《数学物理方程》期末复习题
数学物理方程考试试题及解答(1)
数学物理方程考试试题及解答(1)数学物理方程考试试题及解答考试题目：求解一阶常微分方程y'+3y=x+e^(-2x)解答：1. 首先我们需要将原方程变形，得到y'和y的系数都为1的形式： y'+3y=x+e^(-2x)y'+3y-1*x= e^(-2x)即：y'+3y-(1*x)= e^(-2x)2. 根据一阶常微分方程的标准形式 y'+p(x)y=q(x) ，我们可以将上述方程的左侧写成d/dx(y*e^(3x))的形式。
具体步骤如下：(y'+3y)e^(3x) - x*e^(3x) = e^(3x)*e^(-2x)即：d/dx(y*e^(3x)) - x*e^(3x) = e^xd/dx(y*e^(3x)) = e^(3x)+x*e^(3x)+e^x3. 将方程两侧的d/dx和e^(3x)去掉，得到最终的含y的方程：y*e^(3x) = ∫(e^(3x)+x*e^(3x)+e^x)dx + C= (1/3)*e^(3x) + (1/2)*x*e^(3x) + e^x + C即：y = (1/3) + (1/2)*x + e^(-3x)*(e^(2x)*C+1)4. 因为是一阶线性齐次方程，存在唯一的初始条件y0，可以将解方程带入初始条件得到C的值。
考试题目：提出热传导方程的边界条件∂u/∂t = a(∂²u/∂x²)解答：热传导方程描述的是一个物质内部温度分布随时间变化的情况，它可以用数学模型来表示:∂u/∂t = a(∂²u/∂x²)其中，u(x,t)是时间t和空间x处的温度，a是热传导系数，代表了物质的传热速率。
热传导方程的边界条件通常有如下几种：1. 第一类边界条件（Dirichlet边界条件）：即在给定的边界上已知温度u，通常写成形式u(x,t)|_∂Ω = f(x,t) 。
在第一类边界上，温度保持不变，而且是已知的，所以我们直接用Dirichlet边界条件就可以描述。
《数学物理方程》期末复习题
第一章（定解问题）
---------END---------
第二章（分离变量法）
第三章（行波变换法）
（10）孩子们（爱家乡），也（爱画自己美）丽的家乡。
第四章（拉普拉斯和格林函数）
过桥过河高原原因桃园送别跳远学习高兴香气秀气
棵一棵棵一棵棵高大的松树
第五章（贝塞尔函数）
干（干净）吃（吃草）办（办法）跳（跳高）队（大队）像（好像）我（我的）座（座位）
例：我替爸爸拿拖鞋。我给妈妈洗手绢。
1本册的双生字词：
鲜艳的花朵甜甜的笑容பைடு நூலகம்高的灯笼
荷叶像一把小圆伞。我们像花儿一样美丽。
一条路一里路一只鹅一群鹅一根木第六章(勒让德多方程)
原和园园和圆进和近话和画阳和洋称和秤
西安邮电大学期末数理方程试题+答案
数学物理方程与特殊函数09级试题选讲一、求解定解问题22200,0,(0,0)x x lt u u a t x u u x l t xx u x ===춶=ﶶﶶï==<<>í¶¶ïï=ïî)()(),(t T x X t x u =)()()()(2t T x X a t T x X ¢¢=¢22)()()()(b -=¢¢=¢x X x X t T a t T 0>b 设，代入原方程得，则)()(22=+¢t T a t T b 0)()(2=+¢¢x X x X b 则，0x x lu u xx==¶¶==¶¶'(0)'()0X X l Þ==又因为得固有值问题2()()0'(0)'()0X x X x X X l b ¢¢ì+=í==î22)(ln pb =()cos 0,1,2,n n n xX x A n lp ==则固有值固有函数，数学物理方程与特殊函数09级试题选讲)()()(2=+¢t T la n t T p 2()()n a tl n T t C ep -Þ=2()01(,)cosn a tln n n x u x t C C elp p ¥-==+å从而0t ux==有因为01cosnn n x x C C lp ¥==+å所以220022[(1)1]cos 12n ln l n x l C x dx l l nl C xdx lp p --====òò2()2212(1)1(,)cos 2n a ntln l l n xu x t enlp p p¥-=--=+å数学物理方程与特殊函数09级试题选讲二、求解定解问题2222,,0(),0(),0(0)(0)t x t x u ut x t t t x ux x u x x =-=춶=-<<>ﶶïï=F £íï=Y ³ïïF =Y î解：特征变换为x t x tx h =-ìí=+î2u x h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为00(),()()(),()()2222t xt x ux u x u u h x x h x h x h=-====F =Y +-Þ=F =F =Y =Y 又因为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲1212(0)()()2()(0)()2f f f f h h xx +=Y +=F 2112()()(0)2()()(0)2f f f f h h x x ì=Y -ïïÞíï=F -ïî12()()((0)(0))22()()(0)22u f f x t x tx h=F +Y -+-+=F +Y -F 则它的解为三、求解定解问题)0,(,0,3,03202022222>+¥<<-¥ïïïîïïíì=¶¶==¶¶-¶¶¶+¶¶==y x y ux u y uy x u x u y y 解：原方程的特征方程为22()23()0dy dydx dx --=13C x y +=2C x y +-=，则特征线为3x y x yx h =-ìí=+î特征变换20ux h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲12(,)(3)()u x y f x y f x y =-++即203,y y u ux y==¶==¶又因为21212(3)()3(3)()0f x f x xf x f x ì+=í¢¢-+=î则可得C x x f¢-=2149)3(C x x f ¢+=2243)(C x x f¢-=2141)(222234)(34)3(),(yx y x y x y x u +=++-=22()()C Du vv u u v d v u ds n n s ¶¶Ñ-Ñ=-¶¶òòò 四、证明平面上的格林公式其中n 为曲线的外法线向量。
数学物理方程期末试卷
数学物理方程期末试卷第一部分：选择题请在每个题目中选择仅一个正确答案并将字母填入括号内。
1.求解y″+y=0有解的方法是？A. 特征根法 ( )B. 系数法 ( )C. 齐次线性微分方程法 ( )D. 变量分离法 ( )2.求解 $\\frac{\\partial^2u}{\\partialx^2}+\\frac{\\partial^2u}{\\partial y^2}=0$ 有解的条件是？A. u在区域内为调和函数 ( )B. u在区域内为多项式函数 ( )C. 区域的边界条件为第一类边界条件 ( )D. 区域的边界条件为第二类边界条件 ( )3.解 $\\frac{\\partial u}{\\partial t}+2u=0$，u(x,0)=x，在t=1时，u(x,1)=?A. $\\frac{x}{2}$B. xe−2C. $\\frac{x}{e^2}$D. xe2 ( )4.对于一般的偏微分方程，逐步消去导数的方法称为？A. 特征线法 ( )B. 微分方程求解法 ( )C. 变量分离法 ( )D. 特征值法 ( )5.$y=A\\cos(x)-B\\sin(x)$ 是如下微分方程的？A. $y''+y=\\sin(x)$B. $y''-y=\\cos(x)$ ( )C. $y''+y=\\cos(x)$D. $y''-y=\\sin(x)$第二部分：填空题请在每个题目中填入恰当的答案。
1.y″−2y′+2y=0的通解为______。
2.$\\frac{\\partial^2 u}{\\partial t^2}-c^2\\frac{\\partial^2u}{\\partial x^2}=0$ 的波动方程，初始时刻条件为$u(x,0)=\\varphi(x)$，$u_t(x,0)=\\psi(x)$，其解为$u(x,t)=\\frac{1}{2}(f_1(x-ct)+f_2(x+ct))$，其中f1(x),f2(x)分别是u(x,0)和u t(x,0)的__________。
数理方程期末试题及答案
带入微分方程求解得：
k
a2
A 2
则得通解
T1
t
C1
cos
n l
a
t
D1
sin
n l
a
t
a2
A 2
sin t
带入初始条件得： C1
0,
D1
A a2 2
l a
则原定解问题的解为
u x,t
A a2 2
l sin a t cos
a l
l
x
2、 求解下列初值问题：（10 分）
uuttx,0u
xx
数； （3） 将形式解带入泛定方程以及初始条件，求解待定函数 Tn(t).
4、试述行波法的适用范围，并写出无限长弦自由振动的达朗贝尔公式。 答：行波法（特征线法）对双曲型方程是有效的，沿着双曲型方程两条特征线做
自变量替换总可以把双曲型方程化为可积形式，获得通解，由此行波法仅适用于
无界条件的波动方程。
3x x ,t sin x,ut x,0 x
0
解：应用达朗贝尔公式： u 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
其中
2
2a xat
，
x sin x, x x ，带入上式得：
u
1 2
sin
x
at
sin
x
at
1 2a
xat
d
xat
sin x cos at t
数学物理方程期末试题答案
一、 简述题：（每题 7 分，共 28 分） 1、 简述数学物理中的三类典型方程，并写出三类方程在一维情况下的具体形
式。
答：波动方程：
2u t 2
数学物理方程复习题
数学物理方程复习题一、简答题1、 设长为的均匀导热杆，侧面绝缘，一端保持零度，另一端绝热，并且杆的初始温度为，各点的热源强度为，试写出相应的定解问题。
2、 数学物理方程定解条件分为哪两类，试写出热传导方程的三类边界条件。
3、 数学物理方程的适定性指的是什么？4、 分离变量法适用的条件5、 请叙述线性偏微分方程的叠加原理6、 请叙述一维纯强迫振动偏微分方程的齐次化原理。
二、证明题L sin A wt xe1、 设为傅立叶变换证明：2、 设为 的拉普拉斯变换，证明：3、 证明：4、 证明：[()]()F f x f λ=()f x 1(1) [()]()||(2) [()]()i aF f ax f a a F f x a ef λλλ-=-=[()]()L f x f p =()f x 22211212(1) [()]()(2) [()()](())*(())dL t f t f p dpL f t f t L f t L f t -=⋅=231222(1) []1(2) [](2)2(1)tL t p L t e t p p --==++-+三、计算题1、 使用分离变量法求解下列问题2、 使用分离变量法求解下列问题3、 使用分离变量法求解下列问题2222--4--4(1) [](2)[]x ax a F e F eλλ==2000,00 (1)00 (2)|3sin ,|0 (3)tt xx x x t t t u a u x , t u |, u | u x u ππ====⎧=<<>⎪==⎨⎪==⎩00,00 (1)00 (2)|sin 2sin3 (3)t xx x x t u Du x , tu |, u | u x x ππ====<<>⎧⎪==⎨⎪=+⎩4、 使用分离变量法求解下列问题。
5、 使用行波法求解下列问题6、 使用行波法求解下列问题20,00(0,)(,)0(,0)3sin ,(,0)0tt xx t u a u x t u t u tu x x u x ππ⎧-=<<>⎪==⎨⎪==⎩，2,00(0,)0,(,)(,0)0,(,0)0tt xx t u a u A x L tu t u l t B u x u x ⎧-=<<>⎪==⎨⎪==⎩， .A B 这里，为常数2000, 01|cos , |tt xx t t t u a u -x , t u x u e ==⎧-=∞<<+∞>⎪⎨==⎪⎩7、 使用行波法求解下列问题8、 求解下列问题9、 求解下列初值问题10、 求解下列初值问题20020, 0 1|0, | 1tt xx t t t u a u -x , t u u x ==⎧-=∞<<+∞>⎪⎨==⎪+⎩2000, 0|(), |'()tt xx t t t u a u -x , t u x u a x φφ==⎧-=∞<<+∞>⎪⎨==-⎪⎩200, 0 |0, |0tt xx t t t u a u x at -x , t u u ==⎧-=+∞<<+∞>⎪⎨==⎪⎩008, |0, |0xx yy y y y u u u u ==-=⎧⎪⎨==⎪⎩11、 求解下列弦振动方程的Goursat 问题12、 求解下列初值问题200, 0 |, |sin tt xx t t t u a u x at -x , t u x u x==⎧-=+∞<<+∞>⎪⎨==⎪⎩, 0 (1) (,)() (2) (,)() (3)tt xx u u -x , t u x x x u x x x φψ=∞<<+∞>⎧⎪-=⎨⎪=⎩22222200230 (0) (1)|3, |0 (2)y y u u u-x ,y x x y y u u x y ==⎧∂∂∂+-=∞<<+∞>⎪∂∂∂∂⎪⎨∂⎪==⎪∂⎩。
(最终合成版)数学物理方程复习
（C） 2 2 1211221211222 12 11221200 Aaaa Baaa Caaa D b b c -=->-<-=、、、、 7、边界条件属于第一类边界条件是（ A ） 0000 0000000x x x l x l x t x x x t x l x l u u A B u u u u u C D u u u u ================、 、 、、 8、边界条件属于第二类边界条件是（ C ） 0000 00000x x x l x l x t x x x t x l x l u u A B u u u u u C D u u u u ================、 、 、、
CPxPxPxPx D P x P x P x P x P x +++++++++++++++、、、、 16、以勒让德多项式为基，在区间[-1,1]，3()234f x x x =++ 的展开式是（ A ） 01302602313 4214 4()()())55214 ()()() 55 144 ()()()575148()()()5535A P x P x P x B P x P x P x C P x P xPxDPxPxPx+ +++++++、、4、、 17、1 01()P x dx -?的值是（ B ） ABCDπ 、、2、1、2 18、111 ()P x dx -?的值是（ D ） ABCDπ 、2、2、1、0 19、方程 22
sin (sin )()cos(2)cos (2) 2424 1111cos(4)311cos(2)cos(2)cos(4)4242828311 ()sin cos(2)cos(4) 828 x x x x x x x x x f x x x x -===-++=-+?=-+==-+解：所以有： 2、在区间(0,)l 上定义函数()f x x =，试根据边界条件(0)0f = 和()0f l =，把函数()f x 展开为傅里叶级数。 1 1 011()()-,()sin 22sin (1)2(1)()sin (0) kklkkkkfxfxllkxfxblklbdllklkx f x x l k l ππξξξπππ∞ =++∞====--=?<<∑?∑解；由边界条件可知，必须把作奇延拓。 使在区间()上成为奇函数。于是有 其中则有 3、在 00x =的邻域上求解微分方程 20y y ω''+=（ω是常数）。 22023012302222223201232230()0(),0++2132+(1)n k n k n k k kkyypxqxxyaxaaxaxaxaxyaaxaxax a x y a a x k k a x ωωωωωωωω∞ =-''+======+++++=+++++''=?+?+?-+∑解：对于方程，有，所以， 是常点。微分方程的解可设为：……
数学物理方程_ 复习
复 习题型一、根据物理过程写出相应的定解问题。
习题一、1，2， 例1、长度为 l 的弦左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ϕ初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。
解 这是弦的自由振动，其位移函数(,)u x t 满足2,tt xx u a u = 其中2Ta ρ=.由于左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，所以(0,0)0,(0,)sin 0,0,x x u Tu t A t t ω=+=>因此 sin (0,),0.x A tu t t Tω=-≥ 又右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面，所以 (,)(,)0,x Tu l t ku l t --= 即 (,)(,)0.x Tu l t ku l t +=而初始条件为 0(),().t tt ux u x ϕψ====因此，相应的定解问题为200,0,0,sin (0,),(,)(,)0,0.(),().tt xx xx t t t u a u x l t A t u t Tu l t ku l t t T u x u x ωϕψ==⎧=<<>⎪⎪=-+=≥⎨⎪==⎪⎩例2、一长为 l 的均匀细杆，侧面绝热，一端放入0o C 水中，另一端裹以石棉，杆的初始温度为(),x ϕ 试写出杆的温度分布函数所满足的定解问题。
题型二、求特征值问题。
例3、求下列特征值问题的特征值和特征函数.（1）''()()0,(0)()0X x X x X X l λ⎧+=⎨==⎩（2）''()()0,'(0)()0X x X x X X l λ⎧+=⎨==⎩（3）''()()0,(0)'()0X x X x X X l λ⎧+=⎨==⎩（4）''()()0,'(0)'()0X x X x X X l λ⎧+=⎨==⎩（4）''()()0,()(2)θλθθθπΦ+Φ=⎧⎨Φ=Φ+⎩题型三、用分离变量法求齐次方程齐次边界条件的定解问题。