高中数学人教A版第三章 函数的应用模块综合评价(二)

模块综合评价(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知集合A ＝{2，3，4，5}，B ＝{3，5，6}，全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{1，3}B ．{2，4}C ．{1，6}D ．{3，5} 解析：因为∁U B ＝{1，2，4}，所以A ∩(∁U B )＝{2，4}． 答案：B2．集合⎩⎪⎨⎪⎧（x ，y ）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝52x －y ＝1＝( ) A ．{2，3} B ．{x ＝2，y ＝3} C ．{(2，3)}D ．(2，3)解析：本题中的元素是点，故答案是{(2，3)}． 答案：C3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧|x －1|－2，|x |≤1，11＋x2，|x |>1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于()A.12B.2541 C ．－95 D.413解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝413. 答案：D4．函数f (x )＝|log 0.5x |－12x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：在同一坐标系中作出函数y＝|log0.5x|与y＝12x的图象，可知这两个图象有两个交点，所以函数f(x)＝|log0.5x|－12x有两个零点．答案：B5．函数y＝log12(4x－x2)的值域是()A．[－2，＋∞) B．RC．[0，＋∞) D．(0，4]解析：令t＝4x－x2，画出t＝4x－x2(t>0)的图象如图所示，则0<t≤4，所以y＝log12t∈[－2，＋∞)．答案：A6．已知f(x)为定义在R上的奇函数，在区间(－∞，0)内有1 005个零点，则函数f(x)在R上的零点个数为()A．2 009 B．2 010 C．2 011 D．2 012解析：定义在R上的奇函数f(x)满足f(0)＝0，图象自身关于原点对称，所以零点的个数为2×1 005＋1＝2 011.答案：C7．已知集合A＝{x|x－2≤0，x∈N}，B＝{x|x≤2，x∈Z}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．5 B．4 C．3 D．2解析：A＝{x|x－2≤0，x∈N}＝{0，1，2}，B＝{x|x≤2，x∈Z}＝{0，1，2，3，4}，若A⊆C⊆B，则集合C可以是{0，1，2}，{0，1，2，3}，{0，1，2，4}，{0，1，2，3，4}，共4个．答案：B8．已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b解析：因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x 在R 上为增函数知b <a ；又因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，由函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数知a <c .综上得b <a <c .故选A.答案：A9．已知奇函数f (x )在区间[－b ，－a ]上单调递减，且f (x )>0.若0<a <b ，则|f (x )|在区间[a ，b ]上( )A ．单调递减B ．单调递增C ．先增后减D ．先减后增解析：利用奇函数的对称性可知，函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，且f (x )<0，则|f (x )|在区间[a ，b ]上单调递增．答案：B10．若函数f (x )＝log a (x ＋b )(其中a ，b 为常数)的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是( )A BC D解析：根据题中的图象可知，0<a <1，0<b <1.根据指数函数的性质可知，选项D 符合题意．答案：D11．设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(3，4)B ．(2，3)C ．(1，2)D ．(0，1)解析：函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点的横坐标x 0即函数f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点．当x ＝1，f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2<0；当x ＝2时，f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2>0，即f (1)f (2)<0，又因为f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2为连续函数，故函数f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点一定在区间(1，2)内．答案：C12．已知x 1，x 2是二次方程f (x )＝0的两个不同实根，x 3，x 4是二次方程g (x )＝0的两个不同实根．若g (x 1)g (x 2)<0，则( )A ．x 1，x 2介于x 3和x 4之间B ．x 3，x 4介于x 1和x 2之间C ．x 1与x 2相邻，x 3与x 4相邻D ．x 1，x 2与x 3，x 4相间排列解析：画图可知x 3，x 4中有一个在x 1，x 2之间，故x 1，x 2与x 3，x 4相间排列．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，2x ，x >0，若f (x )＝10，则x ＝________．解析：当x ≤0时，由x 2＋1＝10，解得x ＝－3或x ＝3(舍去)；当x >0时，由2x ＝10，解得x ＝5.答案：－3或514．lg 427－lg 823＋lg 75＝________．解析：原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.答案：1215．设集合A ＝{－1，3，2m －1}，B ＝{3，m 2}．若A ∩B ＝B ，则实数m 的值为________．解析：因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，所以m 2＝2m －1，解得m ＝1.答案：116．下列命题中：①若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0}中只有一个元素，则k＝1；②已知函数y＝f(3x)的定义域为[－1，1]，则函数y＝f(x)的定义域为(－∞，0]；③函数y＝11－x在(－∞，0)上是增函数；④方程2|x|＝log2(x＋2)＋1的实根的个数是2.所有正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)解析：对于①，k＝0也符合题意；对于②，y＝f(x)的定义域应该是[3－1，3]；对于③，画出y＝11－x的图象，或利用定义可判定y＝11－x在(－∞，0)上是增函数；对于④在同一坐标系中做出y＝2|x|，y＝log2(x＋2)＋1的图象，由图可知有两个交点．故方程的实根的个数为2.答案：③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|2≤x<6}，B＝{x|3<x<9}．(1)分别求∁R(A∩B)，(∁R B)∪A；(2)已知C＝{x|a<x<a＋1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．解：(1)因为A∩B＝{x|3<x<6}，所以∁R(A∩B)＝{x|x≤3或x≥6}，因为∁R B＝{x|x≤3或x≥9}，所以(∁R B)∪A＝{x|x<6或x≥9}．(2)因为C⊆B，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ＋1≤9，解之得3≤a ≤8， 所以a ∈[3，8]．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －x 2.(1)求函数f (x )的解析式，并画出函数f (x )的图象； (2)根据图象写出单调区间和值域．解：(1)设x <0，则－x >0，因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (x )＝f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－x 2－2x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图所示：(2)由图可知，函数的单调递增区间为：(－∞，－1)和(0，1)；单调递减区间为：(－1，0)和(1，＋∞)．值域为(－∞，1]．19．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )的图象过点(0，3)，它的图象的对称轴为x ＝2，且f (x )的两个零点的平方和为10，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由题意知，c ＝3，－b2a＝2.设x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， 则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.因为x 21＋x 22＝10，所以(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2－2c a ＝10，所以(－4)2－6a ＝10，所以a ＝1，b ＝－4. 所以f (x )＝x 2－4x ＋3.20．(本小题满分12分)某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：购买标价为400元的商品，消费金额为320元，可获得的优惠额为(400－320)＋30＝110(元)．设购买商品得到的优惠率＝购买商品获得的优惠额/商品的标价．(1)若购买一件标价为1 000元的商品，顾客得到的优惠额是多少元？(2)对于标价在[500，800]元内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到不小于13的优惠率？解：(1)顾客得到的优惠额为1 000×(1－0.8)＋130＝330(元)．(2)设商品的标价为x 元，则500≤x ≤800，消费额400≤0.8x ≤640.当消费额在[400，500)元内时，优惠率为0.2x ＋60x，所以⎩⎨⎧400≤0.8x <500，0.2x ＋60x ≥13.该不等式组无解．当消费额在[500，640]元内时，优惠率为0.2x ＋100x， 所以⎩⎨⎧500≤0.8x ≤640，0.2x ＋100x ≥13，解得625≤x ≤750.故当顾客购买标价在[625，750]元内的商品时，可以得到不小于13的优惠率． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 9(9－x ＋1)＋kx (k ∈R)是偶函数．(1)求k 的值；(2)若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝12x ＋b 没有交点，求b 的取值范围．解：(1)因为f (x )为偶函数， 所以对任意x ∈R ，f (x )＝f (－x )，即log 9(9x ＋1)－kx ＝log 9(9x ＋1)＋kx 对于任意的x ∈R 恒成立，故2kx ＝log 9(9－x＋1)－log 9(9x＋1)＝log 99x ＋19x －log 9(9x ＋1)＝－x恒成立．又x 不恒为零，所以k ＝－12.(2)由题意知，方程log 9(9x＋1)－12x ＝12x ＋b 无解，即方程log 9(9x＋1)－x ＝b 无解．令g (x )＝log 9(9x ＋1)－x ，则函数y ＝g (x )的图象与直线y ＝b 无交点． 易知g (x )＝log 99x ＋19x ＝log 9⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋19，任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则0<9x 1<9x 2，从而19x 1>19x 2， 于是log 9⎝⎛⎭⎪⎫1＋19x 1>log 9⎝⎛⎭⎪⎫1＋19x 2，即g (x 1)>g (x 2)，故g (x )在R 上是减函数．因为1＋19x >1，所以g (x )＝log 9⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋19x >0.故b 的取值范围是(－∞，0]．22．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －1.(1)求f (3)＋f (－1)； (2)求f (x )的解析式；(3)若x ∈A ，f (x )∈[－7，3]，求区间A . 解：(1)因为f (x )是奇函数，所以f (3)＋f (－1)＝f (3)－f (1)＝23－1－2＋1＝6. (2)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－2－x －1， 因为f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－2－x ＋1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，－2－x＋1，x <0.(3)作出函数f(x)的图象，如图所示：根据函数图象可得f(x)在R上单调递增，当x<0时，－7≤－2－x＋1<0，解得－3≤x<0；当x≥0时，0≤2x－1≤3，解得0≤x≤2.所以区间A为[－3，2]．11。