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北师大版九年级数学中考复习试题及答案全套

北师大版九年级数学中考复习试题及答案全套（共9套）《数与式》综合检测卷 (时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(每小题2分，共24分)1．下列各数：π3，sin 30°，－3，4，其中无理数的个数有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．某种药品说明书上标明保存温度是(20±3) ℃，则该药品最合适保存的温度范围是 ( C )A ．17℃～20℃B ．20℃～23℃C ．17℃～23℃D ．17℃～24℃3．下列运算中，正确的是( D ) A ．a 2＋a 2＝2a 4 B ．(a －b )2＝a 2－b 2 C ．(－x 6)·(－x )2＝x 8D ．(－2a 2b )3÷4a 5＝－2ab 3 4．中国的“天眼”绝对是我们中国人的骄傲，它可以一眼看穿130亿光年以外，换句话来说就是它可以接收到130亿光年之外的电磁信号，几乎已经可以达到我们人类现在所了解到的宇宙的极限边缘．数据130亿(精确到亿位)正确的表示是( B )A ．1.3×1010B ．1.30×1010C ．0.13×1011D ．130×1085．设n 为正整数，且n ＜65＜n ＋1，则n 的值为( D ) A ．5 B ．6 C ．7D ．86．如果ab ＞0，a ＋b ＜0，那么下面各式：①a b ＝ab；②a b ·ba＝1；③ab ÷ab＝－b ，其中正确的是( B )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③7．若最简二次根式3a －12a ＋5b 与a －2b ＋8是同类二次根式，则a 、b 的值为( A )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝2，b ＝－1C ．a ＝－2，b ＝1D ．a ＝－1，b ＝18．整数n 满足n ＜26＜n ＋1，则n 的值为( A ) A ．4 B ．5 C ．6D ．79．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，且|a |>|b |，则化简a 2－|a ＋b |的结果为( C )A ．2a ＋bB ．－2a ＋bC ．bD ．2a －b10．如图1，把一个长为2m ，宽为2n (m ＞n )的矩形两次对折后展开，再用剪刀沿图中折痕剪开，把它分成四块完全相同的小矩形，最后按如图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是( C )A ．2mB ．(m ＋n )2C ．(m －n )2D ．m 2－n 211．把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：第一组：2,4；第二组：6,8,10,12；第三组：14,16,18,20,22,24；第四组：26,28,30,32,34,36,38,40……则现有等式A m ＝(i ，j )表示正偶数m 是第i 组第j 个数(从左到右数)，如A 10＝(2,3)，则A 2020＝( B )A ．(31,63)B ．(32,18)C ．(33,16)D ．(34,2)12．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B 1在y 轴上，顶点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3、…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，…，则正方形A 2020B 2020C 2020D 2020的边长是( D )A ．⎝⎛⎭⎫122019B ．⎝⎛⎭⎫122020C ．⎝⎛⎭⎫332020D ．⎝⎛⎭⎫332019二、填空题(每小题2分，共16分) 13．若分式x ＋1x －1有意义，则x 的取值范围为__x ≥－1且x ≠1__. 14．计算：2(2－3)＋6＝__2__.15．将多项式m 2n －2mn ＋n 分解因式的结果是__n (m －1)2__. 16．若y ＝x －4＋4－x 2－2，则(x ＋y )y ＝__14__.17．中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．若实数a 用代数式表示为13＋12n ，实数b 用代数式表示为12n －13，则a －b 的值为__23__.18．如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出输出的结果为12，…，则第2020次输出的结果为__3__.19．若x 2－3x ＋1＝0，则x 2x 4＋x 2＋1的值为__18__.20．庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话(文字语言)表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式(符号语言)：1＝12＋122＋123＋…＋12n ＋….图1 图2图2也是一种无限分割：在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，过点C 作CC 1⊥AB 于点C 1，再过点C 1作C 1C 2⊥BC 于点C 2，又过点C 2作C 2C 3⊥AB 于点C 3，如此无限继续下去，则可将△ABC 分割成△ACC 1、△CC 1C 2、△C 1C 2C 3、△C 2C 3C 4、…、△C n －2C n －1C n 、….假设AC ＝2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是＝2⎣⎡⎦⎤1＋34＋⎝⎛⎭⎫342＋⎝⎛⎭⎫343＋…＋⎝⎛⎭⎫34n －1＋⎝⎛⎭⎫34n ＋…__.三、解答题(共60分) 21．(8分)计算： (1)⎝⎛⎭⎫46－412＋38÷22； 解：(1)原式＝(46－22＋62)÷22＝(46＋42)÷22＝23＋2. (2)⎝⎛⎭⎫－12－2－|3－2|＋(2－1.414)0－3tan 30°－(－2)2.解：原式＝4－(2－3)＋1－3×33－2＝4－2＋3＋1－3－2＝1. 22．(5分)已知x ＝1－2，y ＝1＋2，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值．解：∵x ＝1－2，y ＝1＋2，∴x －y ＝(1－2)－(1＋2)＝－22，xy ＝(1－2)(1＋2)＝－1，∴x 2＋y 2－xy －2x ＋2y ＝(x －y )2－2(x －y )＋xy ＝(－22)2－2×(－22)＋(－1)＝7＋4 2.23．(5分)已知实数a 、b 、c 满足|a ＋6|＋b －2＋(c －3)2＝0，求－abc 的值． 解：∵|a ＋6|＋b －2＋(c －3)2＝0，∴a ＋6＝0，b －2＝0，c －3＝0，∴a ＝－6，b ＝2，c ＝3，∴－abc ＝－(－6)×2×3＝36＝6.24．(5 分)化简：⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4÷⎝⎛⎭⎫1－4x . 解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2x (x －2)－x －1(x －2)2÷x －4x ＝x 2－4－(x 2－x )x (x －2)2·x x －4＝x －4x (x －2)2·x x －4＝1x 2－4x ＋4. 25．(5分)先化简，再求值：a 4－b 4a 2－2ab ＋b 2×b －aa 2＋b 2，其中a ＝2019，b ＝2020.[:学科网] 解：原式＝(a 2＋b 2)(a ＋b )(a －b )(a －b )2·－(a －b )a 2＋b 2＝－(a ＋b )＝－a －b .当a ＝2019，b ＝2020时，原式＝－2019－2020＝－4039.26．(5分)先化简，再求值：a －2a 2－1÷⎝⎛⎭⎪⎫a －1－2a －1a ＋1，其中a 是方程x 2－x ＝6的根． 解：原式＝a －2a 2－1÷(a ＋1)(a －1)－(2a －1)a ＋1＝a －2a 2－1÷a 2－2a a ＋1＝1a 2－a .∵a 是方程x 2－x ＝6的根，∴a 2－a ＝6，∴原式＝16.27．(6分)先化简，再求值：a 2－6ab ＋9b 2a 2－2ab ÷⎝⎛⎭⎫5b 2a －2b －a －2b －1a ，其中a 、b 满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，a －b ＝2. 解：原式＝(a －3b )2a (a －2b )÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤5b 2a －2b －(a －2b )(a ＋2b )a －2b －1a ＝(a －3b )2a (a －2b )÷9b 2－a 2a －2b －1a ＝(a －3b )2a (a －2b )·a －2b(3b －a )(3b ＋a )－1a ＝－(a －3b )a ()3b ＋a －1a ＝－(a －3b )a (3b ＋a )－3b ＋a a (3b ＋a )＝－2a a (3b ＋a )＝－2a ＋3b .解⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝4，a －b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.∴当a ＝3，b ＝1时，原式＝－23＋3×1＝－13.28．(6分)先化简，再求值：x 2＋x x 2－2x ＋1÷⎝⎛⎭⎫2x －1－1x ，其中整数x 满足－2＜x ≤2. 解：原式＝x (x ＋1)(x －1)2÷2x －(x －1)x (x －1)＝x (x ＋1)(x －1)2×x (x －1)x ＋1＝x 2x －1.其中⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋1≠0，x (x －1)≠0，x ＋1≠0，即x ≠－1、0、1.又∵－2＜x ≤2，且x 为整数，∴x ＝2.将x ＝2代入x 2x －1中，得原式＝222－1＝4. 29．(7分)如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如8＝32－12,16＝52－32,24＝72－52，因此，8,16,24这三个数都是“和谐数”．(1)在32,75,80这三个数中，是和谐数的是__32,80__；(2)若200为和谐数，即200可以写成两个连续奇数的平方差，则这两个连续奇数的和为__100__；(3)小鑫通过观察发现以上求出的“和谐数”均为8的倍数，设两个连续奇数为2n －1和2n ＋1(其中n 取正整数)，请你通过运算验证“和谐数是8的倍数”这个结论是否正确．证明：∵(2n ＋1)2－(2n －1)2＝4n 2＋4n ＋1－(4n 2－4n ＋1)＝4n 2＋4n ＋1－4n 2＋4n －1＝8n ，∴“和谐数是8的倍数”这个结论是正确的．30．(8分)观察下列等式：第一个等式：a 1＝21＋3×2＋2×22＝12＋1－122＋1； 第二个等式：a 2＝221＋3×22＋2×(22)2＝122＋1－123＋1； 第三个等式：a 3＝231＋3×23＋2×(23)2＝123＋1－124＋1； 第四个等式：a 4＝241＋3×24＋2×(24)2＝124＋1－125＋1.按上述规律，回答下列问题：(1)请写出第六个等式：a 6＝__261＋3×26＋2×(26)2__＝__126＋1－127＋1__； (2)用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝__2n1＋3×2＋2×(2)__＝__12＋1－12＋＋1；(3)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝__1443__(得出最简结果)；(4)计算：a 1＋a 2＋…＋a n . 解：原式＝12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋12n＋1－12n ＋1＋1＝12＋1－12n ＋1＋1＝2n ＋1－23(2n ＋1＋1).《函数的图象与性质》综合检测卷 (时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分) 1．函数y ＝x ＋2x －3的自变量的取值范围是( C ) A ．x ≠3B ．x ≥－2C ．x ≥－2且x ≠3D ．x ≥32．一辆复兴号高铁从青州站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，复兴号到达下一个高铁站停下，乘客上、下车后，复兴号又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，可以近似地刻画出这辆复兴号高铁在这段时间内的速度变化情况的是( D )3．已知二次函数y ＝－(x －h)2＋4(h 为常数)，在自变量x 的值满足1≤x ≤4的情况下，与其对应的函数值y 的最大值为0，则h 的值为( A )A ．－1和6B ．2和6C ．－1和3D ．2和34．若点N 在第一、三象限的角平分线上，且点N 到y 轴的距离为2，则点N 的坐标是( C ) A ．(2,2)B ．(－2，－2)C ．(2,2)或(－2，－2)D ．(－2,2)或(2，－2)5．一次函数y ＝kx －k 与反比例函数y ＝kx在同一直角坐标系内的图象大致是( C )6．如图，A 、B 两点在双曲线y ＝4x上，分别经过A 、B 两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S 1＋S 2＝( D )A ．3B ．4C ．5D ．67．抛物线y ＝x 2－4x ＋3的图象向右平移2个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为( A )A ．(4，－1)B ．(0，－3)C ．(－2，－3)D ．(－2，－1)8．设A (－2，y 1)、B (1，y 2)、C (2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋m 上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系为( A )A ．y 1>y 2>y 3B ．y 1>y 3>y 2C ．y 3>y 2>y 1D ．y 2>y 1>y 39．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a ＋b ＋c ＜0；②a －b ＋c ＜0；③b ＋2a ＜0；④abc ＞0.其中所有正确结论的序号是( C )A ．③④B ．②③C ．①④D ．①②③10．如图，矩形ABCD 的顶点A 在第一象限，AB ∥x 轴，AD ∥y 轴，且对角线的交点与原点O 重合．在边AB 从小于AD 到大于AD 的变化过程中，若矩形ABCD 的周长始终保持不变，则经过动点A 的反比例函数y ＝kx(k ≠0)中k 的值的变化情况是( C )A ．一直增大B ．一直减小C ．先增大后减小D ．先减小后增大二、填空题(每小题3分，共18分)11．一次函数y ＝kx ＋b ，当1≤x ≤4时，3≤y ≤6，则k ·b 的值是__2或－7__.12．若抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个交点，且过点A (m ，n )，B (m ＋6，n )，则n ＝__9__.13．把直线y ＝－x ＋3向上平移m 个单位后，与直线y ＝2x ＋4的交点在第一象限，则m 的取值范围是__m ＞1__.14．如图，直线x ＝2与反比例函数y ＝2x 和y ＝－1x 的图象分别交于A 、B 两点，若点P是y 轴上任意一点，则△P AB 的面积是__1.5__15．如图，点A 在双曲线y ＝6x 上，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于点B ，当OA ＝4时，则△ABC 周长为16．如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为8 m ，两侧距地面4 m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6 m ，则这个门洞的高度为__9.1__m.(精确到0.1 m)三、解答题(共52分)17．(6分)已知一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于点A (－2,0)、B (0,3)．(1)求这个一次函数的解析式；(2)过点B 的另外一条直线l 与x 轴交于点C (c,0)，若点A 、B 、C 构成面积不大于6的三角形，求c 的取值范围．解：(1)设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ，把A (－2,0)、B (0,3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝32，b ＝3，所以一次函数解析式为y ＝32x ＋3.(2)根据题意得12·3·|c ＋2|≤6，即|c ＋2|≤4，所以－6≤c ≤2且c ≠－2.18．(6分)在平面直角坐标系中，已知点A (4,0)，点B (0,3)，点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在x 轴上向右平移，点Q 从B 点出发，以每秒2个单位的速度沿直线y ＝3向右平移，又P 、Q 两点同时出发，设运动时间为t 秒．(1)当t 为何值时，四边形OBPQ 的面积为8； (2)连接AQ ，当△APQ 是直角三角形时，求Q 的坐标．解：(1)设运动时间为t 秒，BQ ＝2t ，OP ＝4＋t ，则S ＝12(3t ＋4)×3＝8，解得t ＝49.(2)当∠QAP ＝90°时，Q (4,3)；当∠QP A ＝90°时，Q (8,3)；当∠AQP ＝90°时，不存在Q 点的坐标，故Q 点坐标为(4,3)、(8,3)．19．(6分)如图1所示，在A 、B 两地之间有汽车站C 站，客车由A 地驶往C 站，货车由B 地驶往A 地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C 站的距离y 1、y 2(千米)与行驶时间x (小时)之间的函数关系图象．(1)填空：A 、B 两地相距__420__千米；(2)求两小时后，货车离C 站的路程y 2与行驶时间x 之间的函数关系式； (3)客、货两车何时相遇？解：(2)由图可知货车的速度为60÷2＝30(千米/时)，货车到达A 地一共需要2＋360÷30＝14(小时)．设y 2＝kx ＋b ，代入点(2,0)、(14,360)，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2k ＋b ＝0，14k ＋b ＝360，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝30，b ＝－60，所以y 2＝30x －60.(3)设y 1＝mx ＋n ，代入点(6,0)、(0,360)，得⎩⎪⎨⎪⎧ 6m ＋n ＝0，n ＝360，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－60，n ＝360，所以y 1＝－60x ＋360.由y 1＝y 2，得－60x ＋360＝30x －60，解得x ＝143.故客、货两车经过143小时相遇．20．(6分)已知某市2017年企业用水量x (吨)与该月应缴的水费y (元)之间的函数关系如图．(1)当x ≥50时，求y 关于x 的函数关系式；(2)若某企业2018年10月份的水费为620元，求该企业2018年10月份的用水量； (3)为贯彻省委发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2019年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x 超过80吨，则除按2018年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收x20元，若某企业2019年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的用水量．解：(1)设y 关于x 的函数关系式y ＝kx ＋b .∵直线y ＝kx ＋b 经过点(50,200)，(60,260)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 50k ＋b ＝200，60k ＋b ＝260，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6，b ＝－100，∴y 关于x 的函数关系式是y ＝6x －100.(2)由图可知，当y ＝620时，x ＞50，∴6x －100＝620，解得x ＝120.故该企业2018年10月份的用水量为120吨．(3)由题意得6x －100＋x20(x －80)＝600，化简，得x 2＋40x －14 000＝0，解得x 1＝100，x 2＝－140(不合题意，舍去)．故这个企业2019年3月份的用水量是100吨．21．(6分)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋32x ＋c (a ≠0)与y 轴交于A (0,4)，与x 轴交于B 、C两点，点C 坐标为(8,0)，连接AB 、AC .(1)求抛物线的解析式；(2)判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋32x ＋c 与y 轴交于A (0,4)，与x 轴交于B 、C 两点，点C 坐标为(8,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4，64a ＋12＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，c ＝4，∴抛物线的解析式为y ＝－14x 2＋32x ＋4.(2)△ABC 为直角三角形，理由如下：当y ＝0时，即－14x 2＋32x ＋4＝0，解得x 1＝8，x 2＝－2，∴点B 的坐标为(－2,0)．在Rt △ABO 中，AB 2＝BO 2＋AO 2＝22＋42＝20.在Rt △ACO 中，AC 2＝CO 2＋AO 2＝82＋42＝80.∵BC ＝OB ＋OC ＝2＋8＝10，∴在△ABC 中，AB 2＋AC 2＝20＋80＝102＝BC 2，∴△ABC 是直角三角形．22．(7分)如图，已知A ⎝⎛⎭⎫－4，12，B (－1,2)是一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝mx (m ≠0，m ＜0)图象的两个交点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D .(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？(2)求一次函数解析式及m 的值；(3)P 是线段AB 上的一点，连接PC 、PD ，若△PCA 和△PDB 面积相等，求点P 的坐标．解：(1)当－4＜x ＜－1时，一次函数图象在反比例函数图象上方，故一次函数的值大于反比例函数的值．(2)设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b .∵y ＝kx ＋b 的图象过点⎝⎛⎭⎫－4，12，(－1,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝12，－k ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧k ＝12，b ＝52，故一次函数的解析式为y ＝12x ＋52.反比例函数y ＝mx图象过点(－1,2)，则m ＝－1×2＝－2.(3)连接PC 、PD ，设P ⎝⎛⎭⎫x ，12x ＋52.由△PCA 和△PDB 面积相等，得12×12×(x ＋4)＝12×|－1|×⎝⎛⎭⎫2－12x －52，解得x ＝－52，则y ＝12x ＋52＝54，∴点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫－52，54. 23．(7分)为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y (件)与销售单价x (元)之间的关系近似满足一次函数：y ＝－10x ＋500.(1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？(2)设李明获得的利润为w (元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ (3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？解：(1)当x ＝20时，y ＝－10x ＋500＝－10×20＋500＝300,300×(12－10)＝600，即政府这个月为他承担的总差价为600元．(2)依题意，得w ＝(x －10)(－10x ＋500)＝－10x 2＋600x －5000＝－10×(x －30)2＋4000.∵a ＝－10＜0，∴当x ＝30时，w 有最大值4000.即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．(3)由题意，得－10x 2＋600x －5000＝3000，解得x 1＝20，x 2＝40.∵a ＝－10＜0，抛物线开口向下，∴结合图象可知：当20≤x ≤40时，w ≥3000.又∵x ≤25，∴当20≤x ≤25时，w ≥3000.设政府每个月为他承担的总差价为p 元，则p ＝(12－10)×(－10x ＋500)＝－20x ＋1000.∵k ＝－20＜0.∴p 随x 的增大而减小，∴当x ＝25时，p 有最小值500.即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．24．(8分)如图，已知抛物线y ＝－14x 2－12x ＋2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C .(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)点E 是此抛物线上的点，点F 是其对称轴上的点，求以A 、B 、E 、F 为顶点的平行四边形的面积；(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得△ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)令y ＝0，得－14x 2－12x ＋2＝0，∴x 2＋2x －8＝0，解得x ＝－4或2，∴点A 坐标为(2,0)，点B 坐标为(－4,0)．令x ＝0，得y ＝2，∴点C 坐标为(0,2)．(2)①AB 为平行四边形的边时，∵AB ＝EF ＝6，对称轴x ＝－1，∴点E 的横坐标为－7或5，∴点E 坐标为⎝⎛⎭⎫－7，－274或⎝⎛⎭⎫5，－274，此时点F ⎝⎛⎭⎫－1，－274，∴以A 、B 、E 、F 为顶点的平行四边形的面积为6×274＝812；②当点E 在抛物线顶点时，点E ⎝⎛⎭⎫－1，94，设对称轴与x 轴交点为M ，令EM 与FM 相等，则四边形AEBF 是菱形，此时以A 、B 、E 、F 为顶点的平行四边形的面积为12×6×92＝272.(3)如图所示，①当C 为顶点时，CM 1＝CA ，CM 2＝CA ，作M 1N ⊥OC 于点N .在Rt △CM 1N 中，CN ＝CM 21－M 1N 2＝7，∴点M 1坐标为(－1,2＋7)，点M 2坐标为(－1,2－7)；②当M 3为顶点时，∵直线AC 解析式为y ＝－x ＋2，线段AC 的垂直平分线为y ＝x ，∴点M 3坐标为(－1，－1)；③以点A 为顶点的等腰三角形不存在．综上所述，点M 坐标为(－1，－1)或(－1,2＋7)或(－1,2－7)．《方程(组)与不等式(组)》综合检测卷 (时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知实数a 、b ，若a ＞b ，则下列结论错误的是( D ) A ．a －7＞b －7 B ．6＋a ＞b ＋6 C ．a 5>b 5D ．－3a ＞－3b2．已知x ＝2是方程2x ＋m －4＝0的解，则m 的值为( C ) A ．8 B ．－8 C ．0D ．23．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－13x >0的解集在数轴上表示正确的是( A )4．已知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝m ，nx －y ＝1的解，则m －n 的值是( D )A ．1B ．2C ．3D ．45．一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，x －5≤0的解集中，整数解的个数是( C )A ．4B ．5C ．6D ．76．关于x 的方程m 2x 2－8mx ＋12＝0至少有一个正整数解，且m 是整数，则满足条件的m 的值的个数是( B )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个7．为加快环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设现在平均每天植树x 棵，则列出的方程为( A )A ．400x ＝300x －30B ．400x －30＝300xC ．400x ＋30＝300xD ．400x ＝300x ＋308．大学生嘉嘉假期去图书馆做志愿者服务，并与图书馆达成如下协议：做满30天，图书馆将支付给他一套名著和生活费600元，但他在做到20天时，由于学校有临时任务，只能终止服务，图书馆只付出一套名著和300元，设这套名著的价格为x 元，则下面所列方程正确的是( B )A ．x ＋60020＝x ＋30030B ．x ＋60030＝x ＋30020C ．x －60030＝x －30020D ．x －60020＝x －300309．若解分式方程x －1x ＋4＝mx ＋4时产生增根，则m ＝( D )A ．1B ．0C ．－4D ．－510．某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．则这个敬老院的老人最少有( B )A ．29人B ．30人C ．31人D ．32人二、填空题(每小题3分，共18分)11．如果不等式(a －3)x ＜b 的解集是x ＜ba －3，那么a 的取值范围是__a >3__.12．方程x x －2 ＝ 12－x的根x ＝__－1__.13．对于实数a 、b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab (a ≥b )，ab －b 2(a <b ).例如：4]__3或－3__. 14．铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160 cm ，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30 cm ，长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为__78__cm.15．若方程x 2＋2x －13＝0的两根分别为m 、n ，则mn (m ＋n )＝__26__.16．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为__80__元．三、解答题(共52分) 17．(6分)解方程(组)：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4， ①3x ＋y ＝16； ②解：(1)①＋②，得4x ＝20，即x ＝5.将x ＝5代入①，得y ＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1.(2)(x －5)(x ＋4)＝10；解：去括号、移项、整理，得x 2－x －30＝0，解得x 1＝－5，x 2＝6. (3)1x －2－3＝x －12－x. 解：去分母，得1－3(x －2)＝－(x －1)，整理，得－2x ＋6＝0，解得x ＝3.经检验，x ＝3是原分式方程的根．18．(4分)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3x >x －6，x －12≤x ＋16，并把它的解集在数轴(如图)上表示出来．解：⎩⎨⎧3x >x －6，①x －12≤x ＋16，②由①，得x ＞－3.由②，得x ≤2.∴原不等式组的解集为－3＜x ≤2.19．(6分)已知关于x 的方程2x 2＋kx －1＝0 (1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的一根是－1，求另外一个根及k 的值．(1)证明：b 2－4ac ＝k 2＋8>0，即方程2x 2＋kx －1＝0有两个不相等的实数根．(2)解：把x ＝－1代入原方程，得2－k －1＝0，所以k ＝1，即原方程为2x 2＋x －1＝0，解得x 1＝－1，x 2＝12，即另外一根为12.20．(6分)百货大楼服装柜在销售中发现：某品牌童装每件成本60元，现以每件100元销售，平均每天可售出20件．为了迎接五一劳动节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多销售2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，请你帮商场算一算，每件童装应定价多少元？解：设每件童装应降价x 元．由题意，得(100－60－x )(20＋2x )＝1200，解得x 1＝10，x 2＝20.∵尽量减少库存，∴x ＝20，∴100－20＝80(元)，故每件童装应定价为80元．21．(7分)某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54，购进数量比第一次少了30支．(1)求第一次每支铅笔的进价是多少元；(2)若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问：每支售价至少是多少元？解：(1)设第一次每支铅笔进价为x 元．根据题意，得600x －60054x ＝30，解得x ＝4.经检验，x ＝4是原分式方程的解，故第一次每支铅笔的进价是4元．(2)设售价为y 元．根据题意，列不等式为6004×(y －4)＋6004×54×(y －5)≥420，解得y ≥6.故每支售价至少是6元．22．(7分)阅读材料：我们知道：若几个非负数相加得零，则这些数必同时为零． 例如：①若(a －1)2＋(b ＋5)2＝0，则(a －1)2＝0，(b ＋5)2＝0，∴a ＝1，b ＝－5. ②若m 2－4m ＋n 2＋6n ＋13＝0，求m 、n 的值．解：∵m 2－4m ＋n 2＋6n ＋13＝(m 2－4m ＋4)＋(n 2＋6n ＋9)＝0(将13拆成4和9，等式左边就出现了两个完全平方式)，∴(m －2)2＋(n ＋3)2＝0， ∴(m －2)2＝0，(n ＋3)2＝0， ∴m ＝2，n ＝－3.根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知x 2＋2xy ＋2y 2－6y ＋9＝0，求x y 的值；(2)已知a 、b (a ≠b )是等腰三角形的边长，且满足2a 2＋b 2－8a －6b ＋17＝0，求三角形的周长．解：(1)∵x 2＋2xy ＋2y 2－6y ＋9＝x 2＋2xy ＋y 2＋y 2－6y ＋9＝(x ＋y )2＋(y －3)2＝0，∴x ＋y ＝0，y －3＝0，∴y ＝3，x ＝－y ＝－3，∴x y ＝(－3)3＝－27.(2)∵2a 2＋b 2－8a －6b ＋17＝2a 2－8a ＋8＋b 2－6b ＋9＝2(a 2－4a ＋4)＋(b 2－6b ＋9)＝2(a －2)2＋(b －3)2＝0，∴a －2＝0，b －3＝0，∴a ＝2，b ＝3.∴当a 为腰时，周长为7；当b 为腰时，周长为8.∴三角形的周长为7或8.23．(8分)如果方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1、x 2，那么x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q .请根据以上结论，解决下列问题：(1)已知关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0 (n ≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；(2)已知a 、b 满足a 2－15a －5＝0，b 2－15b －5＝0，求a b ＋ba的值；(3)已知a 、b 、c 均为实数，且a ＋b ＋c ＝0，abc ＝16，求正数c 的最小值．解：(1)设x 2＋mx ＋n ＝0 (n ≠0)的两根为x 1、x 2.∴x 1＋x 2＝－m ，x 1·x 2＝n .∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－m n ，1x 1·1x 2＝1n .∴所求一元二次方程为x 2＋m n x ＋1n＝0，即nx 2＋mx ＋1＝0. (2)①当a ≠b 时，由题意知a 、b 是一元二次方程x 2－15x －5＝0的两根，∴a ＋b ＝15，ab ＝－5.∴a b ＋b a ＝a 2＋b 2ab ＝(a ＋b )2－2ab ab ＝152－2×(－5)－5＝－47.②当a ＝b 时，a b ＋ba ＝1＋1＝2.综上，a b ＋ba＝－47或2.(3)∵a ＋b ＋c ＝0，abc ＝16，∴a ＋b ＝－c ，ab ＝16c .∴a 、b 是方程x 2＋cx ＋16c ＝0的两根，∴Δ＝c 2－4×16c≥0.∵c ＞0，∴c 3≥64，∴c ≥4，∴c 的最小值为4.24．(8分)某小区准备新建60个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建2个地上停车位和3个地下停车位共需1.7万元；新建4个地上停车位和2个地下停车位共需1.4万元．(1)该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？(2)若该小区新建车位的投资金额超过14万元而不超过15万元，问共有几种建造方案？ (3)对(2)中的几种建造方案，哪一种方案的投资最少？并求出最少投资金额．解：(1)设新建一个地上停车位需x 万元，新建一个地下停车位需y 万元．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝1.7，4x ＋2y ＝1.4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.1，y ＝0.5.故新建一个地上停车位需0.1万元，新建一个地下停车位需0.5万元．(2)设新建m 个地上停车位，由题意，得14＜0.1m＋0.5(60－m )≤15，解得37.5≤m ＜40，因为m 为整数，所以m ＝38或39，对应的60－m ＝22或21，故一共有2种建造方案．(3)当m ＝38时，投资0.1×38＋0.5×22＝14.8(万元)，当m ＝39时，投资0.1×39＋0.5×21＝14.4(万元)，故当地上建39个车位，地下建21个车位时，投资最少，金额为14.4万元．《图形及其变化》综合检测卷(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图是某几何体的三视图，该几何体是(B)A．圆锥B．圆柱C．棱柱D．正方体3．一个正方体的每个面上都写有一个汉字，如图，在该正方体中，和“超”相对的字是(C)A．沉B．信C．自D．着4．如图是由4个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么原立体图形不可能是(C)5．如图，将△ABC沿BC方向平移2 cm得到△DEF，若△ABC的周长为16 cm，则四边形ABFD的周长为(C)A．16 cm B．18 cmC．20 cm D．22 cm6．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D (5,3)在边AB 上，以C 为中心，把△CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D ′的坐标是( C )A ．(2,10)B ．(－2,0)C ．(2,10)或(－2,0)D ．(10,2)或(－2,0)7．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A (2,2)、B (3,1)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的2倍后得到线段CD ，则端点C 的坐标为( C )A ．(3,1)B ．(3,3)C ．(4,4)D ．(4,1)8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝70°，以B 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、BC 于点E 、F ，再分别以点E 、F 为圆心、以大于12EF 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ，则∠BDC 为( B )A ．65°B ．75°C ．80°D ．85°9．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B ′F 的长为( B )A ．35B ．45C ．23D ．3210．如图，△AOB 为等腰三角形，AO ＝AB ，顶点A 的坐标为(2，5)，底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A ′O ′B ，点A 的对应点A ′在x 轴上，则点O ′的坐标为( C )A ．⎝⎛⎭⎫203，103B ．⎝⎛⎭⎫163，435 C ．⎝⎛⎭⎫203，435D ．⎝⎛⎭⎫163，43二、填空题(每小题3分，共18分)11．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(2，－3)，作点A 关于x 轴的对称点，得到点A ′，再作点A ′关于y 轴的对称点，得到点A ″，则点A ″的坐标是__(－2,3)__.12．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为__12__.13．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 相交于点O ，且OE ＝OD ，则AP 的长为__245__.14．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝4，将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，若点F 是DE 的中点，连接AF ，则AF ＝__5__.15．如图，将等边△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转，使边AB 与AC 重合得△ACD ，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是__60°__.16．如图，在直角坐标系中，已知点A(－3,0)、B(0,4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1，△2，△3，△4，…，则△2020的直角顶点的坐标为__(8076,0)__.三、解答题(共52分)17．(6分)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．(1)点A的坐标为__(2,7)__，点C的坐标为__(6,5)__；(2)将△ABC向左平移7个单位，请画出平移后的△A1B1C1，若M为△ABC内的一点，其坐标为(a，b)，则平移后点M1的坐标为__(a－7，b)__；(3)以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1∶2，请在网格内画出一个△A2B2C2，则点A2的坐标为__(1,3.5)__.18．(6分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形．(1)用直尺和圆规作出对角线AC的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F；(保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)作出的图形中，连接CE、AF，若AB＝4，BC＝8，且AB⊥AC，求四边形AECF 的周长．解：(1)如图所示：(2)根据作图，易知四边形AECF 是菱形，∴AF ＝FC ，∴∠F AC ＝∠FCA ．∵AB ⊥AC ，∴∠BAC ＝90°，∴∠BAF ＋∠F AC ＝90°，∠B ＋∠FCA ＝90°，∴∠B ＝∠BAF ，∴AF ＝BF ，∴BF ＝FC .∴四边形AECF 的周长＝4FC ＝2BC ＝16.19．(6分)如图，小明家窗外有一堵围墙AB ，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C 射进房间的地板F 处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D 射进房间的地板E 处，小明测得窗子距地面的高度OD ＝0.8 m ，窗高CD ＝1.2 m ，并测得OE ＝0.8 m ，OF ＝3 m ，求围墙AB 的高度．解：延长OD .∵DO ⊥BF ，∴∠DOE ＝90°.∵OD ＝0.8 m ，OE ＝0.8 m ，∴∠DEB ＝45°.∵AB ⊥BF ，∴∠BAE ＝45°，∴AB ＝BE ，设AB ＝EB ＝x m ．∵AB ⊥BF ，CO ⊥BF ，∴AB ∥CO ，∴△ABF ∽△COF ，∴AB BF ＝CO OF ，即x x ＋(3－0.8)＝1.2＋0.83，解得x ＝4.4.经检验，x ＝4.4是原方程的解．故围墙AB 的高度是4.4 m.20．(6分)如图，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(2,0)，∠COA ＝60°，将菱形OABC 绕坐标原点O 逆时针旋转120°得到菱形ODEF .(1)直接写出点F 的坐标；(2)求线段OB 的长及图中阴影部分的面积．解：(1)(－2,0)．(2)连接OE 、OB 、AC ，OB 与AC 相交于点H .∵菱形OABC 中，OA ＝2，∠COA ＝60°，∴∠BOC ＝∠BOA ＝30°，OB ⊥AC ，∴OB ＝2OH ＝2OA ·cos ∠BOA ＝2×2×32＝23，CH ＝AH ＝OA ·sin ∠BOA ＝2×12＝1.∵将菱形OABC 绕坐标原点O 逆时针旋转120°得到菱形ODEF ，∴∠BOE＝120°.S 阴影＝S 扇形OBE －2S △OBC ＝120π×(23)2360－2×12×23×1＝4π－2 3.21．(7分)如图，在11×11的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC (即三角形的顶点都在格点上)．(1)在图中作出△ABC 关于直线l 对称的△A 1B 1C 1；(要求A 与A 1，B 与B 1，C 与C 1相对应)(2)作出△ABC 绕点C 顺时针方向旋转90°后得到的△A 2B 2C ；(3)在(2)的条件下直接写出点B 旋转到B 2所经过的路径的长．(结果保留π)解：(1)△A 1B 1C 1如图所示． (2)△A 2B 2C 如图所示． (3)根据勾股定理，BC ＝12＋42＝17，所以点B 旋转到B 2所经过的路径的长＝π217.22．(7分)如图，点O 为平面直角坐标系的原点，点A 在x 轴的正半轴上，正方形OABC 的边长是3，点D 在AB 上，且AD ＝1.将△OAD 绕着点O 逆时针旋转得到△OCE .(1)求证：OE ⊥OD ；(2)在x 轴上找一点P ，使得PD ＋PE 的值最小，求出点P 的坐标．(1)证明：∵将△OAD 绕着点O 逆时针旋转得到△OCE ，∴∠AOD ＝∠COE .∵四边形OABC 是正方形，∴∠AOC ＝90°，∴∠AOD ＋∠COD ＝∠COE ＋∠COD ＝90°，即∠DOE ＝90°，∴OE ⊥OD .(2)解：∵OA ＝3，AD ＝1，∴D (3,1)．作点D 关于x 轴对称的点F ，连接EF 交x 轴于点P ，此时，PD ＋PE 的值最小．∵D (3,1)，∴F (3，－1)．∵将△OAD 绕着点O 逆时针旋转90°得到△OCE ，∴E (－1,3)．设直线EF 的解析式为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝－k ＋b ，－1＝3k ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2，∴直线EF 的解析式为y ＝－x ＋2.当y ＝0时，x ＝2，∴P (2,0)．23．(7分)如图，一伞状图形，已知∠AOB ＝120°，点P 是∠AOB 平分线上一点，且OP ＝2，∠MPN ＝60°，PM 与OB 交与点F ，PN 与OA 交于点E .(1)如图1，当PN 与PO 重合时，探索PE 、PF 的数量关系；(2)如图2，将∠MPN 在(1)的情形下绕点P 逆时针旋转α(0＜α＜60°)，继续探索PE 、PF 的数量关系，并求四边形OEPF 的面积．解：(1)∵∠AOB ＝120°，OP 平分∠AOB ，∴∠POF ＝60°.∵∠MPN ＝60°，∴△PEF 是等边三角形，∴PE ＝PF .(2)过点P 作PQ ⊥OA ，PH ⊥OB .∵OP 平分∠AOB ，∴PQ ＝PH ，∠PQO ＝∠PHO ＝90°.∵∠AOB ＝120°，∴∠QPH ＝60°＝∠MPN ，∴∠QPE ＋∠EPH ＝∠FPH ＋∠EPH ，∴∠QPE ＝∠HPF .在△QPE 和△HPF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EQP ＝∠FHP ，PQ ＝PH ，∠QPE ＝∠HPF ，∴△QPE ≌△HPF ，∴PE ＝PF ，S 四边形OEPF ＝S 四边形OQPH .∵PQ⊥O A ，PH ⊥OB ，OP 平分∠AOB ，∴∠QPO ＝30°，∴OQ ＝1，QP ＝3，∴S △OPQ ＝32，∴S 四边形OEPF ＝2S △OPQ ＝3.24．(7分)在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为22的正方形AEFG 按图1位置放置，AD 与AE 在同一直线上，AB 与AG 在同一直线上．(1)小明发现DG ⊥BE ，请你帮他说明理由；(2)如图2，小明将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转，当点B 恰好落在线段DG 上时，请你帮他求出此时BE 的长；(3)如图3，小明将正方形ABCD 绕点A 继续逆时针旋转，使线段DG 与线段BE 相交，交点为H ，写出△GHE与△BHD 面积之和的最大值，并简要说明理由．解：(1)∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE，∴△ADG≌△ABE(SAS)，∴∠AGD＝∠AEB.延长EB交DG于点H.在△ADG中，∵∠AGD＋∠ADG ＝90°，∴∠AEB＋∠ADG＝90°，∴∠DHE＝90°，∴DG⊥BE.(2)∵AD＝AB，∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE，∴∠DAB＋∠BAG＝∠GAE＋∠BAG，即∠DAG ＝∠BAE，∴△ADG≌△ABE(SAS)，∴DG＝BE.过点A作AM⊥DG交DG于点M，则∠AMD＝∠AMG ＝90°.∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠MDA＝45°.在Rt△AMD中，∵∠MDA＝45°，AD＝2，∴DM＝AM＝ 2.在Rt△AMG中，根据勾股定理，得GM＝AG2－AM2＝6，∴DG＝DM＋GM＝2＋6，∴BE＝DG＝2＋ 6.(3)△GHE和△BHD面积之和的最大值为6.理由如下：∵对于△GHE，点H在以EG为直径的圆上，∴当点H与点A重合时，△GHE的面积最大．∵对于△BHD，点H在以BD为直径的圆上，∴当点H与点A重合时，△BHD的面积最大，∴△GHE和△BHD面积之和的最大值为2＋4＝6.《三角形》综合检测卷(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列长度的三条线段，可以组成三角形的是(B)A．10、5、4B．3、4、2C．1、11、8D．5、3、82．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的边数是(C)A．10B．9C．8D．63．如图，已知∠ABC＝∠BAD.下列条件中，不能作为判定△ABC≌△BAD的条件的是(D)A．∠C＝∠D B．∠BAC＝∠ABDC．BC＝AD D．AC＝BD。

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初三数学中考试卷(北师大版,含答案)

初三数学中考试卷(北师大版,含答案)

初三数学中考试卷一、选择题(本题共10个小题，每小题4分，共40分。

请选出各题中其中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不给分)1．冬季的一天，室内温度是8℃，室外温度是－2℃，则室内外温度相差( )A、4℃B、6℃C、10℃D、16℃2．一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是（）A、 B、 C、 D、3．右图中几何体的正视图是( )4．吋是电视机常用规格之一，1吋约为拇指上面一节的长，则7吋长相当于( )A、课本的宽度B、课桌的宽度C、黑板的高度D、粉笔的长度5．已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于( )A、15°B、20°C、25°D、30°6．如图，设M、N分别是直角梯形ABCD两腰AD、CB的中点，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE∶BE等于( )A、2∶1B、1∶2C、3∶2D、2∶37．不等式的解集是( )A、 B、 C、 D、8．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有( )A、2对B、3对C、4对D、6对9．小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是( )A、3.5mB、4 mC、4.5 mD、 4.6 m10．如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E 在函数的图象上，则点E的坐标是( )A、 B、C、 D、二、填空题(本题有6小题，每小题5分共30分)11．当______________时，分式的值为0.12.据媒体报道，今年“五一”黄金周期间，我市旅游收入再创历史新高，达1290000000元，用科学记数法表示为______________元.13．如图是小敏五次射击成绩的图，根据图示信息，则此五次成绩的平均数是_____________环。

北师大版九年级下册数学中考测试卷(含答案)

北师大版九年级下册数学中考测试卷(含答案)

北师大数学中考模拟测试卷一、选择题：（本部分共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的．）1．（3分）的倒数是（）A．2 B．﹣2 C．D．2．（3分）如图所示的物体是一个几何体，其主视图是（）A．B．C．D．3．（3分）今年参加我市初中毕业生学业考试的总人数约为56000人，这个数据用科学记数法表示为（）A．5.6×103B．5.6×104C．5.6×105D．0.56×1054．（3分）下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）下列运算正确的是（）A．x2+x3=x5B．（x+y）2=x2+y2C．x2•x3=x6D．（x2）3=x66．（3分）今年春节期间，我市某景区管理部门随机调查了1000名游客，其中有900人对景区表示满意．对于这次调查以下说法正确的是（）A．若随机访问一位游客，则该游客表示满意的概率约为0.9B．到景区的所有游客中，只有900名游客表示满意C．若随机访问10位游客，则一定有9位游客表示满意D．本次调查采用的方式是普查7．（3分）一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是（）A．100元B．105元C．108元D．118元8．（3分）已知点P（a﹣1，a+2）在平面直角坐标系的第二象限内，则a的取值范围在数轴上可表示为（）A． B．C．D．9．（3分）中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖、参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会．某观众前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（）A．B．C．D．10．（3分）如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（）A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F11．（3分）正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（）A．B．2 C．3 D．212．（3分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）．13．（3分）因式分解：ax2﹣4a=．14．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若BD=10cm，BC=8cm，则点D到直线AB的距离是cm．15．（3分）如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于．16．（3分）如图，已知四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数的图象经过点C，且与AB交于点E．若OD=2，则△OAE的面积为．三、解答题（本题共7小题，其中第17小题6分，第18小题5分，第19小题8分，第20小题8分，第21小题8分，第22小题8分，第23小题9分，共52分．）17．（6分）计算：．18．（5分）解方程：．19．（8分）某课题小组为了解某品牌手机的销售情况，对某专卖店该品牌手机在今年1～4月的销售做了统计，并绘制成如图两幅统计图（如图）．（1）该专卖店1～4月共销售这种品牌的手机台；（2）请将条形统计图补充完整；（3）在扇形统计图中，“二月”所在的扇形的圆心角的度数是；（4）在今年1～4月份中，该专卖店售出该品牌手机的数量的中位数是台．20．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）21．（8分）为了能以“更新、更绿、更洁、更宁”的城市形象迎接2011年大运会的召开，深圳市全面实施市容市貌环境提升行动．某工程队承担了一段长为1500米的道路绿化工程，施工时有两张绿化方案：甲方案是绿化1米的道路需要A型花2枝和B型花3枝，成本是22元；乙方案是绿化1米的道路需要A型花1枝和B型花5枝，成本是25元．现要求按照乙方案绿化道路的总长度不能少于按甲方案绿化道路的总长度的2倍．（1）求A型花和B型花每枝的成本分别是多少元？（2）求当按甲方案绿化的道路总长度为多少米时，所需工程的总成本最少？总成本最少是多少元？22．（8分）如图，已知OA⊥OB，OA=4，OB=3，以AB为边作矩形ABCD，使AD=a，过点D作DE垂直OA的延长线交于点E．（1）证明：△OAB∽△EDA；（2）当a为何值时，△OAB与△EDA全等？请说明理由，并求出此时点C到OE的距离．23．（9分）已知，如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；（3）求出S与t的函数关系式．参考答案与试题解析一、选择题：（本部分共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的．）1．（3分）（2016•巨野县二模）的倒数是（）A．2 B．﹣2 C．D．【解答】解：∵﹣2×（﹣）=1，∴﹣的倒数是﹣2．故选；B．2．（3分）（2011•深圳）如图所示的物体是一个几何体，其主视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从物体正面看，看到的是一个等腰梯形．故选C．3．（3分）（2011•深圳）今年参加我市初中毕业生学业考试的总人数约为56000人，这个数据用科学记数法表示为（）A．5.6×103B．5.6×104C．5.6×105D．0.56×105【解答】解：56000=5.6×104．故选B．4．（3分）（2016•历城区二模）下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误．故选C．5．（3分）（2011•深圳）下列运算正确的是（）A．x2+x3=x5B．（x+y）2=x2+y2C．x2•x3=x6D．（x2）3=x6【解答】解：A、x2+x3≠x5，故本选项错误；B、（x+y）2=x2+y2+2xy，故本选项错误；C、x2•x3=x5，故本选项错误；D、（x2）3=x6，故本选项正确．故选D．6．（3分）（2016•深圳二模）今年春节期间，我市某景区管理部门随机调查了1000名游客，其中有900人对景区表示满意．对于这次调查以下说法正确的是（）A．若随机访问一位游客，则该游客表示满意的概率约为0.9B．到景区的所有游客中，只有900名游客表示满意C．若随机访问10位游客，则一定有9位游客表示满意D．本次调查采用的方式是普查【解答】解：根据题意，弄清这样一个抽样调查，从中知道若随机访问一位游客，则该游客表示满意的概率约为0.9，故A是正确的；1000名游客，其中有900人对景区表示满意，故B不正确；由题意知，满意的概率为0.9，这是一个统计数据，不一定随机访问10位游客，就一定有9位游客表示满意，故C不正确；由题意知，本次调查是用样本估计总体，是抽样调查，故D不正确．故选A．7．（3分）（2011•深圳）一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是（）A．100元B．105元C．108元D．118元【解答】解：设这件服装的进价为x元，依题意得：（1+20%）x=200×60%，解得：x=100，则这件服装的进价是100元．故选A8．（3分）（2010•深圳）已知点P（a﹣1，a+2）在平面直角坐标系的第二象限内，则a的取值范围在数轴上可表示为（）A． B．C．D．【解答】解：∵点P（a﹣1，a+2）在平面直角坐标系的第二象限内，则有解得﹣2＜a＜1．故选C．9．（3分）（2005•深圳）中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖、参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会．某观众前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：因为20个商标有5个中奖，翻了两个都中奖，所以还剩18个，其中还有3个会中奖，所以这位观众第三次翻牌获奖的概率是．故选B．10．（3分）（2014•深圳）如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（）A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F【解答】解：∵AB=DE，∠B=∠DEF，∴添加AC∥DF，得出∠ACB=∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确；当添加∠A=∠D时，根据ASA，也可证明△ABC≌△DEF，故B正确；但添加AC=DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C不正确；故选：C．11．（3分）（2014•天津）正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（）A．B．2 C．3 D．2【解答】解：∵正六边形的边心距为，∴OB=，AB=OA，∵OA2=AB2+OB2，∴OA2=（OA）2+（）2，解得OA=2．故选：B．12．（3分）（2016•扬州二模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，由题意可得出：△DAF≌△BAF′，∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，∴∠EAF′=45°，在△FAE和△EAF′中，，∴△FAE≌△EAF′（SAS），∴EF=EF′，∵△ECF的周长为4，∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=4，∴2BC=4，∴BC=2．故选A．二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）．13．（3分）（2015•梧州）因式分解：ax2﹣4a=a（x+2）（x﹣2）．【解答】解：ax2﹣4a=a（x2﹣4）=a（x﹣2）（x+2）．故答案为：a（x﹣2）（x+2）．14．（3分）（2016•深圳二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC 于点D，若BD=10cm，BC=8cm，则点D到直线AB的距离是6cm．【解答】解：∵BD=10cm，BC=8cm，∠C=90°，∴DC=6cm，由角平分线定理得点D到直线AB的距离等于DC的长度，故点D到直线AB的距离是6cm；故答案为：6．15．（3分）（2009•本溪）如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）在△ABC 内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于．【解答】解：∵OB=，OC=1，∴BC=2，∴∠OBC=30°，∠OCB=60°．而△AA1B1为等边三角形，∠A1AB1=60°，∴∠COA1=30°，则∠CA1O=90°．在Rt△CAA1中，AA1=OC=，同理得：B1A2=A1B1=，依此类推，第n个等边三角形的边长等于．16．（3分）（2016•深圳二模）如图，已知四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数的图象经过点C，且与AB交于点E．若OD=2，则△OAE的面积为2﹣2．【解答】解：过点E作EF⊥x轴，交x轴于点F，∵OD=2，即C横坐标为2，∴把x=2代入反比例解析式得：y=2，即C（2，2），∴CD=OD=2，即△OCD为等腰直角三角形，∵四边形ABCO为菱形，∴OC∥AB，OA=OC=2，∴∠EAF=45°，设EF=AF=x，则有OF=OA+AF=2+x，∴E（2+x，x），把E坐标代入反比例解析式得：x（2+x）=4，解得：x=﹣+（负值舍去），则△OAE面积S=OA•EF=×2×（﹣+）=22．故答案为：2﹣2三、解答题（本题共7小题，其中第17小题6分，第18小题5分，第19小题8分，第20小题8分，第21小题8分，第22小题8分，第23小题9分，共52分．）17．（6分）（2016•深圳二模）计算：．【解答】解：原式=2﹣3﹣1+1﹣2=﹣3．18．（5分）（2016•深圳二模）解方程：．【解答】解：方程两边同乘（x﹣4），得：3+x+x﹣4=﹣1，整理解得x=0．经检验x=0是原方程的解．19．（8分）（2016•深圳二模）某课题小组为了解某品牌手机的销售情况，对某专卖店该品牌手机在今年1～4月的销售做了统计，并绘制成如图两幅统计图（如图）．（1）该专卖店1～4月共销售这种品牌的手机240台；（2）请将条形统计图补充完整；（3）在扇形统计图中，“二月”所在的扇形的圆心角的度数是135°；（4）在今年1～4月份中，该专卖店售出该品牌手机的数量的中位数是55台．【解答】解：（1）由两种统计图可知一月份的销售量为60台，占前四个月销售量的25%，∴60÷25%=240，∴专卖店1～4月共销售这种品牌的手机240台；（2）如图（3）∵×360°=135°∴“二月”所在的扇形的圆心角的度数是135°；（4）排序后一三两月的销量位于中间位置，∴中位数为：（60+50）÷2=55台．20．（8分）（2014•昆明）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）【解答】（1）证明：连接OD，∵OD=OB，∴∠1=∠ODB，∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，而∠A=2∠1，∴∠DOC=∠A，∵∠A+∠C=90°，∴∠DOC+∠C=90°，∴OD⊥DC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵∠A=60°，∴∠C=30°，∠DOC=60°，在Rt△DOC中，OD=2，∴CD=OD=2，∴阴影部分的面积=S△COD﹣S扇形DOE=×2×2﹣=2﹣．21．（8分）（2016•深圳二模）为了能以“更新、更绿、更洁、更宁”的城市形象迎接2011年大运会的召开，深圳市全面实施市容市貌环境提升行动．某工程队承担了一段长为1500米的道路绿化工程，施工时有两张绿化方案：甲方案是绿化1米的道路需要A型花2枝和B型花3枝，成本是22元；乙方案是绿化1米的道路需要A型花1枝和B型花5枝，成本是25元．现要求按照乙方案绿化道路的总长度不能少于按甲方案绿化道路的总长度的2倍．（1）求A型花和B型花每枝的成本分别是多少元？（2）求当按甲方案绿化的道路总长度为多少米时，所需工程的总成本最少？总成本最少是多少元？【解答】解：（1）设A型花和B型花每枝的成本分别是x元和y元，根据题意得：解得：所以A型花和B型花每枝的成本分别是5元和4元．（2）设按甲方案绿化的道路总长度为a米，根据题意得：1500﹣a≥2aa≤500则所需工程的总成本是5×2a+4×3a+5（1500﹣a）+4×5（1500﹣a）=10a+12a+7500﹣5a+30000﹣20a=37500﹣3a∴当按甲方案绿化的道路总长度为500米时，所需工程的总成本最少w=37500﹣3×500=36000（元）∴当按甲方案绿化的道路总长度为500米时，所需工程的总成本最少，总成本最少是36000元．22．（8分）（2010•茂名）如图，已知OA⊥OB，OA=4，OB=3，以AB为边作矩形ABCD，使AD=a，过点D作DE垂直OA的延长线交于点E．（1）证明：△OAB∽△EDA；（2）当a为何值时，△OAB与△EDA全等？请说明理由，并求出此时点C到OE的距离．【解答】（1）证明：如图所示，∵OA⊥OB，∴∠1+∠2=90°，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵OA⊥OB，OE⊥OA，∴∠BOA=∠DEA=90°，∴△OAB∽△EDA．（2）解：在Rt△OAB中，AB==5，由（1）可知∠1=∠3，∠BOA=∠DEA=90°，∴当a=AD=AB=5时，△AOB与△EDA全等．当a=AD=AB=5时，可知矩形ABCD为正方形，∴BC=AB，如图，过点C作CH⊥OE交OE于点H，则CH就是点C到OE的距离，过点B作BF⊥CH交CH于点F，则∠4与∠5互余，∠1与∠5互余，∴∠1=∠4，又∵∠BFC=∠BOA，BC=AB，∴△OAB≌△FCB（AAS），∴CF=OA=4，BO=BF．∴四边形OHFB为正方形，∴HF=OB=3，∴点C到OE的距离CH=CF+HF=4+3=7．23．（9分）（2016•深圳二模）已知，如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；（3）求出S与t的函数关系式．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），把点A（1，﹣1），B（3，﹣1）代入得，，解得：，故抛物线解析式为y=x2﹣x；（2）∵点P从点O出发速度是每秒2个单位长度，∴OP=2t，∴点P的坐标为（2t，0），∵A（1，﹣1），∴∠AOC=45°，∴点Q到x轴、y轴的距离都是OP=×2t=t，∴点Q的坐标为（t，﹣t）；（3）如图，点Q与点A重合时，OP=1×2=2，t=2÷2=1，点P与点C重合时，OP=3，t=3÷2=1.5，t=2时，OP=2×2=4，PC=4﹣3=1，此时PQ经过点B，所以，分三种情况讨论：①0＜t≤1时，重叠部分的面积等于△POQ的面积，S=×（2t）×=t2，②1＜t≤1.5时，重叠部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积的差，S=S△OP′Q′﹣S△AEQ′=×（2t）×﹣×（t﹣）2=2t﹣1；③1.5＜t＜2时，重叠部分的面积等于梯形的面积减去一个等腰直角三角形的面积S=S梯形OABC﹣S△BGF=×（2+3）×1﹣×[1﹣（2t﹣3）]2=﹣2（t﹣2）2+；所以，S与t的关系式为S=．。

北师大九年级数学上《一元二次方程》章末复习试卷含答案初三数学

北师大九年级数学上《一元二次方程》章末复习试卷含答案初三数学

章末复习(二) 一元二次方程知识结构一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）解法：配方法、公式法、因式分解法根与系数的关系实际应用本章知识中考考查的内容主要涉及一元二次方程的解法、一元二次方程根的判别式．如：2014毕节第22题考查了一元二次方程的解法，2015毕节第12题考查的是一元二次方程根的判别式，2013、2015六盘水也对本章知识进行了考查．分点突破1．下列方程是一元二次方程的是( )A ．x 2＋2x －y ＝3 B.3x－1x 2＝23C ．(3x 2－1)2－3＝0D.5x 2－8＝ 32．用恰当的方法解下列一元二次方程：(1)x 2－10x ＋25＝7；(2)x 2－5x ＋2＝0；(3)(x ＋2)(x －1)＝2－2x. 3．(滨州中考)一元二次方程4x 2＋1＝4x 的根的情况是( )A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根4．(荆门中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0的两个实数根为x 1，x 2，若x 21＋x 22＝4，则m 的值为________．5．要用一条长24 cm 的铁丝围成一个斜边长是10 cm 的直角三角形，则两直角边的长分别为( )A ．4 cm ，8 cmB ．6 cm ，8 cmC ．4 cm ，10 cmD ．7 cm ，7 cm6．为了美化环境，某市加大对绿化的投资，2013年用于绿化的投资是20万元，2015年用于绿化的投资是25万元，求这两年绿化投资的平均增长率，设这两年绿化投资的平均增长率为x ，根据题意所列的方程为________________．7．在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画(如图1)的四周镶上宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图2)，使整个挂图的面积是80平方分米，设金色纸边宽为x 分米，可列方程为________________________________．综合训练8．当m ＝________时，关于x 的方程(m －2)xm 2－2＋2x －1＝0是一元二次方程．9．(台州中考)关于x 的方程mx 2＋x －m ＋1＝0，有以下三个结论：①当m ＝0时，方程只有一个实数解；②当m ≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m 取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是________(填序号)．10．用恰当的方法解下列一元二次方程：(1)3x2－6x＋2＝0；(2)x2－2(x＋4)＝0；(3)x2－1＝4(x＋1)．11．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；(2)经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？12．如图，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝7 cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1 cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2 cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4 cm2?参考答案1．D2.(1)(x －5)2＝7，x －5＝±7.∴x 1＝5＋7，x 2＝5－7.(2)a ＝1，b ＝－5，c ＝2，∵Δ＝25－8＝17＞0，∴x ＝5±172. ∴x 1＝5＋172，x 2＝5－172. (3)(x ＋2)(x －1)＋2(x －1)＝0，(x －1)(x ＋4)＝0.∴x －1＝0或x ＋4＝0.∴x 1＝1，x 2＝－4.3.C4.－1或－35.B6.20(1＋x)2＝257.(2x ＋6)(2x ＋8)＝808.－29.①③10.(1)∵b 2－4ac ＝(－6)2－4×3×2＝12，∴x ＝6±122×3. ∴x 1＝3＋33，x 2＝3－33. (2)x 2－2x －8＝0，x 2－2x ＝8.x 2－2x ＋1＝9.∴(x －1)2＝9.∴x －1＝±3.∴x 1＝－2，x 2＝4.(3)移项，得(x ＋1)(x －1)－4(x ＋1)＝0.分解因式，得(x ＋1)(x －1－4)＝0.∴x ＋1＝0或x －1－4＝0.∴x 1＝－1，x 2＝5.11.(1)设每次降价的百分率为x ，由题意，得40×(1－x)2＝32.4.解得x 1＝10%，x 2＝190%(不符合题意，舍去)．答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率为10%.(2)设每件商品应降价y 元，由题意，得(40－30－y)(y 0.5×4＋48)＝512. 解得y 1＝y 2＝2.答：每天要想获得512元的利润，每件应降价2元．12.过点Q 作QE ⊥PB 于E ，则∠QEB ＝90°.∵∠ABC ＝30°，∴QE ＝12QB. ∴S △PQB ＝12PB ·QE. 设经过t 秒后△PBQ 的面积等于4 cm 2，则PB ＝6－t ，QB ＝2t ，QE ＝t.根据题意，得12(6－t)·t ＝4，即t 2－6t ＋8＝0. 解得t 1＝2，t 2＝4.当t ＝4时，2t ＝8，8＞7，不合题意，舍去，所以t ＝2.答：经过2秒后△PBQ 的面积等于4 cm 2.。

2022-2023学年北师大版中考专题数学中考真卷(含解析)

2022-2023学年北师大版中考专题数学中考真卷(含解析)

2022-2023学年初中中考专题数学中考真卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：150 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）1. −13的倒数是( )A.13B.3C.−3D.−132. 如图是一个长方体纸盒，它的两个相邻面上各有一个阴影三角形.该纸盒的展开图可能是( )A.B.C.D.3. 华为Mate305G 系列是近期相当火爆的5G 国产手机，它采用的麒麟9905G 芯片在指甲盖大小的尺寸上集成了103亿个晶体管，将103亿用科学记数法表示为（ ）A.1.03×109B.10.3×109C.1.03×1011D.1.03×10104. 一组数据：2，−1，0，3，−3，2．则这组数据的中位数和众数分别是（ ）−13()133−3−13Mate305G 5G 9905G 1031031.03×10910.3×1091.03×10111.03×10102−103−325.婴儿车的平面示意图，如图所示，其中AB//CD,∠1=120∘,∠3=40∘，那么∠2的度数为( )A. 80∘B.89∘C.59∘D.91∘6. 下列运算正确的是( )A.(ab)2=a 2b 2B.a 2+a 2=a 4C.(a 2)3=a 5D.a 2⋅a 3=a 67. 中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车，达到世界先进水平，安全、舒适、快速是它的显著优点.从安阳东站到北京西站的距离是516千米，乘坐复兴号动车组列车将比乘坐特快列车节省2小时6分钟，已知复兴号动车组的平均速度比特快列车快100千米/小时，设复兴号动车组的平均速度为x 千米/小时，根据题意可列方程( )A.516x −100−516x =2.6B.516x −100−516x =2110C.516x −516x +100=2110D.516x −516x −100=2110 8. 下列命题是真命题的是（ ）A.一组邻边相等的平行四边形是菱形B.菱形的对角线相等C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形D.四边都相等的四边形是矩形9. 如图所示，一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分（如图），则这串珠子被盒子遮住的部分（包括白色和黑色）共有（ ）颗．AB//CD,∠1=,∠3=120∘40∘∠280∘89∘59∘91∘(ab =)2a 2b 2+=a 2a 2a 4(=a 2)3a 5⋅=a 2a 3a 651626100/x /−=2.6516x−100516x −=2516x−100516x 110−=516x 516x+1002110−=2516x 516x−10011010. 已知函数y =−x 2+bx +c ，其中b >0，c <0，此函数的图象可以是( ) A. B. C. D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）11. 函数y =1x −6中，自变量x 的取值范围是________．12. 设x 1，x 2是方程x 2−2x −5=0的两实数根，则x 12+3x 22−4x 2+1的值为________.13. 已知点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC =1cm ，则线段AB 的长为________．14. 已知反比例函数y =−3x 与一次函数y =−x +2相交于A,B 两点，则不等式−3x <−x +2的解集为________．y =−+bx+c x 2b >0c <0y =1x−6x x 1x 2−2x−5=0x 2+3−4+1x 12x 22x 2C AB AC =1cm AB y =−3x y =−x+2AB −<−x+23x________.（结果保留π）三、 解答题 （本题共计 10 小题 ，每题 9 分 ，共计90分 ）16. 计算：(1−π)0+(−）−2+2sin60∘−|−2|． 17. 目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利．某校九年级某数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m 人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．(1)根据图中信息求出m =________，n =________；(2)请将这两个统计图补全；(3)求“支付宝”所在扇形的圆心角的度数；(4)已知A ，B 两位同学都最认可“微信”，C 同学最认可“支付宝”，D 同学最认可“网购”，从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两名同学最认可的新生事物不一样的概率． 18.如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的三个顶点分别是A(−3,2),B(0,4),C(0,2).(1)将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180∘，画出旋转后对应的△A 1B 1C(点A ，B 的对应点分别为A 1,B 1）;(2)平移△ABC ，使得点A 的对应点A 2的坐标为(1,−4)，画出平移后对应的△A 2B 2C 2（点B ，C 的对应点分别为B 2,C 2）;(3)若将△A 1B 1C 绕某一点旋转，可以得到△A 2B 2C 2，请画出旋转中心并直接写出它的坐标． 19. 如图，A ，B 两地之间有一条河，原来从A 地到B 地需要经过DC ，沿折线A →D →C →B 到达，现在新建了桥EF ，可直接沿直线AB 从A 地到达B 地．已知BC =10km ，∠A =45∘，∠B =37∘，桥DC 和AB 平行．(1)求两桥之间的距离CG(CG ⊥AB)；⊙O AC BD ∠ACB =∠CDB =60AC =23√⊙Oπ(1−π+(−)0+2sin −|−260∘−2|m(1)m=n =(2)(3)(4)A B C D Rt △ABC A(−3,2),B(0,4),C(0,2)(1)△ABC C 180∘△C A 1B 1A B ,A 1B 1(2)△ABC A A 2(1,−4)△A 2B 2C 2B C ,B 2C 2(3)△C A 1B 1△A 2B 2C 2A B A B DC A →D →C →B EF AB A B BC =10km ∠A =45∘∠B =37∘DC AB(1)CG(CG ⊥AB)(1)请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）①作∠BAC 的角平分线AD ，交BC 于点D ；②作线段AD 的垂直平分线EF 与AB 相交于点O ；③以点O 为圆心，以OD 长为半径画圆，交边AB 于点M ．(2)在（1）的条件下，求证：BC 是⊙O 的切线：(3)若AM =4BM,AC =10，求⊙O 的半径． 21. 已知直线MN 过圆O 上点A ，B ，C 是圆上两点， ∠ACB =∠NAB ，求证：直线MN 是圆O 的切线． 22. 在六一儿童节到来之际，某校特举行书画大赛活动，准备购买甲、乙两种文具作为奖 阔品，奖励在活动中获得优秀的同学．已知购买2个甲种文具、3个乙种文具共需花费45元，购买3个甲种文具、1个乙种文具共需花费50元．(1)问：购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？(2)若学校计划购买这两种文具共100个，投人资金不少于995元又不多于1050元，设购买甲种文具一个，则有多少种购买方案？(3)设学校投入资金W 元，在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少是多少元？ 23. 某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的过程，开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y （小时/千米），时间x （小时）成反比例关系地慢慢减弱，结合风速与时间的图象，回答下列问题：(1)这场沙尘暴的最高风速是多少？最高风速维持了多长时间；(2)求出当x ≥20时，风速y （小时/千米）与时间x （小时）之间的函数关系？(3)沙尘暴的风速从开始形成过程中的10千米/小时到最后减弱过程中的10千米/小时，共经过多少时间？24. 如图，二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点，其中点A 在点B 的左侧，A 为(−1,0)，抛物线与γ轴交于点C(0,4)，对称轴为x =1，连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点C 为直线BC 上方的抛物线上的一动点，试计算以A ，B ，G ，C 为顶点的四边形的面积的最大值；(3)若点H 为对称轴上的一个动点，点P 为抛物线上的一个动点，当以H ，P ，B ，C 四点为顶点的四边形为平行四边形时，求出点H 的坐标．Rt △ABC ∠C =90∘(1)∠BAC AD BC D AD EF AB O O OD AB M(2)1BC ⊙O(3)AM =4BM,AC =10⊙O MN O A B C ∠ACB =∠NAB MN O23453150(1)(2)1009951050(3)W (2)244y x (1)(2)x ≥20y x(3)1010y =a +bx+c(a ≠0)x 2x A B A B A (−1,0)γC(0,4)x =1BC(1)(2)C BC A B G C (3)H P H P B C面积S(cm 2)与t （秒）的函数关系图象，以线段EF 为斜边向右作等腰直角△EFG ．（1）填空：点E 的运动速度是________，B 点坐标为________．（2）当0≤t <4秒时，①t 为何值时，以O 、C 、E 为顶点的三角形与△BFG 相似？②是否存在这样的时刻t ，使点G 正好落在线段AB 上，若存在，求此时的t ，若不存在，请说明理由．S(c )m 2t EF △EFG E B0≤t <4t O C E △BFG t G AB t参考答案与试题解析2022-2023学年初中中考专题数学中考真卷一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】倒数【解析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．【解答】解：−13的倒数是−3．故选C.2.【答案】A【考点】几何体的展开图【解析】此题暂无解析【解答】解：将长方体纸盒展开，能够得到图形为：.故选A.3.【答案】D【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数；当原数的绝对值<1时，n 是负整数．【解答】103亿＝10300000000＝1.03×1010，C【考点】中位数众数【解析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第3、4个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是1，得到这组数据的众数．【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列：−3，−1，0，2，2，3，第3个和第4个数的平均数是(0+2)÷2=1，所以中位数是1；在这组数据中出现次数最多的是2，即众数是2.故选C.5.【答案】A【考点】平行线的性质三角形内角和定理【解析】根据平行线性质求出∠A，根据三角形外角性质得出∠2＝∠1−∠A，代入求出即可．【解答】解：如图，∵AB//CD，∴∠A=∠3=40∘，∵∠1=120∘，∴∠AFE=180∘−120∘=60∘，∴∠2=180∘−∠AFE−∠A=180∘−60∘−40∘=80∘.故选A.6.【答案】A【考点】同底数幂的乘法积的乘方及其应用幂的乘方及其应用根据积的乘方，等于各个因式乘方后的积；合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；对各选项分析判断即可得出结论．【解答】解：A 选项，积的乘方：(ab)2=a 2b 2，故正确；B 选项，合并同类项：a 2+a 2=2a 2，故错误；C 选项，幂的乘方：(a 2)3=a 6，故错误；D 选项，同底数幂相乘：a 2⋅a 3=a 5，故错误．故选A.7.【答案】B【考点】由实际问题抽象出分式方程【解析】设“复兴号”动车组的平均速度为x 千米/时，则特快列车的平均速度为(x −100)千米/时，根据提速后乘坐复兴号动车组列车将比乘坐特快列车节省2小时6分钟，列出方程即可．【解答】解：设“复兴号”动车组的平均速度为x 千米/时，则特快列车的平均速度为(x −100)千米/时，根据题意得：516x −100−516x =2110.故选B.8.【答案】A【考点】命题与定理菱形的性质【解析】利用菱形、矩形及正方形的判定方法及菱形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A ，一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，是真命题，符合题意；B ，菱形的对角线互相垂直，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；D ，四边都相等的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意.故选A.9.【答案】B【考点】规律型：图形的变化类规律型：数字的变化类规律型：点的坐标【解答】观察图形的变化可知：每两颗白色珠子之间间隔的黑色珠子按1，2，3，4，…的规律递增，而右边露出的部分最后一个间隔中黑色珠子共有8颗，那么遮住部分应该含有5，6，7颗黑色珠子的部分，但7颗黑色珠子这一段有2颗露在外面，5颗黑色珠子这一段黑色珠子没有露在外面，所以黑色珠子共有5+6+5=16颗，并2颗白色珠子做间隔．所以被遮住的部分共有18颗珠子．故选B.10.【答案】D【考点】二次函数图象与几何变换二次函数图象与系数的关系【解析】根据已知条件“a<0、b>0、c<0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．【解答】解：∵a=−1<0，b>0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是x=−b2a>0.∵c<0，∴图象与y轴的交点在y轴的负半轴上.故选D.二、填空题（本题共计 5 小题，每题 4 分，共计20分）11.【答案】x≠6【考点】函数自变量的取值范围【解析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x−6≠0，解得x≠6．故答案为：x≠6.12.【答案】25【考点】根与系数的关系【解析】解：由题意得，x 12=2x 1+5，x 22=2x 2+5，x 1+x 2=2，则x 12+3x 22−4x 2+1=2x 1+5+3(2x 2+5)−4x 2+1=2(x 1+x 2)+21=25.故答案为：25.13.【答案】√5+12或√5+32【考点】黄金分割【解析】分AC 是较长的线段与较短的线段两种情况分别列式求解即可．【解答】解：①若AC 是较长的线段，∵AC =1cm ，∴AB ⋅√5−12=AC =1，解得AB =√5+12；②若AC 是较短的线段，∵AC =1cm ，∴AB ⋅(1−√5−12)=AC =1，解得AB =√5+32，综上所述，AB 的长是√5+12或√5+32．故答案为：√5+12或√5+32．14.【答案】x <−1或0<x <3【考点】反比例函数与一次函数的综合【解析】首先求出分界点，再结合图像讨论即可.【解答】解：令−3x =−x +2，整理得：x 2−2x −3=0，解得：x 1=−1，x 2=3，由图像可知：当x <−1时，−3x <−x +2；当−1<x <0时，−3x >−x +2；当0<x <3时，−3x <−x +2；当x >3时，−3x >−x +2.综上：x <−1或0<x <3.故答案为：x <−1或0<x <3. 15.【答案】4π圆周角定理垂径定理勾股定理等边三角形的性质与判定含30度角的直角三角形【解析】连接OB ，作OE ⊥BC 于E ，由圆周角定理和已知得出∠A =∠ACB =60∘，证出△ACB 为等边三角形，得BC =AC =2√3，∠OBE =30∘，由垂径定理得BE =12BC =√3，由直角三角形的性质得OE =1，OB =2OE =2，即可得出结论．【解答】解：连接OB ，OC ，过点O 作OE ⊥BC 于E ，如图所示：由题意得，∠A =∠CDB =60∘ ，且∠ACB =60∘，∴△ACB 为等边三角形，∴BC =AC =2√3.∵∠A =60∘，OE ⊥BC ，OB =OC ，∴∠BOE =12∠BOC =∠A =60∘.BE =CE =12BC =√3，∴∠OBE =30∘，∴OE =12OB.在Rt △OBE 中，由勾股定理得：OB 2=OE 2+BE 2，即OB 2=14OB 2+3，解得：OB =2，∴⊙O 的面积是π×22=4π.故答案为：4π.三、 解答题 （本题共计 10 小题 ，每题 9 分 ，共计90分 ）16.【答案】(1−π)0+(−）−2+2sin60∘−|−2|＝1+9+2×−2+＝10+−2+＝8+2．【考点】特殊角的三角函数值零指数幂负整数指数幂实数的运算首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】(1−π)0+(−）−2+2sin60∘−|−2|＝1+9+2×−2+＝10+−2+＝8+2．17.【答案】100,35(2)网购人数为100×15%=15人，微信对应的百分比为40100×100%=40%，补全图形如下：(3)由(1)可得支付宝占比为35%，所以“支付宝”所在扇形的圆心角的度数为35%×360∘=126∘.(4)列表如下：A B C DA−A,B A,C A,DB A,B−B,C B,DC A,C B,C−C,DD A,D B,D C,D−共有12种情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种，所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为1012=56．【考点】扇形统计图条形统计图列表法与树状图法【解析】(1)样本中，认可“共享单车”的有10人，占调查人数的10%，可求出调查人数，即m的值，进而求出“网购”的人数，“支付宝”的人数和所占的百分比，确定n的值；(2)总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形；由(1)可得支付宝占比为35%，即可得“支付宝”所在扇形的圆心角的度数.列表得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，根据概率公式计算可得【解答】解：(1)10÷10%=100(人)，即m=100，n%=35÷100×100%=35% ，∴n=35.故答案为：100；35.(2)网购人数为100×15%=15人，微信对应的百分比为40100×100%=40%，补全图形如下：(3)由(1)可得支付宝占比为35%，所以“支付宝”所在扇形的圆心角的度数为35%×360∘=126∘.(4)列表如下：A B C DA−A,B A,C A,DB A,B−B,C B,DC A,C B,C−C,DD A,D B,D C,D−共有12种情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种，所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为1012=56．18.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C即为所求；(2)如图所示，△A2B2C2即为所求；(3)如图所示，旋转中心为点P，它的坐标为(2,−1).【考点】作图-旋转变换作图－平移变换【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)如图所示，△A1B1C即为所求；(2)如图所示，△A2B2C2即为所求；(3)如图所示，旋转中心为点P，它的坐标为(2,−1).19.【答案】解：(1)∵CG⊥AB于G，∴∠BGC=90∘．在△BGC中，∠BGC=90∘，∠B=37∘，BC=10km，∴CG=BC⋅sin37∘≈10×0.60≈6.0(km)．故两桥之间的距离CG约为6.0km；(2)如图，过点D作DH⊥AB于H，DM//CB交AB于M．∵DC//AB，∴四边形DCBM为平行四边形．∴DC=MB，MD=BC=10km．∴两条路线路程之差为：AD+CD+BC−AB=AD+DM−AM．在Rt△DMH中，DH=CG≈6.0km，MH=DM⋅cos37∘≈10×0.80≈8.0km．在Rt△ADH中，AD=√2DH≈1.41×6.0≈8.46km．AH=DH≈6.0km．∴AD+DM−AM≈(8.46+10)−(6.0+8.0)≈4.46≈4.5(km)．即从A地到B地可比原来少走约4.5km．【考点】解直角三角形的应用【解析】（1）在RT△BGC中，由sin∠B=CGBC，即可求出CG的长度；（2）从A地到达B地比原来少走的路程就是(AD+CD+BC−AB)的长．过点D作DH⊥AB于H，DG//CB交AB于G．将梯形问题转化为三角形中求解．【解答】解：(1)∵CG⊥AB于G，∴∠BGC=90∘．在△BGC中，∠BGC=90∘，∠B=37∘，BC=10km，∴CG=BC⋅sin37∘≈10×0.60≈6.0(km)．故两桥之间的距离CG约为6.0km；(2)如图，过点D作DH⊥AB于H，DM//CB交AB于M．∵DC//AB，∴四边形DCBM为平行四边形．∴DC=MB，MD=BC=10km．∴两条路线路程之差为：AD+CD+BC−AB=AD+DM−AM．在Rt△DMH中，DH=CG≈6.0km，MH=DM⋅cos37∘≈10×0.80≈8.0km．在Rt△ADH中，AD=√2DH≈1.41×6.0≈8.46km．AH=DH≈6.0km．∴AD+DM−AM≈(8.46+10)−(6.0+8.0)≈4.46≈4.5(km)．即从A地到B地可比原来少走约4.5km．20.【答案】解：（1）如图所示，①以A为圆心，以任意长度为半径画弧，与AC、AB相交，再以两个交点为圆心，以大于两点之间距离的一半为半径画弧相交于∠BAC内部③如图，⊙O与AB交于点M；（2）证明：∵EF是AD的垂直平分线，且点O在AD上，∴OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠OAD=∠CAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD//AC，∵AC⊥BC，∴OD⊥BC，故BC是⊙O的切线．（3）根据题意可知OM=OA=OD=12AM,M=4BM=4BM，∴OM=2BM,BO=3MM,AB=5BM,∴BOAB=3BM5BM=35，由（2）可知Rt△BOD与Rt△BAC有公共角∠B，∴Rt△BOD∼Rt△BAC，∴DOCA=BOBA，即DO10=35，解得DO=6，故⊙O的半径为6．【考点】作图—基本作图勾股定理角平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）如图所示，①以A为圆心，以任意长度为半径画弧，与AC、AB相交，再以两个交点为圆心，以大于两点之间距离的一半为半径画弧相交于∠BAC内部一点，将点A与它连接并延长，与BC交于点D，则AD为∠BAC的平分线；②分别以点A、点D为圆心，以大于12AD长度为半径画圆，将两圆交点连接，则EF为AD的垂直平分线，EF与AB交于点O；③如图，⊙O与AB交于点M；（2）证明：∵EF是AD的垂直平分线，且点O在AD上，∴OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠OAD=∠CAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD//AC，∵AC⊥BC，∴OD⊥BC，故BC是⊙O的切线．（3）根据题意可知OM=OA=OD=12AM,M=4BM=4BM，∴OM=2BM,BO=3MM,AB=5BM,∴BOAB=3BM5BM=35，由（2）可知Rt△BOD与Rt△BAC有公共角∠B，∴Rt△BOD∼Rt△BAC，∴DOCA=BOBA，即DO10=35，解得DO=6，故⊙O的半径为6．21.证明：连接OA，OB，则∠AOB=2∠ACB ，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA.∵∠AOB+∠OAB+∠OBA=180∘即2∠ACB+2∠OAB=180∘，∴∠ACB+∠OAB=90∘.又∵∠ACB=∠BAN，∴∠BAN+∠OAB=90∘，∴OA⊥MN，∴MN是圆O的切线．【考点】切线的判定圆周角定理【解析】【解答】证明：连接OA，OB，则∠AOB=2∠ACB ，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA.∵∠AOB+∠OAB+∠OBA=180∘即2∠ACB+2∠OAB=180∘，∴∠ACB+∠OAB=90∘.又∵∠ACB=∠BAN，∴∠BAN+∠OAB=90∘，∴OA⊥MN，∴MN是圆O的切线．22.【答案】解：(1)设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，由题意得：{2a+3b=45，3a+b=50，解得{a=15，b=5.答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元.(2)根据题意列不等式：995≤15x+5(100−x)≤1050，解得49.5≤x≤55，由于x是整数，∴x=50，51，52，53，54，55，∴有6种购买方案.(3)W=15x+5(100−x)=10x+500.∵10>0，∴W随x的增大而增大，x的取值为50,51,52,53,54,55,当x=50时，W最小，W min=10×50+500=1000（元），【考点】一次函数的应用一元一次不等式组的应用由实际问题抽象出二元一次方程组【解析】(1)设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，根据“购买2个甲种文具、3个乙种文具共需花费45元；购买3个甲种文具、1个乙种文具共需花费50元”列方程组解答即可；(2)根据题意列出不等式组求解即可；(3)求出W与x的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可．【解答】解：(1)设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，由题意得：{2a+3b=45，3a+b=50，解得{a=15，b=5.答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元.(2)根据题意列不等式：995≤15x+5(100−x)≤1050，解得49.5≤x≤55，由于x是整数，∴x=50，51，52，53，54，55，∴有6种购买方案.(3)W=15x+5(100−x)=10x+500.∵10>0，∴W随x的增大而增大，x的取值为50,51,52,53,54,55,当x=50时，W最小，W min=10×50+500=1000（元），∴100−50=50.答：购买甲种文具50个，乙种文具50个时需要的资金最少，最少资金是1000元．23.【答案】解：(1)0∼4时，风速平均每小时增加2千米，所以4时风速为8千米/时；4∼10时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为8+6×4=32千米/时；10∼20时，风速不变，最高风速维持时间为20−10=10小时.(2)当x≥20时，设y=kx，将(20,32)代入，得32=k20，解得k=640．所以当x≥20时，风速y（小时/千米）与时间x（小时）之间的函数关系为y=640x；(3)∵4时风速为8千米/时，而4小时后，风速变为平均每小时增加4千米，∴4.5时风速为10千米/时，将y=10代入y=640x，得10=640x，解得x=64，64−4.5=59.5（小时）．故沙尘暴的风速从开始形成过程中的10千米/小时到最后减弱过程中的10千米/小时，共经过59.5小时．【考点】反比例函数的应用【解析】(1)由速度=增加幅度×时间可得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为20−10=10小时；(2)设y=kx，将(20,32)代入，利用待定系数法即可求解；(3)由于4时风速为8千米/时，而4小时后，风速变为平均每小时增加4千米，所以4.5时风速为10千米/时，再将y=10代入(2)中所求函数解析式，求出x的值，再减去4.5，即可求解．解：(1)0∼4时，风速平均每小时增加2千米，所以4时风速为8千米/时；4∼10时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为8+6×4=32千米/时；10∼20时，风速不变，最高风速维持时间为20−10=10小时.(2)当x ≥20时，设y =kx ，将(20,32)代入，得32=k20，解得k =640．所以当x ≥20时，风速y （小时/千米）与时间x （小时）之间的函数关系为y =640x ；(3)∵4时风速为8千米/时，而4小时后，风速变为平均每小时增加4千米，∴4.5时风速为10千米/时，将y =10代入y =640x ，得10=640x ，解得x =64，64−4.5=59.5（小时）．故沙尘暴的风速从开始形成过程中的10千米/小时到最后减弱过程中的10千米/小时，共经过59.5小时．24.【答案】解：(1)∵二次函数y =ax 2+bx +c 的图象过点A(−1,0),C(0,4)，且对称轴为直线x =1，∴{a −b +c =0c =4−b2a =1，解得{a =−43b =83c =4，∴抛物线的解析式为y =−43x 2+83x +4．(2)过点G 作y 轴的平行线，交BC 于点E ，∵A(−1,0)，抛物线的对称轴为直线x =1，∴B(3,0)，设直线BC 的解析式为y =mx +n(m+0)，∵直线BC 过点B(3,0),C(0,4)，∴{3m+n =0n =4，解得{m =−43,n =4∴直线BC 的解析式为y =−43x +4，设点G 的坐标为(t,−43t 2+83t +4)，则点E 的做标为(t,−43t +4)，∴GE =−43t 2+83t +4−(−43t +4)=−43t 2+4t ，S 四边形ABGC =S △ABC +S △DCG =12AB ⋅OC +12OB ⋅GF =−2t 2+6t +8=−2(t −32)2+252，∵−2<0，∴当t =32时，S 四边形ABGC 取最大值，最大值为252．(3)①当BC 为边，四边形PHBC 为平行四边形时，∵B(3,0),C(0,4)，点H 的横坐标为1，∴点P 的横坐标1+0−3=−2，∴点P 的坐标为(−2,−203)，∴点H 的坐标为(1,−203−4)，即(1,−323)；②当BC 为边，四边形HPBC 为平行四边形时，∵B(3,0),C(0,4)，点H 的横坐标为1，∴点P 的横坐标1+3−0=4，∴点P 的坐标为(4,−203)，∴点H 的坐标为(1,−203+4)，即(1,−33)；③当BC 为对角线时，∴点P 的横坐标为3+0−1=2，∴点P 的坐标为(2,4)，∴点H 的坐标为(1,0+4−4)，即(1,0)，综上所述：点H 的坐标(1,−123)，(1,−83)或(1,0)【考点】二次函数综合题【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵二次函数y =ax 2+bx +c 的图象过点A(−1,0),C(0,4)，且对称轴为直线x =1，∴{a −b +c =0c =4−b2a =1，解得{a =−43b =83c =4，∴抛物线的解析式为y =−43x 2+83x +4．(2)过点G 作y 轴的平行线，交BC 于点E ，∵A(−1,0)，抛物线的对称轴为直线x =1，∴B(3,0)，设直线BC 的解析式为y =mx +n(m+0)，∵直线BC 过点B(3,0),C(0,4)，∴{3m+n =0n =4，解得{m =−43,n =4∴直线BC 的解析式为y =−43x +4，设点G 的坐标为(t,−43t 2+83t +4)，则点E 的做标为(t,−43t +4)，∴GE =−43t 2+83t +4−(−43t +4)=−43t 2+4t ，S 四边形ABGC =S △ABC +S △DCG =12AB ⋅OC +12OB ⋅GF =−2t 2+6t +8=−2(t −32)2+252，∵−2<0，∴当t =32时，S 四边形ABGC 取最大值，最大值为252．(3)①当BC 为边，四边形PHBC 为平行四边形时，∵B(3,0),C(0,4)，点H 的横坐标为1，∴点P 的横坐标1+0−3=−2，∴点P 的坐标为(−2,−203)，∴点H 的坐标为(1,−203−4)，即(1,−323)；②当BC 为边，四边形HPBC 为平行四边形时，∵B(3,0),C(0,4)，点H 的横坐标为1，∴点的横坐标，∴点P的坐标为(4,−203)，∴点H的坐标为(1,−203+4)，即(1,−33)；③当BC为对角线时，∵B(3,0),C(0,4)，点H的横坐标为1，∴点P的横坐标为3+0−1=2，∴点P的坐标为(2,4)，∴点H的坐标为(1,0+4−4)，即(1,0)，综上所述：点H的坐标(1,−123)，(1,−83)或(1,0)25.【答案】cm/s,(4,4)当0≤t<4时，点E在线段CD上．①由题意，∠BFG＝∠ECO＝45∘，当＝时，△ECO∽△GFB，∴＝，解得t＝2．当＝时，△ECO∽△BFG，∴＝，解得t＝2−2或−2，综上所述，满足条件的t的值为2或2．②存在．如图1−2中t，4−．∵B(4,5)，0)，∴直线AB的解析式为y＝−2x+12，把G（t，4−，得到4−t+12，解得t＝．点G正好落在线段AB上时t的值为．【考点】相似三角形综合题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

新北师大版九年级数学上册 反比例函数(含中考真题解析)

新北师大版九年级数学上册 反比例函数(含中考真题解析)

反比例函数☞2年中考【2015年题组】1．（2015崇左）若反比例函数y =2，－6），则k 的值为（ ）A ．－12B ．12C ．－3D ．3【答案】A ． 【解析】试题分析：∵反比例函数ky x =的图象经过点（2，﹣6），∴2(6)12k =⨯-=-，解得k=﹣12．故选A ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 2．（2015苏州）若点A （a ，b ）在反比例函数2y x =的图象上，则代数式ab ﹣4的值为（ ）A ．0B ．﹣2C ．2D ．﹣6 【答案】B ． 【解析】试题分析：∵点（a ，b ）反比例函数2y x =上，∴2b a =，即ab=2，∴原式=2﹣4=﹣2．故选B ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．3．（2015来宾）已知矩形的面积为10，长和宽分别为x 和y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C ．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．4．（2015河池）反比例函数1my x =（0x >）的图象与一次函数2y x b =-+的图象交于A ，B 两点，其中A （1，2），当21y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＜1B ．1＜x ＜2C ．x ＞2D ．x ＜1或x ＞2 【答案】B ． 【解析】试题分析：根据双曲线关于直线y=x 对称易求B （2，1）．依题意得：如图所示，当1＜x ＜2时，21y y >．故选B ．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．5．（2015贺州）已知12k k<<，则函数1kyx=和21y k x=-的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C．考点：1．反比例函数的图象；2．一次函数的图象．6．（2015宿迁）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），点P在反比例函数xy2=的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．2个B．4个C．5个D．6个【答案】D．【解析】试题分析：①当∠PAB=90°时，P点的横坐标为﹣3，把x=﹣3代入xy2=得23y=-，所以此时P点有1个；②当∠APB=90°，设P（x，2x），2PA=222(3)()xx++，2PB=222(3)()xx-+，2AB =2(33)+=36，因为222PA PB AB+=，所以222222(3)()(3)()x xx x+++-+=36，整理得42940x x-+=，所以2965x+=，或2965x-=，所以此时P点有4个；③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，把x=3代入xy2=得23y=，所以此时P点有1个；综上所述，满足条件的P点有6个．故选D．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．圆周角定理；3．分类讨论；4．综合题．7．（2015自贡）若点（1x，1y），（2x，2y），（3x，3y），都是反比例函数xy1-=图象上的点，并且1230y y y <<<，则下列各式中正确的是（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．231x x x <<【答案】D ． 【解析】试题分析：由题意得，点（1x ，1y ），（2x ，2y ），（3x ，3y ）都是反比例函数x y 1-=上的点， 且1230y y y <<<，则（2x ，2y ），（3x ，3y ）位于第三象限，y 随x 的增大而增大，23x x <，（1x ，1y ）位于第一象限，1x 最大，故1x 、2x 、3x 的大小关系是231x x x <<．故选D ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．8．（2015凉山州）以正方形ABCD 两条对角线的交点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线3y x =经过点D ，则正方形ABCD 的面积是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13 【答案】C ．考点：反比例函数系数k 的几何意义．9．（2015眉山）如图，A 、B 是双曲线x ky =上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴，交OB 于D点，垂足为C ．若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为（ ）A ．34B ．38C ．3D ．4【答案】B ．考点：1．反比例函数系数k 的几何意义；2．相似三角形的判定与性质． 10．（2015内江）如图，正方形ABCD 位于第一象限，边长为3，点A 在直线y=x 上，点A的横坐标为1，正方形ABCD 的边分别平行于x 轴、y 轴．若双曲线ky x =与正方形ABCD有公共点，则k 的取值范围为（ ）A ．1＜k ＜9B ．2≤k≤34C ．1≤k≤16D ．4≤k ＜16 【答案】C ． 【解析】试题分析：点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，则把x=1代入y=x 解得y=1，则A的坐标是（1，1），∵AB=BC=3，∴C 点的坐标是（4，4），∴当双曲线ky x =经过点（1，1）时，k=1；当双曲线ky x =经过点（4，4）时，k=16，因而1≤k≤16．故选C ．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题．11．（2015孝感）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数1yx=的图象上．若点B在反比例函数kyx=的图象上，则k的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【答案】A．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．相似三角形的判定与性质；3．综合题．12．（2015宜昌）如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为410m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．13．（2015三明）如图，已知点A 是双曲线2y x =在第一象限的分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，过点A 作y 轴的垂线，过点B 作x 轴的垂线，两垂线交于点C ，随着点A 的运动，点C 的位置也随之变化．设点C 的坐标为（m ，n ），则m ，n 满足的关系式为（ ）A ．2n m =-B ．2n m =-C ．4n m =-D ．4n m =-【答案】B ． 【解析】试题分析：∵点C 的坐标为（m ，n ），∴点A 的纵坐标是n ，横坐标是：2n ，∴点A 的坐标为（2n，n），∵点C的坐标为（m，n），∴点B的横坐标是m，纵坐标是：2m，∴点B的坐标为（m，2m），又∵22n mmn=，∴22mnm n=⋅，∴224m n=，又∵m＜0，n＞0，∴2mn=-，∴2nm=-，故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．14．（2015株洲）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数12 yx =图象上的概率是（）A．12B．13C．14D．16【答案】D．考点：1．列表法与树状图法；2．反比例函数图象上点的坐标特征．15．（2015乌鲁木齐）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，3 4OA OB =．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数kyx=的图象过点C ．当以CD 为边的正方形的面积为27时，k 的值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．7 【答案】D ．考点：1．反比例函数综合题；2．综合题；3．压轴题． 16．（2015重庆市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A ，B 两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数3y x的图象经过A ，B 两点，则菱形ABCD 的面积为（ ）A ．2B ．4C ．22D ．2【答案】D ． 【解析】试题分析：过点A 作x 轴的垂线，与CB 的延长线交于点E ，∵A，B 两点在反比例函数3y x=的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A ，B 横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=22，S 菱形ABCD=底×高=22×2=42，故选D ．考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题．17．（2015临沂）在平面直角坐标系中，直线2y x =-+与反比例函数1y x =的图象有唯一公共点，若直线y x b =-+与反比例函数1y x =的图象有2个公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．b ＞2B ．﹣2＜b ＜2C ．b ＞2或b ＜﹣2D ．b ＜﹣2 【答案】C ．考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 18．（2015滨州）如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与函数1yx=-、2yx=的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为（）A．逐渐变小B．逐渐变大C．时大时小D．保持不变【答案】D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题．19．（2015扬州）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点坐标是．【答案】（﹣1，﹣3）．【解析】试题分析：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点（1，3）关于原点对称，∴该点的坐标为（﹣1，﹣3）．故答案为：（﹣1，﹣3）．考点：反比例函数图象的对称性．20．（2015泰州）点（a ﹣1，1y ）、（a+1，2y）在反比例函数()0>=k x ky 的图象上，若21y y <，则a 的范围是 ． 【答案】﹣1＜a ＜1．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．分类讨论．21．（2015南宁）如图，点A 在双曲线23y x =（0x >）上，点B 在双曲线ky x =（0x >）上（点B 在点A 的右侧），且AB ∥x 轴．若四边形OABC 是菱形，且∠AOC=60°，则k= ．【答案】63 【解析】试题分析：因为点A 在双曲线23y =0x >）上，设A 点坐标为（a 23，因为四边形OABC 是菱形，且∠AOC=60°，所以OA=2a ，可得B 点坐标为（3a 23），可得：k=233a 63，故答案为：63考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 22．（2015桂林）如图，以▱ABCO 的顶点O 为原点，边OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，顶点A 、C 的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A 的反比例函数ky x =的图象交BC 于D ，连接AD ，则四边形AOCD 的面积是 ．【答案】9．考点：1．平行四边形的性质；2．反比例函数系数k 的几何意义；3．综合题；4．压轴题． 23．（2015贵港）如图，已知点A1，A2，…，An 均在直线1y x =-上，点B1，B2，…，Bn 均在双曲线1y x =-上，并且满足：A1B1⊥x 轴，B1A2⊥y 轴，A2B2⊥x 轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn ⊥x 轴，BnAn+1⊥y 轴，…，记点An 的横坐标为an （n 为正整数）．若11a =-，则a2015= ．【答案】2．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．规律型；4．综合题．24．（2015南京）如图，过原点O 的直线与反比例函数1y ，2y 的图象在第一象限内分别交于点A ，B ，且A 为OB 的中点，若函数11y x =，则2y 与x 的函数表达式是 ．【答案】24y x =．【解析】试题分析：过A 作AC ⊥x 轴于C ，过B 作BD ⊥x 轴于D ，∵点A 在反比例函数11y x =上，∴设A （a ，1a ），∴OC=a ，AC=1a ，∵AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，∴AC ∥BD ，∴△OAC ∽△OBD ，∴AC OC OA BD OD OB ==，∵A 为OB 的中点，∴12AC OC OA BD OD OB ===，∴BD=2AC=2a ，OD=2OC=2a ，∴B （2a ，2a ），设2k y x =，∴k=224a a ⋅=，∴2y 与x 的函数表达式是：24y x =．故答案为：24y x =．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题；3．压轴题．25．（2015攀枝花）如图，若双曲线ky x =（0k >）与边长为3的等边△AOB （O 为坐标原点）的边OA 、AB 分别交于C 、D 两点，且OC=2BD ，则k 的值为 ．36325．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题．26．（2015荆门）如图，点1A ，2A 依次在93(0)y x x ＞的图象上，点1B ，2B 依次在x 轴的正半轴上，若11A OB △，212A B B △均为等边三角形，则点2B 的坐标为 ．【答案】（62，0）．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题；4．压轴题． 27．（2015南平）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点A 在x 轴正半轴上，OC是△OAB 的中线，点B ，C 在反比例函数3y x =（0x >）的图象上，则△OAB 的面积等于 ．【答案】92．考点：1．反比例函数系数k 的几何意义；2．综合题． 28．（2015烟台）如图，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别是（4，0）和（0，2），反比例函数ky x（x ＞0）的图象过对角线的交点P 并且与AB ，BC 分别交于D ，E 两点，连接OD ，OE ，DE ，则△ODE 的面积为 ．【答案】154．考点：1．反比例函数系数k 的几何意义；2．反比例函数综合题；3．综合题． 29．（2015玉林防城港）已知：一次函数210y x =-+的图象与反比例函数ky x =（0k >）的图象相交于A ，B 两点（A 在B 的右侧）．（1）当A （4，2）时，求反比例函数的解析式及B 点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P ，使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当A （a ，﹣2a+10），B （b ，﹣2b+10）时，直线OA 与此反比例函数图象的另一支交于另一点C ，连接BC 交y 轴于点D ．若52BC BD =，求△ABC 的面积．【答案】（1）8y x =，B （1，8）；（2）（﹣4，﹣2）、（﹣16，12-）；（3）10．【解析】试题分析：（1）把点A 的坐标代入ky x =，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B 的坐标；（2）①若∠BAP=90°，过点A 作AH ⊥OE 于H ，设AP 与x 轴的交点为M ，如图1，对于y=﹣2x+10，当y=0时，﹣2x+10=0，解得x=5，∴点E （5，0），OE=5．∵A （4，2），∴OH=4，AH=2，∴HE=5﹣4=1．∵AH ⊥OE ，∴∠AHM=∠AHE=90°．又∵∠BAP=90°，∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM ，∴△AHM ∽△EHA ，∴AH MH EH AH =，∴212MH=，∴MH=4，∴M （0，0），可设直线AP 的解析式为y mx =，则有42m =，解得m=12，∴直线AP 的解析式为12y x=，解方程组128y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得：42x y =⎧⎨=⎩或42x y =-⎧⎨=-⎩，∴点P 的坐标为（﹣4，﹣2）．②若∠ABP=90°，同理可得：点P 的坐标为（﹣16，12-）．综上所述：符合条件的点P 的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，12-）；（3）过点B 作BS ⊥y 轴于S ，过点C 作CT ⊥y 轴于T ，连接OB ，如图2，则有BS ∥CT ，∴△CTD∽△BSD，∴CD CTBD BS=．∵52BCBD=，∴32CT CDBS BD==．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），∴C（﹣a，2a﹣考点：1．反比例函数综合题；2．待定系数法求一次函数解析式；3．反比例函数与一次函数的交点问题；4．相似三角形的判定与性质；5．压轴题．【2014年题组】1. （2014年湖南湘潭）如图，A、B两点在双曲线4yx=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（）A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵点A 、B 是双曲线4y x =上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，∴根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∵S 阴影=1，∴S1+S2=4+4﹣1×2=6．故选D ．考点：反比例函数系数k 的几何意义．2. （2014年吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 均在函数ky x =（k ＞0，x ＞0）的图象上，⊙A 与x 轴相切，⊙B 与y 轴相切．若点B 的坐标为（1，6），⊙A 的半径是⊙B 的半径的2倍，则点A 的坐标为（ ）A. （2，2）B. （2，3）C. （3，2）D. 34,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】C ．考点：1.切线的性质；2.曲线上点的坐标与方程的关系．3. （2014年江苏连云港）如图，△ABC 的三个顶点分别为A （1，2），B （2，5），C （6，1）.若函数ky x =在第一象限内的图像与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ）A. 2≤k ≤449B. 6≤k ≤10C. 2≤k ≤6D. 2≤k ≤225【答案】A ． ．考点：1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.待定系数法的应用；23.曲线上点的坐标与方程的关系；一元二次方程根的判别式．4. （2014年江苏盐城）如图，反比例函数ky x =（x ＜0）的图象经过点A （﹣1，1），过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，在y 轴的正半轴上取一点P （0，t ），过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，点B 经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t 的值是（ ）A.152+B.32C.43 D. 152-+【答案】A ． 【解析】考点：1.反比例函数的综合题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.等腰直角三角形的性质；4.轴对称的性质；5.方程思想的应用．5. （2014年重庆市B 卷）如图，正方形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴的正半轴上，反比例函数k y (k 0)x =≠在第一象限的图象经过顶点A （m ，2）和CD 边上的点E （n ，23），过点E 的直线l 交x 轴于点F ，交y 轴于点G （0，－2），则点F 的坐标是（ ）A 、5(,0)4B 、7(,0)4C 、9(,0)4D 、11(,0)4【答案】C ．【解析】试题分析：∵A（m，2），∴正方形ABCD的边长为2.∵E（n，23），∴n m2=+.∵反比例函数ky(k0)x=≠在第一象限的图象经过A，E，∴k2k2m22mm m12k3m23m2⎧=⇒=⎪⎪−−−−→=⇒=⎨+⎪=⎪+⎩把①代入②①②.∴n m23=+=，即点E的坐标为（3，23）.设直线EG的解析式为y ax b=+，∵G（0，－2），∴283a b a39b2b2⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩.∴直线EG的解析式为8y x29=-.令y=0得89x20x94-=⇒=.∴点F的坐标是9,04⎛⎫⎪⎝⎭.故选C．考点：1.反比例函数和一次函数交点问题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.正方形的性质．6. （2014年广西北海）如图，反比例函数kyx=（x＞0）的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上．若△OAC的面积为5，AD：OD=1：2，则k 的值为【答案】20．考点：1.反比例函数系数k 的几何意义；2.相似三角形的判定和性质． 7. （2014年广西崇左）如图，A （4，0），B （3，3），以AO ，AB 为边作平行四边形OABC ，则经过C 点的反比例函数的解析式为 ．【答案】3y x =-．考点：1.平行四边形的性质；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系．8. （2014年广西玉林、防城港）如图，OABC 是平行四边形，对角线OB 在轴正半轴上，位于第一象限的点A 和第二象限的点C 分别在双曲线1k y x =和2ky x =的一支上，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为M 和N ，则有以下的结论：①12k AM CN k =；②阴影部分面积是()121k k 2+；③当∠AOC=90°时12k k；④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是（把所有正确的结论的序号都填上）．【答案】①④．考点：1.反比例函数综合题；2. 反比例函数的图象和k的几何意义；3.平行四边形、矩形的性质和菱形的性质．9. （2014年湖北荆州）如图，已知点A是双曲线2yx=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线kyx=（k＜0）上运动，则k的值是．【答案】﹣6．考点：1.单动点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3. 等边三角形的性质；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.特殊角的三角函数值．10. （2014年江苏淮安）如图，点A （1，6）和点M （m ，n ）都在反比例函数ky x（x ＞0）的图象上，（1）k 的值为 ； （2）当m=3，求直线AM 的解析式；（3）当m ＞1时，过点M 作MP ⊥x 轴，垂足为P ，过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，试判断直线BP 与直线AM 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）6；（2）y=﹣2x+8；（3）直线BP与直线AM的位置关系为平行，．考点：1.反比例函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.相似三角形的判定和性质；5.平行的判定．☞考点归纳归纳 1：反比例函数的概念基础知识归纳： 一般地，函数（k 是常数，k0）叫做反比例函数。

2022年北师大版九年级数学中考二轮复习旋转型相似专题综合训练

2022年北师大版九年级数学中考二轮复习旋转型相似专题综合训练

2022年春北师大版九年级数学中考二轮复习《旋转型相似》专题综合训练（附答案）一．选择题1．如图，将△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'，连接BB'、CC'，则BB'：CC'等于（）A．AB：AC B．BC：AC C．AB：BC D．AC：AB2．如图，∠1＝∠2＝∠3，AC，DE交于M，图中相似三角形共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对3．如图，△ABC≌△ADE且BC、DE交于点O，连接BD、CE，则下列四个结论：①BC＝DE，②∠ABC＝∠ADE，③∠BAD＝∠CAE，④BD＝CE，其中一定成立的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△AB′C′，连接BB′、CC′，已知AB＝c，AC＝b，BC＝a，则BB′：CC′等于（）A．c：b B．a：b C．c：a D．b：c5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转，使旋转角等于∠DAC，且DG⊥PG，即∠DPG＝∠DAC．连接CG，则CG最小值为（）A．B．C．D．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（）A．B．C．D．3二．填空题7．如图，已知∠1＝∠2，当＝时，△ABC∽△ADE．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AB的中点，M是线段AC上的一动点，连结DM．以DM为直角边作直角三角形DEM，使得∠DEM＝30°，斜边DE所在直线交射线MC于点F．若△MDF的面积是△MEF面积的倍，则CM的长为．9．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角△ABC和等腰直角△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD＝MA•ME；③2CB2＝CP•CM；④sin∠CPB＝；其中正确的结论有．（写出所有正确结论的序号）．10．如图，AB＝4，AC＝，∠DAB＝∠DBC＝30°，∠BDC＝90°，ED⊥AD交AB于E，则DE的长是．11．如图，△ABC≌△ADE且BC、DE交于点O，连接BD、CE，则下列四个结论①BC＝DE；②∠ABC＝∠ADE；③∠BAD＝∠CAE；④BD＝CE，其中一定成立的有．12．如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂线，F为DE上一点，BF＝11cm，CF＝3cm，则AC＝．三．解答题13．感知：如图①，点D是等边△ABC的边AB上的一点，以CD为边在CD的上方作等边△CDE，连接AE，易证BD＝AE（不用证明）；探究：如图②，点D是Rt△ABC的边AB上的一点，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以CD为边在CD的上方作Rt△CDE，使∠CDE＝90°，∠CED＝30°，连接AE，猜想BD与AE的数量关系，并说明理由；应用：在（2）的条件下，当BD＝1，AB∥CE时，则四边形ABCE的面积为．14．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点F处，连接FC，FD．（1）当点E是AD中点时，求证：∠AEB＝∠EDF；（2）当AB＝6，BC＝10时，求sin∠FCB的最大值；（3）当AB2＝AE•BC时，求证：点F在线段AC上．15．如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，且DC∥AE．（1）求证：DE2＝AE•DC；（2）如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设BE＝x，EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．16．问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F．点D在BC边上，，求的值．17．如图，在△ABC与△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE ＝2.5，连接AD，BE．（1）求证：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面积．18．在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE．（1）如图1，∠AED＝°；（2）连接CE交直线AB于点F，直线CE交BD于点H．①如图2所示，试说明∠DBA＝∠ECA；②设∠ABC＝α，旋转的角度∠CAE＝β（0°＜β＜360°），当α、β满足什么关系时，△BCF 是等腰三角形．19．如图1，P是四边形ABCD内一点，连接P A，PB，PC，PD，BD，∠ABD＝∠PCD＝90°，CP＝CD，AB＝DB，∠APB＝135°．（1）求证：△BCD∽△APD．（2）若P A＝，PB＝．求PC的长．（3）如图2，∠ABD＝∠PCD＝∠APB＝120°，CP＝CD，AB＝DB，请直接写出P A，PB，PC之间的数量关系．20．在正方形ABCD中，将一块直角三角板的直角顶点放在对角线AC的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交线段AB、BC于D′、E两点．如图1是旋转三角板后所得到图形中的1种情况．（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD′和PE之间有什么数量关系？并结合如图1加以证明；（2）若将三角板的直角顶点放在对角线AC上的M处，且AM：MC＝2：5，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合如图2加以证明．21．把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连接BE、AD，AD的延长线交于BE于点F．（1）问：AD与BE在数量上和位置上分别有何关系？说明理由．（2）若将45°角换成30°如图2，AD与BE在数量和位置上分别有何关系？说明理由．（3）若将图2中两个三角板旋转成图3、图4、图5的位置，则（2）中结论是否仍然成立，选择其中一种图形进行说明．22．现有一副直角三角板，按下列要求摆放：（1）如图1，固定等腰直角三角板ABC，AO⊥BC于点O，另一个直角三角板DEF的直角顶点D与点O重合，现让三角板DEF绕点O旋转，使DF、DE分别交AB、AC于点M、N，试求的值；（2）如图2，交换两块直角三角板的位置，固定直角三角板ABC，AO⊥BC于点O，另一个等腰直角三角板DEF的直角顶点D与点O重合，DF、DE分别交AB、AC于点M、N，试求出的值．参考答案一．选择题1．解：∵△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'，∴∠B′AB＝∠C′AC，AB′＝AB，AC′＝AC，∴△ABB′∽△ACC′，∴＝．故选：A．2．解：∵∠2＝∠3，∠AME＝∠DMC，∴△AME∽△DMC，∴∠ACD＝∠AED，∵∠1＝∠3，∴∠BAC＝∠DAE，∴△BAC∽△DAE，∴，∠B＝∠ADE，即，∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠ACE，∴∠ADE＝∠ACE，∵∠AMD＝∠EMC，∴△AMD∽△EMC．∴图中相似三角形共有4对．故选：B．3．解：∵△ABC≌△ADE，∴BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，但不能得出DB＝CE，故选：C．4．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△AB′C′，∴AB＝AB'，AC＝AC'，∠CAC'＝∠BAB'，∴∠ACC'＝∠AC'C＝∠ABB'＝∠AB'B，∴BB′：CC′＝AB：AC＝c：b，故选：A．5．解：如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于E，∵DG⊥PG，DH⊥AC，∴∠DGP＝∠DHA，∵∠DPG＝∠DAH，∴△ADH∽△PDG，∴，∠ADH＝∠PDG，∴∠ADP＝∠HDG，∴△ADP∽△DHG，∴∠DHG＝∠DAP＝定值，∴点G在射线HF上运动，∴当CG⊥HF时，CG的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADH+∠HDF＝90°，∵∠DAH+∠ADH＝90°，∴∠HDF＝∠DAH＝∠DHF，∴FD＝FH，∵∠FCH+∠CDH＝90°，∠FHC+∠FHD＝90°，∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC＝DF＝1，在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝2，由勾股定理得AC＝2，DH＝，∴CH＝＝，∴EH＝，∵∠CFG＝∠HFE，∠CGF＝∠HEF＝90°，CF＝HF，∴△CGF≌△HEF（AAS），∴CG＝HE＝，∴CG的最小值为，故选：C．6．解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠BAD＝90°，∵△ABF，△APQ都是等边三角形，∴∠BAF＝∠P AQ＝60°，BA＝F A，P A＝QA，∴∠BAP＝∠F AQ，在△BAP和△F AQ中，，∴△BAP≌△F AQ（SAS），∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，∵∠F AE＝90°﹣60°＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝AF＝5，AE＝AF÷cos30°＝，∴点Q在射线FE上运动，∵AD＝BC＝5，∴DE＝AD﹣AE＝，∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，∴DH＝DE•sin60°＝×＝，根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为，故选：A．二．填空题7．解：添加条件＝后，△ABC∽△ADE．理由如下：∵∠1＝∠2，∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC，又∵＝，∴△ADE∽△ABC．即△ABC∽△ADE．故答案为：．8．解：如图，过点D作DG⊥AC于G，过点E作EH⊥AC于H，则∠DGM＝∠MHE＝90°，在Rt△ABC中，BC＝＝＝6，∵D是AB的中点，∴AD＝AB＝5，∵∠AGD＝∠ACB＝90°，∠DAG＝∠BAC，∴△ADG∽△ABC，∴＝＝，即＝＝，∴DG＝3，AG＝4，∴CG＝AC﹣AG＝8﹣4＝4，∵△MDF的面积是△MEF面积的倍，∴FM•DG＝×FM•EH，∴DG＝EH，即EH＝DG＝，在Rt△DEM中，∠DME＝90°，∠DEM＝30°，∴＝tan∠DEM＝tan30°＝，∵∠DMG+∠MDG＝90°，∠DMG+∠EMH＝∠DME＝90°，∴∠MDG＝∠EMH，∴△DMG∽△MEH，∴＝，∴＝，∴MG＝1，∴CM＝CG+MG＝4+1＝5，故答案为：5．9．解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴CA＝AB，AD＝AE，∠AED＝∠ABC＝90°，∠DAE＝∠CAB＝45°，∴∠DAE+∠EAC＝∠CAB+∠EAC，∴∠DAC＝∠EAB，∵＝＝，∴△BAE∽△CAD，故①正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠AEB＝∠ADC，∵∠PME＝∠AMD，∴△EMP∽△DMA，∴＝，∴MP•MD＝MA•ME，故②正确；∵MP•MD＝MA•ME，∴＝，∵∠AMP＝∠DME，∴△DEM∽△APM，∴∠APM＝∠DEM＝90°，∵∠DAE＝∠CAB＝45°，∴∠EAC＝180°﹣（∠DAE+∠CAB）＝90°，∴∠EAC＝∠APC，∵∠ACP＝∠ACM，∴△CP A∽△CAM，∴＝，∴CA2＝CP•CM，∴2CB2＝CP•CM，故③正确；设BE与AC相交于点F，∵△BAE∽△CAD，∴∠ACD＝∠ABE，∵∠AFB＝∠PFC，∴∠CPB＝∠CAB＝45°，∴sin∠CPB＝，故④错误，所以，正确的结论有：①②③，故答案为：①②③．10．解：连接EC，∵∠ADE＝∠BDC＝90°，∠DAB＝∠DBC＝30°，∴，△ADE∽△BDC，∵∠ADB＝∠ADE+∠EDB，∠EDC＝∠BDC+∠EDB，∴∠ADB＝∠EDC，∴△ABD∽△ECD，∴，∠ABD＝∠ECD，∵∠DBC+∠DCB＝90°，∴∠DBC+∠ECB+∠EBD＝90°，∴∠BEC＝90°，∵AB＝4，∴EC＝，∵AC＝，∴AE＝＝，∴DE＝AE＝．11．解：∵△ABC≌△ADE∴AB＝AD，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC∴∠BAD＝∠CAE故答案为：①②③12．解：∵AE＝BE，DE是AB的垂线，∴AD＝BD，∠ADE＝∠BDE＝90°，在△ADF和△BDF中，，∴△ADF≌△BDF（SAS），∴AF＝BF，∴AC＝AF+CF＝BF+CF，∵BF＝11cm，CF＝3cm，∴AC＝14cm，故答案为：14cm．三．解答题13．解：探究：∵∠BAC＝∠DEC＝30°，∠B＝∠EDC＝90°，∴△ABC∽△EDC，∴，∵∠ACB＝∠DCE，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD∽△ACE，∴，即AE＝2BD．应用：∵BD＝1，∴AE＝2BD＝2，∵△BCD∽△ACE，∴∠CAE＝90°，∵AB∥CE，∴∠ACE＝30°，∴CE＝2AE＝4，AC＝，∠BCE＝90°，∴四边形ABCE为直角梯形，且BC＝AC＝，∴AB＝＝3，∴＝．故答案为：．14．（1）证明：由折叠性质得，AE＝EF，∠AEB＝∠BEF，∵E是AD的中点，∴AE＝ED，∴ED＝EF，∴∠EDF＝∠EFD，∵∠FED+∠EDF+∠EFD＝180°，∠AEB+∠BEF+∠FED＝180°，∴∠AEB＝∠EDF；（2）解：如图2，过点B作BG⊥FC交CF的延长线于点G，则∠BGC＝90°，以点B为圆心、AB长为半径作⊙B，则点F在⊙B上运动，∵sin∠FCB＝＝，∴sin∠FCB的值随BG的增大而增大，∴BG越大则sin∠FCB的值越大，∵BG≤FB，∴当点G与点F重合时，BG＝FB＝6，此时BG最大，sin∠FCB的值也最大，如图3，当点G与点F重合时，则∠BFC＝90°，此时sin∠FCB＝＝＝，∴sin∠FCB的最大值为；（3）证明：如图3，∵AB2＝AE•BC，∴＝，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠EAB＝90°，∴△ABC∽△EAB，∴∠ACB＝∠EBA，∵∠EBA+∠CBT＝∠ABC＝90°，∴∠BTC＝90°，∴BE⊥AC，∵△BEA沿着BE折叠得到△BEF，∴A、F关于BE对称，∴AF⊥BE，∴点F在线段AC上．15．（1）证明：如图1，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵AE2＝AB•AD，∴＝，∴△ABE∽△AED，∴∠AEB＝∠ADE，∵DC∥AE，∴∠AEB＝∠DCE，∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠DCE，∴△ADE∽△ECD，∴＝，∴DE2＝AE•DC；（2）解：如图2，过点B作BG⊥AE，∵BE＝9＝AB，∴△ABE是等腰三角形，∴G为AE的中点，由（1）可得△ADE、△ECD也是等腰三角形，∵AE2＝AB•AD，AB＝BE＝9，AE＝6，∴AD＝4，DE＝6，CE＝4，AG＝3，∴△ADE≌△ECD（SAS），在Rt△ABG中，BG＝＝＝6，∴S△ABE＝×AE×BG＝×6×6＝18，∵△ABE∽△AED且相似比为3：2，∴S△ABE：S△AED＝9：4，∴S△AED＝S△CDE＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE＝18+8+8＝34；（3）解：如图3，由（1）知：△ABE∽△AED，∴＝，∵BE＝x，AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，AD＝4，∴＝，∴DE＝x，由（1）知：DE2＝AE•DC，∴DC＝x2，∵△ADE∽△ECD，∴＝＝，∴CE＝x，∵DC∥AE，∴△AEF∽△DCF，∴＝＝，∴CF＝EF，∴＝＝＝，∴y＝EF＝CE＝×x＝，∵即，∴3＜x＜9，∴y关于x的函数解析式为y＝，定义域为3＜x＜9．16．问题背景证明：∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE；尝试应用解：如图1，连接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，∴△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴，∴＝3．∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴＝3．17．（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，又∵，∴△ACD∽△BCE；（2）解：过A作AG⊥CD于G，由（1）知，∠ACD＝∠DCB＝∠BCE＝45°，∴AG＝CG，在Rt△ACG中，由勾股定理得：∴CG＝AG＝3，∴S＝＝．18．解：（1）90°；（2）①由旋转的性质可知，旋转中心为A点，B与D，C与E分别为对应点，∴AB＝AD，AC＝AE，旋转角∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴∠DBA＝∠ECA；②如图1，BF＝CF，β＝2α，如图2，BC＝BF，β＝180°﹣α，如图3，BC＝CF，β＝360°﹣4α，如图4，BC＝BF，β＝360°﹣α．19．（1）证明：∵∠ABD＝∠PCD＝90°，CP＝CD，AB＝BD，∴△PCD与△ABD都是等腰直角三角形，∴∠CDP＝∠BDA＝45°，∴，∴∠CDB＝∠PDQ，∴△BCD∽△APD；（2）解：∵△BCD∽△APD，∴∠APD＝∠BCD，，∴BC＝，∵∠CPD+∠BP A＝45°+135°＝180°，∴∠APD+∠BPC＝180°，∴∠BCD+∠BPC＝180°，∴∠DCP+∠BCP+∠BPC＝180°，∴90°+∠BCP+∠BPC＝180°，∴∠BCP+∠BPC＝90°，∴∠CBP＝90°，∴BC2+PB2＝PC2，∴1＝PC2，∴PC＝（负值舍去），（3）解：，理由如下：如图，过点C作CE⊥PD于点E，则∠CED＝90°，∵CP＝CD，∴∠CDP＝＝＝30°，∴DP＝2DE，∴cos∠CDE＝cos30°＝，∴，同理，AB＝BD，∠ABD＝120°，∴∠BDA＝30°，，∴，∠BDA＝∠CDP，∴∠PDA＝∠CDB，∴△PDA∽△CDB，∴＝，∠APD＝∠BCD，∴BC＝，∵∠APB+∠CPD＝120°+30°＝150°，∴∠BPC+∠APD＝360°﹣（∠APB+∠CPD）＝360°﹣150°＝210°，∴∠BPC+∠BCD＝∠BPC+∠BCP+∠DCP＝∠BPC+∠BCP+120°，∴∠BPC+∠BCP+120°＝210°，∴∠BPC+∠BCP＝90°，∴BC2+PB2＝PC2，∵BC，∴．20．解：（1）连接PB．∵四边形ABCD是正方形，P是AC的中点，∴CP＝PB，BP⊥AC，∠ABP＝∠ABC＝45°，即∠ABP＝∠ACB＝45°，又∵∠FPB+∠BPE＝∠BPE+∠CPE＝90°，∴∠FPB＝∠CPE，即△PBF≌△PCE，∴PD′＝PE；（2）MD：ME＝2：5．过点M作MF⊥AB，MH⊥BC，垂足分别是F、H，则MH∥AB，MF∥BC，即四边形BFMH是平行四边形．∵∠B＝90°，∴▱BFMH是矩形，即∠FMH＝90°，MF＝BH，∵BH：HC＝AM：MC＝2：5，而HC＝MH，∴＝2：5，∵∠DMF+∠DMH＝∠DMH+∠EMH＝90°，∴∠DMF＝∠EMH．因为∠FD＝∠MHE＝90°，∴△MDF∽△MHE，∴＝＝2：5．21．解：（1）AD＝BE；AD⊥BE．由题可得：CE＝CD；CB＝CA；∠ECD＝∠BCA＝90°，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC，又∠ADC+∠DAC＝90°，∴∠BEC+∠DAC＝90°，∴∠AFE＝90°，即AD⊥BE．（2）BE＝AD；AD⊥BE；证明如下：由题可得：CE＝CD；CB＝CA，∴，又∠ECD＝∠BCA＝90°，∴△ECB∽△DCA，∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC；又∠ADC+∠DAC＝90°，∴∠BEC+∠DAC＝90°，∴∠AFE＝90°即：AD⊥BE；（3）结论成立，仍然证△ECB∽△DCA，得到BE＝AD，∠EBC＝∠CAD，图3：由∠CP A+∠CAP＝90°，得∠BPF+∠CAP＝90°，又∠EBC＝∠CAD∴∠BPE+∠EBC＝90°，∴∠AFB＝90°即：AD⊥BE；图4：由题可知：∠CAD+∠BAF＝120°又∠EBC＝∠CAD∴∠BAF+∠EBC＝120°而∠CBA＝30°，∴∠BAF+∠FBA＝90°，∴∠AFB＝90°即：AD⊥BE图5：由∠CPB+∠EBC＝90°，得∠APE+∠EBC＝90°，又∠EBC＝∠CAD，∴∠CAD+∠APE＝90°，∴∠AFB＝90°即：AD⊥BE．22．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴OA＝OB，∠OAN＝∠B＝45°；又∵∠BOM＝∠AON＝90°﹣∠AOM，∴△MBO≌△NAO，∴AN：BM＝1：1＝1．（2）Rt△ABC中，AO⊥BC，则∠NAO＝∠MBO，又∵∠BOM＝90°﹣∠AOM，∠AON＝90°﹣∠AOM∴∠BOM＝∠AON∴△MBO∽△NAO，∴AN：BM＝AO：BO＝tan∠B＝tan60°＝．。

2023年北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》复习题附答案解析

2023年九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》复习题一、单选题1．如图，在ABC ∆中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5,则tan B 的值是（）A ．34B ．43C ．35D ．452．定义：圆心在原点，半径为1的圆称为单位圆.如图，已知点()(),0,0P x y x y >>在单位圆上，则sin POA ∠等于（）A ．x B ．yC ．x y D ．y x 3（）A ．3B ．1C ．2D ．124．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，AB ＝3，那么AC 等于（）A ．3sinαB ．3cosαC ．3sin αD ．3cos α5．tan60°的值等于()A ．1BC ．D ．26．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=α，BC=m ，则AB 的长为（）A ．m sinαB ．C ．m cosαD ．7．如图，网格中的每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1，ABC 的顶点均在格点上，则∠ABC 的正弦值为（）A ．12B ．5C ．35D ．108．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，sinA=35，则AB=（）A ．8B ．9C ．10D ．129．如图，冬奥会滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC 为100米，则BC 的长为（）米．A ．100cos 20︒B ．100cos 20︒C ．100sin 20︒D ．100sin 20︒10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （1，2），点P 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为α（0°<α<90°），那么tanα的值是（）A ．2B ．12C ．2D 二、填空题11．计算：012⎛⎫ ⎪⎝⎭–2cos60°=.12．cos30°+sin45°=13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，AD=95，BD=165，则sinB=.14．如图，已知斜坡AC 的坡度i ＝1：2，小明沿斜坡AC 从点A 行进10m 至点B ，在这个过程中小明升高m.三、计算题15．计算：0(3)4sin601π-+--16．计算：0(3)22cos30π---︒．四、解答题17．今年五、六月份，我省各地、市普遭暴雨袭击，水位猛涨.某市抗洪抢险救援队伍在B 处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A 处，情况危急！救援队伍在B 处测得A 在B 的北偏东60 的方向上（如图所示），队伍决定分成两组：第一组马上下水游向A 处救人，同时第二组从陆地往正东方向奔跑120米到达C 处，再从C 处下水游向A 处救人，已知A 在C 的北偏东30 的方向上，且救援人员在水中游进的速度均为1米/秒.在陆地上奔跑的速度为4米/秒，试问哪组救援队先到A 处？请说明理由.（参1.732=）18．如图，升国旗时，某同学站在离国旗20m 的E 处行注目礼（即BE=20m ），当国旗升至旗杆顶端A 时，该同学视线的仰角∠ADC=42°，已知他的双眼离地面的高度DE=1.60m ．求旗杆AB 的高度（结果精确到0.01m ）．参考数据：sin42°≈0.6691，cos42°≈0.7431，tan42°≈0.9004．19．如图，小明站在A 处，准备测量教学楼CD 的高度．此时他看向教学楼CD 顶部的点D ，发现仰角为45°．他向前走30m 到达A '处，测得点D 的仰角为67.5°．若小明的身高AB 为1.8m （眼睛与头顶的距离忽略不计），则教学楼CD 的高度为多少？（计算结果精确到0.1m ，参考数据：67.50.924sin ︒≈，67.50.383cos ︒≈，67.5 2.414tan ︒≈，1.414≈）20．先化简，再求代数式262393a a a a -÷+--的值，其中a ＝tan60°﹣6sin30°．21．先化简，再求代数式23211m m m m m m-+-÷-的值，其中60230m tan sin =︒-︒五、综合题22．五一期间，数学兴趣小组的几位同学到公园游玩，看到公园内宝塔耸立，几人想用所学知识测量宝塔的高度．为此，他们在距离宝塔中心18m 处（AC ＝18m ）的一个斜坡CD 上进行测量．如图，已知斜坡CD 的坡度为i ＝1斜坡CD 长12m ，在点D 处竖直放置测角仪DE ，测得宝塔顶部B 的仰角为37°，量得测角仪DE 的高为1.5m ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内．（1）求点D 距地面的高度；（2）求宝塔AB 的高度．（结果精确到0.1，参考数据；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）23．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长120mm AB =，支撑板长80mm CD =，底座长90mm DE =，托板AB 固定在支撑板顶端点C 处，且40mm CB =，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕点D 转动．（结果保留小数点后一位）（参考数据：40400.766sin ︒︒≈≈，，400.839tan ︒≈，26.60.448sin ≈ ，26.60.89426.60.500cos tan ︒︒≈≈，3 1.732≈）（1）若80DCB ︒∠=，60CDE ︒∠=，求点A 到直线DE 的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB 绕点C 逆时针旋转10 后，再将CD 绕点D 顺时针旋转，使点B 落在直线DE 上即可，求CD 旋转的角度．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：在△ABC 中，∵AC=3,BC=4,AB=5，又因32+42=52，即AC 2+BC 2=AB 2,∴△ABC 是直角三角形，且∠C=90°，∴tanB=34AC BC =.故答案为：A.【分析】首先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC 是直角三角形，再根据正切函数的定义即可得出答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：过P 作PE OA ⊥于E ，则PO=1,PE=y,OE=x,∴sin 1PE yPOA y PO ∠===，故答案为：B.【分析】过P 作OA 的垂线构造直角三角形，利用正弦的定义可得答案.3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵sin45°=2.故答案为：C.【分析】根据特殊角的三角函数值即可求得答案.4．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，∵ACcosαAB=,∴AC=3cosα.故答案为：B.【分析】根据余弦等于邻边比斜边即可求解.5．【答案】C 【解析】【解答】C 。

(完整版)北师大版初中中考数学压轴题及答案

中考数学专题复习(压轴题)1.已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.（1） 求该抛物线的解析式；（2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；（3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22）2. 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．3在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？P图 3B D 图 2B 图 1 AB C D E R PH Q4.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积等于43，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.5如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：△BDE ≌△BCF ；（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.6如图，抛物线21:23L y x x =--+交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点.抛物线1L 向右平移2个单位后得到抛物线2L ，2L 交x 轴于C 、D 两点.（1）求抛物线2L 对应的函数表达式；（2）抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是抛物线1L 上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上，请说明理由.7.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝7，CD ＝1，AD ＝BC ＝5．点M ，N 分别在边AD ，BC 上运动，并保持MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）求四边形MEFN 面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN 能否为正方形，若能，求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．C DA B E F NM8.如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数x k y =的图象上． （1）求m ，k 的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P 的坐标 为（5，0），点Q 的坐标为（0，3），把线段PQ 向右平移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P 1Q 1， 则点P 1的坐标为 ，点Q 1的坐标为．9.如图16，在平面直角坐标系中，直线y =x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2(0)y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点． 友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．（1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB =ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．x图16压轴题答案1. 解：（ 1）由已知得：310c b c =⎧⎨--+=⎩解得 c=3,b =2∴抛物线的线的解析式为223y x x =-++(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称，所以设对称轴与x 轴的交点为F所以四边形ABDE 的面积=ABO BOFD S S S ∆++梯形=111()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅=11113(34)124222⨯⨯++⨯+⨯⨯ =9（3）相似如图，====所以2220BD BE +=, 220DE =即： 222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形 所以90AOB DBE ∠=∠=︒,且2AO BO BD BE ==, 所以AOB DBE ∆∆.2 解：（1）Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．点D 为AB 中点，132BD AB ∴==． 90DHB A ∠=∠=，B B ∠=∠．BHD BAC ∴△∽△，DH BD AC BC ∴=，3128105BD DH AC BC ∴==⨯=． （2）QR AB ∥，90QRC A ∴∠=∠=． C C ∠=∠，RQC ABC ∴△∽△， RQ QC AB BC ∴=，10610y x -∴=， 即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+． （3）存在，分三种情况：①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．1290∠+∠=，290C ∠+∠=，1C ∴∠=∠． AB CD E R P H Q M 2184cos 1cos 105C ∴∠===，45QMQP ∴=，1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=，185x ∴=．②当PQ RQ =时，312655x -+=，6x ∴=．③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点， 于是点R 为EC 的中点，11224CR CE AC ∴===．tan QRBAC CR CA ==，366528x -+∴=，152x ∴=．综上所述，当x 为185或6或152时，PQR △为等腰三角形．3解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ． ∴ △AMN ∽ △ABC ．∴ AM ANAB AC =，即43x AN=．∴ AN ＝43x ． ……………2分∴ S =2133248MNP AMN S S x x x ∆∆==⋅⋅=．（0＜x ＜4） ……………3分H Q A B C D E R P H QB 图 1（2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =21MN ． 在Rt △ABC 中，BC． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．∴ AM MN AB BC=，即45x MN=．∴ 54MN x =， ∴ 58OD x =． …………………5分过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则58MQ OD x ==． 在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ． ∴ BM QM BC AC=．∴ 55258324xBM x ⨯==，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝4996． ∴当x＝4996时，⊙O 与直线B C 相切．…………………………………7分（3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC∴ △AMO ∽ △ABP ．∴ 12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2． 故以下分两种情况讨论：① 当0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN ==．BD 图 2QBP 图 3∴ 当x ＝2时，2332.82y =⨯=最大 ……………………………………8分 ② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．∵ 四边形AMPN 是矩形， ∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ． 又∵ MN ∥BC ，∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴ FN ＝BM ＝4－x ．∴ ()424PF x x x =--=-． 又△PEF ∽ △ACB ．∴ 2PEF ABCS PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭． ∴()2322PEF S x ∆=-． ……………………………………………… 9分 MNP PEFy S S ∆∆=-＝()222339266828x x x x --=-+-．……………………1分当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴ 当83x =时，满足2＜x ＜4，2y =最大． ……………………11分 综上所述，当83x =时，y 值最大，最大值是2． …………………………12分4 解：（1）作BE ⊥OA ，∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o=B(∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+,所以42+=,解得k =,P图 4以直线AB 的解析式为343y x =-+ （2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o, ∴ΔAPD 是等边三角形，PD=PA=2219AO OP +=如图，作B E ⊥AO,DH ⊥OA,GB ⊥DH,显然ΔGBD 中∠GBD=30°∴GD=12BD=32,DH=GH+GD=32+23=532, ∴GB=32BD=32,OH=OE+HE=OE+BG=37222+=∴D(532,72)(3)设OP=x,则由（2）可得D(323,22x x ++)若ΔOPD 的面积为：133(2)224x x += 解得：23213x -±=所以P(23213-±,0)5yxHG E DBA OP67解：（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H．……………1分∵AB∥CD，∴DG＝CH，DG∥CH．∴四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1．∵DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°，D∴△AGD≌△BHC（HL）． CMN∴ AG ＝BH ＝2172-=-GH AB ＝3． ………2分 ∵ 在Rt △AGD 中，AG ＝3，AD ＝5， ∴ DG ＝4．∴ ()174162ABCD S +⨯==梯形． ………………………………………………3分（2）∵ MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，∴ ME ＝NF ，ME ∥NF ．∴ 四边形MEFN 为矩形．∵ AB ∥CD ，AD ＝BC ， ∴ ∠A ＝∠B ．∵ ME ＝NF ，∠MEA ＝∠NFB ＝90°， ∴ △MEA ≌△NFB （AAS ）．∴ AE ＝BF ． ……………………4分 设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ． ……………5分 ∵ ∠A ＝∠A ，∠MEA ＝∠DGA ＝90°， ∴ △MEA ∽△DGA ．∴ DGME AG AE =． ∴ ME ＝x 34． …………………………………………………………6分∴ 6494738)2(7342+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅=x x x EF ME S MEFN 矩形． ……………………8分 当x ＝47时，ME ＝37＜4，∴四边形MEFN 面积的最大值为649．……………9分 （3）能． ……………………………………………………………………10分由（2）可知，设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ，ME ＝x 34．若四边形MEFN 为正方形，则ME ＝EF ．即 =34x 7－2x ．解，得 1021=x ． ……………………………………………11分∴ EF ＝21147272105x -=-⨯=＜4．A B E F G H∴ 四边形MEFN 能为正方形，其面积为251965142=⎪⎭⎫⎝⎛=MEFNS 正方形．8解：（1）由题意可知，()()()131-+=+m m m m ．解，得 m ＝3． ………………………………3分∴ A （3，4），B （6，2）；∴ k ＝4×3=12． ……………………………4分（2）存在两种情况，如图：①当M 点在x 轴的正半轴上，N 点在y 轴的正半轴 上时，设M 1点坐标为（x 1，0），N 1点坐标为（0，y 1）．∵ 四边形AN 1M 1B 为平行四边形，∴ 线段N 1M 1可看作由线段AB 向左平移3个单位， 再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2由（1）知A 点坐标为（3，4），B 点坐标为（6，2），∴ N 1点坐标为（0，4－2），即N 1（0，2）； ………………………………5分 M 1点坐标为（6－3，0），即M 1（3，0）． ………………………………6分设直线M 1N 1的函数表达式为21+=x k y ，把x ＝3，y ＝0代入，解得321-=k ．∴ 直线M 1N 1的函数表达式为232+-=x y ． ……………………………………8分②当M 点在x 轴的负半轴上，N 点在y 轴的负半轴上时，设M 2点坐标为（x 2，0），N 2点坐标为（0，y 2）． ∵ AB ∥N 1M 1，AB ∥M 2N 2，AB ＝N 1M 1，AB ＝M 2N 2， ∴ N 1M 1∥M 2N 2，N 1M 1＝M 2N 2．∴ 线段M 2N 2与线段N 1M 1关于原点O 成中心对称．∴ M 2点坐标为（-3，0），N 2点坐标为（0，-2）． ………………………9分设直线M 2N 2的函数表达式为22-=x k y ，把x ＝-3，y ＝0代入，解得322-=k ，∴ 直线M 2N 2的函数表达式为232--=x y ．所以，直线MN 的函数表达式为232+-=x y 或232--=x y ． ………………11分（3）选做题：（9，2），（4，5）． ………………………………………………2分9解：（1）直线y=-x轴交于点A，与y轴交于点C．(10)A∴-，，(0C， ················································································· 1分点A C，都在抛物线上，3a cc⎧=++⎪∴⎨⎪=⎩3ac⎧=⎪∴⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为2y x x=-- ····················································· 3分∴顶点1F⎛-⎝⎭， ······················································································ 4分（2）存在····································································································· 5分1(0P ·································································································· 7分2(2P ·································································································· 9分（3）存在····································································································10分理由：解法一：延长BC到点B'，使B C BC'=，连接B F'交直线AC于点M，则点M就是所求的点．··············································································11分过点B'作B H AB'⊥于点H．B点在抛物线233y x x=-(30)B∴，在Rt BOC△中，tan OBC∠=，x30OBC∴∠=，BC=在Rt BB H'△中，12B H BB''==6BH H'==，3OH∴=，(3B'∴--， ··············································12分设直线B F'的解析式为y kx b=+3k bk b⎧-=-+⎪∴⎨=+⎪⎩解得2kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩62y x∴=-························································································13分62yy x⎧=⎪∴⎨=-⎪⎩解得377xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩37M⎛∴⎝⎭∴在直线AC上存在点M，使得MBF△的周长最小，此时37M⎛-⎝⎭，．········14分解法二：过点F作AC的垂线交y轴于点H，则点H为点F关于直线AC的对称点．连接BH交AC于点M，则点M即为所求．11分过点F作FG y⊥轴于点G，则OB FG∥，BC FH∥．90BOC FGH∴∠=∠=，BCO FHG∠=∠xHFG CBO ∴∠=∠同方法一可求得(30)B ，．在Rt BOC △中，tan 3OBC ∠=，30OBC ∴∠=，可求得3GH GC ==， GF ∴为线段CH 的垂直平分线，可证得CFH △为等边三角形，AC ∴垂直平分FH ．即点H 为点F 关于AC的对称点．03H ⎛∴- ⎝⎭， ············································ 12分设直线BH 的解析式为y kx b =+，由题意得03k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y ∴=······················································································· 13分y y ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩解得37x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩37M ⎛∴ ⎝⎭， ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时377M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，． 110解：（1）点E 在y 轴上 ·············································································· 1分 理由如下：连接AO ，如图所示，在Rt ABO △中，1AB =，BO =2AO ∴=1sin 2AOB ∴∠=，30AOB ∴∠= 由题意可知：60AOE ∠=306090BOE AOB AOE ∴∠=∠+∠=+=点B 在x 轴上，∴点E 在y 轴上． ································································· 3分（2）过点D 作DM x ⊥轴于点M1OD =，30DOM ∠=∴在Rt DOM △中，12DM =，2OM = 点D 在第一象限， ∴点D 的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭， ··············································································· 5分 由（1）知2EO AO ==，点E 在y 轴的正半轴上∴点E 的坐标为(02)，∴点A 的坐标为( ················································································· 6分抛物线2y ax bx c =++经过点E ， 2c ∴=由题意，将(A，122D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，代入22y ax bx =++中得32131242a a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得899a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴所求抛物线表达式为：28299y x x =--+ ·················································· 9分 （3）存在符合条件的点P ，点Q ． ·································································· 10分 理由如下：矩形ABOC 的面积3AB BO ==∴以O B P Q ，，，为顶点的平行四边形面积为由题意可知OB 为此平行四边形一边， 又3OB =OB ∴边上的高为2 ······················································································· 11分 依题意设点P 的坐标为(2)m ，点P在抛物线28299y x x =--+上282299m m ∴--+= 解得，10m =，2m =1(02)P ∴，，228P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭以O B P Q ，，，为顶点的四边形是平行四边形， PQ OB ∴∥，PQ OB ==∴当点1P 的坐标为(02)，时，点Q的坐标分别为1(Q，2Q ； 当点2P的坐标为2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭时，点Q的坐标分别为32Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，42Q ⎫⎪⎪⎝⎭． ··········································· 14分 （以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）。

2022年春北师大版九年级数学中考一轮复习《弧长及扇形面积》知识点分类训练(附答案)

2022年春北师大版九年级数学中考一轮复习《弧长及扇形面积》知识点分类训练（附答案）一．弧长的计算1．一个扇形的半径为8cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（）A．60°B．120°C．150°D．180°2．已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（）A．12πB．3πC．2πD．π3．一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为3cm的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为（）A．45cm B．40cm C．35cm D．30cm4．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，∠BAC＝22.5°，则的长为．5．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为（）A．2+B．+C．+D．2+二．扇形面积的计算6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．8﹣πB．4﹣πC．2﹣D．1﹣7．如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（）A．πm2B．πm2C．πm2D．πm28．如图，从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为dm2．9．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为．10．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．11．如图扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点C 为圆心，OA的长为直径作半圆交CE于点D，若OA＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．3π﹣B．3π﹣2C．﹣2D．﹣12．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（）A．16π﹣12B．16π﹣24C．20π﹣12D．20π﹣2413．如图，作⊙O的任意一条直径FC，分别以F、C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E、A和D、B，顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、F A，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为．14．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，以E为圆心，BE长为半径画弧交对角线AC于点F，若∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BEF的面积为．15．“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为平方厘米．（圆周率用π表示）16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E，以C 为圆心、BC长为半径画弧交AC于点F，则图中阴影部分的面积是．17．如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝16，分别以点A，B，C，D为圆心，AB 的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝120°，AB＝2，以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）20．如图所示，以AB为直径的半圆，绕点B顺时针旋转60°，点A旋转到点A'，且AB＝2，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．2πD．21．如图，从直径为4的圆形纸片中，剪掉一个圆心角为90°的扇形ABC，点A、B、C在圆周上，则剩下部分（图中阴影部分）的面积为（）A．2πB．4π﹣πC．4πD．6π22．如图，AB是⊙的直径，半径OA的垂直平分线交⊙O于C，D两点，∠C＝30°，CD ＝2，则阴影部分的面积是（）A．B．πC．D．2π23．如图，扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，C为OB边上一点，将△AOC沿AC 边折叠，圆心O恰好落在弧AB上，则阴影部分面积为（）A．3π﹣4B．3π﹣2C．3π﹣4D．2π24．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，1为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣1B．π﹣3C．π﹣2D．4﹣π25．如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都等于2，则图中三个扇形（即阴影部分）的面积之和为．（结果保留π）26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．27．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是．28．如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为．29．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA ＝2，则阴影部分的面积为．30．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠BCD＝30°，CD＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．2π﹣4B．C．D．﹣431．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OC＝2，则图中阴影部分的面积是（）A．π﹣2B．π﹣4C．D．32．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC 于点E，连接AE，则阴影部分的面积为（）A．6﹣B．4﹣C．6﹣D．6﹣33．如图，两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD的圆心C 是的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，则图中阴影面积等于（）A．B．C．π﹣1D．π﹣234．如图，△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC＝2．将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，则边BC扫过区域的面积为（）A．B．πC．D．2π35．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC＝3，BC＝2，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为．36．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2．如图所示，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'，则图中阴影部分面积为（）A．πB．2C．π﹣D．2参考答案一．弧长的计算1．解：设扇形圆心角为n°，根据弧长公式可得：＝，解得：n＝120°，故选：B．2．解：根据弧长公式：l＝＝3π，故选：B．3．解：设弧所在圆的半径为rcm，由题意得，＝2π×3×5，解得，r＝40．故选：B．4．解：如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD．∵OA＝OB＝OD＝5，∠BOC＝2∠BAC＝45°，∴的长＝＝．故答案为：．5．解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′＝＝＝2，的长l＝＝，∴阴影部分周长的最小值为2+．故选：D．二．扇形面积的计算6．解：根据题意可知AC＝＝＝1，则BE＝BF＝AD＝AC＝1，设∠B＝n°，∠A＝m°，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，即n+m＝90，∴S阴影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC）＝﹣（）＝1﹣＝1﹣，故选：D．7．解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，所以面积＝＝π（m2）；小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m，则面积＝＝（m2），则小羊A在草地上的最大活动区域面积＝π+＝π（m2）．故选：B．8．解：连接AC，∵从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC＝90°，∴AC为直径，即AC＝4dm，AB＝BC（扇形的半径相等），∵AB2+BC2＝22，∴AB＝BC＝2dm，∴阴影部分的面积是＝2π（dm2）．故答案为：2π．9．解：连接CD，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠B＝45°，∵点D为AB的中点，∴DC＝AB＝BD＝1，CD⊥AB，∠DCA＝45°，∴∠CDH＝∠BDG，∠DCH＝∠B，在△DCH和△DBG中，，∴△DCH≌△DBG（ASA），∴S四边形DGCH＝S△BDC＝S△ABC＝AB•CD＝×2×1＝．∴S阴影＝S扇形DEF﹣S△BDC＝﹣＝﹣．故答案为﹣．10．解：连接OD，在Rt△OCD中，OC＝OD＝2，∴∠ODC＝30°，CD＝＝2，∴∠COD＝60°，∴阴影部分的面积＝﹣×2×2＝π﹣2，故选：C．11．解：连接OE，如图所示：∵C为OA的中点，CE⊥OA且OA＝4，∴OC＝2，∴cos∠EOC＝＝，CE＝＝2，∴∠COE＝60°．∵∠AOB＝90°，∴∠BOE＝30°，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形ACD﹣S扇形BOE﹣S△COE＝﹣﹣﹣×2×2＝﹣2．故选：C．12．解：连接AD，OE∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠CDF＝90°，∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90°，∴∠ADF+∠DAF＝90°，∴∠CDF＝∠DAC，∵∠CDF＝15°，∴∠DAC＝15°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAC＝2∠DAC＝30°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝30°，∴∠AOE＝120°，作OH⊥AE于H，在Rt△AOH中，OA＝4，∴OH＝sin30°×OA＝2，AH＝cos30°×OA＝6，∴AE＝2AH＝12，∴S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE＝＝16．故选：A．13．解：连接EB，AD，设⊙O的半径为r，⊙O的面积S＝πr2，弓形EF，AF的面积与弓形EO，AO的面积相等，弓形CD，BC的面积与弓形OD，OB的面积相等，∴图中阴影部分的面积＝S△EDO+S△ABO，∵OE＝OD＝AO＝OB＝OF＝OC＝r，∴△EDO、△AOB是正三角形，∴阴影部分的面积＝×r×r×2＝r2，∴⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为，故答案为：．14．解：∵∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，∴∠ACB＝20°，又∵E为BC的中点，∴BE＝EC＝BC＝2，∵BE＝EF，∴EF＝EC＝2，∴∠EFC＝∠ACB＝20°，∴∠BEF＝40°，∴扇形BEF的面积＝＝，故答案为：．15．解：过A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝BC＝2厘米，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝1厘米，AD＝BD＝厘米，∴△ABC的面积为BC•AD＝（厘米2），S扇形BAC＝＝π（厘米2），∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝（2π﹣2）厘米2，故答案为：（2π﹣2）．16．解：连接BE，∵AB为直径，∴BE⊥AC，∵AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，∴BE＝AE＝CE，∴S弓形AE＝S弓形BE，∴图中阴影部分的面积＝S半圆﹣（S半圆﹣S△ABE）﹣（S△ABC﹣S扇形CBF）＝π×22﹣（﹣）﹣（﹣）＝3π﹣6，故答案为3π﹣6．17．解：∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝＝π﹣．故答案为：π﹣．18．解：在菱形ABCD中，有：AC＝12，BD＝16，∴，∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB＝360°，∴四个扇形的面积，是一个以AB的长为半径的圆，∴图中阴影部分的面积＝×12×16﹣π×52＝96﹣25π，故答案为：96﹣25π．19．解：如图，设以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与AB，AD相交于E，F，连接EO，FO，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，∴AC⊥BD，BO＝DO，OA＝OC，AB＝AD，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD＝2，∠ABD＝∠ADB＝60°，∴BO＝DO＝，∵以点O为圆心，OB长为半径画弧，∴BO＝OE＝OD＝OF，∴△BEO，△DFO是等边三角形，∴∠DOF＝∠BOE＝60°，∴∠EOF＝60°，∴阴影部分的面积＝2×（S△ABD﹣S△DFO﹣S△BEO﹣S扇形OEF）＝2×（×12﹣×3﹣×3﹣）＝3﹣π，故答案为：3﹣π．20．解：由图可得，图中阴影部分的面积为：+﹣＝π，故选：B．21．解：连接BC，由∠BAC＝90°得BC为⊙O的直径，∴BC＝4，在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB＝AC＝2，∴S扇形ABC＝＝2π，∴S阴影＝π•22﹣2π＝2π，故选：A．22．解：连接OC，AD∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∵AB⊥CD，∴OA平分CD，∴CE＝DE＝CD＝，∵CD垂直平分OA，∴四边形ACOD是菱形，在Rt△ACE中，AC＝＝＝2，∴阴影部分面积＝＝π．故选：A．23．解：连接OD，∵△AOC沿AC边折叠得到△ADC，∴OA＝AD，∠OAC＝∠DAC，又∵OA＝OD，∴OA＝AD＝OD，∴△OAD是等边三角形，∴∠OAC＝∠DAC＝30°，∵扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，∴OC＝2，∴阴影部分的面积是：（×2）＝3π﹣4，故选：A．24．解：连接BD，EF，如图，∵正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．∵点E，F分别为BC，AD的中点，∴FD＝FO＝EO＝EB＝1，∴，OB＝OD．∴弓形OB＝弓形OD．∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．∴S阴影＝S扇形CBD﹣S△CBD＝＝π﹣2．故选：C．25．解：∵三个扇形的半径都是2，∴而三个圆心角的和是180°，∴图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为＝2π．故答案为：2π．26．解：连接CE，∵∠A＝30°，∴∠CBA＝90°﹣∠A＝60°，∵CE＝CB，∴△CBE为等边三角形，∴∠ECB＝60°，BE＝BC＝2，∴S扇形CBE＝＝π∵S△BCE＝BC2＝，∴阴影部分的面积为π﹣．故答案为：π﹣．27．解，连接OD，过D作DE⊥BC于E，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴sin C＝＝＝，BC＝＝＝2，∴∠C＝30°，∴∠DOB＝60°，∵OD＝BC＝，∴DE＝，∴阴影部分的面积是：2×2﹣﹣＝﹣，故答案为：﹣．28．解：连接PB、PC，作PF⊥BC于F，∵PB＝PC＝BC，∴△PBC为等边三角形，∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，∴BF＝PB•cos60°＝PB＝1，PF＝PB•sin60°＝，则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP的面积﹣（扇形BPC的面积﹣△BPC的面积）]×2＝[﹣（﹣×2×）]×2＝2﹣，故答案为：2﹣．29．解：作OE⊥AB于点F，∵在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．OA＝2，∴∠AOD＝90°，∠BOC＝30°，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴OD＝OA•tan30°＝×＝2，AD＝4，AB＝2AF＝2×2×＝6，OF＝，∴BD＝2，∴阴影部分的面积是：S△AOD+S扇形OBC﹣S△BDO＝＝+π，故答案为：+π．30．解：∵CD⊥AB，AB过O，CD＝4，∴CE＝DE＝CD＝2，∠CEB＝90°，∵∠BCD＝30°，∴∠CBO＝90°﹣∠BCD＝60°，BC＝2BE，由勾股定理得：BC2＝CE2+BE2，即（2BE）2＝（2）2+BE2，解得：BE＝2，∴BC＝4，∵∠CBO＝60°，OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OC＝OB＝BC＝4，∴阴影部分的面积S＝S扇形COB﹣S△COB＝﹣＝﹣4，故选：B．31．解：∵∠BOC＝2∠BAC＝90°，∴S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC＝﹣×2×2＝π﹣2，故选：A．32．解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝BC＝4，∴∠B＝∠DAB＝90°，AD＝AE＝4，∵AB＝2，∴cos∠BAE＝＝，∴∠BAE＝30°，∠EAD＝60°，∴BE＝AE＝2，∴阴影部分的面积S＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EAD＝2×4﹣××2﹣＝6﹣．故选：A．33．解：两扇形的面积和为：＝π，过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，则四边形EMCN是矩形，∵点C是的中点，∴EC平分∠AEB，∴CM＝CN，∴矩形EMCN是正方形，∵∠MCG+∠FCN＝90°，∠NCH+∠FCN＝90°，∴∠MCG＝∠NCH，在△CMG与△CNH中，，∴△CMG≌△CNH（ASA），∴中间空白区域面积相当于对角线是的正方形面积，∴空白区域的面积为：××＝1，∴图中阴影部分的面积＝两个扇形面积和﹣2个空白区域面积的和＝π﹣2．故选：D．34．解：在Rt△ACB中，∠C＝90o，AC＝BC＝2，由勾股定理得：AB＝＝2，∵将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，∴∠CAC1＝90°，∴阴影部分的面积S＝S+S﹣S△ACB﹣S＝+2×2﹣2×2﹣＝π，故选：B．35．解：∵△ABC绕点C旋转120°得到△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴S△ABC＝S△A′B′C，∠BCB′＝∠ACA′＝120°．∵AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，∴AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′，∴AB扫过的图形的面积＝﹣＝．故答案为：．36．解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，∴AB＝BC＝2，AC＝2BC＝4，∴图中阴影部分面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′＝＝2π﹣2，故选：B．。

北师大版中考数学复习：中点问题常考热点 专项练习题汇编(Word版,含答案)

北师大版中考数学复习：中点问题常考热点专项练习题汇编一．选择题1．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论正确的有：（）①AP＝FP，②AE＝AO，③若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，④CE•EF＝EQ•DE．A．4个B．3个C．2个D．1个2．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，动点P从点A出发向终点D运动，连BP，并过点C作CH⊥BP，垂足为H．①△ABP∽△HCB；②AH的最小值为﹣；③在运动过程中，BP扫过的面积始终等于CH扫过的面积；④在运动过程中，点H的运动路径的长为π，其中正确的有个（）个．A．1B．2C．3D．43．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，线段AE，AF与对角线BD分别交于点G，H．设矩形ABCD的面积为S，则以下4个结论中：①AG：GE＝2：1；②BG：GH：HD＝1：1：1；③S1+S2+S3＝S；④S2：S4：S6＝1：2：4．正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连接AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A．B．C．D．5．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（）①AE⊥BF；②S△BCF＝5S△BGE；③QB＝QF；④tan∠BQP＝．A．1B．2C．3D．46．正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE 沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE＝．下列结论：①AD垂直平分EE′，②tan∠ADE＝﹣1，③C△ADE﹣C△ODE＝2﹣1，④S四边形AEFB＝，其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABC＝2S△ABF．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．如图，正方形ABCD的边CD与正方形CGFE的边CE重合，O是EG的中点，∠EGC 的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH、EG与FH交于M，对于下面四个结论：①GH⊥BE；②HO BG；③S正方形ABCD：S正方形ECGF＝9﹣4：4；④EM：MG ＝1：（1+），其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，正方形ABCD中，P为对角线上的点，PB＝AB，连PC，作CE⊥CP交AP的延长线于E，AE交CD于F，交BC的延长线于G，则下列结论：①E为FG的中点；②FG2＝4CF•CD；③AD＝DE；④CF＝2DF．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题10．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝2，CD＝1．下列结论：①∠AED ＝∠ADC，②＝，③BF＝2AC，④BE＝DE．其中结论正确的个数有．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，BC＝4，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，若△AB′F为直角三角形，则AE的长为．12．已知：△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且BE＝AB，F为AC上一点，且CF＝AC，EF交AD于P，则EP：PF＝．13．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC 边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为．14．如图，正方形ABCD的边CD与正方形CGFE的边CE重合，O是EG的中点，∠EGC 的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH、EG与FH交于M，对于下面四个结论：①GH⊥BE；②HO BG；③点H不在正方形CGFE的外接圆上；④△GBE∽△GMF．其中正确的结论有．15．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF＝EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设FE与DC相交于点N．则4个结论：①DN＝DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD；④若MC＝，则BF＝2；正确的结论有．16．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝90°，AC与BD交于点H，AE⊥BC于点E，AE交BD于点G，点F是BD的中点，连接EF，若HG＝10，GB＝6，tan∠ACB＝1，则下列结论：①∠DAC＝∠CBD；②DH+GB＝HG；③4AH＝5HC；④EC﹣EB＝EF；其中正确结论序号是．17．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH＝．18．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP 翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有（写出所有正确结论的序号）①△CMP∽△BP A；②四边形AMCB的面积最大值为10；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为2；⑤当△ABP≌△ADN时，BP＝4﹣4．三．解答题19．在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝16cm，EF分别是AB、BD的中点，连接EF，点P 从点E出发沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s．同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接PQ．设运动时间为t（0＜t＜8）s．解答下列问题：（1）如图①，求证：△BEF∽△DCB；（2）如图②，过点Q作QG⊥AB，垂足为G，若四边形EPQG为矩形，t＝；（3）当△PQF为等腰三角形时，请直接写出t的值．20．如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，延长CA至点E，作DE⊥CE交BA 的延长线于点D，连接CD，点F为CD的中点，连接EF，BF．（1）直接写出线段EF和BF之间的数量关系为；（2）将△ADE绕点A顺时针旋转到图②的位置，猜想EF和BF之间的关系，并加以证明；（3）若AC＝3，AE＝2，将△ADE绕点A顺时针旋转，当A，E，B共线时，请直接写出EF的长．参考答案一．选择题1．解：连接AF．∵PF⊥AE，∴∠APF＝∠ABF＝90°，∴A，P，B，F四点共圆，∴∠AFP＝∠ABP＝45°，∴∠P AF＝∠PF A＝45°，∴AP＝FP，故①正确，设BE＝EC＝a，则AE＝a，OA＝OC＝OB＝OD＝a，∴，即AE＝AO，故②正确，根据对称性可知，△OPE≌△OQE，∴S△OEQ＝S四边形OPEQ＝2，∵OB＝OD，BE＝EC，∴CD＝2OE，OE∥CD，∴，△OEQ∽△CDQ，∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，∴S△CDO＝12，∴S正方形ABCD＝48，故③错误，∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC，∴△EPF∽△ECD，∴，∵EQ＝PE，∴CE•EF＝EQ•DE，故④正确，故选：B．2．解：①∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAP＝90°，AD∥BC，∴∠APB＝∠HBC．∵CH⊥BP，∴∠BHC＝90°．∴∠BAP＝∠CHB＝90°．∴△ABP∽△HCB．∴①的结论正确；②如下图，点H的运动轨迹是以BC的中点为圆心，AB为半径的圆弧，设BC的中点为O，∵AH+HO≥AO，∴当A，H，O在一条直线上时，AH最小．∵BC＝2，∴OB＝BC＝．∴AO＝＝，∴AH的最小值＝AO﹣OB＝﹣，∴②的结论正确；③BP扫过的面积＝．∵点H的运动轨迹是以BC的中点为圆心，AB为半径的圆弧，∴CH扫过的面积为S扇形OBH+S△OHC．∵CD＝2，BC＝2，∴tan∠DBC＝，∴∠DBC＝30°，∴∠HOC＝2∠DBC＝60°，∴∠BOH＝120°．∴CH扫过的面积为S扇形OBH+S△OHC＝+××＝π+，∴③的结论错误；④∵点H的运动轨迹是以BC的中点为圆心，AB为半径的圆弧，∴点H的运动路径的长为：＝．∴④的结论错误；综上，正确的结论有：①②，故选：B．3．解：①∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E是BC的中点，∴BE＝BC，∵AD∥BE，∴＝＝2，即AG：GE＝2：1；故①正确；②∵AD∥BE，∴，∴BG＝BD，同理得：DH＝BD，∴BG＝GH＝HD，∴BG：GH：HD＝1：1：1；故②正确；③∵AD∥BE，∴△BEG∽△DAG，∴＝，∵BG＝GH＝HD，∴S5＝S3＝S4，设S1＝x，则S5＝S3＝S4＝2x，∴S＝12x，同理可得：S2＝x，∴S1+S2+S3＝x+x+2x＝4x＝S；故③正确；④由③知：S6＝6x﹣x﹣x＝4x，∴S2：S4：S6＝1：2：4，故④正确；所以本题的4个结论都正确；故选：D．4．解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，∴DH＝3×，∴DH＝，故选：B．5．解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF，故①正确；∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE＝BC，BF＝BC，∴BE：BF＝1：，∴△BGE的面积：△BCF的面积＝1：5，∴S△BCF＝5S△BGE，故②正确．根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠PFB，∴QF＝QB，故③正确；∵QF＝QB，PF＝1，则PB＝2，在Rt△BPQ中，设QB＝x，∴x2＝（x﹣1）2+4，∴x＝，∴QB＝，PQ＝＝＝，∴tan∠BQP＝＝，故④错误；故选：C．6．解：如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，AO＝OB＝OD＝OC，∠DAC＝∠CAB＝∠DAE′＝45°，根据对称性，△ADE≌△ADE′≌△ABE，∴DE＝DE′，AE＝AE′，∴AD垂直平分EE′，故①正确，∴EN＝NE′，∵∠NAE＝∠NEA＝∠MAE＝∠MEA＝45°，AE＝，∴AM＝EM＝EN＝AN＝1，∵ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，∴EN＝EO＝1，AO＝DO＝+1，∴tan∠ADE＝tan∠ODE＝＝﹣1，故②正确，∴AB＝AD＝AO＝2+，∴C△ADE﹣C△ODE＝AD+AE﹣DO﹣EO＝，故③错误，∴S△AEB＝S△AED＝×1×（2+）＝1+，S△BDE＝S△ADB﹣2S△AEB＝1+，∵DF＝EF，∴S△EFB＝，∴S四边形AEFB＝S△AEB+S△BEF＝，故④错误，故选：C．7．解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，交BC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∴∠EAC＝∠ACB，∵BE⊥AC于点F，∴∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝，∵AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故②正确；∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，CN＝NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DN垂直平分CF，∴DF＝DC，故③正确；∵CF＝2AF，∴S△ABC＝3S△ABF．∴④不正确；其中正确的结论有3个，故选：B．8．解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝90°，同理可得CE＝CG，∠DCG＝90°，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠BEC＝∠DGC，∵∠EDH＝∠CDG，∠DGC+∠CDG＝90°，∴∠EDH+∠BEC＝90°，∴∠EHD＝90°，即HG⊥BE，故①正确；在△BGH和△EGH中，，∴△BGH≌△EGH（ASA），∴BH＝EH，又∵O是EG的中点，∴HO＝BG，且HO∥BG，故②正确；设EC和OH相交于点N．设HN＝a，则BC＝2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC＝b，CD＝2a，∵OH∥BC，∴△DHN∽△DGC，∴＝，即＝，即a2+2ab﹣b2＝0，解得：a＝b＝（﹣1+）b，或a＝（﹣1﹣）b（舍去），则＝﹣1；则S正方形ABCD：S正方形ECGF＝（﹣1）2＝3﹣2，故③错误；∵EF∥OH，∴△EFM∽△OMH，∴＝＝，∴＝，＝，∴＝＝＝，故④正确．故选：C．9．解：①如图：正方形ABCD中BA＝BC，∠ABP＝∠CBP，BP＝BP，∴△ABP≌△CBP，那么∠1＝∠2，在直角三角形ABG中∠1与∠G互余，∠PCE＝90°，那么∠2与∠5互余，∴∠5＝∠G，∴EC＝EG．在直角三角形FCG中∠3与∠G互余，∠4与∠5也互余，而∠5＝∠G，∴∠3＝∠4，∴EC＝EF，从而得出EG＝EF，即E为FG的中点．∴①正确．③∵AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BP＝BP，∴△ABP≌△CBP，∴∠1＝∠2，∵AB∥CD，∴∠1＝∠DF A，∵AB＝BP，∴∠1＝∠BP A，∵∠DPF＝∠APB，∵EF＝CE，∴∠3＝∠4，∴∠4＝∠DPE，∴D、P、C、E四点共圆，∴∠DEA＝∠DCP，∵∠1+∠DAP＝90°，∠2+∠DCP＝90°，∴∠DAP＝∠DCP＝∠DEA，∴AD＝DE，∴③正确，②∵∠3＝∠4，AD＝DE（③已求证），∴△CEF∽△CDE，∴＝，即CE2＝CF•CD，∵∠3＝∠4，∴CE＝EF，∵E为FG的中点．∴FG＝2CE，即CE＝FG，∴＝CF•CD，即FG2＝4CF•CD，∴②正确．④∵四边形ABCD是正方形，∴△PDF∽△PBA，∴＝＝，∴＝，∴＝，即CF＝DF，∴④错误，综上所述，正确的由①②③．故选：C．二．填空题（共9小题）10．解：①∠AED＝90°﹣∠EAD，∠ADC＝90°﹣∠DAC，∵AD平分∠CAB，∴∠EAD＝∠DAC，∴∠AED＝∠ADC，故①正确；②∵∠EAD＝∠DAC，∠ADE＝∠ACD＝90°，∴△ADE∽△ACD，∴，∵AC的值未知，故②不一定正确；③连接DM，∵MD为斜边AE的中线，∴DM＝MA，∴∠MDA＝∠MAD＝∠DAC，∴DM∥BF∥AC，∴，∴，∴BF＝2AC，故③正确；④由③知，，∵，∴DM∥AC，DM⊥BC，∴∠MDA＝DAC＝DAM，∵∠ADE＝90°，∴DM＝MA＝ME，∵BM＝2AM，∴BE＝EM，∴ED＝BE，故④正确，故答案为：3个．11．解：①如图1中，当∠AFB′＝90°时．在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，AC＝4，∴AB＝2AC＝8，∵BD＝CD，∴BD＝CD＝BC＝2，由折叠的性质得：∠BFD＝90°，B'E＝BE，∴∠BDF＝60°，∴∠EDB＝∠EDF＝30°，∴∠B＝∠EDB＝30°，∴BE＝DE＝B'E，∵∠C＝∠BFD＝90°，∠DBF＝∠ABC＝90°，∴△BDF∽△BAC，∴，即＝，解得：BF＝3，设BE＝DE＝x，在Rt△EDF中，DE＝2EF，∴x＝2（3﹣x），解得：x＝2，∴AE＝8﹣2＝6．②如图2中，当∠AB′F＝90°时，作EH⊥AB′交AB′的延长线于H．设AE＝x．∵AD＝AD，CD＝DB′，∴Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），∴AC＝AB′＝4，∵∠AB′E＝∠AB′F+∠EB′F＝90°+30°＝120°，∴∠EB′H＝60°，在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝（8﹣x），EH＝B′H＝（8﹣x），在Rt△AEH中，∵EH2+AH2＝AE2，∴[（8﹣x）]2+[4+（8﹣x）]2＝x2，解得：x＝，综上所述，满足条件的AE的值为6或．故答案为：6或．12．解：∵BE＝AB，CF＝AC，∴则＝，＝，分别作EE1，FF1平行于BC且与AD交于E1、F1两点．则EE1∥FF1，∴△EE1P∽△FF1P，＝，＝＝，＝＝，又BD＝CD，∴＝，∴＝＝，故答案为：．13．解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接MN′并延长交BD于P，连NP，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC＝AB＝，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝，∵N为OA中点，∴ON＝，∴ON'＝CN'＝，∴AN'＝，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝＝，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故答案为：2．14．解：①如图，∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠BEC＝∠BGH，∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，∴∠BEC+∠HDE＝90°，∴GH⊥BE，故①正确；②∵GH是∠EGC的平分线，∴∠BGH＝∠EGH，在△BGH和△EGH中，，∴△BGH≌△EGH（ASA），∴BH＝EH，又∵O是EG的中点，∴HO是△EBG的中位线，∴OH∥BG，HO＝BG，故②正确；③由①得△EHG是直角三角形，∵O为EG的中点，∴OH＝OG＝OE，∴点H在正方形CGFE的外接圆上，故③错误；④如图2，连接CF，由③可得点H在正方形CGFE的外接圆上，∴∠HFC＝∠CGH，∵∠HFC+∠FMG＝90°，∠CGH+∠GBE＝90°，∴∠FMG＝∠GBE，又∵∠EGB＝∠FGM＝45°，∴△GBE∽△GMF，故④正确；故答案为：①②④．15．解：正方形ABCD中，AD＝CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠ADF＝∠CDE，DE＝DF，∴∠EDF＝∠FDC+∠CDE＝∠FDC+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠DEF＝45°，∵∠DGN＝45°+∠FDG，∠DNG＝45°+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，∴∠DGN≠∠DNG，∴DN≠DH，判断出①错误；∵△DEF是等腰直角三角形，∵∠ABD＝∠DEF＝45°，∠BGF＝∠EGD（对顶角相等），∴△BFG∽△EDG，∵∠DBE＝∠DEF＝45°，∠BDE＝∠EDG，∴△EDG∽△BDE，∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②正确；连接BM、DM．∵△AFD≌△CED，∴∠FDA＝∠EDC，DF＝DE，∴∠FDE＝∠ADC＝90°，∵M是EF的中点，∴MD＝EF，∵BM＝EF，∴MD＝MB，在△DCM与△BCM中，，∴△DCM≌△BCM（SSS），∴∠BCM＝∠DCM，∴CM在正方形ABCD的角平分线AC上，∴MC垂直平分BD；故③正确；过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°，∵MC＝，∴MH＝×＝1，∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，∴MH是△BEF的中位线，∴BF＝2MH＝2，故④正确；综上所述，正确的结论有②③④．故答案是：②③④．16．解：①以BD中点F为圆心，BD为直径可以作出△ABC的外接圆，∵tan∠ACB＝45°，∴∠ACB＝∠ADB＝45°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠DAC＝∠CBD，故①正确；②∵△ABH∽△GDA，∴AB2＝BH•DG，即AB2＝16×（10+DH），叉∵BD＝AB，即16+DH＝AB，解得DH＝8，∵DH+GB＝8+6＝14≠10，∴DG+GB≠HG，故②错误；③∵△AHG∽△BHA，∴AH2＝BH•HG＝160，∴AH＝4，根据相交弦定理：AH•HC＝BH•DH，∴HC＝，∴4AH＝5HC，故③正确；④∵BD＝BH+DH＝24，△ABD为等腰直角三角形，∴AB＝12，∵AC＝AH+HC＝，且△AEC是等腰直角三角形，∴AE＝CE＝，根据勾股定理可得，BE＝，∴CE﹣BE＝，由△ABH∽△DCH，得CD＝，而FN＝CD＝，BF＝12，由勾股定理可得，BN＝，BE＝，∴EN＝BN﹣BE＝，EF＝，∴CE﹣EB＝EF，故④正确．综上，正确的结论是①③④．故答案为：①③④．17．解：在BD上截取BE＝CH，连接CO，OE，∵∠ACB＝90°，CH⊥BD，∵AC＝BC＝3，CD＝1，∴BD＝，∴△CDH∽△BDC，∴，∴CH＝，∵△ACB是等腰直角三角形，点O是AB中点，∴AO＝OB＝OC，∠A＝∠ACO＝∠BCO＝∠ABC＝45°，∴∠OCH+∠DCH＝45°，∠ABD+∠DBC＝45°，∵∠DCH＝∠CBD，∴∠OCH＝∠ABD，在△CHO与△BEO中，，∴△CHO≌△BEO，∴OE＝OH，∠BOE＝∠HOC，∵OC⊥BO，∴∠EOH＝90°，即△HOE是等腰直角三角形，∵EH＝BD﹣DH﹣CH＝﹣﹣＝，∴OH＝EH×＝，故答案为：．18．解：∵∠APB＝∠APE，∠MPC＝∠MPN，∵∠CPN+∠NPB＝180°，∴2∠NPM+2∠APE＝180°，∴∠MPN+∠APE＝90°，∴∠APM＝90°，∵∠CPM+∠APB＝90°，∠APB+∠P AB＝90°，∴∠CPM＝∠P AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝DC＝AD＝4，∠C＝∠B＝90°，∴△CMP∽△BP A．故①正确，设PB＝x，则CP＝4﹣x，∵△CMP∽△BP A，∴＝，∴CM＝x（4﹣x），∴S四边形AMCB＝[4+x（4﹣x）]×4＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣2）2+10，∴x＝2时，四边形AMCB面积最大值为10，故②正确，当PB＝PC＝PE＝2时，由折叠知，AE＝AB＝AD，∠AEP＝∠B＝90°，∴∠AEN＝90°＝∠D，∵AN＝AN，∴Rt△ADN≌Rt△AEN（HL），∴DN＝EN，设ND＝NE＝y，在Rt△PCN中，（y+2）2＝（4﹣y）2+22解得y＝，∴NE≠EP，故③错误，作MG⊥AB于G，∴MG＝AD＝4，根据勾股定理得：AM＝＝，∴AG最小时AM最小，∵AG＝AB﹣BG＝AB﹣CM＝4﹣x（4﹣x）＝（x﹣2）2+3，∴x＝2时，AG最小值＝3，∴AM最小值＝＝5，故④错误．∵△ABP≌△ADN时，∴△ABP≌△ADN≌△AEN≌△AEP，∴∠P AB＝∠DAN＝22.5°，在AB上取一点K使得AK＝PK，设PB＝z，∴∠KP A＝∠KAP＝22.5°∵∠PKB＝∠KP A+∠KAP＝45°，∴∠BPK＝∠BKP＝45°，∴PB＝BK＝z，AK＝PK＝z，∴z+z＝4，∴z＝4﹣4，∴PB＝4﹣4，故⑤正确．故答案为①②⑤．三．解答题（共22小题）19．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠EBF＝＝∠CDB，∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∴EF∥BC，∴∠EFB＝∠CBD，∴△BEF∽△DCB；（2）当四边形EPQG为矩形时，如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝16cm，∴BD＝20cm，AD＝BC＝16cm，∵E、F分别是AB、BD的中点，∴BF＝DF＝10cm，EF＝AD＝×16＝8m，∴QF＝（2t﹣10）cm，PF＝（8﹣t）cm，∵四边形EPQG是矩形，∴PQ∥BE，∴△QPF∽△BEF，∴，∴，解得：t＝，∴当t＝时，四边形EPQG为矩形，故答案为；（3）当点Q在DF上，PF＝QF，如图所示，∵PF＝（8﹣t）cm，QF＝（10﹣2t）cm，∴8﹣t＝10﹣2t，解得：t＝2，当点Q在BF上，PF＝QF，如图所示，∵PF＝（8﹣t）cm，QF＝（2t﹣10）cm，∴8﹣t＝2t﹣10，∴t＝6，当点Q在BF上，PQ＝QF，如图所示，过点Q作QG⊥EF于点G，则GQ∥BE，∴△QGF∽△BEF，∴，∵PQ＝QF，∴GF＝PF＝（8﹣t），∴，∴t＝，当点Q在BF上，PQ＝PF，如图所示，过点P作PM⊥BF于点M，则∠PMF＝∠BEF＝90°，∵∠PFM＝∠BFE，∴△PFM∽△BFE，∴，∵PQ＝PF，∴MF＝QF＝（2t﹣10），∴，∴t＝，综上所述，t＝2或6或或时，△PQF是等腰三角形．20．解：（1）如图①中，结论：EF＝BF．理由：∵DE⊥CE，∴∠CED＝90°，∵∠CBD＝90°，CF＝DF，∴BF＝CD，EF＝CD，∴EF＝BF．故答案为：EF＝BF．（2）如图②中，结论：EF＝BF，EF⊥BF．理由：过点C作CT∥DE交EF的延长线于点T，连接BT，ET，延长DE交BC于点J，设AB交DJ于点K．∵CT∥DE，∴∠CTF＝∠DEF，∵∠CFT＝∠DFE，CF＝DF，∴△CFT≌△DFE（AAS），∴FT＝EF，CT＝DE，∵CT∥DJ，∴∠TCB＝∠DJB，∵∠AEK＝∠JBK＝90°，∠AKE＝∠JKB，∴∠EAK＝∠BJK，∴∠BCT＝∠BAE，∵AE＝DE，CT＝DE，∴CT＝AE，∵CB＝AB，∴△BCT≌△BAE（SAS），∴BT＝BE，∠CBT＝∠ABE，∴∠TBE＝ABC＝90°，∴△EBT是等腰直角三角形，∵FT＝EF，∴BF⊥EF，BF＝EF．（3）如图③﹣1中，当点E在BA的延长线上时，∵AB＝BC，AC＝3，∠ABC＝90°，∴AB＝AC＝3，∵AE＝2，∴BE＝5，∵△BFE是等腰直角三角形，∴EF＝AE＝如图③﹣2中，当点E在线段AB上时，同法可得EF＝，综上所述，满足条件的EF的长为或．。

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