2.5.1平面几何中的向量方法(教学设计)
2.5.1_平面几何中的向量方法(1)
C
1 1 1 AR AC ,同理TC AC , 于是 RT AC 3 3 3 故AT=RT=TC
在日常生活中，你是否有这样的经验： 两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力； 在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力， 你能从数学的角度解释这种现象吗？
在日常生活中，你是否有这样的经验： 两个人共提一 个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运 动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释 这种现象吗？
=a² +2a · b+ b ² 同理
- 2a DB ²= a ² · b+ b ²
A
B
AC ² + DB ²= 2( a ² +b² ) = 2 ( AB ² + AD ²)
平行四边形两条对角线长的平方和等于 两条邻边长的平方和的两倍.
利用向量法解决平面几何问题的基本思路 （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题 中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问 题； （2）通过向量运算，研究集合之间的关系，如距离、 夹角等问题；
B. | v1 || v2 |
C . | v1 || v2 |
D. | v1 || v2 |
2、已知作用在A点的三个力 F1 (3, 4) , F2 (2, 5)
F3 (3,1) ，A(1，1)则合力 F F1 F2 F3 的终点坐
标是（ B ） A.(8,0) B.(9,1) C.(-1,9) D.(3,1)
对角线的长度与两条邻边
长度之间有何关系？
A B
涉及到长度问题常常考虑向量的数量积
AB ² AD ² AC ² DB ²
分析：设AB=a，AD=b，则AC=a+b，DB=a-b， AB ² = a ² AD ² = b ² AC ² =AC+AC=(a+b) ·(a-b) =a ·a+b ·b+b ·b ·a+a D C
平面几何中的向量方法教案
课题：平面几何中的向量方法湖北省黄冈中学郭旭教学设计一.教学目标分析《普通高中数学课程标准》指出向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数与几何一种工具，有着极其丰富的实际背景.在平面向量这一章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.在向量的应用中，要求学生经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何、物理等问题的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力.向量既是代数的对象，又是几何的对象.作为代数对象，向量可以运算，而且正是因为有了运算，向量的威力才得到充分的发挥；作为几何对象，向量可以刻画几何元素（点、线、面），利用向量的方向可以与三角函数发生联系，通过向量运算还可以描述几何元素之间的关系（例如直线的垂直、平行等）.由于向量的数量积集距离和角这两个刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量于一身，因而它在解决几何问题中的作用更大，通过适当的问题引起学生的注意.向量方法可简单地表述为[形到向量]——[向量的运算]——[向量和数到形].教科书特别强调了向量法的上述基本思想，并根据上述基本思想明确提出了用向量法解决几何问题的“三步曲”.根据以上分析，确定教学目标如下：1．通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.2．明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.3．通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性，活跃学生的思维，发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性，并体会向量在几何和现实生活中的意义.二.教学内容解析本课内容为人教A版《普通高中数学课程标准实验教科书A版 数学4必修》第110页，平面几何中的向量方法.本节以平面向量的应用独立成节，目的在于加强向量的方法、体现向量的价值、强调数学应用.向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量方法是几何研究的一个有效的强有力工具.教学中应当通过实例，引导学生认真体会通过建立向量知识与几何图形之间的关系，利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想，同时要熟练掌握向量法的“三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系.平面几何中的向量方法在最后一节教学中完成，其教学目的在于学生体会“向量方法”，掌握简单应用.根据以上分析，本节课的教学重点确定为：用向量知识解决实际问题的基本方法，向量法解决几何问题的“三步曲”.三.教学问题诊断运用向量知识解决几何问题，需要有一定的知识迁移、语言转换能力，而高一学生的应用意识和应用能力比较弱，这些要求对学生的学习造成了一定的困难.在思维层面上，学生往往没有想到平面几何与向量之间密切联系，或是不善于将几何实际问题转化为向量问题来解决.因此在本节应用实例课的教学过程中，我将重点放在向量的几何背景知识上，着重引导学生怎样将几何实际问题转化为向量问题.所以本节课的教学难点确定为：如何将几何问题转化为向量问题.四.教学对策分析本节课是例题教学课，通过设问、启发、当堂训练的教学程序，采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式，培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力，借助幻灯片、几何画板的辅助教学，达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的，营造生动活泼的课堂教学氛围.五.教学基本流程六.教学过程设计教学环节教学内容师生互动设计意图新课引入类比推广勾股定理是初等几何中的一个基本定理.这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，无论是平民百姓，还是帝王总统都愿意探讨和研究它的证明.师生共同回忆勾股定理的平面几何证明方法，并利用多媒体展示证明的思路.勾股定理反映的是直角三角形两直角边与斜边的数量关系.问题1：把直角三角形两直角边与斜边的数量关系类比到矩形中，你能发现矩形两对角线长度与两邻边长度之间的关系吗？问题2：把这个结论从矩形推广到平行四边形，这个结论还成立吗？通过由直角三角形到矩形，再过渡到平行四边形，降低例1的思维难度，体验数学思想；同时弘扬数学文化.问题情境实例探究探中抽知加强巩固有效建构（图1）传说中毕达哥拉斯的证法（图2）赵爽弦图的证法（图3）美国总统茄菲尔德的证法合作探究总结规律例1：在ABCD中，你能发现平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间的关系吗？图1问题3：你能发现吗？如何证明？学生分组讨论，合作交流得出结论，展示学生探究成果.通过本题的分组讨论、自主探究、合作交流，介绍平面几何中的向量方法，总结用向量方法解决平面几何问题的基本步骤，提高学生合作意识.实战演练深化认识例2：如图2，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？图2问题4：如何用向量的方法证明？师生共同讨论交流，由教师给出证明过程.培养学生的观察、发现、猜想能力，引导学生去探索，让学生体验思路的形成过程，学会分析问题的方法.探究过程对照“三步曲”得出结论.体会向量是一种处理几何问题的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力，同时为用向量法处理后面更为复杂的几何问题打下基础.教学反思通过本节课的教学实践，认识到多一点精心预设，就能融一份动态生成，体会到什么是由“关注知识”转向“关注学生”.在教学过程中，注意到了由“给出知识”转向“引起活动”，由“完成教学任务”转向“促进学生发展”，课堂上的真正主人应该是学生.一堂好课，师生一定会有共同的、积极的情感体验.本节课的教学中，知识点均是学生通过在解决实际问题的过程中“抽出”的，并通过动态地串知成链，完成知识结构框架图，学生真正体会到数学来源于生活又服务于生活.成功之处：一是教学设计独到而又新颖，打破常规，不走寻常路，利用一个实例的探究完成本节课的教学目标，突出以学生为主体，教师以引导者的身份帮助他们完成知识结构体系的建构；二是教态自然得体，亲和力强，能很好地驾驭课堂，积极调动学生思考问题，课堂气氛活跃；三是多媒体课件的内容丰富而又简洁，它仅仅作为课堂教学的辅助载体.改进之处：由于时间关系，在这堂课中完成了知识结构体系的建构后，没有时间去系统梳理本节知识点，思想方法等；若时间充裕，可考虑一题多解、一题多变让学生在解题的过程中更加充分体验向量方法在解决几何问题中的优越性、工具性，从而让学生认知更上一层楼，享受更大成功的喜悦.。
人教A版必修4《平面几何中的向量方法》教学设计
人教A版必修4《平面几何中的向量方法》教学设计一、教材分析：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。
在向量的概念引入后，平面几何中的全等和平行、相似、垂直、勾股定理等问题就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，体现了数形结合思想。
本节课的内容是一节平面向量知识的应用课，通过对平面几何中的向量方法的研究，体现向量作为工解决平面几何问题的优越性，渗透数形结合思想和转化化归思想；也让学生体验数学实用价值，明白教材在《主编寄语》中提到的“数学是有用的”的真正含义。
二、教学目标：1.能利用向量运算研究几何问题中点、线段、夹角之间的关系；经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题体会向量是一种处理平面几何问题的工具；2.发展运算能力和解决实际问题的能力，同时渗透数形结合思想、转化化归思想，培养学生“利用数学”的意识。
3.通过丰富的实例和过程性参与，引导学生体验“形到数——数的运算——数到形”的研究思想；激发学生学习数学的兴趣和积极性,培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神。
4.通过向量运算研究几何问题让感受数学和生活的联系，体验数学的工具优越性，关注数学知识及其思想在人类认识世界，改造世界中所起的作用，感受数学的美。
三、教学重难点：1.教学重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则；向量法解决平面几何问题的“三步曲”。
2.教学难点：将平面几何问题转化为向量问题并加以解决。
四、教学问题诊断分析：学生在学习本节课内容之前，已经掌握平面向量的基本知识技能。
本节内容是针对学生对向量作为工具性的疑惑而设计的一节知识应用课。
新课程所倡导的理念“知识是有用的”得到充分的体现，但是在实际教学过程中，如何将平面几何问题转化为向量问题来解决是有所难度的，特别是课本中例2的设计难度较大。
因此，在教学过程中以学生熟悉的平行四边形作为载体展开讨论研究来降低学习难度，并在例题的设计上有层次感，由浅入深，层层导入，逐步引导学生进行探究活动，激发学生学习的自主性和积极性，从而达到教学目的。
高中数学 人教A版必修4 第2章 2.5.1平面几何中的向量方法
2.5.1
2．5.1
平面几何中的向量方法
本 课 时 栏 目 开 关
【学习要求】 1．经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其它一些实际 问题的过程． 2．体会向量是一种处理几何问题的有力工具． 3．培养运算能力、分析和解决实际问题的能力． 【学法指导】 由于向量涉及共线、夹角、垂直、长度等基本问题，而这些问题 正是平面几何研究的对象，因此可以用向量来处理平面几何问题． 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元 素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系； ③把运算结果“翻译”成几何关系.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.5.1
探究点三
平面向量在几何中的应用
用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点共线、线 共点以及角度等问题时有独到之处，且解法思路清晰、简洁 直观．其基本方法是：
当 v1⊥v2，即 v1· v2＝1＋k1k2＝0 时，l1⊥l2，夹角为直角；当 k1k2≠－1 时，v1· v2≠0，直线 l1 与 l2 的夹角为 θ(0° <θ<90° )．不 难推导利用 k1、k2 表示 cos θ 的夹角公式： |1＋k1k2| |v1· v2 | cos θ＝ ＝ 2 2. |v1||v2| 1＋k1· 1＋k2
填一填·知识要点、记下疑难点
2.5.1
1．向量方法在几何中的应用
本 课 时 栏 目 开 关
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行 (共
a＝λb ⇔ x1y2－x2y1＝0 线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔_____
.
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用
2.5.1平面几何中的向量方法(教案)
2.5.1平面几何中的向量方法(教案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法教学目标1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.2.明了平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”.教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.教学过程导入新课前言：向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.新知探究提出问题①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？②你能利用所学知识证明你的猜想吗能利用所学的向量方法证明吗试一试可用哪些方法 ③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？证明:方法一:如图2.作CE ⊥AB 于E,DF ⊥AB 于F,则Rt △ADF ≌Rt △BCE.∴AD=BC,AF=BE.由于ACAE 2+CE 2=(AB+BE)2+CE 2=AB 2+2AB·BE+BE 2+CE 2=AB 2+2AB·BE+BC 2.BD 2=BF 2+DF 2=(AB-AF)2+DF 2=AB 2-2AB·AF+AF 2+DF 2=AB 2-2AB·AF+AD 2=AB 2-2AB·BE+BC 2.∴AC 2+BD 2=2(AB 2+BC 2).方法二:如图3.以AB 所在直线为x 轴,A 为坐标原点建立直角坐标系.设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).∴|AC|2=(a+b)2+c 2=a 2+2ab+b 2+c 2,|BD|2=(a-b)2+(-c)2=a 2-2ab+b 2+c 2.∴|AC|2+|BD|2=2a 2+2(b 2+c 2)=2(|AB|2+|AD|2).用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.应用示例 图1 图2 图3例1 如图4, ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC 交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗?解:如图4,设AB=a,AD=b,AR=r,AT=t,则AC=a+b.由于AR与AC共线,所以我们设r=n(a+b),n∈R.又因为EB=AB-AE=a-21b,ER与EB共线,所以我们设ER=m EB=m(a-21b).因为ERAEAR+=,所以r=21b+m(a-21b).因此n(a+b)=21b+m(a-b),即(n-m)a+(n+21-m)b=0.由于向量a、b不共线,要使上式为0,必须⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-.021,0mnmn解得n=m=31.所以AR=31AC,同理TC=31AC.于是RT=31AC.所以AR=RT=TC.变式训练图5如图5,AD、BE、CF是△ABC的三条高.求证:AD、BE、CF相交于一点.证明:设BE、CF相交于H,并设AB=b,AC=c,AH=h,则BH=h-b,CH=h-c,BC=c-b.因为BH⊥AC,CH⊥AB,所以(h-b)·c=0,(h-c)·b=0,即(h-b)·c=(h-c)·b.化简得h·(c-b)=0.所以AH⊥BC.图4所以AH与AD共线,即AD、BE、CF相交于一点H.课堂小结：用向量解决平面问题的三步曲：课后作业：1.有一边长为1的正方形ABCD,设AB=a,BC=b,AC=c,则|a-b+c|=_______________.2.已知|a|=2,|b|=2,a与b的夹角为45°,则使λb-a与a垂直的λ=____________.3.在等边△ABC中,AB=a,BC=b,CA=c,且|a|=1,则a·b+b·c+c·a=____________.4.已知四边形ABCD满足|AB|2+|BC|2=|AD|2+|DC|2,M为对角线AC的中点.求证:|MB|=|MD|.5.如图6,已知AC为⊙O的一条直径,∠ABC是圆周角.求证:∠ABC=90°.图6。
2.5.平面几何中的向量方法-人教A版必修四教案
2.5.平面几何中的向量方法-人教A版必修四教案一、课程目标•掌握平面向量的概念和基本性质。
•掌握平面向量的加、减、数乘、内积及其运算性质。
•能够解决平面向量的坐标表示、模长、夹角、共线、垂直问题。
•能够应用向量的基本运算解决平面解析几何问题。
•提高学生的空间想象能力，提高分析和解决问题的能力。
二、教学内容1.平面向量的概念和基本性质2.平面向量的加、减、数乘及其运算性质3.平面向量的内积及其运算性质4.平面向量的坐标表示5.平面向量的模长、夹角、共线、垂直问题6.向量在平面解析几何中的应用三、教学重点1.平面向量的加、减、数乘及其运算性质2.平面向量的模长、夹角、共线、垂直问题四、教学难点1.向量在平面解析几何中的应用2.平面向量的坐标表示五、教学方法1.演示法2.课堂练习 + 错题讲解3.讨论式教学4.课外练习六、教学过程第一步课前预热（5分钟）通过简单的问题，复习平面坐标系的基本知识，引出平面向量的概念。
第二步导入新课（10分钟）介绍平面向量的概念，讲解向量的定义、模长、方向等基本概念。
第三步课堂练习（25分钟）针对向量的加减法，数乘等基本运算，出示题目进行讲解。
第四步知识扩展（10分钟）引出向量的内积、共线、垂直等概念，对一些难题进行分析，讲解解决方法。
第五步讨论式教学（20分钟）分组讨论解决一些和生活实际问题相关的向量问题，提高学生的分析和解决问题的能力。
第六步课堂总结（10分钟）对本节课学习的重难点知识进行总结和回顾，为后续课程打好基础。
七、教学评价本课程利用多种教学方法，如演示法、课堂练习、讨论式教学等，有利于提高学生的学习效果和兴趣。
在教学过程中，着重讲解了向量的加减法、数乘及其运算性质，以及向量坐标、模长、夹角、共线、垂直等基本概念。
通过分组讨论等互动形式，提高了学生的空间想象能力和分析解决问题的能力。
后续需要加强对向量在平面解析几何中的应用知识的讲解，提高学生的应用水平。
《平面几何中的向量方法 》(学生)教学案
平面几何中的向量方法数学学科素养1.逻辑推理：从直观入手，从具体开始，逐步抽象，得出结论；2.数学运算：坐标运算证明几何问题；3.数据分析：根据已知信息选取合适方法证明或求解；4.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事物之间是可以相互转化的. 重点：体会向量在解决平面几何问题中的作用； 难点：如何将几何问题化归为向量问题.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学过程一、 情景导入1. 平面向量的运算在几何中的运用（1）证明线线平行和点共线问题此类问题常用向量共线基本定理：若()()1122,,,a x y b x y ==,其中0b ≠,则1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=.（2）证明垂直问题 此类问题常用向量数量积的运算性质：112200a b a b x y x y ⊥⇔⋅=⇔+=,其中非零向量()()1122,,,a x y b x y ==.（3）求夹角问题 此类问题可利用夹角公式：21cos a ba b x θ⋅==+,其中非零向量()()1122,,,a x y b x y ==. （4）求线段的长度此类问题可以用向量的模的计算公式：若(),a x y =,则22||a a x ==+2．中点坐标公式和三角形重心坐标公式：（1）中点坐标公式：若111222( ) ( ) ( )P x y P x y P x y ，，，，，，且P 为12P P 的中点：则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ； （2）三角形重心坐标公式：若ABC ∆的三个顶点坐标为：111222( ) () ( )P x y P x y P x y ，，，，，，( )P x y ，为ABC ∆的重心，则12312333x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩；注意：重心分ABC ∆的中线为2:1的性质. 拓展：定比分点的坐标公式设111222( ) ( ) ( )P x y P x y P x y ，，，，，,因为12P P PP λ=，所以：121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩注意：根据这个公式可以在111222( ) () ( )P x y P x y P x y ，，，，，三个量中，知道两个求第三个；3．平移和平移公式：点的平移公式：设( )P x y ，是旧点，它按() a h k =，平移后的新点是'(' ')P x y ，，则它们的坐标有如下关系： ''x x hy y k =+⎧⎨=+⎩；注：应用这个公式可以对新旧点和平移向量三个量中，解决知二求一的问题.四、典例分析题型一 向量在平面几何证明问题中的应用例1 在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12AB ，求证：AC ⊥BC .变式训练1： 如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .用向量证明平面几何问题的两种基本思路(1)向量的线性运算法的四个步骤①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化．(2)向量的坐标运算法的四个步骤①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．变式训练2：如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且CEED＝AFFB＝12.求证：点E，O，F在同一直线上．题型二向量在平面几何计算问题中的应用例2 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝12AB；(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求AF的长度(用m，n表示)．用向量法求平面几何中的长度问题，即向量的模的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，利用公式|a|2＝a2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解，即若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.变式训练3：如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业1、在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝12AB，求证：AC⊥BC.2 在正ABC∆中，D是边BC上的点，且1,3==BDAB，则ADAB⋅的值为 .．3 在ABC∆中，90=∠BAC，6=AB，D在斜边BC上，且DBCD2=，则ADAB⋅的值为 .4在ABC∆中，ABAD⊥,BC=1=,则=⋅ADAC .B CD。
学案5： 2.5.1 平面几何中的向量方法
2.5.1 平面几何中的向量方法【课前准备】 1．课时目标（1）能用平面向量的知识来解决有关的平面几何中的实际问题；（2）进一步巩固所学知识，提高分析和解决简单实际问题的能力，动手操作的能力以及用数学语言进行交流的能力，增强应用数学的意识． 2．基础预探（1）由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如________、________、________、________、________等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来．（2）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如________、________等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系． 【知识训练】1．已知直线l 与x ，y 轴分别相交于点A ，B ，A B →＝2i －3j （i ，j 分别是与轴x ，y 正半轴同方向的单位向量），则直线l 的方程是（ ） A ．3x －2y ＋6＝0 B ．3x ＋2y ＋6＝0 C ．2x ＋3y ＋6＝0 D ．2x －3y ＋6＝02．在四边形ABCD 中，AB ·BC =0，BC =AD ，则四边形ABCD 是（ ） A ．直角梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形3．在直角△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不．成立的是（ ） A ．|A C →|2＝A C →·A B → B ．|B C →|2＝B A →·B C →C ．|A B →|2＝A C →·CD → D ．|C D →|2＝(A C →·A B →)×(B A →·B C →)|A B →|24．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|O B →－O C →|＝|O B →＋O C →－2O A →|，则△ABC 的形状为（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 5．若向量a 、b 、c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·（a ＋2b ）＝________．6．如下图，以原点和A （5，2）为两个顶点作等腰直角△OAB ，使∠B =90°．求点B 和向量AB 的坐标．【学习引领】用平面向量方法解决平面几何问题时，一般应把已知和结论转化成向量的数量积形式．利用平面向量可以解决平面几何的数值、长度或角度、几何形状、位置等几何问题．以平面向量为工具把平面几何问题化归为简单的向量计算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现了数与形的结合，所以以向量为载体的数学试题与平面几何知识联系紧密，具有很强的时代气息，而倍受命题者的青睐．随着高考命题的进一步改革，对能力的要求会进一步提高，对教材中新增能力的要求越来越高，在教学中应当加强知识点与知识点之间的渗透与拓宽，构建好知识结构的网络，激活学生的创新思维，增强学生的实践意识与探究能力，真正提高复习的实效，切实提高学生的能力． 【题型探究】题型一：平面几何的数值问题例1．设AM 是ΔABC 的边BC 上的中线．任作一直线，使之顺次交AB 、AC 、AM 于点P 、Q 、N ．求证：2AN AM =AP AB +AQAC．思路导析：直接利用平面几何的知识求解这类数值问题，由于直线PQ 的任意性，很难找到入手解题的突破口．而引入平面向量，通过平面向量的运算、共线、相等等性质加以解题，可以非常巧妙地达到目的．CB M点评：通过引入平面向量，要按照平面向量已知的相关的定义或运算等结合平面几何的相应知识加以分析、推理、运算．要注意平面向量与平面几何两者知识的联系和结合．通过平面向量的引入，达到巧妙解答平面几何中的数值问题，也是经常碰到的一类问题．变式练习1：若平面上三点A 、B 、C 满足|A B →|＝3，|B C →|＝4，|C A →|＝5，则A B →·B C →＋B C →·C A →＋C A →·A B →的值等于________． 题型二：平面几何的长度或角度问题例2．ΔABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA +4OB +5OC =0，求ΔABC 的面积．思路导析：在求解三角形的面积问题，往往要知道对应的边长和夹角等信息，但结合平面向量向量知识，可以通过求解对应向量的数量积问题来加以巧妙转化，达到求解面积的目的．点评：在求解平面几何的长度或角度问题时，往往可以巧妙通过平面向量知识，转化为平面向量的运算、平面向量的数量积等相关知识，通过转化，达到巧妙解答的目的．变式练习2：在△ABC 所在平面上有三点P 、Q 、R ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，QA →＋QB →＋QC →＝BC →，RA →＋RB →＋RC →＝CA →，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为________． 题型三：平面几何的形状问题例3．在平面四边形ABCD 中，a AB =，b BC =，c CD =，d DA =，且a d d c cb b a •=•=•=•，试判断此四边形的形状．思路导析：判断此平面四边形的形状，可以结合题目中的平面向量，加以适当地运算变形和分析，得到对应的边的长度关系和对应的边所在的向量的垂直关系来加以判断．点评：要判断平面图形的形状，结合平面几何的性质，要考虑对应的边和对应的角等各方面的条件，但如果通过平面向量来处理，往往可以非常巧妙地加以转化，达到以平面向量来判断平面几何图形的形状问题．变式练习3：已知向量1OP 、2OP 、3OP 满足1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1．求证：△P 1P 2P 3是正三角形．题型四：平面几何的位置问题例4．D 、E 分别是ABC ∆的边AC 、AB 上的点，DE 不平行BC ，F 、G 分别是BC 、ED 上的点，且CDBEGD EG FC BF ==．求证：GF 与∠BAC 的平分线平行．思路导析：直接通过平面几何知识去证明这个题目，难度非常大．而通过平面向量的运算，可以很快且巧妙地分析平面几何中的直线间的位置关系．FA BEDGC点评：用平面向量来解决平面几何中相应点或线的位置问题是非常常见的一个问题．它可以使原来比较复杂难解的问题通过转化，进而巧妙地达到目的．变式练习4：已知点O 、A 、B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且O P →＝3O A →－O B→2，则（ ）A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上 【随堂练习】1．若非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|b |，则（ ）A ．|2a |>|2a ＋b |B ．|2a |<|2a ＋b |C ．|2b |>|a ＋2b |D ．|2b |<|a ＋2b |2．已知点A （－2，0），B （3，0），动点P （x ，y ）满足PA ·PB =x 2，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆B ．直线C ．射线D ．抛物线3．P 是△ABC 所在平面上一点，若PB PA •＝PC PB •＝PA PC •，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心4．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=2，|BC |=1，|CA |=3，则AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB 的值等于________．5．在△ABC 中，已知向量A B →与A C →满足（A B →|A B →|＋A C →|A C →|）·B C →＝0且A B →|A B →|·A C →|A C →|＝12，则△ABC的形状为________三角形．6．已知a 、b 是两个非零向量，当a +t b （t ∈R ）的模取最小值时， （1）求t 的值；（2）求证：b ⊥（a +t b ）．【参考答案】【课前准备】 2．基础预探（1）平移，全等，相似，长度，夹角；（2）距离，夹角． 【知识训练】1．B ；【解析】由于i ，j 分别是与轴x ，y 正半轴同方向的单位向量，所以A B →＝（2，－3），而A ，B 分别在x 轴，y 轴上，可得A （－2，0），B （0，－3），由此可得直线l 的方程为3x ＋2y ＋6＝0；2．C ；【解析】由AB ·BC =0知AB ⊥BC ，由BC =AD 知BC AD ，∴四边形ABCD 是矩形；3．C ；【解析】对选项C ，如图所示，A C →·C D →=| A C →|·| C D →|·cos （π－∠ACD ）=－| A C →|·| C D →|cos ∠ACD=－| C D →|2≠| A C →|2；4．B ；【解析】∵O B →＋O C →－2O A →＝O B →－O A →＋O C →－O A →＝A B →＋A C →，O B →－O C →＝C B →＝A B →－A C →，∴|A B →＋A C →|＝|A B →－A C →|⇒|A B →＋A C →|2＝|A B →－A C →|2⇒A B →·A C →＝0⇒AB ⊥AC ； 5．0；【解析】因为a ∥b 且a ⊥c ，所以b ⊥c ，所以c·(a ＋2b )＝c·a ＋2b·c ＝0； 6．解析：设B 点坐标为（x ，y ），则OB =（x ，y ），AB =（x －5，y －2）， ∵OB ⊥AB ，∴x （x －5）+y （y －2）=0， 即x 2+y 2－5x －2y =0，①又|OB |=|AB |，∴x 2+y 2=（x －5）2+（y －2）2，即10x +4y =29， ②解①②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==232711y x ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==272322y x ，∴B 点坐标为（27，－23）或（23，27），故AB =（－23，－27）或AB =（－27，23）． 【题型探究】例1．解：设AB =m AP ，AM =t AN ，AC =n AQ ，则由PN ，QN 共线可知，存在λ∈R 使得PN =λQN ，即AN －AP =λ（AN －AQ ）， 于是（λ－1）AN =λAQ －AP ， ∴（λ－1）·t 1·AM =λ·n 1·AC －m1·AB ， ① 又AM =21（AB +AC ）， ② 由①、②得：（n λ－t 21-λ）AC －（t21-λ+m 1）AB =0，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--0121021m tt n λλλ，解得m +n =2t ，即命题得证．变式练习1：－25；解析：由A B →＋B C →＋C A →＝0可得（A B →＋B C →＋C A →）2＝0，∴9＋16＋25＋2（A B →·B C →＋B C →·C A →＋C A →·A B →）＝0，A B →·B C →＋B C →·C A →＋C A →·A B →＝－25； 例2.解：∵|OA |=|OB |=|OC |=1，由3OA +4OB +5OC =0可得：3OA +4OB =－5OC ，以上式子两边平方得：2222516249OC OB OB OA OA =+•+， ∴0=•OB OA ，∴︒=∠90AOB ，同理可求得：54-=•OC OB ，53-=•OC OA ， ∴54cos -=∠BOC ，53cos -=∠AOC ，∴21||||21=•=∆OB OA S AOB ，103sin ||||21=∠•=∆BOC OC OB S BOC ，52sin ||||21=∠•=∆AOC OC OA S AOC ，∴56=++=∆∆∆∆AOC BOC AOB ABC S S S S ．变式练习2：1：3；解析：由P A →＋PB →＋PC →＝AB →，P A →＋PC →＝AB →－PB →，即P A →＋PC →＝AB →＋BP →，P A →＋PC →＝AP →，∴PC →＝2AP →，P 为线段AC 的一个三等分点，同理可得Q 、R 的位置，△PQR 的面积为△ABC 的面积减去三个小三角形面积，取△ABC 为正三角形，不难得出面积比为1∶3；例3．解：由已知可得：0=+++d c b a ，∴)(d c b a +-=+， 两边平方有：22)()(d c b a +=+，展开有 222222d d c c b b a a +•+=+•+，又d c b a •=•，∴2222d c b a +=++=…①=…②=，由①+=， ∴四边形ABCD 为平行四边形，∴c a -=， 又c b b a •=•，∴a b b a •-=•，即0=•b a ，b a ⊥， ∴平行四边形ABCD 为正方形．变式练习3：证明：（方法一）∵1OP +2OP +3OP =0，∴1OP +2OP =－3OP ，∴|1OP +2OP |=|－3OP |，∴|1OP |2+|2OP |2+21OP ·2OP =|3OP |2， 又∵|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，∴1OP ·2OP =－21， ∴｜1OP ｜|2OP |cos ∠P 1OP 2=－21，即∠P 1OP 2=120°， 同理∠P 1OP 3=∠P 2OP 3=120°，∴△P 1P 2P 3为等边三角形．（方法二）以O 点为坐标原点建立直角坐标系，设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），P 3（x 3，y 3）， 则1OP =（x 1，y 1），2OP =（x 2，y 2），3OP =（x 3，y 3）， 由1OP +2OP +3OP =0，得⎩⎨⎧=++=++.00321321y y y x x x ，∴⎩⎨⎧-=+-=+.321321y y y x x x ，由|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，得x 12+y 12=x 22+y 22=x 32+y 32=1， ∴2+2（x 1x 2+y 1y 2）=1，∴|21P P |=221221）（）（y y x x -+-=21212221222122y y x x y y x x --+++ =）（212112y y x x --=3，同理|31P P |=3，|32P P |=3，∴△P 1P 2P 3为正三角形．例4．解：设AB p AE =，AC q AD =，)1,0(,∈q p ，BF tFC =，则1++=t AB AC t AF ，11++=++=t ABp AC tq t AE AD t AG ， 又BE tCD =，故||)1(||)1(AC q t AB p -=-， 于是AB t p AC t q t AG AF +-++-=-111)1(⎭⎫⎝⎛++-=||||1||)1(AB AB AC AC t AB p ， ||||AB ABAC AC +BAC 的平分线平行，即命题得证． 变式练习4：B ；【解析】由于2O P →＝3O A →－O B →，∴2O P →－2O A →＝O A →－O B →，即2A P →＝B A →，∴A P →＝12B A →，则点P 在线段AB 的反向延长线上；【随堂练习】1．C ；【解析】因为|a ＋b |＝|b |，所以a ·(a ＋2b )＝0，即a ⊥(a ＋2b )，因此|a |、|a ＋2b |、|2b |构成直角三角形的三边，|2b |为斜边，所以|2b |>|a ＋2b |；2．D ；【解析】：PA =（－2－x ，－y ），PB =（3－x ，－y ），PA ·PB =（－2－x ）（3－x ）+（－y ）2=x 2，整理得y 2=x +6，∴P 点的轨迹为抛物线；3．D ；【解析】由于PB PA •＝PC PB •，则0)(=-•PA PC PB ，即0=•AC PB ，从而AC ⊥PB ，同理可得：BC ⊥PA ，AB ⊥PC ，故点P 是△ABC 的垂心；4．－4；【解析】∵|BC |2+|CA |2=|AB |2，∴△ABC 为直角三角形且∠C =90°，∴AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB =|AB ||BC |cos （π－∠B ）+0+|CA ||AB |cos （π－∠A ）=－4； 5．等边；【解析】设∠BAC 的角平分线为AD ，则A B →|A B →|＋A C →|A C →|＝λAD →，由己知：AD ⊥BC ，∴△ABC 为等腰三角形，又cos A ＝12，∴A ＝60°，∴△ABC 为等边三角形；6．解：（1）设a 与b 的夹角为θ，则|a +t b |2=（a +t b ）2=|a |2+t 2|b |2+2a ·（t b ）=|a |2+t 2|b |2+2t |a ||b |cos θ=|b |2（t +||||b a cos θ）2+|a |2sin 2θ，所以当t =－||||b a cos θ=－2||cos ||||b b a θ=－2|b |ba ⋅时，|a +tb |有最小值； （2）因为b ·（a +t b ）=b ·（a －2|b |b a ⋅·b ）=a ·b －a ·b =0，所以b ⊥（a ⊥t b ）．。
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2.5.1平面几何中的向量方法（教学设计）
[教学目标]
一、知识与能力：
1.运用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
二、过程与方法：
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题；体会向量是一种处理几何问题的工具；发展运算能力和解决实际问题的能力.
三、情感、态度与价值观：
培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.
[教学重点]
运用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
[教学难点]
运用向量方法解决某些简单的平面几何问题
一、复习回顾
1．向量的概念；
2．向量的表示方法：几何表示、字母表示；
3．零向量、单位向量、平行向量的概念；
4．在不改变长度和方向的前提下，向量可以在空间自由移动；
5．相等向量：长度（模）相等且方向相同的向量；
6．共线向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量.
7．要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能做出已知两个向量的和向量；
8．要理解向量加法的交换律和结合律，能说出这两个向量运算律的几何意义；
9．理解向量减法的意义；能作出两个向量的差向量.
10．理解实数与向量的积的意义，能说出实数与一个向量的积这与个向量的模及方向间的关系；
11．能说出实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算；
12．能表述一个向量与非零向量共线的充要条件；
13．会表示与非零向量共线的向量，会判断两个向量共线.
二、师生互动，新课讲解
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图像的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此可用向量方法解决平面几何中的一些问题.
例1：证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
1
1
11
,
2222,/.
/.
ABCD AC BD O AO OC AB AC DB DC DB AC AB DC AB DC AB BO DC
AB D C O D ===+=+∴==，即且所以四边形是平行四边形，
即对角证明：设四边形的对角线、交于点，且线互相平分的四边形是平行四边形，
变式训练1：1
//.2DE ABC DE BC DE BC ∆=已知是的中位线，用向量的方法证明：，且
()1
1
,,
221
1
.221
//.
2AD AB AE AC DE AE AD AC AB BC DE BC D BC DE BC ===-=-==证明：易知所以即，又不在上，所以
例2： 用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.
()()(),,,,,
,,
··0·0AB AC AH BH CH BC B H BE C H AC CH AB A B F H C
====-=-=-⊥⊥∴-=-=-=⇔⊥证明：设是高线、的交点，则有化简得，所以，三角形三条高线交于一设点.
且a b h
h a h b b a h a b h b a h b a
变式训练2：222.ABC AC BC BC a AC b A R B t c c b a ∆⊥====+证明勾股定理，在中，，，，，则
222222··2?·||||0||.AB AC CB AB AB AC AC AC CB CB CB
AB A b a c C CB =+=++=++=+证明：由，故，得即
例3：（课本P109例1）()
2222|||.|2||||ABCD AC BD AC DB AB AD =++已知平行四边形的对角线为、求证：
A
B
C
()()()
2
2222222222222|||2|||2|2|||?,
||||?|||||.|AC AC AB AD AB AD AB AD DB DB AB AD AB AD AB AD
AC DB AB AD ===++===+-+++=-证得明：由
变式训练3：用向量方法证明：对角线相等的平行四边形是矩形.
()()2,,
·····0,.AB AO OB AD AO OD AB AD AO OB AO OD
AO AO OD OB AO OB OD AB AD AB AD ABCD AC BD AB O CD =+=+∴=++=+++=∴⊥⊥∴解：如图，四边形对角线、交于点，
即，
四边形是矩形
三、课堂小结，巩固反思：
向量是沟通数与形的十分有效的工具，利用向量处理平面几何问题，最重要的是要先在平面图形中寻找向量的“影子”，然后合理引入向量，并通过向量的运算，达到快捷解题的效果.
四、课时必记：
五、分层作业：
A 组：
1、（课本P118复习参考题 A 组：NO ：5）
2、（课本P118复习参考题 A 组：
NO ：6）
3、（课本P118复习参考题 A 组：NO ：7）
4、（课本P118复习参考题 A 组：NO ：8）
5、（课本P118复习参考题 A 组：NO ：9）
B 组：
1、（课本P113习题2.5 A 组NO ：1）
2、（课本P113习题2.5 A 组NO ：2）
B
C
3、用向量方法证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
()()222222222,|||?|||||||2|||?2||AB AO OB BC BO OC
AB AO OB AO AO OB OB AO OB BC BO OC B ABCD AC O BO O BD O OC =+=+==+=+==+++++证明：如图平行四边形，对角线、交于点，
222||||||,
|||.
C BO OC AB BC ABC
D ∴=∴=+，四边形是菱形
C 组：
C。