3-4洛必达法则课件
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高等数学课件同济版第二节洛必达法则
,
汇报人：
目录
洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
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洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
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法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
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洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
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汇报人：
目录
洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
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洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
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法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
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洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
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药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片
3
例2-29 求 lim sin x
解
x0 x
(0) 0
lim
x0
sin x
x
lim
x0
(sin x) ( x)
lim
x0
cos 1
x
cos 0
1
注意：在求极限过程中，洛必达法则可多次使用， 但每次使用必须验证是否满足洛必达法则中的条件。
1 cos x
例2-30 求 lim x0
0
例2-31 求 lim x ln x (0)
解
x0
1
lim x ln x lim ln x lim x lim(x) 0
x0
1 x0
1 x0
x0
x
x2
注意：此题若变形为
x 1
，则转化成 0 型 0
ln x
但
x ( 1 ) ln x
1 1 x(ln
解
3x2
lim1 cos x x0 3x2
lim sin x x0 6x
lim cos x x0 6
1 6
0 , , 00,1 , 0 型未定式解法
方法：把它们转化成 0 或 型后，再用洛必达法
则求极限。
0
0 型
方法 0 1 , 或 0 0 1 .
则中条件（1）、（2），且 f (x)=2e2x, g (x)=3 。
由于 lim f (x) lim 2e2x 2 x0 g(x) x0 3 3
所以，根据洛必达法则，
lim e2x 1 lim f (x) lim 2e2x 2
x0 3x
《洛必达法则》课件
简化求导后的表达式，得出所 求的极限值。Байду номын сангаас
洛必达法则的证明过程
01 利用导数的定义和性质，证明洛必达法则在一定 条件下成立。
02
通过反证法，证明洛必达法则的正确性。
03 利用数学归纳法，证明洛必达法则在更广泛的情 况下成立。
03
洛必达法则的实例解析
洛必达法则在极限计算中的应用
总结词
洛必达法则是计算极限的重要工具，尤其在处理复杂函数或不定式时，通过求导简化计 算过程，得到极限值。
洛必达法则与其他方法的比较
01
02
03
与其他求极限的方法相 比，洛必达法则是比较
直接和简便的。
对于一些特殊问题，其 他方法可能更加适用， 例如泰勒级数、等价无
穷小等。
在使用洛必达法则时， 需要注意与其他方法的 结合使用，以便更好地
解决问题。
05
洛必达法则的习题与解 析
基础题目解析
总结词
掌握洛必达法则的基本应用
洛必达法则的推导过程
导数的定义和性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有连续性、可加性、可乘性和 链式法则等性质。
洛必达法则的推导步骤
确定函数在所求点处的导数是 否存在。
对函数进行变形，使其满足洛 必达法则的形式。
利用导数的性质和极限的运算 法则，对分子和分母分别求导 。
详细描述
通过解析基础题目，了解洛必达法则的基本形式和适用条件，掌握如何利用洛 必达法则求解简单函数的极限。
进阶题目解析
总结词
提升对复杂函数极限的求解能力
详细描述
解析进阶题目，学会处理含有参数、复合函数、幂指函数等复杂情况的极限问题，进一步掌握洛必达法则的应用 技巧。
洛必达法则的证明过程
01 利用导数的定义和性质，证明洛必达法则在一定 条件下成立。
02
通过反证法，证明洛必达法则的正确性。
03 利用数学归纳法，证明洛必达法则在更广泛的情 况下成立。
03
洛必达法则的实例解析
洛必达法则在极限计算中的应用
总结词
洛必达法则是计算极限的重要工具，尤其在处理复杂函数或不定式时，通过求导简化计 算过程，得到极限值。
洛必达法则与其他方法的比较
01
02
03
与其他求极限的方法相 比，洛必达法则是比较
直接和简便的。
对于一些特殊问题，其 他方法可能更加适用， 例如泰勒级数、等价无
穷小等。
在使用洛必达法则时， 需要注意与其他方法的 结合使用，以便更好地
解决问题。
05
洛必达法则的习题与解 析
基础题目解析
总结词
掌握洛必达法则的基本应用
洛必达法则的推导过程
导数的定义和性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有连续性、可加性、可乘性和 链式法则等性质。
洛必达法则的推导步骤
确定函数在所求点处的导数是 否存在。
对函数进行变形，使其满足洛 必达法则的形式。
利用导数的性质和极限的运算 法则，对分子和分母分别求导 。
详细描述
通过解析基础题目，了解洛必达法则的基本形式和适用条件，掌握如何利用洛 必达法则求解简单函数的极限。
进阶题目解析
总结词
提升对复杂函数极限的求解能力
详细描述
解析进阶题目，学会处理含有参数、复合函数、幂指函数等复杂情况的极限问题，进一步掌握洛必达法则的应用 技巧。
《洛必达法则》课件
1
市场调研
通过市场调研了解消费者需求和竞争情况，指导产品开发。
2
产品创新
不断创新产品设计和功能，满足消费者的不进行用户测试，改进产品的易用性和用户体验。
洛必达法则在客户服务中的应用
响应及时
及时回复客户的咨询和问题， 提供高质量的客户服务。
个性化服务
针对客户的具体需求提供个 性化的解决方案和服务。
洛必达法则的创新思考与实践应用
我们将对洛必达法则进行创新思考，探索新的应用方式和方法。通过实践案例，我们将展示洛必达法则在不同 领域的实际应用效果。
洛必达法则的理论探讨与实践创新
在本节中，我们将对洛必达法则进行理论探讨，深入剖析其背后的原理和机制。同时，我们还将展示洛必达法 则在实践创新中的应用效果。
引起兴趣
激发消费者兴趣，吸引他们进一步了解和试用产 品。
可达性
确保消费者能够方便地获取产品或品牌的信息和 服务。
激发欲望
通过刺激消费者的购买欲望，促使他们做出购买 决策。
洛必达法则在品牌营销中的应用
品牌定位
品牌忠诚度
通过塑造独特的品牌形象和个性， 赢得消费者的认可和忠诚。
建立稳固的品牌客群，促使他们 持续购买和推荐品牌。
品牌知名度
通过广告、宣传和社交媒体等手 段，提升品牌在消费者心中的知 名度。
洛必达法则在销售管理中的应用
1 销售渠道优化
确保产品能够通过各种渠道方便地销售给消费者。
2 销售提成激励
通过奖励制度激励销售人员推动产品销售。
3 销售数据分析
利用销售数据分析工具和方法，找出销售瓶颈并提升销售绩效。
洛必达法则在产品开发中的应用
洛必达法则的评价与未来发展 趋势
洛必达法则课件-2025届高三数学一轮复习
2e xe
2
1
1
即当x→0时，g(x)→ ，即有g(x)> ，所以
2
2
0 ≤a ≤
1
.
2
跟踪训练 已知函数f(x)＝2ax3＋x.当x∈(1，＋∞)时，恒有f(x)>x3－a，求
a的取值范围.
当x∈(1，＋∞)时，f(x)>x3－a恒成立，
即2ax3＋x>x3－a恒成立，
即a(2x3＋1)>x3－x恒成立，
综上，实数a的取值范围是(－∞，0].
3 设函数 ( ) = 1 −
−
,设当x ≥ 0时， ( )≤
，则a的取值范围为
+1
【分析】当a<0时显然不成立；当a≥0时，若x=0，则a∈R，
若x>0，原不等式等价于
，利用导数可得
xe x e x 1
a
xe x x
xe x e x 1
0
x
0
x
x
1
e x e x 2
则 lim
x 0 1 cos x
2
注意：
1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，
洛必达法则也成立.
0 ∞
∞
2.洛必达法则可处理0， ，0·∞，1 ，∞0,00，∞－∞型求极限问题.
∞
0 ∞
∞
3.在着手求极限前，首先要检查是否满足0， ，0·∞，1 ，∞0,00，∞－∞
从而 g(x)＝ x 在(0，＋∞)上单调递增，
ex－1
所以 a≤lim x .
x→0
ex－1
ex
由洛必达法则得lim g(x)＝lim x ＝lim 1 ＝1，
2
1
1
即当x→0时，g(x)→ ，即有g(x)> ，所以
2
2
0 ≤a ≤
1
.
2
跟踪训练 已知函数f(x)＝2ax3＋x.当x∈(1，＋∞)时，恒有f(x)>x3－a，求
a的取值范围.
当x∈(1，＋∞)时，f(x)>x3－a恒成立，
即2ax3＋x>x3－a恒成立，
即a(2x3＋1)>x3－x恒成立，
综上，实数a的取值范围是(－∞，0].
3 设函数 ( ) = 1 −
−
,设当x ≥ 0时， ( )≤
，则a的取值范围为
+1
【分析】当a<0时显然不成立；当a≥0时，若x=0，则a∈R，
若x>0，原不等式等价于
，利用导数可得
xe x e x 1
a
xe x x
xe x e x 1
0
x
0
x
x
1
e x e x 2
则 lim
x 0 1 cos x
2
注意：
1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，
洛必达法则也成立.
0 ∞
∞
2.洛必达法则可处理0， ，0·∞，1 ，∞0,00，∞－∞型求极限问题.
∞
0 ∞
∞
3.在着手求极限前，首先要检查是否满足0， ，0·∞，1 ，∞0,00，∞－∞
从而 g(x)＝ x 在(0，＋∞)上单调递增，
ex－1
所以 a≤lim x .
x→0
ex－1
ex
由洛必达法则得lim g(x)＝lim x ＝lim 1 ＝1，
高中数学(人教版)洛必达法则课件
第二讲 洛必达法则
洛必达法则一、洛必达法则来自二、其它未定型的处理 三、理论应用
洛必达法则
一、洛必达法则
二、其它未定型的处理 三、理论应用
一、洛必达法则
0 情形下的洛必达法则 0
xa xa
情形下的洛必达法则
xa xa
若 (1) lim f ( x ) lim F ( x ) 0 (2) 在点a的某去心邻域内,
例2 lim ln x x 1 x 1
例4
x 0
1 x 1 lim
x 0
x
lim
sin x
1 arctan 2 x
例5
x 0
lim
sin x
1 arctan 2 x
例6
x
lim 2
arctan x 1 x
ln x 例7 lim n x x
若 (1) lim f ( x ) lim F ( x ) (2) 当 | x | N 时, f ( x ), F ( x )
存在， F ( x ) 0
f ( x ) f ( x) 则 lim lim xa F ( x ) x a F ( x )
f ( x ), F ( x ) 存在， F ( x ) 0 ( x ) f (3) lim 存在(或为 ) x a F ( x )
且
f ( x ) 存在(或为 ) x a F ( x ) ( x ) f ( x ) f 则 lim lim xa F ( x ) x a F ( x )
(3) lim
且
注 在相应的条件下,对其它过程也成立
一、洛必达法则
应用举例
洛必达法则一、洛必达法则来自二、其它未定型的处理 三、理论应用
洛必达法则
一、洛必达法则
二、其它未定型的处理 三、理论应用
一、洛必达法则
0 情形下的洛必达法则 0
xa xa
情形下的洛必达法则
xa xa
若 (1) lim f ( x ) lim F ( x ) 0 (2) 在点a的某去心邻域内,
例2 lim ln x x 1 x 1
例4
x 0
1 x 1 lim
x 0
x
lim
sin x
1 arctan 2 x
例5
x 0
lim
sin x
1 arctan 2 x
例6
x
lim 2
arctan x 1 x
ln x 例7 lim n x x
若 (1) lim f ( x ) lim F ( x ) (2) 当 | x | N 时, f ( x ), F ( x )
存在， F ( x ) 0
f ( x ) f ( x) 则 lim lim xa F ( x ) x a F ( x )
f ( x ), F ( x ) 存在， F ( x ) 0 ( x ) f (3) lim 存在(或为 ) x a F ( x )
且
f ( x ) 存在(或为 ) x a F ( x ) ( x ) f ( x ) f 则 lim lim xa F ( x ) x a F ( x )
(3) lim
且
注 在相应的条件下,对其它过程也成立
一、洛必达法则
应用举例
经典洛必达法则-PPT课件
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
k k e f ( ) e kf ( ) 0
cos x 0 .( ) 例 求 lim 0 x 2 x 2 sin x (cosx) 解 原式 lim lim sin 1. 1 x 2 x 2 ) 2 (x 2
cos x 1 x 0 例求 lim .( ) 3 x 0 0 x 1 s in x 21 x 解 原式 lim . 2 x 0 3 x
例
3 x 3 x 2 求 lim . 3 2 x 1x x x 1
0 ( ) 0
解：
正解：
×
注意: 不是未定式不能用L’Hospital法则 !
2、 型未定式解法：
定理3：设
(1) 定理 3 对其他极限过程也是成 立的。
f ( x ) ( 2 ) 当 lim 不存在也不为 时，应改用他 F ( x )
f( x x ) sin x 0
F ( x ) f ( x ) sin x
验证 F ( x ) 在 [0,] 上满足Rolle定理条件.
3.
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
f ( x ) f ( x ) ( 或 f ( x ) f ( x )), 0 0 ( x ) 0 . 那么 f 0
课件洛必达法则
洛必达法则
定义 若当 x a (或 x)时,两个函数 f (x)与
g(x)都趋于零或都趋于无穷大, 则极限 lim f ( x )
xa g( x)
称为 0 0
或
型未定式.
( x )
例如,
lxim0 sinx
x(
0 0
);
lxim0 1xc2os(
0 0
);
lxim0 llnnssiinnbaxx(
均为当 x 时的无穷大, 但它们增大的速度很不
一样, 其增大速度比较:
对数函数<<幂函数<<指数函数. 完
例8 求 lx i0m ta32n xxlsn1i(n xx). 解 当 x0时, taxn ~x,ln 1( x )~x ,所以
lx i0m ta32nxxlsn1i(n xx)lx i0m 3xxs3 inx lx i0m 333xc2oxs lim3sin3x 9 . x0 2x 2
xa g(x) xa g'(x)
(x)
(x)
我们把这种在一定条件下 通过对分子分母分别求
导再求极限来确定未定式的值的方法 称为洛必达
法则.
完
例1 求 lx i0m sixknx (k0).0 0 解 原式 lxim 0(s(ixnk)x)
lxim 0kc1oks x k.
注:洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但
若能与其它求极限的方法结合使用, 效果会更好. 例 如, 能化简时应尽可能先化简,
例8 求 lx i0m ta32n xxlsn1i(n xx). 解 当 x0时, taxn ~x,ln 1( x )~x ,所以
lx i0m ta32nxxlsn1i(n xx)
定义 若当 x a (或 x)时,两个函数 f (x)与
g(x)都趋于零或都趋于无穷大, 则极限 lim f ( x )
xa g( x)
称为 0 0
或
型未定式.
( x )
例如,
lxim0 sinx
x(
0 0
);
lxim0 1xc2os(
0 0
);
lxim0 llnnssiinnbaxx(
均为当 x 时的无穷大, 但它们增大的速度很不
一样, 其增大速度比较:
对数函数<<幂函数<<指数函数. 完
例8 求 lx i0m ta32n xxlsn1i(n xx). 解 当 x0时, taxn ~x,ln 1( x )~x ,所以
lx i0m ta32nxxlsn1i(n xx)lx i0m 3xxs3 inx lx i0m 333xc2oxs lim3sin3x 9 . x0 2x 2
xa g(x) xa g'(x)
(x)
(x)
我们把这种在一定条件下 通过对分子分母分别求
导再求极限来确定未定式的值的方法 称为洛必达
法则.
完
例1 求 lx i0m sixknx (k0).0 0 解 原式 lxim 0(s(ixnk)x)
lxim 0kc1oks x k.
注:洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但
若能与其它求极限的方法结合使用, 效果会更好. 例 如, 能化简时应尽可能先化简,
例8 求 lx i0m ta32n xxlsn1i(n xx). 解 当 x0时, taxn ~x,ln 1( x )~x ,所以
lx i0m ta32nxxlsn1i(n xx)
经济数学课件4.3洛必达法则
则有 : lim f (x) lim f (x) A(有限或无穷) xX g(x) xX g(x)
3.其他类型不定式极限
（1）类型： 0 • ,1,00, 0,
（2）处理：0
•
1
•
或0
•
1 0
,
1 0
1 0
0 0
其他类型先取对数 ln1,0ln 0,0ln • 0,0 • ,
注意： 1、可以连续多次使用法则，直到极限确定为止 2 、结论仅为一充分性结论，没有必要性
1
例1
ln(1 (1) lim
x0 x
x)
lim 1 x x0 1
1
(2) lim
x
c os x
x
lim
x
sin x 1
1
22
2
(3) lim sin
x0
x tan x x3
lim
x0
cos
x sec2 3x2
x
lim
x0
cos2 x cos 3cos2 x
x
1
cosx x2
1
lim
x0
lim
x0
sin 2
x
0
4 、 使用法则应使后者比前者简单，否则失去意义，即
lim f (x) 应该比 lim f (x) 的计算简单 ,如:
x X g(x)
xX g(x)
lim
e
1 x2
lim
2 x3
e
1 x2
lim
e
1 x2
x0 x4 x0 4x3
x0 2x6
右边的计算比左边更复杂，因此上述处理没有意义
§4.3 洛必达法则
C3-4柯西定理与洛必达法则
上面两式相比即得结论.
两个 不 一定相同!
错!
注意：(1)在柯西定理中，f ( )、F ( )是在
同一点 处 f ( x )、F x）的导数值； （
(2)若F ( x) x，柯西定理即拉格朗日定理.
6
二、洛必达(L’Hospital) 法则
1.不定式的定义
定义 如果当 x x0 (或 x ) 时，两个函数
( )
7
0 2. 型不定式的洛必达法则 0
定理 设
(1) lim f ( x ) lim F ( x ) 0;
x x0 x x0
(2) 在 x0 点的某空心邻域内, f ( x )及 F ( x ) 都存在 且 F ( x ) 0; f ( x ) (3) lim A ( A可为有限常数也可为无穷大); x x0 F ( x ) f ( x) f ( x ) 那末 lim lim A. x x0 F ( x ) x x 0 F ( x )
第四节 柯西定理与洛必达法则
一、柯西(Cauchy) 定理 二、洛必达（L’Hospital）法则 三、小结
1
一、柯西(Cauchy) 定理
如果函数f ( x )及F ( x )满足:
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续; (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导;
则至少有一点 (a , b) , 使等式
4
证: 作辅助函数
f (b) f (a ) ( x ) f ( x ) f (a ) F ( x ) F (a ) F (b) F (a )
则 ( x) 在[a, b] 上连续 , 在 (a, b)内可导, 且
(a ) (b) 0, 由罗尔定理知,
两个 不 一定相同!
错!
注意：(1)在柯西定理中，f ( )、F ( )是在
同一点 处 f ( x )、F x）的导数值； （
(2)若F ( x) x，柯西定理即拉格朗日定理.
6
二、洛必达(L’Hospital) 法则
1.不定式的定义
定义 如果当 x x0 (或 x ) 时，两个函数
( )
7
0 2. 型不定式的洛必达法则 0
定理 设
(1) lim f ( x ) lim F ( x ) 0;
x x0 x x0
(2) 在 x0 点的某空心邻域内, f ( x )及 F ( x ) 都存在 且 F ( x ) 0; f ( x ) (3) lim A ( A可为有限常数也可为无穷大); x x0 F ( x ) f ( x) f ( x ) 那末 lim lim A. x x0 F ( x ) x x 0 F ( x )
第四节 柯西定理与洛必达法则
一、柯西(Cauchy) 定理 二、洛必达（L’Hospital）法则 三、小结
1
一、柯西(Cauchy) 定理
如果函数f ( x )及F ( x )满足:
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续; (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导;
则至少有一点 (a , b) , 使等式
4
证: 作辅助函数
f (b) f (a ) ( x ) f ( x ) f (a ) F ( x ) F (a ) F (b) F (a )
则 ( x) 在[a, b] 上连续 , 在 (a, b)内可导, 且
(a ) (b) 0, 由罗尔定理知,
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任取点x, a x a (不妨设x a).
f ( x), F ( x)满足 1) 在[a, x]上连续; 2)在(a, x)内可导,且F ( x) 0.
(2) f ( x), F ( x)在点a 的邻域内可导(点 a 处除外),
且 F( x) 0;
5
洛必达法则
1 3
26
x2 sin 1
例 lim
x.
x0 sin x
0型 0
解: 注意到 ～
原式
lim
x0
sin x
x
x
sin
1 x
1 0
0
27
例
1
6
分析:
原式
lim
x0
cos
x x
(x sin 2
sin x
x)
lim
x0
x
sin x3
x
sin x ～ x
lim cos x 1
xa
若f
0 ( x),
F
(
x)在点a连续,
则由条件(1),
必有 f (a) F(a) 0.
若f ( x), F ( x)在点a不连续,由于lim f ( x) 0, xa
lim F ( x) 0,可补充定义 f (a) F (a) 0.
xa
使f ( x), F ( x)在x a点连续.
14
洛必达法则
用法则求极限有两方面的局限性
其一, 当导数比的极限不存在时,不能断定函数
比的极限不存在, 这时不能使用洛必达法则.
例 求 lim x cos x ( )
x
x
解 原式 lim 1 sin x lim(1 sin x).
x 1
x
洛必达法则失效.
极限不存在
x
1 x
1 x2 lim
x x
1 x2
其实: lim 1 x2 1.
x x
杜波塔托夫的一个著名例子.
17
洛必达法则
二、0 , 型未定式
关键 将其它类型未定式化为洛必达法则可
解决的类型
0 ,
.
0
1. 0 型
步骤: 0 1
原式 lim(1 1 cos x) 1.
x
x
16
洛必达法则
用法则求极限有两方面的局限性
其二 可能永远得不到结果!
分子，分母有单项无理式时,不能简化.
如 lim x
1 x2 x
( ) lim 2
x
2x 1 x2 1
lim x ( ) lim
x 1 x2
洛必达 (L‘Hospital) 法国数学家 (1661-1705)
第四节 洛必达法则
0 型, 型未定式 0
0 , 型未定式 00 ,1 , 0型未定式
小结 思考题 作业
1
第三章 微分中值定理与导数的应用
洛必达法则
定义 如果当 x a (或x )时, 两个函数
f (x)与F(x)都趋于零或趋于无穷大, 那末极限
法则来求.
2
洛必达法则
这一节介绍一个求未定式极限的有效方法,
此方法的关键是将 lim f ( x) 的计算问题转化为
xa F( x)
( x)
lim
xa
f ( F (
x) x)
的计算.
其基本思想是由微积分著名
( x)
先驱, 17世纪的法国数学家洛必达 (L‘Hospital)
提出的, 后人对他的思想作了推广, 从而产生了简
原式
lim
x0
ex
sin x2
x
1
(
0 0
)
lim e x cos x ( 0 )
x0 2x
0
lim e x sin x 1 .
x0
2
2
12
洛必达法则
例 求 lim tan x . ( ) x tan 3 x
2
解 原式 lim sin x cos3x x cos x sin 3x
x0 2x
0
lim e x sin x 1 .
x0
2
2
25
例
lim
x0
tan x x x2 sin x
.
0型 0
解: 注意到 ～
原式
lim
x0
tan x x3
x
lim
x0
sec2 x 3x2
1
lim
x0
tan 2 3x2
x
sec2 x 1 tan2 x
2
lim cos3x ( 0 )
x cos x 0 2
lim 3sin 3x 3.
x sin x 2
13
洛必达法则
例
ln x
lim
x
xn
(n : 正整数)
1
()
解
原式
lim
x
x nxn1
1
lim
x
nxn
0
注 n换成 0,极限式子仍成立.
步骤: 0
练习
求
lim(
x1
2 x2
1
1 ). x 1
()
解
原式
2 x 1
lim
x1
x2 1
(
0 0
)
lim
x1
1 2x
1. 2
21
洛必达法则
三、00 ,1 ,0型未定式
步骤: 00 e0ln0 0
1 eln1 0
1
lim
x
2e2 x
0
lim ln x
ex1 1 x
1
e lim x1
x 1
e
1
( 1 )
24
洛必达法则
杂例
例
求
lim
x0
e x sin x 1 (arcsin x)2
.(0 0来自)解 arcsin x ~ x ( x 0)
原式
lim
x0
ex
sin x2
x
1
(
0 0
)
lim e x cos x ( 0 )
0 e0ln 0
例 求 lim x x . ( 00 ) x0
解
原式
lim
x0
e xlnx
e
lim
x0
x lnx (0 )
1
e e lim x0
ln x 1
(
)
x
lim x
x0 1 x2
e0
1.
22
洛必达法则
1
例 求 lim (cot x)lnx ( 0 )
0
0 或 ,则可一直用下去;
0
(2) 在用法则之前,式子是否能先化简; (3) 每用完一次法则,要将式子整理化简; (4) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限 的其它性质结合使用.
11
洛必达法则
例
求
lim
x0
e x sin x 1 (arcsin x)2
.
(
0 0
)
解 arcsin x ~ x ( x 0)
(3) lim f ( x) A(或); xa F ( x)
则 lim f ( x) lim f ( x) A (或). xa F ( x) xa F ( x)
4
洛必达法则
(1) lim f ( x) 0, lim F ( x) 0;
证 (仅对 0 型给出证明) xa
lim f ( x) 称为0 或 型未定式.
xa F( x)
( x)
0
如, lim tan x ( 0 )
x0 x 0
lim ln sin ax( ) x0 ln sin bx
未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的
结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 不能确定.
在第一章中看到, 两个无穷小之商或两个 无穷大之商, 其极限都不能直接利用极限运算
x0
e 1 ln(cot x)
解 原式 lim e ln x x0
lim ln(cot x) ( )
x0 ln x
11 lim cot x sin2 x
x0
e
1 x
e1.
23
洛必达法则
1
例 求 lim x1x x1
1 ln x
解 原式 lim e1x x1
解
原式
lim 2
x
arctan x 1
(
0 0
)
x
lim
x
1
1 x
2
1 x2
x2
lim x 1
x2
1
19
洛必达法则
2. 型
通分 0
步骤: 0
例 求 lim( 1 1 ). ( )
x0 sin x x
(2)当 x N时, f ( x)和F( x)可导,且F( x) 0;
(3) lim f ( x) A (或为); x F ( x)