11 问题详解 二次函数-矩形的存在性问题
二次函数与矩形存在性问题
二次函数与矩形存在性问题
在代数学中，我们经常会研究到二次函数以及矩形。
但是，你是否想过这两者之间存在什么联系呢？
首先，我们来回顾一下二次函数的定义。
二次函数是指函数$y=ax^2+bx+c$，其中 $a\neq0$。
这个函数的图像是一个开口朝上或者朝下的抛物线。
接下来，我们来看一下矩形的概念。
矩形是一个有四条直线构成的图形，其特点是对角线相等且相交于中心点。
在平面直角坐标系中，我们可以用矩形来表示区域面积。
那么，这两者之间存在什么联系呢？
实际上，二次函数与矩形之间的联系可以从同一元素的不同表达方式进行联系。
具体来说，我们可以用一个平移后的矩形来表示一个二次函数的面积。
比如，对于函数 $y=x^2$，我们可以构造一个边长为 $x$ 的正方形，其面积为 $x^2$。
同理，对于函数 $y=-x^2+4$，我们可以构造一个边长为 $2$，中心在 $(0,4)$ 的矩形，其面积同样为 $x^2$。
因此，我们可以通过一个矩形的存在来说明对应的二次函数在某些条件下存在。
总的来说，二次函数与矩形在数学中可以有很多联系。
通过对它们的定义和性质的深入理解，我们可以更好地掌握这两个概念，并应用于实际问题中。
2021年中考数学复习-二次函数与矩形有关的问题(解析版)
二次函数与矩形有关的问题（含解析）【典例1】如果一条抛物线()2y=ax +bx+c a 0≠与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是 三角形； （2）若抛物线2y=x +bx(b>0)-的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b 的值；（3）如图，△OAB 是抛物线2y=x +b'x(b'>0)-的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD ？若存在，求出过O 、C 、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）等腰。
（2）∵抛物线2y=x +bx(b>0)-的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，∴该抛物线的顶点2b b 24⎛⎫ ⎪⎝⎭，满足2b b =24（b ＞0）。
∴b=2。
（3）存在。
如图，作△OCD 与△OAB 关于原点O 中心对称，则四边形ABCD 为平行四边形。
当OA=OB 时，平行四边形ABCD 为矩形。
又∵AO=AB ， ∴△OAB 为等边三角形。
作AE ⊥OB ，垂足为E ，∴AE 3OE =，即()2b'b'=3b'>042⋅，∴b'=23． ∴()()()()A 33B 230C 33D 230-- - ，，，，，，，。
设过点O 、C 、D 三点的抛物线2y=mx +nx ，则 12m 23n=03m 3n=3⎧-⎪⎨--⎪⎩，解得，m=1n=23⎧⎪⎨⎪⎩。
∴所求抛物线的表达式为2y=x +23x 。
【典例2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点D 是第四象限内抛物线上的一点，直线AD 与y 轴负半轴交于点C ，且CD ＝4AC ．设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．图5-1【解析】由y ＝ax 2－2ax －3a ＝a (x ＋1)(x －3)，得A (－1, 0)．由CD ＝4AC ，得x D ＝4．所以D (4, 5a )．已知A (－1, 0)、D (4, 5a )，x P ＝1，以AD 为分类标准，分两种情况讨论：①如图5-2，如果AD 为矩形的边，我们根据AD //QP ，AD ＝QP 来两次平移坐标． 由于A 、D 两点间的水平距离为5，所以点Q 的横坐标为－4．所以Q (－4,21a )． 由于A 、D 两点间的竖直距离为－5a ，所以点P 的纵坐标为26a ．所以P(1, 26a )． 根据矩形的对角线相等，得AP 2＝QD 2．所以22＋(26a )2＝82＋(16a )2．整理，得7a 2＝1．所以77a =-．此时P 267(1)7-，． ②如图5-3，如果AD 为矩形的对角线，我们根据AP//QD ，AP ＝QD 来两次平移坐标． 由于A 、P 两点间的水平距离为2，所以点Q 的横坐标为2．所以Q (2,－3a )．由于Q 、D 两点间的竖直距离为－8a ，所以点P 的纵坐标为8a ．所以P (1, 8a )． 再根据AD 2＝PQ 2，得52＋(5a )2＝12＋(11a )2．整理，得4a 2＝1．所以12a =-．此时P (14)-，．我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．如图5-2，如果∠ADP＝90°，那么MA NDMD NP=；如图5-3，如果∠QAP＝90°，那么GQ KAGA KP=．图5-2 图5-3【典例3】如图所示，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．（1）当a=﹣1，b=1时，求抛物线n的解析式；（2）四边形AC1A1C是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；（3）若四边形AC1A1C为矩形，请求出a，b应满足的关系式．【答案】：解：（1）当a=﹣1，b=1时，抛物线m的解析式为：y=﹣x2+1．令x=0，得：y=1．∴C（0，1）．令y=0，得：x=±1．∴A（﹣1，0），B（1，0），∵C与C1关于点B中心对称，∴抛物线n的解析式为：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3；（2）四边形AC1A1C是平行四边形．理由：∵C与C1、A与A1都关于点B中心对称，∴AB=BA1，BC=BC1，∴四边形AC1A1C是平行四边形．（3）令x =0，得：y =b ．∴C （0，b ）．令y =0，得：ax 2+b =0，∴a b y -±=，∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0，a b A ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0，a b B ，a b AB -=2，a b b OB OC BC -=+=222.要使平行四边形AC 1A 1C 是矩形，必须满足AB =BC ，∴a b b a b -=-22，∴a b b a b -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-24，∴ab ＝－3．∴a 、b 应满足关系式ab ＝－3．【典例4】如图6-1，将抛物线c 1：233y x =-+沿x 轴翻折，得到抛物线c 2． 现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．图6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A 、B 、D 、E 、M 、N 六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB 和△NED 是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM 与EN 保持平行且相等，所以四边形ANEM 保持平行四边形的形状，点O 为对称中心．【解法一】如果∠ANE ＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE ＝2EN ＝4．而AE ＝AO ＋OE ＝2AO ，所以AO ＝2．已知AB ＝2，此时B 、O 重合（如图6-4），所以m ＝BO ＝1．【解法二】如果对角线MN ＝AE ，那么OM ＝OA ，此时△MAO 是等边三角形．所以等边三角形MAB 与△MAO 重合．因此B 、O 重合，m ＝BO ＝1．【解法三】在平移的过程中，(1,0)A m --、(1,0)B m -，M (,3)m -，根据OA 2＝OM 2列方程(1＋m )2＝m 2＋3．解得m ＝1．图6-2 图6-3 图6-4【典例5】如图1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:C y ax bx c =++与x 轴相交于,A B 两点，顶点为()0,442D AB =,，设点(),0F m 是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180︒，得到新的抛物线'C ．()1求抛物线C 的函数表达式:()2若抛物线'C 与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围． ()3如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线'C 上的对应点P'，设M 是C 上的动点，N 是'C 上的动点，试探究四边形'PMP N 能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．【答案】()12142y x =-+；()2222m <<；()3四边形'PMP N 可以为正方形，6m = 【解析】解：()142AB = (), 22,0)2,0(2A B ∴-将,,A B D 三点代入得2 y ax bx c =++ 8220.8220.4a b c a b c c ⎧-+=⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩解得1204a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩2142y x ∴=-+； ()2如图21:42C y x =-+．关于(),0F m 对称的抛物线为 ()21:242C y x m '=-- 当C '过点()0,4D 时有()2140242m =-- 解得:2m =当C '过点()2,0B 时有()21022242m =- 解得:22m =222m ∴<<；()3四边形'PMP N 可以为正方形 由题意设(),P n n ， P 是抛物线C 第一象限上的点 2142n n ∴-+= 解得:122,2n n ==-(舍去)即()2,2P 如图作HK OF ⊥，PH HK ⊥于H ，MK HK ⊥于K四边形PMP N '为正方形 易证PHK FKM ≌ 2FK HP m ∴==- 2MK HF ==M ∴为()2,2m m -- ∴将M 代入21: 42C y x =-+得 ()212242m m -=--+ 解得:126,0m m ==(舍去) ∴当6m =时四边形PMP N ''为正方形.。
中考复习专题8二次函数与矩形存在性问题(含解析)
专题8二次函数与矩形存在性问题1.矩形的判定:（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角为直角的四边形是矩形．2.题型分析矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“一个角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．下：同时，也可以先根据A、B的坐标求出直线AB的解析式，进而得到直线AD或BC的解析式，从而确定C 或D的坐标.【例1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中列方程组解出即可；（2）利用待定系数可得直线AB的解析式，再设直线DE的解析式为：y＝mx，点D是直线DE和AB的交点，列方程可得点D的横坐标，根据△BDO与△OCE的面积相等列等式可解答；（3）设P（t，﹣t2+t+4），分两种情况：作辅助线构建相似三角形，证明三角形相似或利用等角的三角函数列等式可解答．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中得：解得：；（2）由（1）知：抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+4，设直线AB的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴AB的解析式为：y＝2x+4，设直线DE的解析式为：y＝mx，∴2x+4＝mx，∴x＝，当x＝3时，y＝3m，∴E（3，3m），∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，∴•3•（﹣3m）＝•4•，∴9m2﹣18m﹣16＝0，∴（3m +2）（3m ﹣8）＝0，∴m 1＝﹣，m 2＝（舍），∴直线DE 的解析式为：y ＝﹣x ；（3）存在，B ，F ，G ，P 为顶点的四边形是以BF 为一边的矩形有两种情况：设P （t ，﹣t 2+t +4），①如图1，过点P 作PH ⊥y 轴于H ，∵四边形BPGF 是矩形，∴BP ＝FG ，∠PBF ＝∠BFG ＝∴∠CFG +∠BFO ＝∠BFO +∠OBF ＝∠CFG +∠CGF ＝∠OBF +∠PBH ＝90°，∴∠PBH ＝∠OFB ＝∠CGF ，∵∠PHB ＝∠FCG ＝90°，∴△PHB ≌△FCG （AAS ），∴PH ＝CF ，∴CF ＝PH ＝t ，OF ＝3﹣t ，∵∠PBH ＝∠OFB ，∴＝，即＝，解得：t 1＝0（舍），t 2＝1，∴F （2，0）；②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M，同①可得：NG＝FM＝3，OF＝t﹣3，∵∠OFB＝∠FPM，∴tan∠OFB＝tan∠FPM，∴＝，即＝，解得：t1＝，t2＝（舍），∴F（，0）；综上，点F的坐标为（2，0）或（，0）．【例2】（2022•绥化）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A（0，﹣4），并经过点C（6，0），过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．（1）求抛物线的解析式；（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线x＝2，可得出抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（﹣2，0），列出交点式，再将点A（0，﹣4）可得出抛物线的解析式；（2）根据可得出△ABD是等腰直角三角形，再根据点E的运动和正方形的性质可得出点H，F，G的坐标，根据点B，C的坐标可得出直线BC的解析式，将点G代入直线BC的解析式即可；（3）若存在，则△BGC是直角三角形，则需要分类讨论，当点B为直角顶点，当点G为直角顶点，当点C为直角顶点，分别求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），∴抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣6），将点A（0，﹣4）解析式可得，﹣12a＝﹣4，∴a＝．∴抛物线的解析式为：y＝（x+2）（x﹣6）＝x2﹣x﹣4．（2）∵AB⊥y轴，A（0，﹣4），∴点B的坐标为（4，﹣4）．∵D（4，0），∴AB＝BD＝4，且∠ABD＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∠BAD＝45°．∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形．∵AE＝m，∴AF＝EF＝m，∴E（m，﹣4+m），F（m，﹣4）．∵四边形EGFH是正方形，∴△EHF是等腰直角三角形，∴∠HEF＝∠HFE＝45°，∴FH是∠AFE的角平分线，点H是AE的中点．∴H（m，﹣4+m），G（m，﹣4+m）．∵B（4，﹣4），C（6，0），∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣12．当点G随着E点运动到达BC上时，有2×m﹣12＝﹣4+m．解得m＝．∴G（，﹣）．（3）存在，理由如下：∵B（4，﹣4），C（6，0），G（m，﹣4+m）．∴BG2＝（4﹣m）2+（m）2，BC2＝（4﹣6）2+（﹣4）2＝20，CG2＝（6﹣m）2+（﹣4+m）2．若以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，则△BGC是直角三角形，∴分以下三种情况：①当点B为直角顶点时，BG2+BC2＝CG2，∴（4﹣m）2+（m）2+20＝（6﹣m）2+（﹣4+m）2，解得m＝，∴G（，﹣）；②当点C为直角顶点时，BC2+CG2＝BG2，∴20+（6﹣m ）2+（﹣4+m ）2＝（4﹣m ）2+（m ）2，解得m ＝，∴G （，﹣）；③当点G 为直角顶点时，BG 2+CG 2＝BC 2，∴（4﹣m ）2+（m ）2+（6﹣m ）2+（﹣4+m ）2＝20，解得m ＝或2，∴G （3，﹣3）或（，﹣）；综上，存在以B ，G ，C 和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，点G 的坐标为（，﹣）或（，﹣）或（3，﹣3）或（，﹣）．【例3】（2022•黔东南州）如图，抛物线y ＝ax 2+2x +c 的对称轴是直线x ＝1，与x 轴交于点A ，B （3，0），与y 轴交于点C ，连接AC ．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D 作DM ⊥x 轴，垂足为点M ，DM 交直线BC 于点N ，是否存在这样的点N ，使得以A ，C ，N 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）已知点E 是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F ，使以点B 、C 、E 、F 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x ＝1，抛物线经过点B （3，0），可得A （﹣1，0），用待定系数法即可求解；（2）求出直线BC的解析式，设点D坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点N（t，﹣t+3），利用勾股定理表示出AC2，AN2，CN2，然后分①当AC＝AN时，②当AC＝CN时，③当AN＝CN时三种情况进行讨论，列出关于t的方程，求出t的值，即可写出点N的坐标；（3）分两种情形讨论：①当BC为对角线时，②当BC为边时，先求出点E的坐标，再利用平行四边形的中心对称性求出点F的坐标即可．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），∴A（﹣1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x设点D坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点N（t，﹣t+3），∵A（﹣1，0），C（0，3），∴AC2＝12+32＝10，AN2＝（t+1）2+（﹣t+3）2＝2t2﹣4t+10，CN2＝t2+（3+t﹣3）2＝2t2，①当AC＝AN时，AC2＝AN2，∴10＝2t2﹣4t+10，解得t1＝2，t2＝0（不合题意，舍去），∴点N的坐标为（2，1）；②当AC＝CN时，AC2＝CN2，∴10＝2t2，解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），∴点N的坐标为（，3﹣）；③当AN＝CN时，AN2＝CN2，∴2t2﹣4t+10＝2t2，解得t＝，∴点N的坐标为（，）；综上，存在，点N的坐标为（2，1）或（，3﹣）或（，）；（3）设E（1，a），F（m，n），∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝3，①以BC为对角线时，BC2＝CE2+BE2，∴（3）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2，解得：a＝，或a＝，∴E（1，）或（1，），∵B（3，0），C（0，3），∴m+1＝0+3，n+＝0+3或n+＝0+3，∴m＝2，n＝或n＝，∴点F的坐标为（2，）或（2，）；②以BC为边时，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2，∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（3）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（3）2，解得：a＝4或a＝﹣2，∴E（1，4）或（1，﹣2），∵B（3，0），C（0，3），∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2，∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1，∴点F的坐标为（4，1）或（﹣2，1），综上所述：存在，点F的坐标为（2，）或（2，）或（4，1）或（﹣2，1）．【例4】（2022•梁山县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x ﹣4），求出点C坐标代入求出a即可；（2）由△CMD∽△FMP，可得m＝＝，根据关于m关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．分两种情形分别求解即可：①当DP是矩形的边时，有两种情形；②当DP是对角线时；【解答】解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），∵OC＝2OA，OA＝2，∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a＝﹣，∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）或y＝﹣x2+x+4或y＝﹣（x﹣1）2+．（2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．∵CD∥PE，∴△CMD∽△FMP，∴m＝＝，∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），∵BC的解析式为y＝﹣x+4，设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），∴PF＝﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）＝﹣（n﹣2）2+2，∴m＝＝﹣（n﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．①当DP是矩形的边时，有两种情形，a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，有（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k＝，∴直线DP的解析式为y＝x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），由△DOE∽△QOD可得＝，∴OD2＝OE•OQ，∴1＝•OQ，∴OQ＝，∴Q（，0）．根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，∴N（2+，4﹣1），即N（，3）b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，∵直线PD的解析式为y＝x+1，PQ⊥PD，∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+，∴Q（8，0），根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13，∵Q是直角顶点，∴QD2+QP2＝PD2，∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．1．（2022•武功县模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数）与x轴交于A （﹣6，0）、B（2，0）两点．（1）求抛物线L1的函数表达式；（2）将该抛物线L1向右平移4个单位长度得到新的抛物线L2，与原抛物线L1交于点C，点D是点C 关于x轴的对称点，点N在平面直角坐标系中，请问在抛物线L2上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；（2）存在，根据题意求得抛物线L2的表达式，再与抛物线L1联立，求得点C的坐标，进而求得点D的坐标；要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，分当M在x轴上方时和当M在x轴下方时，两种情况讨论，根据矩形的性质列出方程，求解即可．【解答】解：（1）把A（﹣6，0）、B（2，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线L1的函数表达式为y＝﹣x2﹣4x+12；（2）存在，理由如下：∵y＝﹣x2﹣4x+12＝﹣（x+2）+16，∴抛物线L2的函数表达式为y＝﹣（x+2﹣4）2+16＝﹣（x﹣2）2+16＝﹣x2+4x+12，令﹣x2﹣4x+12＝﹣x2+4x+12，解得：x＝0，当x＝0时，y＝﹣x2﹣4x+12＝12，∴点C的坐标为（0，12），∵点D是点C关于x轴的对称点，∴点D坐标为（0，﹣12），①当M在x轴上方时，要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，则y M＝y C，即﹣x2+4x+12＝12，解得：x1＝0，x2＝4，∴M1（4，12）；②当M在x轴下方时，要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，则y M＝y D，即﹣x2+4x+12＝﹣12，解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2，M2（2+2，﹣12），M3（2﹣2，﹣12）．综上所述，在抛物线L2上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，点M的坐标为（4，12）或（2+2，﹣12）或（2﹣2，﹣12）．2．（2022•东莞市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝+bx+c与x轴的正半轴交于点D，与y轴交于点C，点A在抛物线上，AB⊥y轴于点B．△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△OBE，连接DE．当+bx+c＜0时，x的取值范围是﹣＜x＜2．（1）求该抛物线的解析式；（2）求证：四边形OBED是矩形；（3）在线段OD上找一点N，过点N作直线m垂直x轴，交OE于点F，连接DF，当△DNF的面积取得最大值时，求点N的坐标，在此基础上，在直线m上找一点P，连接OP、DP．使得∠OPD+∠DOE ＝90°，求点P的坐标．【分析】（1）由题意可知抛物线与x轴的两个交点为（2，0），（﹣，0），再将两个点代入解析式即可求解；（2）由旋转是性质，可得OB＝AB，则设A（﹣m，m），求出A点坐标，由此可得BE＝OD，再由BE ∥OD，OB⊥OD即可证明；（3）设N（n，0），则F（n，n），则S＝﹣（n﹣1）2+，可知当n＝1时，S有最大值，此时N（1，0），F（1，），通过已知可推导出∠OPN＝∠POE，从而得到PF＝OF，设P（1，t），则|t﹣|＝，求出t的值即可求点P的坐标．【解答】（1）解：∵当+bx+c＜0时，x的取值范围是﹣＜x＜2，∴抛物线与x轴的两个交点为（2，0），（﹣，0），∴，解得，∴y＝﹣x﹣1；（2）证明：由（1）可知D（2，0），C（0，﹣1），∴OD＝2，OC＝1，∵AB⊥y轴，∴△ABC是直角三角形，∵△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△OBE，∴OB⊥BE，AB＝OB，设A（﹣m，m），∴m＝m2﹣m﹣1，解得m＝﹣1或m＝，∴A（﹣1，1），∴BO＝1，∴BC＝BE＝2，∴BE＝OD，∵∠BOD＝90°，∴BE∥OD，∴四边形OBED是矩形；（3）∵E（2，1），∴直线OE的解析式为y＝x，设N（n，0），则F（n，n），∴S＝×DN×FN＝×（2﹣n）×n＝﹣（n﹣1）2+，∵N在线段OD上，∴0≤n≤2，∴当n＝1时，S有最大值，此时N（1，0），F（1，），∵∠PNO＝90°，∴∠EOD+∠POE＝90°，∵∠OPD+∠DOE＝90°，∴∠POE+∠OPN＝∠OPD，∵O点与D点关于l对称，∴∠OPN＝∠NPD，∴∠OPN＝∠POE，∴PF＝OF，设P（1，t），∴|t﹣|＝，∴t＝+或t＝﹣+，∴P点坐标为（1，+）或（1，﹣+）．3．（2022•石家庄二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC．（1）点C的纵坐标为b+1（用含b的式子表示），∠OBC＝45度；（2）当b＝1时，若点P为第一象限内抛物线上一动点，连接BP，CP，求△BCP面积的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）已知矩形ODEF的顶点D，F分别在x轴、y轴上，点E的坐标为（3，2）．①抛物线的顶点为Q，当AQ的中点落在直线EF上时，求点Q的坐标；②当抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，请直接写出b的取值范围．【分析】（1）将（﹣1，0）代入解析式可得c与b的关系，从而可得OB＝OC，进而求解．（2）由b＝1可得抛物线解析式及点B，C坐标，根据待定系数法求出直线BC解析式，设点P坐标为（m，﹣m2+m+2），作PE⊥x轴交BC于点E，连接PC，PB，由S△BCP＝S△CEP+S△BEP求解．（3）①将二次函数解析式化为顶点式可得点Q坐标，由点A，Q坐标可得A，Q中点坐标，进而求解．②根据抛物线与y轴交点的位置及抛物线对称轴的位置，结合图象求解．【解答】解：（1）将（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得0＝﹣1﹣b+c，解得c＝b+1，∴y＝﹣x2+bx+b+1，设点B坐标为（x2，0），则抛物线对称轴为直线x＝＝，解得x2＝b+1，∴点B坐标为（b+1，0），∴OC＝OB＝b+1，∴∠OBC＝45°，故答案为：b+1，45．（2）当b＝1时，y＝﹣x2+x+2，作PE⊥x轴交BC于点E，连接PC，PB，设直线BC解析式为y＝kx+b，将B（2，0），（0，2）代入y＝kx+b得，解得，∴y＝﹣x+2．设点P坐标为（m，﹣m2+m+2），则点E坐标为（m，﹣m+2），∴PE＝﹣m2+2m，＝S△CEP+S△BEP＝PE•x P+PE（x B﹣x P）＝PE•x B＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1，∵S△BCP∴m＝1时，△BCP面积的最大为1，此时点P坐标为（1，2）．（3）①∵y＝﹣x2+bx+b+1＝﹣（x﹣）2++b+1，∴点Q坐标为（，+b+1），∵A（﹣1，0），∴点A，Q中点坐标为（﹣+，++），∴++＝2，解得b＝2或b＝﹣6，当b＝2时，点Q坐标为（1，4），当b＝﹣6时，点Q坐标为（﹣3，4）．②∵E（3，2），∴点F坐标为（0，2），将（0，2）代入y＝﹣x2+bx+b+1得b+1＝2，解得b＝1，将E（3，2）代入y＝﹣x2+bx+b+1得2＝﹣9+4b+1，解得b＝，∴1≤b＜，满足题意．当抛物线顶点Q（，+b+1）落在y轴上时，＝0，解得b＝0，当抛物线经过原点时，0＝b+1，解得b＝﹣1，∴﹣1＜b≤0符合题意．综上所述，1≤b＜或﹣1＜b≤0．4．（2022•滨海县一模）如图1，在平面直角坐标中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B （4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，直线BM：y＝2x+m交y轴于点M．P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F．（1）求抛物线的表达式：（2）当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积：（3）①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足QN＝QM，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标．【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，即知抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣4），即y＝﹣x2+x+2；（2）由y＝﹣x2+x+2求出P（，），由B（4，0），C（0，2）得直线BC的表达式为y＝﹣x+2，从而可得E（，），PE＝﹣＝，即可得△PBC的面积是；（3）①过点N作NG⊥EF于点G，求得直线BM的表达式为：y＝2x﹣8即知M（0，﹣8），设E（a，﹣a+2），则F（a，2a﹣8），证明△NEG≌△BFH（AAS），可得NG＝BH，EG＝FH，即有a＝4﹣a，解得F（2，﹣4），E（2，1），从而可得N（0，﹣3）；②取MN的中点D，由QN＝QM，知点Q在MN的垂直平分线上，又C△QNB＝BQ+NQ+BN＝BQ+NQ+5最小，只需BQ+MQ最小，即点B、Q、M共线，此时，点Q即为MN的垂＝BQ+MQ+5，故要使C△QNB直平分线与直线BM的交点，由N（0，﹣3），M（0，﹣8），得D（0，﹣），即可得Q（，﹣）．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣4），即y＝﹣x2+x+2；（2）如图：∵点P落在抛物线y＝﹣x2+x+2的对称轴上，∴P为抛物线y＝﹣x2+x+2的顶点，∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴P（，），在y＝﹣x2+x+2中，令x＝0得y＝2，∴C（0，2）由B（4，0），C（0，2）得直线BC的表达式为y＝﹣x+2，把x＝代入y＝﹣x+2得y＝，∴E（，），∴PE＝﹣＝，＝PE•|x B﹣x C|＝××4＝，∴S△PBC答：△PBC的面积是；（3）①过点N作NG⊥EF于点G，如图：∵y＝2x+m过点B（4，0），∴0＝2×4+m，解得m＝﹣8，∴直线BM的表达式为：y＝2x﹣8，∴M（0，﹣8），设E（a，﹣a+2），则F（a，2a﹣8），∵四边形BENF为矩形，∴∠NEG＝∠BFH，NE＝BF，又∠NGE＝90°＝∠BHF，∴△NEG≌△BFH（AAS），∴NG＝BH，EG＝FH，而NG＝a，BH＝OB﹣OH＝4﹣a，∴a＝4﹣a，解得a＝2，∴F（2，﹣4），E（2，1），∴EH＝1，∵EG＝FH，∴EF﹣EG＝EF﹣FH，即GF＝EH＝1，∵F（2，﹣4），∴G（2，﹣3），∴N（0，﹣3）；②取MN的中点D，如图：∵QN＝QM，∴点Q在MN的垂直平分线上，又∵B（4，0），N（0，﹣3），∴BN＝5，＝BQ+NQ+BN＝BQ+NQ+5＝BQ+MQ+5，∴C△QNB最小，只需BQ+MQ最小，∴要使C△QNB∴当点B、Q、M共线时，△QNB的周长最小，此时，点Q即为MN的垂直平分线与直线BM的交点，∵N（0，﹣3），M（0，﹣8），∴D（0，﹣），在y＝2x﹣8中，令y＝﹣得：﹣＝2x﹣8，解得x＝，∴Q（，﹣）．5．（2022•石家庄模拟）某公园有一个截面由抛物线和矩形构成的观景拱桥，如图1所示，示意图如图2，且已知图2中矩形的长AD为12米，宽AB为4米，抛物线的最高处E距地面BC为8米．（1）请根据题意建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式；（2）若观景拱桥下放置两根长为7米的对称安置的立柱，求这两根立柱之间的水平距离；（3）现公园管理处打算在观景桥侧面搭建一个矩形“脚手架”PQMN（如图2），对观景桥表面进行维护，P，N点在抛物线上，Q，M点在BC上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的长度之和的最大值，请你帮管理处计算一下．【分析】（1）以CB所在的直线为x轴，点E为顶点建立直角坐标系，用待定系数法求解即可；（2）确定立柱的纵坐标，解方程可得答案；（3）设N（m，﹣m2+8），则PN＝2m，MN＝PQ＝﹣m2+8，三根支杆的总长度w＝﹣m2+2m+16，【解答】解：（1）如图，以CB所在的直线为x轴，点E为顶点建立直角坐标系，由题意得，E（0，8），A（﹣6，4），设抛物线的解析式为y＝ax2+c，代入可得，解得，∴y＝﹣x2+8；（2）依题意可得﹣x2+8＝7，解得x＝±3，∴3﹣（﹣3）＝6（米），答：这两根立柱之间的水平距离是6米；（3）设N（m，﹣m2+8），则PN＝2m，MN＝PQ＝﹣m2+8，∴三根支杆的总长度w＝PQ+PN+MN+2m+2（﹣m2+8）＝﹣m2+2m+16，∵a＝﹣＜0，∴m＝﹣＝4.5时，w最大＝20.5，∴三根支杆PQ，PN，MN的长度之和的最大值为20.5米．6．（2022•朝阳区校级一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣m与y轴交于点M，直线y＝m+5与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，直线y＝﹣2m与y轴交于点D（A与D不重合），与直线x＝4交于点C，构建矩形ABCD．（1）当点M在线段AD上时，求m的取值范围．（2）求证：抛物线y＝x2﹣2mx﹣m与直线y＝m+5恒有两个交点．（3y随着x的增大而增大或y随x的增大而减小时，求m的取值范围．（4）当抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标等于点B到x轴距离的时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）由题意得：M（0，﹣m），A（0，m+5），D（0，﹣2m），分两种情况：当m+5＞﹣2m，即m＞﹣时，当m+5＜﹣2m，即m＜﹣时，分别根据“点M在线段AD上”，列出不等式求解即可；（2）由题意得：x2﹣2mx﹣2m﹣5＝0，根据根的判别式即可证得结论；（3）由题意得：抛物线的对称轴为直线x＝m，顶点坐标为（m，﹣m2﹣m），开口向上，分三种情况：①当m+5＜﹣2m，即m＜﹣时，②当m+5＞﹣2m，即﹣＜m≤0时，③当16﹣9m≤﹣2m，即m≥时，分别画出图形讨论即可；（4）由题意得：抛物线y＝x2﹣2mx﹣m在矩形ABCD中的最高点的横坐标x的范围是0≤x≤4，点B（4，m+5）到x轴的距离为|m+5|，根据“抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标等于点B到x轴距离的”分三种情况：①当m ＜﹣5时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（﹣m ﹣，﹣2m ），②当﹣5≤m ＜时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m +，﹣2m ），③当m ＞﹣，且16﹣9m ≥m +5，即﹣＜m ≤时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m +，m +5），分别代入抛物线解析式求解即可．【解答】（1）解：由题意得：M （0，﹣m ），A （0，m +5），D （0，﹣2m ），当m +5＞﹣2m ，即m ＞﹣时，∵点M 在线段AD 上，∴﹣2m ＜﹣m ＜m +5，∴m ＞0；当m +5＜﹣2m ，即m ＜﹣时，∵点M 在线段AD 上，∴m +5＜﹣m ＜﹣2m ，∴m ＜；综上所述，m 的取值范围为m ＞0或m ＜．（2）证明：当x 2﹣2mx ﹣m ＝+5时，整理得：x 2﹣2mx ﹣2m ﹣5＝0，Δ＝（﹣2m ）2﹣4×1×（﹣2m ﹣5）＝4（m +1）2+16，∵4（m +1）2≥0，∴4（m +1）2+16＞0，∴抛物线y ＝x 2﹣2mx ﹣m 与直线y ＝m +5恒有两个交点．（3）解：∵y ＝x 2﹣2mx ﹣m ＝（x ﹣m ）2﹣m 2﹣m ，∴该抛物线的对称轴为直线x ＝m ，顶点坐标为（m ，﹣m 2﹣m ），开口向上，与y 轴的交点M （0，﹣m ），①当m +5＜﹣2m ，即m ＜﹣时，如图1，此时抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大；②当m+5＞﹣2m，即﹣＜m≤0时，如图2，此时抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大；③当m＞0时，如图3，令x＝4，则y＝16﹣8m﹣m＝16﹣9m，当16﹣9m≤﹣2m，即m≥时，抛物线在矩形内部（不包括边界）的函数值y随着x的增大而减小；综上，m的取值范围为m＜﹣或﹣＜m≤0或m≥．（4）解：由题意得：抛物线y＝x2﹣2mx﹣m在矩形ABCD中的最高点的横坐标x的范围是0≤x≤4，点B（4，m+5）到x轴的距离为|m+5|，当x＝4时，y＝16﹣9m，∵抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标等于点B到x轴距离的，∴抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标为|m+5|，①当m＜﹣5时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（﹣m﹣，﹣2m），∴﹣2m＝（﹣m﹣）2﹣2m（﹣m﹣）﹣m，解得：m＝，∵m＜﹣5，∴m＝﹣；②当﹣5≤m＜时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m+，﹣2m），∴﹣2m＝（m+）2﹣2m（m+）﹣m，解得：m＝﹣1，∵﹣5≤m＜，∴m＝﹣1﹣；③当m＞﹣，且16﹣9m≥m+5，即﹣＜m≤时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m +，m +5），∴m +5＝（m +）2﹣2m （m +）﹣m ，解得：m ＝﹣3，∵﹣＜m ≤，∴m ＝﹣3+；综上所述，m 的值为﹣或﹣1﹣或﹣3+．7．（2022•长春一模）已知抛物线y ＝x 2﹣2mx +2m +1．（1）写出抛物线y ＝x 2﹣2mx +2m +1的顶点坐标（用含m 的式子表示）．（2）当x ≥1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是m ≤1．（3）当﹣1≤x ≤2时，函数y ＝x 2﹣2mx +2m +1的图象记为G ，设图象G 的最低点的纵坐标为y 0．当y 0＝﹣1时，求m 的值．（4）当m ＞0时，分别过点A （2，1）、B （2，4）作y 轴垂线，垂足分别为点D 、点C ，抛物线在矩形ABCD 内部的图象（包括边界）的最低点到直线y ＝﹣2的距离等于最高点到x 轴的距离，直接写出m 的值．【分析】（1）由y ＝（x ﹣m ）2﹣m 2+2m +1，即可求解；（2）由抛物线的图象可得m ≤y 随x 的增大而增大；（3）分三种情况讨论：当m ＜﹣1时，y 0＝2+4m ＝﹣1，解得m ＝﹣（舍）；当m ＞2时，x ＝2，函数有最小值，y 0＝5﹣2m ＝﹣1，解得m ＝3；当﹣1≤m ≤2时，y 0＝﹣m 2+2m +1＝﹣1，解得m ＝+1（舍）或m ＝﹣+1；（4）分五种情况讨论：当0＜m ≤时，﹣m 2+2m +1+2＝4，解得m ＝1（舍）；当＜m ≤1时，﹣m 2+2m +1+2＝4﹣2m +1，解得m ＝+2（舍）或m ＝﹣+2；当1＜m ≤时，﹣m 2+2m +1+2＝2m +1，解得m ＝或m ＝﹣（舍）；当＜m ≤2时，﹣m 2+2m +1+2＝4，解得m ＝1（舍）；当m ＞2时，最高点纵坐标是4，最低点纵坐标是1，此时不符合题意．【解答】解：（1）∵y ＝x 2﹣2mx +2m +1＝（x ﹣m ）2﹣m 2+2m +1，∴顶点坐标为（m ，﹣m 2+2m +1）；（2）∵抛物线开口向上，∴m≤1时，y随x的增大而增大，故答案为：m≤1；（3）当m＜﹣1时，x＝﹣1，函数有最小值，∴y0＝2+4m，∵y0＝﹣1，∴2+4m＝﹣1，解得m＝﹣（舍）；当m＞2时，x＝2，函数有最小值，∴y0＝5﹣2m，∵y0＝﹣1，∴5﹣2m＝﹣1，解得m＝3；当﹣1≤m≤2时，x＝m，函数有最小值，∴y0＝﹣m2+2m+1，∵y0＝﹣1，∴﹣m2+2m+1＝﹣1，解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1；综上所述：m的值为3或﹣+1；（4）当0＜m≤时，﹣m2+2m+1+2＝4，解得m＝1（舍）；当＜m≤1时，﹣m2+2m+1+2＝4﹣2m+1，解得m＝+2（舍）或m＝﹣+2；当1＜m≤时，﹣m2+2m+1+2＝2m+1，解得m＝或m＝﹣（舍）；当＜m≤2时，﹣m2+2m+1+2＝4，解得m＝1（舍）；当m＞2时，最高点纵坐标是4，最低点纵坐标是1，∴3≠4，∴此时不符合题意；综上所述：m的值为或2﹣．8．（2021•咸丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求抛物线的解析式；（2）当点Q与点M的值；（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）根据点M与点P的纵坐标相等构建方程求解即可．（3）根据PQ＝MQ，构建方程求解即可．（4）当点P在直线l的左边，点M在点Q是下方下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则有﹣m+＜﹣m2+m+，解得0＜m＜4，观察图象可知．当0＜m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中．当m＞4时，点M 在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中．【解答】解：（1）∵抛物线的图象经过点A（3，0），∴＝0，解得b＝1．∴抛物线解析式为：．（2）∵P点的横坐标为m，且P点在抛物线y＝的图象上，∴P点的坐标为（m，），∵PQ⊥l，l过A点且垂直于x轴，∴Q点的坐标为（3，），∵M点的坐标为（3，﹣m+），∵Q点与M点重合，∴＝﹣m+，解方程得：m＝0或m＝4．（3）∵抛物线＝﹣（x﹣1）2+2，∴抛物线的顶点坐标为（1，2）．∵N点的坐标为N（m，﹣m+），要使顶点（1，2）在正方形PQMN内部，∴﹣m+＞2，得m＜﹣．∴PN＝﹣m+﹣（）＝m2﹣2m，PQ＝3﹣m．∵四边形PQMN是正方形，∴m2﹣2m＝3﹣m，解得m＝1+（舍去）或m＝1﹣．∴当m＝1﹣时，抛物线顶点在正方形PQMN内部．（4）∵M点的纵坐标﹣m+，随P点的横坐标m的增大而减小，根据（1）的结果得：当m＝0时，M，Q两点重合；m＝3时，P，Q重合；m＝4时，M，Q重合，矩形PQMN不存在；当m＜0时，直线MN在直线PQ上方，抛物线顶点在矩形PQMN内部，不合题意．当0＜m＜4时，直线MN在直线PQ下方，如图4﹣1，当3＜m＜4时，矩形内部没有抛物线图象，不合题意；当m＞4时，直线MN在直线PQ上方，矩形内部有抛物线，且为对称轴右侧，y随x的增大而减小，如图4﹣2；综上：当0＜m＜3或m＞4时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小．9．（2022•白山模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+b（b为常数，b≠0）与y轴交于点A，且点A的坐标为（0，3），过点A作垂直于y轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其横坐标为﹣m+1．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值；（2）当点Q与点M重合时，求m的值；（3）当矩形PQMN为正方形时，求m的值；（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）根据点Q与点M的横坐标相等构建方程求解即可．（3）根据PQ＝MQ，构建方程求解即可．（4）当点P在直线l的下边，点M在点Q右侧时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大，则有﹣m+1≤2，解得﹣1≤m＜0；当点Q在点M右边时，存在两段，不合题意；当0＜m＜2时，点P在l的上方，当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，有＜m＜2．【解答】解：（1）把点A（0，3）代入y＝﹣x2+2x+b，得到b＝3．（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴P（m，﹣m2+2m+3），∵PQ⊥l，且l⊥y轴，∴PQ∥y，∴Q（m，3）；∵点M（﹣m+1，3）与点Q重合，∴﹣m+1＝m，解得m＝．（3）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（1，4），由题意PQ＝MQ，∴|﹣m2+2m+3﹣3|＝|﹣m+1﹣m|解得，m＝1或m＝﹣1或m＝2+或m＝2﹣．（4）根据题意可知，需要分类讨论：当点P在直线l的下边，点M在点Q右侧时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大，如图1，此时﹣m+1≤2，解得﹣1≤m＜0；当点P在直线l的下边，点Q在点M右边时，如图2，存在两段，不合题意；当点P在l上方时，如图3和4，当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，有＜m＜2．综上，当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，﹣1≤m＜0或＜m＜2．10．（2021•吉林四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx﹣与x轴交于点A（5，0），与该抛物线的对称轴l交于点B，作直线AB．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线交AB于点Q，过点P作PN⊥l于点N，以PQ、PN为边作矩形PQMN．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AB的解析式；（3）当该抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点P 的坐标；（4）当该抛物线与坐标轴的交点到直线MQ的距离相等时，直接写出m的值．【分析】（1）把点A（5，0）代入抛物线y＝x2+bx﹣中可解答；（2）根据配方法可得抛物线顶点B的坐标，利用待定系数法可得直线AB的解析式；（3）分两种情况：①点P在对称轴的左侧；②点P在对称轴的右侧；根据该抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2列方程可解答；（4）先求抛物线与y轴交点的坐标，根据该抛物线与坐标轴的交点到直线MQ的距离相等可知：点Q的纵坐标为﹣，将y＝﹣代入直线AB的解析式可得答案．【解答】解：（1）把点A（5，0）代入抛物线y＝x2+bx﹣中得：+5b﹣＝0，解得：b＝﹣2，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣；（2）∵y＝x2﹣2x﹣＝（x﹣2）2﹣，∴B（2，﹣），设直线AB的解析式为：y＝kx+n，则，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x﹣；（3）由题意得：P （m ，m 2﹣2m ﹣），∴Q （m ，m ﹣），分两种情况：①如图1，当点P 在对称轴的左侧时，∵抛物线被矩形PQMN 截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2，∴m 2﹣2m ﹣+＝2，解得：m 1＝0，m 2＝4（舍），∴P （0，﹣）；②如图2，当点P 在对称轴的右边时，∵抛物线被矩形PQMN 截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2，∴m 2﹣2m ﹣﹣m +＝2，解得：m 1＝6，m 2＝1（舍），∴P （6，3.5）；综上，点P 的坐标为（0，﹣）或（6，3.5）；（4）如图3，当x ＝0时，y ＝﹣∵该抛物线与坐标轴的交点到直线MQ 的距离相等，即点D 与C 到直线MQ 的距离相等，∴点Q的纵坐标为﹣，当y＝﹣时，m﹣＝﹣，解得：m＝．11．（2021•南关区校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2ax﹣a（a为常数）．（1）当（﹣，m）在抛物线上，求m的值．（2）当抛物线的最低点到x轴的距离恰好是时，求a的值．（3）已知A（﹣1，1）、B（﹣1，2a﹣），连接AB．当抛物线与线段AB有交点时，记交点为P（点P 不与A、B重合），将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到线段PM，以PM、PA为邻边构造矩形PMQA．①若抛物线在矩形PMQA内部的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，求a的取值范围．②当抛物线在矩形PMQA内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出a的值．【分析】（1）将（﹣，m）代入y＝x2﹣2ax﹣a求解．（2）求出顶点坐标，通过顶点纵坐标为±求解．（3）①通过数形结合，讨论抛物线对称轴与矩形边的位置关系与抛物线经过临界点时的值求解．②分类讨论点B在A上方与点B在A下方两种情况，分别求出最高点与最低点坐标作差求解．【解答】解：（1）将（﹣，m）代入y＝x2﹣2ax﹣a可得：m＝+a﹣a，∴m＝．（2）∵y＝x2﹣2ax﹣a＝（x﹣a）2﹣a2﹣a，∴抛物线顶点坐标为（a，﹣a2﹣a），当﹣a2﹣a＝时，解得a＝﹣，当﹣a2﹣a＝﹣时，解得a＝或a＝．。
二次函数中的存在性问题(最新整理)
二次函数中的存在性问题1. 如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4：解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3），设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=﹣，则抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+3=﹣x2+3x；（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），将A（4，0）与C（0，3）代入得：，解得：，故直线AC解析式为y=﹣x+3，与抛物线解析式联立得：，解得：或，则点D坐标为（1，）；（3）存在，分两种情况考虑：①当点M在x轴上方时，如答图1所示：四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM=AN，由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，∴N1（2，0），N2（6，0）；②当点M在x轴下方时，如答图2所示：过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP，∴MP=DQ=，NP=AQ=3，将y M=﹣代入抛物线解析式得：﹣=﹣x2+3x，解得：x M=2﹣或x M=2+，∴x N=x M﹣3=﹣﹣1或﹣1，∴N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．综上所述，满足条件的点N有四个：N1（2，0），N2（6，0），N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．2．如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），将点A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：，解得：．故函数解析式为：y=x2+2x．（2）当AO为平行四边形的边时，DE∥AO，DE=AO，由A（﹣2，0）知：DE=AO=2，若D在对称轴直线x=﹣1左侧，则D横坐标为﹣3，代入抛物线解析式得D1（﹣3，3），若D在对称轴直线x=﹣1右侧，则D横坐标为1，代入抛物线解析式得D2（1，3）．综上可得点D的坐标为：（﹣3，3）或（1，3）．（3）存在．如图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，∵BO2+CO2=BC2，∴△BOC是直角三角形，假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，①若△AMP∽△BOC，则=，即x+2=3（x2+2x），得：x1=13，x2=﹣2（舍去）．当x=13时，y=59，即P（13，59），②若△PMA∽△BOC，则=，即：x2+2x=3（x+2），得：x1=3，x2=﹣2（舍去）当x=3时，y=15，即P（3，15）．故符合条件的点P有两个，分别是P（13，59）或（3，15）．3. 如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在疑点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标．8、解答：解：（1）∵y=2x+2，∴当x=0时，y=2，∴B（0，2）．当y=0时，x=﹣1，∴A（﹣1，0）．∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（0，2），D（3，﹣4），∴解得：，∴y=﹣x2+x+2；设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴直线BD的解析式为：y=﹣2x+2；（2）存在．如图1，设M（a，﹣a2+a+2）．∵MN垂直于x轴，∴MN=﹣a2+a+2，ON=a．∵y=﹣2x+2，∴y=0时，x=1，∴C（1，0），∴OC=1．∵B（0，2），∴OB=2．当△BOC∽△MON时，∴，∴，解得：a1=1，a2=﹣2M（1，2）或（﹣2，﹣4）；如图2，当△BOC∽△ONM时，，∴，∴a=或，∴M（，）或（，）．∵M在第一象限，（，）；∴符合条件的点M的坐标为（1，2），（3）设P（b，﹣b2+b+2），H（b，﹣2b+2）．如图3，∵四边形BOHP是平行四边形，∴BO=PH=2．∵PH=﹣b2+b+2+2b﹣2=﹣b2+3b．∴2=﹣b2+3b∴b1=1，b2=2．当b=1时，P（1，2），当b=2时，P（2，0）∴P点的坐标为（1，2）或（2，0）．4．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形（2）和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点．解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），5．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．10、解答：解：（1）如图1，∵A（﹣3，0），C（0，4），∴OA=3，OC=4．∵∠AOC=90°，∴AC=5．∵BC∥AO，AB平分∠CAO，∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．∴BC=AC．∴BC=5．∵BC∥AO，BC=5，OC=4，∴点B的坐标为（5，4）．∵A（﹣3.0）∴解得：∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．（2）如图2，设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（﹣3.0）、B（5，4）在直线AB上，∴解得：∴直线AB的解析式为y=x+．设点P的横坐标为t（﹣3≤t≤5），则点Q的横坐标也为t．∴y P=t+，y Q=﹣t2+t+4．∴PQ=y Q﹣y P=﹣t2+t+4﹣（t+）=﹣t2+t+4﹣t﹣=﹣t2++=﹣（t2﹣2t﹣15）=﹣[（t﹣1）2﹣16]=﹣（t﹣1）2+．∵﹣＜0，﹣3≤1≤5，∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为．∴线段PQ的最大值为．（3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=．∴x H=x G=x M=．∴y G=×+=．∴GH=．∵∠GHA=∠GAM=90°，∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，∴△AHG∽△MHA．∴．∴=．解得：MH=11．∴点M的坐标为（，﹣11）．②当∠ABM=90°时，如图4所示．∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣=，∴BG===．同理：AG=．∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，∴△AGH∽△MGB．∴=．∴=．解得：MG=．∴MH=MG+GH=+=9．∴点M的坐标为（，9）．综上所述：符合要求的点M的坐标为（，9）和（，﹣11）．6．（2009•崇左）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．21教育网（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y 轴的距离，即B的坐标；21（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，（1分）又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）∴点B的坐标为（﹣3，1）；（4分）（2）抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B（﹣3，1），则得到1=9a﹣3a﹣2，（5分）解得a=，所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2；（7分）（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分）过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC．（10分）∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，﹣1）；（11分）②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分）过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13分）∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2上．（16分）练习：1. 如图，二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，且A 点坐标为（-3,0），经过B 点的直线交抛物线于点D （-2，-3）.（1）求抛物线的解析式和直线BD 解析式；（2）过x 轴上点E （a ，0）（E 点在B 点的右侧）作直线EF ∥BD ,交抛物线于点F ,是否存在实数a 使四边形BDFE 是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a ；如果不存在，请说明理由.2．已知抛物线经过A （2，0）． 设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B ． 36232++=bx x y （1）求b 的值，求出点P 、点B 的坐标；（2）如图，在直线 y=x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为平行四边形？若存在，3求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，使△AMP ≌△AMB ？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．4. 如图，已知抛物线y ＝x2＋bx ＋3与x 轴交于点B （3，0），与y 轴交于点A ，P 是抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m （m ＞3），过点P 作y 轴的平行线PM ，交直线AB 于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）若以AB 为直径的⊙N 与直线PM 相切，求此时点M 的坐标；（3）在点P 的运动过程中，△APM 能否为等腰三角形？若能，求出点M 的坐标；若不能，请说明理由．3. 已知：如图一次函数y ＝x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；21二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝x ＋1的图象交于B 、C 两点，2121与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC 的面积S ；（3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？ 若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．4. 如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标.。
(完整版)矩形存在性问题
(完整版)矩形存在性问题
矩形是一种常见的几何形状，但在某些情况下，其存在性可能
会受到一些问题的影响。
本文将探讨与矩形存在性相关的一些问题。
1. 不存在完美的矩形
在现实世界中，找到一个完美的矩形是很困难的。
尽管矩形的
定义是具有四个直角的四边形，但在实际情况中，我们很难找到具
备完美直角、边长相等的矩形。
这是因为制造或绘制矩形时可能会
出现一些误差或不完美的情况。
2. 变形矩形
矩形的存在性还受到其变形程度的影响。
当一个矩形的四个角
不再是直角或者它的四边不是等长时，我们称之为变形矩形。
变形
矩形可能会在某些情况下具备特定的性质，但根据定义，它已经脱
离了严格的矩形形状。
3. 特殊情况下的矩形存在性
在一些特殊情况下，矩形的存在性可能会受到限制。
例如，当
四个顶点被限制在一个平面上或者在一条直线上时，将无法构成一
个矩形。
这些限制可能是由具体问题的条件而引发的，所以在解决
问题时需要特别注意。
4. 结论
总的来说，矩形存在性问题是一个常见但也是复杂的几何问题。
由于现实世界的限制以及矩形的特性定义，我们可能无法找到完美
的矩形。
变形矩形和特殊情况下的限制也进一步增加了找到一个合
适的矩形的难度。
在解决矩形存在性问题时，我们应该考虑到以上
因素，并根据具体情况采取相应的措施。
矩形存在性问题
二次函数与矩形的问题.例1如图，已知二次函数y=a(x-h)*2-1的图像与x轴交于A(2,0)，B两点，与y 轴交于点C(0,8).（1）求二次函数解析式；（2）P（6，2）为平面内一点，设直线y=kx+b交抛物线于M,N，是否存在以A,M,N,P为顶点的四边形是矩形？若存在，求直线解析式；若不存在，请说明理由；（存在+代数论证方法）如图，矩形OABC，A(-3,0),过点C的直线y=-2x+4例2．与x轴交于点D，二次函数y=-0.5x*2+bx+c的图像经过B,C两点。
（1）求B,C两点的坐标及二次函数的解析式；（2）若点P是CD的中点，在二次函数图像上是否存在点M，使以A,P,C,M为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
例3．如图，抛物线y=ax*2+bx+c(a<0)与x轴交于A（-2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=2OA.（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y=kx+1(k>0)与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记M=PM:DM，试求M的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由。
练习1如图，已知二次函数的图象过点A （0，﹣3），B （，），对称轴为直线x=﹣，点P 是抛物线上的一动点，过点P 分别作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，在四边形PMON上分别截取PC=MP ，MD=OM ，OE=ON ，NF=NP ．（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C 、D 、E 、F 为顶点的四边形CDEF 是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点P ，使四边形CDEF 为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．2如图，抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴分别相交于点A （﹣2，0），B （4，0），与y 轴交于点C ，顶点为点P ．（1）求抛物线的解析式；（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M 作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H．①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；②是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．3如图，在平面直角坐标系xO y中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为54，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．备用图。
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二次函数中矩形的存在性问题1. (2015 黑龙江省龙东地区) 如图，四边形OABC是矩形，点 A、 C在坐标轴上，△ ODE是△ OCB绕点 O 顺时针旋转90°得到的，点 D在 x 轴上，直线BD交 y 轴于点 F，交 OE于点 H，线段 BC、 OC的长是方程 x2 ﹣6x+8=0 的两个根，且 OC＞BC．（ 1）求直线 BD的解析式；（ 2）求△ OFH的面积；（ 3）点 M在坐标轴上，平面内是否存在点 N，使以点 D、F、 M、 N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明理由．12. (2015重庆市綦江县)如图，抛物线y x22x 3 与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点 C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与 y 轴相交于点E.（1）求直线AD的解析式；（2）如图 1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△ FGH的周长的最大值；（ 3）点M是抛物线的顶点，点P 是 y 轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A， M，P， Q为顶点的四边形是 AM为边的矩形，若点T 和点 Q关于 AM所在直线对称，求点T 的坐标.y yM yMCDC CFHE GA B A A BO x O x O x 26题图 126题备用图 126题备用图 223. (2016山东省东营市)】．】．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、 C的坐标分别是（ 0， 4）、（﹣ 1， 0），将此平行四边形绕点 O顺时针旋转 90°，得到平行四边形 A′B′OC′．（ 1）若抛物线经过点 C、 A、A′，求此抛物线的解析式；（ 2）点 M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；（ 3）若 P 为抛物线上一动点，N 为 x 轴上的一动点，点Q坐标为（ 1，0），当 P、 N、 B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N 的坐标．3二次函数中矩形的存在性问题4. (2016 贵州省毕节地区 ) 如图，已知抛物线 y=x 2+bx 与直线 y=2x+4 交于 A（ a， 8）、 B 两点，点 P 是抛物线上A、B 之间的一个动点，过点 P 分别作 x 轴、 y 轴的平行线与直线 AB交于点 C和点 E．（1）求抛物线的解析式；（2）若 C为 AB 中点，求 PC的长；（3）如图，以 PC，PE为边构造矩形 PCDE，设点 D 的坐标为（ m， n），请求出 m， n 之间的关系式．4二次函数中矩形的存在性问题5. (2013 湖南省常德市 ) 如图，已知二次函数的图象过点(0 ，－ 3) ，（ 3,3 ），对称轴为直线 x1 ，2点 P 是抛物线上的一动点，过点P 分别作 PM ⊥ x 轴于点 M ， PN ⊥ y 轴于点 N ，在四边形 PMON 上分别截取PC1MP , MD1OM ,OE1ON , NF1NP.3 3 3 3（ 1）求此二次函数的解析式；（ 2）求证：以 C ， D ， E ， F 为顶点的四边形 CDEF 是平行四边形；（ 3）在抛物线上是否存在这样的点 P ，使四边形 CDEF 为矩形？若存在，请求出所有符合条件的 P 点坐标；若不存在，请说明理由.56．如图所示，抛物线y=ax 2+bx﹣ 3 与 x 轴交于 A（﹣ 1， 0），B（ 3， 0）两点，与y 轴交于点C．（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点 P 作 PE⊥ BC于点 E，作 PF 平行于 x 轴交直线BC 于点 F，求△ PEF周长的最大值；（ 3）已知点M是抛物线的顶点，点N 是 y 轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P 是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、 Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P 的横坐标；若不存在，说明理由．6参考答案1. (2015 黑龙江省龙东地区 ) 如图，四边形OABC是矩形，点 A、 C在坐标轴上，△ ODE是△ OCB绕点 O 顺时针旋转90°得到的，点 D在 x 轴上，直线BD交 y 轴于点 F，交 OE于点 H，线段 BC、 OC的长是方程 x2 ﹣6x+8=0 的两个根，且 OC＞BC．（ 1）求直线 BD的解析式；（ 2）求△ OFH的面积；（ 3）点 M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、 F、 M、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．1.分析：（ 1）解方程可求得 OC、 BC的长，可求得 B、 D 的坐标，利用待定系数法可求得直线BD的解析式；（ 2）可求得 E 点坐标，求出直线 OE的解析式，联立直线 BD、OE解析式可求得 H点的横坐标，可求得△ OFH的面积；（ 3）当△ MFD为直角三角形时，可找到满足条件的点N，分∠ MFD=90°、∠ MDF=90°和∠ FMD=90°三种情况，分别求得M点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得N 点坐标．解答：解：（1）解方程x2﹣ 6x+8=0 可得 x=2 或 x=4，∵ BC、 OC的长是方程x2﹣ 6x+8=0 的两个根，且OC＞ BC，∴BC=2， OC=4，∴ B（﹣ 2，4），∵△ ODE是△ OCB绕点 O顺时针旋转 90°得到的，∴OD=OC=4， DE=BC=2，∴ D（ 4， 0），设直线 BD解析式为 y=kx+b ，把 B、 D坐标代入可得，解得，∴直线BD的解析式为y= ﹣x+；（ 2）由（ 1）可知E（ 4， 2），设直线 OE解析式为y=mx，把 E 点坐标代入可求得m= ，∴直线 OE解析式为y= x ，令﹣x+ =x ，解得 x=，∴ H点到y轴的距离为，又由（ 1）可得F（ 0，），∴ OF=，∴ S△OFH=××=；（3）∵以点 D、 F、 M、 N 为顶点的四边形是矩形，∴△ DFM为直角三角形，①当∠ MFD=90°时，则 M只能在 x 轴上，连接 FN交 MD于点 G，如图 1，由（ 2）可知OF= ，OD=4，则有△ MOF∽△ FOD，∴=，即=，解得OM=，∴ M（﹣，0），且D（4，0），∴ G（，0），设 N 点坐标为（ x ， y），则=，=0，解得 x=，y=﹣，此时N点坐标为（，﹣）；②当∠ MDF=90°时，则M只能在 y 轴上，连接DN交 MF于点 G，如图 2，7则有△ FOD ∽△ DOM ，∴= ，即 =，解得 OM=6，∴ M （ 0，﹣ 6），且 F （ 0，），∴ MG= MF= ，则 OG=OM ﹣ MG=6﹣ =，∴ G （ 0，﹣），设 N 点坐标为（ x ， y ），则=0， =﹣ ，解得 x=﹣ 4， y=﹣，此时 N （﹣ 4，﹣）；③当∠ FMD=90°时，则可知 M 点为 O 点，如图 3， ∵四边形 MFND 为矩形，∴ NF=OD=4， ND=OF= ，可求得 N （ 4， ）；综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为（ ，﹣ ）或（﹣ 4，﹣ ）或（ 4，）．2. (2015 重庆市綦江县 ) 如图，抛物线 yx 2 2x 3 与 x 轴交与 A ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点 C . 点 D 和点 C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD 与 y 轴相交于点 E .（ 1）求直线 AD 的解析式；（ 2）如图 1，直线 AD 上方的抛物线上有一点 F ，过点 F 作 FG ⊥ AD 于点 G ，作 FH 平行于 x 轴交直线 AD 于点H ，求△ FGH 的周长的最大值；（ 3）点 M 是抛物线的顶点，点 P 是 y 轴上一点，点 Q 是坐标平面内一点，以 A ， M ，P ， Q 为顶点的四边形 是 AM 为边的矩形，若点 T 和点 Q 关于 AM 所在直线对称，求点 T 的坐标 .yy M y M CDCCFHEGABAABOxOxOx26题图 1 26题备用图 1 26题备用图 2答案解：⑴ AD ： y x 1⑵过点 F 作 x 轴的垂线，交直线AD 于点 ，易证△ ≌△M FGH FGM故C△ FGHC △ FGM设 F (m, m 2 2m 3)则 FM = m 2 2m 3 (m 1) m 2m 2则 C=FM2 FM(1 2) FM(1 2)( m1 )2 9 9 22 24故最大周长为9+9 248二次函数中矩形的存在性问题⑶①若 AP 为对角线如图，由△ PMS∽△ MAR可得P(0, 9 1AM的对称点 T 为(0,1 ) 由点的平移可知Q( 2， ) 故Q点关于直线)2 2 2②若 AQ为对角线如图，同理可知 P 1 7 ) 故 Q点关于直线AM的对称点 T为92 223. (2016 山东省东营市 ) 】．】．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、 C的坐标分别是（ 0， 4）、（﹣ 1， 0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转 90°，得到平行四边形A′B′ OC′．（ 1）若抛物线经过点C、 A、A′，求此抛物线的解析式；（ 2）点 M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△ AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；（ 3）若 P 为抛物线上一动点， N 为 x 轴上的一动点，点 Q坐标为（1， 0），当 P、 N、B、 Q构成平行四边形时，求点 P 的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N 的坐标．分析（ 1）由平行四边形ABOC绕点 O 顺时针旋转90°，得到平行四边形A′ B′ OC′，且点A 的坐标是（0， 4），可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点 C、 A、 A′的抛物线的解析式；（ 2）首先连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b ，利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式，再设点M的坐标为：（ x ，﹣ x2+3x+4），继而可得△AMA′的面积，继而求得答案；（ 3）分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案．解答解：（ 1）∵平行四边形ABOC绕点 O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′ B′ OC′，且点A 的坐标是（ 0，4），∴点 A′的坐标为：（ 4， 0），∵点 A、 C 的坐标分别是（0， 4）、（﹣ 1， 0），抛物线经过点C、 A、 A′，设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c ，∴，解得：，∴此抛物线的解析式为：y=﹣ x2+3x+4 ；（ 2）连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b ，∴，解得：，∴直线AA′的解析式为：y= ﹣ x+4，设点 M的坐标为：（ x，﹣ x2 +3x+4），则S△AMA′= × 4× [ ﹣ x2+3x+4 ﹣（﹣ x+4 ） ]= ﹣ 2x2 +8x=﹣ 2（x ﹣ 2）2+8，∴当 x=2 时，△ AMA′的面积最大，最大值S△AMA′ =8，9∴ M的坐标为：（ 2， 6）；（3）设点 P 的坐标为（ x，﹣ x2 +3x+4），当 P， N，B， Q构成平行四边形时，∵平行四边形 ABOC中，点 A、 C 的坐标分别是（ 0， 4）、（﹣ 1， 0），∴点 B的坐标为（ 1， 4），∵点 Q坐标为（ 1， 0）， P 为抛物线上一动点， N 为 x 轴上的一动点，①当BQ为边时， PN∥ BQ， PN=BQ，∵ BQ=4，∴﹣ x2+3x+4= ± 4，当﹣ x2+3x+4=4 时，解得： x1=0， x 2=3，∴ P1（ 0，4）， P2（3， 4）；当﹣ x2 +3x+4=﹣ 4 时，解得： x3=，x2=，∴ P3（，﹣4），P4（，﹣4）；②当 PQ为对角线时，BP∥ QN， BP=QN，此时 P 与 P1， P2重合；综上可得：点P 的坐标为：P1（ 0， 4）， P2（3， 4）， P3（，﹣4），P4（，﹣4）；如图 2，当这个平行四边形为矩形时，点N 的坐标为：（ 0， 0）或（ 3， 0）．4. (2016 贵州省毕节地区 ) 如图，已知抛物线 y=x 2+bx 与直线 y=2x+4 交于 A（ a， 8）、 B 两点，点 P 是抛物线上A、B 之间的一个动点，过点 P 分别作 x 轴、 y 轴的平行线与直线 AB交于点 C和点 E．（1）求抛物线的解析式；（2）若 C为 AB 中点，求 PC的长；（3）如图，以 PC，PE为边构造矩形 PCDE，设点 D 的坐标为（ m， n），请求出m，n 之间的关系式．分析（ 1）把 A 点坐标代入直线方程可求得 a 的值，再代入抛物线可求得 b 的值，可求得抛物线解析式；（2）联立抛物线和直线解析式可求得B 点坐标，过 A 作 AQ⊥ x 轴，交 x 轴于点 Q，可知 OC= AQ=4，可求得 C点坐标，结合条件可知P 点纵坐标，代入抛物线解析式可求得 P 点坐标，从而可求得PC的长；（ 3）根据矩形的性质可分别用m、n 表示出C、P 的坐标，根据DE=CP，可得到m、n的关系式．解：（ 1）∵ A（ a， 8）是抛物线和直线的交点，∴ A 点在直线上，∴8=2a+4 ，解得 a=2，∴ A 点坐标为（ 2， 8），又 A 点在抛物线上，∴8=22 +2b，解得 b=2，∴抛物线解析式为 y=x 2 +2x；（ 2）联立抛物线和直线解析式可得，10解得， ，∴ B 点坐标为（﹣ 2， 0），如图，过 A 作 AQ ⊥ x 轴，交 x 轴于点 Q ，则 AQ=8， OQ=OB=2，即 O 为 BQ 的中点，当 C 为 AB 中点时，则 OC 为△ ABQ 的中位线，即 C 点在 y 轴上， ∴ OC= AQ=4，∴ C 点坐标为（ 0， 4），又 PC ∥ x 轴，∴ P 点纵坐标为 4， ∵ P 点在抛物线线上， ∴ 4=x 2 +2x ，解得 x=﹣ 1﹣或 x=﹣ 1，∵ P 点在 A 、 B 之间的抛物线上， ∴ x= ﹣1﹣ 不合题意，舍去，∴ P 点坐标为（ ﹣ 1， 4），∴ PC=﹣ 1﹣ 0= ﹣ 1；（ 3）∵ D （ m ， n ），且四边形 PCDE 为矩形， ∴ C 点横坐标为 m ， E 点纵坐标为 n ，∵ C 、 E 都在直线 y=2x+4 上，∴ C （ m ， 2m+4）， E （， n ），∵ PC ∥x 轴，∴ P 点纵坐标为 2m+4， ∵ P 点在抛物线上，22﹣ 1 或 x=﹣﹣ 1（舍去），∴ 2m+4=x +2x ，整理可得 2m+5=（ x+1 ） ，解得 x= ∴ P 点坐标为（ ﹣ 1， 2m+4），∴ DE=﹣ m ， CP=﹣ 1﹣ m ，∵四边形 PCDE 为矩形，∴ DE=CP ，即﹣ m=﹣ 1﹣ m ，2整理可得 n ﹣ 4n ﹣ 8m ﹣ 16=0，即 m 、 n 之间的关系式为 n 2﹣ 4n ﹣ 8m ﹣ 16=0．5. (2013 湖南省常德市 ) 如图，已知二次函数的图象过点 A (0 ，－ 3) ，B （ 3,3 ），对称轴为直线 x1，点 P 是抛物线上的一动点，2P过点 分别作⊥ 轴于点 ， ⊥ 轴于点 ，PM xM PN y N在四边形 PMON 上分别截取 PC1MP , MD1OM ,OE1ON , NF1NP.33 3 3（ 1）求此二次函数的解析式；（ 2）求证：以 C ， D ， E ， F 为顶点的四边形 CDEF 是平行四边形；（ 3）在抛物线上是否存在这样的点P ，使四边形 CDEF 为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由 .11解：（ 1）设二次函数的解析式为23, 3 ）、对称轴方程分别代入可得：y ax bx c ,将点 A 0-3）、B （（ ，3 c,a 1,3 3a 3b c ，解得 a 1, ∴此二次函数的解析式为 y x 2x 3 .b1 . b3.2a2（ 2）证明：如图连接 CD ， DE ， EF ， FC.∵PM ⊥ x 轴， PN ⊥y轴，∴四边形 OMPN 是矩形 . ∴ MP =ON ， OM =PN.又 PC1 1 11 MP , MD OM ,OE ON , NFNP,3 3 33∴ DMFN , MC NE ∴△ CMD △ENF, 同理△ ODE △ FPC(SAS),∴ CF =ED ， CD =EF., ∴四边形 CDEF 是平行四边形 .（ 3）如图，作 CQ ⊥ y 轴于点 Q ，设 P 点坐标为 x, x 2 x 3 ，则QNPC OE 1 MP . ∴ EQ1 x 2x 3 . ∴在 Rt △ ECQ33CE 2EQ 2 CQ 2中，1 x2x2x2.39Q DE 2 OD 2OE 22 x 212x 2 x 34 3 13222x9 x x3 ,9当⊥ 时，CD 2DM 2 CM 2CD DE1 x 242x 2 x 3,9 9CE 2 DE 2 CD 2x 31 x2 4 x 2 x 34 x 21 x 22299 x 2 x995 x 253 .2991 x 2x 3 2x 25x 25x 2x 32当x 2 x3 x 时 , x 13,x 2 3,999, 此时， y 13,y 23 ;4 x 2 4x 2 2 当x 2x3x 时, x 13， x 2 1,x 3 ,9 9此时， y 1 3， y 2 1.x2x3x.综上可知符合条件的 点有四个， P 分别是 ， 3 ， ，- 3 ，- 3 ， 3 ， ，-1 .3 3 1 本题用相似更简单！126．如图所示，抛物线y=ax 2+bx﹣ 3 与 x 轴交于 A（﹣ 1， 0），B（ 3， 0）两点，与y 轴交于点C．（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点 P 作 PE⊥ BC于点 E，作 PF 平行于 x 轴交直线BC 于点 F，求△ PEF周长的最大值；（ 3）已知点M是抛物线的顶点，点N 是 y 轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P 是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、 Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P 的横坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（ 1）把 A（﹣ 1， 0）， B（ 3， 0）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣ 3，得到，解得，∴抛物线的解析式为y=x 2﹣ 2x ﹣3．（2）如图 1 中，连接 PB、 PC．设 P（ m， m2﹣ 2m﹣3），∵ B（ 3， 0）， C（ 0，﹣ 3），∴OB=OC，∴∠OBC=45°，∵PF∥ OB，∴∠ PFE=∠OBC=45°，∵PE⊥ BC，∴∠ PEF=90°，∴△ PEF是等腰直角三角形，∴ PE最大时，△ PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大，则有 S△PBC=S△POB+S△POC﹣ S△BOC= ?3?（﹣ m2+2m+3） + ?3?m﹣ =﹣（m﹣）2+，∴m= 时，△ PBC的面积最大，此时△ PEF的面积也最大，此时 P（，﹣），13∵直线 BC的解析式为y=x ﹣3，∴ F（﹣，﹣），∴ PF=，∵△ PEF是等腰直角三角形，∴ EF=EP=，∴ C△PEF最大值 = +．（ 3）①如图 2 中，当 N 与 C 重合时，点N 关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P（ 2，﹣ 3）．点 P 横坐标为 2，②如图 3 中，当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥ y 轴于 N， ME∥ x 轴， PE∥y 轴．易知△ PFN≌△ PEM，2∴ PF=PE，设 P（ m，m﹣ 2m﹣ 3），∵ M（ 1，﹣ 4），2∴ m=m﹣ 2m﹣3﹣（﹣ 4），∴ m=或（舍弃），∴ P 点横坐标为所以满足条件的点P 的横坐标为 2 或．14。
[数学]-专题11 二次函数与矩形、菱形的存在性问题(知识解读)(原版)
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（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2-1】如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组．
考点2 菱形存在性问题
1．菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2．坐标系中的菱形：
有 3 个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有 3 个未知量，与矩形相同．
3．解题思路：
（1）思路 1：先角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的 点C有
在点C的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点D的坐标．
思路2：先平行，再矩形
当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为矩形：
其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．
在构成菱形的 4 个点中任取 3 个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确
定第 3 个点，再确定第 4 个点．
（2）思路 2：先平行，再菱形
设点坐标，根据平行四边形的存在性要求列出“”（AC、BD为对角线），再结合一组邻
边相等，得到方程组．
方法总结：
菱形有一个非常明显的特点：任意三个顶点所构成的三角形必然是等腰三角形。
【变式1-1】（2022•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．
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参考答案1. (2015 省龙东地区) 如图，四边形OABC 是矩形，点A 、C 在坐标轴上，△ODE 是△OCB 绕点O 顺时针旋转90°得到的，点D 在x 轴上，直线BD 交y 轴于点F ，交OE 于点H ，线段BC 、OC 的长是方程x 2﹣6x+8=0的两个根，且OC ＞BC ．（1）求直线BD 的解析式；（2）求△OFH 的面积；（3）点M 在坐标轴上，平面是否存在点N ，使以点D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．1. 分析： （1）解方程可求得OC 、BC 的长，可求得B 、D 的坐标，利用待定系数法可求得直线BD 的解析式；（2）可求得E 点坐标，求出直线OE 的解析式，联立直线BD 、OE 解析式可求得H 点的横坐标，可求得△OFH 的面积；（3）当△MFD 为直角三角形时，可找到满足条件的点N ，分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三种情况，分别求得M 点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得N 点坐标．解答： 解：（1）解方程x 2﹣6x+8=0可得x=2或x=4，∵BC 、OC 的长是方程x 2﹣6x+8=0的两个根，且OC ＞BC ， ∴BC=2，OC=4，∴B （﹣2，4），∵△ODE 是△OCB 绕点O 顺时针旋转90°得到的，∴OD=OC=4，DE=BC=2，∴D （4，0），设直线BD 解析式为y=kx+b ，把B 、D 坐标代入可得，解得，∴直线BD 的解析式为y=﹣x+；（2）由（1）可知E （4，2），设直线OE 解析式为y=mx ，把E 点坐标代入可求得m=，∴直线OE 解析式为y=x ，令﹣x+=x ，解得x=，∴H 点到y 轴的距离为，又由（1）可得F （0，），∴OF=，∴S △OFH =××=；（3）∵以点D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是矩形，∴△DFM 为直角三角形，①当∠MFD=90°时，则M 只能在x 轴上，连接FN 交MD 于点G ，如图1，由（2）可知OF=，OD=4，则有△MOF ∽△FOD ，∴=，即=，解得OM=，∴M （﹣，0），且D （4，0），∴G （，0），设N 点坐标为（x ，y ），则=，=0，解得x=，y=﹣，此时N 点坐标为（，﹣）；②当∠MDF=90°时，则M 只能在y 轴上，连接DN 交MF 于点G ，如图2，则有△FOD ∽△DOM ，∴=，即=，解得OM=6，∴M （0，﹣6），且F （0，），∴MG=MF=，则OG=OM ﹣MG=6﹣=，∴G （0，﹣），设N 点坐标为（x ，y ），则=0，=﹣，解得x=﹣4，y=﹣，此时N （﹣4，﹣）；③当∠FMD=90°时，则可知M 点为O 点，如图3，∵四边形MFND 为矩形，∴NF=OD=4，ND=OF=，可求得N （4，）；综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为（，﹣）或（﹣4，﹣）或（4，）． 2. (2015 市綦江县) 如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交与A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C. 点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.xyxyxy26题备用图226题备用图126题图1CBAOCAOHGEDCBAOFM M答案解：⑴AD：1y x=+⑵过点F作x轴的垂线，交直线AD于点M，易证△FGH≌△FGM故FGH FGMC C=△△设2(,23)F m m m-++则FM=2223(1)2m m m m m-++-+=-++则C=219922(12)(12)()242FMFM FM m++⨯=+=-+-+故最大周长为9+924⑶①若AP为对角线如图，由△PMS∽△MAR可得9(0,)2P由点的平移可知1(2)2Q-，故Q点关于直线AM的对称点T为1(0,)2-②若AQ为对角线如图，同理可知P1(0,)2-由点的平移可知Q7(2,)2故Q点关于直线AM的对称点T为9(0,)23. (2016 省东营市) 】．】．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；（2）点M时第一象限抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；（3）若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．分析（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A′的抛物线的解析式；（2）首先连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式，再设点M的坐标为：（x，﹣x2+3x+4），继而可得△AMA′的面积，继而求得答案；（3）分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案．解答解：（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），∴点A′的坐标为：（4，0），∵点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），抛物线经过点C、A、A′，设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，∴，解得：，∴此抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+4；（2）连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线AA′的解析式为：y=﹣x+4，设点M的坐标为：（x，﹣x2+3x+4），则S△AMA′=×4×[﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）]=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8，∴当x=2时，△AMA′的面积最大，最大值S△AMA′=8，∴M的坐标为：（2，6）；（3）设点P的坐标为（x，﹣x2+3x+4），当P，N，B，Q构成平行四边形时，∵平行四边形ABOC中，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），∴点B的坐标为（1，4），∵点Q坐标为（1，0），P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，①当BQ为边时，PN∥BQ，PN=BQ，∵BQ=4，∴﹣x2+3x+4=±4，当﹣x2+3x+4=4时，解得：x1=0，x2=3，∴P1（0，4），P2（3，4）；当﹣x2+3x+4=﹣4时，解得：x3=，x2=，∴P3（，﹣4），P4（，﹣4）；②当PQ为对角线时，BP∥QN，BP=QN，此时P与P1，P2重合；综上可得：点P的坐标为：P1（0，4），P2（3，4），P3（，﹣4），P4（，﹣4）；如图2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：（0，0）或（3，0）．4. (2016 省地区) 如图，已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x+4交于A（a，8）、B两点，点P是抛物线上A、B之间的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若C为AB中点，求PC的长；（3）如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE，设点D的坐标为（m，n），请求出m，n之间的关系式．分析（1）把A点坐标代入直线方程可求得a的值，再代入抛物线可求得b的值，可求得抛物线解析式；（2）联立抛物线和直线解析式可求得B点坐标，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，可知OC=AQ=4，可求得C点坐标，结合条件可知P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标，从而可求得PC的长；（3）根据矩形的性质可分别用m、n表示出C、P的坐标，根据DE=CP，可得到m、n的关系式．解：（1）∵A（a，8）是抛物线和直线的交点，∴A点在直线上，∴8=2a+4，解得a=2，∴A点坐标为（2，8），又A点在抛物线上，∴8=22+2b，解得b=2，∴抛物线解析式为y=x2+2x；（2）联立抛物线和直线解析式可得，解得，，∴B点坐标为（﹣2，0），如图，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，则AQ=8，OQ=OB=2，即O为BQ的中点，当C为AB中点时，则OC为△ABQ的中位线，即C点在y轴上，∴OC=AQ=4，∴C点坐标为（0，4），又PC∥x轴，∴P点纵坐标为4，∵P点在抛物线线上，∴4=x2+2x，解得x=﹣1﹣或x=﹣1，∵P点在A、B之间的抛物线上，∴x=﹣1﹣不合题意，舍去，∴P点坐标为（﹣1，4），∴PC=﹣1﹣0=﹣1；（3）∵D（m，n），且四边形PCDE为矩形，∴C点横坐标为m，E点纵坐标为n，∵C、E都在直线y=2x+4上，∴C（m，2m+4），E（，n），∵PC∥x轴，∴P点纵坐标为2m+4，∵P点在抛物线上，∴2m+4=x2+2x，整理可得2m+5=（x+1）2，解得x=﹣1或x=﹣﹣1（舍去），∴P点坐标为（﹣1，2m+4），∴DE=﹣m ，CP=﹣1﹣m ，∵四边形PCDE 为矩形，∴DE=CP ，即﹣m=﹣1﹣m ， 整理可得n 2﹣4n ﹣8m ﹣16=0，即m 、n 之间的关系式为n 2﹣4n ﹣8m ﹣16=0． 5. (2013 省市) 如图，已知二次函数的图象过点A (0，－3)，B （3,3），对称轴为直线12x =-，点P 是抛物线上的一动点， 过点P 分别作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ， 在四边形PMON 上分别截取1111,,,.3333PC MP MD OM OE ON NF NP ==== （1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形CDEF 是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点P ，使四边形CDEF 为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）设二次函数的解析式为2y ax bx c =++,将点A （0，-3）、B （3,3）、对称轴方程分别代入可得：3,3331.22c a b c b a ⎧-=⎪⎪=++⎨⎪-=-⎩，解得1,1,3.a a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴此二次函数的解析式为23y x x =+-.（2）证明：如图连接CD ，DE ，EF ，FC.∵PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，∴四边形OMPN 是矩形.∴MP =ON ，OM =PN.又1111,,,,3333PC MP MD OM OE ON NF NP ==== ∴,DMFN MC NE ==∴△CMD ≅△ENF,同理△ODE ≅△FPC(SAS), ∴CF =ED ，CD =EF.,∴四边形CDEF 是平行四边形.（3）如图，作CQ ⊥y 轴于点Q ，设P 点坐标为()2,3x x x +-， 则1.3QN PC OE MP ===∴()2133EQ x x =-+-.∴在Rt △ECQ 中，()22222213.9CE EQ CQ x x x =+=+-+当CD⊥DE时，()()()()()()22222222222222222222222222221333413,99143,994114339999553.99DE OD OEx x xx x xCD DM CMx x xCE DE CDx x x x x xx x x=+⎛⎫⎡⎤=-+-+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=++-=+=++-∴=+=++-+++-=++-Q()()()222222222215533,999443,993.x x x x x xx x xx x x∴+-+=++-=+-+-=±()()()()212122121233,3,3,3;331,3 1.33333311.x x x x xy yx x x x xy yP+-===-==-+-=-=-===-∴-当时,此时，当时,，此时，，综上可知符合条件的点有四个，分别是，，，-，-，，，-本题用相似更简单！6．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC 于点F，求△PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P 的横坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3，得到，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）如图1中，连接PB、PC．设P（m，m2﹣2m﹣3），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴OB=OC，∴∠OBC=45°，∵PF∥OB，∴∠PFE=∠OBC=45°，∵PE⊥BC，∴∠PEF=90°，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大，则有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC=•3•（﹣m2+2m+3）+•3•m﹣=﹣（m﹣）2+，∴m=时，△PBC的面积最大，此时△PEF的面积也最大，此时P（，﹣），∵直线BC的解析式为y=x﹣3，∴F（﹣，﹣），∴PF=，∵△PEF是等腰直角三角形，∴EF=EP=，∴C△PEF最大值=+．（3）①如图2中，当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P（2，﹣3）．点P横坐标为2，②如图3中，当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥y轴于N，ME∥x轴，PE∥y轴．易知△PFN≌△PEM，∴PF=PE，设P（m，m2﹣2m﹣3），∵M（1，﹣4），∴m=m2﹣2m﹣3﹣（﹣4），∴m=或（舍弃），∴P点横坐标为所以满足条件的点P的横坐标为2或．。