新湘教版九年级数学上册1.2反比例函数的图象与性质(3)
D
y A (1,8)
F
(2)当0 x 1或x 4时，y1 y2 .
(3)分别过点A作AD y轴于点D，
B(4,2)
∟
BE x轴于点E，延长DA, EB交于点F .
O
8 y1 x
E
x 则四边形DOEF为矩形.
S ABF
S矩形DOEF OD.OE 8 4 32, 1 S AOD S BOE 8 4, 2 1 1 . AF .BF (4 1) (8 2) 9, 2 2
解：当x=0时, y=2. 即 C (0 ,2） 当y=0时, x=2. 即 A (2 ,0) ∴S△AOC =2 ∴S四边形DCOE =4-2=2 ∴|k|=2 又∵k<0,
D E
F
y C O A B
x
∴k=-2
A 接BC.若△ABC面积为S,则______
(A) S=1 (B) S=2
(C)1<S<2 (D)无法确定
∟
D
21.下列图形中阴影部分的面积相等的是（ C ）
Ａ.①②
Ｂ.②③
Ｃ.①③
4
2 2
3 1
4
k 28.如图，D是反比例函数 y (k 0)的图像上一点， x
过D作DE⊥x轴于E，DC⊥y轴于C，一次函数y=x+2与x轴交于A点，四边形DEAC的面积为4，求k 的值．
k 交于M(2，m)、N(-1，-4)两点. x y
（1）求反比例函数和一 次函数的解析式；
M（2，m） O N（-1，-4）
（2）根据图象写出反比
例函数的值大于一 次函数的值的x的取 值范围.
x
k 1.设P(m, n)是双曲线y (k 0)上任意一点 , 过P分别作x轴, y轴 x 的垂线, 垂足分别为A, B, 求矩形OAP B 的面积。 y
y
(-2，y1) (-4，y2) M
解：∵在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.
反比例函数 y m3 的图象位于第二、四象 限, x
N
m 3 0, 解得m 3.
o
x
(2) 点M (2, y1 ), N (4, y2 )是该图象上的两点， 且 3 0,2 0,
点M , N都位于第二象限 .
又 2 4,
y1 y2 .
k 3.正比例函数y=x的图象与反比例函数 y 的图像的一个 x
交点的纵坐标为3.
k (1)求当x=-4时，反比例函数 y x 的对应函数值.
(2)求正比例函数与反比例函数的交点坐标. y
B
o
A
x
提高练习
1. 已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在反比例函数 y
k 2 , 解得k 4, 2 4 该反比例函数的表达式为y . x
4 (2)把点 A(4,1), 点B(1,4)分别代入 y 中得： x
4 4 1 ,4 . 4 1
∴点A在这个函数的图象上,点B不在这个函数的图象上，
(3) k 4 0,
y p p p p p p p p
A.逐渐增大 B.逐渐减小
C.保持不变
p
x
o
Q
D.无法确定
1 19.如图,A、B是函数y= 的图象上关于原点对称 x 的任意两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的
面积S为（ B ） A） 1 B）2
y
O B D A E C
C）S>2
D)1<S<2
x
1 4.如图所示，正比例函数 y kx(k 0) 与反比例函数 y x 的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连
6
P
5
（-3,4） 4
3 2 1 -2 -1
12 y2 =x
-6 -5 -4 -3
-1 -2 -3 -4 -5 -6
0
1
2
3
4
5
6
x
Q
4 y1 =- x 3
k 1.已知反比例函数 y x 的图像经过点M（-2,2） （1）求这个函数的表达式；
练习
（2）判断点A(-4,1),B(1,4)是否在这个函数的图象上； （3）这个函数的图形位于哪些象限？在每个象限内，函 数值y随自变量x的增大如何变化？ k 解： (1) 反比例函数y 的图象经过点M (2,2), x
这个反比例函数的图象 位于第二、四象限 ,
在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.
m3 的图象的每一支曲线上 ，函数值y随 x 自变量x的增大而增大，求 m的取值范围 .如果点M (2, y1 ), N (4, y2 ) 2.已知在反比例函数 y 是该图象上的两点，试 比较函数值y1 , y2的大小.
(3,y3)
x
解：当k>0时,y2<y1<y3.
k y (k 0) x
当k<0时,y3<y1<y2.
k 2 3.如果点A（x1,y1),B(x2,y2)都在反比例函数 y x
的图象上，如果x 1<0 <x2，那么 y1 <y2， 求k的取 值范围。
B(x2,y2) A(x1,y1)
0
k＜ 0
o
k 已知反比例函数 y 的图像经过点P（2,4） x （1）求k的值，并写出该函数的表达式；
动脑筋
（2）判断点A(-2,-4),B(3,5)是否在这个函数的图象上；
（3）这个函数的图形位于哪些象限？在每个象限内，函 数值y随自变量x的增大如何变化？ k 解： (1) 反比例函数y 的图象经过点P(2,4), x
x y kx b交于点A(1,8)和点B(4,2). m 8 , m 8. 1 8 k b x , 解得k 2, b 10. 2 4k b 8 反比例函数的解析式为 y1 , x 一次函数的解析式为 y2 2 x 10.
y2 2 x 10
2. 如果点A（-2,y1),B(-1,y2)和C(3,y3)都在反比例函数 又如何呢？
k y (k为常数，k≠0)的图象上，那么y1,y2,y3的大小关系 x
分类讨论
y
k y (k 0) x
C (3,y3)
y
(-1,y2) B (-2,y1)A
(-2,y1) A
0
B
x
0
C
(-1,y2)
k 4 , 解得k 8, 2 8 该反比例函数的表达式为y . x
8 (2)把点 A(2,4), 点B(3,5)分别代入 y 中得： x
8 8 4 ,5 . 2 3
∴点A在这个函数的图象上,点B不在这个函数的图象上，
(3) k 8 0, 这个反比例函数的图象 位于第一、三象限
分别作两条坐标轴的垂线（或平行线）,与坐标轴所围成
的矩形的面积S矩形=|k|.
2.设P(m, n)是双曲线y 求AOP的面积。
k (k 0)上任意一点 , 过P作x轴的垂线, 垂足为A, x
OA | m | ，AP | n | ； 1 1 1 SΔOAP OA AP | m | | n | | k | 2 2 2
x
4.如图 ,已知一次函数 y kx b 的图象与反比例函数 8 y 的图象交于 A, B两点, 且点A的横坐标和点 B . x y 2 的纵坐标都是求 : (1)一次函数的解析式 ; (2)AOB的面积.
O
B A
N
M
x
5. 如图：一次函数的图象
y
y ax b
与反比例函数
又 3 2, y1 y2 .
例3 如图一个正比例函数和一个反比例函数的图像交于点P（-3,4）. (1)分别求出它们的表达式； (2)求正比例函数与反比例函数的另一个交点坐标； (3)当x取何值时，正比例函数的函数值等于反比例函数的函数值？ 正比例函数的函数值大于反比例函数的函数值？正比例函数的函数 值小于反比例函数的函数值？ y
SAOB S矩形DOEF SAOD SB OE SAB F
32 4 4 9 15.
提高练习
k 1.如图 , P 是反比例函数 y = 图象上的一点 ,由 P分别 x 向 x轴, y轴引垂线 , 矩形AOCP的面积为3, 则这个反比例 函数的解析式是 ____ 解: S矩形APCO | k |, | k | 3.
1 2
|k|.
m 例4 如图，已知反比例函数 y1 与一次函数y2=kx+b交 x 于点A(1,8),和B(4,2),
(1)分别求反比列函数与一次函数的表达式;
(2)写出y1>y2时，x的取值范围；(3)求三角形AOB的面积. m y 解 (1) 反比例函数y 与一次函数
A
(1,8)
B (4,2) O
k y x
k 解(1) 反比例函数 y 的图象位于第一、三象 限, x 在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.
k 0.
(2) 点A(3, y1 ) B(2, y2 )是该图象上的两点， 且 3 0,2 0,
(-3，y1)
(-2，y2)
AB
点A, B都位于第三象限 .
在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.
注意：在反比例函数中，运用增减性比较两个函数的大 小必须是同一象限内，否则结论不成立！
k 例2 如图是反比例函数 y x 的图像，回答下列问题：
(1)k的取值范k＞0还是k＜0？说明理由。 (2)如果点A（-3，y1），点B（-2，y2）是该函数图像上的 两点，试比较y1、y2的大小。
湘教版九年级数学上册《反比例函数》课件(共14张PPT)
因此，当菱形的面积一定时,它的一条对角线长y 是另一条对角线长x的反比例函数.
x y
练习
1. 下列函数是不是反比例函数?若是，请写出它的比
例系数.
（1）y = 3 x 1 ；
（3）y
=
1 5x
；
（2）y
=
-
x 3
；
（4）y
=
-
1 11x
.
答：（1）式是反比例函数,比例系数是3;
（2）式不是反比例函数;
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
第1章 反比例函数
1.1 反比例函数
在小学，我们已经知道，如果两个量x，y满足
xy=k（k为常数，k≠0），那么x，y就成反比例关系. 例如，如果路程s一定，那么速度v与时间t就成反比
例关系.
动脑筋
（1）一群选手在进行全程为3000m的赛马比赛时， 各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间 有怎样的关系？并写出它们之间的关系式；
（2）利用（1）的关系式完成下表：
所用时间 t（s） 121
137
139
143
149
平均速度 v (m/s)
（精确到0.01）
24.79
21.90
21.58
21.00 20.13
随着时间t的变化，平均速度v发生了怎样的变化？
（3）平均速度v是所用时间t的函数吗？为什么？
我们已经知道，路程与速度、时间之间的关系
结论
一般地，如果两个变量y与x的关系可以表示成
y
=
k x
(k为常数，k≠0)
的形式,那么称y是x的反比例函数,其中x 是自变量, 常数k（k ≠0）称为反比例函数的比例系数.
湘教版九年级数学上册知识点归纳总结
九年级数学上册第一章反比例函数（一）反比例函数1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（三）反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2、反比例函数与一次函数的联系．3、充分利用数形结合的思想解决问题．第二章一元二次方程（一）一元二次方程1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为20ax bx c++=（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
新湘教版九年级上册初中数学 课时1 反比例函数的图像与性质 教学课件
A．正数
B．负数
C．非正数
D．非负数
第十四页，共十七页。
当堂小练
4. 已知反比例函数 y = mxm²－5，它的两个分支分别在第一、第三象限， 求 m 的值.
解：因为反比例函数 y = mxm²－5 的两个分支分别在第 一、第三象限，
所以有
m2－5=－1， m＞0，
解得 m=2.
第十五页，共十七页。
x
A，B 两点均在该函数图象的第一象限部分，根据2 7 >5，可知
y1，y2的大小关系.
第九页，共十七页。
新课讲解
典例分析
例1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？
解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、 三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
连线：用光滑的曲线 顺次连接各点，即可 得 y 6 的图象．
x
第五页，共十七页。
新课讲解
思考：观察这两个函数图象，回答问题：
(1) 每个函数图象分别位于哪些象限？ (2) 在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？ 你能由它们的解析 式说明理由吗？ (3) 对于反比例函数 y k(k＞0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的
拓展与延伸
5.已知反比例函数y k 的图象经过点 A (2，3)． x
(1) 求这个函数的表达式； 解：∵ 反比例函数 y k 的图象经过点 A(2，3)，
x ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 3 k ，
2 解得 k = 6. ∴ 这个函数的表达式为 y 6 .
x
第十六页，共十七页。
拓展与延伸
【最新湘教版精选】湘教初中数学九上《1.2反比例函数的图象与性质》PPT课件 (3).ppt
交流 1
列表时，自变量x的取值要注意： 1.在取值范围内取值（x不等于0）； 2.一定要有代表性（兼顾正、负数）；
3.大小要适度（尽量取k的约数）； 4.要尽量多取一些数值. 连线: 要按照从左到右的顺序连接各点并延伸；
连线必须是光滑的；
函数
正比例函数
反比例函数
解析式
y=kx
( k≠0 )
y
=
k x
学习目标
1、能画出反比例函数的图象； 2、能根据图象初步分析归纳反比例
函数的性质.
自学指导
认真看课本P5-7的内容,画出反比例函数 y 6 x
的图像，归纳画函数图象的方法与步骤.思考:
1.完成列表,自变量x应如何取值,能否取0? 2.依据什么(数据、方法)描点? 3.怎样连线? 4分钟后,比谁能按照步骤正确画出函数图象.
函数 解析式
图象形状
K>0
K<0
知识回顾
正比例函数
y=kx ( k≠0 )
直线
位
y
置
一、三象限
x
增
减
y随x的增大而增大
性
位 置
二、四象限 y x
增
减 性
y随x的增大而减小
知识回顾
1、反比例函数的概念
一般地,如果两个变量 x, y之间的关系可以表示成
y k k为常数, k 0的形式那么称 y是x的反比例函数 .
x
2.甲乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车 到达乙地所用的时间y(h)表示为汽车的平均速度x(km/h)的 函数，则这个函数的图象大致是（ C ）
提示：在实际问题中图象可能就只有一支曲线.
3.若关于x,y的函数 y k＋1 的图象位于第一、三象 x
湘教版九年级上册数学 1.2.3反比例函数y=kx(k≠0)中k的性质 课后习题重点练习课件
解：∵顶点 A 的坐标是(0，2)，顶点 C 的纵坐标是 －4，∴AE＝6.又∵▱ABCD 的面积是 24， ∴AD＝BC＝4，∴D(4，2)，∴k＝4×2＝8， ∴反比例函数的表达式为 y＝8x.
(2)AB所在直线的表达式． 解：由题意知点 B 的纵坐标为－4，且在反比例函数 y ＝8x的图象上．∴点 B 的横坐标为－2，∴B(－2，－4)． 设 AB 所在直线的表达式为 y＝k′x＋b，将 A(0，2)， B(－2，－4)的坐标代入，得b－＝22k， ′＋b＝－4， 解得kb′＝＝23，，∴AB 所在直线的表达式为 y＝3x＋2.
【点拨】过点 B 作 BC⊥OA 于点 C.∵点 A 的坐标是 (2，0)，∴AO＝2.∵△ABO 是等边三角形，∴OC＝ 1，∴BC＝ 3，∴点 B 的坐标是(1， 3)．把点 B(1， 3)的坐标代入 y＝kx，得 k＝ 3.故选 C.
【答案】C
*4.【中考·济宁】如图，点 A 的坐标是(－2，0)，点 B 的 坐标是(0，6)，C 为 OB 的中点，将△ ABC 绕点 B 逆 时针旋转 90°后得到△ A′BC′.若反比例函数 y＝kx的图 象恰好经过 A′B 的中点 D，则 k 的值是( ) A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】D
8．【中考·凉山州】如图，正比例函数 y＝kx 与反比 例函数 y＝4x的图象相交于 A，C 两点，过点 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 B，连接 BC，则△ ABC 的面积等于( ) A．8 B．6 C．4 D．2
【点拨】∵点 A，C 位于反比例函数图象上且关于原 点对称，∴S△ OBA＝S△ OBC.∵过双曲线上任意一点与原 点所连的线段、x 轴(或 y 轴)、和过该点向坐标轴作的 垂线所围成的直角三角形面积 S 是个定值， ∴S△OBA＝12|k|.∴△ABC 的面积等于 2×12|k|＝|k|＝4. 【答案】C
湘教版九年级数学 1.2 反比例函数的图象与性质(学习、上课课件)
知3－讲
已知函数 y＝kx (k ≠ 0).
感悟新知
知3－讲
特别提醒
◆在利用反比例函数y＝kx(k ≠ 0)中k的几何性质确定k的值 时，不仅要注意矩形面积的大小，还要注意函数图象 的位置.
感悟新知
k 值与矩形面积的关系 k 值与三角形面积的关系知3－讲
图形
条件
过图象上任意一点 P 分别作PM ⊥ x 轴于
2-2. [ 中考·天门] 在反比 例函数 y= 4－x k的图象上有两
点 A( x1，y1)， B( x2， y2)，当 x1 ＜0 ＜ x2 时，有 y1 ＜ y2，则 k 的取值范围是( C )
A. k ＜ 0
B. k ＞ 0
C. k ＜ 4
D. k ＞ 4
感悟新知
知识点 3 反比例函数 y＝kx (k ≠ 0)中k的几何性质
过图象上任意一点 E 作 M，EF ⊥ y 轴于 F，连接 OE
PN ⊥ y 轴于 N
结论
S 矩形 OMPN=|k|
S
△
OEF=
|k| 2
感悟新知
知3－讲
矩形 OMPN 的面积S=PM·PN=|yP|·|xP|= |xPyP|.所以 S=|k|.同理，S △ OEF= |k2|.
感悟新知
知3－练
示意图(如图1.2-1).
知1－讲
感悟新知
活学巧记 点越多，越精确， 平滑曲线把点过， 两个分支不能少， 对称关系很奇妙.
知1－讲
感悟新知
知1－练
例1 [母题 教材 P7 探究]在同一平面直角坐标系中画出反
比例函数y＝8x和y＝－8x的图象.
解题秘方：紧扣画图象的“一列、二描、三连” 的步骤作图.
湘教版九年级数学《反比例函数的图象及性质》课件
行程问题建模过程
匀速直线运动问题
根据速度、时间和路程之间的反 比例关系，建立反比例函数模型 ，解决匀速直线运动中的追及和 相遇问题。
变速直线运动问题
通过速度和时间的变化规律，建 立反比例函数模型，分析物体1 2 3
电阻、电压与电流关系
在电路中，电阻、电压和电流之间存在反比例关 系。已知其中两个量，可以利用反比例函数求解 第三个量。
REPORTING
两者图象位置关系分析
当反比例函数比例系数$k_1$和 一次函数斜率$k_2$同号时，两 图象在第一、三象限内有两个交
点；
当$k_1$和$k_2$异号时，两图 象在第二、四象限内有两个交点
；
无论$k_1$和$k_2$取何值，反 比例函数的图象都不可能经过原 点，而一次函数的图象必定经过
描绘出函数的图象。
连接完成后，可以检查一遍曲 线的光滑性和准确性，如有需
要可以进行微调。
XXX
PART 03
反比例函数性质分析
REPORTING
增减性判断方法
观察法
通过观察反比例函数的图象，可以直接判断出函数在各象限内的增减性。
解析法
利用反比例函数的解析式，可以推导出函数在各象限内的增减性。具体地，当$k>0$时，函数图象在第一、三象 限内，且在这两个象限内，$y$随$x$的增大而减小；当$k<0$时，函数图象在第二、四象限内，且在这两个象 限内，$y$随$x$的增大而增大。
反比例函数的图象与坐标轴没有交点。这是因为当$x=0$时，函数值$y$不存在 ；同样地，当$y=0$时，对应的$x$值也不存在。
虽然反比例函数的图象与坐标轴没有交点，但是它们可以无限接近坐标轴。具体 地，当$x$趋近于正无穷或负无穷时，函数值$y$趋近于零；同样地，当$y$趋近 于正无穷或负无穷时，对应的$x$值也趋近于零。
湘教版-数学-九年级上册-1.2 第3课时 反比例函数图象与性质的综合应用2 教案
反比例函数的图象与性质的综合应用教学目标：(一)教学知识点1.进一步巩固作反比例函数的图象.2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质.(二)能力训练要求1.通过画反比例函数图象，训练学生的作图能力.2.通过从图象中获取信息.训练学生的识图能力.3.通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力和语言组织能力.(三)情感与价值观要求让学生积极投身于数学学习活动中，有助于培养他们的好奇心与求知欲.经过自己的努力得出的结论，不仅使他们记忆犹新，还能建立自信心.由学生自己思考再经过合作交流完成的数学活动，不仅能使学生学到知识，还能使他们互相增进友谊.教学重点：通过观察图象，概括反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的主要性质. 教学难点：从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质.教学方法：教师引导学生类推归纳概括学习法.教具准备：多媒体课件教学过程：Ⅰ.创设问题情境，引入新课上节课我们学习了画反比例函数的图象，并通过图象总结出当k ＞0时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内；当k ＜0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内.并讨论了反比例函数y=x 4与y=-x 4的图象的异同点.这是从函数的图象位于哪些象限来研究了反比例函数的.我们知道在学习正比例函数和一次函数图象时，还研究了当k ＞0时，y 的值随x 的增大而增大，当k ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小，即函数值随自变量的变化而变化的情况，以及函数图象与x 轴，y 轴的交点坐标.本节课我们来研究一下反比例函数的有关性质. Ⅱ. 新课讲解1.做—做观察反比例函数y=x 2，y=x 4，y=x 6的形式，它们有什么共同点？表达式中的k 都是大于零的.大家的观察能力非同一般呐!下面再用你们的慧眼观察它们的图象，总结它们的共同特征.(1)函数图象分别位于哪几个象限？(2)在每一个象限内，随着x 值的增大.y 的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？(3)反比例函数的图象可能与x 轴相交吗？可能与y 轴相交吗？为什么？请大家先独立思考，再互相交流得出结论.(1)函数图象分别位于第一、三象限内.(2)从图象的变化趋势来看，当自变量x 逐渐增大时，函数值y 逐渐减小.(3)因为图象在逐渐接近x 轴，y 轴，所以当自变量取很小或很大的数时，图象能与x 轴y 轴相交.大家同意他的观点吗？不同意(3)的观点.能解释一下你的观点吗？从关系式y ＝x 2中看，因为x≠0，所以图象与y 轴不可能能有交点；因为不论x 取任何实数，2是常数，y ＝x 2永远也不为0，所以图象与x 轴心也不可能有交点.对于(1)和(3)我不需要再说什么了，因为大家都回答的非常棒，不面我再补充—下(2).观察函数y ＝x 2的图象，在第一象限我任取两点A （x1，y1），B(x2，y2)，分别向x 轴，y 轴作垂线，找到对应的x1，x2，y1，y2，因为在坐标轴上能比较出x1与x2，y1与y2的大小，所以就可判断函数值的变化随自变址的变化是如何变化的.山图可知x1＜x2，y2＜y1，所以在第一象限内有y 随x 的增大而减小.同理可知在其他象限内y 随x 的增大而如何变化.大家可以分组验证上图中的其他五种情况. 情况都一样.能不能总结一下.当k>0时，函数图象分别位于第一、三象限内，并且在每一个象限内，y 随x 的增大而减小.2.议一议刚才我们研究了y ＝x 2，y ＝x 4，y=x 6的图象的性质，下面用类推的方法来研究y ＝-x 2，y＝-x 4，y=-x 6的图象有哪些共同特征？(1)y=-x 2，y=-x 4，y=-x 6中的k 都小于0，它们的图象都位于第二，四象限，所以当A<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限内.(2)在图象y=-x 2中，在第二象限内任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，可知x1>x2，y1>y2，所以可以得出当自变量逐渐减小时，函数值也逐渐减小，即函数值y 随自变量x 的增大而增大.(3)这些反比例函数的图象不可能与x 轴相交，也不可能与y 轴相交.通过我们刚才的讨论，可以得出如下结论：反比例函数y ＝x k的图象，当k>0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而增大.3.想一想(1)在一个反比例函数图象任取两点P 、Q ，过点Q 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q 分别作x 轴y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，S1与S2有什么关系？为什么？(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180°后.能与原来的图象重合吗？在下面的图象上进行探讨.设P(x1，y1)，过P 点分别作x 轴，y 轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为S1，则S1=｜x1｜·｜y1｜=｜x1y1｜. ∵(x1，y1)在反比例函数y ＝x k图象上，所以y1＝1x k ，即x1y1＝k.∴S1＝｜k ｜.同理可知S2＝｜k ｜，所以S1＝S2从上面的图中可以看出，P 、Q 两点在同一支曲线上，如果P ，Q 分别在不同的曲线，情况又怎样呢？S1＝｜x1y1｜=｜k ｜，S2=｜x2y2｜=｜k ｜.因此只要是在同一个反比例函数图象上任取两点P 、Q.不管P 、Q 是在同一支曲线上，还是在不同的曲线上.过P 、Q 分别作x.轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则有S1＝S2.(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图象重合，这个问题在上节课中我们已做过研究.Ⅲ.课堂练习P155 随堂练习Ⅳ.课时小结本节课学习了如下内容.1.反比例函数y ＝x k的图象，当k0时，在第一、三象限内，在每一象限内，y 的值随，值的增大而减小；当k<O 时，图象在第二、四象限内，y 的值随x 值的增大而增大.2.在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ，分别过P ，Q 作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则有S1＝S2.3.将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图形重合.即反比例函数是中心对称图形.4.反比例函数的图象既不能与x 轴相交也不能与y 轴相交，但是当x 的值越来越接近于0时，y 的值将逐渐变得很大；反之，y 的值将逐渐接近于0.因此，图象的两个分支无限接近；轴和y 轴，但永远不会与x 轴和y 轴相交.Ⅴ.课后作业习题6.3Ⅵ.活动与探究反比例函数图象与三等分角历史上，曾有人把三等分角问题归结为下面的作图问题.任取一锐角∠POH ，过点P 作OH 的平行线，过点O 作直线，两线相交于点M ，OM 交PH 于点Q ，并使QM=20P ，设N 为OM 的中点.∵NP=NM ＝OP ，∴∠1＝∠2=2∠3.∵∠4=∠3，∴∠1=2∠4.∴∠MOH ＝31∠POH.问题在于，如何确定线段OM 两端点的位置，并且保证O ，Q ，M 在同一条直线上？事实上，用尺规作图无法解决这一问题.那么，退而求其次，能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢？帕普斯(Pappus，公元300前后)给出的一种方法是：如下图，将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，角的一边OA与y＝x1的图象交于点P，以P为圆心；以2OP为半径作弧交图象于点R.分别过点P和B作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M，连接OM得到∠MOB.(1)为什么矩形PQRM的顶点Q在直线OM上？(2)你能说明∠MOB＝31∠AOB的理由吗？(3)当给定的已知角是钝角或直角时，怎么办？解：(1)设P、R两点的坐标分别为P(a1，11a)，R(a2，21a)则Q(a1，21a)，M(a2，11a）. 设直线OM的关系式为y＝kx.∵当x＝a2时，y=11a∴11a=ka2，∴k=211aa.∴y=211aax.当x=a1时，y=21a∴Q(a1，21a)在直线OM上.(2)∵四边形PQRM是矩形.∴PC=21PR=CM.∴∠2＝2∠3.∵PC=OP ，∴∠1＝∠2，∵∠3=∠4，∴∠1=2∠4，即∠MOB=31∠AOB.(3)当给定的已知角是钝角或直角时，钝角或直角的一半是锐角，该锐角可以用此方法三等分.参考例题如图能表示函数y ＝k(1-x)和y ＝x k(k ≠0)在同一直角坐标系小的图象大致是( )分析：从对函数y ＝x k的讨论入手，若k>0，双曲线分布在一、三象限，因此可考虑A ， C 两个答案，这时对于一次函数来说，y 的值随x 值的增大而减小，且一次函数的图象与y 轴正半轴相交，显然A ，C 两个答案都不对.若k ＜0，双曲线分布在二四象限，因此考虑B ，D 两个答案，对于一次函数来说，y 的 值随x 的增大而增大，且一次函数的图象与y 轴的负半轴相交，应选D.解：选D.。
新湘教版九年级上1.2反比例函数的图象与性质课件(49张PPT)
y
=
k x
的图象
的一个交点的纵坐标为3. 求当x =-4时，反比例函
数
y=
k x
的对应函数值.
解 由题意可知正比例函数y = x的图象与反比例函数
y
=
k x
的图象均过点（3,3），
所以
3
=
k 3
.
所以 k 3 3 9.
所以 反比例函数
y=
k x
为
y
=
9 x
.
当x
=
-
4时，反比例函数
y=
9 x
1.2 反比例函数的图象与性质
我们已经学习了用“描点法”画一次函数的图象，
并且知道一次函数的图象是一条直线，那么怎样画反 比例函数 y = kx（k为常数，k ≠0）的图象呢？它的图象 的形状是怎样的呢？
探究
如何画反比例函数
y
=
6 x
的图象？
列表：由于自变量x的取值范围是所有非零实数，因此， 让x取一些负数值和一些正数值，并且计算出相 应的函数值，列成下表：
例2
下图是反比例函数 下列问题：
y=
k x
的图象.根据图象，回答
（1）k 的取值范围是k ＞ 0还是k ＜ 0？说明理由；
（2）如果点A（-3，y1），B（-2
，y ）是该函数图象 2
上的两点，试比较 y ，y 的大小.
1
2
（1）k 的取值范围是k ＞ 0还是k ＜ 0？说明理由；
解
由图可知，反比例函数
例3
已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象 交于点P（-3，4）.试求出它们的表达式，并在同一
坐标系内画出这两个函数的图象.
湘教版数学九年级上册 反比例函数图象与性质的综合应用
(2) 求不等式 ax + b＞ k 的解集. x
解：根据图象可知，若 ax + b＞ k ， y x
则 x＞1或 1 ＜x＜0.
A
2
Ox
B
6. 如图，反比例函数
y8 x
与一次函数 y =－x + 2
的图象交于 A，B 两点.
(1) 求 A，B 两点的坐标；
y
解： y 8 ，
A
x
y =－x + 2 ，
E F O
A(x1，y1)
G
B(x2，y2)
C
Dx
练一练
如图，已知点
A，B
在双曲线
y
k x
上，
AC⊥x 轴于点 C，BD⊥y 轴于点 D，AC 与 BD 交于点 P，
P 是 AC 的中点，若△ABP 的面积为 6，则 k = 24 .
S△ABP= 1 S四边形BFCP，
=
1 2
2 (S四边形BDOF－S四边形OCPD)
则矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是
S矩形AOBQ = |k| .
推论：△QAO 与△QBO 的面积和 k
的关系是
S△QAO =
S△QBO =
|
k 2
|.
y A •Q OB x
反比例函数的 面积不变性
练一练 1. 如图，在函数 y 1 (x＞0) 的图象上有三点
x
A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一
－4k
+
2
b=
1
，
2 解得
－k + b =2，
k= 1 ，
2
b= 5 .
所把以B 一(－次1，函2数) 的代表入达y 式 m为x 中y =，12得x 2+m