多元函数微积分
多元微积分的理解
多元微积分的理解多元微积分是微积分的一个分支，它研究的是多变量的函数及其相关概念。
在多元微积分中，我们考虑的不再是一维空间中的函数，而是多维空间中的函数。
这种扩展使得我们能够更好地理解和分析现实世界中的复杂问题。
多元微积分的核心是对多元函数的求导和积分。
与一元微积分不同的是，多元函数的导数不再是一个数，而是一个向量。
这是因为多元函数的输入是一个向量，而输出也是一个向量。
我们可以将多元函数看作是一个从多维空间到多维空间的映射，它描述了不同变量之间的关系。
在多元微积分中，我们可以通过偏导数来计算多元函数在每个变量上的变化率。
偏导数可以理解为在某一个变量上求导时，将其他变量视为常数进行求导。
通过偏导数，我们可以刻画函数在不同变量上的敏感程度，从而了解函数在各个方向上的变化情况。
除了偏导数，多元微积分还引入了梯度的概念。
梯度是一个向量，它指向函数在某一点上变化最快的方向。
通过梯度，我们可以找到函数的极大值和极小值，并且可以确定函数在给定点的最大增加率。
在多元微积分中，积分也有了新的定义。
与一元微积分中的定积分不同，多元函数的积分是对函数在某个区域上的求和。
这可以理解为将区域划分成许多小的部分，然后对每个小部分进行求和。
通过积分，我们可以计算函数在给定区域上的总量，例如计算物体的质量、电荷等。
多元微积分的应用非常广泛。
它在物理学、工程学、经济学等领域都有着重要的应用。
例如，在物理学中，我们可以通过多元微积分来描述物体在空间中的运动；在工程学中，我们可以利用多元微积分来优化设计，提高效率；在经济学中，我们可以使用多元微积分来分析市场供需关系，预测价格变动等。
多元微积分是微积分的一个重要分支，它研究的是多变量函数及其相关概念。
通过对多元函数的求导和积分，我们可以更好地理解和分析现实世界中的复杂问题。
多元微积分在各个领域都有着广泛的应用，对于深入理解和解决实际问题具有重要意义。
通过学习多元微积分，我们可以拓宽自己的思维，提高问题解决的能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
多元微积分-多元函数的极值
( x0, y0 ) 处 有 极 值 ， 则 它 在 该 点 的 偏 导 数 必 然 为 零 ：
fx(x0,y0) 0 ， fy(x0,y 0) 0 .
（称驻点）
注意：极值点
驻点
例如, 点(0,0)是函数z xy的驻点，但不是极值点.
定理2 （充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续，
小值.
使函数取得极值的点称为极值点. 极大值、极小值统称为极值.
例1 函数 z 3x2 4 y2
在 (0,0) 处有极小值．
(1)
例2 函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例3 函数 z xy
(3)
在 (0,0) 处无极值．
观察二元函数 z
xy ex2 y2
的图形
回忆一元函数的极值及其求法
100 5x2 48x 10 y2 24 y ，
令
Lx 10x 48 0 Ly 20y 24 0
解得惟一驻点
x 4.8, y 1.2，
A f xx 10 , B f xy 0 , C f yy 20 ,
B2 AC 0 , A 0 , 惟一驻点为极大值点，
即为最大值点，
解 fx (x, y) 3x2 3y fy (x, y) 3y2 3x
fxx (x, y) 6x fxy (x, y) 3 f yy (x, y) 6 y
解方程组
f f
x y
(x, (x,
y) y)
3x2 3y2
3y 3x
0 0
在 0, 0点处
得驻点 0, 0，1,1
A fxx (0, 0) 0 B fxy (0, 0) 3 C f yy (0, 0) 0
2805多元函数微积分在工程中的应用解读
令 V V 0, x y 得
2 2 2 2 y 12 2 xy x x 12 2 xy y 0, 即 2 2 2 x y 2 x y
x 0, y 0 (舍去)
12 2 xy x 2 0, 12 2 xy y 2 0, x y .
即当 x ， y 较小时，有函数值增量的近似公式
z f x x, y y f x, y dz
即
z z z dx dy x y
二、全微分的应用
例2 圆柱体的体积是通过测量 r 和 h 的值由 V r 2h 计算。假定测 量 r 的误差不大于2%，测量 h 的误差不大于0.5%。试估计这种测量计 算的 V 的可能百分数误差 。
解 该城市是半径为 r=5 km的圆形区域(如图所示)，即
则该城市人口数为
0r 5 D 0 2
x2 y 2
P 10e
D
dxdy 2 d 510e r rdr
2
0
0
10π e25 1 31.4159 (万人)
1 5 r2 2 r2 2 10e d r 10π e 2 0
故
x 2,
12 2 2 y 2, z 1 2 2 2
此时，体积最大为
V xyz 4 m3
二、全微分的应用
全微分的基本知识
与一元函数微分的近似公式相类似，当 x ，y 较小时，可以用全
z z 微分 dz dx dy 近似表示全增量 z f x x, y y f x, y ， x应用
多元函数微积分简介
在经济领域和工程技术中，许多实际问题都会涉 及多个变量之间的依赖关系，即多元函数。多元函数 微积分学是一元函数微积分学的推广和发展，学习的 基本思想和方法是把多元函数的问题转化为一元函数 的问题，用一元函数的知识和方法加以解决。
第六章 多元函数微积分
30
用坐标表示的向量的运算
→
设向量 a = ax , ay , az , b = bx , by , bz 则 a± b = ax ± bx , ay ± by , az ± bz
→ →Biblioteka {}→{
}
{
}
λ a = {λax , λay , λaz }
→
31
示
→ →
例
→ → → →
设向量a = {3,−5,6}, b = {2,−1,4} ，计算 a+ 2 b, 3 a− 4 b
例
14
简单的二次曲面
如果空间曲面Σ上的任一点的坐标（ x、y、z ）都满足方程
F(x、y、z) = 0 ，而满足 F(x、y、z) = 0 的（ x、y、z ）值均在
曲面Σ上，则称 F(x、y、z) = 0 为曲面Σ的方程．
若方程是二次的，所表示的曲面为二次曲面 二次曲面
15
简单的二次曲面
球面
空间中与一定点的距离为定长的点的轨迹称为球面， 定点称为球心，定长称为半径．
三角形法则
27
向量的几何运算
减法运算
由于a − b = a + (−b) ，将向 a 和 b 的起点移到同一点Ｏ，则以 b 的终点 为起点，以 a 的终点为终点的向量是a − b
三角形法则
28
向量的几何运算
数乘向量
设a 是一个非零向量，λ 是一个非零实数，则a 与λ 的乘积仍是向量， 称为数乘向量，记作λa
B( x2 , y2 , z2 ) ，
AB = {x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1}
| AB |= (x2 − x1)2 + ( y2 − y1 )2 + (z2 − z1)2
多元函数微积分学
3、 f ( x, y) f ( x, y) y x
x
y
4、 f ( x, y) 1, f ( x, y) 2 y.
x
y
二、隐函数的求导法则（重点）
(1) F( x, y) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F( x0 , y0 ) 0， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的
y
x y
3. 设 f ( x y, x y) x2 y2 , 求 f ( x, y) f ( x, y) .
x
y
4．设 f ( xy, x y) x2 y2 xy, 求 f ( x, y) , f ( x, y)
x
y
练习四答案
1、 dz esin xcos x (cos2 x sin2 x); dx
z 2ex2y y 2z 2ex2y x y
2z 2 e x2 y y x
2 z y2
4e x2 y
二、全微分概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z
uv tt
定理 2 如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点
( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，且函数z f (u,v)
在对应点(u, v )具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y)的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
自考高等数学(一)第六章 多元函数微积分
第六章多元函数微积分6.1 空间解析几何基础知识一、空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系。
即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。
空间直角坐标系共有八个卦限空间的点有序数组（x,y,z）特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A，B，C；0（0，0，0）空间两点间距离公式：特殊地：若两点分别为M（x,y,z），0（0，0，0）。
二、空间中常见图形的方程1、球面已知球心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有，称为球面方程。
特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是。
2、平面到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。
例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。
【答疑编号11060101】解：设M（x,y,z）是所求平面上任一点，根据题意有|MA|=|MB|，化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。
x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。
3、柱面定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
柱面举例4、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。
（1）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：（2）x2+y2=2pz的图形是一个旋转抛物面。
6.2 多元函数的基本概念一、准备知识1、邻域设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于δ的点P（x,y）的全体，称为点p0的δ邻域，记为U（P0, δ）,。
2、区域平面上的点集称为开集，如果对任意一点，都有的一个邻域。
设D是开集。
如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。
连通的开集称为区域或开区域。
开区域连同它的边界一起称为闭区域。
3、n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组的全体为n维空间，而每个n元数组称为n维空间中的一个点，数x i称为该点的第i个坐标说明：n维空间的记号为R n；n维空间中两点间距离公式：设两点为特殊地当n=1，2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。
多元微积分
多元微积分多元微积分是数学的一个分支，旨在研究多元空间内的微积分。
在多元微积分中，我们将会学习多元函数的概念及其性质、偏导数和导数矩阵的定义、多元微分学中的极值问题及拉格朗日乘数法、多元积分学及其应用等。
首先，我们来了解一下多元函数的概念。
在单变量微积分中，我们研究的是只有一个自变量的函数，而在多元微积分中，函数可能有多个自变量。
例如，$z=f(x,y)$ 就是一个双变量函数，$f(x,y,z)$ 就是一个三元函数。
在多元函数中，我们可以用等高线图来表示函数在平面上的变化情况。
等高线上的任意一点表示函数在该点的取值相同，等高线间的高度差就代表着函数值的变化。
接下来，我们可以学习偏导数和导数矩阵的概念。
在单变量函数中，导数表示函数在某个点上的瞬时变化率。
在多元函数中，每个自变量都可以影响函数的取值，所以我们需要从每个自变量方向上来研究函数的变化，而这就是偏导数的概念。
偏导数描述了函数在某个点沿某一方向的变化速率。
导数矩阵是由多个偏导数组成的矩阵，表示函数在所有方向上的变化情况。
导数矩阵在多元函数的极值问题中起着重要的作用。
接下来，我们将学习多元微分学中的极值问题以及拉格朗日乘数法。
在单变量函数中，我们用导数来判断函数的极值，而在多元函数中，我们将使用导数矩阵和二次型矩阵来判断函数的极值。
二次型矩阵描述了函数取得极值的形状。
如果二次型矩阵为正定或负定，那么函数的极值就是极小值或极大值；如果二次型矩阵是一个不定矩阵，那么我们无法得出该函数的极值。
当我们需要研究函数的极值时，常常需要引入拉格朗日乘数法。
拉格朗日乘数法通过引入一个限制条件来确定函数的极值，这个限制条件可以是在某个区域内的限制性条件，例如体积、表面积等。
最后，我们将学习多元积分学和它的应用。
多元积分学是研究多元空间内面积、体积、质心等问题的数学学科。
在多元积分学中，我们将学习三种类型的积分：二重积分、三重积分和曲线积分。
二重积分用于计算一个平面区域内的面积；三重积分用于计算三维空间内的体积；曲线积分则用于计算空间内曲线的长度、质心等。
多元微积分
图 7-2
这里D为图中的阴影部分区域，如图7-3所示.
图 7-3
7.1 多元函数的基本概念
【例7-4】已知函数f（x,y）=(x+y)/(2xy),求：
（1） f（1,2）;（2） f（xy,x+y）.
解 （1） （1） f（1,2）=(1+2)/(2×1×2)=3/4. （2）分别以xy和x+y取代原来的x,y，得
点P0（x0,y0）时，对应的函数值z=f（x,y）趋近于一个确定的常数A，则称此常数A为函数f
（x,y）当（x,y）→（ x0,y0 ）时的极限，记为
注意: （1）这里点P（x,y）趋向于P0（x0,y0）是指点P与P0之间的距离趋向于零，即 |PP0|=√［（x-x0）2+（y-y0）2］→0 （2） P（x,y）以任何方式趋向于P0（x0,y0）是指在二维平面上P趋向于P0的方式有无穷多种， 而一元函数只能从点x0的左、右两个方向趋向于x0.二元函数的极限也称为二重极限，与一元函 数的极限类似，二重极限也有相应的四则运算法则，这里不再赘述.
类似地，可定义更高阶的偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数，既 有关于x又有关于y的高阶偏导数称为混合偏导数，如 .
域，并且包括其边界，因此是有界闭区域.
D2={（x，y）|x>0,y>0}，表示了二维平面上第一象限内所有点的集合,不包含x轴和y轴， 因此是无界的开区域.
D3={（x，y）|（x-x0）2+（y-y0）2<δ 2,δ >0}，表示了二维平面上以P0（x0，y0）为圆心，
以δ 为半径的圆形区域，且不包括边界，称为平面上点P0（x0,y0）的δ 邻域，记为U（P0， δ ）.即U（P0，δ ）={P||PP0|＜δ }
第七章多元函数微积分
2.平面的一般式方程
可以证明，平面方程均可用三元一次方程
Ax By Cz D 0
（1）
来表示
反过来,三元一次方程AxByCzD0的图形一定
是平面 我们将方程(1)为平面的一般式方程.
对于一些特殊的三元一次方程，应熟悉它们图形 的特点：
1）当 D 0 时，方程表示通过原点的平面； 2）当 A, B,C 中之一为零 时，如A 0 ， 方程变为 By Cz D 0 ，平面平行于x 轴，此时若 D 0 ，则By Cz 0 表示通过 x 轴的平面； 3）如果 A, B,C 中有两个为零，如 A B 0 ，方程变 为 Cz D 0 ，它表示平行于xOy 面的平面，特别地，若 D 0 ，方程 z 0 表示 xOy 平面.
一、空间直角坐标系 二、空间两点间的距离 三、空间曲面及其方程 四、二次曲面
❖ 基本要求
了解空间直角坐标系，空间点的坐标； 掌握空间两点间的距离公式 了解空间曲面（平面）方程的概念，由平面
及常见曲面方程作出其图形
❖ 重点
由平面及常见曲面方程作出其图形
一、空间直角坐标系
坐标原点：空间一个定点 O； 三个坐标轴：三条相互垂直的数轴，都以 O 为原点且一般具有相同的单位长度 x轴（横轴），方向为由里向外； y轴（纵轴），方向为由左向右； z轴（竖轴），方向为由下向上。 它们的方向通常符合右手法则,即伸出右手, 让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴,然后 沿握拳方向旋转 90 指向y轴,此时大拇指的方向 即为z轴方向.如图所示
M , N, R点在数轴上的坐标.
z
R
这样空间内任一点 P就 确定了惟一的一组有序的数组
x, y, z,用 (x, y, z)表示.
第6章 多元函数微积分
168 第6章 多元函数微积分一 典型例题解析例 1 已知()dx x y axy cos 23-+()dy y x x by 223sin 1++为某一函数()y x f ,的全微分，求a 、b 之值。
分析 由全微分定义可知，xf ∂∂=x y axy cos 23-，yf ∂∂=223sin 1y x x by ++，要求出a 、b 之值，需建立某些相等关系，联想到00()()(,),x y y x f x,y f x,y x y 若和都在点连续则两个二阶混合偏导数相等。
解 由题设有()y x df ,=dy yf dx xf ∂∂+∂∂=()dx x y axy cos 23-+()dy y x x by 223sin 1++即(),x f x y '=x y axy cos 23-，(),y f x y '=223sin 1y x x by ++ (),xy f x y ''=x y axy cos 232-，(),yx f x y ''=26cos xy x by + 易见(),xy f x y ''(),yx f x y ''、均为连续函数，故(),xy f x y ''=(),yx f x y '' 故⎩⎨⎧-==263b a ，即⎩⎨⎧-==22b a 。
例2 设(,,),(,),(,)u f x y z y x t t x z ϕψ===，各函数满足求导条件，求u x∂∂，u z∂∂。
解法1 u f f y fz x x yx z x ∂∂∂∂∂∂=+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂f f y x y x ∂∂∂=+⋅∂∂∂ ，y x x t xϕϕψ∂∂∂∂=+⋅∂∂∂∂ ，u f f f xxy x y t xϕϕψ∂∂∂∂∂∂∂=+⋅+⋅⋅∂∂∂∂∂∂∂，u fxfyf zx zy zz∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+∂∂∂∂∂∂fyf y zz∂∂∂=⋅+∂∂∂ ，y x zx z t z t zϕϕψϕψ∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅∂∂∂∂∂∂∂ u ffzy t z z ϕψ∂∂∂∂∂=⋅⋅+∂∂∂∂∂ 解法2 用全微分来解 f f f du dx dy dz x y z ∂∂∂=++∂∂∂[]f f f dx dx dt dz x y x t zϕϕ∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂169[()]f f f dx dx dx dz dz x y x t x z zϕϕψψ∂∂∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂∂ ()ff f dx xy xy t xϕϕψ∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂()f f dz y t zzϕψ∂∂∂∂++∂∂∂∂u f f f xx y xy t xϕϕψ∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂，u f fzy t z zϕψ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ 例3 设(,)z f x y z x y z =++，求,,z x x xzy∂∂∂∂∂∂。
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第七章 多元函数微积分 一、填空题 1．函数byaxzarcsinarcsin的定义域为（a＞0，b＞0）____________________。
2．设xyz1，则xz________________________________。 3．设xyz2，则xz________________________________。 4．设3xxyz，则yzxz____________________________。 5．若2),(yxyyxyxf，则),(yxf____________________。 6．xxyyxsinlim20________________________。 7．若)(yxfyxz且当0y时2xz，则)(xf________，z________。 8．yykxyx)1(lim___________________。 9．设二元函数)ln(2yxz，则01yxdz________________________。 10．设)arcsin(yxz，则yz___________________。 11．设22),(yxyxyxf，则)4,3(xf____________________。 12．由方程xyyxarctan2)ln(22确定的隐函数)(xfy的导数dxdy________。 13．函数22)(4),(yxyxyxf的极大值点为___________，极大值为_______。 14．已知)(2xyfz，其中f为任意可微函数，则xz______________。 15．已知223),,(zyxzyxf，其中),(yxzz由方程03333xyzzyx所确定的隐函数，则)1,0,1(xf____________________。
16．曲线32tztytx 在点（1，1，1）处的切线方程为_____________________，法平面方程为_____________________________________。 17．设0)(zyxezyx，0zyx，则22xz________________。
18．设)ln(yxxz，则xyz2_______________________。 19．曲面422yxz与平面4y的交线在2x处的切线与x轴正向所成角为____________。 20．平面zyx32是曲面2232yxz在点（21，21，21）处的切平面，则等于_______________________。
二、单选题 21．设函数)ln(),(22yxxyxf，则),(yxyxf（ ）
A．)ln(2yx B．)ln(yx C．)ln(ln21yx D．)ln(2yx
22．yxxyxx2)11(lim（ ） A．e—1 B．e C．1 D．0
23．设0;00;),(222222yxyxyxxyyxf 在点（0，0）处（ ） A．连续，偏导数存在 B．连续，偏导数不存在 C．不连续，偏导数存在 D．不连续，偏导数不存在
24．函数),(yxfz在点),(00yx处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ ） A．必要而非充分条件 B．充分而非必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
25．空间曲线06222zyxzyx 在点M（1，—2，1）处的切线一定平行于（ ） A．xoy面 B．yoz面 C．xoz面 D．平面x+y+z=0 26．设函数xyz3，则xz等于（ ）
A．xyy3 B．3ln3xy C．13xyxy D．3ln3xyy 27．函数)ln(1yxz的定义域是（ ） A．x+y＞0 B．ln（x+y）≠0 C．x+y＞1 D．x+y≠1 28．设xyz，则zx（ ） A．1xxy B．yyxln C．111xyx D．yyxln1 29．设22),(yxxyyxf，则),(yxf（ ） A．222)1(1yxy )1(y B．22)1(1yyx )1(y
C．222)1(1yyx )1(y D．22)1(1yxy )1(y 30．设)]21(ln[),(yxyxf，则11yxyf（ ） A．32 B．32 C．23 D．23 31．设)(sin2byaxz，则yxz2（ ） A．)(2cos22byaxa B．)(2cos2byaxab C．)(2cos22byaxb D．)(2sin2byaxab 32．设yxyxz，则dz（ ）
A．)()(22ydyxdxyx B．)()(22ydxxdyyx C．)()(22ydyxdxyx D．)()(22ydxxdyyx 33．设(,)2ln3ln10Fxyxyxy，则'y（ ） A．)3()2(xyxxyy B．)3()2(xyyxyx C．)2()3(xyyxyx
D．)2()3(xyxxyy 34．设21)(yxz，yxz2，23)(yxz，则（ ） A．z1与z2是相同函数 B．z1与z3是相同函数 C．z2与z3是相同函数 D．其中任意两个都不是相同函数
35．若),(yxf在D：122yx上连续，则),(yxf在D上（ ） A．必有界 B．必无界 C．最大值最小值至少有一个存在 D．可能既有最大值也有最小值
36．函数),(yxf在点),(00yx偏导数存在是),(yxf在该点连续的（ ） A．充分但不是必要条件 B．必要但不是充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也非必要条件
37．二元函数),(yxfz在),(00yx处满足关系（ ） A．可微偏导数存在→连续 B．可微→偏导数存在→连续 C．可微→偏导数存在，或可微→连续，但偏导数存在不一定连续 D．偏导数存在连续，但偏导数存在不一定可微
38．设),(yxfz，则),(00yxxz=（ ）
A．xyxfyyxxfx),(),(lim00000 B．xyxfyxxfx),(),(lim00000 C．xyxfyxxfx),(),(lim0000 D．xyxxfx),(lim000 39．),(yxfz在),(00yx取得极大值，那么在),(00yx点有（ ） A．0yxff B．2xyyyxxfff＞0，且xxf＜0 C．),(0yxff（x0，y）在y0取得极大值 D．前面结论可能都不对 40．若曲面0),,(zyxF在点),,(000zyx的切平面经过坐标原点，那么在),,(000zyx点（ ） A．0000zyxFzFyFx B．000zFyFxFzyx C．1000zFyFxFzyx D．)0,0,0(),,(000zyx 41．空间曲线tczttbytax22coscossinsin 在4t处的法平面（ ） A．平行于z轴 B．平行于y轴 C．平行于xoy面 D．垂直于yoz面
42．记Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00。那么当),(yxf在驻点处满足（ ）时，),(yxf在该点取得极大值。 A．B2—AC＞0，A＞0 B．B2—AC＞0，A＜0 C．B2—AC＜0，A＞0 D．B2—AC＜0，A＜0
43．函数zyxUsinsinsin满足2zyx（x＞0，y＞0，z＞0）的条件极值是（ ） A．1 B．0 C．1/6 D．1/8 44．已知矩形周长为2P，将 它绕其一边旋转而形成一个旋转体，当此旋转体的体积为最大时，矩形两边的长分别为（ ）
A．3P，32P B．2P，2P C．4P，43P D．52P，53P
45．设),,(zyxM是平面1zyx上的点，且该点到两定点)1,0,1(、)1,0,2(的距离平方之和为最小，则此点坐标为（ ） A．)21,21,1( B．)21,21,1( C．)21,21,1( D．)21,21,1(
三、计算与解答题 46．求下列函数定义域D，并在坐标平面内作出区域D的图形。
（1）xyuln （2）yxz11 （3）yxz
（4）2222221ryxyxRz （R＞r） （5）)(lnyxxz （6）)ln(4222xyyxxz 47．求二元函数极限： （1）yxyexyx1coslim)0,0(),( （2）xyxyyx11lim)0,0(),( （3）xyyxyx1sin)(lim22)0,0(),( （4）22)0,0(),(limyxxyyx （5）22122)0,0(),()1(limyxyxyx （6）2)(lim22xyxyxxy （7）2)(lim22xayxyxxy （8）)sin(tanlim00xyyyx 48．设二元函数)tan(2xyz，求xz，yz 49．设2222yxyxz，求11yxxz，11yxyz 50．设yxuarctan，求xu，yu，du 51．设yxxyz32，求yxz2 52．设yxz，求322yxyxz 53．设yxezxsin，求yxz2，xyz2 54．设xyyxxyzln，求yzyxzx 55．设22lnyxz，求2222yzxz 56．设函数),(yxfz由方程0lnyzzx所确定，求yzyxzz 57．设)3(22)2(yxyxz，求xz，yz（提示：引入中间变量令z=uv） 58．设)3(2222)3(yxyxz，求xz，yz