北师大版解直角三角形中考复习教案
解直角三角形
复习目标：
1.熟记特殊角（30°，45，60）的三角函数值，在理解三角函数定义的基础上进行有关的计算和解答。
2.能够利用直角三角形的边角关系，解决测量、航行、工程技术等生活中的实际问题，提高应用知识的能力
教学重难点
重点：理解三角函数的概念、会计算含有30°，45°，60°角的三角函数值的问题，能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
难点：理解三角函数的意义
（一）复习导入：我们知道直角三角形是一种非常重要的数学图形，在解决几何问题中发挥至关重要的作用。学习中你能熟练应用直角三角形的边角关系解决问题吗？这节课我对同学们的表现拭目以待。
（二）展示目标：下面同学们看下我们这节课要达到的复习目标。老师同时板书课题
（三）教学过程
下面就各知识点检查一下同学们的复习情况。
活动一：师生共同回忆直角三角形的边角关系：
直角三角形中的边角关系
在Rt △ABC 中，∠C=90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边.
1.三边之间的关系：________.
2.两锐角之间的关系：_____________.
3.边角之间的关系：sinA= ，sinB= ，cosA= cosB= ，tanA= ，tanB= 由此我们发现同角及互余两个锐角的三角函数值有什么关系？
生1：相同的两个锐角的三角函数有以下两种关系：
22sin (1)tan (2)sin cos 1cos A
A A A A =+=
生2：互余的两个锐角三角函数有以下关系：
(1)sin cos (2)cos sin (3)tan tan 1A B A B A B ==?=
师：以上两位同学回答的很好。解直角三角形依据条件有哪两种类型？
生：可能已知两边或一边一角。
师：我们称为知2求3，那么条件中必须有一个什么样的条件？
生：必须有一条边是已知的。
师：同学们回答的很好。我们可以总结为：知2求3，必有一边。所以我们解直角三角形就是结合勾股定理及三角函数的定义求出未知元素的过程。
活动二：特殊角的三角函数值
师：特殊角的三角函数值你还记得吗？下面请同学回答一下。
生：按照表格顺序向下填下
师：回答的很准确。从表格中我们发现正弦值、正切值随着α的增大如何变化？余弦呢？ 生：正弦值和正切值随着α的增大而增大，余弦值随着α的增大而减小。
同学们表现的很出色，下面我们针对考点，各个击破，有没有信心？
生齐答：有！
活动三：1.展示考点（一）热点考向一 锐角三角函数概念
【例1】(2016·巴中中考)在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=
513 ，则tanB 的值为 ( )
A.1213
B.512
C. 1312
D.125
师：找同学说下这道题的选项和做法。
生：可设BC=5x,AB=13x,则AC ＝12x,
12tan 5
B ∴= 师：说得很好。同学们掌声鼓励一下。以上是我们常用的设k 法，依据两边之比设出边长，应用勾股定理求出第三边，再结合三角函数的定义求解。
下面通过真题演练巩固一下
【真题专练】
1.(2017·汕尾中考)在Rt △ABC 中，∠C=90°，若sinA=
35 ，则cosB 的值是 ( )
A.45
B. 35
C.34
D.43
2.(2016·广州中考)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，
△ABC 的三个顶点均在格点上，则tanA= ( )
A.45
B. 35
C.34
D.43
【变式训练】如图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，
则cos ∠AOB 的值是 .
3.（15.崇左） 已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB =13，BC =12，则下列三角函数表示正确的
是 （ ）
A. sin A = 1213
B. cosA=1213
C. tanA= 512
D. tanB=125
由学生说出每道题的选项和做法，巩固三角函数的定义。
2.展示考点（二）热点考向二 特殊角三角函数值的计算
【例2】（2017烟台）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC= ，则sin 2
A = 分析：可以依据特殊角的三角函数值求出角A ，即而求出角A 的一半的正弦。
【真题专练】
1（16潍坊）关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则锐角α等2sin 0x α
+=
历年初三数学中考创新应用题及答案
创新应用题 一、解直角三角形的应用问题 从近几年全国各省市的中考试题来看，直角三角形的解法及其应用，成为中考的热点，它着重考查学生的应用能力与创新能力。 例1．（2005年福建三明市）2005年5月22日，媒体 广泛报道了我国“重测珠峰高度”的活动，测量人员从六个 不同观察点同时对峰顶进行测量(如图1)。小英同学对此十 分关心，从媒体得知一组数据：观察点C 的海拔高度为5200 米，对珠峰峰顶A 点的仰角∠ACB=11°34′58″， AC=18174.16米(如图2)，她打算运用已学知识模拟计算。 ⑴现在也请你用此数据算出珠峰的海拔高度(精确到 0.01米)； ⑵你的计算结果与1975年公布的珠峰海拔高度 8848.13米相差多少？珠峰是长高了，不是变矮了呢？ 解： ⑴在Rt △ABC 中，∵sin ∠ACB=AC AB ∴AB=AC sin ∠ACB=18174.16×sin11°34′58″ ≈3649.07 3649.07+5200=8849.07 ∴珠峰的海拔高度为8849.07米 ⑵8849.07－8848.13=0.94 练习一 1．如图所示，秋千链子的长度为3m ，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m ．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为?53，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？ (参考数据：?53sin ≈0.8,?53cos ≈0.6) 0.5m ?53 3m
2、如图，晚上，小亮在广场上乘凉。图中线段AB表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯。 ⑴请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子； ⑵如果灯杆高PO=12m，小亮的身高AB=1.6m，小亮与灯杆的距离BO=13m，请求出小亮影子的长度。 3．如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P. 若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行. （1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由. （2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并 求出面积的最大值.
华师大版解直角三角形教案
第19章 解直角三角形 第1课时 §19.1 测 量 【教学目标】本节主要研究如何利用已学知识尤其是相似三角形的相关知识解 决生活中某些测量问题。 【教学重点】探究和解决生活中的某些测量问题。 【教学难点】探究解决生活中的某些测量问题的方法。 【教学方法】探究法 【教具准备】皮尺、测角仪 【教学过程】 一、问题引入 1．测量操场旗杆有多高？ 如图19.1.1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度。 图19.1.1 2．如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识。 二、试一试 如图19.1.2所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC 为34°，并已知目高AD 为1米．现在请你按1∶500的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A ′B ′C ′，用刻度直尺量出纸上B ′C ′的长度，便可以算出旗杆的实际高度． 你知道计算的方法吗？（请你量一量、算一算。） 实际上，我们利用图19.1.2（1）中 已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及到直角三角 图19.1.2
形中的边角关系．直角三角形中，三条边有什么关系？它的边与角又有什么关系？这一切都是本章要探究的内容。 三、归纳小结： 两种测量的方法： 方法一：构造可以测量的与原三角形相似的小三角形，利用对应线段成比例的性质计算出所求线段的长； 方法二：利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的小三角形，通过直尺测量出所求线段在纸上的长度，再利用比例尺计算出实际长度。 四、课堂练习 1．在一次数学活动课上，老师让同学们到操场测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法。小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图所示），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A到竹竿顶部E处恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高。你认为这种测量方法是否可行？请说明理由。 2．请你与你的同学一起设计两种方案，测量你们学校楼房的高度。 五．课后作业P99（习题19.1） 第2课时§19.2勾股定理（1） 【教学目标】1.研究直角三角形的特殊性质：勾股定理； 2．运用勾股定理进行简单的计算。
(完整版)解直角三角形和应用题
解直角三角形和应用题 解直角三角形既是初中几何的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此，通过复习应注意领会以下几个方面的问题： 一、重点难点 解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角三角形的难点，更是复习本部分内容的关键。 二、中考导向 掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。题量一般在4%~10%。分值约在8%~12%题型多以中、低档的填空题和选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题。几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。 【典型例题】 例1. 如图，点A 是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B 、C 两个村庄，现要在B 、C 两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ ABC=45o ，∠ACB=30o ，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。 解：在中，Rt ABH BH AH ?=?tan45 在中，Rt ACH CH AH ?=? tan30 ∴?+? =AH AH tan tan 45301000 ∴=->AH 5003500300 ∴不会穿过 例2. 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD ，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可直接测得，从A 、D 、C 三点可看到塔顶端H ，可供使用的测量工具有皮尺、测倾器。 （1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案。具体要求如下：测量数据尽可能少，在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A 、D 间距离，用m 表示；如果测D 、C 间距离，用n 表示；如果测角，用α、β、γ表示）。 （2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG （用字母表示，测倾器高度忽略不计）。 B H C
华东师大版九年级上册数学第24章《解直角三角形》分课时练习题及答案
数学九年级上册第24章解直角三角形 24.1 测量同步练习题 1．如图，一场暴风雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝2米，则树高为( ) A. 5 米 B. 3 米 C．(5＋1)米 D．3米 2. 如图，李光用长为 3.2m的竹竿DE为测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿顶端、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距(AE)8m，与旗杆相距(BE)22 m，则旗杆的高为() A．12 m B．10 m C．8 m D．7 m 3. 身高为1.5米的小华在打高尔夫球，她在阳光下的影长为2.1米，此时她身后一棵树的影长为10.5米，则这棵树高为() A．7.5米B．8米 C．14.7米 D．15.75米 4. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度为()
A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 5. 如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行______米． 6. 如图，B，C是河岸上两点，A是对岸岸边上一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米． 7. 如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2 m，长臂长为8 m，当短臂端点下降0.6 m时，长臂端点升高______m .(杆的粗细忽略不计) 8. 如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7米的亮区，已知亮区一边到窗口下的墙脚距离EC＝8.7 米，窗口高AB＝1.8米，那么窗口底边离地面的高BC＝ ________米． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝_______．
华师大版-数学-九年级上册-25.3 解直角三角形-4 同步作业
华师大版九年级（上）《第二十五章·解直角三角形》第三节 25.3 解直角三角形—4 作业 一、积累·整合 1. 如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村 庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ ABC=45o，∠ACB=30o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。 2. 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带， 该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺、测倾器。 （1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案。具体要求如下：测量数据尽可能少，在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ表示）。 （2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示，测倾器高度忽略不计）。 3. 某一时刻，一架飞机在海面上空C点处观测到一人在海岸A点处钓鱼。从C点处测得A 的 俯角为45o；同一时刻，从A点处测得飞机在水中影子的俯角为60o。已知海岸的高度为 4 米，求此时钓鱼的人和飞机之间的距离（结果保留整数）。 A B H C
4. 在?ABC 中，∠=?=C A 901，tan ，那么cotB 等于（ ） A B C D .... 32133 5． 已知α为锐角，下列结论： <>+=11sin cos αα <2>如果α>?45，那么sin cos αα> <3>如果cos α> 1 2 ，那么α(sin )sin αα-=-112 正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. （1）计算：sin cos cot tan tan 3060456030?+?-?-??? （2）计算：22459044211 (cos sin )()()?-?+-?+--π 二、拓展·应用 7． 如图1，在?ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan cos B DAC =∠。 （1）求证：AC ＝BD （2）若sinC BC = =12 13 12，，求AD 的长。 图1 8. 如图2，已知?ABC 中∠=∠C Rt ，AC m BAC =∠=，α，求?ABC 的面积（用α的三角函数及m 表示） 图2 9. 如图3，沿AC 方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工。从AC 上的一点B ，取∠=?=ABD BD 145500，米，∠=?D 55。要使A 、C 、E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A. 50055sin ?米 B. 50055cos ?米
沪教版九年级上册-解直角三角形(基础),带答案
教学内容------解直角三角形 ★知识要点 1、解直角三角形的依据 在直角三角形ABC 中，如果∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，那么 （1）三边之间的关系为 （勾股定理） （2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系为： 2、其他有关公式 直角三角形面积公式： （hc 为c 边上的高） 3、解直角三角形的条件 在除直角C 外的五个元素中，只要已知其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余三个元素。 4、直角三角形的关键是正确选择关系式 在直角三角形中，锐角三角函数是勾通三角形边角关系的结合部，只要题目中已知加未知的三个元素中有边，有角，则一定使用锐角三角函数，应如何从三角函数的八个公式中迅速而准确地优选出所需要的公式呢？ （1）若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某三角函数 （2）若求角：一般用已知边比已知边（斜边放在分母），去寻找未知角的某三角函数。 （3）在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再错”和“累积误差”。 5、直角三角形时需要注意的几个问题 （1）在解直角三角形时，是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小，这是数形结合为一种形式，所以在分析问题时，一般先根据已知条件画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的关系去进行计算，这样可以帮助思考，防止出错。 （2）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决。 （3）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算 ★新课学习 引入新课：如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处.问大树在折断之前高多少米? 显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分的长度为222410 ＝26 ， 26＋10＝36所以， 大树在折断之前的高为36米.
北师大版数学中考复习《解直角三角形》
《解直角三角形》 一、知识网络结构图 二、考点 考点1、锐角三角函数的定义 考点2、 特殊角的三角函数值及三角函数关系式 考点3、直角三角形的边角关系 考点4、解直角三角形的实际应用 三、复习课时安排：三课时 四、三年中考 楚雄州2010年中考（20．本小题8分）如图，河流的两岸PQ 、MN 互相平行，河岸PQ 上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=50米，某人在河岸MN 的A 处测得∠DAN = 35°，然后沿河岸走了120米到达B 处，测得∠CBN=70°．求河流的宽度CE(结果保留两个有效数字)．（参考数据： sin35°≈ 0.57, cos35°≈ 0.82, tan35°≈ 0.70 sin 70°≈ 0.94, cos70°≈ 0.34, tan70°≈ 2.75 ） 2011年大理、楚雄、临沧、怒江、迪庆、丽江中考（20． 7分）小杨同学为了测量一铁塔的高度CD ，如图，他先在A 处测得塔顶C 的仰角为?30，再向塔的方向直行40米到达B 处，又测得塔顶C 的仰角为?60，请你帮助小杨计算出这座铁塔的高度．（小杨的身高忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： 732.13,414.12≈≈） 2012云南省（20 ，6分）如图，某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端B 处的俯角为o 30 ，荷塘另一端D 与点C 、B 在同一条直线上，已知32AC =米 ， 16CD =米 ，求荷塘宽BD 为多少米？（取31.73≈ ,结果保留整数） 直角三角形中 的边角关系 锐角三 角函数 解直角三角形 实际问题 F C ?30 ?60 A B D
课时1：考点相关概念过关 一、 知识点清单 考点1、锐角三角函数的定义：Rt △ABC 中，设∠C ＝90°，∠α为Rt △ABC 的一个锐角，则： ∠α的正弦 sin α＝ . ∠α的余弦 cos α＝ . ∠α的正切 tan α＝ 考点2、 特殊角的三角函数值及三角函数关系式 （1）特殊角的三角函数值 （2）简单的三角函数关系式 同角三角函数之间的关系： sin 2α＋cos 2α＝ ； tan α＝ . 互余两角的三角函数关系式：(α为锐角) s in α＝cos ； cos α＝sin . 函数的增减性：(0°<α<90°) (1)sin α，tan α的值都随α增大而 ； (2)cos α都随α增大而 考点3、直角三角形的边角关系 直角三角形中的边角关系：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c 则： (1)边与边的关系： ； (2)角与角的关系： ； (3)边与角的关系： (4)三角形面积公式：S △＝ . 考点4、解直角三角形的实际应用 1.仰角、俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角. 2.坡角、坡度：通常把坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用字母i 表示，即i= ；坡面与水平面的夹角叫坡角，记作α。则i= l h = . 3.方向角： 若A 点位于O 点的北偏东30°方向，则O 位于A 点的 方向.
九年级数学解直角三角形的总复习华东师大版
九年级数学解直角三角形的总复习华东师大版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 解直角三角形的总复习 二. 教学目标： 1. 掌握锐角三角函数的概念及性质。 2. 提高学生灵活应用锐角三角函数知识解直角三角形。 3. 提高学生解直角三角形的知识与方法在实际问题如，航海、测量等方面的应用，培养学生空间想象能力、作图能力、分析能力和计算能力。 三. 教学过程： （一）知识的回顾： 1. 锐角三角函数的概念：在Rt ABC ?中，∠=?C 90， 则sin cos tan cot A BC A AC A BC A AC = === ，，， 注意的问题： （1）锐角α，应满足0101<<< 答案：A （2）在?ABC 中，AB AC BC ===32，，则6cos B 等于（ ） A. 3 B. 2 C. 33 D. 23 点拨：在?ABC 中，AB AC =，过A 点作AD BC ⊥于D 则BD CD B BD AB ==∴==11 3 ，cos 答案：B （3）在四边形ABCD 中，∠=?∠=∠=?==A B D BC AD 13590232，，，，则四边形ABCD 的面积是（ ） 点拨：延长BA 、CD 交于E ，得Rt EAD ?和Rt EBC ? ∠=?∴∠=?-∠-∠-∠=?A C A B D 13536045， ∴?BEC 和?EAD 均为等腰直角三角形 S S EBC EAD ??= ??==??=122323612 222 ∴=-=-=S S S ABCD EBC EAD 四边形??624 答案：C （4）已知圆O 的半径为5，AB 是弦，P 是直线AB 上的一点，PB AB ==38，，则 tan ∠OPA 的值为（ ） A. 3 B. 3 7 C. 13或73 D. 3或 37 《解直角三角形》说课稿 尊敬的领导，各位老师，亲爱的同学们大家好！我是来自商丘师院数学系的杨露，今天我说课的内容是九年义务教育课本九年级数学第二学期第二十八章第二节的内容《解直角三角形》。下面我将从以下四个环节对本节课的教学设计进行说明：（ 一、教材分析二、教法学法三、教学过程四、板书设计 一、教材分析 教材分析可分为教材的地位和作用，教学目标和教学重难点 1、教材的地位和作用 《解直角三角形》是九年义务教育课本九年级数学第二学期第二十四章第二节的内容。本节课 是在锐角三角函数的基础上学习的。让学生通过简单的问题情境，利用锐角三角函数的内容来研究 直角三角形的边、角关系，最后利用勾股定理及锐角三角函数的知识来解决实际中提出的问题。这 些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系。通过这一部分内容的学习，学生将 进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。 2、教学目标 作为一名教师除了把知识教给学生，更重要的是应该教给学生学习的方法，培养他们的自主探究、合作创新的意识，使他们会学。因此根据新课标的要求、教材的特点及学生的实际情况，我制 定了如下目标： 【知识目标】 弄清解直角三角形的含义，理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 【能力目标】 通过观察、猜想等数学活动过程，培养学生的逻辑推理能力。体验数形之间的联系，并能运用数 形结合的思想来解决问题， 【情感目标】 培养学生的发现意识和探究能力，使其具有强烈的好奇心和求知欲。认识知识的独立性。 3.教学重点、难点 基于以上对教材和教学目标的分析，本着课程标准，在吃透教材基础上，我得出本节课的重点与 难点。 教学重点：能选用适当的三角函数关系式来解直角三角形。 教学难点：将实际问题抽象为数学问题，利用数形结合来解决实际问题。 下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈： 二、教法学法 创新应用题 一、解直角三角形的应用问题 从近几年全国各省市的中考试题来看，直角三角形的解法及其应用，成为中考的热点，它着重考查学生的应用能力与创新能力。 例1．（xx 年福建三明市）xx 年5月22日，媒体广泛报道了我国“重测珠峰高度”的活动，测量人员从六个不同观察点同时对峰顶进行测量(如图1)。小英同学对此十分关心，从媒体得知一组数据：观察点C 的海拔高度为5200米，对珠峰峰顶A 点的仰角∠ACB=11°34′58″，AC=18174.16米(如图2)，她打算运用已学知识模拟计算。 ⑴现在也请你用此数据算出珠峰的海拔高度(精确到0.01米)； ⑵你的计算结果与1975年公布的珠峰海拔高度8848.13米相差多少？珠峰是长高了，不是变矮了呢？ 解： ⑴在Rt △ABC 中，∵sin ∠ACB= AC AB ∴AB=AC sin ∠ACB=18174.16×sin11°34′58″ ≈3649.07 3649.07+5200=8849.07 ∴珠峰的海拔高度为8849.07米 ⑵8849.07－8848.13=0.94 练习一 1．如图所示，秋千链子的长度为3m ，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m ．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为?53，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？ (参考数据：?53sin ≈0.8,?53cos ≈0.6) 0.5m ?53 3m 2、如图，晚上，小亮在广场上乘凉。图中线段AB表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯。 ⑴请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子； ⑵如果灯杆高PO=12m，小亮的身高AB=1.6m，小亮与灯杆的距离BO=13m，请求出小亮影子的长度。 3．如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P. 若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行. （1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由. （2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并 求出面积的最大值. 华师大版解直角三角形 教案 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8- 解直角三角形 测量 教学目标：利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方 法，初步接触直角三角形的边角关系。 教学重点：探索测量距离的几种方法。 教学难点：选择适当的方法测量物体的高度或长度。 教学过程： 一。复习引入： 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高我们知道可以利用相似三角形的对应边，首先请同学量出太阳下自己的影子长度，旗杆的影子长度，再根据自己的身高，计算出旗杆的高度。如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗 二。新课探究： 例1. 书.试一试. 如图所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC=34°，并已知目高AD 为1米。现在请你按1：500的比例得△ABC 画在纸上，并记为△A 1B 1C 1,用刻度尺量出纸上B 1C 1 的长度，便可以算出旗杆的实际高度。你知道计算的方 法吗 解：∵△ABC ∽△A 1B 2C 3, ∴AC:A 1C 1=BC:B 1C 1=500:1 ∴只要用刻度尺量出纸上B 1C 1的长度，就可以计算出BC 的长度，加上AD 长即为旗杆的高度。若量得B 1C 1=a ㎝，则BC=500a ㎝=5a ㎝。故旗杆高(1+5a)m. 说明：利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等。 例2.为了测出旗杆的高度，设计了如图所示的三种方案，并测得图(a)中BO=6m,OD=3.4m,CD=1.7m 图(b)中CD=1m,FD=0.6m,EB=1.8m 图(c)中BD=9m,EF=；此人的臂长为0.6m 。 （1） 说明其中运用的主要知识；（2）分别计算出旗杆的高度。 （a ） （b ） （c ） O D C B A F E D C B A F E B C D A E D C B A 1 1 1 C B A 全国中学数学教学展评活动说课案 教材：九年义务教育三年制新教材（华东师大版） 课题: 八年级（下）§《解直角三角形》 §解直角三角形 一、教材分析： 数学是一门来源于生活，又应用于生活的学科。生活实际中，有不少问题的解决都涉及到数学中直角三角形的边、角关系。华东师大版新教材将解直角三角形的学习安排在了八年级下册第十九章中。首先从测量入手，给学生创设学习情境，接着研究直角三角形的边、角关系，最后利用勾股定理及锐角三角函数的知识来解决实际中提出的：如测量、航海、工程技术和物理学中的有关距离、高度、角度的计算等问题。在呈现方式上更突出了实践性与研究性，突出了学数学、用数学的意识与过程，注重联系学生的生活实际。同时还有利于数形结合，即把图形语言、文字语言与数学符号语言有机地结合起来。 而解直角三角形是继锐角三角函数后本章的第四节，一共4个课时。主要 研究了如何利用解直角三角形的有关知识解决与直角三角形有关的实际问题。 比如：方向角问题、仰角俯角问题、坡度问题等。从这些问题中，我们要理解 解直角三角形的方法，了解方向角、仰角、俯角、坡度等相关名词的意义，掌 握将实际问题转化为数学模型的思想方法，从而达到灵活运用数学知识解决实 际问题的最终目的。 二、教学目标： 由于本课为第一课时，主要使学生理解直角三角形的边角关系，并能运用这些关系解直角三角形，同时解决与之相关的实际问题。所以三维目标的知识与技能目标主要体现在： 〈一〉知识与技能目标： 1、弄清解直角三角形的含义，理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股 定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2、利用构造直角三角形的方法解决与之相关的实际问题。本课着重解决方向角 问题。 3、通过变成题的训练，提高学生的解题能力，并使学生从中体会到学数学、用 数学的乐趣。 〈二〉过程与方法目标： 作为一名数学教师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想，数学意识，所以在过程与方法目标上，体现在让学生学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决的能力，要求学生善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，培养学生用数学的意识。 〈三〉情感目标： 通过学习解直角三角形的应用，认识到数与形相结合的意义和作用，体验到学好知识，能应用于社会实践，通过选式的诀窍，可简便计算，从而体会探索，发现科学的奥秘和意义。 〈四〉教学重点： 使学生学会将简单的实际问题转化为数学问题，并能选用适当的锐角三角函数关系式解决，提高他们分析和解决实际问题的能力是本课的重点。 解直角三角形教学反思 本节课的重点难点是直角三角形的解法，为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系，正确选用这些关系，是正确、迅速的解决直角三角形的关键。解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用。因此，在处理例题时，首先，应让学生独立完成，培养学生分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想。 通过本节课教学，我觉得教学目标定位准确恰当。结合课程标准，在对教材深入钻研的基础上，围绕知识与技能、过程与方法、情感态度价值观，制定了以“会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形”作为本节课的核心目标，“渗透数形结合的数学思想、分类思想等，培养学生良好的学习习惯。”结合课堂教学，我个人认为教学目标达成度是比较高的。 第二，本节课的设计，力求体现新课程理念。给学生自主探索的时间，给学生宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神、合作精神，激发学生学习数学的积极性、主动性。 第三，教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者、帮助者。在学生选择解直角三角形的诸多方法的过程中，我并没有过多地干预学生的思维，而是通过问题引导学生自己想办法解决问题，教师组织学 生比较各种方法中哪些较好，而后选择了一种解法进行板演。在培养学生的语言表达能力上下了功夫。 通过本节课的实践，我觉得也存在一些需要自己深刻反思和改进的地方。比如，在探讨解直角三角形的依据时，处理的有些过于仓促，讲话语速太快，影响学生的思考时间，有些问题还应该放手让学生自己去想，可能效果更好；在讲正多边形的例题时，从特殊到一般，处理上有些欠妥。又如，课堂总结时，总想把现成的规律性结论用学生喜欢的形式告知他们，但忽视了学生在没有亲身体验与感受的情况下，老师的努力将大打折扣。在今后的教学中，我将更多地关注学生的发展与提升，注意以学生的思维为发展目标。 总之，本节课教学力争体现新课标的教学理念，对新课标下的新课堂的丰富内涵进行积极的探索与有益的尝试。着力做到新课堂是数学活动的场所，是讨论交流的学堂，是渗透德育的基地，是学生发现创造展示自我的舞台！ 第25章 解直角三角形 第1课时 25.1测量 教学目标：1。知识与技能：利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几 种方法，初步接触直角三角形的边角关系。 2.过程与方法： 通过操作、观察、培养学生动手和归纳问题的能力。 在观察、操作、培养等过程中，发展学生的推理能力。 3.情感态度与价值观：通过运用相似及已学过的知识探索解三角形的方法，体验教学研究和发现的过程，逐渐培养学生用数学说理的习惯，唤起学生学习后续内容的积极性。 教学重点：探索测量距离的几种方法。 教学难点：选择适当的方法测量物体的高度或长度。 教学设想： 1.课型：新授课 2.教学思路：直观感知-操作确认-合情说理-应用提高． 教学过程： 一。复习引入： 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高？我们知道可以利用相似三角形的对应边，首先请同学量出太阳下自己的影子长度，旗杆的影子长度，再根据自己的身高，计算出旗杆的高度。如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗？ 二。新课探究： 例1. 书.P.86试一试. 如图所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC=34°，并已知目高AD 为1米。现在请你按1：500的比例得△ABC 画在纸上，并记为△A 1B 1C 1,用刻 度尺量出纸上B 1C 1的长度，便可以算出旗杆的实际高度。你知道计 算的方法吗？ 解：∵△ABC ∽△A 1B 2C 3, ∴AC:A 1C 1=BC:B 1C 1=500:1 ∴只要用刻度尺量出纸上B 1C 1的长度，就可以计算出BC 的长度，加上AD 长即为旗杆的高度。若量得B 1C 1=a ㎝，则BC=500a ㎝=5a ㎝。故旗杆高(1+5a)m. 说明：利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等。 例 2.为了测出旗杆的高度，设计了如图所示的三种方案，并测得图(a)中BO=6m,OD=3.4m,CD=1.7m 图(b)中CD=1m,FD=0.6m,EB=1.8m 图(c)中BD=9m,EF=0.2；此人的臂长为0.6m 。 （1） 说明其中运用的主要知识；（2）分别计算出旗杆的高度。 E C B A 1 1 1 C B A 《解直角三角形》 一、教材分析： 《解直角三角形》是沪科版九年级（上）第23章《解直角三角形》中的内容。教学内容是能利用直角三角形的边角关系（勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数）解直角三角形。通过学习，学生理解直角三角形的概念，学会解直角三角形，从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力。它既是前面所学知识的运用，也是高中继续解斜三角形的重要预备知识，它的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法，在本节教学中有针对性的对学生进行这方面的能力培养。 二、教学目标： 知识与技能 1、理解解直角三角形的概念。 2、理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 过程与方法 综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，培养学生分析问题解决问题的能力。 情感态度与价值观 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯。 三、教学重点、难点： 重点：理解解直角三角形的概念，学会解直角三角形 难点：三角函数在解直角三角形中的应用。 四、教学方法与教学手段的选择 根据上述的教材分析与教学目的，以及《教学大纲》的要求， 本节课采用了启发讨论法，作为主要的教学方法。也就是采取教师引导为主，参与到学生之中，以形成师生之间、学生之间广泛研讨的形式。让学生做到完全投入，广泛交流，从而深刻认识所学知道的效果。在教学手段的选择上，除了在黑板上板书例题的解题过程，让学生的思维随着版书展开外，还利用实物投影仪以此帮助学生思考，让学生学习这种探求知识的观点和方法。 五、教学过程的设计 ⑴、上节课的知识回顾 首先引导学生复习上节课所讲的解直角三角形的意义及直角三角形中的边角关系。（为下面的新课作准备） ⑵、新知识的探究 讲授新知识这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演。 ⑶、解直角三角形的应用实例 为了能培养学生数形结合的审题意识，安排了例1、例2，完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？” 先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底。 在实际应用练习：将平时实际生活中的问题抽象成解直角三角形的问题，进而解决实际问题，强调解直角三角形的应用非常广泛，应牢牢掌握。 [4]、本节课小结 请同学回答本节课学了哪些知识？ [5]、作业布置 这节课的核心是解直角三角形。我的指导思想是：遵循由感性到理性，由抽象到具体的认识过程，启发学生审清题意，明确题中的含义，不断提高他们运用数学方法分析、解决实际问题的能力。 第一章直角三角形的边角关系 1.4 解直角三角形 一、知识点 1. 直角三角形的含义. 2. 求直角三角形的未知元素. 二、教学目标 知识与技能： 初步理解解直角三角形的含义，掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素. 过程与方法： 1. 在研究问题中思考如何把实际问题转化为数学问题，进而把数学问题具体化. 2. 解直角三角形的对象是什么？在解决与直角三角形有关的实际问题中如何把问题数学模型化.通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力. 情感态度与价值观： 在解决问题的过程中引发学生形成数形结合的数学思想，体会数学与实践生活的紧密联系.从而增强学生的数学应用意识，激励学生敢于面对数学学习中的困难.通过获取成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心，养成良好的学习习惯. 三、重点与难点 重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系，运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素. 难点：从已知条件出发，正确选用适当的边角关系或三角函数解题. 四、知识回顾(出示幻灯片2) 1、在一个直角三角形中，共有几条边？几个角？（引出“元素”这个词语） 2、在RtΔABC中，∠C=90°.a、b、c、∠A、∠B这些元素间有哪些等量关系呢？ 讨论复习： RtΔABC的角角关系、三边关系、边角关系分别是什么？ 总结：直角三角形的边角关系 （1）两锐角互余：∠A+∠B=90° （2）三边满足勾股定理：a2+b2=c2 （3）边与角的关系： 4cm 450 300 B C 解直角三角形的应用专题复习 解直角三角形的应用既是初中数学的重要容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此，通过复习应注意领会以下几个方面的问题： 一、解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角三角形的难点，更是复习本部分容的关键。 二、中考导向掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此，解直角三角形既是各地中考的必考容，更是热点容。题量一般在4%~10%。分值约在8%~12%题型多以中、低档的填空题和选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题，几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。 1.解直角三角形有以下类型： ①已知两边 先用勾股定理求出第三边，再求三角函数值，最后求出角． ②已知一边和一锐角 先求另一锐角，再由边角关系求其余两边． 典例分析： 例1 在ABC Rt ?中,,900=∠C 3,30==∠b A ,解这个三角形. 解法一 ∵ ,30,9000=∠=∠A C ∴ .2a c = 设x a =,则.2x c =由勾股定理,得222)2().3(x x =+ ∴ 1=x . ∴ 000060309090.22,1=-=∠-=∠===A B x c a . 解法二 .13 3 330tan 0=? ==b a 0002222603090.2)3(1=-=∠=+=+= B b a c 说明: 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用本章所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题. 巩固训练： 分别由下列条件解直角三角形（090=∠C ）. 1 1.4 解直角三角形 1．正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形；(重点) 2．选择适当的关系式解直角三角 形．(难点) 一、情境导入 如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为该市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段AC 上的A ，B 两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D 进行了测量，分别测得∠DAC ＝60°，∠DBC ＝75°.又已知AB ＝100米，根据以上条件你能求出观景台D 到徒骇河西岸AC 的距离吗？ 二、合作探究 探究点：解直角三角形 【类型一】 利用解直角三角形求边或 角 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∠A 、∠B 、∠C 的对应边分别为a 、b 、c ，按下列条件解直角三角形． (1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长； (2)若a ＝6，b ＝6，求∠A 、∠B 的度数和边c 的长． 解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形． 解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°， a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，a c ＝ cos B ，即c ＝a cos B ＝363 2 ＝243，∴b ＝1 2c ＝1 2×243＝123； (2)在Rt △ABC 中，∵a ＝6，b ＝6，∴c ＝62，∠A ＝∠B ＝45°. 方法总结：解直角三角形时应求出所有 未知元素，尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第6题 【类型二】 构造直角三角形解决长度问题 一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝ 122，试求CD 的长． 解析：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，求出BM 与CM 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF ＝60°，利用解直角三角形解答即可． 解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AC ＝122，∴BC ＝AC ＝12 2.∵AB ∥CF ，∴BM ＝sin45°BC ＝122× 2 2 ＝12，CM ＝BM ＝12.在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝30°，∴∠ EDF ＝60°，∴MD ＝ BM tan60° ＝43，∴CD ＝ CM －MD ＝12－4 3. 方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第7题 【类型三】 构造直角三角形解决面积问题 在△ABC 中，∠B ＝45°，AB ＝2， ) F E H G =1 ) C D ) 60° i= 19) ) ) 1 填空题 时 sin C. sin )米2 A. sin G B. sin G C. sin G 也5 2 A. si n 解直角三角形测试题 5. si n65。与 A. sin65 ° 《解直角三角形》说课稿 最新
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