微专题：探究圆与椭圆中有关三角形面积的最值问题
2020寒假高三数学二轮复习微专题24椭圆中与面积有关的取值范围问题
微专题24 椭圆中与面积有关的取值范围问题范围问题类似于函数的值域，解析几何中几何量的范围问题，需要选择合适的变量构例题：如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x＝－2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围．变式1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 22＋y 2＝1，点A 是椭圆上异于长轴端点的任一点，F 为椭圆的右焦点，直线AF 与椭圆交于B 点，直线AO 与椭圆交于C 点，求△ABC 面积的最大值．变式2设椭圆E ：x 216＋y 24＝1，P 为椭圆C ：x 24＋y 2＝1上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.(1)求OQOP的值；(2)求△ABQ 面积的最大值．串讲1如图，已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，S 为直线x ＝22上一动点(不在x 轴上)，直线A 1S 交椭圆C 于点M ，直线A 2S 交椭圆于点N ，设S 1，S 2分别为△A 1SA 2，△MSN 的面积，求S 1S 2的最大值．串讲2已知点A(0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．(2018·广西初赛改编)已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点P ，Q ，且直线OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．(2018·南通泰州一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，两条准线之间的距离为4 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．答案：(1)x 24＋y 22＝1；(2)y ＝x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.解析：(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意得，c a ＝22，2a 2c ＝42，2分解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.4分(2)解法1：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以点M 为AB 的中点.6分 因为椭圆的方程为x 24＋y 22＝1，所以A(－2，0)．设M(x 0，y 0)，则B(2x 0＋2，2y 0)，所以x 02＋y 02＝89，①（2x 0＋2）24＋（2y 0）22＝1，②10分 由①②，得9x 02－18x 0－16＝0，解得x 0＝－23或x 0＝83(舍去)．把x 0＝－23代入①，得y 0＝±23，12分所以k AB ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.14分解法2：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以点M 为AB 的中点.6分设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2），得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以(x ＋2)[(1＋2k 2)x ＋4k 2－2]＝0，解得x B ＝2－4k 21＋2k 2，8分所以x M ＝x B ＋（－2）2＝－4k 21＋2k 2，10分y M ＝k(x M ＋2)＝2k 1＋2k 2，代入x 2＋y 2＝89，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 22＋⎝⎛⎭⎫2k 1＋2k 22＝89， 化简得28k 4＋k 2－2＝0，12分 即(7k 2＋2)(4k 2－1)＝0，解得k ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.14分。
椭圆的两种焦点三角形面积的最大值
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椭圆的两种焦点三角形面积的最大值
作者：程胜群
来源：《卷宗》2014年第03期
摘要：椭圆有两种焦点三角形，一种是以两个焦点与椭圆上的任意点构成的三角形；另
一种是过椭圆的一个焦点的任意直线与椭圆相交于两点，这两个点与椭圆的另一个焦点构成的三角形。
对于前者的最大值，根据椭圆的性质，很容易求出；然而，对于后者的最大值，却比较困难。
笔者研究发现，后者的最大值与椭圆的离心率有关。
如果知道离心率的范围，便可立即求得其面积的最大值。
关键词：椭圆；焦点三角形；面积；最大值。
高考数学《与解三角形有关的最值问题》
高考数学 与解三角形有关的最值问题
例 2 在△ABC 中，已知角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，tanC＝csoinsAA＋ ＋scionsBB. (1) 求角 C 的大小； (2) 若△ABC 的外接圆直径为 1，求 a2＋b2＋c2 的取值范围． 解析：(1) 因为 tanC＝csoinsAA＋ ＋scionsBB，即csoinsCC＝csoinsAA＋＋csionsBB， 所以 sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB， 即 sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，所以 sin(C－A)＝sin(B－C)． 所以 C－A＝B－C 或 C－A＝π－(B－C)(不成立)，即 2C＝A＋B，所以 C＝π3.
tanAtanBtanC 将问题作进一步处理．
因为 2sin2A＋sin2B＝2sin2C，所以由正弦定理可得 2a2＋b2＝2c2.
由余弦定理及正弦定理可得 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝4ba2b＝4ba＝4ssiinnBA.
高考数学 与解三角形有关的最值问题
又因为 sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC， 所以 cosC＝sinAcosC4s＋incAosAsinC＝co4sC＋4stiannCA， 可得 tanC＝3tanA，代入 tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC 得 tanB＝3ta4nta2AnA－1， 所以ta1nA＋ta1nB＋ta1nC＝ta1nA＋3ta4nta2AnA－1＋3ta1nA＝3ta4nA＋121ta3nA.
高考数学 与解三角形有关的最值问题
(2) 解法一：由 C＝π3可得 c＝2RsinC＝1× 23＝ 23， 且 a＝2RsinA＝sinA，b＝2RsinB＝sinB. 设 A＝π3＋α，B＝π3－α，0<A<23π，0<B<23π，知－π3<α<3π. 所以 a2＋b2＋c2＝34＋sin2A＋sin2B＝34＋1－c2os2A＋1－c2os2B ＝74－12cos23π＋2α＋cos23π－2α＝74＋12cos2α. 由－π3<α<π3知－23π<2α<23π，－12<cos2α≤1，故32<a2＋b2＋c2≤94.
第二章微专题3与圆有关的最值问题PPT课件(人教版)
反思 感悟
(1)形如u＝y－b 情势的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的 x－a
动直线斜率的最值问题. (2)形如l＝ax＋by情势的最值问题，可转化为动直线y＝－abx＋bl 的 截距的最值问题.
三、与斜率、截距有关的最值问题
例3 已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点. y－2
(1)求 的最大值与最小值； x－1
解 显然yx－－21可以看作是点 P(x，y)与点 Q(1,2)连线的斜率，令xy－－12＝k， 如图所示，
则其最大、最小值分别是过点Q(1,2)的圆C的两条切线的斜率. 对上式整理得kx－y－k＋2＝0， ∴|－2k1＋＋2k－2 k|＝1，
∴k＝3±4
3 .
故yx－－21的最大值是3＋4值.
解 令u＝x－2y，则u＝x－2y可视为一组平行线， 当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定， 且最值在直线与圆相切时取得. 依题意，得|－2－5 u|＝1，解得 u＝－2± 5， 故 x－2y 的最大值是－2＋ 5，最小值是－2－ 5.
(2)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点， 令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值.
解 设P(x，y)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2. ∵|CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2. 即16≤x2＋y2≤36. ∴d的最小值为2×16＋2＝34. 最大值为2×36＋2＝74.
在某些题目中，已知所求代数式的结构特征具有明显的几何意义，可以 和直线方程、圆的方程相联系，我们可以利用直线与圆的方程及解析几何的 有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题.
一道椭圆中三角形面积最值题的多种解法
一道椭圆中三角形面积最值题的多种解法
王富根
【期刊名称】《中学数学》
【年(卷),期】2012(000)021
【摘要】2012年河北石家庄第二次质检数学试题的第20题是这样的：点P为圆O：x2＋y2=a2（a〉0）上一动点，PD⊥X轴于D点。
【总页数】3页(P79-81)
【作者】王富根
【作者单位】江西省永丰中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.一道三角形面积最值题的多解剖析 [J], 张凯华
2.究其"惑",助其"解"
——一道椭圆中三角形面积问题的教学研究 [J], 刘晓丽;刘银
3.一道涉及三角形面积的中考题的多种解法 [J], 徐新贤
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5.巧思维,妙方法
——一道解三角形最值题的精彩解法 [J], 王思思
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微专题24 椭圆中与面积有关的取值范围问题
又 4k2－k＋4＝0 无实根，所以 k＝1.所以△AMN 的面积为
12AM2＝12 1＋1·31＋242＝14494.
4．已知 A，B 分别为椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点，直线
y＝kx(k＞0)与椭圆交于 C，D 两点，若四边形 ACBD 的面积最大值
过点 P，则有 xx12xx00＋ ＋yy12yy00＝ ＝22，.
所以 MN 坐标满足方程 xx0＋yy0＝2，所以 MN 直线方程为 x0x＋y0y ＝2.
所以 Ax20，0，B0，y20，所以 S△OAB＝12·x20·y20＝|x02y0|. 又因为1x620 ＋y420＝1≥2 x620y420＝|x04y0|，所以|x0y0|≤4，即 S△OAB≥12.
答案：(1)x22＋y62＝1；(2)①kBC＝ 3，②△ABC 面积取得最大值 3.此时， 直线 BC 的方程为
y＝ 3x± 6.
解析：(1)把点 A(1， 3)代入x22＋yn2＝1 得 n＝6，故椭圆方程为x22＋y62＝
1. (2)①显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与 x 轴垂直．
因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为 k1，k2，由
为 3b2，则椭圆的离心率为
7 3
.
解析：如图，不妨设 C 在第一象限，设 C(x0，y0)，则 x0＝acosθ，y0＝ bsinθ.那么△ACD 的面积为 ay0，△BCD 的面积为 bx0，所以四边形 面积 SACBD＝ay0＋bx0＝ab(cosθ＋sinθ)＝ 2absinθ＋π4≤ 2ab＝3b2. 所以，ba＝ 32，所以 e＝ac＝ 37.
－y420＝y420，即 y0＝± 2时等号成立，故 y0＝± 2时，△BCD 面积的最大
微专题四：解三角形的面积、最值、取值范围等类型-解析
微专题四：解三角形的面积、最值、取值范围等类型一、单选题1．若O 是ABC 垂心，6A π∠=且sin cos sin cos B C AB C BAC +2sin sin m B C AO =，则m =（ ）A ．12B ．2 C ．3D 【答案】D 【分析】利用垂心的性质，连接CO 并延长交AB 于D ，得到CD AB ⊥，把已知条件中的式子化简，得到()cos cos 2sin sin C BAB AC m AD DO C B+=⋅+，再两边同乘以AB ，利用数量积、正弦定理进行整理化简，得到cos sin 2C B B +=⋅，再把cos C 化为5cos 6B π⎛⎫-⎪⎝⎭，整理后得到m 值. 【详解】在ABC ∆中，sin sin 0B C ≠，由sin cos sin cos B C AB C BAC +2sin sin m B C AO =，得cos cos 2sin sin C BAB AC m AO C B+=⋅， 连接CO 并延长交AB 于D ，因为O 是ABC ∆的垂心，所以CD AB ⊥，AO AD DO =+， 所以()cos cos 2sin sin C BAB AC m AD DO C B+=⋅+ 同乘以AB 得，()cos cos 2sin sin C B AB AB AC AB m AD DO AB C B ⋅+⋅=⋅+⋅ 2cos cos cos 22cos sin sin C Bc bc A m AD AB m b A c C B+=⋅⋅=⋅⋅因为6A π=，所以2cos cos sin sin 2C B c bc C B +=由正弦定理可得cos sin sin sin sin C C B C B C +=又sin 0C ≠，所以有cos sin C B B =⋅， 而56C A B B ππ=--=-，所以531cos cos cos sin 622C B B B π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以得到1sin 3sin 2B m B =， 而sin 0B ≠，所以得到36m =， 故选：D.【点睛】本题考查了平面向量线性运算、数量积、正弦定理、两角差的余弦公式、诱导公式、三角形垂心性质等知识综合运用，采用数形结合的思想方法．属于难题．2．如图，在ABC 中，4BC =，4BA BC ⋅=，点P 为边BC 上的一动点，则PA PC ⋅的最小值为（ ）A ．0B ．2-C ．94-D ．3-【答案】C 【分析】作辅助线AO BC ⊥，利用向量数量积公式，可求得1BO =，3CO =，再利用向量的三角形法则，将求PA PC ⋅的最小值，转化为求PO PC ⋅得最小值，然后分类讨论P 与O 的位置关系，可知P 在O 右侧时，PA PC ⋅最小，再利用基本不等式求最值. 【详解】如图所示，作AO BC ⊥4BA BC ⋅=，4BC =，cos 4BA BC B ∴⋅=，可得cos 1BA B =，即1BO =，3CO ∴= 利用向量的三角形法则，可知()PA PO OA PC PO PC PC ⋅=+⋅=⋅若P 与O 重合，则0PC PA ⋅=若P 在O 左侧，即P 在OB 上时, PA PO PC PC ⋅=⋅若P 在O 右侧，即P 在OC 上时，PA PO PC PC ⋅=-⋅，显然此时PA PC ⋅最小，利用基本不等式2924PO PC PO PC ⎛⎫+⎪-⋅≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭（当且仅当PO PC =，即P 为OC 中点时取等号） 故选：C.【点睛】本题考查向量的三角形法则，向量的数量积公式，及利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力，数形结合思想，属于中档题.3．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，()()sin sin sin sin a c A C b B a B +-+=，24b a +=，点D 在边AB 上，且2AD DB =，则线段CD 长度的最小值为（ ） A 23B ．223C ．3D ．2【答案】A 【分析】由已知条件和正弦定理，得()()2a c a cb ab +-+=，再由余弦定理得， 3C π=.由向量的线性运算得1233CD CA CB =+，两边平方，可得()2212299CD b a ab =+-，运用基本不等式可得选项.【详解】由()()sin sin sin sin a c A C b B a B +-+=及正弦定理，得()()2a c a cb ab +-+=，即222a b c ab +-=，由余弦定理得，2221cos 22a b c C ab +-==，∵()0,C π∈，∴3C π=.由于2AD DB =，∴()2212++++3333CD CA AD CA AB CA AC CB CA CB ====+，两边平方，得 ()()2222222214414212112cos 2299999999992b a CD b a ab C b a ab b a ab b a +⎛⎫=++=++=+-≥+- ⎪⎝⎭，当且仅当22b a ==时取等号，即()22142123CD b a ≥+=，∴线段CD 长度的最小值为233. 故选：A.【点睛】本题考查综合运用正弦定理、余弦定理、向量的线性运算、向量的数量积运算，以及运用基本不等式求最值，属于较难题.二、多选题4．如图，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =，且()3cos cos 2sin a C c A b B +=，D 是ABC 外一点，1DC =，3DA =，则下列说法正确的是（ ）A ．ABC 是等边三角形B ．若23AC =A ，B ，C ，D 四点共圆 C ．四边形ABCD 533 D ．四边形ABCD 533 【答案】AC 【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求sin B ，再利用a b =，可知ABC 为等边三角形，从而判断A ；利用四点A ，B ，C ，D 共圆，四边形对角互补，从而判断B ；设AC x =，0x >，在ADC 中，由余弦定理可得2106cos x D =-，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求ABCD S 四边形，利用正弦函数的性质，求出最值，判断CD ． 【详解】由正弦定理2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，(sin cos sin cos )2sin sin A C C A B B +=⋅，2sin ,sin B B =∴=a b =，B 是等腰ABC 的底角，(0,)2B π∴∈，,3B ABC π∴=∴△是等边三角形，A 正确；B 不正确：若,,,A BCD 四点共圆，则四边形对角互补， 由A 正确知21,cos 32D D π∠==-，但由于1,3,DC DA AC ===22211cos 232DC DA AC D DA DC +-===-≠-⋅⋅，∴B 不正确．C 正确，D 不正确：设D θ∠=，则2222cos 106cos AC DC DA DC DA θθ=+-⋅⋅=-，(106cos )ABC S θθ∴=-=△， 3sin 2ADC S θ=△，3sin 2ABCADCABCD S SSθθ∴=+=+四边形13(sin cos 2θθ=⋅-+，3sin()3πθ=-+，(0,),sin()(32πθπθ∈∴-∈-，3ABCD S <≤+四边形，∴C 正确，D 不正确； 故选：AC.． 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．三、双空题5．在ABC 中，()sin sin sin A B C B -=-，则cos A =__________；点D 是BC 上靠近点B 的一个三等分点，记sin sin ABDλBAD∠=∠，则当λ取最大值时，tan ACD ∠=__________．【答案】122+ 【分析】根据题意，由三角恒等变换将原式化简，即可求出1cos 2A =；设BD x =，BAD θ∠=，πθ0,3，则2DC x =，sin sin B t =θ，根据正弦定理，得到AD x =λ，sin sin23Cπλθ，求出cos cos 3B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πλθ，得到222222sin cos sin cos 13B B ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭πλθλθ，表示出2221sin cos 3=⎛⎫++ ⎪⎝⎭λπθθ，求出最值，即可得出结果.【详解】因为()sin sin sin A B C B -=-，所以()sin sin sin B C A B =--， 即()()sin sin sin 2cos sin B A B A B A B =+--=， 又因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =； 设BD x =，BAD θ∠=，πθ0,3， 则2DC x =，sin sin B =λθ， 由正弦定理可得AD x =λ，sin sin sin23AD DACCDCπθλ，又313sin sincos sin cos sin 222223C B B BB λθπ，sin sin 223B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭λλπθθ，得cos cos 3B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πλθ．因为222222sin cos sin cos 13B B ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭πλθλθ，所以222122sin cos 1cos 21cos 233==⎛⎫⎛⎫++-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭λππθθθθ22263cos =⎛⎫-- ⎪⎝⎭πθ， 因为πθ0,3，所以2,662πππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以当206πθ-=时，λ取得最大值31+，此时()622sin 3142B -⨯==+， 所以4B π=，tan tan 2334ACD ⎛⎫∠=--=+⎪⎝⎭πππ； 答案为：12；23+. 【点睛】本题主要考查由三角恒等变换求函数值，考查三角函数的性质，考查正弦定理的应用，属于常考题型.四、解答题6．（本小题满分12分）如图，在凸四边形ABCD 中，D C ,为定点，3=CD ,B A ,为动点，满足1===DA BC AB ．（1）写出C cos 与A cos 的关系式；（2）设BCD ∆和ABD ∆的面积分别为S 和T ，求22S T +的最大值． 【答案】（1）1cos 3cos -=C A ；（2）22T S +的最大值87. 【解析】 试题分析：（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;（2）在三角形中，注意隐含条件π=++C B A （3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式；（4）转化为二次函数求最值，注意角的取值范围.试题解析：（1）由余弦定理，在BCD ∆中，C CD BC CD BC BD cos 2222⋅⋅-+=C cos 324-=在ABD ∆中，A BD cos 222-= 所以24-C cos 3A cos 22-=，即1cos 3cos -=C A 4分（2）2sin 3sin 21C C CD BC S ⋅=⋅⋅⋅=,=T A A AD AB sin 21sin 21=⋅ 6分 所以)cos 1(41)cos 1(43sin 41sin 43222222A C A C T S -+-=+=+ 43cos 23cos 23-2++=C C87)63(cos 232+--=C 10分由题意易知，)9030(00，∈C ,所以），（230cos ∈C当63cos =C 时，22T S +有最大值87． 12分 考点：1、余弦定理的应用；2、三角函数求最大值.7．设平行四边形()ABCD AB CD >的周长为12，60BAD ∠=︒，把它关于AC 折起来，AB 折过去后，交DC 于点P .设AB x =，△ADP 的面积为S .（1）用x 表示ADP ∆的面积S ； （2）求S 的最大值及相应x 的值. 【答案】（1）33(6)(3)6x x S x --=+（2）当36x =时，ADP ∆的面积有最大值633108【分析】(1)本题首先可设AB x =，然后根据题意可得出6AD x =-以及ADP CB P '∆≅∆，再然后根据DP PB '=得出AP x DP =-，并根据余弦定理得出12366x DP x -=+，最后根据解三角形面积公式即可得出结果；(2)首先可将)2339186x x S x -+-=+转化为1086333366S x x ⎫=++⎪+⎭，然后根据基本不等式即可求出结果． 【详解】(1)记AB 折过去成为AB '．因为AB x =，所以6AD x =-.易证ADP CB P '∆≅∆，所以DP PB '= 所以AP AB PB AB DP x DP '''=-=-=-.在ADP ∆中，1206ADP AD x AP x DP ，，∠=︒=-=-，由余弦定理，待222()(6)2(6)cos120x DP x DP x DP ︒-=-+-⋅-⋅， 整理得12366x DP x -=+，1)(3)sin12026x x S DA DP x ︒--=⋅=+．(2)由（1）知)22918(6)21(6)10866x x x x S x x ⎤-+--+++-⎣⎦==++，108108(6)21666x x x x ⎤⎫=-+-+=++⎪⎥++⎦⎭，因为6x x >-，所以3x >，所以10866x x ++≥=+ 当且仅当10866x x +=+，即6x =时取等号，所以108S ≤=，综上所述，当6x =-时，ADP ∆的面积有最大值108．【点睛】本题考查余弦定理、解三角形面积公式以及基本不等式的使用，考查如何利用基本不等式求最值，考查的公式有2222cos a b c bc A =+-以及in 12s S ab C =，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题．五、填空题8．在ABC 中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则22Sa bc+的最大值为______【答案】12【分析】利用面积公式和余弦定理，结合均值不等式以及线性规划即可求得最大值. 【详解】2221sin 1sin 222cos 2222cos bc AS A b c a bc b c bc A bc A c b==⨯++-+++-1sin 4cos 2A A ≤-⨯-（当且仅当b c =时取等号）.令sin ,cos A y A x ==，故21242S ya bc x ≤-⨯+-，因为221x y +=，且0y >，故可得点(,)x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-上，表示圆弧上一点到点(2,0)A 点的斜率， 由数形结合可知，当且仅当目标函数过点132H ⎛ ⎝⎭，即60A =︒时，取得最小值3 故可得3,023yz x ⎡⎫=∈-⎪⎢⎪-⎣⎭， 又21242S y a bc x ≤-⨯+-，故可得213324312S a bc ≤-⨯-=+， 当且仅当60,A b c =︒=，即三角形为等边三角形时，取得最大值.故答案为：312. 【点睛】本题主要考查利用正余弦定理求范围问题，涉及线性规划以及均值不等式，属综合困难题.9．已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin sin sin 0A B C -=，则sin sin 2sin B CA-的取值范围为_________【答案】11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由已知结合正弦定理可得，2a bc =然后结合余弦定理，2222cos a b c bc A =+-()()221cos b c bc A =-+-，令sin sin 2sin 2B C b cp A a--==，代换后结合余弦的性质即可求解.【详解】因为2sin sin sin 0A B C -=，所以2a bc =，由余弦定理可得：()()22222cos 21cos a b c bc A b c bc A =+-=-+-， 令sin sin 2sin 2B C b c p A a--==，则2b c pa -=， 因此()()222221cos a pa a A =+-， 所以22cos 14A p -=， 因为A 为锐角，0cos 1A <<， 所以22cos 1144A p -=<， 所以1122p -<<， 故答案为：11,22⎛⎫-⎪⎝⎭【点睛】 关键点点睛：首先利用正弦定理化角为边可得2a bc =，再利用余弦定理并配方可得()()2221cos a b c bc A =-+-关键是令sin sin 2sin 2B C b c p A a --==，2b c pa -=，将b c -、bc 代换掉，结合余弦的性质即可求得范围.10．若ABC 的内角满足123tan tan tan A B C+=，则cos C 的最小值为___________.【答案】3【分析】 由同角三角函数的关系切化弦得cos 2cos 3cos sin sin sin A B C A B C +=，再运用三角恒等变换和正、余弦定理将角转化边可得222+230a b c -=，根据余弦定理和基本不等式可求得cos C 的最小值.【详解】 由123tan tan tan A B C +=得，cos 2cos 3cos sin sin sin A B C A B C +=，即sin cos 2cos sin 3cos sin sin sin B A B A C A B C +=，sin()+cos sin 3cos sin sin sin B A B A C A B C+∴=， 所以2sin +cos sin sin 3sin sin cos C B A C A B C =，由正弦定理和余弦定理得：22222222+32a c b a b c c ac ab ac ab +-+-⋅=⋅，化简得：222+230a b c -=，22222222222122123333cos 2226+63a b a b a b a b c a b C ab ab ab ab ab +--++-∴====≥=（当且仅当a b =时取等号）， 所以cos C的最小值为3.故答案为：3. 【点睛】本题考查同角三角函数间的关系，三角恒等变换，正、余弦定理，以及运用基本不等式求最值，关键在于运用合适的公式将角转化为边，属于较难题.。
2019高考数学二轮复习微专题1三角形中的范围与最值问题课件精选ppt版本
取值范围.
解析 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,则4=b2+c2-bc≥bc,当且仅当b=c时
取等号,则△ABC的面积S= 1 bcsin A≤ 1 ×4× 3 = 3,故△ABC面积的取值范围
2
22
是(0, 3 ].
【方法归纳】 已知三角形的一边和它的对角,求三角形面积的最值或取值 范围一般有两种方法:一是利用余弦定理和基本不等式,结合三角形面积公式 求解,二是利用正弦定理和三角形面积公式建立三角形的面积关于某个角的 三角函数,再结合三角函数的图象求解最值或取值范围.若对三角形加上一点 限制条件,如“锐角三角形”,则选择方法二.
tan B tan C
.
答案
5 3 3
,3
解析 c2=b2+ab=a2+b2-2abcos C,化简得b=a-2bcos C,则sin B=sin A-2sin Bcos C,sin B=sin(B+C)-2sin Bcos C,化简得sin B=sin(C-B),即在锐角三角形中,C=2B,
1
2 3tan
B
≤ 2
23
= 33 ,当且仅当tan
B= 3 ,B= 时取等号.又A,B都是锐角,则- tan<BA-B< ,故A-B的最大值是 .
36
2
2
6
题型二 三角形中面积的最值或取值范围
例2 在△ABC中,AB=2,AC= 2BC,则△ABC面积的最大值为
.
答案 2 2
解析 以AB所在的直线为x轴,AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系, 则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC= 2 BC,得(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2],化简得(x-3)2+y 2=8,即为点C的轨迹方程,当C(3,±2 2 )时,△ABC的面积取得最大值为2 2.
解三角形面积最值问题
解三角形面积最值问题一、问题描述解三角形面积最值问题是指在所有满足条件的三角形中，找到面积最大或最小的三角形。
通常情况下，给定三角形的边长或角度，需要求出其面积，并在所有可能的情况中找到最大或最小值。
二、解法分类解决三角形面积最值问题有多种方法，可以根据不同的条件和要求进行分类。
1. 基于边长或高度当已知三角形的边长或高度时，可以通过海伦公式、正弦定理、余弦定理等方法求得其面积，并比较不同情况下的面积大小来确定最大或最小值。
2. 基于夹角当已知三角形夹角时，可以通过正弦函数和余弦函数求得其高度，并进而计算出面积。
此时需要注意夹角所在的位置（锐角、直角、钝角），以及是否为等腰三角形等特殊情况。
3. 基于坐标当已知三个顶点在平面直角坐标系中的坐标时，可以利用向量叉乘公式计算出其面积。
此方法适用于任意形状的三角形，但需要进行向量运算和矩阵求逆等复杂计算。
三、具体实现以下以基于边长或高度的方法为例，介绍解决三角形面积最值问题的具体实现。
1. 求解最大面积（1）已知三角形三边a、b、c，可以通过海伦公式计算出其半周长s=(a+b+c)/2，进而得到面积S=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))。
为了求得最大面积，需要考虑以下情况：① a+b>c，b+c>a，c+a>b，即任意两边之和大于第三边；② a>0，b>0，c>0，即三边长度均为正数。
在满足以上条件的前提下，可以比较不同情况下的面积大小来确定最大值。
例如，在已知三角形周长P=a+b+c固定的情况下，当两条边相等时（即等腰三角形），其面积最大。
（2）已知三角形两边a、b和夹角C（余弦值cosC），可以通过余弦定理计算出第三边c=sqrt(a^2+b^2-2abcosC)，进而得到半周长s=(a+b+c)/2和面积S=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))。
在满足 a+b>c 和cosC<=1 的前提下，可以比较不同情况下的面积大小来确定最大值。
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微专题：探究圆与椭圆中有关三角形面积的最值问题
题型一：圆中有关三角形面积最值问题
例1：已知圆22:9Oxy，点(2,2)A，过A作直线l交圆O于,PQ两点，则OPQS的
最大值为_________.
变式1：已知圆22:9Oxy，点(1,1)A，过A作直线l交圆O于,PQ两点，则OPQS的
最大值为_________.
变式2：已知圆22:9Oxy，点(6,0)A，过A作直线l交圆O于,PQ两点，则
OPQ
S
的最大值为_________.
变式3：已知圆22:9Oxy，点B为圆O与x轴正半轴的交点，过点(6,0)A作直
线l交圆O于,PQ两点（不同于点B），则BPQS的最大值为_________.
变式4：已知圆22:9Oxy，点(2,2)A，过A作互相垂直的弦,CDEF，则CEDFS的
最大值为_________.
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题型二：椭圆中有关三角形面积最值问题
例2：已知椭圆22:14xEy，点(0,2)A，过A作直线l交椭圆E于,PQ两点，则
OPQ
S
（O为原点）的最大值为_________.
变式1：已知椭圆22:14xEy，点(1,0)A，过A作直线l椭圆E于,PQ两点，则
OPQ
S
（O为原点）的最大值为_________.
变式2：已知椭圆22:14xEy，点(1,0)A，过A作椭圆的两条弦,CDEF，且
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CDEF
kk
，则CEDFS的最大值为_________.
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