曲线Γ上的点Q 满足∠A 1QA 2＝30°，求△A 1QA 2的面积．解：（1）已知椭圆的方程为x 24+y 23=1，此时A 1（﹣2，0），A 2（2，0），不妨设P （x ，y ），P 1（x 0，y 0），可得P 2（x 0，﹣y 0），此时x 024+y 023=1，①直线A 1P 1的方程为y =y 0x 0+2(x +2)，② 直线A 2P 2的方程为y =−y 0x 0−2(x −2)，③ ②×③得y 2=y 024−x 02(x 2−4)， 由①得y 024−x 02=34， 所以y 2=34(x 2−4)，即x 24−y 23=1，x ≠±2，故点P 的轨迹方程Γ为x 24−y 23=1，x ≠±2；（2）不妨设Q （p ，q ），|p |＞2，因为点Q 在轨迹方程Γ上，所以p 24−q 23=1， 即q 2=3(p 24−1)，不妨设|A 1Q |＝m ，|A 2Q |＝n ，此时m 2+n 2＝（p +2）2+q 2+（p ﹣2）2+q 2＝2p 2+2q 2+8=2p 2+2×3(p 24−1)+8=7p 22+2， mn =√(p +2)2+q 2⋅√(p −2)2+q 2=√(p +2)2+3(p 24−1)⋅√(p −2)2+3(p 24−1)=√(7p 24+1−4p)(7p 24+1+4p)=√(7p 24+1)2−16p 2， 在△A 1QA 2中，|A 1A 2|＝4，∠A 1QA 2＝30°，由余弦定理得16＝m 2+n 2﹣2mn cos30°，即16=7p 22+2−√3⋅√(7p 24+1)2−16p 2， 可得√3⋅√(7p 24+1)2−16p 2=7p 22−14，因为|p |＞2，所以p 2＞4，则7p 22−14＞0，对等式两边同时平方得49p 4﹣968p 2+3088＝0，此时Δ＝（﹣968）2﹣4×49×3088＝331776＝5762， 所以p 2=968−5762×49=4（舍）或p 2=968+5762×49=77249， 可得mn =√(7p 24+1)2−16p 2=√(74×77249+1)2−16(77249)2=√2764849=96√37， 故△A 1QA 2的面积S △A 1QA 2=12mnsin30°=12×96√37×12=24√37．22．（12分）已知抛物线x 2＝4y ，过P （﹣1，2）作互相垂直的两条直线l 1、l 2，l 1与抛物线相交于A 、B 两点，l 2与抛物线相交于C 、D 两点，线段AB 、CD 的中点分别为M 、N ．（1）证明：直线MN 过定点；（2）若线段MN 的中点记为E ，求点E 的纵坐标的最小值．（1）证明：由题意可知，两直线的斜率存在且不为0， 设l 1：y ﹣2＝k （x +1），则l 2：y ﹣2=−1k （x +1），联立{y −2=k(x +1)x 2=4y，得x 2﹣4kx ﹣4k ﹣8＝0． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2＝4k ，∴y 1+y 2＝k （x 1+x 2）+2k +4＝4k 2+2k +4，则M （2k ，2k 2+k +2）， 同理可得N （−2k ，2k 2−1k +2）．∴k MN=2k2+k−22k，则MN：y−2k2−k−2=2k2+k−22k(x−2k)，整理得：y=2k2+k−22kx+4，则直线MN过定点（0，4）；（2）解：设线段MN的中点E的纵坐标为y0，则y0=2k2+k+2+2k2−1k+22=k2+k2+2+1k2−12k，y0′=2k+12−2k3+12k2=4k4+k3−4+k2k3=(k2+1)(4k2+k−4)2k3，由4k2+k﹣4＝0，解得k=−1±√658，则当k=−1+√658时，y0取得最小值为(√65−18)2+√65−116+2+(865−1)2465−1=66−2√6564+√65−116+2+66+2√6564−√65+116=6316．。
江苏省海安县曲塘中学2020-2021学年第一学期高二年级数学10月阶段性测试一
江苏省曲塘中学2020至2021学年高二年级数学10月阶段性测试一 20201010参考公式：12＋22＋32＋…＋n 2＝(1)(21)6n n n ++一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．．） 1．我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》等5部专著是产生于魏晋南北朝时期的重要数学文献．某中学拟从这5部专著中分成两组(一组2部，一组3部)作为数学文化课外阅读教材，则所选专著中《九章算术》、《海岛算经》恰好在同一组的概率为( )A ．15B ．25 C ．35D ．1102．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＋a 7＝6，S 11＝11，则公差d 的值为( ) A ．1B ．－1C ．2D ．－23．已知等比数列{a n }中，a 2·a 4·a 6·a 8＝16，则a 3·a 7等于( ) A ．±4B ．4C ．±8D ．84．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n ＋1，则33S a ＝( ) A ．2B ．74C ．－2D ．545．已知a ∈R ，“ax 2＋2ax －1＜0对任意x ∈R 恒成立”的一个充分不必要条件是( ) A ．－1＜a ＜0B ．－1＜a ≤0C ．－1≤a ＜0D ．－1≤a ≤06．若函数f (x )＝ln(│x │＋1)，则使得f (e )＞f (x －1)的x 的取值范围是( ) A ．(1－e ，1＋e )B ．(1＋e ，＋∞)C ．(－∞，1＋e )D ．(－∞，1－e )7．在△ABC 中，若A 、B 、C 成等差数列，且2a ·sin A ＋2c ·sin C ＝(ac ＋2b )·sin B ，则△ABC 的面积的最大值为( ) A ．B ．C ．D8．若递增数列{a n }满足：a 1＝m ，a n ＋a n +1＝3n ＋1，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，2)B ．(12，1) C ．(12，2) D ．(1，2)二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，少选得3分，错选或不选得0分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．．） 9．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(－1，2)，则下列结论正确的是( ) A ．a ∥bB ．a ＋b ＝0C ．b －a 与a 反向D ．a 、b 可作一组基底10．下列说法正确的有( )A ．在△ABC 中，若A ＞B ，则sin A ＞sin BB ．等差数列{a n }中，a 1、a 3、a 4成等比数列，则公比为12C ．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则2a ＋3b的最小值为5＋26D ．在△ABC 中，已知cos a A ＝cos b B ＝cos cC，则A ＝60° 11．设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17＝S 18，则下列各式的值为0的是( ) A ．a 17B ．S 35C ．a 17－a 19D ．S 19－S 1612．设{a n }是无穷数列，若存在k ∈N *，使得对任意n ∈N *，均有a n +k ＞a n ，则称{a n }是间隔递增数列，k 是{a n }的间隔数，下列说法正确的是( ) A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知a n ＝n ＋4n，则{a n }是间隔递增数列 C ．已知a n ＝2n ＋(－1)n ，则{a n }是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知a n ＝n 2－tn ＋2020，若{a n }是间隔递增数列且最小间隔数是3，则4≤t ＜5三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．） 13．若存在实数x ，使“x 2－2x ＋m ＝0”为真命题，则实数m 的取值范围是________．14．若数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，对任意p 、q ∈N *，都有S p ＋S q ＝S p +q ，则a 2020＝________． 15．等差数列1，3，5，7，11，…按如下方法分组：(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13，15，17，19)，…，则第n 组中各数之和为________．16．设S n 为等差数列{a n }前n 项和，若{a n }前2019项中的奇数项和为2020，则S 2019＝________． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝2n 2－20n ＋1． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求使得S n 取最小值时的n 的值． 18．(本小题满分12分)在①3a ·sin C ＝4c ·cos A ；②2b ·sin 2B C＝5a ·sin B 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整后的题．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知________，a ＝32． (1)求sin A ；(2)如图，M 为边AC 上一点，MB ＝MC ，∠ABM ＝2π，求c ． 19．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝4，AD ＝2，AB ＝2DC ＝25．(1)设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面P AD ； (2)求四棱锥P -BCD 的体积． 20．(本小题满分12分)记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝－1，a n +1＝S n ·S n +1． (1)求a n ；(2)若数列{b n }满足：b n ＝1na ，其前n 项和为T n ，求T n ．21．(本小题满分12分)如图，在边长为1的等边△ABC 中，圆O 1为△ABC 的内切圆；圆O 2与圆O 1外切，且与AB 、BC 相切；圆O 3与圆O 2外切，且与AB 、BC 相切；…；圆O n +1与圆O n 外切，且与AB 、BC 相切；如此无限继续下去．记圆O n 的面积为a n (n ∈N *)．(1)证明：数列{a n }是等比数列； (2)证明：数列{a n }的前n 项和S n ＜3π·S △ABC ．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：S n ＝12n 2＋12n ． (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令C n ＝221nn a a +，是否存在m 、k ∈N *(m ≠k )，使得C 1、C m 、C k为等差数列？江苏省曲塘中学2020至2021学年高二年级数学10月阶段性测试一 答案20201010一、单项选择题） 1． B 2． D 3． B 4． B5． A 6． A 7． D 8． C二、多项选择题 9． ABC 10． ACD 11． BD 12． BCD 三、填空题 13． m ≤1 14． 1 15． n 3 16． 4038 四、解答题 17．解：(1)在数列{a n }中，因为S n ＝2n 2－20n ＋1，①当n ＝1时，a 1＝S 1＝－17；②当n ≥2时，a n ＝S n －S n -1＝(2n 2－20n ＋1)－[2(n －1)2－20(n －1)＋1]＝4n －22，显然a 1不适合上式；所以a n ＝1714222n n n -=⎧⎨-≥⎩，，；(2)因为S n ＝2n 2－20n ＋1＝2(n －5)2－49，n ∈N *，所以当且仅当n ＝5时，S n 取最小值－49． 18． 解：若选①：(1)在△ABC 中，因为3a ·sin C ＝4c ·cos A ，由正弦定理sin a A ＝sin b B ＝sin cC得，3sin A ·sin C ＝4sin C ·cos A ，而sin C ≠0，所以tan A ＝sin cos A A ＝43，又因为A ∈(0，π)，sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin A ＝45； (2)设MB ＝MC ＝x ；因为∠ABM ＝2π，所以sin A ＝sin(2π－∠BMA )＝cos ∠BMA ＝45，所以cos ∠BMC＝cos(π－∠BMA )＝cos ∠BMA ＝－45；在△BMC 中，a ＝BC ＝BC 2＝BM 2＋MC 2－2BM ·MC ·cos ∠BMC ，得x ＝；在Rt △ABM 中，tan A ＝43，BM ，所以c ＝AB ＝tan BMA．若选②：(1)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，因为2b ·sin2B C +a ·sin B ，所以2b ·sin 2Aπ-a ·sin B ，由正弦定理sin a A ＝sin b B ＝sin c C 得，2sin B ·sin 2A π-＝5sin A ·sin B ，而sin B ≠0，所以2sin 2A π-＝5sin A ，即2cos2A ＝25sin 2A ·cos 2A ，又A ∈(0，π)，2A ∈(0，2π)，cos 2A ≠0，故sin 2A ＝5，cos 2A ＝21sin 2A -＝25，所以sin A ＝2sin 2A ·cos 2A ＝45； (2)答案同选①． 19．解：(1)在△ABD 中，BD ＝4，AD ＝2，AB ＝25，所以AB 2＝AD 2＋BD 2，所以AD ⊥BD ；因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，BD ⊥AD ，所以BD ⊥平面P AD ；因为BD ⊥平面P AD ，BD ⊂平面MBD ，所以平面MBD ⊥平面P AD ；(2)取AD 的中点N ，连接PN ；因为△P AD 是等边三角形，AD ＝2，所以PN ⊥AN ，PN ＝3；因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PN ⊂平面P AD ，PN ⊥AD ，所以PN ⊥平面ABCD ；在四边形ABCD 中，因为AB ∥CD ，BD ＝4，AD ＝2，AB ＝2DC ＝25，AD ⊥BD ，所以sin ∠ABD ＝sin ∠BDC ＝ADAB＝5，所以S △BCD ＝12BD ·CD ·sin ∠BDC ＝2；所以V P -BCD ＝13PN ·S △BCD ＝23．20．解：(1)对数列{a n }而言，因为a n +1＝S n ·S n +1，所以S n +1－S n ＝S n ·S n +1，显然S n ≠0，因此11n S +－1nS ＝－1，所以{1n S }是首项为－1，公差为－1的等差数列，1n S ＝－n ，即S n ＝－1n ；因为S n ＝－1n ，所以S n -1＝－11n -，n ≥2，两式相减得，a n ＝11n -－1n ＝1(1)n n -，n ≥2；由于a 1＝－1不适合上式，故a n ＝21112n n n n -=⎧⎪⎨≥⎪-⎩，，；(2)对数列{b n }而言，b n ＝1n a ＝2112n n n n -=⎧⎨-≥⎩，，，所以T 1＝b 1＝－1；当n ≥2时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝－1＋(22－2)＋(32－3)＋…＋(n 2－n )＝(22＋32＋…＋n 2)－(1＋2＋3＋…＋n )＝(1)(21)6n n n ++－(1)2n n +－1＝333n n --；所以T n ＝311323n n n n -=⎧⎪⎨--≥⎪⎩，，．21．解：(1)记c n 为圆O n 的半径，则c 1＝12tan30°＝3；因为11n n n n c c c c ---+＝sin30°＝12，所以c n ＝13c n -1，n ≥2；故{c n }，公比为13的等比数列，即c n×(13)n -1×(13)n ；因为圆O n 的面积为a n ，所以a n ＝π·c n 2＝π·34·(13)2n ＝4π·31-2n ，1n n a a +＝-1-2123434nn ππ-⋅⋅＝19，因此{a n }是首项为12π，公比为19的等比数列；(2)由(1)可知，a 1＝12π，公比q ＝19，a n ＝12π×(19)n -1，所以{a n }的前n 项的和S n ＝1(1())129119n π--＝332π(1－(19)n )，因为n ∈N *，所以S n ＝332π(1－(19)n )＜332π；又S △ABC，所以S nπ·S △ABC ．22．解：(1)在数列{a n }中，因为S n ＝12n 2＋12n ，令n ＝1可得，a 1＝1，又得S n -1＝12(n －1)2＋12(n －1)＝12n 2－12n ，n ≥2，所以S n －S n -1＝(12n 2＋12n )－(12n 2－12n )＝n ，即a n ＝n ，又a 1＝1适合上式，故a n ＝n ； (2)因为C n ＝221n n a a +＝221nn +，假设存在m 、k ∈N *(m ≠k )，使得C 1、C m 、C k 为等差数列，即2C m ＝C 1＋C k ，所以2×221m m +＝23＋221k k +，化简得，2m ＝5－92k +，因为m 、k ∈N *(m ≠k )，所以k ＋2只能取3、9，即k 取1、7，若k ＝1，得m ＝1，舍；若k ＝7，得m ＝2，经检验符合题意；综上，存在m ＝2，k ＝7，使得C 1、C m 、C k 为等差数列．。
江苏省南通市海安高级中学2024-2025学年高二上学期期中学业质量监测数学试题(含答案)
2024~2025学年度第一学期期中学业质量监测试卷高二数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ）A.B.C.D.22.若直线与平行，则（ ）A.B.C. D.23.已知数列满足，且，则（ ）A.B.0C.1D.24.已知等差数列的首项为10，公差为，则数列的前项和的最大值为（ ）A.B.30C.80D.不存在5.已知双曲线的离心率为2，一个焦点在抛物线的准线上，则的顶点到渐近线的距离为（ ）B.D.36.如图，是某心形二次曲线，则的方程可能为（）(),2A m ()1,21B m -135 m =4-2-431:210l x y -+=()2:110l ax a y +-+=a =1-1323{}n a ()111nn n a a +=-+21a =6a =1-{}n a 2-{}n a n 1214()2222:10,0x y C a b a b-=>>212y x =C 32C CA. B.C.D.7.已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是20，则（）A.5B.D.108.已知是圆的一条弦，，是的中点.当弦在圆上运动时，直线上总存在两点，，使得为钝角，则的取值范围是（）A.B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.直线的倾斜角的取值范围是B.斜率之积为的两直线相互垂直C.在两坐标轴上截距相等的直线斜率为D.直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线10.下列四个命题中，正确的是（ ）A.要唯一确定圆，只需给出圆上三点B.要唯一确定抛物线，只需给出焦点和准线C.要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出椭圆上两点D.要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线和一个焦点11.设数列的前项和为，则数列为常数列（各项均为同一个常数的数列）的一个充分条件是（）221x y x y +-=221x y x y ++=221x y x y +-=221x y x y ++=22:14520y x C +=F C A B ABF V AB =MN 22:4O x y +=60MON ∠= P MN MN O :4l y x =-A B APB ∠AB (0,-()+∞(0,()++∞[]0,π1-1-{}n a n n S {}n aA. B.C.D.，三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程：__________.13.定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.已知数列是等和数列，，，则公和为__________.14.已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，点，则__________；若为上的动点，则的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，.（1）若直线的斜率为1，求；（2）求证：.16.（15分）已知等差数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列.17.（15分）已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为.（1）求的方程；（2）过点作直线（与轴不重合）与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程.18.（17分）n S n =11n n S S +=+n n S na =()1122n n n S S S n +-=-≥12a a =()()22:124C x y -+-=x C {}n a 51a =-108a =2:4C x y =F Q ()22:54M x y +-=(0,4)A QA QF=P C 12PF PQ QF ++xOy ()3,0T l 2:3C y x =A B l AB OA OB ⊥{}n a n n S 24a =530S ={}n a nn S b n c=+*n ∈N 1b 2b 3b c {}n b P ()22:116M x y ++=()1,0N PN PM Q Q C C N l x C D E l y B BD EN =l已知等轴双曲线的左､右焦点分别，，且焦距为，，分别是在第二象限和第一象限上的一点，且.（1）求的方程；（2）若直线的斜率为，求直线的斜率；（3）若四边形的面积为的方程.19.（17分）记等差数列的前项和为，公差为.（1）证明：是关于的不含常数项的二次函数；（2）等差数列的公差为，且.①求的通项公式；②记数列的前项和为，是否存在，，使得？若存在，求，；若不存在，请说明理由.()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>1F 2F A B Γ12AF BF ∥ΓAB 131AF 12AF F B 1AF {}n a n n S ()110d d ≠n S n {}n b 2d n n n S a b ={}n b ,,,,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数{}n c n n T 1d ∈Z *k ∈N 1692k T =1d k高二参考答案与评分建议一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1DACB AADD二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.BD10.ABD11.ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.答案不唯一，，13.714.；四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）15.解：（1）设，依题意，直线的方程为：.与联立方程组并消去，得，所以.所以.（2）设直线的方程为：.与联立方程组并消去，得.所以.所以8-2222(1)(1)1,(1)(1)1x y x y -++=-+-=2222(1(1)1,(1(1)1x y x y --+-=-++-=125()()1122,,,A x y B x y AB 3x y =+23y x =x 2390y y --=12y y -=2AB y =-=∣AB 3x my =+23y x =x 2390y my --=12123,9y y m y y +==-1212OA OB x x y y ⋅=+，，所以.16.解：（1）设等差数列的公差为.因为，所以，解得，所以.（2）由（1）知，，所以.因为成等差数列，所以，即.化简得，，解得或.当时，，所以；当时，，所以.所以数列均为等差数列.17.解：（1）连结.因为线段的垂直平分线与交于点，所以.丁是.根据椭圆的定义，知点的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆.设焦距为，则.又设椭圆的方程为：，()()121233my my y y =+++()()21212139m y y m y y =++++()()219339m m m =+⨯-+⨯+0=OA OB ⊥{}n a d 254,30a S ==114,51030a d a d +=+=12a d ==2n a n =()2222n n n S n n +==+()1nn n n S b n c n c+==++123,,b b b 2132b b b =+62122213c c c⨯=++++20c c -=0c =1c =0c =1n b n =+11n n b b +-=1c =n b n =11n n b b +-={}n b QN PN PM Q QN QP =42QM QN QM QP MP MN +=+==>=Q ,M N 2c 22c =C ()222210x y a b a b+=>>则，故.所以的方程为.（2）由题意，知直线的斜率存在，不妨设的方程为：，则.又设.联立与并消去，得，所以又，则，故.所以，解得.所以的方程为.18.解：（1）因为等轴双曲线的焦距为，所以，又，所以，所以的方程：.（2）法1：延长，与分别交于点.根据对称性，知，且.所以四边形为平行四边形，且和均关于原点对称.设，则，且.于是，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3.法2：设，又设直线的方程为，由题意，.24a =2223b a c =-=C 22143x y +=l l ()1y k x =-()0,B k -()()1122,,,D x y E x y ()1y k x =-22143x y +=y ()22223484120k xk x k +-+-=2122834k x x k +=+BD EN =()()1122,1,x y k x y +=--121x x =-21228134k x x k +==+k =z )1y x =-()2222Γ:10,0x y a b a b-=>>,a b c ==222c a b =+1a b ==Γ221x y -=12,AF BF Γ,A B ''1221,AF B F BF A F =='',AA BB AA ='''∥BB 'AA B B '',A B ',B A 'O ()()1122,,,A x y B x y ()22,A x y --'222211221,1x y x y -=-=()()()()()()12222121212121222212121212111AB AFAB A x x y y y y y y k k k k x x x x x x x x '----+-=====-+--AB 131AF ()()1122,,,A x y B x y AB 13y x t =+0t >直线与双曲线联立方程组消去，得，则②，因为，则，即，即，化简得，由①得，③，由①③得，则，所以直线的斜率为3.（3）设直线的方程为：，与联立方程组并消去，得的两根为.结合（2）法1知，所以.所以，解得或因为分别是在第二象限和第一象限上一点，所以不符合题意；所以直线的方程为.19.（17分）AB221,31,y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩y 2286990x tx t ---=()212123991,48r x x t x x ++=⋅=1AF ∥2BF 12AF BF k k ==((1221y x y x =((12211133x t x x t x ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭())2112t x x x x -=++21x x -=123838x t x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩113383AFt t k ⎛+ =====1AF 1AF )1x my m =≠±221x y -=x ()22110m y --+=12,y y -12y y +=()111211212222AA O AF O A F O AF F B S S S S OF y y ''==+=⨯⨯⨯+V V V 梯形m =m =,A B Γm =1AF x y =-证明：（1）依题意，等差数列的前项和又因为，所以是关于的不含常数项的二次函数.（2）①法1：因为，由（1）知，，故或.由①知，，即，故或.若，因为，所以，于是.由①知，，所以.又，故，即.所以，从而.若，当时，由①知，，即，所以，因为，所以.所以，从而.当时，则.由①知，，即，故，这与矛盾；综上，的通项公式为或.法2：因为，则，故或若，则当时，，即，{}n a n ()1112n n n S na d -=+2111.22d d n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭10d ≠n S n n n nS a b =()()111211a n d b n d ⎡⎤⎡⎤=+-+-⎣⎦⎣⎦()()()()2121121211112d d n a d d b d d n a d b d ⎡⎤=+---+--⎣⎦()()11120a d b d --=11a d =12b d =111a a b =()1110a b -=10a =11b =1 10a =10d ≠11a d ≠12b d =1222a a a b +=()2210a b -=21110a a d d =+=≠21b =121b d +=1212b d ==2n nb =2 11b =11a d =1222a a a b +=()111122a d a d b +=+11232d d b =10d ≠232b =22112d b b =-=12n n b +=12b d =221,2d b ==1222a a a b +=1222a a a +=12a a =10d ≠{}n b 2n n b =12n n b +=n n n s a b =111a a b =10a =11b =1 10a =2n =222S a b =1222a a a b +=因为，所以，当时，，即，即，所以，所以，所以；若，则，当时，，即，即①，当时，，即，即②由①②，得，因为，所以，所以；综上，的通项公式为或.法3：因为，所以，整理得，.因为，所以因为，由①得，.将代入②③，整理得.当时，；当时，由，有，因为，所以；综上，的通项公式为或②由①知，或21110a a d d =+=≠21b =3n =333S a b =()11113332a d a d b +=+11332d d b =332b =23212d b b =-=()21222n n b b n =+-⋅=2 10a ≠11b =2n =222S a b =()()1111221a d a d d +=++11212a a d d d =+3n =333S a b =()()1111233212a d a d d +=++111212224a d a d d d +=+1122d d d =10d ≠212d =()111122n n b n +=+-⋅={}n b 2n n b =12n n b +=n n n s a b =()()()1111121112n n na d a n d b n d -⎡⎤⎡⎤+=+-+-⎣⎦⎣⎦()()()22111121211121112222d d n a n d d n a d b d d d n a d b d ⎛⎫+-=++-+-- ⎪⎝⎭*n ∈N ()()112111211121112,22,20.d d d d a a d b d d d a d b d ⎧=⎪⎪⎪-=+-⎨⎪--=⎪⎪⎩10d ≠212d =212d =111a a b =10a ≠()1111,1122n n b b n +==+-⋅=10a =()()11120a d b d --=()1120d b d -=10d ≠()12111,12222n n b d b n ===+-⋅={}n b 2n n b =12n n b +=()11,2n n n a n d b =-=11,2n n n a d n b +==若，此时各项都是整数，故必为整数，所以.若①当为偶数时，设，则，整理得，，经检验，只能解得②当为奇数时，设，则由（1）知，，整理得，，即，此时不存在满足上式.综上，存在，使得.1 ()11,,,,2n n d n c n n ⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数n c k T 1692k T ≠2 1,,1,,2n nd n c n n ⎧⎪=⎨+⎪⎩为奇数为偶数n *2,n k k =∈N ()()211111316921122222k k k k k k T kd d k k kd ⎡⎤⎡⎤--⎛⎫=+⋅+⋅+⨯=++=⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()*1122169,,k kd k k d ++=∈∈N Z 11,22169,k kd k =⎧⎨++=⎩11,83k d =⎧⎨=⎩n *21,n k k =-∈N 2221221121116912222k k k k k k T T c k kd k d -+-⎛⎫=-=++-=+= ⎪⎝⎭()2121170k d +=()2121257k d +=⨯⨯*1,k d ∈∈N Z 183d =21692T =。
江苏省海安高级中学2020-2021学年高二上学期高中合格性考试数学试题 Word版含答案
江苏省海安高级中学2020～2021学年度第二学期高二阶段检测（二）数 学一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“30,0x x x ∀≥+≥”的否定是 （ ）A ．30,0x x x ∀<+<B ．30,0x x x ∀<+≥C ．30000,0x x x ≥∃+<D ．30000,0x x x ∃<+<2．设,log ,2sin ,22.022.0===c b a 则c b a ,,的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c a b >>3. 加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分。
某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为 60，每只胳膊的拉力大小均为400N,则该学生的体重（单位：kg ）约为（ ）（参考数据：取重力加速度大小732.13/102≈=，s m g ） A ．63B ．69C ．75D ．814．设函数()m f x x ax =+的导函数()'21f x x =+，则数列1(N )()n f n *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和是（ ） A ．1n n+ B ．1n n - C ．21n n ++ D ．1n n + 5. 曲线x x y cos sin 2+=在()1π-，处的切线方程为（ ） A ．π10x y ---= B ．22π10x y ---= C ．22π10x y +-+= D ．π10x y +-+=6．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以某校园腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（ ） A ．33B ．24C ．22D ．37．已知双曲线2222:1(0,0)bx y C a b a -=>>的右焦点为,0F c （），右顶点为M ，A ，B 两点在双曲线C 的右支上，F 为AB 中点，N 为x 轴上一点，且AN BM ⊥.若||FN a c ≤+，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2]B ．[2,)+∞C ．(1,2]D ．[2,)+∞8．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率为3的直线交抛物线于点M(M 在第一象限)，MN l ⊥，垂足为N ，直线NF 交y 轴于点D ，若||23MD =，则抛物线的方程是（ ） A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏新高考2020-2021学年高二上学期数学期中考试复习题 Word版含解析
江苏新高考2020-2021学年高二上学期数学期中考试复习题一、单选题1、已知等比数列{a n }(a 1≠a 2)的公比为q ，且a 7，a 1，a 4成等差数列，则q 等于( ) A ．1或－32B ．－32C.32 D ．12、若a <b ，d <c ，并且(c －a )(c －b )<0，(d －a )(d －b )＞0，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( ) A ．d <a <c <b B ．a <c <b <d C ．a <d <b <cD ．a <d <c <b3、已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝a 3＋a 92，Q ＝a 5·a 7，则P 与Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P <Q C ．P ＝QD ．无法确定4、等差数列{a n }的公差d <0，且a 21＝a 211，则数列{a n }的前n 项和S n 取最大值时的项数n 是( )A ．5B ．6C ．5或6D ．6或75、若在等差数列{a n }中，d ＝－2，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 31＝50，那么a 2＋a 6＋a 10＋…＋a 42的值为( )A ．60B ．－82C ．182D ．－96 6、对于函数y ＝f (x )，部分x 与y 的对应关系如表：数列{x n }满足x 1＝2，且对任意n ∈N *，点(x n ，x n ＋1)都在函数y ＝f (x )的图象上，则x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 9的值为( )A ．41B ．42C ．44D ．487、已知{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9的值是( ) A ．24 B ．27 C ．30 D ．33 8、若a ＞0，b ＞0，则不等式－b <1x<a 的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1b 或x ＞1a B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1a <x <1bC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1a 或x ＞1b D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1b <x <0或0<x <1a9、若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋t ，则t ＋a 3的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．17 D ．18 10、对于a ＞0，b ＞0，下列不等式中不正确的是( ) A.ab 2<1a ＋1bB ．ab ≤a 2＋b 22C ．ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b aD.22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤a 2＋b 22 11、2＋1与2－1的等比中项是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D.1212、如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( ) A ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一 B ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一 C ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一 D ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一13、已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，又b n ＝1a n a n ＋1，则数列{b n }的前n项的和S n 为( ) A ．4（1－1n ＋1 ）B ．4（12－1n ＋1）C ．1－1n ＋1D.12－1n ＋114、已知正实数a ，b ，c 满足a 2－ab ＋4b 2－c ＝0，当cab 取最小值时，a ＋b －c 的最大值为( )A ．2 B.34 C.38 D.1415、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2}16、已知等差数列前n 项和为S n ，且S 13<0，S 12＞0，则此数列中绝对值最小的项为( ) A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项17、若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．418、已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( )A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) 19、已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．1820、已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b >0，c >0)经过圆C ：x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2二、填空题21、在数列{a n }中，S n ＝2n 2－3n ＋1，则通项公式a n ＝________.22、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．23、已知数列{a n }中，a 1＝1，且P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，若函数f (n )＝1n ＋a 1＋1n ＋a 2＋1n ＋a 3＋…＋1n ＋a n(n ∈N *，且n ≥2)，则函数f (n )的最小值为________． 24、若正实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＝z ＋3xy ，则当xy z 取最大值时，1x ＋12y －1z 的最大值为________．25、在1和17之间插入n 个数，使这n ＋2个数成等差数列，若这n 个数中第一个为a ，第n 个为b ，当1a ＋25b取最小值时，n ＝________.26、当x ，y ，z 为正数时，4xz ＋yzx 2＋y 2＋z 2的最大值为________．三、解答题27、解关于x 的不等式：mx 2－(m －2)x －2＞0.28、求数列1,3a ,5a 2,7a 3，…，(2n －1)a n －1的前n 项和．29、某投资商到一开发区投资72万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f (n )表示前n 年的纯利润总和，(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额72万元)． (1)该厂从第几年开始盈利？(2)该厂第几年年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值．30、已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n ，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n ＝b n ＋1－1.(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .31、如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD，公园由矩形的休闲区(阴影部分)A1B1C1D1和环公园人行道组成，已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为x米．(1)求矩形ABCD所占面积S(单位：平方米)关于x的函数解析式；(2)要使公园所占面积最小，问休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别为多少米？32、解关于x的不等式：x2－(m＋m2)x＋m3<0.33、设函数f(x)＝x2＋2ax＋3.(1)解关于x的不等式f(x)<1；(2)若函数f(x)在区间[－1，2]上有零点，求实数a的取值范围．34、已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，求实数a 的取值范围．35、已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4(其中n ∈N *)． (1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *)．36、一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量p 万件(生产量与销售量相等)与促销费用x 万元满足p ＝3－2x ＋1(其中0≤x ≤a ，a 为正数)．已知生产该产品还需投入成本(10＋2p )万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为⎝⎛⎭⎫4＋20p 元/件． (1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； (2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．37、关于x的一元二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有实数解，求实数m的取值范围．38、若关于x的不等式(2x－1)2<ax2的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围.1\答案 B解析 在等比数列{a n }中，由a 1≠a 2，得q ≠1， 因为a 7，a 1，a 4成等差数列， 所以a 7＋a 4＝2a 1， 即a 4(q 3＋1)＝2a 4q 3，所以q 6＋q 3－2＝0， 解得q 3＝1(舍)或q 3＝－2. 所以q ＝－32. 2\答案 A解析 因为a <b ，(c －a )(c －b )<0，所以a <c <b ， 因为(d －a )(d －b )＞0， 所以d <a <b 或a <b <d ， 又因为d <c ，所以d <a <b ， 综上可得d <a <c <b . 3\答案 A解析 由题设知a n >0，q >0且q ≠1，所以a 3≠a 9，a 3>0，a 9>0，P ＝a 3＋a 92>a 3·a 9，因为a 3·a 9＝a 5·a 7，所以P >Q . 4\答案 C解析 由题设可知a 1＝－a 11，所以a 1＋a 11＝0，所以a 6＝0.因为d <0，故a 5>0，a 7<0，所以n ＝5或6. 5\答案 B解析 a 2＋a 6＋a 10＋…＋a 42＝a 1＋d ＋a 4＋2d ＋a 7＋3d ＋…＋a 31＋11d ＝(a 1＋a 4＋…＋a 31)＋(d ＋2d ＋3d ＋…＋11d ) ＝50＋11×122d ＝50＋66d ＝－82.6\答案 B解析 因为数列{x n }满足x 1＝2，且对任意n ∈N *，点(x n ，x n ＋1)都在函数y ＝f (x )的图象上， x n ＋1＝f (x n )，所以x 1＝2，x 2＝4，x 3＝8，x 4＝2，x 5＝4，x 6＝8，x 7＝2，x 8＝4，…， 所以数列是周期数列，周期为3，一个周期内的和为14， 所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋…＋x 9＝3×(2＋4＋8)＝42.7\答案 D解析 根据等差数列的性质可知a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9也成等差数列， 故a 3＋a 6＋a 9＝2×39－45＝33.故选D. 8\答案 A解析 原不等式⎩⎨⎧1x＞－b ，1x <a ，即⎩⎨⎧bx ＋1x＞0，ax －1x ＞0，可得⎩⎨⎧x <－1b或x ＞0，x <0或x ＞1a，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1b 或x ＞1a .9\答案 C解析 a 1＝S 1＝3＋t ， 由a 1＋a 2＝9＋t 得a 2＝6， 由a 1＋a 2＋a 3＝27＋t 得a 3＝18，由a 1a 3＝a 22，得t ＝－1，故t ＋a 3＝17. 10\答案 A解析 当a ＞0，b ＞0时，因为21a ＋1b ≤ab ，所以2ab ≤1a ＋1b ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故A 不正确；显然B ，C ，D 均正确． 11\答案 C解析 设x 为2＋1与2－1的等比中项， 则x 2＝(2＋1)(2－1)＝1，∴x ＝±1. 12\答案 A解析 因为a ＋b ＝cd ＝4，所以由基本不等式得a ＋b ≥2ab ，故ab ≤4.又因为cd ≤(c ＋d )24，所以c ＋d ≥4，所以ab ≤c ＋d ，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝2时，等号成立． 13\答案 A解析 ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n (n ＋1)2n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1.∴S n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝4⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1.14\答案 C解析正实数a ，b ，c 满足a 2－ab ＋4b 2－c ＝0，可得c ＝a 2－ab ＋4b 2，c ab ＝a 2－ab ＋4b 2ab ＝a b＋4ba－1≥2a b ·4b a －1＝3.当且仅当a ＝2b 时取得等号，则a ＝2b 时，cab取得最小值，且c ＝6b 2，∴a ＋b －c ＝2b ＋b －6b 2＝－6b 2＋3b ＝－6⎝⎛⎭⎫b －142＋38，当b ＝14时，a ＋b －c 有最大值38. 15\答案 D解析 由题意知，－b a ＝1，ca ＝－2，∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a <0，∴原不等式化为x 2－x －2≤0， ∴－1≤x ≤2. 16\答案 C解析 由S 13＝13a 7，S 12＝6(a 6＋a 7)及S 13<0，S 12＞0， 知a 7<0，a 6＋a 7＞0，即a 6＞－a 7＞0，故|a 6|＞|a 7|.又等差数列为递减数列，故|a 1|＞|a 2|＞…＞|a 6|＞|a 7|，|a 7|<|a 8|<…， 故|a 7|最小．17\答案 C解析 由1a ＋2b ＝ab 知，a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧1a ＝2b，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.18\答案 C解析 依题意a 2＝a 1q ＝2，a 5＝a 1q 4＝14，两式相除可求得q ＝12，a 1＝4，又因为数列{a n }是等比数列，所以{a n a n ＋1}是以a 1a 2为首项，q 2为公比的等比数列， 根据等比数列前n 项和公式可得 原式＝a 1a 2(1－q 2n )1－q 2＝323(1－4－n )． 19\答案 B解析 方法一 由a 1＋a 3＋a 5＝105，得3a 3＝105，即a 3＝35，由a 2＋a 4＋a 6＝99，得3a 4＝99，即a 4＝33，∴d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)×(－2)＝41－2n ，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，得n ＝20，故选B.方法二 由方法一得到d ＝－2，则由a 3＝a 1＋2×(－2)＝35得a 1＝39，从而S n ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400，则S n 最大时，n ＝20，故选B. 20\答案 A解析 将圆C ：x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)． 因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5. 因为b >0，c >0，所以4c b ＋b c ≥24c b ·bc＝4， 当且仅当4c b ＝bc 时等号成立．由此可得b ＝2c 且b ＋c ＝1， 即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.二、填空题21\答案 ⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝1，4n －5，n ≥2解析 n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n ＋1－[2(n －1)2－3(n －1)＋1]＝4n －5. n ＝1时，a 1＝2－3＋1＝0不适合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝1，4n －5，n ≥2.22\答案 9解析 因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a ×1×sin 60°＋12c ×1×sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a >0，c >0，所以1a ＋1c ＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥5＋2c a ·4ac＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9. 23\答案712解析 由题意得a n －a n ＋1＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列， ∴a n ＝n ，∴f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n， ∴f (n ＋1)－f (n )＝1n ＋1＋1＋1n ＋1＋2＋…＋1n ＋1＋n ＋1－⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2>0， ∴{f (n )}(n ∈N *，n ≥2)为递增数列， ∴f (n )min ＝f (2)＝12＋a 1＋12＋a 2＝13＋14＝712.24\答案 12解析 ∵z ＝x 2＋4y 2－3xy ，x ，y ，z ∈(0，＋∞)，∴xy z ＝xy x 2＋4y 2－3xy ＝1x y ＋4yx －3≤1(当且仅当x ＝2y 时等号成立)， 此时1x ＋12y －1z ＝1y －12y2，令1y ＝t >0，则1x ＋12y －1z ＝t －12t 2＝－12(t －1)2＋12≤12(当且仅当t ＝1，即y ＝1时等号成立)．25\答案 7解析 由已知得a ＋b ＝18，则1a ＋25b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋25b ×a ＋b 18＝118⎝⎛⎭⎫25＋1＋25a b ＋b a ≥118(26＋10)＝2，当且仅当b ＝5a 时取等号，此时a ＝3，b ＝15，可得n ＝7. 26\答案172解析 ∵x 2＋1617z 2≥21617xz ，当且仅当x ＝41717z 时，取等号，y 2＋117z 2≥2117yz ，当且仅当y ＝1717z 时，取等号． ∴x 2＋y 2＋z 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋1617z 2＋⎝⎛⎭⎫y 2＋117z 2≥21617xz ＋2117yz ＝21717(4xz ＋yz )． ∴4xz ＋yz x 2＋y 2＋z2≤172，当且仅当x ＝41717z ，y ＝1717z ，即x ∶y ∶z ＝4∶1∶17时，取等号．∴4xz ＋yz x 2＋y 2＋z 2的最大值为172.三、解答题27\解 不等式：mx 2－(m －2)x －2＞0化为(mx ＋2)(x －1)＞0.当m ＝0时，不等式化为2(x －1)＞0， 解得x ＞1，所以不等式的解集为(1，＋∞)； 当m ≠0时，不等式对应方程为⎝⎛⎭⎫x ＋2m (x －1)＝0， 解得实数根为－2m ，1.当m ＞0时，不等式化为⎝⎛⎭⎫x ＋2m (x －1)＞0，且－2m<1， 所以不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－2m ∪(1，＋∞)； 当－2<m <0时，不等式化为⎝⎛⎭⎫x ＋2m (x －1)<0， 且1<－2m，所以不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1，－2m ； 当m ＝－2时，－2m ＝1，不等式化为(x －1)2<0，其解集为∅；当m <－2时，不等式化为⎝⎛⎭⎫x ＋2m (x －1)<0， 且－2m<1，所以不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－2m ，1. 综上，m ＞0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－2m ∪(1，＋∞)； m ＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)； －2<m <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1，－2m ； m ＝－2时，不等式的解集为∅； m <－2时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－2m ，1. 28\解 当a ＝0时，S n ＝1.当a ＝1时，S n ＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝(1＋2n －1)n 2＝n 2.当a ≠0且a ≠1时，aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)a n －1＋(2n －1)a n ， 两式相减，有(1－a )S n ＝1＋2a ＋2a 2＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ＝1＋2a (1－a n －1)1－a －(2n －1)a n ，此时S n ＝2a (1－a n －1)(1－a )2＋a n ＋1－2na n1－a .当a ＝0时，也满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，a ＝1，2a (1－a n －1)(1－a )2＋a n ＋1－2na n 1－a ，a ≠1.29\解 (1)由题意知f (n )＝50n －⎣⎡⎦⎤12n ＋n (n －1)2×4－72＝－2n 2＋40n －72.由f (n )＞0，即－2n 2＋40n －72＞0，解得2<n <18， 由n ∈N *知，从第三年开始盈利． (2)年平均纯利润f (n )n＝40－2⎝⎛⎭⎫n ＋36n ≤16， 当且仅当n ＝6时等号成立．即第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值为16万元． 30\解 (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n . 由题意知，当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2. 易知当n ≥2时，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n －1b n －1＝b n －1，①b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n ＝b n ＋1－1，②②－①得，1n b n ＝b n ＋1－b n ，整理得b n ＋1b n ＝n ＋1n(n ≥2)，所以b n ＝b n b n －1·b n －1b n －2·…·b 3b 2·b 2＝n (n ≥2)，又b 1＝1也满足上式，所以b n ＝n .(2)由(1)知，a n b n ＝n ·2n ，所以T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，所以T n －2T n ＝－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2， 所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.31\解 (1)S ＝(x ＋20)×⎝⎛⎭⎫4 000x ＋8＝8x ＋80 000x ＋4 160，x >0. (2)∵x >0，∴S ≥28x ×80 000x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当8x ＝80 000x，即x ＝100时取等号．故要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100米，宽为40米． 32\解 方程x 2－(m ＋m 2)x ＋m 3＝0的解为x 1＝m 和x 2＝m 2. 二次函数y ＝x 2－(m ＋m 2)x ＋m 3的图象开口向上，所以 ①当m ＝0或1时，原不等式的解集为∅； ②当0<m <1时，原不等式的解集为{x |m 2<x <m }； ③当m <0或m >1时，原不等式的解集为{x |m <x <m 2}． 33\解 (1)由f (x )<1，得x 2＋2ax ＋3<1， 即x 2＋2ax ＋2<0，其中Δ＝4a 2－8.当Δ＝4a 2－8≤0，即－2≤a ≤2时，不等式无解； 当Δ＝4a 2－8>0，即a <－2或a >2时， 解方程x 2＋2ax ＋2＝0，可得x 1＝－2a －4(a 2－2)2＝－a －a 2－2，x 2＝－2a ＋4(a 2－2)2＝－a ＋a 2－2，则不等式的解集为(－a －a 2－2，－a ＋a 2－2)． 综上所述，当－2≤a ≤2时，不等式无解；当a <－2或a >2时，不等式的解集为(－a －a 2－2，－a ＋a 2－2)． (2)要使函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3在区间[－1，2]上有零点，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－1≤－a ≤2，f (2)≥0，f (－1)≥0或f (2)·f (－1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－12≥0，－1≤－a ≤2，f (－1)＝1－2a ＋3≥0，f (2)＝2＋22a ＋3≥0或(4－2a )(5＋22a )≤0，解得a ≤－524或a ≥2.所以实数a 的取值范围为a ≤－524或a ≥2.34\解 方法一 在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax >0恒成立，等价于x 2＋2x ＋a >0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在[1，＋∞)上单调递增，∴当x ＝1时，y min ＝3＋a ，当且仅当y min ＝3＋a >0时，不等式f (x )>0恒成立，故实数a 的取值范围为{a |a >－3}．方法二 f (x )＝x ＋ax ＋2，x ∈[1，＋∞)，当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正，当a <0时，函数f (x )单调递增，故当x ＝1时，f (x )min ＝3＋a ，于是当且仅当f (x )min ＝3＋a >0时，不等式f (x )>0恒成立．故实数a 的取值范围为{a |a >－3}．方法三 由x ∈[1，＋∞)及题意可知a >(－x 2－2x )max ＝－3.故实数a 的取值范围为{a |a >－3}． 35\解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12， 得b 1(q ＋q 2)＝12.而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0， 解得q ＝－3或q ＝2.又因为q ＞0，所以q ＝2.所以b n ＝2n (n ∈N *)． 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.② 联立①②，解得a 1＝1，d ＝3， 由此可得a n ＝3n －2(n ∈N *)．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2(n ∈N *)，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n (n ∈N *)． (2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n . 由a 2n ＝6n －2，得T n ＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n －2)×2n ，2T n ＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n －8)×2n ＋(6n －2)×2n ＋1. 上述两式相减，得－T n ＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n －(6n －2)×2n ＋1 ＝12×(1－2n )1－2－4－(6n －2)×2n ＋1＝－(3n －4)2n ＋2－16， 所以T n ＝(3n －4)2n ＋2＋16.所以数列{a 2n b n }的前n 项和为(3n －4)2n ＋2＋16(n ∈N *)．36\解 (1)由题意知，y ＝⎝⎛⎭⎫4＋20p ·p －(10＋2p )－x ， 将p ＝3－21＋x 代入得y ＝16－4x ＋1－x,0≤x ≤a .(2)y ＝16－4x ＋1－x ＝17－⎝⎛⎭⎫4x ＋1＋x ＋1≤17－24x ＋1·(x ＋1)＝13， 当且仅当4x ＋1＝x ＋1，即x ＝1时，等号成立．当a ≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； 当a <1时，y ＝17－⎝⎛⎭⎫4x ＋1＋x ＋1在[0，a ]上单调递增，所以当x ＝a 时，函数有最大值，即促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大．综上，当a ≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a <1时，促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大．37\解 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， 若f (x )＝0在区间[0,2]上有一个实数解， ∵f (0)＝1>0，∴f (2)<0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝0，－m －12≥2或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，0<－m －12≤2. 又f (2)＝22＋(m －1)×2＋1＝2m ＋3， ∴m <－32或m ＝－1.若f (x )＝0在区间[0,2]上有两个实数解， 则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，0<－m －12<2，f (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)2－4>0，－3<m <1，4＋(m －1)×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m >3或m <－1，－3<m <1，m ≥－32，∴－32≤m <－1.综上，实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}． 38\解 原不等式可化为(4－a )x 2－4x ＋1<0(a >0)，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有4－a >0，即a <4，故0<a <4，解不等式有2－a 4－a <x <2＋a 4－a ，即2－a (2＋a )(2－a )<x <2＋a(2＋a )(2－a )，亦即14<12＋a <12<12－a 且12＋a <x <12－a，要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么3<12－a ≤4，解得259<a ≤4916.。
2020-2021学年江苏省南通市海安高中高二上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年江苏省南通市海安高中高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={1,2，3，4，5}，集合M={3,4，5}，N={1,2，5}，则集合{1,2}可以表示为()A. M∩NB. (∁U M)∩NC. M∩(∁U N)D. (∁U M)∩(∁U N)2.若平面向量a⃗与b⃗ =(1,−2)的夹角是180°，且|a⃗|=3√5，则a⃗等于()A. (6,−3)B. (3,−6)C. (−3,6)D. (−6,3)3.直线为双曲线的一条渐近线，则双曲线C的离心率是()A. B. C. D.4.定义在R上的偶函数，对任意x1，x2∈［0，+∞)(x1≠x2)，有，则()A. f(3)<f(−2)<f(1)B. f(1)<f(−2)<f(3)C. f(−2)<f(1)<f(3)D. f(3)<f(1)<f(−2)5.若a=20.5，b=ln2，c=0.5e(e是自然对数的底)，则()A. a<b<cB. b>a>cC. a>c>bD. a>b>c6.已知函数f(x)满足f(x)−2f(1x )=3x2，则f(x)的最大值是()A. −2B. −2√2C. 2D. 2√27. 5.下列命题中正确的是A. 若x2 −y2=0，则x−y=0B. 若a2 −b2+2a−4b−3=0，则a−b=1C.D.8.定义：在数列{a n}中，若满足a n+2a n+1−a n+1a n=d(n∈N+,d为常数)，称{an}为“等差比数列”.已知在“等差比数列”{a n}中，a1=a2=1，a3=3，则a2015a2013()A. 4×20152−1B. 4×20142−1C. 4×20132−1D. 4×201329.已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则当e 1e 2取最小值时，e 1，e 2分别为( )A. 12，√52B. √33，√62C. √22，√62D. √24，√3 10. 已知集合A ={x|0<x <6}，B ={x||x −2|<3}，则A ∩B =( )A. {x|−1<x <6}B. {x|−1<x <5}C. {x|0<x <3}D. {x|0<x <5}11. 若a 、b 、c 是不全相等的正数，给出下列判断 ①(a −b)2+(b −c)2+(c −a)2≠0； ②a >b 与a <b 及a =b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 312. 已知数列{a n }前n 项和为S n ，a 1=15，且满足(2n −5)a n+1=(2n −3)a n +4n 2−16n +15，已知n ，m ∈N +，n >m ，则S n −S m 的最小值为( )A. −494B. −498C. −14D. −28二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知x ，y >0且x +2y =1，则1x +1y 的最小值为______． 14. 已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=4，a 7−a 4=6，则数列{1an a n+1}的前n 项和S n =______．15. 已知函数f(x)=kx 2+2kx +1在[−3,2]上的最大值为5，则k 的值为______ ．16. 如图为一三角形数阵，它满足：①第n 行首尾两数均为n ；②表中的递推关系类似杨辉三角(三角形数阵中的数为其肩上两数之和)，则第n 行()第2个数是1 2 2 3 4 3 4 7 7 45 11 14 11 56 16 25 25 16 6…………………三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，且AC=BC=CC1，M，N分别是AB1，B1C1的中点．(1)求证：平面B1MN⊥平面A1BC；(2)求直线MN与平面BCC1B1所成的角的大小；(3)求二面角B−AC1−C的余弦值．18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b−c)cosA=acosC，b+c=6，a=2√3.求：(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)求sin(B−A)的值．19. 已知函数f(x)=13x 3−a+12x 2+bx +a(a,b ∈R)，且其导函数f′(x)的图象过原点．(Ⅰ)当a =1时，求函数f(x)的图象在x =3处的切线方程； (Ⅱ)若存在x <0，使得f′(x)=−9，求a 的最大值； (Ⅲ)当a >0时，求函数f(x)的零点个数．20. 设抛物线C ：y 2=4x ，F 为C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，求证：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一个定值(其中O 为坐标原点)．21. 如果有穷数列a 1，a 2，a 3，…，a m (m 为正整数)满足条件a 1=a m ，a 2=a m−1，…，a m =a 1，即a i =a m−i+1(i =1,2，…，m)，我们称其为“对称数列”.例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．(1)设{b n }是7项的“对称数列”，其中b 1，b 2，b 3，b 4是等差数列，且b 1=2，b 4=11.依次写出{b n }的每一项；(2)设{c n }是49项的“对称数列”，其中c 25，c 26，…，c 49是首项为1，公比为2的等比数列，求{c n }各项的和S ．22. 已知C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，圆E ：x 2+y 2=a 2+b 2椭圆C 的离心率为√32，P 为椭圆上任意一点F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，且△PF 1F 2为面积最大值为√3． (1)求椭圆C 的方程(2)斜率为k(k ≠0)的直线l 与椭圆C 相切于点M ，与园E 交于A ，B 两点，问AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 是否成立？请说明理由。
江苏省海安市2020-2021学年度高二数学第一学期期中试题【含答案】
江苏省海安市2020-2021学年度高二数学第一学期期中试题【含答案】考试时间120分钟，总分150分第Ⅰ卷（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.命题“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是（ ）A ．32000,10x R x x ∃∈-+>B ．32000,10x R x x ∃∈-+≥C ．不存在32000,10x R x x ∈-+≤D ．32,10x R x x ∀∈-+> 2．下列关于抛物线22y x =的图象描述正确的是（） A. 开口向上，焦点为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 开口向右，焦点为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 开口向上，焦点为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 开口向右，焦点为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3．1.一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q =（） 3551- 15+ 4．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢? （） A. 16 日B. 12 日C. 9 日D. 8 日5．以双曲线112422=-y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（）A ．141622=+y x B ．181622=+y x C ．141222=+y x D ．1121622=+y x 6．若P 是Q 的必要不充分条件，Q 是R 的充分必要条件，S 是R 的充分不必要条件，则P 是S 的（） A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7．设1F 和2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，若点()0,2P b ，12,FF 是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ） A. 3y x =±B. 217y x =±C. 33y x =±D. 213y x =±8．已知数列{}n a 、{}n b 满足2log n n b a =，n N *∈，其中{}n b 是等差数列，且920121=4a a ，则1232020b b b b ++++=（）A.2020B. 2020C.2log 2020D.1010二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．下列叙述中不正确的是( )A. “1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件B. 若,,a b c ∈R ,则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C. “1a >”是“11a<”的充分不必要条件 D. 若,,a b c ∈R ,则“20ax bx c ++≥对x ∈R 恒成立”的充要条件是“240b ac -≤”10．设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ．点M 在y 轴上，若线段FM 的中点B 在抛物线上，且点B 到抛物线准线的距离为，则点M 的坐标为（ ）A ．（0，﹣1）B ．（0．﹣2）C ．（0，2）D ．（0，1）11．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的点）距地面n 千米，并且F A B 、、三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为222a b c 、、，则（） A. a c m R -=+B. a c n R +=+C. 2a m n =+D. ()()b m R n R =++12．.已知各项均为正项的等比数列{}n a ,11a >，01q <<,其前n 和为n S ,下列说明正确的是（）A. 数列{}ln n a 为等差数列B. 232n n n S S S ⋅=C. 若nn S Aq B =+,则0A B += D. 记12n n T a a a =⋅⋅⋅,则数列{}n T 有最大值.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.抛物线的准线方程是y =1，则其标准方程是。
2020-2021学年南通市海安高级中学高二(下)期中数学复习卷1(含答案解析)
2020-2021学年南通市海安高级中学高二(下)期中数学复习卷1一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.在下列命题中：①两个复数不能比较大小；②复数z=i−1对应的点在第四象限；③若(x2−1)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±1；④若(z1−z2)2+(z2−z3)2=0，则z1=z2=z3⑤“复数a+bi(a,b，c∈R)为纯虚数”是“a=0”的充要条件；⑥复数z1>z2⇔z1−z2>0；⑦复数z满足|z|=z2；③复数z为实数⇔z=z−，其中正确命题的是______(填序号)2.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为______．3.设等比数列{a n}中，前n项和为S n，已知S3=8，S6=4，则S12=______．4.两对夫妻分别带自己的3个小孩和2个小孩乘缆车游玩，每一缆车可以乘1人，2人或3人，若小孩必须有自己的父亲或母亲陪同乘坐，则他们不同的乘缆车顺序的方案共有______ 种．5.某学校为了解该校600名男生的百米成绩(单位：s)，随机选择了50名学生进行调查，下图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图。
根据样本的频率分布，估计这600名学生中成绩在(单位：s)内的人数大约是6.在复平面内，复数i(2+i)对应的点的坐标为______．7. 函数f(x)=cosπx 与g(x)=|log 2|x −1||，则关于f(x)与g(x)的下列说法正确的是______ ．①函数f(x +1)为偶函数；②函数g(x)为偶函数；③在同一坐标系中作出两函数的图象，它们共有4个不同的交点；④在同一坐标系中作出两函数的图象，它们所有交点的横坐标之和为6；⑤在同一坐标系中作出两函数的图象，它们所有交点的横坐标之和为4．8. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 1=2，a 5=3a 3，则S 9= ．9. 下列命题中，真命题的是 ．①必然事件的概率等于l②命题“若b =3，则b 2=9”的逆命题③对立事件一定是互斥事件④命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题10. 对于定义在R 上的函数y =f(x)，有下列四个命题：①若y =f(x)是奇函数，则y =f(x −1)的图象关于点A(1,0)对称；②若对x ∈R ，有f(x +1)=f(x −1)，则y =f(x)的图象关于直线x =1对称；③若对x ∈R ，有f(2−x)=−f(x)，则y =f(x)的图象关于点A(1,0)对称；④函数y =f(1+x)与函数y =f(1−x)的图象关于直线x =1对称．其中正确命题的序号为______.(把你认为正确命题的序号都填上)11. 若f(x)是以5为周期的奇函数且f(−3)=1，tanα=2，则f(20sinαcosα)=______．12. 某高校大一新生中五名同学打算参加学校组织的“小草文学社”“街舞俱乐部”“足球之家”、“骑行者”四个社团．若每个社团至少一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，其中同学甲不参加“街舞俱乐部”，则这五名同学不同的参加方法有______种．13. 在直角三角形△ABC 中，C =π2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，对平面内的任意一点M ，平面内有一点D 使得3MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 14. 如果数列a 1，，，…，，…是首项为1，公比为−的等比数列，则a 5等于________． 二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 如图，在Rt △ABC 中，直角A 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E ，AD =1.6，AE =3．(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)求△ABC的面积．16.如图，三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，点E、F分别为PA、AB的中点，点D在PC上，且PD=2DC．(1)证明：CF//平面BDE；(2)若△ABC是边长为2的等边三角形，求三棱锥P−BDE的体积．17.已知圆O：x2+y2=9，直线l：y=−2x+5．(1)判断直线l与圆O的位置关系并说明理由；(2)是否存在常数m，使得直线l0：x−y+m=0被圆O所截得的弦的中点在直线l上？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由18.这是今年双十一的两道题目，第一题是双十一之间网上流传甚广的小明买卫衣问题；第二题是有关某老师的双十一战果．(1)小明想在双十一买价值399的卫衣，已知付定金20元有订金三倍膨胀活动，但仅限当天0至2点．2点以后订金可抵用50元，但又付尾款前500名免定金活动．同时该店铺有399减20和299减10的优惠券(其使用门槛是订金+尾款−订金膨胀优惠金额大于等于优惠券)，还有一种379减20和279减10的折扣券(其使用门槛是尾款−膨胀优惠金额大于等于折扣券面额)，优惠和折扣只能选一种．求小明最低多少钱能买到这件卫衣？如果你是小明，你会选择怎样购买？(2)某老师在双十一前花1元，抢到了某商家满200−100的一张优惠券，该商家没有订金膨胀活动，但该商家有多买多优惠活动：满3件9折；5件8折；10件及以上7折，同时可用淘宝200−20的购物津贴(可跨店满减，店铺优惠后参加该活动，但运费不在其中).现已知该老师本单花了1+ 119.78元(1是买券钱，119.78是双十一付款，其中含运费6元)．请问：该老师本次购买的商品价值最低多少？最高多少？(按商家标示的淘宝价格计算，精确到元即可，已知该老师用了200−100券)19.某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，如表是在某单位得到的数据：(Ⅰ)能否有97.5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关？(Ⅱ)从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出3人进行陈述发言，设发言的女士人数为X，求X的分布列和期望．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，(n=a+b+c+d)20.求T；求数列{}的通项公式；求满足(1−1T2(1−1T3)…1−1T n)>100213的最大整n的值．【答案与解析】1.答案：⑥⑧解析：本题主要考查复数的运算及性质，属于基础题．由题意利用复数的定义、性质及运算法则，通过举反例，逐一判断各个命题是否正确，从而得出结论．解：以下命题：①两个复数不能比较大小，错误，如复数2和复数3，显然2<3．②复数z=i−1对应的点在第四象限，错误，因为复数z对应点为(−1,1)，在第二象限．③若(x2−1)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±1，错误，例如x=−1时，此复数为0．④若(z1−z2)2+(z2−z3)2=0，则z1=z2=z3 ，错误，例如z2=0，z1=i，z3 =i2时，等式仍成立．⑤“复数a+bi(a,b，c∈R)为纯虚数”是“a=0”的充要条件，错误，因为当a=0时，复数a+bi 不一定是纯虚数．⑥复数z1>z2⇔z1−z2>0，正确，复数z1>z2，说明复数z1和z2 都是实数，故有z1−z2>0成立．⑦复数z满足|z|=z2，错误，如z=i时，|z|=1，z2=−1，等式不成立．⑧复数z为实数⇔z=z−，正确，故答案为：⑥⑧．2.答案：7解析：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I<8，S=3，I=4满足条件I<8，S=5，I=7满足条件I<8，S=7，I=10不满足条件I<8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I<8，退出循环，输出S的值为7．本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．3.答案：5解析：解：由{a n}是等比数列，S3=8，S6−S3，S9−S6，S12−S9依次构成等比数列，则：8，4−8，S9−4，S12−S9依次构成等比数列．，可得：公比q=−12)，那么：S9−4=−4×(−12∴S9=6．∴S12−6=2×(−1)=−1．2∴S12=5．故答案为5．根据等比数列{a n}中前n项和的性质，S3=8，S6−S3，S9−S6，S12−S9依次构成等比数列，求解即可求S12．本题主要考查等比数列的应用，根据等比数列{a n}中前n项和的性质，S m，S2m−S m，S3m−S2m，依次构成等比数列，属于基础题．4.答案：648解析：解：分别设带3个孩子的为甲家庭，带2个孩子的为乙家庭，对家庭甲，5个人只能分成2+3的情况，有C21⋅C32=6种情况，对家庭乙，4个人可以分成2+2或者1+3的情况，有c21⋅c22+c21⋅c21=2+2=4种情况，另外家庭乙中1+3情况中余出来的那个人还可以与家庭甲中2+3那种情况之中的2合并，有C21⋅C31=6种情况，需两种情况乘4次缆车的顺序6×2×A44=288，288×2=576，一种情况6×2×A33(合并坐为3车次)=72，故共有576+72=648故答案为：648．根据排列组合的先分组再排列思想，分别设带3个孩子的为甲家庭，带2个孩子的为乙家庭，家庭甲，5个人只能分成2+3的情况，家庭乙，4个人可以分成2+2或者1+3的情况，然后再排列，得出不同的乘缆车顺序．本题主要考查了排列组合的先分组再排列，关键是分组，分组要不重不漏，属于中档题．5.答案：120解析：试题分析：先算出频率分布直方图前面两个成绩在[13,15](单位：s)内的频率，再利用频数等于频率乘以样本总数即可解得600名学生中成绩在[13,15]内的人数．解：∵由图知，前面两个小矩形的面积=0.02×1+0.18×1=0.2，即频率，∴600名学生中成绩在[13,15](单位：s)内的人数大约是0.2×600=120.故填120。