线性代数笔记(自写)

全笔记分为四章，

（1）矩阵(一般理论)

（2）行列式

（3）特征值与特征向量(第二第三章是引入研究矩阵更多工具)（4）特殊矩阵

前方的引言，貌似是高能部分，其实是为了帮助，亲们理解问题，故有必要读一下。

f r o m

中南大学材料院

耗时;半月

真名;略

笔名;学渣渣的基因。

引言；8

线性代数(l i n e a r a l g e b r a)是研究有限维线性空间里的代数的学科；

线性空间，又被称为向量空间，矢量空间。

（我最喜欢的称呼是不易被具体化理解的矢量空间，所以接下来，我都会把线性空间称为矢量空间）

要理解最开始一句话，我们需要定义两个东西，（1）“线性空间”（2）“代数”

先给出（2）的定义；

（2）代数；代数是研究数，数量，关系与结构的数学分支。初等代数一般在中学中教授：研究当我们对数字做加法和乘法会发生什么，以及了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。代数的研究对象不仅是数字及其运算，矩阵及其运算……还包括经过将这些具体的对象及其运算抽象化而得到的各种抽象化的结构。在这里我们只关心各种运算关系及其性质，而忽略对于“具体的对象，譬如，数，矩阵，本身是什么”这样的问题。

补充；常见的代数结构有群，环，域，模，矢量空间等。（有兴趣的童鞋可以去看《抽象代数》）

要定义矢量空间，我还必须先给出“矢量”的一般空间的抽象化定义，如下（无需理解）；

映射；称为点的一个矢量（v e c t o r）,若对

有；

（a）(线性性)；

（b）(莱布尼兹律)其中代表函数在点的值，

亦可记作

显而易见，这里矢量被定义为一个映射，输入的元素取自，为流形（ma n i f o l d）上所有的光滑函数，为实数集合。

我不打算解释这个定义，一旦我解释了，又得去解释许多其它的概念，所以只会只谈谈直观上的理解，并阐述矢量与向量的关系（当然有的书是混用两个概念的）在物理里面，我们经常用矢量去定义物理量，由于牛顿力学建立的数学基础是三维欧式空间，所以我们把矢量放在三维欧式空间下，赋予坐标表示，就成为具体的向量，由此矢量在三维欧式空间里有了几何直观，我们可以用表示它。

好哒，我们已经有了矢量，现在可以来定义矢量空间（值得一提的是，很多地方直接简便的把矢量定义为矢量空间的元素，它会符合矢量空间公理化定义的七个

条件，这也是可取并相对简便的，并且两个定义之间并不矛盾）

(1)矢量空间；

实数域上的一个矢量空间（v e c t o r s p a c e）是一个集合配以两个映射，即（叫加法（a d d i t i o n））及（叫数乘（s c a l e r m u l t i p l i c a t i o n）,满足如下条件；

(a)

(b)

(c)零元，使

(d)

(e)

(f)

(g)

初看这个定义你一定看的觉得很熟悉，又很陌生。因为你感觉这些性质很是自然。感觉熟悉的原因是，你如果直接把看成三维欧式空间的向量集合，在配备普通的加法与数乘，你会发现它满足这七条。事实上，矢量空间的公理化定义就是从具体的对象，譬如向量所满足的性质中来定义的。现在你也可以把同型矩阵当做矢量空间的元素，定义合适的加法与数乘，而后构成矢量空间……

好哒，总算说完了“线性代数”是指什么

那么现在开始线性代数的学习

提前预警；线性代数研究的代数是向量，而我们将重点研究的并非向量，而是向量之间转化的变换，即矩阵，物理学上喜欢用变换来定义物理量（无论是有限维矢量空间的变换（矩阵），还是无限维矢量空间的变换（算子）），用它们来定义物理量的优点是在各种坐标系下具有形式的不变性（此即为张量的定义，矩阵是（0,2）型张量）。

那么我们也将从矩阵开始。

这里的空余部分，给出一个基本的代数结构——群的定义

定义1.0

若集合且在上的二元运算

构成的代数结构满足；

（1）封闭性；

（2）结合律；

（3）存在单位元

（4）存在逆元；，称为的逆元

练习1.1；证明构成一个群，其中单位元为0

练习1.2；证明构成一个群，其中单位元为1

（一）矩阵（m a t r i x）

本笔记非特殊说明，用到的都是实矩阵，即矩阵的元素都是实数。定义1.1；形式为叫做矩阵，简记为，被

称为矩阵的元素，若记为中列向量，（其中为t r a n s f o r m（转置）首字母）为中行向量，则,

其中，如果每个元素都为0，则称为零矩阵，

简记为0，如果，那么称为阶矩阵，此时主对角线元素之和被称为矩阵的迹（t r a c e）

定义1.2；以一个例子定义矩阵加法（仅限于同型矩阵）与数乘；

定义1.3；=右乘乘法定义如下

其中为数乘，最终结果为一个列向量，其中被称为对列向量的线性组合。

例如；

以定义1.3推广矩阵更一般的矩阵形式的乘法如下；

定义1.4；=右乘乘法如下；

结果的特点是，,在1.3中已经被定义，故能被很好的定义。

至此，矩阵的乘法已被很好的定义，但我们定义的角度显然是以为中心，中列向量的作用被看做对中列向量的线性组合。如果我们以矩阵为中心呢？这也是也是可取的，此时中的行向量被看做对中的行向量进行线性组合。我们也可以既不以为中心，又不以为中心，而单单给出中元素关于中元素的表达式，也即为中与中的内积。

现在以一例说明矩阵乘法的这三种计算方法，请认真仔细阅读，并做到熟练运用。

补充；第四种方法；

，即的列与相应的的对应的行，而后求和；

矩阵相乘亦可分块进行计算；

分块的依据在于使矩阵里分块矩阵之间的乘法合理

性质1

证明1；我无法想象连结合律都不满足的代数，会有多糟糕。我假定矩阵不会是这样的代数，所以矩阵运算满足结合律，得证。实际的证明，求和号过多，故略去。

性质2

证明，据，易证。

练习1.3

举例说明，并由此说明

我们已经有了矩阵，以及它们之间乘法的定义，现在如果我们想构造一个代数结构——群，必须定义矩阵的逆，但首先得知道矩阵乘法的单位元，假定单位元为，单位元的存在，要求都有定义，由存在，令为型

矩阵，为型矩阵，又存在，得,则为型矩阵，又，得，故为方阵，亦为方阵，且同为n阶方阵。由此矩阵的逆，只有方阵才可能有。

定义1.5；是阶方阵，如果存在矩阵，使得,那么称可逆，称为的逆，记为

性质1;均可逆，则

证明；略

性质2；可逆，则

证明;将用到（不难证明此式）

，证毕。

接下来我会联系矩阵与方程组，试图先找出矩阵可逆的必要条件。

令列向量,则矩阵可化为形式

即原方程组

好的，现在我们左右同时左乘初等矩阵（以后会定义）以化简

第一步无疑想把第二行换成矩阵的第二行减去第一行的3倍，称为（(行)，(列)）如下；

我们定义矩阵每一行第一个非零元为主元（），显然加减化简的倍数，由主元之间的倍数决定。

据左乘初等矩阵，方程组的解并不改变，我们觉得可以进一步简化，直接对矩阵进行初等行变换；

（注意，连接变换的是箭头，两个矩阵不相等）还没有结束，

我们对矩阵进行的初等变换都未改变原方程组的解，显然方程组的解为;

，关于方程组的解法后面会详细论述。

定义1.6以下三种被定义为矩阵的初等行变换（不改变方程组的解）；（1）对调两行

（2）以数乘某行所有元素

（3）把一行所有元素的倍加到令一行对应的元素上去

以上三种变换对应于两端左乘以下三类初等矩阵（以三阶初等矩阵举例）。（1）对调一二行；

（2）第一行乘以倍；

（3）第二行的倍加到第一行上

练习1.4

试不通过计算分解矩阵，并由此计算

补充；知道初等变换矩阵后，我们可以进行分解，其中代表下三角矩阵(),代表上三角矩阵（）

举例；

分解过程中会用到初等变换矩阵，在此称为消元矩阵（）表示使第行，第列处的元素为0的消元矩阵

对于三阶矩阵，有（没有行变换）（试说明确为下三角矩阵）

实际上写出并不需要求出消元矩阵的逆矩阵再相乘，有如下结论；

在消元过程中消元系数（乘某行的倍数再减去另一行,中的倍数）可直接写入中对应的位置。例如；对，，左乘的消元矩阵，消元倍数为4，故在分解，中相应位置写有倍数4.

如果一开始的形式不合适，那么我们就需要先对中的行进行置换，此时会用的初等矩阵里的（(置换矩阵)），此时分解的形式为，另外，置换矩阵有一个特别的性质

其实关于分解，我还想补充例子，说明其用途，在此做个记号，以后再补。现在我们来求上述=的逆矩阵，但首先得尝试判断是否存在

显然有非零解

假设存在，两端同左乘，得，造成矛盾，故不存在，得出的逆矩阵存在的必要条件为只有零解，进而有下面重要性质；

性质；方阵的逆矩阵存在的充分必要条件为只有零解

必要性；已证

充分性；待证；

定义；设是维列向量组，若存在一组常数，使得；

向量组的线性组合,只在时才成立，则称列向量组线性无关。

若将排在一起构成型矩阵，且令则

。所以，向量组线性无关只有

零解。

值得一提的是，低维数空间，线性相关性有很直观的几何理解，在二维平面内，若两个向量线性相关，则它们必共线，并且二维平面内任意三个向量必线性相关（假设开始给出的两个向量不线性相关，将它们作为基

向量，则第三个向量必可由前两个向量的线性组合所表示，，即

同时我们定义一个向量组，其最大线性无关组的个数，称为该向量组的维数，比如上面提到的，其最大维数为。

现在介绍求逆矩阵的高斯若当尔消元法（计算机亦采用此种方法），引例；已知=求

上面部分很类似我们求的做法，左右同乘初等矩阵进行变换，其实它们实质相同。

消元法就是对上述过程的进一步简化，直接取进行初等变换，当左边变换成单位矩阵时，右边即变换为

练习1.5

证明当进行初等变换为形式时，。

练习1.6

证明可逆矩阵必可分解为一系列初等矩阵的乘积。

有关矩阵转置补充几个性质；

练习1.7，定义的矩阵为对称矩阵，使说明始终为对称矩阵。

为了理解下一节对于方程的求解，现在引入相应的空间的概念，类似于矢量空间，空间内的元素必须对于其里面的运算具有封闭性，由空间又可以衍生子空间的概念，子空间里的元素都属于它的母空间，且对于运算也封闭，比如对于中的所有向量，过原点的平面上的所有向量构成一个子空间，更一般的，单独的零向量也构成的子空间。

简言之，空间就是一个集合，配备了运算（加法与数乘），且对于运算具有封闭

性。

定义矩阵的（列空间）为以的列向量的任意线性组合为元素的空间

类似的矩阵的（行空间）为以中行向量的任意线性组合为元素的空间而的零空间（零空间）为以满足中的为元素所组成的空间。

的左零空间是指

但我们只会着重用到列空间，零空间以解方程组，之所以如此，是因为我们解方程组时所进行的都是行变换。

我们亦可以进行列变换，解方程组对进行行变换。

练习1.8，证明的解构成一个空间

定义1.7，矩阵的秩（）为一个数字，它等于矩阵通过初等变换后矩阵主元的个数。

例如；

最后的第一行1与第二行2（每行的首项非零元为主元），并且含有主元的列被称为主列，不含主元的列被称为自由列。

不妨求解上面给出矩阵的解；

进一步简化，将主元上元素全部化为0，主元自身化为1

现在有两种方法做下去

方法1，统一取自由列--------第二列，第四列对应的为

,此时解出,

则，方程组的通解

方法2；

，写回方程组形式（将自由列对应的变量视为自变量，并补全四个方程）；

此时可将视为常数，视为常数，可得

两种方法得到的结果一致。

当然这给出的是标准的方法，你可能喜欢先设其它元素为其它值，再解出方程

但请记住这两种标准方法。这两种方法的特点是能够推广，解决一堆问题，计算机能够实现，并利用计算机解决大量实际问题。你自己给出的方法很可能只能用来做一道题目，显然没什么意思。并且，你如果想老师在改卷的话，不会判错你的答案，请按照标准方法做。

显然无论的形式，在求解的最后我们就能发现此方程组是否可解，以及解的结构，但直接根据来判断解的结构，我们还未尝试，故现在开始讨论。

性质1；可解在里（能被中列向量的线性组合所表示）

性质2；，解的形式为,其中表示满足的特解（,表示零空间（）中的元素。

的求法已经介绍过，即把进行初等变换。

练习1.9，试证明确为的解。

练习1.10，试证明，若是的解，则也是的解

性质3；有非零解秩

证明；想象一下主元的个数与解的结构的关系，即可得证。

练习1.11，试说明，如果秩，，那么的基础解系含有个向量。

性质4；有解,表示矩阵的秩（）,表被定义为。

证明；有解在的列空间内张成相同的列空间

，有相同的基础解系，从而主元个数相同，秩相同。

下面是一个很重要的性质，联系列空间与零空间。

首先定义一个空间的维数为；张成()此空间（任意基向量

的线性组合）所需的一组基向量中向量的个数。（基的定义要求向量组线性无关）首先得证明定义的合理性，神马意思？我们得说明在空间中选取任意一组基向量中向量的个数相同，不然对于给定空间的维数可能不是定数。

证明；练习1.12

秩-零化度定理；若矩阵有列，则，即列空间的维数+零空间的维数=矩阵的列数。

证明；要用到这两个结论；（1）列向量中极大线性无关组的个数=主元个数=主列个数

（2）=基础解系中向量的个数=自由列的个数（由练习1.11，=秩数=主元个数=主列个数。）

由（1），（2）得；=主列个数自由列个数=，证毕。

实际上以上给出的并不算严格证明，严谨一点说，很多等式我们从未严格推导过，都是从举例后直观上理解得到的。

练习1.13；试用秩-零化度定理证明，若,且,则；

在此补充一种方法证明以上练习；

方法；证明；记，则存在非奇异（）矩阵（可逆矩阵）,使得（显然，其中是一系列消元矩阵与行置换矩阵的乘积，是列置换矩阵的乘积）。

则,两端同时左乘，得；,

令,则，,现在主元只可能出现在中，并且不是每一行都可能有主元，又,为型矩阵，得；

现在写下几个做题时很有用的性质。

性质1；

性质2；

性质3；设矩阵，则

性质1，性质2，是显然的。

习题1.13；证明性质3（萌萌哒，我自己一时没想出证明，留给你们啦）

现在瞧瞧矩阵的应用，重点会在解微分方程（学到微分方程后再看），并联系图论（现在看）

求解；，其中

;写出特征方程，，

所以

你可能纳闷这和矩阵有毛关系；

；令，

即；

这样，就将一个二阶常系数微分方程，变为一个方程组，下面直接取出矩阵研究；求解矩阵的特征值，得到特征多项式（与上头提到的特征方程名字一致），，求解对应的特征向量为,，则，解的形式为；

把抽出来，即，将负号并入常数得答案。

明明很简单的题，被我做的如此复杂是不是想打我？不过，一旦用到矩阵，就可以编程让计算机实现这个过程了。

为啥能这样求解？？

留做习题1.14(提示,把微分方程写成矩阵形式,而后代入检验)

现在给出图的抽象化定义，这个定义当我们用集合直观展示出来时，就是我们通常所述的图形啦。

定义1.8；一个图是一个序偶<>,记为,其中；

（1）是一个有限的非空集合，称为顶点集合，其元素称为顶点或点。用表示顶点数。

（2）是由中的点组成的无序对所构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同一点对可以重复出现多次。用表示边数。

举个例子；设,其中,，

练习1.15将上述图用图形展示出来

现在写出上述图的关联矩阵（）,当有一条边从时，在该边对应的矩阵的行，下方标上-1，下方标上1。如下；

值得一提的是；在图形上构成一个回路（），而通过矩阵可以知道对应的行第二行对应的行=对应的行，即线性相关。没有回路的图被称为树。

所以关联矩阵描述了对应的图的拓扑性质。（这句话待会儿解释）

如果设此图为电路图，各边电流分别为,外加电流组成的列向量为，则，(为电势差，为电导率)，而（其中为各节点电势）联立以上各式子，有，此即为著名的基尔霍夫电流定理（）的矩阵表述。

以后学到电工学的时候，或许你可以用此定理解题，不过只用是不够的，必须加上，所以我一直想直接把加入中，成一个新的完整的公式，这样对于电路问题，就能一概用计算机实现求解每条电路上的电流。

并且对于平面图有这样一个拓扑学上的欧拉公式；，其中表顶点数，表边数，表面数，并由此推广可以定义重要的拓扑不变量——欧拉示性数。

那么讲了这么久，拓扑（）的定义是什么呢？拓扑的公理化定义是对一般实数上的开集的推广，也可以说对它的定义就是在集合论的基础上对开集性质进行抽象化描述。如下；

设是非空集合，的幂集（以中元素为集合组成的集合族（集合的集合））的子集称为的一个拓扑，如果满足以下三条；

（1）

（2）的任意多个元素有限并仍在中

（3）的可数（去查定义）交仍在中

称集合，连同它的拓扑组成一个拓扑空间，记为.

称中的成员为拓扑空间的开集。

练习1.15说明实数上以形式如为元素构成的集合族是上的一个拓扑。拓扑空间是最基础的空间，它只有拓扑结构，如果加上微分结构，就被称为本笔记开头提到的“流形”，加上微分结构后，我们就能用微积分，来研究它，这个方向是——微分拓扑。还可以用代数的方法研究它，方向是——代数拓扑。欧式空间也是拓扑空间，它的拓扑默认为通常拓扑（有兴趣，请）,欧式空间优良的性质得益于其上面附加的很多优良的结构。

前面提到关联矩阵反应了图的拓扑性质，那么对于一个图，它的拓扑不变性质有

哪些？直观上来说，环显然是。可问题在于对于图（非集合）这样的定义，如何在上面选取集合，并选取拓扑，使得环是一拓扑不变量？（这个问题并不显见，我也不造如何回答），留在此处，以后填坑。

离矩阵的一般理论内容部分结束也差不多啦，最后仅介绍两类特殊的矩阵，在这里仅是为了引入它们。它们有优良的性质，以后矩阵运用的时候，也大多涉及它们。

第一个是正交矩阵

不过首先得知道正交（）向量与向量组的正交化。

定义1.9；若正交，则

练习1.16，证明若正交，则

与正交与正交，而形如元素组成的集合分别是张成的一维子空间。所以可以推广定义两个子空间的正交为，张成它们的基底元素正交。实际上也两空间内任意向量都正交。

性质1；行空间正交于零空间

证明；练习1.17

补充性质2；

证明；若,则，两端同左乘，

，又是一个列向量，模长为0

;反之显然成立。

练习1.18，试说明

练习1.19，说明可逆

定义1.10；是正交矩阵，此时

对称矩阵定义相对简单。

定义1.11；满足的矩阵称为对称矩阵。

其实矩阵部分远没有结束，正交矩阵，对称矩阵，它们有很多很漂亮的性质。但仅仅靠我们现在这些工具很难挖掘出一些很重要的性质，俗话说，工欲善其事，必先利其器。所以接下来两章，将会给出一些重要的工具，比如行列式，同时介绍一些应用非常广的概念，比如特征值与特征向量。

（2）行列式（）

行列式可以看做是从方阵实数的线性映射（每行都具有线性性），既然可以

看做函数，自然会有导数，当然行列式的导数是对其中每个元素有偏导。行列式也是反应矩阵性质的一个特殊的数，它的定义方式非常多，计算方法也活。

值得一提的是，行列式还有非常直观的几何解释。它可以解释为向量所构成的平行体的有向体积。譬如三维空间内的混合积可以用行列式表示为

定义2.1；方阵的行列式满足以下三条性质；

1，

2，交换两行，符号相反。

3，对每行具有线性性。

练习2.0，试说明此三条性质符合对行列式的几何解释。

但是性质2需要证明定义良好，从这里可引申至及奇排列，偶排列问题。那是行列式中另外一个定义详细论述的。在后面我也会补充解释那个定义。

现在用行列式定义的最基础的三个性质推导其它一系列性质。

性质1，若行列式中有两行相同，则行列式为0

练习2.1，证明性质1

性质2，用行的倍加到第行，不改变行列式的值。

证明，例如；

（单行线性）

性质3，若行列式有一行全为0，则行列式的值为0

证明；练习2.2

性质4，上三角（下三角）矩阵的行列式为对角线元素的乘积。

证明；不断进行消元可将上三角（下三角）矩阵化为对角线上元素不变的对角矩阵（由性质2，不改变行列式的值），再利用对每行具有线性性，得证。

性质5，奇异（不可逆）

证明；如果方阵不可逆，有非零解，进行初等变换后有个主列的对角线上有0，而的行列式为主元的乘积，所以的行列式为0。

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结第一章行列式 (一)要点 1、二阶、三阶行列式 2、全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理），n 阶行列式的定义 3、行列式的性质 4、n 阶行列式ij a D =，元素ij a 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、克莱姆法则（二）基本要求 1、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法：归化为上三角或下三角行列式，各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式，利用展开式计算 6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件第二章矩阵（一）要点 1、矩阵的概念 n m ?矩阵n m ij a A ?=)(是一个矩阵表。当n m =时，称A 为n 阶矩阵，此时由A 的元素按原来排列的形式构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记为A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法（1）矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A 与B 相乘，有BA AB =,则称矩阵A 与B 可换。注：矩阵乘积不一定符合交换（2）方阵的幂：对于n 阶矩阵A 及自然数k ，规定I A =0 ,其中I 为单位阵 .

(3) 设多项式函数k k k k a a a a ++++=--λλλλ?1110)( ，A 为方阵，矩阵A 的多项式I a A a A a A a A k k k k ++++=--1110)( ?,其中I 为单位阵。（4）n 阶矩阵A 和B ，则B A AB =. （5）n 阶矩阵A ，则A A n λλ= 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵（若矩阵A 可逆，则其逆矩阵是唯一的）；矩阵A 的伴随矩阵记为*A ，矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵A 可逆的又一充分必要条件：A 可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k 阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价（二）要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法（1）在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。（2）特殊分法的分块矩阵的乘法，例如n m A ?，l n B ?，将矩阵B 分块为 ) (21l b b b B =，其中j b （l j 2, ,1=）是矩阵B 的第j 列，则又如将n 阶矩阵P 分块为) (21n p p p P =，其中j p （n j 2, ,1=）是矩阵P 的第j 列. （3）设对角分块矩阵

线性代数知识点归纳

线性代数复习要点第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1

⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结第一章行列式（一）要点 1、二阶、三阶行列式 2、全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理），n 阶行列式的定义 3、行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、克莱姆法则（二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法：归化为上三角或下三角行列式，各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式，利用展开式计算 6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件第二章矩阵（一）要点 1、矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '

3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩

(精选)线性代数-考研笔记

第一章行列式性质1 行列式与它的转置行列式相等。性质2互换行列式的两行（列），行列式变号。推论如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。性质3行列式的某一行（列）中所以的元素都乘以同一个数，等于用数乘以此行列式。第行（或者列）乘以，记作(或)。推论行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。第行（或者列）提出公因子，记作(或)。性质4行列式中如果两行（列）元素成比例，此行列式等于零。性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第列的元素都是两数之和，则等于下列两个行列式之和： = 性质 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。定义在阶行列式，把元所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元的余子式，记作；记，叫做元的代数余子式。引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除元外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即定理3 (行列式按行按列展开法则) 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即或推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。范德蒙德行列式克拉默法则

①

如果线性方程组①的系数行列式不等于零，即，那么，方程组①有唯一解其中是把系数行列式矩阵中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即定理4 如果非齐次线性方程组的系数行列式，则非齐次线性方程组一定有解，且解是唯一的。定理如果非齐次线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式定理如果，则它的系数行列式必为零第二章矩阵级其运算定义1 由个数排成的行列的数表，称为行列矩阵；以数为元的矩阵可简记作或矩阵也记作。行数和列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵。阶矩阵也记作。特殊定义：两个矩阵的行数相等，列数也相等时，就称它们是同型矩阵同型矩阵和的每一个元素都相等，就称两个矩阵相等，；元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作；注意不同型的零矩阵是不同的。特殊矩阵阶单位矩阵，简称单位阵。特征：主对角线上的元素为，其他元素为；对角矩阵，特征：不在对角线上的元素都是0，记作

线性代数知识点归纳,超详细

线性代数复习要点第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式：证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则，其中注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.

线性代数知识点全归纳

线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；

线性代数笔记

线性代数笔记第一章行列式 (1) 第二章矩阵 (2) 第三章向量空间 (8) 第四章线性方程组 (11) 第五章特征值与特征向量...................................... 错误!未定义书签。第一章行列式 1.3。1 行列式的性质给定行列式，将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为或。性质1 转置的行列式与原行列式相等。即 (这个性质表明：行列式对行成立的性质,对列也成立，反之亦然）性质2 用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。推论1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。推论2 若行列式中某一行（列）的元素全为零,则行列式的值为0。可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。性质3行列式的两行(列)互换，行列式的值改变符号。以二阶为例推论3 若行列式某两行(列)，完全相同，则行列式的值为零. 性质4 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。性质5 若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和,则行列式可分解为两个行列式的和，注意性质中是指某一行（列）而不是每一行。性质 6 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以加到另一行（列)，所得的行列式的值不变。范德蒙德行列式例10 范德蒙行列式…… . =(x2-x1)（x3—x1)(x3—x2）

1。4 克莱姆法则定理1.4.1 对于n阶行列式定理1.4。2 如果n个未知数，n个方程的线性方程组的系数行列式D≠0，则方程组有惟一的解: 定理1.4。3 如果n个未知数n个方程的齐次方程组的系数行列式D≠0，则该方程组只有零解，没有非零解. 推论如果齐次方程组有非零解,则必有系数行列式D=0. 第二章矩阵一、矩阵的运算 1、矩阵的加法设A=(a ij)m×n，B=(b ij)m×n，则 A+B=（a ij+b ij）m×n 矩阵的加法适合下列运算规则：（1）交换律：A+B=B+A （2）结合律：(A+B）+C=A+（B+C) （3）A+0=0+A=A

线性代数知识点总结汇总

线性代数知识点总结 1 行列式（一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。（6）两行成比例，行列式的值为0。（二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式

数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开 9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解

（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵（一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条）（1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条）（1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A

最全线性代数公式笔记

线性代数公式必记 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；

《线性代数》知识点归纳整理

《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 12 -

线性代数知识点总结

《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：基本知识一、行列式 1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4．逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）

线性代数复习笔记整理--精

线性代数复习整理 1. 设 A 为m ×n 矩阵， B 为n ×m 矩阵，m ≠n ，则下列矩阵中为n 阶矩阵的是（ B ） A. T T A B B. T T B A C. ABA D. BAB 解：由A 为m ×n 矩阵，B 为n ×m 矩阵得：T A 为n ×m ，T B 为m ×n 则T T A B 为m ×m 矩阵；T T B A 为n ×n 矩阵； AB 为m ×m 矩阵，ABA 为m ×n 矩阵； BA 为n ×n 矩阵，BAB 为n ×m 矩阵 2. 设 A 为n 阶方阵，n ≥2则A 5-=A n )5(- 由公式 A k kA n =得答案 3. ??? ? ??=4321A ，则* A = -2 解： 213241)1(3)1(2 )1(4)1(22211211221221 11* -=--=?-?-?-?-== ++++A A A A A 4. 设 b Ax =有无穷多解，则0=Ax ，那么必有无穷多解解：由 b Ax =有无穷多解得n B r A r <=)()(，故0=Ax 有无穷解若1)()(+==n B r A r ，则b Ax =无解，若n B r A r ==)()(则b Ax =只有唯一解 5. 有m 个n 维向量，若m>n ，则该m 个向量( D )成立 6. 设 B A ?均可逆方矩，则11)(--?B A =A B ?-1 7. A 为m ×n 矩阵，则有（ D ） 8. AB=BA ，AC=CA ，那么ABC=BCA 解：ABC=BAC=BCA 9. ???? ??=4321A ，???? ??=1011P ，则T AP =??? ? ??4723 解： ??? ? ??=???? ???+??+??+??+?=???? ?????? ??=4723140314131201121111014321T AP 10. 设 ??? ? ? ? ?=54 332 221t A ，若齐次方程组0=Ax 有非0解，则t= 2 解：??? ? ? ??---??→?????? ??----?? →?????? ??=---120020221 1201402215433222132131232t t t A r r r r r r ∵齐次方程组 0=Ax 有非0解，必有3)(