第七讲：椭圆焦点三角形面积问题
题型七：焦点三角形的面积有关问题
定理在椭圆（＞＞0）中，焦点分别为、，点P是椭圆上任意一点，，则.
y
F1 O F2 x
P
P
例1 若P是椭圆上的一点，、是其焦点，且，求△的面积.
例2 已知P是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，
若，则△的面积为（）A. B. C. D.
例3已知椭圆的左、右焦点分别是、，点P在椭圆上. 若P、、是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（）A. B. C. D. 或
例4：已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．求椭圆的方程；点评：过椭圆焦点的所有弦中通径最短，通径为。
练习：1、椭圆上一点P与椭圆个焦点、的连线互相垂直，则△的面积为（）A. 20 B. 22 C. 28 D. 24
. 椭圆的左右焦点为、，P是椭圆上一点，当△的面积最大时，的值为（） A. 0 B. 2 C. 4 D.
3.已知
是椭圆
的两个焦点，
为椭圆
上的一点，且
。若
的面积为9，则
.
4.已知椭圆的两个焦点分别为,,为椭圆上一点,且,则的值等于 ．
椭圆标准方程焦点三角形面积公式高三复习
椭圆标准方程焦点三角形面积公式高三复习 文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968）
椭圆焦点三角形面积公式的应 用 性质1(选填题课直接用，大题需论证): 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任 意一点，θ=∠21PF F ，则2 tan 22 1 θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF == .4)(,2222121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：cos 2212221r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 典型例题 例1 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积.
例2 已知P 是椭圆19 252 2=+ y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若 2 1 | |||2121= ?PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D. 3 3 例3（04湖北）已知椭圆19 162 2=+ y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A. 59 B. 779 C. 4 9 D. 4 9 或 7 7 9 答案： 例1 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 解法一：在椭圆 164 1002 2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60?=θ记.||,||2211r PF r PF == 点P 在椭圆上， ∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r
椭圆焦点三角形面积
椭圆焦点三角形面积公式的应用 多年来，椭圆、双曲线相关的焦点?21F PF ,(为曲线上的任意一点P 21F F 与为曲线的焦点）中的边角关系是学生必须掌握的重点知识，也是 高考的热点内容之一，尤其是近几年的出题频率呈上升趋势.现列举部分典型试题说明其应用类型. 定理 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点， θ=∠21PF F ，则2 tan 2 21θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得 .4)(,2222121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22 212 22 1c r r r r =-+θ 配方得：.4cos 22)(2 2121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242 212 c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 典题妙解 例1 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 解法一：在椭圆 164 1002 2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60?=θ记.||,||2211r PF r PF ==
椭圆中焦点三角形的性质(含答案)
焦点三角形习题 性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a b 2 2 性质二：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形 21F PF 中,21θ=∠PF F 则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==， 由椭圆的第一定义得.4)(,22 22121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22 212 22 1c r r r r =-+θ 配方得：.4cos 22)(2 2121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242 212 c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 性质三：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形 21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ 性质三 证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ?中，由余弦定理得： 1 222242)(2cos 2 12 221221221212 212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ
椭圆焦点三角形圆周角最大问题
椭圆焦点三角形圆周角最大的证明 已知椭圆()22 22:10x y E a b a b +=>>两焦点()()12,0,,0F c F c -,同时点 P 椭圆()22 22:10x y E a b a b +=>>上一动点。通常我们把以 12,,P F F 为顶点的三角形称为焦点三角形（如右图） 若我们记12F PF θ∠=,则θ何时最大呢？ 法一：不妨设12 ,PF m PF n ==，于是2 2 2 2221212 12 4cos 22PF PF F F m n c PF PF mn θ+-+-==? 我们知道：当,0a b > )2a b a b +≤≤=当且仅当时取等号， 故而当,0a b >时，有()2 22 22a b a b ab a b ++??≤≤ = ??? 当且仅当时取等号 故()22 22222222 2 2424244222cos 122222m n m n m n c c c m n c mn mn mn m n θ++????+?-?-?- ? ?+-????==≥≥+?? ? ??? 我们我们注意到2m n a +=（为定值），所以 ()2 2 22222 24242cos 12222m n c a c c a a m n θ+???- ?-????≥==- ???+?? ? ??? 为定值 我们注意到()1式，有二次使用不等式，但这两次取等的条件都是m n =（即点P 在短轴的端点()12,B B 处取等），故()2 min cos 12c a θ?? =- ??? ，又 ()0,θπ∈，且函数cos y x =在()0,π上为减函数。故 cos θ最小时，θ恰有最大值。故点P 在短轴的端点() 12,B B 处，θ最大。
焦点三角形的性质
椭圆中焦点三角形的性质及应用 定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等. 一．焦点三角形的形状判定及周长、面积计算 例1 椭圆上一点P 到焦点21,F F 的距离之差为2，试判断21F PF ?的形状. 解：由 112 162 2=+y x 椭圆定义： 3||,5||.2||||,8|||212121==∴=-=+PF PF PF PF PF PF . 又4||21=F F Θ，故满足：,||||||2 12 212 2PF F F PF =+故21F PF ?为直角三角形. 说明：考查定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功. 性质一：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形 21F PF 中,21θ=∠PF F 则2 tan 221θ b S PF F =?。 θ cos 2)2(212 2212 2 12PF PF PF PF F F c -+==Θ)cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF θ θθcos 12)cos 1(244) cos 1(24)(2 222 22121+= +-=+-+= ∴b c a c PF PF PF PF 2 tan cos 1sin 2122212 1θθθb b PF PF S PF F =+==∴? 性质二：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角 形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。 证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ?中，2 12 2 121212cos PF PF F F PF PF -+= θ2 12 21221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=
椭圆内接三角形的最大面积
椭圆内接三角形的最大面积 最早接触到这个题目时是在一节数学课上，有一道特殊情况的问题：给定一点以及其切线，在椭圆上找到一条与切线平行的弦，使得弦的端点与该定点确定的三角形面积最大。讲完该题后，数学老师提出了椭圆内接三角形的最大面积的问题。循着上题的思路，我得到了关于这道题的解法。解法如下： 首先我们在椭圆上任意找两相异点A 、B ，连接AB 在椭圆上找一点C 使得C 处的切线l 斜率等于k AB ，存在两点C ， 选择使面积较大的一个C ，这样以AB 为一边的三角形中，三角形ABC 面积最大。 平移AB ，可以找到一个更大的三角形A ’B ’C ，如果我们证明每一 个这样的三角形A ’B ’C 面积相等，那么这样的三角形A ’B ’C 的面积都是 最大面积。 反过来，若固定一个C 点，作其切线l ，在椭圆上找一平行于l 的 弦ABC ，使之面积最大。那么，这样的三角形ABC 与上述三角形A ’B ’C 一一对应，所以只需证明每一个三角形ABC 面积相等。 证明：设椭圆的方程为 12222=+b y a x (a>b>0)，C 点坐标为（x 0，y 0）。 12222=+b y a x 两边对x 求导，0'2222=+y b y a x ，所以y ’=y a x b 22- 所以0 202y a x b k k l AB -== 设AB 方程为y=m x y a x b +-02 02则 y=m x y a x b +-0 202 （1） 12222=+b y a x （2） 1220220 =+b y a x （3） （1）（2）联立得0)(22220 0222022042022=-+-+b m a x y m x b x y a x b y b a 又因为2002202*21**12 1)(AB AB ABC k y m y a x b a k m S +-+-?+=? 而
椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复习)
椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复 习) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
椭圆焦点三角形面积公式的应用 性质1(选填题课直接用，大题需论证): 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一 点，θ=∠21PF F ，则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得 .4)(,2222121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：2(cos 2212 22 1r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 典型例题 例1 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 例2 已知P 是椭圆 19252 2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若2 1 | |||2121= ?PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ）
解析几何专题二(焦点弦及焦点三角形)
专题二：圆锥曲线焦点弦、焦点△知识专题 【焦半径——椭圆】θ取弦与焦点轴的锐角为 121212::=2:=2a ex;a ex; |AB |a e(x x );|AB |a e(x x ) ρρ=+=-++-+左焦半径右焦半径左焦弦右焦弦 【焦半径——双曲线】θ取弦与焦点轴的锐角为 (１) 单支焦点半径 112::=-2(a ex );|AB |a e(x x );ρ=-+-+左焦半径左焦弦 1122::=ex a;|AB |e(x x )a;ρ=-+-右焦半径右焦弦 （2) 双支焦点半径 1122::=a ex;|AB |a e(x x );ρ=+++异支左焦半径异支左焦弦 1122::=a ex;|AB |a e(x x );ρ=--+异支右焦半径异支右焦弦 【焦半径——抛物线】θ取弦与焦点轴的锐角为 1212==y x |AB |x x p;y |AB |y p ++++焦点在轴上焦点在轴上:: 【焦点弦有关推论——椭圆】θ取弦与焦点轴的锐角为 1、过椭圆、双曲线的一焦点F 交椭圆或双曲线（单支)于A ，Ｂ两点,则
２、过双曲线的焦点Ｆ的直线分别与两支交于A,B ，与焦点轴夹角为 )2 (πθ< 2 1122cos a cos |AF ||BF |p b θθ?+== 3、过抛物线的焦点F 直线交抛物线于Ａ,Ｂ两点，与焦点轴夹角为)2 (π θ< 112 |AF ||BF |p += 4、已知点是离心率为的椭圆或双曲线的焦点，过点的弦与 的焦点所在的轴的夹角为θ，且。 （1） 当焦点内分弦时，有 （2） 当焦点外分弦 时(此时曲线为双曲线)，有 【椭圆焦三角形 面积】q 为动点到原点的距离,，m,n 为弦长，α为弦夹角 【椭圆】22 212 2 ()S (a c )tan b tan α α =-= 22()S b mn b =- 3()S (a c )(a c )(a q )(a q )=+-+- 【双曲线焦△ 面积】q 为动点到原点的距离,,m,n 为弦长，α为弦夹角 212 b ()S tan α = 22()S b mn b =- 3()S (a c )(a c )(a q )(a q )=+-+-
椭圆中三角形
椭圆中三角形(四边形)面积最值求解策略 最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，本文举列探求椭圆中三角形(四边形)面积最值问题的求解策略 一 利用椭圆的几何性质(对称性、取值范围等) 例1 已知椭圆 )0(12 22 2 >>=+ b a b y a x 的右焦 点是F （c,0），过原点O 作直线l 与椭圆相交于A,B 两点，求三角形ABF 面积的最大值。 分析:将三角形ABF 的面积分割成两个三角形的面积之和，并表示成关于点A 的坐标的函数，然后利用椭圆的取值范围求解 解析:因为直线l 过原点，由椭圆的对称性知，A,B 两点关于原点对称，设点A （x 0,y 0）(y 0>0), 设三角形ABF 的面积为S ，则S=S △AOF + S △BOF =2S △AOF =cy 0, 0
椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复习)
椭圆焦点三角形面积公式的应用 性质1(选填题课直接用，大题需论证): 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点， θ=∠21PF F ，则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得 .4)(,2222121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212 22 1c r r r r =-+θ 配方得：.4cos 22)(2 21212 21c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242 212 c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 典型例题 例1 若P 是椭圆 164 10022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 例 2 已知P 是椭圆 19252 2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若2 1 | |||2121= ?PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ）
A. 33 B. 32 C. 3 D. 3 3 例3（04湖北）已知椭圆 19 162 2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A. 59 B. 779 C. 49 D. 49或7 79 答案： 例1 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 解法一：在椭圆 1641002 2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60?=θ记.||,||2211r PF r PF == 点P 在椭圆上， ∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212 22 1c r r r r =-+θ 配方，得：.1443)(212 21=-+r r r r .144340021=-∴r r 从而.3 256 21= r r .3 36423325621sin 212121=??== ?θr r S PF F 解法二：在椭圆 1641002 2=+y x 中，642=b ，而.60?=θ .3 3 6430tan 642 tan 221= ?==∴?θ b S PF F 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！
2018届高三数学椭圆经典结论
2018届高三数学一轮复习 极速秒杀法-------椭圆经典结论 [结论1]：椭圆焦点三角形周长：122PFF =2a 2,=4a c MNF +周长周长； [例题]：（1）椭圆22 131 x y +=，点A,B 经过椭圆左焦点，2ABF ?的周长。 解：2AB F 周长 （2）过椭圆 221259 x y +=左焦点作直线与椭圆交于AB ，若22AF +BF =12AB ，求的值。 解：2AB =4a=12+AB AB =8F ∴周长。 [结论2]：焦点三角形离心率：1212 22F F c e a PF PF = =+；1221cos 2=PFF =PF F cos 2 e αβ αβαβ+=∠∠-（，）； [例题]：（1）过椭圆22 221x y a b +=左焦点作x 轴的垂线与椭圆交于P ，若1260F PF ∠=，求离心率。 解：12122233 F F c e a PF PF t = === + 。 （2）过椭圆 22 112m x y +=右焦点2F 作x 轴的垂线与椭圆交于A,B ，若1ABF ?为正三角形，求椭圆方程。 解：3090 cos cos 22===830903cos cos 22 e m αβ αβ++= =- - 。 （3）已知正方形ABCD ，求以A ，B 为焦点且过C ，D 的椭圆的离心率。 解：1212212F F c e a PF PF = ===+ 。 （4）在三角形ABC 中，AB=BC ，7 cos 18 B =- ，求以A,B 为焦点，且过C 的椭圆的离心率。 解：2122 1225523 59328 3 F F t t c t AC AC e t a PF PF t =∴=∴====++ 。 （5）设22 222 1F x y a b +=以的右焦点为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M ，若1F M 与圆相切，求e. 解：1212212F F c e a PF PF = ===+。
圆锥曲线中三角形面积问题
2.已知椭圆2 212 x y +=，12,F F 分别是椭圆的左右焦点，过点B(0，－2)作直线1BF 交椭圆 于,C D ，求2F CD S ? (9 ) 4.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 的离心率为3 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 。（1）求椭圆C 的方程（2 213 x y +=） (2)设直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，坐标原点O 到直线l ，求AOB ?面积最大值。 ） ()的方程 求直线时当的最大值的条件下求在的面积为记两点、交于与椭圆直线浙江AB ，S AB ，S b k S AOB ，B A y x b kx y 1,2)2(;10,0)1(. 14 07.122 ==<<=?=++= （Ⅰ）解：设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，， 由2214 x b += ，解得12x =±，， 所以121 2 S b x x = - 2b =2211b b +-=≤． 当且仅当b = S 取到最大值1． （Ⅱ）解：由22 14 y kx b x y =+???+=??，，得222 12104k x kbx b ??+++-= ?? ?， 2241k b ?=-+， 11||||AB x x =- 224 k ==+． ②
设O 到AB 的距离为d ，则21||S d AB = = ，又因为d = ，所以22 1b k =+， 代入②式并整理，得42104k k -+=，解得212k =，23 2 b =，代入①式检验，0?>， 故直线AB 的方程是 22y x = + 或22y x =- 或22y x =-+ ，或22 y x =--． 7.已知方向向量为 ()3 ,1=的直线 l 过点 ()32,0-和椭圆 )0(1:22 22>>=+b a b y a x C 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上. (1)求椭圆C 的方程； (2)是否存在过点 () 0,2-E 的直线 m 交椭圆 C 于点M 、N ，满足 ().0tan 1 364为原点O MON ≠= ?若存在，求直线m 的方程；若不存在，请 说明理由. 解：（1）椭圆C 的方程为12 62 2=+y x （2）直线l 的方程为2,3 3233,33233-=--=+=x x y x y ()的面积的最小值求四边形证明点的坐标为设垂足为且两点、的直线交椭圆于过两点、的直线交椭圆于过、的左、右焦点分别为已知椭圆ABCD y x ，y x P P BD AC ，C A F ， D B F F F y x )2(; 12 3:,)1(.,.12 3.32 02 00021212 2<+⊥=+ （Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==， 由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故2 2 001x y +=， 所以，2222 00021132222 y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程
椭圆中的焦点三角形(总结非常好)
学习任务单 椭圆焦点三角形的性质 班级_______________学号_______________姓名_______________ 任务一课前小测，知识回顾 1.△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3 A π=，2a =，求,b c .2.△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2a =，4b c +=. (1)若23B π=，求c ；(2)设B θ=，试用θ表示c . 3.(教材习题)如果椭圆22 110036 x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是________. 4.(教材习题)已知经过椭圆22 12516 x y +=的右焦点2F 作直线AB ，交椭圆于A ,B 两点，1F 是椭圆的左焦点，则△1AF B 的周长为________.思考与总结: ①你能说出椭圆焦点三角形，焦点弦的定义吗？ ②通过题3、题4的解答，你能说说“椭圆焦点三角形的元素”与“椭圆的几何性质”间的一些关系吗？ 任务二抽丝剥茧，试题分析
学而不思则罔，思而不学则殆 5.(2020顺德二模第19题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ,2F ，122F F =， 设点P 为椭圆C 上一点,123 F PF π∠= ，且△12F PF (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左右顶点为1A ,2A ，称以12A A 为直径的圆为椭圆C 的“伴随圆”.设直线1l ,2l 为过点1F 的两条互相垂直的直线，设1l 交椭圆于Q ,T 两点，2l 交椭圆C 的“伴随圆”于M ,N 两点，当QT 取到最小值时，求四边形QMTN 的面积.思考与总结： ①题5条件中有很多△12F PF 的信息，由这些出发，你能得到什么？这些对第(1)问求椭圆C 的标准方程有帮助吗？ ②第(2)问表面上“高深莫测”，请耐心一点，逐句分析，你能得到哪些基本信息？请一一写出来！ ③你能想到什么方法求QT 的最小值？ 任务三方法感悟，素养提升
椭圆中的重要结论
椭圆中焦点三角形的性质及应用 定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有 关问题有意地考查了定义、三角形中的的正 (余)弦定理、内角和定理、面积公式等 一?焦点三角形的形状判定及周长、面积计算 2 2 例1椭圆 ? 1 1上一点P 到焦点F 「F 2的距离之差为2，试判断：PF 1F 2 的形状. 16 12 性质一： 2 2 已知椭圆方程为 笃?爲=1(a b 0),两焦点分别为F“ F 2 ,设焦点三角形 a b PF 1F 2 中. F 1PF 2 ",则 S -F 1PF 2 形PF 1F 2，若一 F 1 PF 2最大，则点P 为椭圆短轴的端点。 性质 三： h 厶 过椭圆焦点的所有弦中通径 (垂直于焦点的弦)最短，通径为2 b a 性质四： 2 2 已知椭圆方程为 务?每=1(a b 0),两焦点分别为F“ F 2,设焦点三角形 a b 2 PF 1F 2 中 FfF 2 - V,则 COST 一1 — 2e . 2 2 一 x y 例2 (2000年高考题)已知椭圆 — 2 =1(a b 0)的两焦点分别为F-F 2,若椭圆上 a b 存在一点P,使得三F 1PF 2二12。0,求椭圆的离心率e 的取值范围。 二 b 2 tan —。 2 性质二：已知椭圆方程为 2 2+ 着 x 2 = 1(a b ■ 0),左右两焦点分别为 F 1, F 2,设焦点三角
例3已知椭圆的焦点是F i( —1, 0)、F2(1 , 0) , P为椭圆上一点，且| I F1F2 I 是 | PF I 和PR丨的等差中项. (1)求椭圆的方程； (2)若点P在第三象限，且/ PFF2= 120°,求tan F1PF2.
椭圆中相关三角形的面积问题
椭圆的焦点弦三角形的面积问题 丁益祥特级工作室 张留杰 众所周知，椭圆 222 2 1x y a b + =的焦点三角形12F P F 的面积为122 tan 2 F P F S b θ ?=（其中 12F PF θ∠=） ，当且仅当点P 与短轴端点重合时该三角形的面积最大，最大值为122 S c b c b = ??=．而在椭圆中和两焦点相关的三角形还有“焦点弦2F P Q ?”，其中PQ 是椭圆的过焦点1F 的弦（如图）．此三角形的面积的求法不止一种，如212|| F PQ S c y y ?=-（1y 、2y 分别为P 、Q 两点的纵坐标）等．那么该三角形的面积是否有最大值呢？最大值是多少？笔者在备课讨论过程中对此进行了探究． 将弦PQ 绕焦点1F 旋转，不难发现2F P Q ?的面积存在最大值． 设直线PQ 的参数方程为cos , sin .x c t y t θθ=-+??=? （t 为参数，0θπ<<）代入椭圆方程得 2222222 (cos )sin b c t a t a b θθ-++=，整理得 2 2 2 2 2 2 4 (cos sin )2cos 0b a t cb t b θθθ+-?-=， ∴ 2 122 2 2 2 2cos cos sin cb t t b a θθθ += +，4122 2 2 2 cos sin b t t b a θθ -= +． 根据参数t 的几何意义，可得 12||||cos sin PQ t t b a θθ =-= = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22(1sin )sin sin b ab b a b c θθ θ = = -++． ∴ 22 122 2 2 112||||sin 2sin 2 2 sin F PQ ab S PQ F F c b c θθθ ?= ??= ? ??+
《圆锥曲线中的三角形面积问题》教学设计
人教A版高中数学高三一轮复习 立足基础，提升时效——圆锥曲线中的三角形面积问题 执教者：授课时间：2017-10-18 早上第三节 授课学生：高三1班(高三文科班) 授课地点：新校区录播室 一、教学内容分析 近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长、定值、面积等。分析这类问题，往往利用数形结合、函数与方程、化归与转化等思想和“设而不求”的方法及韦达定理等。 本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神，进一步提高学生“应用数学”的水平． 二、预测高考 会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的综合题。 三、教学目标 1.会选择合理的方法求圆锥曲线中三角形面积。 2.能利用函数与方程、数形结合、转化与化归等思想解决圆锥曲线中的三角形面积问题。 四、教学重难点 1.教学重点：掌握圆锥曲线中三角形面积的计算方法。 2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力。 五、教学策略选择 自主学习、小组讨论法、师生互动
同学上台展示作业，并介绍解题过程。 师小结：看来用上这四个步骤可以很好的帮我们解决问题。 （Ⅰ）第一步，分析几何对象几何特征，理解题意，并画出图 第三步，代数运算。 = 9 。原 9 AOB面积取得最大值时，求直线
问题目标代数化：第三步，代数运算。
椭圆中与焦点三角形有关的问题
椭圆中与焦点三角形有关的问题 例1：椭圆14 92 2=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上动点，当 21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是_______。 （二）问题的分析 问题1. 椭圆14 92 2=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上一点，当21PF F ∠为直角时，点P 的横坐标是_______。 问题2. 而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？ 解题的关键在于点动，发现21PF F ∠的大小与点P 的位置有关，究竟有何联系。 性质一：当点P 从右至左运动时，21PF F ∠由锐角变成直角，又变成钝角，过了Y 轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点P 与短轴端点重合时，21PF F ∠达到最大。 3.“性质一”是为什么呢？你能证明吗？ 问题3：解三角形中我们常用的理论依据是什么？ 问题4：究竟转化为求哪种三角函数的最值，经演算、试验，悟出“欲求21PF F ∠的最大值，只需求cos 21PF F ∠的最小值”
问题5：由上面的分析，你能得出cos 21PF F ∠与离心率e 的关系吗？ 性质二：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ（当且仅当动点为短轴端点时取等号） 题2：已知1F 、2F 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使?=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。 变式1：已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,1200 21=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。 变式2：若椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点1F 、2F ，试问：椭圆上是否存在点P ，使?=∠9021PF F ？存在，求出点P 的纵坐标；否则说明理由。
椭圆中以原点为顶点的三角形面积
题目一：y kx m =+与椭圆221a b +=交于A ，B 两点，则 22222222 OA OB OAB b ab k k k a b m S a ??=-?+=?= 提示：记忆方式利用直线与椭圆相切的公式特点记忆。 222222 y kx m b x a y a b =+??+-=?， 22222222()2()0 b k a x kma x a m b +++-=， 22 2 2 2 2 4()0a b k a b m ?=+->，2112222kma x x k a b -+=+，2221122 2 () a m b x x k a b -?=+， 222 12121222212()()OA OB y y b b b k k kx m kx m x x a x x a a ?=-??=-?+?+=- 2222222 222 121222222222 ()2()()0()0b b a m b kma k x x km x x m k km m a a k a b k a b --++++=?+++=++， 化简得：2222 2k a b m +=。 2221222OAB ab S AB d k a b ?=?===+。 题目二：y kx m =+与椭圆22 221x y a b +=交于A ，B 两点，则 2 OAB ab S ?≤ ，当且仅当2222 2k a b m +=时等号成立。 简证：1122OAB S AB d ?=?=222222221()22 ab k a b m m ab k a b +-+≤?= +， m =，即2222 2k a b m +=时均值不等式中的等号成立。 解法2：设(cos ,sin ),(cos ,sin )A a b B a b ααββ，则12211 2 OAB S x y x y ?= - 1cos sin sin cos sin()222 ab ab ab ab αβαβαβ= -=-≤。 注意：椭圆参数方程中参数的几何意义不是极角。
椭圆、双曲线中与焦点三角形有关的问题.
椭圆、双曲线中与焦点三角形有关的问题（一） 学习目标：1探究焦点三角形的有用结论，能理解、会应用，体会到一些有用的结论将会 为解析几何的解题带来帮助。 2在探究中体会数形结合思想，化归思想在数学中的应用。 复习旧知：1三角形面积公式；2三角形中的勾股定理、余弦定理；3椭圆、双曲线的定义 典例探究： 探究1 计算焦点三角形的周长 例1椭圆112 162 2=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上。求12F PF D 的周长。 探究2 判定焦点三角形的形状 例2椭圆112 162 2=+y x 上一点P 到焦点1F 、2F 的距离之差为2，试判断12F PF D 的形状。 探究3 与焦点三角形有关的椭圆离心率问题 例3设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF D 为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。 探究4 与焦点三角形有关的椭圆方程问题 例4若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到 探究5 计算焦点三角形的面积 例5椭圆124 492 2=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，求12F PF D 的面积。 例6设1F 、2F 为2 214x y -=的两个焦点，点P 在曲线上，若1290F PF ? ，求12F PF D 的面积。
例7椭圆14 22 =+y x 的左右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，当12F PF D 的面积最大时，求21PF ?的值。 例8 若P 是椭圆164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求12F PF D 的面积。 例9若1F 、2F 是双曲线22 1916 x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且?=∠6021PF F ，求12F PF D 的面积。 练习巩固： 1.已知1F 、2F P 为椭圆C 上的一点，且。若12PF F ?的面积为9，则b = 。 2.已知椭圆2 221(1)x y a a +=>的两个焦点分别为1F ,2F ,P 为椭圆上一点,且1260F PF ∠= ,则12||||PF PF ?的值等于 。 3已知椭圆的方程为22 1,97 x y +=1F 、2F 是椭圆的两个焦点，若点P 是椭圆上的一点，且12 45PF F ? ，求12PF F ?的面积。 4点P 为椭圆22 154 x y +=上的一点，以点P 以及焦点1F 、2F 为顶点的三角形的面积为1，
高中数学椭圆焦点三角形面积公式
求解 运用公式 设P为椭圆上的任意一点， 角F1F2P=α ，F2F1P=β，F1PF2=θ， 则有离心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ)， 焦点三角形面积S=b^2*tan(θ/2)。 证明方法一 设F1P=m ，F2P=n ，2a=m+n， 由射影定理得2c=mcosβ+ncosα， e=c/a=2c/2a=mcosβ+ncosα / (m+n)， 由正弦定理e=sinαcosβ+sinβcosα/ (sinβ+sinα)=sin(α+β)/ (sinα + sinβ）。 证明方法二 对于焦点△F1PF2，设PF1=m,PF2=n 则m+n=2a 在△F1PF2中,由余弦定理: (F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ 即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ) 所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2 所以mn=2b^2/(1+cosθ) 例题 F1，F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点，PQ是过F1的一条弦，求三角形PQF2面积的最大值 【解】S△PQF2=S△QF1F2+S△QF1F2=1/2 * |y2-y1| * 2c=c*|y2-y1| △QF1F2与△QF1F2底边均为F1F2=2c，之后是联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出|y2-y1|进行分析即可【|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2] 】请你看下面的一个具体例题，会对你有所启发的。
设点F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点，求三角形F1AB的面积的最大值。 【解】a^2=3,b^2=2,c^2=3-2=1→→c=1 ∴F1F2=2c=2 假设A在x上方，B在下方直线过(1,0) 设直线是x-1=m(y-0)x=my+1 代入 2x^2+3y^2=6(2m^2+3)y^2+4my-4=0→→y1+y2=-4m/(2m^2+3),y1y2=-4/(2m^2+3) △F1AB=△F1F2A+△F1F2B 他们底边都是F1F2=2 则面积和最小就是高的和最小（即|y1|+|y2|最小[1]） ∵AB在x轴两侧,∴一正一负→→|y1|+|y2|=|y1-y2| (y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=16m^2/(2m^2+3)2+16/(2m^2+3) →→|y1-y2|=4√[m2+(2m2+3)]/(2m2+3)=4√3*√(m2+1)]/(2m2+3) 令√(m^2+1)=p^2m^2+3=2p^2+1且p>=1则p/(2p^2+1)=1/(2p+1/p) (分母是对勾函数) ∴p=√(1/2)=√2/2时最小这里p>=1→→p=1,2p+1/p最小=3 此时p/(2p2+1)最大=1/3→→|y1-y2|最大=4√3*1/3∴最大值=2*4√3/3÷2=4√3/3 在椭圆中，我们通常把焦点与过另一个焦点的弦所围成的三角形叫做焦点三角形，类似地，我们也把顶点与过另一个顶点所对应的焦点弦围成的三角形叫顶焦点三角形．在椭圆的顶焦点三角形中有许多与椭圆焦点三角形相类似的几何特征，蕴涵着椭圆很多几何性质，在全国各地的高考模拟试卷及高考试题中，都曾出现过以“顶焦点三角形”为载体的问题．本文对椭圆的顶焦点三角形的性质加以归纳与剖析．