波动率
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1 2
2
历史波动率的估计
也是一种静态波动率的估计，假定一定时期内波动 率保持不变。 (1)百分比价格变动法(即价格的环比增长速度) ( Pi 1 Pi ) Xi Pi (2)对数价格变动法
Pi 1 X i ln ln Pi 1 ln Pi Pi
预测波动率的估计
已实现波动率
已实现波动率是针对频率较高的数据计算的一种波 动率，又称为日内波动率或高频波动率。高频数据是 指以小时、分钟或秒为采集频率的数据。由于高频数 据中蕴含了比低频数据更多的市场波动信息，因此基 于高频数据的波动率测度一定是一种更为真实的市场 波动描述。已实现波动率的计算不需要复杂的参数估 计方法，无模型、计算简便，在一定条件下是积分波 动率(已实现波动率的概率极限)的无偏估计量，近年 来在高频领域中获得了广泛的应用。
ARCH模型法： V 在模型中，我们也可以给长期方差率指定权重， L 为长 期平均方差 m 2 2 n VL i 1 i un i
其中
i 1
i 1
m
GARCH模型法：
GARCH (1,1)：在GARCH (1,1)模型中，我们赋予长期平均方差（ ）不同的权重
3. ARCH/GARCH类模型法
是借助条件异方差动态模型的方法来估计和预测波 动率。一些时间序列，特别是金融序列，常常会出现某 一特征的值群集性出现的情况。例如，对股票收益率序 列建模，模型的随机扰动项往往在较大幅度波动之后伴 随较大幅波动，在较小幅度波动之后紧接着较小幅波动， 称为波动的群集性。因此，以这类模型来估计价格或收 益的波动率能更好的衡量真实波动率的变化特征。 目前，最常用的条件异方差模型是GARCH(1,1)模型， 基本能反映金融时间序列方差(或波动率)的特征。
隐含波动率
隐含波动率是期权定价理论中的一个概念，从理论上讲， 隐含波动率是将市场上的权证交易价格代入权证理论价格模 型，反推出来的波动率数值。以期权为例，由于期权定价模 型给出了期权价格与五个基本参数(标的价格，执行价格，利 率，到期时间和波动率 )之间的定量关系，只要将其中前 4个基本参数及期权的实际市场价格作为已知量代入期权定价 模型，就可以从中解出惟一的未知量 —波动率，其大小就 是隐含波动率。因此，隐含波动率也可以理解为市场实际波 动率的预期。
历史波动率
历史波动率是指投资回报率(收益率)在过去一段时间内所表 现出的波动率，它由标的资产市场价格过去一段时间的历史时 { S { S t} t} 间序列数据( )反映。即可以根据 的时间序列数据，计 算出相应的收益率数据，然后运用统计推断方法估算收益率的 标准差，从而得到历史波动率的估计值。如果假定实际波动率 是一个常数，不随时间的推移而变化，则历史波动率是实际波 动率的一个很好的近似。例如，在股票市场中，历史波动率可 以反映标的股票价格过去一段时期内的波动，然而，利用历史 波动率对权证价格进行预测一般都不能保证准确。但是由于目 前我国内地没有权证市场，无法获得权证价格，故无法计算隐 含波动率，因此权证发行商与投资者在权证发行初期只能利用
作为资产管理者，更希望能对未来资产波动率进行预测 从而进行风险管理。由于资产价格或投资回报率是一个 随机过程，实际的波动率永远是一个未知数，或者说， 实际波动率是无法事先精确计算的，人们只能通过各种 方法得到它的估计值，这类似于统计学中总体参数的概 念，总体参数一般是未知的，需要通过样本统计量去估 计。后面一系列分类的波动率，实际上都是对实际波动 率的一种估计
波动率研究的三个层面 从横向看，波动率研究主要可归为三个层面： 第一，波动率的估计，即用何种方法来估计波动率； 第二，波动率的特性，波动率除具有众所周知的自相关性之外， 还可能有长期记忆、杠杆效应等特性，如何检测各类市场中这种 特性的强弱，以及如何在随机波动率模型中捕捉到这些特性，是 波动率研究的一个重要方面； 第三，人们研究波动率的根本目的是要预测波动率，如何构造好 的随机波动率模型，如何估计模型参数，如何评价各类模型，是 波动率的研究中最重要的一个层面。 这三个层面是环环相扣的，每一类波动率模型必然要涉及到 特定的波动率特性、估计方法和预测方法。
波动率
目录
一、波动率的概念 二、波动率的分类 三、波动率的估计 四、波动率的应用
一、波动率的概念 二、波动率的分类 三、波动率的估计 四、波动率的应用
定义
波动率(Volatility)，是一个统计概念，一般用 来衡量标的资产价格或投资回报率波动的剧烈程度。 一般投资者理解的波动率是计算价格或收益率的标准 差；波动率也可以指某一资产的一定时期内最高价减 去最低价的值再除以最低价所得到的比率。
。
波动率研究的发展
三个阶段
金融分析模型中的波动率。假设市场收益正态，波动率常数。
Engle（1982）提出ARCH;Bollerslev（1986）GARCH。
高频分时数据估计波动率。Andersen、Bollerslev、Diebold、Labys （1998,1999,2000,2001）
简单： 加权：
t [1/ (M 1)] (rt i
2 i 1
2 M
M
rt j
j 1
M
M
)2
rt j
j 1 M
t [1/ (M 1)] t i (rt i
i 1
M
)
2
说明： a.以过去M天的收益率的样本方差来估计当前的波动率； b.对于日数据，M一般取5或者10， rt i 为 t i 时刻的收益率, t i 为 t i 时刻的权重.
假设Si是某个变量在第i天的取值，那么日波动率就 可以表示为ln(Si /Si-1)的标准差 在计算波动率时，通常忽略掉市场不进行交易的天 数 252 年波动率 = * 日波动率 方差变化率等于波动率的平方
研究波动率的目的
一个资产组合的波动率就代表了这个资产组合的风 险； 绝大多数投资者都不认为风险是中性的； 如果能够很好的对资产收益的波动率进行建模分析， 投资者就能更精确、更有效的配置自己的投资组合、 进行风险管理。换而言之，波动率模型不仅可以帮 助投资者选择资产组合，还可以帮助人们分析、度 量资产组合的风险水平。
其他高频波动率
很大意义上是对已实现波动率的优化。高频数据包 含了关于市场微观结构的信息，且频率越高，包含信 息越多，而低频数据中，几乎不包含市场微观结构的 信息。传统的经济理论通常认为市场是有效的：没有 交易成本，没有摩擦，当前价格反映了所有信息、是 资产的有效价格，已实现波动率即是基于资产的真实 价格来估计的。
多采用统计推断或动态模型来估计实际的波动率。常用 的简单方法有移动平均(简单或加权)、指数平滑和条件异 方差ARCH/GARCH类模型法，此外还有扩展的随机波动率模 型(SV/LMSV)、多元GARCH模型法、ARIMA/ARFIMA(自回归移 动平均模型)等等。以下重点介绍几种简单估计方法。
1.移动平均法：
0 1
借助指数平滑公式，将t时刻的波动率σ表示为t-1时刻 的波动率与t-1时刻收益率r的加权平均值，式中λ为平 滑系数，取值为0-1之间。将指数平滑公式通过递推推导， 进一步可以得到t时刻的波动率σ与收益率r之间的关系 式。该方法需要确定的重要参数即平滑系数λ， J.P.Morgan的riskmetrics系统建议λ值随资料周期改变， 并给出一个规范值，日度数据为0.94，月度数据为0.97.
以无收益欧式看涨期权为例，B-S期权定价基本公式如下：
C S * N (d1 ) Le rT * N (d 2 ) S 1 2 ln (r )T L 2 d1 * T S 1 2 ln (r )T L 2 d1 d1 * T * T
L C S 其中： —期权价格； —期权执行价格； —标的资产 r T N (d ), N (d ) 即期价格； —期权有效期； —连续复利计无风险利 2 X2 X 1 率； —年度化方差，隐含波率； —标准正态 2 dx e
一、波动率的概念 二、波动率的分类 三、波动率的估计 四、波动率的应用
不同的标准下，波动率可以进行不同的分类，这里按 照波动率的计算方法与应用不同，将波动率分为：隐含波 动率、历史波动率和已实现波动率(高频波动率/日内波动 率)等几类。 隐含波动率 历史波动率
预测波动率
已实现波动率 其他高频波动率
预测波动率
又称为预期波动率，一般指运用统计推断方法对实 际波动率进行预测得到的结果，并可将其用于资产定 价模型(例如期权定价模型)，确定出资产的理论价值。 因此，预测波动率是人们对权证进行理论定价时实际 使用的波动率。目前，常用的计算预测波动率的方法 基本上是一些统计方法，包括建立各类模型进行预测 与推断，除此之外，人们对实际波动率的预测还可能 来自经验判断等其他方面。
三个层次
波动率估计（方法研究） 波动率特征（自相关、长记忆、杠杆效应） 波动率预测（参数估计、模型评价）
波动率研究发展的三个阶段
从纵向看，波动率模型经历了三个发展阶段： 第一个阶段：经典的金融分析模型中的波动率，如Black-Scholes的期权定价模型，这些模型假定市场收益率呈正 态分布，波动率是恒定的，遵从随机游走过程。 第二个阶段：Engle(1982)提出了ARCH模型，Bollerslev(1986)把这个模型一般化，得到GARCH，由此产生出一个新 的条件波动率研究领域，条件波动率模型层出不穷，它们大多是对GARCH的拓展，以更好的模拟某种特定的市场效 应。与此同时，Taylor(1986)、Hull和White(1987)以及Chesney和Scott(1989)提出了随机波动率模型。随机波动 率模型更易于写成连续形式，往往用于对衍生工具的理论分析（例如期权定价）。 第三阶段：近十年来，用高频分时数据估计波动率的方法开始流行，Andersen、Bollerslev、Diebold、Labys等 （1998、1999、2000、2001）对此方法进行了一系列的研究。以往的波动率都是无法观测到的，它们隐含在价格曲 线或收益率曲线中，人们只能通过收益曲线的时间序列来估计随机波动率模型的参数，继而预测波动率以及评价各 种波动率模型。高频估计能得到准确的波动率估计值，因而可以把波动率的高频估计当做一个观测到的时间序列， 以此为基础，波动率的实证检验和预测研究将能大大拓展。
移动平均法是以过去M天的收益率(一般是上述历史波动 率中的对数收益率形式，也可以是其他形式的收益率)的 样本方差作为当前时刻或者说当日波动率的估计值，分 为简单移动平均和加权移动平均两种方法，前者将每天 的收益率看成是等权重的，后者则对不同的时点赋予不 同的权重。该方法需要确定的重要参数即天数M，根据经 验值，对于日度数据，M一般取5或10为佳。
2.指数平滑法： 2 2 2 估计公式： t t 1 (1 )rt 1
t (1 ) r
2 i 1
i 1 2 t i
说明： 为衰退因子， ,J.P.Morgan riskmetrics 系统建议 随资料周期改变，并给出一个规范值，日数 据为0.94，月数据为0.97.
VL
2 由于权重之和为1，因此
n VL u
2 n1
2 n1
1
GARCH (1,1)
令 ， GARCH (1,1) 模型可以表示成 L
V
和
u
Leabharlann Baidu
一、波动率的概念 二、波动率的分类 三、波动率的估计 四、波动率的应用
隐含波动率的估计
是一种静态波动率的估计，假定一定时期内(期权 有效期内)波动率保持不变。估计的方法有几种，包括 布莱克舒尔茨公式法、Newton-Raphson迭代法、二分 法等，这里主要介绍一下B-S公式法。
隐含波动率的估计
2
历史波动率的估计
也是一种静态波动率的估计，假定一定时期内波动 率保持不变。 (1)百分比价格变动法(即价格的环比增长速度) ( Pi 1 Pi ) Xi Pi (2)对数价格变动法
Pi 1 X i ln ln Pi 1 ln Pi Pi
预测波动率的估计
已实现波动率
已实现波动率是针对频率较高的数据计算的一种波 动率，又称为日内波动率或高频波动率。高频数据是 指以小时、分钟或秒为采集频率的数据。由于高频数 据中蕴含了比低频数据更多的市场波动信息，因此基 于高频数据的波动率测度一定是一种更为真实的市场 波动描述。已实现波动率的计算不需要复杂的参数估 计方法，无模型、计算简便，在一定条件下是积分波 动率(已实现波动率的概率极限)的无偏估计量，近年 来在高频领域中获得了广泛的应用。
ARCH模型法： V 在模型中，我们也可以给长期方差率指定权重， L 为长 期平均方差 m 2 2 n VL i 1 i un i
其中
i 1
i 1
m
GARCH模型法：
GARCH (1,1)：在GARCH (1,1)模型中，我们赋予长期平均方差（ ）不同的权重
3. ARCH/GARCH类模型法
是借助条件异方差动态模型的方法来估计和预测波 动率。一些时间序列，特别是金融序列，常常会出现某 一特征的值群集性出现的情况。例如，对股票收益率序 列建模，模型的随机扰动项往往在较大幅度波动之后伴 随较大幅波动，在较小幅度波动之后紧接着较小幅波动， 称为波动的群集性。因此，以这类模型来估计价格或收 益的波动率能更好的衡量真实波动率的变化特征。 目前，最常用的条件异方差模型是GARCH(1,1)模型， 基本能反映金融时间序列方差(或波动率)的特征。
隐含波动率
隐含波动率是期权定价理论中的一个概念，从理论上讲， 隐含波动率是将市场上的权证交易价格代入权证理论价格模 型，反推出来的波动率数值。以期权为例，由于期权定价模 型给出了期权价格与五个基本参数(标的价格，执行价格，利 率，到期时间和波动率 )之间的定量关系，只要将其中前 4个基本参数及期权的实际市场价格作为已知量代入期权定价 模型，就可以从中解出惟一的未知量 —波动率，其大小就 是隐含波动率。因此，隐含波动率也可以理解为市场实际波 动率的预期。
历史波动率
历史波动率是指投资回报率(收益率)在过去一段时间内所表 现出的波动率，它由标的资产市场价格过去一段时间的历史时 { S { S t} t} 间序列数据( )反映。即可以根据 的时间序列数据，计 算出相应的收益率数据，然后运用统计推断方法估算收益率的 标准差，从而得到历史波动率的估计值。如果假定实际波动率 是一个常数，不随时间的推移而变化，则历史波动率是实际波 动率的一个很好的近似。例如，在股票市场中，历史波动率可 以反映标的股票价格过去一段时期内的波动，然而，利用历史 波动率对权证价格进行预测一般都不能保证准确。但是由于目 前我国内地没有权证市场，无法获得权证价格，故无法计算隐 含波动率，因此权证发行商与投资者在权证发行初期只能利用
作为资产管理者，更希望能对未来资产波动率进行预测 从而进行风险管理。由于资产价格或投资回报率是一个 随机过程，实际的波动率永远是一个未知数，或者说， 实际波动率是无法事先精确计算的，人们只能通过各种 方法得到它的估计值，这类似于统计学中总体参数的概 念，总体参数一般是未知的，需要通过样本统计量去估 计。后面一系列分类的波动率，实际上都是对实际波动 率的一种估计
波动率研究的三个层面 从横向看，波动率研究主要可归为三个层面： 第一，波动率的估计，即用何种方法来估计波动率； 第二，波动率的特性，波动率除具有众所周知的自相关性之外， 还可能有长期记忆、杠杆效应等特性，如何检测各类市场中这种 特性的强弱，以及如何在随机波动率模型中捕捉到这些特性，是 波动率研究的一个重要方面； 第三，人们研究波动率的根本目的是要预测波动率，如何构造好 的随机波动率模型，如何估计模型参数，如何评价各类模型，是 波动率的研究中最重要的一个层面。 这三个层面是环环相扣的，每一类波动率模型必然要涉及到 特定的波动率特性、估计方法和预测方法。
波动率
目录
一、波动率的概念 二、波动率的分类 三、波动率的估计 四、波动率的应用
一、波动率的概念 二、波动率的分类 三、波动率的估计 四、波动率的应用
定义
波动率(Volatility)，是一个统计概念，一般用 来衡量标的资产价格或投资回报率波动的剧烈程度。 一般投资者理解的波动率是计算价格或收益率的标准 差；波动率也可以指某一资产的一定时期内最高价减 去最低价的值再除以最低价所得到的比率。
。
波动率研究的发展
三个阶段
金融分析模型中的波动率。假设市场收益正态，波动率常数。
Engle（1982）提出ARCH;Bollerslev（1986）GARCH。
高频分时数据估计波动率。Andersen、Bollerslev、Diebold、Labys （1998,1999,2000,2001）
简单： 加权：
t [1/ (M 1)] (rt i
2 i 1
2 M
M
rt j
j 1
M
M
)2
rt j
j 1 M
t [1/ (M 1)] t i (rt i
i 1
M
)
2
说明： a.以过去M天的收益率的样本方差来估计当前的波动率； b.对于日数据，M一般取5或者10， rt i 为 t i 时刻的收益率, t i 为 t i 时刻的权重.
假设Si是某个变量在第i天的取值，那么日波动率就 可以表示为ln(Si /Si-1)的标准差 在计算波动率时，通常忽略掉市场不进行交易的天 数 252 年波动率 = * 日波动率 方差变化率等于波动率的平方
研究波动率的目的
一个资产组合的波动率就代表了这个资产组合的风 险； 绝大多数投资者都不认为风险是中性的； 如果能够很好的对资产收益的波动率进行建模分析， 投资者就能更精确、更有效的配置自己的投资组合、 进行风险管理。换而言之，波动率模型不仅可以帮 助投资者选择资产组合，还可以帮助人们分析、度 量资产组合的风险水平。
其他高频波动率
很大意义上是对已实现波动率的优化。高频数据包 含了关于市场微观结构的信息，且频率越高，包含信 息越多，而低频数据中，几乎不包含市场微观结构的 信息。传统的经济理论通常认为市场是有效的：没有 交易成本，没有摩擦，当前价格反映了所有信息、是 资产的有效价格，已实现波动率即是基于资产的真实 价格来估计的。
多采用统计推断或动态模型来估计实际的波动率。常用 的简单方法有移动平均(简单或加权)、指数平滑和条件异 方差ARCH/GARCH类模型法，此外还有扩展的随机波动率模 型(SV/LMSV)、多元GARCH模型法、ARIMA/ARFIMA(自回归移 动平均模型)等等。以下重点介绍几种简单估计方法。
1.移动平均法：
0 1
借助指数平滑公式，将t时刻的波动率σ表示为t-1时刻 的波动率与t-1时刻收益率r的加权平均值，式中λ为平 滑系数，取值为0-1之间。将指数平滑公式通过递推推导， 进一步可以得到t时刻的波动率σ与收益率r之间的关系 式。该方法需要确定的重要参数即平滑系数λ， J.P.Morgan的riskmetrics系统建议λ值随资料周期改变， 并给出一个规范值，日度数据为0.94，月度数据为0.97.
以无收益欧式看涨期权为例，B-S期权定价基本公式如下：
C S * N (d1 ) Le rT * N (d 2 ) S 1 2 ln (r )T L 2 d1 * T S 1 2 ln (r )T L 2 d1 d1 * T * T
L C S 其中： —期权价格； —期权执行价格； —标的资产 r T N (d ), N (d ) 即期价格； —期权有效期； —连续复利计无风险利 2 X2 X 1 率； —年度化方差，隐含波率； —标准正态 2 dx e
一、波动率的概念 二、波动率的分类 三、波动率的估计 四、波动率的应用
不同的标准下，波动率可以进行不同的分类，这里按 照波动率的计算方法与应用不同，将波动率分为：隐含波 动率、历史波动率和已实现波动率(高频波动率/日内波动 率)等几类。 隐含波动率 历史波动率
预测波动率
已实现波动率 其他高频波动率
预测波动率
又称为预期波动率，一般指运用统计推断方法对实 际波动率进行预测得到的结果，并可将其用于资产定 价模型(例如期权定价模型)，确定出资产的理论价值。 因此，预测波动率是人们对权证进行理论定价时实际 使用的波动率。目前，常用的计算预测波动率的方法 基本上是一些统计方法，包括建立各类模型进行预测 与推断，除此之外，人们对实际波动率的预测还可能 来自经验判断等其他方面。
三个层次
波动率估计（方法研究） 波动率特征（自相关、长记忆、杠杆效应） 波动率预测（参数估计、模型评价）
波动率研究发展的三个阶段
从纵向看，波动率模型经历了三个发展阶段： 第一个阶段：经典的金融分析模型中的波动率，如Black-Scholes的期权定价模型，这些模型假定市场收益率呈正 态分布，波动率是恒定的，遵从随机游走过程。 第二个阶段：Engle(1982)提出了ARCH模型，Bollerslev(1986)把这个模型一般化，得到GARCH，由此产生出一个新 的条件波动率研究领域，条件波动率模型层出不穷，它们大多是对GARCH的拓展，以更好的模拟某种特定的市场效 应。与此同时，Taylor(1986)、Hull和White(1987)以及Chesney和Scott(1989)提出了随机波动率模型。随机波动 率模型更易于写成连续形式，往往用于对衍生工具的理论分析（例如期权定价）。 第三阶段：近十年来，用高频分时数据估计波动率的方法开始流行，Andersen、Bollerslev、Diebold、Labys等 （1998、1999、2000、2001）对此方法进行了一系列的研究。以往的波动率都是无法观测到的，它们隐含在价格曲 线或收益率曲线中，人们只能通过收益曲线的时间序列来估计随机波动率模型的参数，继而预测波动率以及评价各 种波动率模型。高频估计能得到准确的波动率估计值，因而可以把波动率的高频估计当做一个观测到的时间序列， 以此为基础，波动率的实证检验和预测研究将能大大拓展。
移动平均法是以过去M天的收益率(一般是上述历史波动 率中的对数收益率形式，也可以是其他形式的收益率)的 样本方差作为当前时刻或者说当日波动率的估计值，分 为简单移动平均和加权移动平均两种方法，前者将每天 的收益率看成是等权重的，后者则对不同的时点赋予不 同的权重。该方法需要确定的重要参数即天数M，根据经 验值，对于日度数据，M一般取5或10为佳。
2.指数平滑法： 2 2 2 估计公式： t t 1 (1 )rt 1
t (1 ) r
2 i 1
i 1 2 t i
说明： 为衰退因子， ,J.P.Morgan riskmetrics 系统建议 随资料周期改变，并给出一个规范值，日数 据为0.94，月数据为0.97.
VL
2 由于权重之和为1，因此
n VL u
2 n1
2 n1
1
GARCH (1,1)
令 ， GARCH (1,1) 模型可以表示成 L
V
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u
Leabharlann Baidu
一、波动率的概念 二、波动率的分类 三、波动率的估计 四、波动率的应用
隐含波动率的估计
是一种静态波动率的估计，假定一定时期内(期权 有效期内)波动率保持不变。估计的方法有几种，包括 布莱克舒尔茨公式法、Newton-Raphson迭代法、二分 法等，这里主要介绍一下B-S公式法。
隐含波动率的估计