专题一 第一讲 集合与简易逻辑
第01讲第一章集合与简易逻辑集合的概念与运算课件新人教A版课件
新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj /w xc/ 特级教师 王新敞
w xckt@
6.描述法及两种表述形式：把集合中的元素的公
共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方 法. ①数式形式 如由不等式x-3＞2的所有解组成的集合，
可表示为 {x│x-3＞2}；
w xckt@
例6 已知A＝{x∈R|x2＋ax＋1＝0}，B＝{1，2}，且 A B，求实数a的取值范围.
解：由已知，得：A ，或{1}，或{2}.
若A ， a 2 4 0, 2 a 2.
若A
{1}，
12
a
2
a 1 40
10.全集定义：如果集合S含有我们所要研究的各 个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全 集，记作U.
1/2/2020
湖北省随州市第二中学 操厚亮
8
新疆 王新敞
奎屯
二名、称 知识点归纳交集新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj /w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@
已知: （1）(CUA)∩(CUB)＝{4，6，8}； （2）(CUA)∩B＝{1，9}；（3）A∩B＝{2}.求A、B.
解：∵(CUA)∩(CUB)＝{4，6，8}
∴ CU(A∪B)＝ {4，6，8}
∴A∪B＝{1，2，3，5，7，9}
UB
1,9
2
A
3,5,7
4，6，8
∴B＝ [(CUA)∩B]∪（A∩B）＝{1，2，9}
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，则 记作A B（B A）
8.真子集的定义：如果A B，并且 A ≠B，则 集合A是集合B的真子集.
第一章 集合与简易逻辑
第一章集合与简易逻辑在数学的广袤世界里，集合与简易逻辑就像是构建知识大厦的基石，看似简单，却蕴含着深刻的思想和广泛的应用。
让我们一同踏上探索这一领域的旅程，揭开它们神秘的面纱。
首先，我们来聊聊集合。
集合是什么呢？简单来说，集合就是把一些具有特定性质的对象放在一起组成的整体。
比如说，咱们班所有同学就可以组成一个集合，操场上所有的篮球也能构成一个集合。
集合通常用大写字母来表示，比如A、B、C 等等。
集合中的元素，也就是组成集合的那些对象，用小写字母表示。
如果一个元素 x 属于某个集合 A，我们就记作 x ∈ A；要是不属于，那就是 x ∉ A。
集合的表示方法有好几种。
列举法大家应该很好理解，就是把集合中的元素一个一个地列出来，像｛1，2，3，4，5｝这样。
描述法呢，就是通过描述元素所具有的特征来表示集合，比如｛x ｜ x 是小于 10的正整数｝。
集合之间还有各种各样的关系。
两个集合相等，意味着它们包含的元素完全相同。
子集呢，就是一个集合中的所有元素都在另一个集合里。
比如说集合 A ＝｛1，2，3｝，集合 B ＝｛1，2，3，4，5｝，那 A 就是 B 的子集。
真子集就是除了自身以外的子集。
集合的运算也很重要。
并集，就是把两个集合中的所有元素合在一起组成的新集合。
比如 A ＝｛1，2，3｝，B ＝｛3，4，5｝，A 并 B就是｛1，2，3，4，5｝。
交集呢，是两个集合中共同拥有的元素组成的集合，A 交 B 就是｛3｝。
补集则是在一个给定的全集 U 中，某个集合 A 的补集就是 U 中不属于 A 的元素组成的集合。
说完了集合，咱们再来说说简易逻辑。
逻辑在我们的日常生活和数学推理中都扮演着重要的角色。
命题是简易逻辑的核心概念之一。
命题就是能够判断真假的陈述句。
比如“今天是晴天”，这能判断真假，就是个命题；但像“这个苹果真好吃”，这就不是命题，因为好不好吃因人而异，没法明确判断真假。
命题又分为真命题和假命题。
第一讲 集合与简易逻辑(教师版)
原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互否互第一讲 集合与简易逻辑【考情分析】 由于集合与简易逻辑是高中必修一和选修二中比较基础的知识，所以考试的难度不会太大。
一般情况，集合与简易逻辑这一块都是各考一个选择题或者填空题，因而只需考生做题时细心即可。
【知识清单】 一、集合的概念1.定义：某些指定的研究对象集在一起就成为一个集合，其中这些指定的研究对象称为元素。
2.性质：确定性、无序性、互异性。
3.空集φ：集合里不含有任何元素的集合。
4.分类（按元素的个数）：有限集和无限集。
二、关系1.元素与集合的关系：属于“∈”和不属于“∉” ；2.集合与集合的关系：包含“⊆”（子集关系），相等“=”，真子集“⊂”与不包含“⊄” ；3.集合运算：交、并、补.{|,}{|}{,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交：且并：或补：且C 4.德摩根公式：()()()U U U A B A B ⋃=⋂痧 ，()()()U U U A B A B ⋂=⋃痧 .三、简易逻辑1.命题：能够判断真假的语句，如32>。
2.命题分类⎧⎨⎩简单命题：不含逻辑连接词的命题；复合命题：由简单命题与逻辑连接词构成的命题。
3. “非”，“且”，“或”（1）“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反； （2）“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真，其他情况时为假； （3）“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况时为真． 4. 四种命题的形式： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ； 逆否命题：若┑q 则┑p 。
5. 如果已知p ⇒q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
若p ⇒q 且q ⇒p,则称p是q 的充要条件，记为p ⇔q.三、例题讲解一、选择题1.（2010浙江理）（1）设P=｛x ︱x <4｝,Q=｛x ︱2x <4｝，则 （A ）p Q ⊆ （B ）Q P ⊆ （C ）R p Q C ⊆ （D ）R Q P C ⊆答案 B 【解析】{}22＜＜x x Q -=，可知B 正确，本题主要考察了集合的基本运算，属容易题2.（2010陕西文）1.集合A ={x －1≤x ≤2}，B ＝｛x x ＜1｝,则A ∩B =（ ）(A){x x ＜1} （B ）{x－1≤x ≤2}(C) {x－1≤x ≤1}(D) {x－1≤x ＜1}答案 D 【解析】本题考查集合的基本运算由交集定义得{x －1≤x ≤2}∩｛xx ＜1｝={x －1≤x ＜1}3.（2010辽宁理）1.已知A ，B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B={3},u ðB ∩A={9},则A= （A ）{1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}答案 D 【命题立意】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于Venn 图解决集合问题的能力。
集合与简易逻辑1.1集合(一)
集合与简易逻辑1.1集合(一)集合与简易逻辑1.1集合(一)集合与简易逻辑1.1集合(一) 第一章集合与简易逻辑2 1.1集合(一)课题§1.1集合(一) 教学目标1、理解集合的概念和性质。
2、了解元素与集合的表示方法。
3、熟记有关数集。
4、培养学生认识事物的能力。
教学重点集合概念、性质教学难点集合概念的理解教学设备投影仪、多媒体一、新课引入在初中数学学习过程中，我们就已经开始接触“集合”。
例如：1、在初中代数里，①、由所有自然数组成的自然数集；所有整数组成的整数集等等；②、对于一元一次不等式2x-1 3来说，所有大于2的实数都是它的解，因此我们称该不等式的解集为x 2，表明这个不等式的解是由所有大于2的数组成的集合；③、大于1小于10的所有偶数。
2．在初中几何里，①、把垂直平分线看作是到线段两端点距离相等的点的集合；②、将角平分线看作是到角的两边距离相等的点的集合；③、把圆看作是到定点的距离等于定长的点的集合。
在生活中，我们也在不知不觉中与“集合”打交道。
例如：①、高一（3）班全体男同学；②、某位同学的所有文具；③、中国的四大发明。
二、进行新课通过以上实例，我们可以归纳出：1、集合的定义（1）集合（集）：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）。
进一步指出：集合的表示：一般用大括号表示集合，{元素，元素，…元素}，那么上几例可表示为……集合还可用一个大写的拉丁字母表示，如：a={1，3，5，7，9} 常见数集的专用符号：非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。
记作n 正整数集：非负整数集内排除0的集。
记作n*或n+ 整数集：全体整数的集合。
记作z 有理数集：全体有理数的集合。
记作q 实数集：全体实数的集合。
记作r 注：①、自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。
②、非负整数集内排除0的集。
记作n*或n+ 。
q、z、r等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成z* 请同学们熟记上述符号及其意义。
01第一章集合与简易逻辑【讲义】
（1）若 x A ( B C ) ，则 x A ，且 x B 或 x C ，所以 x ( A B ) 或 x ( A C ) ，
即 x ( A B ) ( A C ) ；反之， x ( A B ) ( A C ) ，则 x ( A B ) 或 x ( A C ) ，
An I ，且 Ai A j
(1 i , j n,i
这些子集的全集叫 I 的一个 n -划分。
定理 5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。
定理 6 抽屉原理：将 mn 1 个元素放入 n(n 1) 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于
j ) ，则 m1
个元素，也必有一个抽屉放有不多于 m 个元素；将无穷多个元素放入 n 个抽屉必有一个抽
y和 x y 4k 2 ，
2．利用子集的定义证明集合相等，先证 A B ，再证 B A ，则 A=B。
例 2 设 A， B 是两个集合，又设集合 M 满足
A M B M A B, A B M A B ，求集合 M （用 A，B 表示）。 【解】先证 ( A B ) M ，若 x ( A B ) ，因为 A M A B ，所以 x A M , x
乘法原理，子集共有 210 1024 个，非空真子集有 1022 个。
5．配对方法。
例 5 给定集合 I {1,2,3, , n} 的 k 个子集： A1 , A2 , , Ak ，满足任何两个子集的交集非
空，并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求
k 的值。
【解】将 I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得
考虑 a n 3 ，有 an 3 a n 2 或 an 3 a n a3 ，即 a 3 3 ，设 an 3 a n 2 ，则
专题一-集合-与简易逻辑
专题一-集合-与简易逻辑专题一集合与简易逻辑一、考点回顾1、集合的含义及其表示法，子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、集合与其它知识的联系，如一元二次不等式、函数的定义域、值域等；3、逻辑联结词的含义，四种命题之间的转化，了解反证法；4、含全称量词与存在量词的命题的转化，并会判断真假，能写出一个命题的否定；5、充分条件，必要条件及充要条件的意义，能判断两个命题的充要关系；6、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。
二、经典例题剖析考点1、集合的概念1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：例1、下面四个命题正确的是（A）10以内的质数集合是{1，3，5，7} （B）方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2}（C）0与{0}表示同一个集合（D）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}例2、已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，2m}．若B⊆A，则实数m＝．考点2、集合的运算1、交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且x∉A｝，集合U表示全集；2、运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU （A∩B）=（CUA）∪（CUB），CU （A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。
3、学会画Venn图，并会用Venn图来解决问题。
例3、设集合A＝{x|2x＋1＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，则A⋂B等于（）(A){x|－3＜x＜1} (B) {x|1＜x＜2} (C)｛x|x>－3｝(D) ｛x|x<1｝图例4、经统计知，某村有电话的家庭有35家,有农用三轮车的家庭有65家,既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为图( )A. 60B. 70C. 80D. 90例5、（2008广东卷）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}。
第1章+集合与简单逻辑知识点汇总
《人教A版必修一知识点汇总》第1章《集合与常用逻辑用语》知识点汇总1.1 《集合的概念》1.集合的概念一般地，由某些确定的对象组成的整体就称为集合，简称为集.组成这个集合的对象称为这个集合的元素。
注:集合通常用大写字母表示，如A,B,C…元素通常用小写字母表示，如a,b,c…2.集合与元素之间的关系（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a ∈ A,读作“a属于A”;（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A,读作“a不属于A”;3.集合中元素的三种特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了（即x∈A与x∉A必居其一.）（2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同.（3）无序性：集合中的元素是无先后顺序的，即集合里的任何两个元素可以交换位置.4.集合的分类根据集合所含有元素的个数，将集合分为：（1）有限集：含有有限个元素的集合；（2）无限集：含有无限个元素的集合；（3）空集：特别的，把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅.5.常用的数集例如1∈N，−5∈Z,π∉ Q6. 用列举法表示集合当集合中元素的个数为有限个（或无限个但呈现出某种规律）时，可以把集合中所有的元素一一列举出来，中间用逗号隔开，并用大括号“｛｝”把它们括起来，这种表示集合的方法就称为列举法。
例1小于6的所有正整数组成的集合A用列举法可以表示为A=｛1,2,3,4,5｝.7.用描述法表示集合当集合的元素是无穷多个时，我们可以利用元素的特征性质来表示集合，这种表示集合的方法就叫做描述法.注：用描述法表示集合时，在大括号｛｝中画一条竖线（分隔符），竖线的左侧表示的是组成集合的元素，竖线的右侧是元素所具有的特征性质（或元素满足的条件）.解：小于1的所有整数组成的集合A用描述法表示为A=｛x ∣ x＜1,且 x∈Z ｝1.2集合间的基本关系1.子集与包含关系（1）定义像上面这样，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，并称集合A为B的子集．记作：A⊆B(或者B⊇A)，读作：A包含于B（或B包含A）.规定：空集是任何集合的子集，即 ∅⊆A.（2）用Venn图表示集合与集合之间的关系例如集合A=｛1,2,3｝与B=｛1,2,3,4,5｝的关系为A⊆B，用Venn图表示为（3）非子集与不包含关系如果集合A不是集合B的子集，记作A⊈B或B⊉A,读作“A不包含于B“（或B不包含A）.例如：集合C=｛2,3｝，集合D=｛2,4,5｝，则集合C不是集合D的子集，即C⊈D.2.集合与集合相等若集合A和集合B的元素完全相同：即A的每个元素都是B的元素，而B的每个元素也都是A的元素，那么就说A和B相等，记作“A=B”例如A={1，2，3} 与B={3 , 1 , 2}，则A=B.3.真子集与真包含于一般的，若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，则A叫做B的真子集，记作A⫋B(或B⫌A)，读作A真包含于B（或B真包含A）注：空集是任何非空集合的真子集例如A={1，3}与B={1, 3，5}，则A⫋B（即A是B的真子集）.1.3《集合的基本运算》1.交集的概念及其运算（1）定义一般地,对于给定的集合A与集合B,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与集合B的交集,记作A∩B.读作“A交B”.即 A∩B={ x | x∈A 且 x∈B }.（2）实例运用例1设集合A={2,4,6}, 集合B={0,1,2},则A∩B={2}．例2 设集合A={x | −2<x≤1}，集合B ={x|−1≤x < 3}，则Ａ∩B={x |−1≤x ≤1}．2.并集的概念及其运算（1）定义一般地,对于给定的集合A与集合B,由集合A与集合B的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的并集,记作A∪B.读作“A并B”.即A∪B={x|x∈A或x∈B}.（2）实例运用例1 设集合A={1,3,5,7}, 集合B={0,2,3,4,6},则A∪B={0,1,2,3,4,5,6,7}．例2 设集合A={x |−1<x≤2}, 集合B={x |0<x≤3}，则 A∪B={x |−1<x≤3}.3.补集的概念及其运算（1）定义一般地，如果集合A是全集U的一个子集，则由集合U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A在全集U中的补集，记作C U A，即C U A={ x | x∈U且x∉A }（2）实例运用例1设全集U={x∈N|x＜7}，集合A={1,2,4,6},则C U A={0,3,5}．例2设全集U= R，集合A={x|−2≤x＜1}，则CA={ x | x＜−2或 x≥1 }．U1.4充分条件与必要条件1.充分条件与必要条件（1）定义一般地，“若p, 则q”为真命题，即由“条件p 可以推出条件 q ”，记作：p⇒ q那么就称：“p 是 q 的充分条件， q 是p的必要条件”注：如果“若p, 则 q ”为假命题，即由“条件p不能推出条件 q ”，记作： p⇏ q那么就称：“p不是 q 的充分条件， q 不是p的必要条件”（2）实例运用例1若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；解析：设题设“四边形的两组对角分别相等”为p，结论“这个四边形是平行四边形”为 q∵ p ⇒ q∴p是 q的充分条件, q是p的必要条件例2若x2=1，则x = 1；解：设题设“x2=1”为 p ，结论“x = 1”为 q∵由x2=1可得x=1或x=−1∴p ⇏ q故p不是q的充分条件,q不是p的必要条件2.充要条件（1）定义一般地，如果 p ⇔ q （即情况1：原真逆真）我们就称 p 是 q 的充分必要条件，简称为“ 充要条件”.注1（情况2：原真逆假）如果 p ⇒ q ，且 q ⇏p , 我们就称 p是 q 的充分而不必要条件；注2（情况3：原假逆真）如果 p ⇏ q ，且 q ⇒p , 我们就称 p是 q 的必要而不充分条件；注3（情况4：原假逆假）如果 p ⇏ q ，且 q ⇏p , 我们就称 p是 q 的既不充分也不必要条件；（2）实例运用例1 p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；解：①原命题：“若p，则q”∵ 已知两个三角形相似∴ 两个三角形三边成比例即 p ⇒ q （相似三角形的性质）∴ p是q的充分条件②逆命题：“若 q ，则 p ”∵ 已知两个三角形三边成比例∴ 两个三角形相似即 q ⇒ p （三边定理）∴ p 是 q 的必要条件.综上所述，∵ p ⇔ q，即原真逆真，∴ p 是 q 的充要条件例2 p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；解：①原命题：“若 p ，则 q ”∵ 已知四边形是正方形∴ 四边形的对角线互相垂直且平分即 p ⇒ q∴ p 是 q 的充分条件②逆命题：“若 q ，则 p ”∵ 已知四边形的对角线互相垂直且平分∴ 四边形是菱形,即 q ⇏ p∴ p 不是 q 的必要条件综上所述，∵ 原真逆假，∴ p 是 q 的充分而不必要条件1.5 全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题一变：∀ （任意）变 ∃（存在） 二变：结论 p(x) 变 它的反面 ¬p(x) 像上面这样，短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示；含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.例如，命题“对任意的n ∈Z,2n +1 是奇数”；“所有的正方形都是矩形” 等都是全称量词命题注：通常，将含有变量 x 的语句用 p(x)，g(x)，r(x)，… 表示，变量x 的取值范围用 M 表示 那么，全称量词命题“对 M 中任意一个 x ， p(x)成立”可用符号简记为：∀x ∈M ,p(x)2.存在量词与存在量词命题像上面这样，短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ∃ ”表示；含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.例如，命题“有的平行四边形是菱形”；“有一个素数不是奇数” 等都是存在量词命题注：通常，将含有变量 x 的语句用 p(x)，g(x)，r(x)，… 表示，变量x 的取值范围用 M 表示 那么，存在量词命题“存在M 中的元素 x ， p(x)成立”可用符号简记为：∃ x ∈M ,p(x)3. 全称量词的否定（1）概念一般地，对于全称量词命题：∀x ∈M , p(x)它的否定为：∃x ∈M , ¬p(x)注1：符号 “ ¬p(x) ” 表示 “ p(x) 的反面 ”注2：全称量词命题的否定是存在量词命题（2）实例运用例1所有能被3整除的整数都是奇数；解：原全称量词命题的否定为：“存在一个能被 3 整除的整数不是奇数”一变：∃ （存在）变 ∀（任意） 例2对 ∀ x ∈R , x 2≥0 ;解：原全称量词命题的否定为:“ ∃ x ∈R ,x 2<0 ”4.存在量词命题的否定（1）概念一般地，对于存在量词命题：∃ x ∈M , p(x)它的否定为：∀x ∈M , ¬p(x)注1：符号 “ ¬p(x) ” 表示 “ p(x) 的反面 ” 注2：存在量词命题的否定是全称量词命题（2）实例运用例1 ∃x ∈R,x +2 ≤ 0 ;解：原存在量词命题的否定为“ ∀x ∈R,x +2 > 0” 例2 有的三角形是等边三角形；解：原存在量词命题的否定为“ 所有的三角形都不是等边三角形 ”二变：结论 p(x) 变它的反面 ¬p(x)。
集合与简易逻辑(第一课时)
高三一轮复习讲座一 ---- 集合与简易逻辑第一讲 集 合（第一课时）一、教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法．二、教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用．三、基础再现1．集合①定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，每个对象叫做集合的元素。
②表示列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，如{a,b,c}描述法：将集合中的元素的共同属性表示出来，形式为：P={x ∣P(x)}. 如：}1),({},1{},1{-=-=-=x y y x x y y x y x图示法：用文氏图表示题中不同的集合。
③分类：有限集、无限集、空集。
④性质确定性：A a A a ∉∈或必居其一，互异性：不写{1，1，2，3}而是{1，2，3}，集合中元素互不相同，无序性：{1，2，3}={3，2，1}2．常用数集复数集C 实数集R 整数集Z 自然数集N 正整数集 （或N+） 有理数集Q3．元素与集合的关系：A a A a ∈∉或4．集合与集合的关系：①子集：若对任意A x ∈都有B x ∈[或对任意B x ∉都有A x ∉] 则A 是B 的子集。
记作：A B B A ⊇⊆或 C A C B B A ⊆⇒⊆⊆,②真子集：若B A ⊆，且存在A x B x ∉∈00,但，则A 是B 的真子集。
记作：A B[或“B A B A ≠⊆且”] A B ，B C A C ③B A A B B A =⇔⊆⊆且④B A ⊄B x A x ∉∈∃⇔使得一个至少,⑤空集：不含任何元素的集合，用φ表示对任何集合A 有A ⊆φ，若φ≠A 则φA注：}{}0{}{φφφ≠≠≠a a5．子集的个数若},,{21n a a a A Λ= ，则A 的子集个数、真子集的个数、非空真子集的个数分别为2n 个，2n -1个和2n -2个。
四、考点剖析考点1元素的三要素1. 集合{}0,,1,,2b a a a b a +=⎭⎬⎫⎩⎨⎧，则=+20062005b a 2. 由332,,,x x x x --所组成的集合中，最多含有 个元素。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
[理](2011· 沈阳模拟)A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1 ＝0，a∈A}，则A∩B＝B时，a的值是 A．2 B．2或3 ( )
C．1或3
D．1或2
解析：验证a＝1时B＝∅满足条件；验证a＝2时B＝{1}
也满足条件．
答案：D
2． (2011· 全国新课标卷)已知集合M＝{0,1,2,3,4，}，N ＝{1,3,5，}，P＝M∩N，则P的子集共有 A．2个 B．4个 ( )
C．充分必要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
[解析] 显然a＝1时一定有N⊆M，反之则不一定成立， 如a＝－1.故是充分不必要条件． [答案] A
6．(2011•合肥模拟)给定空间中的直线l及平面α.条件“直
线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α
垂直”的 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件 ( )
的集合共有6个．
[答案] A
[点评] 解决这类试题的关键是透彻理解新定义，抓住新
定义的本质，推出正确结论，有时还可以通过反例推翻
其中的结论．
1 [理]若x∈A，则工团 ∈A，就称A是伙伴关系集合，集 x
合M＝{－1,0， ，2 ，1,2,3,4}的所有非空子集中具有伙 伴关系的集合的个数为 ( )
[联知识 串点成面] 1．四种命题有两组等价关系，即原命题与其逆否命题等价，否 命题与逆命题等价． 2．含有逻辑联结词的命题的真假判断：命题 p∨q，只要 p，q 至少有一为真，即为真命题，换言之，见真则真；命题 p∧q，只 要 p，q 至少有一为假，即为假命题，换言之，见假则假；綈 p 和 p 为一真一假两个互为对立的命题． 3．“或”命题和“且”命题的否定：命题 p∨q 的否定是綈 p ∧綈 q；命题 p∧q 的否定是綈 p∨綈 q.
(3)要注意转化：如果 p 是 q 的充分不必要条件，那么綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，同理，如果 p 是 q 的必要不充分条件， 那么綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，如果 p 是 q 的充要条件， 那么綈 p 是綈 q 的充要条件.
以新定义的方式考查集合问题，成为近几年高考的 热点，主要考查学生在新的情境中使用已知的数学知识 分析解决问题的能力．
1 3
1
A．15
C．28
B．16
D．25
1 1 解析：具有伙伴关系的元素组有－1,1， 、2， 、3 共四组，它们 2 3 中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，故所求
1 3 4 集合个数为 C4 ＋C2 4＋C4＋C4＝15.
答案：A
[文]给定集合A、B，定义A※B＝{x|x＝m－n，m∈A，n∈ B}．若A＝{4,5,6}，B＝{1,2,3}，则集合A※B中的所有元素之 和为 ( )
知考情 专题 一 集合 函数、 不等 式、 与导 数 第 1 讲 集 合 与 简 易 逻 辑
研考题
析考向
战考场
高频考点
考情解读
考查方式 多为 选择题 多为 选择题 多为 选择题
考查形式有两种：一种是简单整数 集合的关 的集合间的运算；一种是以不等式 系及运算 为背景，考查集合间的关系及运算 命题真假 以基础知识为考查对象，考查命题 的判断与 的真假,逻辑联结词和四种命题 否定
[联知识
串点成面]
对于p和q两个命题，若p⇒q，则p是q的充分条件，q 是p的必要条件；若p⇔q，则p和q互为充要条件．推出 符号“⇒”具有传递性，等价符号“⇔”具有双向传递 性．
[做考题 ＝1”是“N⊆M”的
查漏补缺]
(2011· 湖南高考)设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a ( )
A．充分不必要条件
[答案] C
[文] (2011· 郑州模拟)已知a，b，c都是实数，则命题“若a>b，
则ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四
个命题中，真命题的个数是 A．4 C．1 B．2 D．0 ( )
[解析] 原命题是一个假命题，因为当c＝0时，不等式的两 边同乘上一个0得到的是一个等式；原命题的逆命题是一个
(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(2)A∩A＝A，A)＝U. (4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
[做考题
查漏补缺]
(2011· 北京高考)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝ {a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是 A．(－∞，－1] C．[－1,1] B．[1，＋∞) D．(－∞，－1]∪[1，＋∞) ( )
C．6个
D．8个
解析： P＝M∩N＝{1,3}，故P的子集有22＝4个． 答案：B
3. [理](2011· 沈阳模拟)A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1 ＝0，a∈A}，则A∩B＝B时，a的值是 A．2 B．2或3 ( )
C．1或3
D．1或2
解析：验证a＝1时B＝∅满足条件；验证a＝2时B＝{1}
D．命题“若x∈R，则x2＋x＋1<0”的否定
[解析] 命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆命题为：“
若x＝1，则x2－3x＋2＝0”，是真命题；若两非零向量a，b 的夹角为锐角，则a· b>0，反之，若a· b>0，则两非零向量a， b的夹角为锐角或两向量同向，即得“两非零向量a，b的夹 角为锐角”的必要不充分条件是“a· b>0”，即命题B是假命
[解析] 根据直线与平面垂直的判定定理直接作答．
[答案] C
7．(2011· 海淀期末)使不等式x2－3x<0成立的必要不充分条 件是 A．0<x<3 C．0<x<2 B．0<x<4 D．x<0或x>3 ( )
[解析] 由x2－3x<0，解得0<x<3，要找的是0<x<3的必要不充
分条件，就是找一个集合，使其包含(0,3)，同时还含有(0,3) 以外的至少一个元素，故选B. [答案] B
真命题，因为当ac2>bc2时，一定有c2≠0，所以必有c2>0，两
端同除以一个正数，不等式方向不变，即若ac2>bc2，则a>b 成立，根据一个命题与它的逆否命题等价，它的逆命题与 否命题等价，故选B. [答案] B
4．(2011· 南昌模拟)已知命题 p：所有有理数都是实数；命题 q： 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是 A．(綈 p)∨q C．(綈 p)∧(綈 q) B．p∧q D．(綈 p)∨(綈 q) ( )
充要条件考查知识面十分广泛，可 充要条件 以涵盖函数、立体几何、不等式、 的判定 向量、三角等内容
[联知识
串点成面]
1．元素与集合的关系：元素x与集合A之间，要么x∈A，
要么x∉A，二者必居其一，这就是集合元素的确定性， 集合的元素还具有互异性和无序性．解题时要特别注 意集合元素互异性的应用．
2．运算性质及重要结论
[解析] 因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，得a2≤1， 解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1,1]．
[答案] C
1．[理](2011· 福建高考)i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}， 则 A．i∈S B．i2∈S 2 D. ∈S i ( )
C．i3∈S
解析：∵i2＝－1，－1∈S，∴i2∈S. 答案：B
答案：D
[悟方法
触类旁通]
解答集合间的关系于y是与运算问题的一般思路 (1)正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性， 代表的意义． (2)根据集合中元素的性质化简集合． (3)确定(应用)集合间的包含关系或运算结果，此时常用到 以下技巧： ①若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解； ②若已知的集合是点集，用数形结合法求解； ③若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解.
解析：不难判断命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，从而上 述叙述中只有(綈 p)∨(綈 q)为真命题．
答案：D
5．(2011· 云南一模)下列命题中假命题是 A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆命题
(
)
B．“两非零向量a，b的夹角为锐角”的充要条件是 “a· b>0”
C．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题
［做考题 查漏补缺］
1 [理](2011· 深圳模拟)原命题：若 a＝1，则函数 f(x)＝ x3 3 1 1 ＋ ax2＋ ax＋1 没有极值，以及它的逆命题、否命题、逆否命题 2 2 中，真命题的个数为 A．0 C．2 B． 1 D．4 ( )
1 1 1 [解析] 先考虑原命题， 当 a＝1 时， f(x)＝ x3＋ x2＋ x＋1， f′(x) 3 2 2 1 1 1 ＝x2＋x＋ ＝(x＋ )2＋ >0，所以 f(x)没有极值，故原命题为真， 2 2 4 1 1 1 因而逆否命题也为真； 其逆命题是“若函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋ ax 3 2 2 ＋1 没有极值，则 a＝1”．由 f(x)没有极值，故 f′(x)≥0，即 x2 1 1 2 ＋ax＋ a≥0 恒成立，这等价于 Δ＝a －4×1× a≤0⇔0≤a≤2， 2 2 所以其逆命题是假命题，因而否命题也为假命题．
题；命题C显然正确；命题D的否定为“若x∈R，则x2＋x＋
1≥0”也正确．
[答案] B
[悟方法 命题真假的判定方法
触类旁通]
(1)一般命题 p 的真假由涉及到的相关交汇知识辨别． (2)四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真 假，而与它的其他两个命题的真假无必然联系． (3)形如 p 或 q、p 且 q、綈 p 命题的真假根据真值表判定.
也满足条件．
答案：D
[文](2011· 广州模拟)已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝
0}，若B⊆A，则实数m＝