中 考 专 题 复 习-一个基本图形的运用
一个基本图形的应用
数量关系？
练习1.如图梯形ABCD中，AB//CD， AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm，以BC上 一点O为圆心的圆经过A、D两点，且 ∠AOD=90° 则圆心O到弦AD的距离是 多少？
M
练习2.如图四边形ABCD，EFGH ，NHMC 都是正方形 ，A、B、N、E、F五点在同 一直线上，若四边形ABCE,EFGH的边长分 别为3，4，求四边形NHMC的边长。
练习3.如图在平面直角坐标系中，矩形OABC的边 OA在轴正半轴上，OC在x轴正半轴上，OA=2 OC=3 过原点作∠AOC的平分线，交AB于点D，连 结DC过点D作DE⊥DC交OA于点E （1）DE与DC相等吗？ （2）∠EDC绕D顺时针 方向旋转后，角的一边 与y轴交于点F，另一边 与x轴交于点G，这时 DF与DG还相等吗，若 相等求当FE=2时的G点 坐标。
N
M
问题3：如图，已知梯形ABCD中， AD//BC,∠A=90°,E是AB上一点，且 ∠DEC=90°.
△ADE与△BEC还全等 吗？
练习：正方形ABCD的边长为1cm，点P是BC 上不与点B、C重合的任意一点，连结AP， 过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为xcm， CQ的长为ycm。 ①求点P在BC上运动的过程中，求y的最大 值
一个基本图形的应用
太原市第三十六中学
成炎森
问题1：如图，已知梯形ABCD中， AD//BC,∠A=90°, E是AB上一点，且 AE=BC,∠1=∠2, （1）请问图中还有哪些相 等的线段或角？ （2）根据以上等量关系，你 可以得到什么结论？
问题2：如图，已知梯形ABCD中， AD//BC,∠A=90°, E是AB上一点，且 若△DEC是等腰直角三角形， 则AD,BC,AB之间有什么
运用“基本图形”提高几何解题能力的策略探究
运用“基本图形”提高几何解题能力的策略探究几何解题是中学数学中的一个重要内容，而基本图形是几何解题中经常出现的一个重要概念。
运用基本图形可以帮助我们更好地理解问题，找到解题的思路和方法。
本文将探讨如何运用“基本图形”提高几何解题能力的策略。
一、基本图形的概念基本图形是指空间中的点、线、面等最基本、最简单的几何对象。
在几何中，常见的基本图形包括：点、直线、射线、线段、角、圆。
1. 点：点是最简单的图形，用一个字母表示，例如A、B等。
点没有长度、角度和面积，只有位置。
2. 直线：直线是由无数个点连在一起而成的，直线上的点可以无限延伸。
3. 射线：射线是起点固定的、只有一边延伸的直线。
5. 角：角是由两个射线和一个公共起点组成的，且不在一条直线上的两个射线之间的部分。
6. 圆：圆是以一个点为圆心，以一个长度为半径画出的曲线。
圆的所有点到圆心的距离都相等。
三、运用基本图形的策略1. 画图法：在解决几何问题时，可以根据题目中给出的条件和关键信息，画出对应的基本图形。
通过画图，可以更好地理解问题、找到问题的关键点，并帮助我们思考问题的解决办法。
2. 几何关系法：几何关系是指点、线、面之间的位置和相互关系。
通过观察几何图形之间的位置和相互关系，可以发现一些几何定理和性质，从而解决几何问题。
3. 利用对称性：在解决几何问题时，可以利用几何图形的对称性质。
通过观察和利用对称性，可以找到几何图形的一些特殊性质，从而简化解题的过程。
5. 利用三角形的性质：三角形是几何中最重要的基本图形之一。
在解决几何问题时，可以利用三角形的性质，如三角形内角和为180度、三角形的外角等，来解决问题。
通过运用上述策略，我们可以更好地理解几何问题的本质，找到解题的思路和方法，提高几何解题能力。
应该充分利用基本图形的概念和性质，培养自己的几何思维和几何想象能力，从而在解决几何问题时能够游刃有余。
中考数学复习指导：利用基本图形将抽象问题形象化
利用基本图形将抽象问题形象化图形是数学体系中重要的组成部分，运用它不仅能发现一些列深奥的结论，也能解决很多代数中的问题．图形的运用可以将抽象的问题形象化，体现了“数”与“形”的紧密联系．本文通过基本图形的运用，让图“说话”，从中体会蕴含的智慧．一、用图推导公式在学习的过程中图形时常出现，帮助我们解决了很多问题，例如，通过对同一面积的不同表达和比较，根据图①和图②拼图发现并验证了平方差公式和完全平方公式，也可以根据图形推导出勾股定理等众多重要结论．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．二、用图进行速算速算不仅可以节省学生做题的时间，也可以让学习数学者对数学充满兴趣，图形在速算中也有它重要的作用．提出问题47×43，56×54，79×71，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：(1)画长为47，宽为43的矩形，如图3．将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．(2)分析原矩形面积可以有两种不同的表达方式：47×43的矩形面积或(40＋7＋3)×40的矩形与右上角3x7的矩形面积之和，即47×43＝(40＋10)×40＋3×7＝5×4×100＋3×7＝2021．用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．代数解释事实上这两个数有一定的要求，两个数的十位数字相同，个位数字相加为10，才有这样的规律．不妨设十位数字为n，其中一个数的个位数为m，则另一个数的个位数为（10－m）．证明如下：(10n＋m)（10n，＋10－m）＝100n2＋100n＋m(10－m)＝100 n（n＋1）＋m（10－m）．由此可知，用图得到的结论是正确的．归纳提炼两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果．三、用图求解方程一元二次方程是初中数与代数中重要的一部分内容，书本上在解方程的时候有4种常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，事实上，用图也能求解一元二次方程．提出问题怎样用图解一元二次方程x2＋2x－35＝0（x>0）?几何建模(1)变形得x（x＋2）＝35；(2)画四个长为x＋2，宽为x的矩形，构造图4；(3)分析图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式：(x＋x＋2)2，或四个长(x＋2)宽x的矩形之和，加上中间边长为2的小正方形面积，即∴x＝5．该题的方法在北师大版九年级（上）中有所呈现，课本上介绍了一元二次方程的几何解法，这是三国时期数学家赵爽的解法．该解法从“形”上体现了配方法的本质．代数解释由此可知，用图得到的结论是正确的．归纳提炼求关于x的一元二次方程x（x＋b）＝c（x>0，b>0，c>0）的解．画四个长为x＋b，宽为x的矩形，构造图5．则图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式：(x＋x＋b)2，或四个长为x＋b，宽为x的矩形面积之和，加上中间边长为b的小正方形面积，即深入探究形如ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0，且b2－4ac≥0)的一元二次方程，用赵爽法解这类方程的步骤是什么？四、用图比较大小在学习代数式的时候，我们常比较两个代数式的大小，常用的方法是作差法，用两个代数式的差与0比较大小，便可以求得两个代数式的大小．但是很少有人知道用图也能解决部分代数式比大小的问题．提出问题怎样运用矩形面积表示(y＋2)(y＋3)与2y＋5的大小关系（其中y>0）?几何建模(1)画长(y＋3)，宽(y＋2)的矩形，按图6方式分割；(2)变形2y＋5＝(y＋2)＋(y＋3)；(3)分析图6中大矩形的面积可以表示为(y＋2)(y＋3)；阴影部分面积可以表示为(y＋3)，画点部分的面积可表示为(y＋2)．由图形的部分与整体的关系，可知(y＋2)(y＋3)>(y＋2)＋(y＋3)，即(y＋2)(y＋3)>2y＋5．代数解释想要比较两个代数式的大小，常用的方法是作差法．(y＋2)(y＋3)－(2y＋5)由此可知，用图得到的结论是正确的．归纳提炼当a>2，b>2时，比较ab与a＋b的大小关系？解析根据题意，设a＝2＋m，b＝2＋n(m>0，n>0)．(1)画长为2＋m，宽为2＋n的矩形，并按图7方式分割；(2)变形a＋b＝(2＋m)＋(2＋n)；(3)分析图中大矩形面积可表示为(2＋m)（2＋n）；阴影部分面积可表示为2＋m与2＋n的和．由图形的部分与整体的关系，可知(2＋m)(2＋n)>(2＋m)＋(2＋n)，且ab>a＋b．从上述例子中不难发现，图形在数学中的运用至关重要，不仅能让学生感受到很多问题的不同解法，也极大地发展了学生的数学思维，但是，图形解法也有局限性，它只能解决正数的问题，我们在运用时必须认识到这一点．。
运用一个基本图形解答函数中考题
运用一个基本图形解答函数中考题一、一个全等基本图形：如图1，△ACB 和△BDE 都是直角三角形，C 、D 为直角顶点，两斜边AB 和BE互相垂直且相等，点C 、B 、D 在同一条直线上；则△ACB ≌△BED ．简单证明如下：由三个直角的条件和 “同角（即∠ABC ）的余角相等”的性质得∠A=∠DBE ，又AB=BE ，根据AAS 的全等判定方法，得△ACB ≌△BED ．图形特征：①一线三垂直（即在同一直线上，有三个直角）；②斜边对应相等．平时学习中，只要题目的图形中出现上面的全等图形，符合图形特征，我们便可以运用结论解题．当然，涉及此类问题的图形，往往是隐蔽的、残缺的，只出现基本图形的一部分，我们要善于从中发现基本图形的“影子”，根据题设的图形特征，作出辅助线将图形补全，再运用全等基本图形的结论解题．下面通过构造这个全等基本图形来解决近年一些函数中考题．二、全等基本图形在函数中考题的应用1、在一次函数图象中构造全等基本图形例1、（吉林中考题）如图2，在平面直角坐标系中，直线y = －2x+2与x 轴、y 轴分别相交于点A ，B ，四边形ABCD 是正方形，双曲线y=xk 在第一象限经过点D ． （1）求双曲线表示的函数解析式；（2）将正方形ABCD 沿X 轴向左平移____个单位长度时，点C 的对应点恰好落在（1）中的双曲线上．解析：（1）∵直线y= —2x +2与x 轴，y 轴相交于点A 、B ，∴当x =0时，y=2，即OB=2；当y=0时，x =1，即OA=1．由正方形顶点A 处的直角和坐标系原点上的直角及正方形边长AB = AD ，易想到本文的全等基本图形，构造“一线三垂直”的基本图形．如图3，过点D 作BE ⊥x 轴，垂足为E ，由基本图形的结论可知 △AOB ≌△DEA ，∴DE=AO=1，AE=BO=2，则OE=3，DE=1．即点D 的坐标为（3，1），把D （3，1）代入 y=x k 中，得k=xy=3，所以y=x3． （2）在平移过程中，C 点的纵坐标不变，其运动的路线是过点C 且垂直于y 轴的垂线，设垂足为F ，如图4．这样又出现了本文的全等图形，易证△AOB ≌△BFC ，∴CF =OB=2，BF=OA=1，∴C 点纵坐标为3，代入y=x3得x=1， ∴应该将正方形ABCD 沿X 轴向左平移 2-1=1 个单位长度．故答案为：1．点评：本题以学生非常熟悉的一次函数、反比例函数和正方形为载体，以平移变换为基础，综合考查三角形、正方形、一次函数、反比例函数的性质，是一道函数与几何知识相结合的综合题，融数、形、图形变换于一体，静中有动、动中有静，形式清新、活力非常．分析问题时，要充分运用不变量（如：反比例函数的系数k 为一不变量、正方形的边长不变、正方形平移时点C 的纵坐标不变），较好的考查了函数与几何两方面的核心知识，要求考生运用数形结合、函数与方程、模型化等数学思想灵活解题；解决问题的关键在于从题设的图形中发现全等图形的“踪影”，作出常规辅助线，构造出全等基本图形，并用图形的性质分析问题，解决问题．2、在反比例函数图象中构造全等基本图形例2．(宁波中考题)如图5，正方形的顶点12P P 、都在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点11A B 、分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形2232B A P P ，顶点3P 在反比例函数2(0)y x x =>的图象上，顶点2A 在x 轴的正半轴上，则点3P 的坐标为 ．解析：观察图5，y 轴上已出现两个直角∠111PB A 和∠11B OA ,并且线段1111PB B A =；同样x 轴上也出现两个直角∠112B A P 和∠11B OA ,并且线段2111P A B A =；联系到本文的基本图形，过点1P 作y 轴的垂线，垂足为点C ；过2P 作x 轴的垂线，垂足为点D ．∴△11PCB ≌△11B OA ≌△12A DP ，∴11OB A D =，211D BC P OA ==．∴ OD OC =， ∵点1P 在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，∴设12() ,P a a ，则222(,)P a a a -， 由 22()2a a a ∙-=，解得1a =．∴2(2,1)P ．过点3 P 作2P D 的垂线，垂足为点E ；过点3 P 作x 轴的垂线，垂足为点F ，易证△23P EP ≌△23A FP ，∴33 P E P F =．设3(2,)P b b +，根据点3 P 在反比例函数2(0)y x x=>的图象上得2 (2) b b +=，解得1b =-又∵点3 P 在第一象限，负值舍去，即 1b =-3P 的坐标为11) 点评：这是一道填空压轴题，以正方形的顶点过反比例函数图象求正方形顶点坐标为题材设置背景，图形简洁明快、富有趣味，解答过程却艰难曲折、精彩纷呈．一般考生由条件“顶点在反比例函数的图象上”，尝试作出辅助线，即：过点123P P P 、、作坐标轴的垂线段，这样使得隐藏的全等基本图形显现出来，再运用基本图形的性质得出相关线段相等，并根据反比例函数的k 值不变性得出方程，从而求出相关点的坐标，使问题得以解决．求解过程中，构造全等基本图形是引领思维的关键．总的来说，试题的素材习以为常，但呈现方式新颖独到，不光考查了初中数学的基本知识和基本技能，以及常见的数学思想方法（如数形结合、函数与方程、模型化思想、待定系数法等），也凸显出日常解题经验在考试中发挥的重要作用．3、在二次函数图象中构造全等基本图形例3、（东营中考题）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角形ABC 放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0,2），点C （1,0），如图7所示；抛物线22y ax ax =--经过点B ．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在一点P （点B 除外），使ΔACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所以点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
中考复习助学案--直角三角形一个基本图形的应用
中考复习助学案——直角三角形一个基本图形的应用初三数学备课组 沈其锋一、知识要点直角三角形中的一种基本图形：从这个基本图形中你有相似三角形吗？二、考点解析、例1 孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线2(0)y ax a =<的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于A 、B 两点，请解答以下问题：（1）若测得OA OB ==1），求a 的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作BF x ⊥轴于点F ，测得1OF =，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标．．．；例2 在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB ＝2，AP ＝1．将直角尺的顶点放在P 处，直角尺的两边分别交AB ，BC 于点E ，F ，连接EF（1）当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合，求PC 的长；（2）探究：将直尺从图中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 和点A 重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：tan ∠PEF 的值是否发生变化？请说明理由； （第23题 图②）（第23题 图①）P P三、变式练习 1.如图，正方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，点P 是AB上的动点，PE 的延长线与CD 的延长线交于点Q ，过点E 作E F ⊥PQ 交BC 的延长线于点F ，给出下列结论：①△APE ≌△DQE ②若tan ∠AEP=32，则△PBF 的面积与△APE 的面积之比为14:3 ③点P 在AB 上总存在某个位置，使△PQF 为等边三角形 其中正确的是2．已知二次函数21342y x x =-+的图象如图. （1）求它的对称轴与x 轴交点D 的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B 、C 三点，若∠ACB =90°，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M ，以AB 为直径，D 为圆心作⊙D ，试判断直线CM 与⊙D 的位置关系，并说明理由.C。
对一个基本图形的探究及运用
旋转 ，ＦＡ Ａ 、 Ｇ与边 Ｂ Ｃ的交点分别为 Ｄ Ｅ （ ， 点 Ｄ不 与点 日重合， Ｅ不与点 Ｃ重合 ）设 胞 ： 点 ，
ｍ ， Ｄ＝ｎ Ｃ ．
（） １请在 图中找 出两对相似而不全 等的三
角形 ， 并选取其 中的一对进行证明 ；
（） ｍ与 ｎ的 函数关 系式 ， 接写 出 自 ２求 直
探 究 ３的 证 明 ．
豳 一
ｉ９习 年 ） Ｂ１ （ 级 Ｉ学 九 ｌ ￣ ，
Ｃ
，’
图 ８
如 图 ８ 将 ＡＡＣ ， Ｅ绕点 Ａ顺 时针旋转 ９ 。 ０
至 ＡＡ Ｈ 的位置 ， Ｃ ＝ ，．＝ ＇ Ｂ Ｂ 则 Ｅ ＨＢ Ａ ＡＨ ＬＡ Ｈ＝ Ｅ ＬＣ ４ 。旋转 角 ＬＥ Ｈ＝ ０． ＝ ５， Ａ ９。 连接 Ｈ ． ＡＥ Ｄ和ＡＨ Ｄ中 ， Ｄ在 Ａ Ａ
４ ／ 一 ７并求 此时 Ｒ ＡＢ 、 ４ ｔ ＭＮ的 内切 圆 的半
Ｄ ／ ＼
＼
， １
。
径．
解析 ： 问实 际上是对 探究 ３ ４的综合 此 和
运用 ． ＭＮ＝ Ａ ｔ 设 ｍ， Ｍ＝，则 Ｂ ２ ｔＣ ＝ ｔ Ｍ＝ －， Ｎ ｍ—，
图 ９
２ １年７ ０ １ —８
。 ．
．
．
ｐ＝ ＭＮ＋ Ｎ＋ Ｍ ＝ Ｂ Ｂ ＡＭ ＋ Ｎ＋ Ｎ＋ Ｍ＝ Ｃ Ｂ Ｂ ＡＢ＋
’ ，
ＢＣ＝ ４．
・
．
．
在旋 转正 方形 Ｏ Ｂ Ａ Ｃ的过 程 中 。 Ｐ值无
变化．
正方形 Ｏ Ｂ Ａ Ｃ旋转的度数 ； （ ） ＡＭＢ ３设 Ｎ的周 长为 Ｐ 在旋 转 正方 形 ， ＯＢ Ａ Ｃ的过程 中 ， Ｐ值是 否有变化 ？请证 明你
基本图形在解题中的应用
基本图形在解题中的应用角平分线遇垂线往往会出现等腰三角形，基本图形为OP 平分∠AOB, PD ⊥OA 于点D, PE ⊥OB 于点E, 连结DE,交OP 于点M,则有OE=OD, OD=OE.即出现等腰三角形ODE 和等腰三角形PDE,且DE ⊥OP, EM=DM,即点M 为DE 的中点. 根据这个基本图形,我们在解题时,如果遇到形如有角平分线和这条角平分线垂直的情形,只须延长DP,交OA 于点E,即可得等腰三角形ODE 和DE 的中点P ，利用这样的知识板块思维方式，可以把一些题目变难为易成为可能。
用知识板快的观点去观察问题、分析问题，有居高临下之威。
对于能否快速的找出正确的甚至最好的解题思路有很大的帮助，也就是能使学生在解题时，尤其是添加辅助线时能大大减少盲目性，提高自信心，培养学生“多变之中找不变，以不变应万变”的探究问题兴趣与解题能力。
例1、 已知BE 、CF 分别为△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的外角平分线，AE ⊥BE 于点E ，AF ⊥CF 于点F ，求证：①BF//BC②EF=0.5（AB+AC+BC ） 证明：延长AE 、AF ，分别交直线BC 于点M 、N 。
∵AE ⊥BE ，∴∠A EB=∠M EB=900，又∵∠1=∠2，BE 是公共边，∴AE=ME ，AB=BM 同理 AC=MC ，AF=FN ∴EF/MN MN=MB+BC+CN=AB+BC+AC ∴EF=0.5（AB+AC+BC ）。
例2、如图：已知BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线，AF ⊥BD 于点F ， AG ⊥CE 于点G ，求证：①GF//BC ②GF=0.5（AB-BC+AC ）。
证明：分别延长AF 、AG ，交直线BC 于点M 、N 。
∵AF ⊥BF ，∴∠A FB=∠MFB=900， 又∵∠1=∠2 BF=BF ∴ △A FB ≌△MFB ∴ A F = MF AB = BM同理 AG=GN AC= CN∴ GF ∥ MN GF=0.5MN∴ GF ∥BC AB-BC+AC= AB+AC-BC = MB+CN-BC=BN+MN+MN+CN-（NB+MN+CN ） =MN ∴ GF=0.5（AB-BC+AC ）。
例谈一个基本图形在解题中的应用
中学数 学杂 志
２ １ 第 ２期 ０ ０年
所 ＝＝ × 一＋＝ ．Ｂ＝时 以 Ｑ ｙ÷ ３ ３４ Ｐ ３，
则有 Ｐ Ｃ＝Ａ Ｐ Ｍ， Ｃ＝ＭＤ， 四边 形 Ｃ 则 Ｄ和 四边形
又 Ａ ： Ｂ ＝４√ ｃ ｓ ５ ＝４， Ｃ Ｃ 乏 ｏ 。 ４
所以ｃ ４一 ＝÷，Ｆ＝ ３：１ Ｇ＝ ｃ ４— ，
数；
如 图 １ 在等 腰 ＡＡ Ｃ中 ， ， Ｂ
＝ ＬＢ， 边 Ａ Ｄ是 Ｂ
上一点 ， ＤＦ ＝ ＬＡ ＝ ＬＢ， △Ａ ＬＥ 则 一 △ Ｄ ．
证明： 因为 Ｅ Ｂ ＝ ＬＥ Ｆ＋ＬＢ Ｄ Ｄ ＤＦ ： Ａ＋
ＬＡ Ｄ，又 因 为 Ｅ Ｆ ＝ ＬＡ，所 以 ＬＡ Ｄ ＝ Ｅ Ｄ Ｅ
Ｌ ＡＭ Ｂ ＝ Ｌ Ｍ ＢＣ ： ６ ０。， ＤＭ Ｃ ＝ Ｌ Ｍ ＣＢ ： ６ ０。，
Ｊ ｐ
所 以 ＡＡ Ｍ ＡＤ ， 以 Ａ ＝ ＤＣ 所 以 梯 形 Ｂ ＭＣ 所 Ｂ ，
ＡＣ Ｂ Ｄ是等腰 梯形．
图３
图４
进 一步推 广 ， 图 ２ 当 Ａ ＝ ＬＢ ＝ Ｃ Ｄ ＝ 如 ， Ｅ
下 面分别 举例说 明这三 个基本 图形在解 题 中的
应 用．
例 １ （０ ９年 烟 台）如 图 ４ 等边 ＡＡ Ｃ的边 ２０ ， Ｂ
＝
长为 ３ 为上 一点 ， ， 上一 点 ， ， 的长 为 ， 且 为 若 则
（ ）
＝
等 因 Ｐ Ｍ ＝Ｎ ＝ Ｑ ．为 ｃ Ｑ ｙ；Ｐ ４ Ｃ ２ Ｂ ４ｙ 以 ｝ ， ） 一＋ 一， 寺＝ 所 ， ４ 所 以＝ ．
个．
例 ４ （ ０ ９年湛 江）已知矩 形纸 片 Ｏ Ｂ ２０ Ａ Ｃ的长
② ＡＰ Ｃ为直角三角形． Ｑ
2018年中考数学专题：五种基本图形在解题中的应用
五种基本图形在解题中的应用初中几何中有许多基本图形，这些基本图形与其它知识点组合在一起，共同演绎着变化无穷的几何综合性问题.解决这类问题，一般要分离或者构造出基本图形，然后应用基本图形的性质及相关结论解决问题.本文介绍常见的五种基本图形及其应用，供大家参考. 基本图形1 如图1所示，ABC ∆是圆内接三角形，直线EF 经过点C . 结论1 若ACE B ∠=∠(BCF A ∠=∠)，则直线EF 与圆O 相切.结论2 若12ACE AOC ∠=∠(12BCF BOC ∠=∠)，则直线EF 与圆O 相切. 应用1 如图2，AB 是⊙O 的直径，D 、E 分别是ACB ∠的角平分线与⊙O 、AB 的交点，P 为直线AB 延长线上一点，且PC PE =.判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由.分析 本题考察了角平分线、三角形的外角、等腰三角形、圆周角定理等相关知识点问题的突破口在于能否识别弦切角基本模型，即PCB CAB ∠=∠，问题就转化为结论1. 基本图形2 如图3所示，C DAB ∠=∠，则2AB BD BC =g ，AD BC AB AC =g g . 这是相似三角形常见的基本图形，反映的是部分与整体相似，两个三角形拥有一个公共角，只要再找出一组对应角相等即可，利用相似三角形对应线段成比例，进而化成等积的形式即可.应用1 如图4 ，AB 与圆O 相切，切点为A ，连结BO 并延长，与圆O 交于点C 、D ，连结AC ，AD ，求证:(1 )2AB BD BC =g ;(2)若4AB =，8BC =，求圆O 的半径及ABC S ∆.分析 这是一道圆与相似三角形的综合题.已知圆O 与AB 相切，连结OA ，则OA AB ⊥，再加上90CAD ∠=︒，可得C DAB ∠=∠，证得CAB DAB ∆∆:，问题就还原成题目1.问题(2)利用(1)结论，可建立一元二次方程求出半径.应用2 如图5，直线AB 经过圆O 上的点，并且OA OB =，CA CB =，圆O 交直线OB 于点E 、D ，连结EC ，CD .(1)猜想直线AB 与圆O 的位置关系，并说明理由;(2)求证2BC BD BE =g ，DB CE BC CD =g g ; (3)若1tan 2CED ∠=，圆O 的半径为3，求OAB ∆的面积.分析 这是一道涉及等腰三角形、直线与圆的位置关系、相似三角形、三角函数值等多个知识点的几何综合题.(1)利用等腰三角形的三线合一证得OC AB ⊥;(2)属于题目1的简单变形;(3)求OAB ∆的面积，关键在于求AB 的长度，难点在于如何利用1t a n 2C E D ∠=这个条件.在Rt CED ∆中，tan CD CED CE ∠=，即12CD CE =.观察发现，由DCB BCE ∆∆:，可得到12BD CD BC CE ==，即2BC BD =;然后利用第(2)的结论，转化为方程求解问题，进而求出BD 、BC 的长，问题就迎刃而解了. 基本图形31.如图6，已知AB AC =，AB AC ⊥，DE 过点A ，且CD DE ⊥，BE DE ⊥，垂足分别为D 、E ，则AD BE =，CD AE =.2.如图7，已知A D A E =，90CEA ADB CAB EAD ∠=∠=∠=∠=︒，则C E B D =，AB AC =.应用 如图8，抛物线256y x x =--，点P 在抛物线上，点Q 在直线3x =-上，PBQ ∆能否成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形?若能，求出点P 的坐标;若不能，请说明理由.分析 过点P 作PE x ⊥轴，PF ⊥直线3x =-，垂足分别为E ，F ，90FPE ∠=︒.当PE PF =，90QPB ∠=︒时，PBQ ∆是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形.这是解决问题的突破口，通过构造“K ”型全等形，使得几何问题代数化.基本图形4如图9，已知，在ABC ∆中，45CAB ∠=︒，过点C 作CD AB ⊥，点A 作AE BC ⊥，则BD DH =，AH BC =.应用1如图10，在正方形ABCD 中，以对角线BD 为边作菱形BDFE ，使得B ，C ，E 三点在同一条直线上，连结BF 交CD 于点G .求证:CG CE =.分析 连结DE 交BF 于点H ，问题就还原成基本图形，证BCG CDE ∆≅∆即可. 应用2 如图1l ，已知在平行四边形ABCD 中，45DBC ∠=︒，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，DE 、BF 交于H ，BF 、AD 的延长线交于G .有下列结论:①A BHE ∠=∠;②AD BE BH =+;③2222AD DH CD +=.其中正确的是 .分析 本题以全等三角形为载体，融入平行四边形、勾股定理等相关知识，注重对基础知识、基本技能的考查.①②正确，由BEH CDE ∆≅∆及平行四边形的性质，得到CE EH =，CD BE =，所以AD BC BE EC BE EF ==+=+.③正确，2222AD DH BC DH +=+ 22()()BE CE DE HE =++-22()()BE HE BE HE =++-22222()22BE HE BH CD =+==.基本图形5如图12，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，AE 、BF 交于点O . 结论1 若AE BF ⊥，则AE BF =(或BE CF =或DF CE =).结论2 若AE BF =(或BE CF =或DF CE =)，则AE BF ⊥.应用如图13所示，将图12中AE、BF平移至EF、GH，上述结论依然成立.老子在《道德经》里写道:“天下难事，必作于易;天下大事，必作于细”.数学问题的解决过程亦是如此，将复杂问题简单化，一步步将未知问题转化到已知范围.在求解几何问题时，就是要通过观察、类比、联想，把复杂图形转化为简单的基本图形问题，就能容易获解.。
一个基本图形的应用
一个基本图形的应用汉中市汉台区望江初中田朝伟在几何教学中，常常对一些几何图形进行分析后再解答，有时需要对复杂图形进行分解成学过的定理的基本图形，在八年级教学中，我遇到了这样一个基本图形，在数学题目中，只要识别出这个基本图形，再利用这个基本图形的结论，可以使问题变得简单。
基本图形及其结论：如图所示，则有∠BDC（小于平角的角）=∠A+∠B+∠C。
下面先证明这个基本图形的结论。
证明：延长BD，交AC于点E∵∠BDC是△DCE的一个外角，∴∠BDC=∠C+∠DEC，∵∠DEC是△ABE的一个外角，∴∠DEC=∠A+∠B，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C例1、如图，在△ABC中，E是BD上的一点，∠A=62°，∠ABD=30°，∠DCE=48°，则∠BEC的度数为（）。
A、140°B、120°C、100°D、80°解析：找出“基本图形ABEC”，得，∠BEC=∠A+∠ABD+∠DCE=62°+30°+48°=140°，故选AABCDEABC DE例2、一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B=32°，∠C=21°，检验工人量得∠BDC=148°，就断定零件不合格。
说明理由。
解析：根据基本图形的结论，得∠BDC=∠A+∠B+∠C=90°+32°+21°=143°，所以工人量得∠BDC=148≠143°，因此，零件不合格。
例3、如图，∠B=60°，∠C=20°，∠1=3∠A，则∠A=（）度。
解析：根据基本图形的结论，得∠BDC（小于平角的角）=∠A+∠B+∠C，所以，3∠A=∠A+60°+20°，所以，∠A=40°。
例4，已知：△ABC的∠B和∠C的角平分线交于点D，∠A=40°，求∠1的度数。
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A
B
例4. 平面直角坐标系中，点A是点B绕原点O逆时 针旋转90°得到的点，点A的坐标为（-3，1） (1) 求点B的坐标. （2）求过A、O、B 三点的抛物线的解析式. (3)设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B 1 求B 1的坐标. (4) 求△A B 1 B的面积.
例5. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上 一点，直线ED过C点，∠ACE=∠ABC。 （1）求证：直线ED是⊙O的切线 （2）如果AE⊥ED于E点，BD⊥ED于D点， 且AB=10，AC：BC=3：4，求四边形 AEDB的面积
练习2 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD， ∠D＝900，AB＝3，DC＝7，AD＝15，请 你在AD上找一点P，使得以P、A、B和以P、 D、C为顶点的两个三角形相似吗？若能， 这样的P点有几个？并求出AP的长；若不能， 请说明理由。 B A
D
C
A
C
D
P
B
例3. 正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按 下列要求作图：①在正方形网格的三条不同实线上 各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上； ②连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在左 边的正方形网格中作出了Rt△ABC，请你按照同样 的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直 角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等。
一个基本图形的运用
E A B C D
例1. 如图，梯形ABCD，AB//DC， B
， E为BC上一点，且AE⊥DE .若BC=12，DC=7， BE：EC=1：2，求AB的长.
90
• 例2.已知如图AB⊥DB于B，CD ⊥DB于 D，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm， 点P是DB上一动点，从D开始，沿DB方向 以2cm/s的速度移动，求经过多少秒时， 使以点C、D、P为顶点的三角形与以P、B、 A为顶点的三角形相似？
B A
E
C
D
基本图形的变式
A DBC来自E如图点B、C、E共线，想一想：∠ACD、 ∠ABC、∠CED之间具有怎样的数量关系时， △ABC～ △CED？
例6. 已知等边△ABC，点D、E、F分 别在边BC 、CA、AB上，且△DEF 也为等边三角形.除已知等边三角形的 边相等以外，请你猜想还有哪些线段 相等？试说明理由。
A E
F
B
D
C
例7. 在Rt ABC中， ∠CAB=90°， AB=AC=2，点D在BC上运动（不与B、 C重合），过点D作∠ADE=45 °，DE交 AC于点E。设BD=x，AE=y，求y关于X 的函数关系式.
A
E
B
D
C
练习1
有一张矩形纸片 A B C D ，其中 A D 4cm ．上面有一个以 AD 为直径 的半圆，正好与对边 B C 相切，如图（甲） ．将它沿 D E 折叠，使 A 点 落在 B C 上，如图（乙） ．这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分） 的面积是（ ） A D E B 甲 C B A C 乙 D