波函数和电子云的空间图象
关于原子轨道和电子云的图形课件
0.08 0
3s
0.12
④ n相同，lБайду номын сангаас同时
0.08 0.04
3p
l，主峰离核越近；
0 0.12 0.08
第一个极大值离核越远
0.04
3d
0 0 5 10 15 20 24
r/a0
3. 角度部分的对画图
(1) Y(θ,φ)~θ,φ图，即波函数角度分布图. (2) |Y (θ,φ)| 2~θ,φ图，即电子云角度分布图.
2n,l,m(r,,)d 电子在微体积元d中出现的几率
电子在半径为r处，厚度
为dr的球壳内电子出现
2 2n,l,m(r,,)d 的几率
0 0
2
R 2 r2sid nr dd
00
r2R 2d2 r 2d 2sid n
0
0
r2R2dr
D(r)dr
D(r)r2Rn,l2(r)
径向分布函数
几率和几率密度！！！
(2) 径向分布函数D(r)
前面R2(r)描述的是几率密度随r的分布情 况，要真正了解电子的分布情况，要关心电 子分布的几率---
电子在半径为r处，厚度为dr的球壳内 电子出现的几率
2n,l,m(r,,) 电子在(r, , )处出现的几率密度
dr2sindrd d 三维空间中的微体积元
这说明r=a0处在单位球壳厚度内找到电子的几率 比任何其它地方单位球壳内电子出现的几率要大
② 极大值个数：
0.6
0.3
1s
0
径向分布函数有n-l个极大值，00..2146
有n-l-1个节面
0.08 0
2s
0.24
③ 主峰-最大值出现的位置
2.2 2.3 量子数及波函数
ih MZ 2 的本征函数， 实函数解不是
只有复函数才是 M z 的本征函数，但无论
ˆ 2 与 H 算符的 是实函数还是复函数均是 M
本征函数。
2. 角动量分量的量子化
hm Mz 2
m 0, 1, 2 l
由于一个l之下，m可取m=0,±1,±2,…±l，即
4
0
2
单电子原子能级公式
主量子数：
n 1, 2,3
解R方程
1. 随n增大，能量升高； 随n增大，能量差降低；
e Z 2n 1 E 2 2 2 2 8 h n n 1
4 2
0
单电子体系是否存在零点能效应？ 维里定理指出：对势能服从rn 规律的体系，其平均动 能<T> 与平均势能<V>的关系为
0
0.24 0.16 0.08 0 0.24 0.16 0.08 0 0.16 0.08
2s
n－l－1个D值为0的点。
2p
极大值：
dD r 0 dr
3s
0
0.12 0.08 0.04 0 0.12 0.08 0.04 0 0 5 10
节点： Dr 0 R2 0
除 r=0和 r=∞外
2 Zr
r 0, D1,0 (0) 0
r , D1,0 () 0
dD 2Z 2 a0 a0 c(2re r e )0 dr a0 2 Zr 2 Zr
极大值
a0 r Z
Bohr半径
0.6
径向分布图的讨论 ☆每一个n和l 确定的状态， 有n－l个极大值；
0.3
1s
3. 轨道磁矩在Z轴的分量
§1-6波函数和电子云的图形表示-结构化学课件
Yl ,m , 的图形在空间有五个伸展方向。 l 2 时，
§1-6
波函数和电子云的图形表示
Y ,
2
2．电子云角度分布图
（1）由于Yl ,m , 总小于1，电子云的角度分布图形与原子 轨道的角度分布图形类似，只是变得“狭窄”一些。
6 1 3 c o s c o s 定函数： Y 1 , 0 1 , 0 0 2 2 4
于 z 轴对称的。
l ,m
p z 的 Y , 是 cos 的函数（和 无关），故其轨道是关
§1-6Biblioteka 波函数和电子云的图形表示 确定节面： 3 c o s 0c o s 0 9 0 x o y 平 面 为 节 面 。 4 d Y p 确定极值： 0 或 1 8 0 时 , 函 数 在 z 轴 有 极 值 . 0 d 列数据表：
（2）恒为正值。
§1-6
波函数和电子云的图形表示
三、 —r, 2—r 这两种图形一般只用来表示S态的分布，因为S态的波函数只 与r有关，而与θ ，φ 无关。ns这一特点使它分布具有球体 对称性，即离核为 r 的球面上各点波函数 的数值相同，几 率密度2的数值也相同.
§1-6
波函数和电子云的图形表示
图1-7.2 2. 等密度面图：
将几率密度相等的各点连起来构成的曲面，叫做等密度面图。
图1-7.3
§1-6
波函数和电子云的图形表示
3.界面图 ： 为了大体了解原子的运动范围，以估计“原子的大小”，就 取电子出现的几率在90%范围为一界面，称为界面图。
图1-7.4 4. 网格图：
坐标面是通过原子核的一个平面，图上各点图形的高度则表 示该处电子云密度的大小。
第五章 原子结 学习指导与自测
第五章 原子结 学习指导与自测一． 教学要点：1.核外电子运动状态的描述.2．多电子核外电子的排布。
3．原子结构与元素周期系二．内容提要1． 波尔理论（1） 氢原子光谱：线状光谱。
普朗克（Planck ）量子论：物质吸收或发射能量是不连续的，即量子化的，光量子是能量的最小单位。
νh E =（2）.玻尔理论的基本假设① 玻尔的量子化条件：电子只能满足p=m v r π2h n =条件的轨道上运动， ②电子尽可能处在基态，能量最低。
电子处于较高能量状态时称为激发态，电子的能量大J ×=218n |E －101792. n ＝1，2，3，… 轨道半径r 为 （a 02=a n r 0＝52.9 pm ，叫做玻尔半径。
）③电子跃迁：电子从高能级跃迁到较低能级时，以光子形式放出能量，能量的大小决定于两个能级间能量之差，h ν＝E 2－E 12． 核外电子运动的特殊性及运动状态的描述（1）电子的波粒二象性：德布罗意（Louis de Brolie ）假设：电子具有波粒二象性ph mv h ==λ （2） 波函数和原子轨道薛定谔方程 描述核外电子运动状态的数学表达式，082222222=+++2ΨV E hm z Ψy Ψx Ψ)( Ý Ý Ý Ý Ý Ý－π 薛定谔方程的解为波函数，用ψ表示。
波函数是量子力学中表征微观粒子运动状态的一个函数。
波函数ψ也叫原子轨道。
波函数ψ没有明确的直观物理意义，但波函数绝对值的平方|Ψ|2表示核外空间某处电子出现的几率密度， |Ψ|2的空间图象就是电子运动空间分布图象。
（3）几率密度和电子云用小黑点的疏密形象地描述几率密度的分布情况的图称之为电子云。
离核越近，小黑点越密，几率密度越大；离核越远，小黑点越稀，几率密度越小。
（4） 四个量子数①主量子数:n 是决定电子离核远近和电子能量高低，n 也称做电子层数。
11-2-4电子云的角度分布图
p 电子云的角度分布图 m = 0,±1 以2p z为例(m 0)
Y () 3 cos 4π
z
Y 2 () 3 cos2
4π
z
z
y
y
y
x
Y2 2pz
x
Y2 2p x
x
Y2 2py
波函数角度与电子云的角度分布图的区别
1) 角度波函数 Yl,m 只与量子数 l，m 有关而与主量子数 n 无关。对于 l，m 相同而 n 不同的状态，波函数和 电子云的角度分布图都分别是相同的。例如，1s、2s、 3s 或者 2px、3px、4px的角度分布图相同，如此类推。
z
z
z
+
y
-
－
y +
－+ y
x
Y2p z
z
x
Y2p x
z
x
Y2p y
z
y
y
y
x
Y2 2pz
x
Y2 2p x
x
Y2 2py
虚线部分 pz 轨道的角度分布图
实线部分 pz 电子云的角度分布图
实线部分 虚线部分
原子轨道角度分பைடு நூலகம்图 电子云的角度分布图
2) 由于 Y(pz) 值有正负值，故它的图上对应位置分别标 注了正负号，该符号可用于判断共价键的方向性。 而Y2(pz) 值都是正值，故它的图形无正负号之分。
3) 由于Y2(pz) 值小于对应的 Y(pz) 值，所以电子云的角 度分布图比波函数的角度分布图“瘦”些。
波函数角度与电子云的角度分布图的区别
波函数角度与电子云的角度分布图的区别虚线部分轨道的角度分布图实线部分电子云的角度分布图实线部分原子轨道角度分布图虚线部分电子云的角度分布图
结构化学2-3
表达出来，选用一个合适的等值曲面。 它可定性反映波函数在三维空间的大小、 正负、分布和节面情况。 原子轨道轮廓图是原子轨道空间分布图简化的实用图形。
原子轨道轮廓图
+
-
+
-
+
-
+
+-
+
3d轨道
原子轨道轮廓图
+
+
-
-
+-
+
+
-
-
+
+
+ -
-
+
+
-
★ 原子轨道等值线图
分也是归一的，所以径向分布函数可写为：D(r) r 2 R(r) 2
Dnl(r)的来历
波函数归一化
nlm (r, ,) 2 d R2 (r)r2dr 2( )sind () 2d 1
r0
0
0
半径为 r，厚度为 dr 的球壳中的概率 2 d 2 r2 sin d ddr 0 0
3d yz (1/36 2 ) Z / a0 3/ 2 2e / 2sin2sin
3
2
2
3dx2y2 (1/ 36 2 ) Z / a0 3/ 2 2e / 2sin2cos 2
3dxy (1/36 2 ) Z / a0 3/ 2 2e / 2sin2 sin2
2.3 波函数和电子 云的图形
nlm (r, , ) Rnl (r)Ylm( , )
径向函数 球谐函数
波函数（Ψ，原子轨道）和电子云（ |Ψ|2在空间的分布） 是三维空间坐标的函数，将它们用图形表示出来，使抽象 的数学表达式成为具体的图象，对于了解原子的结构和性 质，了解原子化合为分子的过程都具有重要的意义。
6.2.4 波函数的图形描述
6.2.4波函数的图形描述波函数的图形描述波函数ψ数学表达式复杂Ψ(r,θ,φ) =R(r) ·Y(θ,φ)径向部分角度部分Y(θ,φ)对θ,φ做图波函数(原子轨道)的角度分布图影响化学键的形成3π1),,(a r e a φθr ψ-=H 原子的1s 轨道 a 0:玻尔半径角度部分：4π1),(=φθY 球形对称分布xzy+p 轨道： )0(2=m p z θe a r πa ψa -r/p zcos 2141020302)(=l =1 , m = +1, 0, -1H 原子的 θπφ)Y(θcos 43=,θcos A =角度部分θθφθcos A cos π43),(==Y θ 0o 30o 60o 90o 120o 180o cos θ1 0.866 0.5 0 -0.5 -1 A0.866A 0.5A 0 -0.5A -AzY p 2x ,yz+ －30°60°θ◆从原点出发，引出一条与z 轴成θ角的线段◆令线段的长度等于Y◆连接所有线段的端点xyz-+yY2pxyz+-xyzzY2p+-正负号代表原子轨道角度部分取值的正负在z轴上出现极大值，称为p z轨道xY2p22d 3y x xyz- -++ xzd 3xy z-- + + yzd 3xyz-- + + xyd 3x yz- -+ + 2d 3z xyz ++（分别在xy,yz,xz 平面夹角为45度处伸展）原子轨道的角度分布图正负号极大值方向。
第六节 波函数的电子云图形
z
+
θ
r
-
z
(1) S轨道 S轨道 (2) P轨道 P轨道
+
x
Pz
Px
Py
d 3 z2r 2 ~ 3 cos2 θ − 1
3 cos
2
θ −1
d zx ~ sin θ cos θ cos ϕ
ϕ = 0, π
sin θ cos θ
氢原子d 氢原子d-轨道( l = 2 )角度分布
d yz ~ sin θ cos θ sin ϕ
作法：以原子核所处的位置为坐标原点，在每一个方向（ 、 ） 作法：以原子核所处的位置为坐标原点，在每一个方向（θ、φ） 引一条直线，直线的长度等于Ylm （θ、 φ ）绝对值的大小，所有 绝对值的大小， 引一条直线，直线的长度等于 、 这些直线的端点在空间构成一个曲面即为角度分布图， 这些直线的端点在空间构成一个曲面即为角度分布图，再适当地 标出正负号。 标出正负号。
作图 3 按Ypz = cosθ，Y是θ的函数与ϕ无关，可计算出不同θ值的Y值。 4π
θ Y θ Y
0 1.000 120 -0.500
15 0.9660 135 -0.7070
30
45
60 0.500 180
90 0
0.8660 0.7070 150 165
-0.8660 -0.9660 -1.000
0.6 0.3 0 0.24 0.16 0.08 0 0.24 0.16 0.08 0 0.16 0.08 0 0.12 0.08 0.04 0 0.12 0.08 0.04 0 0
1s
2s
2p
3s
3p
3d
5 10 15 20 24ຫໍສະໝຸດ r/a0三、角度分布图
波函数和电子云的图形表示结构化学课件
§1-6 波函数和电子云的图形表示
③ 图：1-7.6(a)
④径向节面数：n l 1
§1-6 波函数和电子云的图形表示
2.
径向密度函数图
R2 n,l
r
~
r
(1) 物理意义：在距核r处电子出现的径向几率密度。
(2) 图：1-7.6(b)
(3) 特点：n s 态的电子在核附近有相当大的几率密度，其
余各态的电子在核附近的几率密度为零。
3．径向分布函数 D r ~ r
前面R2(r)描述的是几率密度随r的分布情况，要真正了解 电子的分布情况，要关心电子分布的几率---电子在半径为r处 ，厚度为dr的球壳内电子出现的几率。
2n,l,m(r,,) 电子在(r, , )处出现的几率密度
dr2sindrdd 三维空间中的微体积元
2n,l,m(r,,)d 电子在微体积元d中出现的几率
角度分布图Yl,m ,与 n 无关，所以只要l , m 相同，图形形
状就相似。如：2px,3px,4px ，但 npx,npy,npz 图形方
重要意义。但是 , 2 是关于 r , , 的函数，作图需要四 维空间，比较困难。因此，我们把 分离为径向部分和角
度部分。
§1-6 波函数和电子云的图形表示
原子轨道和电子云有多种图形，为了搞清这些图形是怎么画 出来的，相互之间是什么关系，应当区分两个问题： 1. 作图对象
2. 作图方法 作图对象主要包括： (1) 复函数还是实函数？ (2) 波函数(即轨道)还是电子云？ (3) 完全图形还是部分图形？
例：p z 定函数： Y 1,0 1,0 02 6cos2 1 4 3 cos
p z 的 Yl,m , 是 cos 的函数（和 无关），故其轨道是关
福师《结构化学》第一章-量子力学基础和原子结构-课堂笔记
福师《结构化学》第一章量子力学基础和原子结构课堂笔记◆主要知识点掌握程度了解测不准关系，掌握和的物理意义；掌握一维势箱模型方程的求解以及该模型在共轭分子体系中的应用；理解量子数n，l，m的取值及物理意义；掌握波函数和电子云的径向分布图，原子轨道等值线图和原子轨道轮廓图；难点是薛定谔方程的求解。
◆知识点整理一、波粒二象性和薛定谔方程1．物质波的证明德布罗意假设：光和微观实物粒子（电子、原子、分子、中子、质子等）都具有波动性和微粒性两重性质，即波粒二象性，其基本公式为：对于低速运动，质量为m的粒子：其中能量E和动量P反映光和微粒的粒性，而频率ν和波长λ反映光和微粒的波性，它们之间通过常数h联系起来，普朗克常数焦尔·秒。
实物微粒运动时产生物质波波长λ可由粒子的质量m和运动度ν按如下公式计算。
λν量子化是指物质运动时，它的某些物理量数值的变化是不连续的，只能为某些特定的数值。
如微观体系的能量和角动量等物理量就是量子化的，能量的改变为ν的整数倍。
2．测不准关系：内容：海森保指出：具有波粒二象性的微观离子（如电子、中子、质子等），不能同时具有确定的坐标和动量，它们遵循“测不准关系”：（y、z方向上的分量也有同样关系式）ΔＸ是物质位置不确定度，Δ为动量不确定度。
该关系是微观粒子波动性的必然结果，亦是宏观物体和微观物体的判别标准。
对于可以把h看作O的体系，表示可同时具有确定的坐标和动量，是可用牛顿力学描述的宏观物体，对于h不能看作O的微观粒子，没有同时确定的坐标和动量，需要用量子力学来处理。
3．波函数的物理意义——几率波实物微粒具有波动性，其运动状态可用一个坐标和时间的函数来描述，称为波函数或状态函数。
1926年波恩对波函数的物理意义提出了统计解释：由电子衍射实验证明，电子的波动性是和微粒的行为的统计性联系在一起的，波函数正是反映了微粒行为的统计规律。
这规律表明：对大量电子而言，在衍射强度大的地方，电子出现的数目多，强度小的地方电子出现的数目少，即波函数的模的平方与电子在空间分布的密度成正比。
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１.原子轨道角度分布图“★★”
波函数的角向部分Y l,m（θ，ϕ，又称原子轨道的角向部分，若以原子核为坐标原点，引出方向为（θ，ϕ）的直线，连结所有这些线段的端点，在空间可形成一个曲面。
这样的图形称为Y的球坐标图，并称它为原子轨道角度分布图。
作图前，必需首先要知道原子轨道角向部分Y l,m（θ，ϕ）的计算式。
它由解薛定谔方程求得，也可从有关手册中查得。
表５－３列出氢原子若干径向部分和角向部分，供参考。
例如氢原子
[例5－1] 画出氢原子1s原子轨道角度分布图Y。
解：由解薛定谔方程可知
从上式可知，Y1s只是一个常数，与θ，角度无关。
画出的氢原子1s原子
轨道角度分布图是一个球曲面。
半径为（1/4π）1/2。
由于原子轨道的角向部分Y l,m（θ，ϕ）只与量子数l，m有关，而与主量子数n无关。
因此，1s，2s，3s原子轨道的角度分布图都是相同的球曲面。
p，d，f系列原子轨道同样如此。
故在原子轨道角度分布图中，常不标明轨道符号前的主量子数。
[例5－2] 画出2p z原子轨道角度分布图。
解：由解薛定谔方程可知
Y2p z = (3/4π)1/2cosθ（与无关）
或Ypz = K·cosθ
式中K为常数，对于Y2p z，K值为（3/4π）1/2，对于其它p轨道K值可能不同，但它不会影响图形的形状。
一些随θ角度而变化的Yp z和Y2p z值见表５－４。
利用表中列出的数据，可以在xz平面内画出如图５－１１所示的曲线。
将曲线绕Z轴旋转一周（360°），可以得到“哑铃型”的立体曲面。
由于
Yp 值在Z 轴方向（θ=0°）出现了极大值，所以该曲面图我们称为p 原子轨道角度分布图，记为Yp z
，通常以其剖面图表示。
用以上类似的方法，我们可以画出s ，p ，d 各种轨道的角度分布剖面图，如图５－１２所示。
２.电子云角度分布图“★★”
如果我们将简化的薛定谔方程两边平方，则得到
ψ2n,l,m （r ，θ，ϕ）= R 2n,l （r ）·Y 2
l,m （θ，ϕ） 电子云 径向部分 角向部分
上式中，ψ2
n,l,m （r ，θ，ϕ）的图像即为电子云的图象，它由二部分组成。
一是电子云的径向部分R 2
n,l （r ），即几率密度随离核半径的变化，它与θ，ϕ角度无关；二是电子云的角向部分Y 2
l,m （θ，ϕ ），即几率密度只随角度θ，ϕ变化，它与主量子数n ，离核半径r 无关。
电子云角度分布图的画法过程与原子轨道角度分布图一样，只需先将该原子轨道的角向分布·Y l,m （θ，ϕ）的计算式两边平方。
例 p z 原子轨道的角向部分是 Yp z = K ·cos θ
p z 电子云的角向部分是 Y 2p z = K 2·cos 2
θ
若将Y 2p z
值（表５-３）随θ角度变化作图，得到的图形称为电子云的角度分布图，记为 Y 2
p 。
用相同的方法，可以画出s 、p 、d 各种电子云的角度分布图，如图５－１３所示:
它表示随θ和ϕ角度变化时，半径相同的各点，几率密度大小相同。
原子轨道角度分布图与电子云角度分布图的区别见表５－５。
应要注意，把原子轨道角度分布图和电子云角度分布图当作原子轨道和电子云的实际图象是错误的，因为它们只考虑了波函数ψ（原子轨道）和ψ2
（电子云）的角向部分，而没有考虑相应的径向部分，下面我们就来讨论有关的径向部分。
我们已知道，原子轨道和电子云的径向部分分别为R n,l （r ）和R 2
n,l （r ），反映R （几率）和R 2
（几率密度）在任意角度（与θ，ϕ角度无关）随离核距离半径r 变化的情形。
1.原子轨道（ψ）径向部分
若以R （r ）对r 作图。
就能得到电子出现的几率随r 的变化图，我们称为原子轨道径向分布图。
如图５-１４所示。
R （r ）随r 变化时，因主量子数n 不同，可以是负值。
如2s 轨道的R （r ）随r 增大时，正值逐渐变小，经过R （r ）为零的节点（节面，电子出现的几率为0）后变为负值，后又逐渐增大。
原子轨道径向分布图在教学中不常使用。
2．电子云的径向部分
电子云的径向部分可有多种图示表示，比较重要的是几率密度径向分布图和壳层几率径向分布图。
（1） 几率密度径向分布图
若以R 2
（r ）对r 作图，就能得到电子的几率密度随半径r 的变化图，我们称为几率密度径向分布图。
图５-１５列出了常用的几种氢原子电子云的R 2
（r ）图，它表示任何角度方向上的几率密度随半径r 的变化，若再考虑电子云的的角向部分Y 2
l,m (θ，ϕ)，两者结合起来，即为电子云的空间形状。
（2）壳层几率径向分布图“★★”
前已叙述，壳层几率是指离核半径为r ，厚度为dr 的薄层球壳中电子出现的几率，用符号r 2R 2
表示，理论上可以导出，现以最简单的球形对称的n s 电子云为例。
设想把n s 电子云通过中心分割成具有不同半径r 的薄层球壳（同心圆），如果我们考虑一个离核距离为r ，厚度为dr 的薄层球壳，如图５-１６所示。
［壳层几率的求法］
若以r 2R 2
（r ）对r 作图，就可以得到氢原子s 、p 、d 各电子云电子的壳层几率随r 的变化图，我们称为壳层几率径向分布图。
如图所示。
从图５-１７中使我们可以看到：
氢原子1s电子在离核半径为52.9pm处薄层球壳内出现的几率最大。
氢原子s、p、d电子的壳层几率径向分布图中，峰数不同。
核外电子的分布可看作是分层的。
“钻穿”现象。
电子云的角度分布图和电子云的几率密度径向分布图，是从两个不同侧面来反映电子云的状态，它们均不代表电子云的空间形状。
我们已知道
ψ2n,l,m (r ，θ，ϕ) = R 2n,l, (r ) ·Y 2
l,m (θ，ϕ)
ψ2
n,l,m (r ，θ，ϕ)在空间分布的图象即为电子云的空间形状。
它必需由电子云的几率密
度径向部分R 2n,l, (r )和角度部分Y 2
l,m (θ，ϕ)两部分结合在一起来描述。
以下，我们列出了氢原子的几种常用的电子云的空间形状示意图。