《弧长和扇形面积(2)》名师课件
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《弧长和扇形面积》课件
面积为______
3
解：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵△OBD，△OCE是等腰三角形，
∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BOD+∠COE=360°-(∠BDO+∠CEO)-(∠ABC+∠ACB)
=360°-120°-120°=12DB= × 3 × 3
2
60×32
3−
360
=
9 3
3
− .
2
2
记作:扇形OCED
新知探究 知识点1
S =πR2
分别计算下图中各扇形的面积
R
180° O
2
180
R
R 2
360
2
R 90°
O
2
90
R
R 2
360
4
45°
R
O
2
45
R
R 2
360
8
n°R
O
2
n
n
R
R 2
360
360
扇形面积公式：
半径为R 的圆中，圆心角为n°的扇形的面积是
解得
135×4²
R=4，∴此扇形的面积为
=6π(cm2).
360
随堂练习
1.如图，实线部分是由两条等弧组成的游泳池，且这两条弧所在
的圆的半径均为15 m.若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，
则游泳池的周长是 40π m.
解：如图，连接O1O2，CO1，CO2，DO1，DO2，
∵O1O2= CO1 = CO2 =15m，
3
解：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵△OBD，△OCE是等腰三角形，
∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BOD+∠COE=360°-(∠BDO+∠CEO)-(∠ABC+∠ACB)
=360°-120°-120°=12DB= × 3 × 3
2
60×32
3−
360
=
9 3
3
− .
2
2
记作:扇形OCED
新知探究 知识点1
S =πR2
分别计算下图中各扇形的面积
R
180° O
2
180
R
R 2
360
2
R 90°
O
2
90
R
R 2
360
4
45°
R
O
2
45
R
R 2
360
8
n°R
O
2
n
n
R
R 2
360
360
扇形面积公式：
半径为R 的圆中，圆心角为n°的扇形的面积是
解得
135×4²
R=4，∴此扇形的面积为
=6π(cm2).
360
随堂练习
1.如图，实线部分是由两条等弧组成的游泳池，且这两条弧所在
的圆的半径均为15 m.若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，
则游泳池的周长是 40π m.
解：如图，连接O1O2，CO1，CO2，DO1，DO2，
∵O1O2= CO1 = CO2 =15m，
人教版九年级数学上册课件：弧长和扇形面积 (2)
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料 ，试计算图所示管道的展直长度L(结果取整数) .
解：由弧长公式，可得弧AB 的长 因此所要求的展直长度
1．弧长相等的两段弧是等弧吗？
2．如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆 心角是81°．这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小 数点后以为）？
圆锥中的最短路径问题
如图，已知点 P 是圆锥母线 OM 上一点，OM =6，OP =4, 圆锥的侧面积为12π，一只蜗牛从 P 点出发，绕圆锥侧面爬行 一周回到点P，则爬过的最短路线长为______.
圆锥中的最短路径问题
如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面 圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一 母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？
答案：2π．
扇形面积计算综合
如图，直径 AB 为 8 的半圆，绕 A 点逆时针旋转 60°，此时点 B 到了点 B '，则图中阴影部分的面积是___________.
圆锥中的最短路径问题
圆锥的底面半径是 1，母线长是 4，一只蜘蛛从底面圆周上的 一点 A 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到 A 点，则蜘蛛爬行的 最短路径的长是________．
如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D 两两不相交，且半径都是2cm ，求图中阴影部分的面积． 提示：可以先算非阴影部分的扇 形面积之和．
答案：12π．
如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其 中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积（结果保留小数 点后两位）．
如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1 为半径的 扇形，并且所有多边形的每条边长都大于 2，则第 n 个多边 形中，所有扇形面积之和是___________( 结果保留π，用含 n 式子表示 ).
弧长和扇形的面积课件2 新人教版共26页
不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
弧长和扇形的面积课件2 新人教版
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
弧长和扇形的面积课件2 新人教版
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
2弧长和扇形面积PPT课件(人教版)
半径为R圆的周长为 可以看作是360°圆心角所对的弧长 1°的圆心角所对弧长是 n°的圆心角所对的弧长
O· 1°
n° R
你能根据算出本节开头的弧长吗？
A
700mm
B
100°R=900mm
700mm
C
D
由上面的弧长公式，可得 AB 的长
因此所要求的展直长度
如图，由组成圆心角的两条半 径和圆心角所对的弧所围成的 图形叫做扇形，可以发现，扇 形面积与组成扇形的圆心角的 大小有关，圆心角越大，扇形 面积也就越大．怎样计算圆半 径为R，圆心角为n°的扇形面 积呢？
制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”（图中 虚线成的长度），再下料，这就涉及到计算弧长的问题．
A
700mm
R=900mm B
100°
700mm
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
如何求
长？
1. 你还记得圆周长的计算公式吗？ 2. 圆的周长可以看作是多少度的圆 心角所对的弧长？
3. 1°的圆心角所对弧长是多少？
4. n°的圆心角呢？
答：这段圆弧的半径R为8.5m.
a
2.如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、 C 为圆心，以
为半径的圆相切于点D、E、F，求图中阴影部分的面积．
2
解：连接AD，则
垂足为D
根据勾股定理，得 A
F E
B
DC
又知，S扇形BDF=S扇形CDE=S扇形AEF,
A
O ·n°
R
B
1. 你还记得圆面积公式吗？
2. 圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？ 3. 1°的圆心角所对的扇形面积是多少？ 4. n°的圆心角呢？
《弧长和扇形面积》PPT课件 人教版九年级数学
B
B
弧
O
圆心角
扇形
A
O
A
探究新知
判一判
下列图形是扇形吗？
×
×
×
√
√
探究新知
2
问题1 半径为r的圆,面积是多少？ S = r
问题2 ①360°的圆心角所对扇形的面积是多少？
②1°的圆心角所对扇形的面积是多少？
③n°的圆心角所对扇形的面积是多少？
r
O
问题3 下页图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，
∴=360°×
l
=288°
α
∴S=
πl2=2000π（cm2）
360°
解法二:
1
1
S= ×2πr·l= ×2π×40×50=2000π（cm2）.
2
2
解法三:
S=πr·
l= π×40×50=2000π （cm2）.
已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为
20cm，则这个圆锥的侧面积为
2
384
n r 2
S扇形 =
360
注意
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它
是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过
程记忆）.
探究新知
问题 扇形的面积与哪些因素有关？
A
E
B
C
A
C
O
D
●
F
B
O●
D
圆心角大小不变时，对应
圆的 半径 不变时，扇形面
的扇形面积与 半径 有关，
积与 圆心角 有关，圆心角越
圆锥有无数条母线，它们都相等．
圆锥的高
S
பைடு நூலகம்
B
弧
O
圆心角
扇形
A
O
A
探究新知
判一判
下列图形是扇形吗？
×
×
×
√
√
探究新知
2
问题1 半径为r的圆,面积是多少？ S = r
问题2 ①360°的圆心角所对扇形的面积是多少？
②1°的圆心角所对扇形的面积是多少？
③n°的圆心角所对扇形的面积是多少？
r
O
问题3 下页图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，
∴=360°×
l
=288°
α
∴S=
πl2=2000π（cm2）
360°
解法二:
1
1
S= ×2πr·l= ×2π×40×50=2000π（cm2）.
2
2
解法三:
S=πr·
l= π×40×50=2000π （cm2）.
已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为
20cm，则这个圆锥的侧面积为
2
384
n r 2
S扇形 =
360
注意
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它
是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过
程记忆）.
探究新知
问题 扇形的面积与哪些因素有关？
A
E
B
C
A
C
O
D
●
F
B
O●
D
圆心角大小不变时，对应
圆的 半径 不变时，扇形面
的扇形面积与 半径 有关，
积与 圆心角 有关，圆心角越
圆锥有无数条母线，它们都相等．
圆锥的高
S
பைடு நூலகம்
24.4弧长及扇形面积(第2课时)课件
S
h=20
解:设纸帽的底面半径为rcm,母线长为lcm,所以
由2πr=58得
58 29 r . 2
2
l
O┓ r
1 S圆锥侧 2r l 29 22.03 638 87(cm2 ). . 2
2πr=58 29 2 根据勾股定理 ,圆锥母线 l 20 22.03.
24.4弧长和扇形面积
Байду номын сангаас
圆锥的侧面积和全面积
一、弧长的计算公式
n nr l 2r 360 180
二、扇形面积计算公式
n 2 s r 或s 1 lr 360 2
圆锥
我们把连接圆锥的顶点S和底 面圆上任一点的连线SA，SB 等叫做圆锥的母线
圆锥的高 S
连接顶点S与底面圆的圆心O 的线段叫做圆锥的高
思考：圆锥的母线和圆 锥的高有那些性质？
母线 A O
r
B
如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高 线长, l 表示圆锥的母线长,那么r,h, l 之间有 怎样的数量关系呢？
由勾股定理得：
h r ll
r2+h2=l 2
填空: 根据下列条件求值（其中r、h、l 分别是圆锥的底面半径、高线、母线长） （1）
例1：如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角θ=144° 用这个扇形围成一个圆锥的侧面. (1)求这个圆锥的底面半径r;
(2)求这个圆锥的高(精确到0.1)
A
C
B
O
解：（1）因为此扇形的弧长=它所 围成圆锥的底面圆周长 R 所以有 2 r 180 所以： r
R
360
（2）因为圆锥的母线长=扇形的半径
《弧长和扇形面积的计算》PPT课件
科学课件： .
/kejian/kexue/
物理课件： .
/kejian/wuli/
化学课件： .
/kejian/huaxue/ 生物课件： .
/kejian/shengwu/
地理课件： .
/kejian/dili/
历史课件： .
/kejian/lishi/
c
甲
问题2： 怎样来计算弯道的“展直长度”？
面积S扇＝
4
cm2
3
.
（3）已知半径为2的扇形，面积为π，则这个扇形的弧长
＝
4
3
.
（4）已知扇形的半径为5 cm，面积为20 cm2，则扇形弧长
为
8
cm.
（5）已知扇形的圆心角为210°，弧长是28π，则扇形的面
积为 336
.
5.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，以点B
为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD
知识讲解
1.认识扇形
扇形:一条弧和经过这条弧端点的两条半径所
组成的图形叫做扇形.
如图所示,在☉O中,由半径OA,OB和所组
成的图形为一个扇形.由半径OA,OB和
所
组成的图形也是扇形.
【思考】一个扇形对应几个圆心角?一个圆心角对应几个扇形?
在同一个圆中,一个扇形对应一个圆心角,反过来,一个圆心角对
范文下载： .
/fanwen/
试卷下载： .
/shiti/
教案下载： .
/jiaoan/
ppt论坛： . .cn
ppt课件： .
/kejian/
语文课件： .
/kejian/yuwen/ 数学课件： .
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物理课件： .
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化学课件： .
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c
甲
问题2： 怎样来计算弯道的“展直长度”？
面积S扇＝
4
cm2
3
.
（3）已知半径为2的扇形，面积为π，则这个扇形的弧长
＝
4
3
.
（4）已知扇形的半径为5 cm，面积为20 cm2，则扇形弧长
为
8
cm.
（5）已知扇形的圆心角为210°，弧长是28π，则扇形的面
积为 336
.
5.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，以点B
为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD
知识讲解
1.认识扇形
扇形:一条弧和经过这条弧端点的两条半径所
组成的图形叫做扇形.
如图所示,在☉O中,由半径OA,OB和所组
成的图形为一个扇形.由半径OA,OB和
所
组成的图形也是扇形.
【思考】一个扇形对应几个圆心角?一个圆心角对应几个扇形?
在同一个圆中,一个扇形对应一个圆心角,反过来,一个圆心角对
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弧长和扇形面积(公开课)课件
电磁学
在电磁学中，弧长和扇形面积可以用 于计算带电粒子在磁场中运动的轨迹 长度和角度，进而研究电磁场的变化 。
在日常生活中的应用
建筑学
在建筑学中，弧长和扇形面积可以用 于计算各种形状的建筑物的表面积、 体积等参数，进而进行建筑设计、施 工和预算等工作。
艺术
在艺术领域中，弧长和扇形面积可以 用于设计各种形状的艺术作品，例如 雕塑、绘画等，使作品更加美观、协 调。
圆心角与弧长的关系
通过弧长公式可以看出，圆心角越大 ，弧长越长。
弧长计算的实例
实例1
一个圆的半径为5cm，圆 心角为60°，求弧长。
实例2
一个圆的半径为8cm，圆 心角为90°，求弧长。
实例3
一个圆的半径为10cm，圆 心角为120°，求弧长。
03
扇形面积的计算方法
扇形面积公式
总结词
扇形面积公式是计算扇形面积的关键公式，它基于圆的面积 和圆心角。
02
弧长的计算公式：对于半径为r的 圆，其对应的圆心角为θ（以弧度 为单位），弧长l可以通过公式 l=rθ计算得出。
扇形面积的定义
扇形面积是指由圆心角和半径确定的 扇形区域的面积，通常用字母"A"表 示。
扇形面积的计算公式：对于半径为r的 圆，其对应的圆心角为θ（以弧度为单 位），扇形面积A可以通过公式 A=(θ/2π)×πr²计算得出。
详细描述
扇形面积公式为 (S = frac{1}{2} r^2 (θ))，其中 (S) 是扇形面 积，(r) 是半径，(θ) 是圆心角（以弧度为单位）。这个公式 是计算扇形面积的基础，通过它可以将扇形的面积与半径和 圆心角联系起来。
扇形面积公式的应用
总结词
在电磁学中，弧长和扇形面积可以用 于计算带电粒子在磁场中运动的轨迹 长度和角度，进而研究电磁场的变化 。
在日常生活中的应用
建筑学
在建筑学中，弧长和扇形面积可以用 于计算各种形状的建筑物的表面积、 体积等参数，进而进行建筑设计、施 工和预算等工作。
艺术
在艺术领域中，弧长和扇形面积可以 用于设计各种形状的艺术作品，例如 雕塑、绘画等，使作品更加美观、协 调。
圆心角与弧长的关系
通过弧长公式可以看出，圆心角越大 ，弧长越长。
弧长计算的实例
实例1
一个圆的半径为5cm，圆 心角为60°，求弧长。
实例2
一个圆的半径为8cm，圆 心角为90°，求弧长。
实例3
一个圆的半径为10cm，圆 心角为120°，求弧长。
03
扇形面积的计算方法
扇形面积公式
总结词
扇形面积公式是计算扇形面积的关键公式，它基于圆的面积 和圆心角。
02
弧长的计算公式：对于半径为r的 圆，其对应的圆心角为θ（以弧度 为单位），弧长l可以通过公式 l=rθ计算得出。
扇形面积的定义
扇形面积是指由圆心角和半径确定的 扇形区域的面积，通常用字母"A"表 示。
扇形面积的计算公式：对于半径为r的 圆，其对应的圆心角为θ（以弧度为单 位），扇形面积A可以通过公式 A=(θ/2π)×πr²计算得出。
详细描述
扇形面积公式为 (S = frac{1}{2} r^2 (θ))，其中 (S) 是扇形面 积，(r) 是半径，(θ) 是圆心角（以弧度为单位）。这个公式 是计算扇形面积的基础，通过它可以将扇形的面积与半径和 圆心角联系起来。
扇形面积公式的应用
总结词
《弧长和扇形面积》课件
总结：弧长和扇形面积的重要性及应用场 景
学习弧长和扇形面积的知识可以帮助我们解决许多现实生活中的问题。无论是在工程上，还是在日常生活中， 这些概念都具有重要的应用价值。
扇形面积 = (中心角/360°) x π x 半径²
如何求解缺失的角度和弧长？
当只知道扇形的半径或面积时，可以使用相应的公式来计算缺失的角度或弧长。这对于实际应用中的问题求解 非常有用。
1 求解缺失角度
角度 = (扇形面积/π x 半径²) x (360°/π)
2 求解缺失弧长
弧长 = (角度/360°) x 2π x 半径
周长公式
周长 = 2π x 半径
面积公式
面积 = π x 半径²
圆的周长与直径的关系
周长
直径
2πr
2r
圆的面积与半径的关系
面积
半径
πr²
r
实际应用中的弧长和扇形面积
弧长和扇形面积的概念在现实生活中有许多应用。例如，测量道路的弯曲程 度或计算圆形花坛的面积。这些概念能够帮助我们更好地理解和处理各种实 际问题。
圆周角是什么？
圆周角是指一对半径线相交的角，在圆的圆心处形成一个完整的？
圆心角是指圆的边界上两条半径线之间的角度，其顶点位于圆心。圆心角的大小可以通过弧度或角度来度量。
计算公式
圆心角度数 = 弧长/半径
圆的周长和面积是什么？
圆的周长是圆形边界的长度，可以通过直径或半径来计算。圆的面积是圆内部区域的大小，可以通过半径来计 算。
弧度是什么？
弧度是用于度量圆心角大小的单位。一个圆的一周对应的弧度数是2π，也就是360°。弧度和角度 之间有一种简单的转换关系。
转换关系公式
角度 = 弧度 x (180/π)
《弧长和扇形的面积》课件-02
By 杜小二
3.4.1弧长与扇形的面积
学情检查
By 杜小二
1、圆周长公式为＿＿ ＿； 2、圆面积公式为＿＿＿＿； 3、如图，两同心圆的外圆周长为 250cm，内圆周长为150cm，则 圆环的宽度为＿＿＿（ 保留π）;
By 杜小二
在田径二百米跑比赛中，每位运动员的 起跑位置相同吗？每位运动员弯路的展直长 度相同吗？
By 杜小二
如图：在△AOC中，∠AOC=900，∠C=150，以O为 圆心，AO为半径的圆交AC与B点，若OA=6， 求弧AB的长。
C
B
O
A
例1 如图，正三角形ABC的边长为a，分 By 杜小二 别以A、B、C为圆心 为半径的圆两两相 切于点O1、O2、O3，求弧O1O2弧O2O3弧O3O1 围成的图形的面积S（图中阴影部分）.
所对的弧围成的图形是扇形。BB来自弧 圆心角 OA
扇形
O A
圆心角是10的扇形面积是多少？ By 杜小二
圆心角是10的扇形面积是圆面积的
1 360
圆心角为n0的扇形面积是多少?
圆心角是n0的扇形面积是圆面积的
n 360
如果用字母 S 表示扇形的面积， n表示圆心角的度数，r 表示圆半 径，那么扇形面积的计算公式是：
S扇形＝
n 360
S圆
＝n
360
πr2
扇形面积公式
By 杜小二
问题2.已知⊙O半径为R，求圆心角为n°的扇形 的面积？
S扇形
nR 2
360
nR 2
注意: （1）在应用扇形的面积公式S扇形= 360 进行计 算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍 数，它是不带单位的；
（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
3.4.1弧长与扇形的面积
学情检查
By 杜小二
1、圆周长公式为＿＿ ＿； 2、圆面积公式为＿＿＿＿； 3、如图，两同心圆的外圆周长为 250cm，内圆周长为150cm，则 圆环的宽度为＿＿＿（ 保留π）;
By 杜小二
在田径二百米跑比赛中，每位运动员的 起跑位置相同吗？每位运动员弯路的展直长 度相同吗？
By 杜小二
如图：在△AOC中，∠AOC=900，∠C=150，以O为 圆心，AO为半径的圆交AC与B点，若OA=6， 求弧AB的长。
C
B
O
A
例1 如图，正三角形ABC的边长为a，分 By 杜小二 别以A、B、C为圆心 为半径的圆两两相 切于点O1、O2、O3，求弧O1O2弧O2O3弧O3O1 围成的图形的面积S（图中阴影部分）.
所对的弧围成的图形是扇形。BB来自弧 圆心角 OA
扇形
O A
圆心角是10的扇形面积是多少？ By 杜小二
圆心角是10的扇形面积是圆面积的
1 360
圆心角为n0的扇形面积是多少?
圆心角是n0的扇形面积是圆面积的
n 360
如果用字母 S 表示扇形的面积， n表示圆心角的度数，r 表示圆半 径，那么扇形面积的计算公式是：
S扇形＝
n 360
S圆
＝n
360
πr2
扇形面积公式
By 杜小二
问题2.已知⊙O半径为R，求圆心角为n°的扇形 的面积？
S扇形
nR 2
360
nR 2
注意: （1）在应用扇形的面积公式S扇形= 360 进行计 算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍 数，它是不带单位的；
（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
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n R 2 ，用两种计算方式可以得到一个 360
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问题探究
课堂小结
随堂检测
难点知识▲
探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
例2 圆锥的底面半径是4，母线长是12，则这个圆锥侧面展开图的圆 心角度数是_______. 解法一：∵圆锥的底面半径是4，母线长是12 ∴圆锥侧面积＝S侧 r l 4 12 48 设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n
n πR 2 ， 360
（其中n表示扇形圆心角的度数，R表示扇形所在圆的半径）
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（2）圆锥的再认识
上面的物体中，有你熟悉的立体图形吗？
它们都含有圆锥体（如下图），那么什么是圆锥体呢？
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圆锥是由一个底面和一个侧面组成的，它的底面是一个圆，它的侧 面是一个曲面.
部分），则该圆锥的底面半径是________. 解：∵围成圆锥侧面的半圆形的直径为80cm
∴圆锥的侧面积为 S侧
解得： r=20
180 80 2 ( ) 800 360 2 80 而圆锥侧面积 S侧 r l r 800 2
∴该圆锥的底面半径是20cm.
【思路点拨】圆锥侧面积是一个扇形，因此它的面积还可以用扇形 的另一个计算公式计算 S 等量关系.
要生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算帽身至少需多少平方
米的材料吗？（π取3.142）
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探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
解：∵母线SB=15 cm，底面半径OB=5 cm ∴一顶圣诞帽需要的材料是 5 15 75 cm² ∴生产这种帽身10000个，需要 75 10000 750000 cm² ＝75π m² ≈ 235.65 m² . ∴玩具厂至少需235.65平方米的材料 【思路点拨】已知底面半径和母线长，可以直接套用圆锥侧面积
n l2 . 360
还可以根据圆锥底面圆周长的两种不同方法来建立方程：一方面
可以通过底面半径来求，即 2πr； 一方面也可以通过扇形的弧长
n l . 计算公式来求，即 180
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探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题 活动3 探究型例题
例1 回到一开始提出的圣诞帽问题：如图，玩具厂生产一种圣诞老 人的帽子，其帽身是圆锥形，母线SB=15 cm，底面半径OB=5 cm，
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重点知识★
探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式
活动2 小组合作，探究新知
大家分析得非常好，接下来请大家以小组为单位，完成下列问题串： 如图，沿圆锥的一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧 面展开图是一个扇形， （1）设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，如图所示，那么这个扇形 的半径为________ ； l （2）扇形的弧长其实是底面圆周展开得到的，所以扇形弧长为_____ 2πr ；
例2 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则它的侧面积是_______， 全面积是_______. 解：∵底面半径为3，高为4， ∴由勾股定理得，母线＝5 ∴由圆锥侧面积计算公式得：S侧 r l 5 3 15 由圆锥全面积计算公式得：S全 r ( l r ) 3 (3 5) 24 【思路点拨】本题求圆锥的侧面积和全面积时，并没有直接告诉圆 锥的母线，需要先用勾股定理求出圆锥的母线.
解得： r=4
∴底面半径为4cm. 【思路点拨】已知圆锥的母线、圆锥侧面积，可以逆用圆锥侧面积的 计算公式求得圆锥底面半径，实际上圆锥母线、圆锥底面半径、圆锥 侧面积三者中可以“知二求一”.
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探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
练习 用直径为80cm的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计接缝
的那个部分？
圆锥体的侧面
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探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式
由于圆锥的侧面是一个曲面，我们不太方便计算其面积，有没有办法将 其转化为平面图形呢？
沿着圆锥的一条母线，将圆锥侧面剪开并展平，就会得到一个扇形.
要想求出所需材料的数量，我们只需要求出这个扇形的面积就可以了， 这个问题和我们上节课学习的扇形面积的计算一样了. 但是求这个扇形 的面积需要哪些条件呢？它们是已知的吗？
全面积是_________.
解：∵母线l＝8，底面半径r＝4 ∴由圆锥侧面积计算公式得：S侧 r l 8 4 32 由圆锥全面积计算公式得：S全 r ( l r ) 4 (8 4) 48
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探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
n n l 2，解这个方程即可得 l 2，这样就得到 r l 360 360 360r 到圆锥侧面展开图的圆心角 n ，其中r表示圆锥底面半径，l表 l
来求，即 S 示圆锥母线.
还可以根据圆锥侧面展开图的弧长来建立等量关系，一方面圆锥侧
面展开图的弧长等于底面周长 2πr；另一方面圆锥侧面展开图的弧
∴ 20 2 r ，解得： r＝10
∴该圆锥的底面半径是10cm.
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探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
【思路点拨】本题可以根据圆锥侧面积的两种不同方法来建立方
程：一方面可以通过母线和底面半径来求，即 S r l；一方面也 可以通过扇形本身的面积计算公式来求，即 S
n 122 所以展开图的面积还可以表示为： 360 n 122 =48 ，解得：n＝120 ∴ 360
∴这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是120°.
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探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
例2 圆锥的底面半径是4，母线长是12，则这个圆锥侧面展开图的圆 心角度数是_______. 解法二：∵圆锥的底面半径是4 ∴底面周长＝2π×4=8π 设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n ∵圆锥的母线长是12 ∴侧面展开图的弧长＝ ∴ 8
我们将圆锥顶点和底面圆周上任意一点连接的线段称作圆锥的母线，
那么一个圆锥有多少条母线呢？它们在数量上有什么关系？ 有无数条，它们是相等的. 为什么是相等的呢？
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由勾股定理，每条母线l= h 2 r 2 ，h表示圆锥的高，r表示底面半径， 对于同一个圆锥体，h和r的长是固定的，因此母线的长也是固定的. 我们不仅知道母线长度是相同的，而且还了解了有关母线的一条非常 重要的性质：母线l、圆锥高h、底面半径r之间满足：l 2 h 2 r 2 .
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探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式
活动1 创设情景，感受新知
如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，母线
SB=15 cm，底面半径OB=5 cm，要生产这种帽身10000个，你能 帮玩具厂算一算帽身至少需多少平方米的材料吗？
要想算出所需材料的数量，我们先要想想：组成帽子的是圆锥体
1 2
该圆锥的侧面展开图的面积是 S 侧 2 r l r l ；
②圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，表示为：
1 2
S全 S侧 S底 r l r 2 r (l r )
③通过上面两个公式，我们可以看到，只要知道母线、底面半径
就可以求圆锥的侧面积的全面积.
24.4 弧长和扇形面积 第二课时
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（1）弧长计算公式和扇形面积计算公式回顾
上节课我们学习了弧长计算公式和扇形面积计算公式，你们还记得
它们是怎样的吗？
弧长 l
n nπR ， 2πR 360 180
（其中n表示弧所对的圆心角的度数，R表示弧所在圆的半径） 扇形面积 S
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探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式
①需要知道扇形半径、圆心角度数，其中扇形半径就是圆锥的母线，
是已知的，但圆心角度数是未知的；
②也可以通过扇形弧长和扇形半径来求，其中扇形半径就是圆锥的母
线，是已知的，扇形弧长其实就是圆锥底面圆的周长，是可以求出来 的，因此也相当于是已知的.
∴由勾股定理，AB＝10
∴由圆锥侧面积计算公式得： S侧 r l 10 6 60
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探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题 活动2 提升型例题
例1 已知圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm² ，则这个圆锥的底 面半径是________. 解：∵母线长l＝5cm，圆锥侧面积 S侧 20 cm2 ∴圆锥侧面积计算公式：S侧 r l r 5 20
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探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题 活动1 基础性例题
例1 已知圆锥的底面半径为3，母线为4，则它的侧面积是_______， 全面积是____________. 解：∵母线l＝4，底面半径r＝3
∴由圆锥侧面积计算公式得：S侧 r l 3 4 12
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探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
例2 圆锥的底面半径是4，母线长是12，则这个圆锥侧面展开图的圆 心角度数是_______. 解法一：∵圆锥的底面半径是4，母线长是12 ∴圆锥侧面积＝S侧 r l 4 12 48 设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n
n πR 2 ， 360
（其中n表示扇形圆心角的度数，R表示扇形所在圆的半径）
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（2）圆锥的再认识
上面的物体中，有你熟悉的立体图形吗？
它们都含有圆锥体（如下图），那么什么是圆锥体呢？
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圆锥是由一个底面和一个侧面组成的，它的底面是一个圆，它的侧 面是一个曲面.
部分），则该圆锥的底面半径是________. 解：∵围成圆锥侧面的半圆形的直径为80cm
∴圆锥的侧面积为 S侧
解得： r=20
180 80 2 ( ) 800 360 2 80 而圆锥侧面积 S侧 r l r 800 2
∴该圆锥的底面半径是20cm.
【思路点拨】圆锥侧面积是一个扇形，因此它的面积还可以用扇形 的另一个计算公式计算 S 等量关系.
要生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算帽身至少需多少平方
米的材料吗？（π取3.142）
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探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
解：∵母线SB=15 cm，底面半径OB=5 cm ∴一顶圣诞帽需要的材料是 5 15 75 cm² ∴生产这种帽身10000个，需要 75 10000 750000 cm² ＝75π m² ≈ 235.65 m² . ∴玩具厂至少需235.65平方米的材料 【思路点拨】已知底面半径和母线长，可以直接套用圆锥侧面积
n l2 . 360
还可以根据圆锥底面圆周长的两种不同方法来建立方程：一方面
可以通过底面半径来求，即 2πr； 一方面也可以通过扇形的弧长
n l . 计算公式来求，即 180
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探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题 活动3 探究型例题
例1 回到一开始提出的圣诞帽问题：如图，玩具厂生产一种圣诞老 人的帽子，其帽身是圆锥形，母线SB=15 cm，底面半径OB=5 cm，
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探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式
活动2 小组合作，探究新知
大家分析得非常好，接下来请大家以小组为单位，完成下列问题串： 如图，沿圆锥的一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧 面展开图是一个扇形， （1）设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，如图所示，那么这个扇形 的半径为________ ； l （2）扇形的弧长其实是底面圆周展开得到的，所以扇形弧长为_____ 2πr ；
例2 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则它的侧面积是_______， 全面积是_______. 解：∵底面半径为3，高为4， ∴由勾股定理得，母线＝5 ∴由圆锥侧面积计算公式得：S侧 r l 5 3 15 由圆锥全面积计算公式得：S全 r ( l r ) 3 (3 5) 24 【思路点拨】本题求圆锥的侧面积和全面积时，并没有直接告诉圆 锥的母线，需要先用勾股定理求出圆锥的母线.
解得： r=4
∴底面半径为4cm. 【思路点拨】已知圆锥的母线、圆锥侧面积，可以逆用圆锥侧面积的 计算公式求得圆锥底面半径，实际上圆锥母线、圆锥底面半径、圆锥 侧面积三者中可以“知二求一”.
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练习 用直径为80cm的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计接缝
的那个部分？
圆锥体的侧面
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探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式
由于圆锥的侧面是一个曲面，我们不太方便计算其面积，有没有办法将 其转化为平面图形呢？
沿着圆锥的一条母线，将圆锥侧面剪开并展平，就会得到一个扇形.
要想求出所需材料的数量，我们只需要求出这个扇形的面积就可以了， 这个问题和我们上节课学习的扇形面积的计算一样了. 但是求这个扇形 的面积需要哪些条件呢？它们是已知的吗？
全面积是_________.
解：∵母线l＝8，底面半径r＝4 ∴由圆锥侧面积计算公式得：S侧 r l 8 4 32 由圆锥全面积计算公式得：S全 r ( l r ) 4 (8 4) 48
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探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
n n l 2，解这个方程即可得 l 2，这样就得到 r l 360 360 360r 到圆锥侧面展开图的圆心角 n ，其中r表示圆锥底面半径，l表 l
来求，即 S 示圆锥母线.
还可以根据圆锥侧面展开图的弧长来建立等量关系，一方面圆锥侧
面展开图的弧长等于底面周长 2πr；另一方面圆锥侧面展开图的弧
∴ 20 2 r ，解得： r＝10
∴该圆锥的底面半径是10cm.
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探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
【思路点拨】本题可以根据圆锥侧面积的两种不同方法来建立方
程：一方面可以通过母线和底面半径来求，即 S r l；一方面也 可以通过扇形本身的面积计算公式来求，即 S
n 122 所以展开图的面积还可以表示为： 360 n 122 =48 ，解得：n＝120 ∴ 360
∴这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是120°.
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探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
例2 圆锥的底面半径是4，母线长是12，则这个圆锥侧面展开图的圆 心角度数是_______. 解法二：∵圆锥的底面半径是4 ∴底面周长＝2π×4=8π 设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n ∵圆锥的母线长是12 ∴侧面展开图的弧长＝ ∴ 8
我们将圆锥顶点和底面圆周上任意一点连接的线段称作圆锥的母线，
那么一个圆锥有多少条母线呢？它们在数量上有什么关系？ 有无数条，它们是相等的. 为什么是相等的呢？
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由勾股定理，每条母线l= h 2 r 2 ，h表示圆锥的高，r表示底面半径， 对于同一个圆锥体，h和r的长是固定的，因此母线的长也是固定的. 我们不仅知道母线长度是相同的，而且还了解了有关母线的一条非常 重要的性质：母线l、圆锥高h、底面半径r之间满足：l 2 h 2 r 2 .
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探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式
活动1 创设情景，感受新知
如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，母线
SB=15 cm，底面半径OB=5 cm，要生产这种帽身10000个，你能 帮玩具厂算一算帽身至少需多少平方米的材料吗？
要想算出所需材料的数量，我们先要想想：组成帽子的是圆锥体
1 2
该圆锥的侧面展开图的面积是 S 侧 2 r l r l ；
②圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，表示为：
1 2
S全 S侧 S底 r l r 2 r (l r )
③通过上面两个公式，我们可以看到，只要知道母线、底面半径
就可以求圆锥的侧面积的全面积.
24.4 弧长和扇形面积 第二课时
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（1）弧长计算公式和扇形面积计算公式回顾
上节课我们学习了弧长计算公式和扇形面积计算公式，你们还记得
它们是怎样的吗？
弧长 l
n nπR ， 2πR 360 180
（其中n表示弧所对的圆心角的度数，R表示弧所在圆的半径） 扇形面积 S
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探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式
①需要知道扇形半径、圆心角度数，其中扇形半径就是圆锥的母线，
是已知的，但圆心角度数是未知的；
②也可以通过扇形弧长和扇形半径来求，其中扇形半径就是圆锥的母
线，是已知的，扇形弧长其实就是圆锥底面圆的周长，是可以求出来 的，因此也相当于是已知的.
∴由勾股定理，AB＝10
∴由圆锥侧面积计算公式得： S侧 r l 10 6 60
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例1 已知圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm² ，则这个圆锥的底 面半径是________. 解：∵母线长l＝5cm，圆锥侧面积 S侧 20 cm2 ∴圆锥侧面积计算公式：S侧 r l r 5 20
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例1 已知圆锥的底面半径为3，母线为4，则它的侧面积是_______， 全面积是____________. 解：∵母线l＝4，底面半径r＝3
∴由圆锥侧面积计算公式得：S侧 r l 3 4 12