2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-重庆卷
2007年普通高等学校招生考试（重庆卷）
数学（理工科）
本卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四
个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、若等差数列的前3项和且，则等于（）
A、3
B、4
C、5
D、6
2、命题“若，则”的逆否命题是（）
A、若≥，则≥或≤
B、若，则
C、若或，则
D、若≥或≤，则≥
3、若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间
分成（ ）
A、5部分
B、6部分
C、7部
分 D、8部分
4、若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A、10
B、20
C、
30 D、120
5、在中，，则等于（ ）
A、 B、 C、
2 D、
6、从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所
取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）
A、 B、 C、 D、
7、若是与
的等比中项，则的最大值为（ ）
A、 B、 C、 D、
8、设正数满足等于（ ）
A、
0 B、 C、 D、
1
9、已知定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）
A、 B、 C、 D、
10、如右图，在四边形ABCD中，，，，则的值为（ ）
D
C
B
A
A、2
B、
C、4
D、
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填写在答卷相应位置上.
11、复数的虚部为_______________.
12、已知满足则函数的最大值是____________.
13、若函数的定义域为R，则的取值范围为___________________.
14、设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则_____________.
15、某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有__________种.（以数字作答）
16、过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，则的值为_____________.
三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问4分）设.
（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若锐角满足，求的值.
18（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）某单位有三辆汽车参加某种事故保险.单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）.设这三辆车在一年内发生此
种事故的概率分别为1/9、1/10、1/11，且各车是否发生事故相互独立.求一年内该单位在此保险中：
（Ⅰ）获赔的概率；
（Ⅱ）获赔金额的分布列与期望.
19（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分）如右图，在直三棱柱中，；点、分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为.
（Ⅰ）求异面直线与的距离；
（Ⅱ）若，求二面角的平面角的正切值.
C
E
D
A1
B1
C1
C
B
A
20（本小题满分13分，其中（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）小问分别为6、4、3分）
已知函数在处取得极值，其中a、b为常数.
（Ⅰ）试确定a、b的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调区间；
（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
21（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
已知各项均为正数的数列的前项和满足，且.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，求证：
.
22（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）如右图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线的方程为：.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点，使，证明：
为定值，并求此定值.
O
F
P3
P2
P1
2007年普通高等学校招生考试（重庆卷）数学参考答案（理工科）
一、选择题
ADCBA CBBDC
二、填空题：
11、 12、7 13、
14、18 15、25 16、
三、解答题：
17、解：（Ⅰ）
故的最大值为；最小正周期.
（Ⅱ）由得，故.
又由得，故，解得.
从而.
18、解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，.
由题意知独立，且.
（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为
.
（Ⅱ）的所有可能值为.
,
，
，
.
解法一：由的分布列得
（元）
解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，，
则有分布列
09000
P
故.
同理得.
综上有
（元）.
19、解法一：
（Ⅰ）因，且，故面A1ABB1，从而B1C1⊥B1E，又
B1E⊥DE，故B1E是异面直线B1C1与DE的公垂线.
设BD的长度为，则四棱椎的体积为
.
而直三棱柱的体积为.
由已知条件，故，解得.
B1
F
C
E
D
A1
C1
C
B
A
从而B1D.
又直角三角形中，
,
又因.
故.
（Ⅱ）如右图，过B1作B1F⊥C1D，垂足为F，连接A1F.因
A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1D，
故A1B1⊥面B1DC1，由三垂线定理知C1D⊥A1F，故∠A1FB1为所求二面角的平面角.
在直角中，，
又因，故
，所以.
20、解：（Ⅰ）由题意知，因此，从而.
又对求导得.
由题意，因此，解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.令，解得.
当时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数.
因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值.
要使恒成立，只需.
即，从而.
解得或.
所以的取值范围为
21、（Ⅰ）解：由，解得或.由假设，因此.
又由，得
，即或.
因，故不成立，舍去.
因此，从而是公差为3，首项为2的等差数列，故的通项为 .
（Ⅱ）证法一：由可解得
从而.
因此.
令，则
.
因，故.
特别地，从而，
即.
证法二：同证法一求得及.
由二项式定理知，当时，不等式成立.
由此不等式有
.
证法三：同证法一求得及.
令.
因，因此.
从而
证法四：同证法一求得及.
下面用数学归纳法证明：.
当时，，因此，结论成立.
假设结论当时成立，即，则当时，
.
因，故.
从而.这就是说当时结论也成立.
综上对任何成立.
22、解：（Ⅰ）设椭圆方程为.
A
Q1
O
F
P3
P2
P1
因焦点为，故半焦距.又右
准线
的方程为，从而由已知
，
因此.
故所求椭圆方程为.
（Ⅱ）记椭圆的右顶点为A，并设，不失一般性，假设，且.
又设在
上的射影为，因椭圆的离心率，
从而有.
解得. 因此
，
而
，
故为定值.。
2007年高考理科数学试题及参考答案(重庆卷)
1. “英国高教会宁愿饶恕对它三十九个信条中的三十八个信条展开的攻击，而不饶恕对它现金收入的三十九分之一进行的攻击”。
马克思举这个例子是为了说明(ACDE)A.政治经济学的研究直接关系到各阶级的物质利益B.英国高教会容忍对其信条的攻击C.英国高教会也是英国社会的一种利益集团D.物质利益是社会其它利益的基础E.政治经济学是一门具有强烈阶级性的学科2. “一个社会即使探索到了本身运动的自然规律，……它还是既不能跳过也不能用法令取消自然的发展阶段。
但是它能缩短和减轻分娩的痛苦”。
这句话说明(BCDE)A.社会运动的规律就是自然运动的规律B.社会运动规律的作用和自然运动规律的作用一样不可抗拒C.社会运动规律决定社会发展的阶段不能人为的超越D.认识社会的运动规律有利于促进社会的发展E.认识了社会运动规律不等于就可以支配社会运动规律3. “我们也同西欧大陆所有其他国家一样，不仅苦于资本主义生产的发展，而且苦于资本主义生产的不发展”。
这句话的意思是说: 德国和西欧大陆其他国家(ABCDE)A.其资本主义生产关系均落后于英国B.同时存在着资本主义生产关系和前资本主义生产关系C.其工人阶级的生活状况不如英国的工人阶级D.其劳动者要遭受资本家阶级和封建贵族阶级的双重压迫E.在与英国的经济竞争中处于劣势4. 《资本论》第一卷是(D)A.《哲学的贫困》的续篇B.《雇佣劳动与资本》的续篇C.《1844年经济学哲学手稿》的续篇D.《政治经济学批判》的续篇E.《1957-1958经济学手稿》的续篇5. 《资本论》包括四大卷，它们的卷名分别是(ABDE)A.资本的生产过程B.资本的流通过程C.资本的分配过程D.资本主义生产的总过程E.剩余价值理论6. 《资本论》第一卷出版于(C)A.1843年3月B.1857年2月C.1867年9月D.1885年12月E.1895年12月7. 马克思研究资本主义经济(ABCE)A.其研究对象是资本主义生产关系B.其研究目的是为了揭示资本主义经济的运动规律C.其研究方法是唯物辩证法D.作为研究典型的国家是美国E.作为研究典型的国家是英国8. 马克思开始研究政治经济学是在(D)A.德国读大学期间B.德国担任“莱茵报”主编期间C.流亡英国伦敦期间D.流亡法国巴黎期间E.流亡比利时布鲁塞尔期间9. “我决不用玫瑰色描绘资本家和地主的面貌”。
2007年重庆市高考数学试卷(理科)及解析
2007年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若等差数列{a n}的前三项和S3=9且a1=1，则a2等于（）A．3 B．4 C．5 D．62．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1 D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥13．（5分）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）A．5部分B．6部分C．7部分D．8部分4．（5分）若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A．10 B．20 C．30 D．1205．（5分）在△ABC中，AB=，A=45°，C=75°，则BC=（）A．B．C．2 D．6．（5分）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（）A．B． C．D．7．（5分）若a是1+2b与1﹣2b的等比中项，则的最大值为（）A．B．C．D．8．（5分）设正数a，b满足，则=（）A．0 B．C．D．19．（5分）已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）上为减函数，且函数y=f （x+8）函数为偶函数，则（）A．f（6）＞f（7）B．f（6）＞f（9）C．f（7）＞f（9）D．f（7）＞f（10）10．（5分）如图，在四边形ABCD中，++=4，•=•=0，•+•=4，则（+）•的值为（）A．2 B．C．4 D．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）复数的虚部为．12．（4分）已知x，y满足，则函数z=x+3y的最大值是．13．（4分）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是．14．（4分）设{a n}为公比q＞1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2006+a2007=．15．（4分）某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有种．（以数字作答）16．（4分）过双曲线x2﹣y2=4的右焦点F作倾斜角为1050的直线，交双曲线于P、Q两点，则|FP|•|FQ|的值为．三、解答题（共6小题，满分76分）17．（13分）设f（x）=6cos2x﹣sin2x，（1）求f（x）的最大值及最小正周期；（2）若锐角α满足f（α）=3﹣2，求tanα的值．18．（13分）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金、对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）．设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：（1）获赔的概率；（2）获赔金额ξ的分布列与期望．19．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2，AB=1，∠ABC=90°；点D、E分别在BB1，A1D上，且B1E⊥A1D，四棱锥C﹣ABDA1与直三棱柱的体积之比为3：5．（1）求异面直线DE与B1C1的距离；（2）若BC=，求二面角A1﹣DC1﹣B1的平面角的正切值．20．（13分）已知函数f（x）=ax4lnx+bx4﹣c（x＞0）在x=1处取得极值﹣3﹣c，其中a，b，c为常数．（1）试确定a，b的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥﹣2c2恒成立，求c的取值范围．21．（12分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和满足S1＞1，且6S n=（a n+1）（a n+2），n∈N*．（1）求{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足，并记T n为{b n}的前n项和，求证：3T n+1＞log2（a n+3），n∈N*．22．（12分）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x=12．（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三个不同点P1，P2，P3，使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1，证明：++为定值，并求此定值．2007年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2007•重庆）若等差数列{a n}的前三项和S3=9且a1=1，则a2等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合已知条件，先求出d，再代入通项公式即可求解．【解答】解：∵S3=9且a1=1，∴S3=3a1+3d=3+3d=9，解得d=2．∴a2=a1+d=3．故选A．2．（5分）（2007•重庆）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1 D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1【分析】根据逆否命题的定义，直接写出答案即可，要注意“且”形式的命题的否定．【解答】解：原命题的条件是““若x2＜1”，结论为“﹣1＜x＜1”，则其逆否命题是：若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1．故选D．3．（5分）（2007•重庆）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）A．5部分B．6部分C．7部分D．8部分【分析】画出图形，用三线表示三个平面，结合图形进行分析．【解答】解：可用三线a，b，c表示三个平面，其截面如图，将空间分成7个部分，故选C．4．（5分）（2007•重庆）若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A．10 B．20 C．30 D．120【分析】根据二项式的展开式的二项式系数是64，写出二项式系数的表示式，得到次数n的值，写出通项式，当x的指数是0时，得到结果．【解答】解：∵C n°+C n1+…+C n n=2n=64，∴n=6．T r+1=C6r x6﹣r x﹣r=C6r x6﹣2r，令6﹣2r=0，∴r=3，常数项：T4=C63=20，故选B．5．（5分）（2007•重庆）在△ABC中，AB=，A=45°，C=75°，则BC=（）A．B．C．2 D．【分析】结合已知条件，直接利用正弦定理作答．【解答】解：∵AB=，A=45°，C=75°，由正弦定理得：，∴．故选A．6．（5分）（2007•重庆）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（）A．B． C．D．【分析】由题意知本题是一个古典概型，满足条件的事件包含的结果比较多，可以从它的对立事件来考虑，取出的三张门票的价格均不相同5×3×2=30种取法，试验发生的所有事件总的取法有C103，用对立事件概率得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵满足条件的事件包含的结果比较多，可以从它的对立事件来考虑，取出的三张门票的价格均不相同5×3×2=30种取法，试验发生的所有事件总的取法有（10×9×8）÷（3×2×1）=120种，三张门票的价格均不相同的概率是=，∴至少有2张价格相同的概率为P=1﹣=．故选C．7．（5分）（2007•重庆）若a是1+2b与1﹣2b的等比中项，则的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由a是1+2b与1﹣2b的等比中项得到4|ab|≤1，再由基本不等式法求得．【解答】解：a是1+2b与1﹣2b的等比中项，则a2=1﹣4b2⇒a2+4b2=1≥4|ab|．∴．∵a2+4b2=（|a|+2|b|）2﹣4|ab|=1．∴≤===∵∴，∴．故选B．8．（5分）（2007•重庆）设正数a，b满足，则=（）A．0 B．C．D．1【分析】由题目中的已知式化简，得到a，b的关系，再代入化简求值．【解答】解：∵=4⇒4+2a﹣b=4⇒2a=b，∴．∴故选B．9．（5分）（2007•重庆）已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）上为减函数，且函数y=f（x+8）函数为偶函数，则（）A．f（6）＞f（7）B．f（6）＞f（9）C．f（7）＞f（9）D．f（7）＞f（10）【分析】根据y=f（x+8）为偶函数，则f（x+8）=f（﹣x+8），即y=f（x）关于直线x=8对称．又f（x）在（8，+∞）上为减函数，故在（﹣∞，8）上为增函数，故可得答案．【解答】解：∵y=f（x+8）为偶函数，∴f（x+8）=f（﹣x+8），即y=f（x）关于直线x=8对称．又∵f（x）在（8，+∞）上为减函数，∴f（x）在（﹣∞，8）上为增函数．由f（8+2）=f（8﹣2），即f（10）=f（6），又由6＜7＜8，则有f（6）＜f（7），即f（7）＞f（10）．故选D．10．（5分）（2007•重庆）如图，在四边形ABCD中，++=4，•=•=0，•+•=4，则（+）•的值为（）A．2 B．C．4 D．【分析】先根据++=4，•+•=4，求出+=2，，再由•=•=0，确定∥，再由向量的点乘运算可解决．【解答】解：∵++=4，•+•=4，∴+=2，，由已知•=•=0，知⊥⊥，∴∥，作如图辅助线∴=+=，即三角形AEC是等腰直角三角形，∠CAE=45°|，∴（+）•=||cos∠CAE=2×=4，故选C．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）（2007•重庆）复数的虚部为．【分析】把复数整理变形，先变分母，再分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子上要进行复数的乘法运算，最后写出代数形式，指出虚部【解答】解：．故答案为：．12．（4分）（2007•重庆）已知x，y满足，则函数z=x+3y的最大值是7．【分析】先画出可行域，再把目标函数变形为直线的斜截式，由截距的最值即可求得．【解答】解：画出可行域，如图所示解得C（1，2），函数z=x+3y可变形为，可见当直线过点C 时z取得最大值，所以z max=1+6=7．故答案为：7．13．（4分）（2007•重庆）若函数的定义域为R，则实数a 的取值范围是0≤a≤1．【分析】利用被开方数非负的特点列出关于a的不等式，转化成x2﹣2ax+a≥0在R上恒成立，然后建立关于a的不等式，求出所求的取值范围即可．【解答】解：函数的定义域为R，∴﹣1≥0在R上恒成立即x2﹣2ax+a≥0在R上恒成立该不等式等价于△=4a2﹣4a≤0，解出0≤a≤1．故实数a的取值范围为0≤a≤1故答案为：0≤a≤114．（4分）（2007•重庆）设{a n}为公比q＞1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2006+a2007=18．【分析】通过解方程可以求出a2004和a2005的值，进而求出q，根据等比数列的通项公式，a2006+a2007=a2004q2+a2005q2=（a2004+a2005）q2，从而问题得解．【解答】解：∵a2004和a2005是方程4x2﹣8x+3=0的两根，∴或．∴q=3或，∵q＞1，∴q=3；∴a2006+a2007=a2004q2+a2005q2=（a2004+a2005）×9=18．故答案为：18．15．（4分）（2007•重庆）某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有25种．（以数字作答）【分析】从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，可从反面解决，分别求出从7门课程中选修4门的种数和两门都选的方法种数，做差即可；也可按分类原理分为两类：一类甲、乙两门课程都不选，另一类只选一门．【解答】解：所有的选法数为C74，两门都选的方法为C22C52，故共有选法数为C74﹣C22C52=35﹣10=25．故答案为：2516．（4分）（2007•重庆）过双曲线x2﹣y2=4的右焦点F作倾斜角为1050的直线，交双曲线于P、Q两点，则|FP|•|FQ|的值为．【分析】先由点斜式写出直线方程，设出两个交点坐标，再由弦长公式计算，作出解答．【解答】解：∵，．∴．代入x2﹣y2=4得：．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．⇒x1+x2=．又|FP|=，|FQ|=，∴==，故答案为：．三、解答题（共6小题，满分76分）17．（13分）（2007•重庆）设f（x）=6cos2x﹣sin2x，（1）求f（x）的最大值及最小正周期；（2）若锐角α满足f（α）=3﹣2，求tanα的值．【分析】（I）利用三角函数的二倍角公式及公式化简为只含一个角一个函数名的三角函数，利用有界性及周期公式求出最大值最小正周期．（II）列出关于α的三角方程，求出α，求出正切值．【解答】解：（Ⅰ）===故f（x）的最大值为；最小正周期（Ⅱ）由得，故又由得，故，解得．从而．18．（13分）（2007•重庆）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金、对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）．设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：（1）获赔的概率；（2）获赔金额ξ的分布列与期望．【分析】（1）设A k表示第k辆车在一年内发生此种事故，k=1，2，3、由题意知A1，A2，A3之间相互独立，正难则反，该单位一年内获赔的对立事件是A1，A2，A3都不发生，用对立事件的概率做出结果．（2）由题意知ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000，看出这四个数字对应的事件，做出事件的概率，写出分布列，求出期望，概率在解时情况比较多，要认真．【解答】解：（1）设A k表示第k辆车在一年内发生此种事故，k=1，2，3，由题意知A1，A2，A3独立，且P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=∵该单位一年内获赔的对立事件是A1，A2，A3都不发生，∴该单位一年内获赔的概率为．（Ⅱ）ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000，===，===，P（ξ=27000）=P（A1A2A3）=P（A1）P（A2）P（A3）=，综上知，ξ的分布列为ζ090001800027000P设ξk表示第k辆车一年内的获赔金额，k=1，2，3，则ξ1有分布列ζ109000P∴同理得，综上有Eξ=Eξ1+Eξ2+Eξ3≈1000+900+818.18=2718.18（元）19．（13分）（2007•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2，AB=1，∠ABC=90°；点D、E分别在BB1，A1D上，且B1E⊥A1D，四棱锥C﹣ABDA1与直三棱柱的体积之比为3：5．（1）求异面直线DE与B1C1的距离；（2）若BC=，求二面角A1﹣DC1﹣B1的平面角的正切值．【分析】（1）因B1C1⊥A1B1，且B1C1⊥BB1，进而可推断B1C1⊥面A1ABB1，进而推断B1E是异面直线B1C1与DE的公垂线，设BD的长度为x，则四棱椎C﹣ABDA1的体积V1为，里用体积公式表示出V1，表示出四棱椎C﹣ABDA1的体积V1，同时直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V2，根据V1：V2=3：5求得x，从而求得B1D，直角三角形A1B1D中利用勾股定理求得A1D进而利用三角形面积公式求得B1E．（2）过B1作B1F⊥C1D，垂足为F，连接A1F，因A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1D，故A1B1⊥面B1DC1．由三垂线定理知C1D⊥A1F，故∠A1FB1为所求二面角的平面角，先利用勾股定理求得C11D，进而求得BF，进而可求tan求得∠A1FB1．【解答】解：（Ⅰ）因B1C1⊥A1B1，且B1C1⊥BB1，故B1C1⊥面A1ABB1，从而B1C1⊥B1E，又B1E⊥DE，故B1E是异面直线B1C1与DE的公垂线设BD的长度为x，则四棱椎C﹣ABDA1的体积V1为而直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V2为由已知条件V1：V2=3：5，故，解之得从而在直角三角形A1B1D中，，又因，故（Ⅱ）如图1，过B1作B1F⊥C1D，垂足为F，连接A1F，因A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1D，故A1B1⊥面B1DC1．由三垂线定理知C1D⊥A1F，故∠A1FB1为所求二面角的平面角在直角△C1B1D中，，又因，故，所以．20．（13分）（2007•重庆）已知函数f（x）=ax4lnx+bx4﹣c（x＞0）在x=1处取得极值﹣3﹣c，其中a，b，c为常数．（1）试确定a，b的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥﹣2c2恒成立，求c的取值范围．【分析】（1）因为x=1时函数取得极值得f（x）=﹣3﹣c求出b，然后令导函数=0求出a即可；（2）解出导函数为0时x的值讨论x的取值范围时导函数的正负决定f（x）的单调区间；（3）不等式f（x）≥﹣2c2恒成立即f（x）的极小值≥﹣2c2，求出c的解集即可．【解答】解：（1）由题意知f（1）=﹣3﹣c，因此b﹣c=﹣3﹣c，从而b=﹣3又对f（x）求导得=x3（4alnx+a+4b）由题意f'（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12（2）由（I）知f'（x）=48x3lnx（x＞0），令f'（x）=0，解得x=1当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时f（x）为减函数；当x＞1时，f'（x）＞0，此时f（x）为增函数因此f（x）的单调递减区间为（0，1），而f（x）的单调递增区间为（1，+∞）（3）由（II）知，f（x）在x=1处取得极小值f（1）=﹣3﹣c，此极小值也是最小值，要使f（x）≥﹣2c2（x＞0）恒成立，只需﹣3﹣c≥﹣2c2即2c2﹣c﹣3≥0，从而（2c﹣3）（c+1）≥0，解得或c≤﹣1所以c的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪21．（12分）（2007•重庆）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和满足S1＞1，且6S n=（a n+1）（a n+2），n∈N*．（1）求{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足，并记T n为{b n}的前n项和，求证：3T n+1＞log2（a n+3），n∈N*．【分析】（1）先根据题设求得a1，进而根据a n+1=S n+1﹣S n整理得（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣3）=0求得a n+1﹣a n=3，判断出{a n}是公差为3，首项为2的等差数列，则数列的通项公式可得．（2）把（1）中的a n代入可求得b n，进而求得前n项的和T n，代入到3T n+1﹣log2（a n+3）中，令，进而判断出f（n+1）＞f（n），从而推断出3T n+1﹣log2（a n+3）=log2f（n）＞0，原式得证．【解答】解：（1）由，解得a1=1或a1=2，由假设a1=S1＞1，因此a1=2，又由，+a n）（a n+1﹣a n﹣3）=0，得（a n+1即a n﹣a n﹣3=0或a n+1=﹣a n，因a n＞0，故a n+1=﹣a n不成立，舍去+1﹣a n=3，从而{a n}是公差为3，首项为2的等差数列，因此a n+1故{a n}的通项为a n=3n﹣1（2）证明：由可解得；从而因此令，则因（3n+3）3﹣（3n+5）（3n+2）2=9n+7＞0，故f（n+1）＞f（n）特别地，从而3T n+1﹣log2（a n+3）=log2f（n）＞0即3T n+1＞log2（a n+3）22．（12分）（2007•重庆）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x=12．（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三个不同点P1，P2，P3，使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1，证明：++为定值，并求此定值．【分析】（Ⅰ）设椭圆方程为，由题意知a=6，，故所求椭圆方程为．（Ⅱ）记椭圆的右顶点为A，并设∠AFP i=αi（i=1，2，3），假设，且，，又设点P i在l上的射影为Q i，因椭圆的离心率，从而有|FP i|=|P i Q i|•e==（i=1，2，3）．由此入手能够推导出++为定值，并能求出此定值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为因焦点为F（3，0），故半焦距c=3又右准线l的方程为，从而由已知，因此a=6，故所求椭圆方程为（Ⅱ）记椭圆的右顶点为A，并设∠AFP i=αi（i=1，2，3），不失一般性，假设，且，又设点P i在l上的射影为Q i，因椭圆的离心率，从而有|FP i|=|P i Q i|•e==（i=1，2，3）解得=（i=1，2，3）因此++=，而=，故++为定值．。
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(重庆.理)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学 (重庆理卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）若等差数列{n a }的前三项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ ）A ．3 B.4 C. 5 D. 6（2）命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（ ）A ．若12≥x ，则1≥x 或1-≤x B.若11<<-x ，则12<x C.若1>x 或1-<x ，则12>x D.若1≥x 或1-≤x ，则12≥x（3）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）A ．5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分 （4）若nxx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A10 B.20 C.30 D.120（5）在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =（ ）A.33-B.2C.2D.33+（6）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）A ．41 B ．12079 C ． 43 D ．2423 （7）若a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则||2||2b a ab+的最大值为（ ）A.1552 B.42 C.55 D.22（8）设正数a,b 满足4)(22lim =-+→b ax xx 则=++--+∞→nn n n n ba ab a 2111lim（ ） A ．0 B ．41 C ．21D ．1 （9）已知定义域为R 的函数f(x)在),8(+∞上为减函数，且y=f(x+8)函数为偶函数，则（ ）A.f(6)>f(7)B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9)D.f(7)>f(10)（10）如图，在四边形ABCD 中，→→→→→→→⋅=⋅=++DC BD BD AB DC BD AB ,4||||||=0,CD→→→→=⋅+⋅4||||||||DC BD BD AB 则→→→⋅+AC DC AB )(的值为（ ）A.2B. 22C.4D.24二、填空题：本大题共6小题，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上（11）复数322i i+的虚部为________.（12）已知x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-1421x y x y x ，则函数z = x+3y 的最大值是________.（13）若函数f(x) =1222--+aax x的定义域为R ，则a 的取值范围为_______.（14）设{n a }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程03842=+x x 的两根，则=+20072006a a __________.（15）某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有___________种。
2007年理科数学试卷及答案-全国1
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15 B ．15- C ．513 D ．513-（2）设a 是实数，且1i1i 2a +++是实数，则a =（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -=（5）设a b ∈R ，，集合{}10ba b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-（6）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为2，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ） A ．(11)，B ．(11)-，C ．(11)--，D ．(11)-，（7）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ） AB ．2C．D ．4（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件（10）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6（11）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ ） A ．4B．C．D ．8（12）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ ） A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，第Ⅱ卷注意事项：A1B1A1D 1C CD1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答） （14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ．（15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ． （16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分） 设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． （18）（本小题满分12分） 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η．（19）（本小题满分12分） 四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC = ∠，2AB =，BC =SA SB =（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．（20）（本小题满分12分） 设函数()e e xxf x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． （21）（本小题满分12分）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．（22）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…，43n n b a -<≤，123n =，，，…．2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题： （1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D （9）B（10）D （11）C （12）A二、填空题：（13）36（14）3()xx ∈R（15）13（16）三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =+3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭．3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭， 所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，． （18）解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）． （19）解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设ADBC ∥， 故SA AD ⊥，由AD BC ==，SA =AO =1SO =，SD =．SAB △的面积112S AB == 连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S = ， 解得h =A设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin 11h SD α===． 所以，直线SD 与平面SBC所成的我为arcsin11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x0)A ，，(0B ，(0C -，，(001)S ，，，(0CB =，0SA CB = ，所以SA BC ⊥． （Ⅱ）取AB 中点E ，0E ⎫⎪⎪⎝⎭，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，． 1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，(AB =． 0SE OG = ，0AB OG = ，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D ，(DS =．cos 11OG DS OG DSα==，sin 11β=，所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11． （20）解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x xf x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥．（当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20xxg x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln 2a x =，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾．综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． （21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+ 21221)32k BD x x k +=-==+ ；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625． （22）解：（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =+11)(n n a a +=-．所以，数列{n a是首项为21的等比数列，1)n n a -=，即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦，123n =，，，…． （Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n =2，112b a ==，所以11b a ≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -<≤，也即430k k b a -<- 当1n k =+时，13423k k k b b b ++-=+k =(3023k k b b --=>+，又1323k b <=-+，所以1(32)2)23k k k b b b +---=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…．。
2007年高考理科数学试题及参考答案(重庆卷)
课后练习题据说有39道，本版本只有33道，希望大家注意下。
1.为什么说鸦片战争是中国近代史的起点？鸦片战争失败后，清政府被迫签订了中英《南京条约》及其补充条约、中美《望厦条约》和中法《黄埔条约》。
鸦片战争的失败和一系列不平等条约的签订，是中国人民遭受外国资本主义奴役的起点，给中国社会带来极大的影响。
鸦片战争后，中国社会性质开始发生根本变化，即由一个独立的封建社会一步步地变为半殖民地半封建社会。
鸦片战争前，中国在政治上是个独立自主的国家。
在经济上是一个自给自足的自然经济占统治地位的国家。
鸦片战争后，中国的自然经济由于遭受外国资本主义的冲击而开始解体。
中国社会的主要矛盾变为外国资本主义和中华民族的矛盾，封建主义和人民大众的矛盾。
在思想领域也发生了巨大的震动。
所以说鸦片战争是中国近代史的起点2、怎样认识近代中国的主要矛盾、社会性质及其基本特征？答：(1)两大主要矛盾是帝国主义和中华民族的矛盾、封建主义和人民大众的矛盾。
而前一个是主要矛盾。
(2)中国的社会性质由封建社会转变成半殖民地半封建的社会性质。
(3)中国半殖民地半封建社会有以下一些基本特征：①、资本----帝国主义势力操纵中国的经济命脉，控制了中国的政治②、中国封建势力和外国侵略势力相勾结，压迫奴役中国人民。
③、中国自然经济遭到破坏，但土地所有制依然存在，阻碍着中国走向现代化和民主化。
④、所兴的民族资本主义经济已经存在，但势力很弱。
⑤、政治势力不统一，各地区、政治、经济和文化发展不平衡。
⑥、在资本----帝国主义和封建主义的双重压迫下，中国的广大人民过着饥寒交迫，毫无政治权利的生活。
3、如何理解近代中国的两大任务及其相互关系？答：争取民族独立、人民解放和实现国家富强、人民富裕这两个任务，是互相区别又互相紧密联系的。
由于腐朽的社会制度束缚生产力发展，阻碍经济技术进步，必须先改变社会制度，争得民族独立和人民解放，才能为实现国家富强和人民富裕创造前提开辟道路。
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷(重庆)
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（重庆）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若等差数列的前3项和且，则等于（ ） A ．3 B ．4 C ．5D ．62．命题“若，则”的逆否命题是（ ）A ．若，则或B ．若，则C ．若或，则D ．若或，则3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行， 则这三个平面把空间分成（ ）A ．5部分B ．6部分C ．7部分D ．8部分 4．若展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．1205．在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =（ ）A ．33-B ．2C ．2D ．33+6．从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张， 则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ） A ．41 B ．12079 C ． 43 D ．2423 7．若a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则||2||2b a ab+的最大值为（ ）A ．1552 B ．42 C ．55 D ．228．设正数a,b 满足4)(22lim =-+→b ax x x , 则=++--+∞→nn n n n b a ab a 2111lim （ ） A ．0 B ．41 C ．21D ．19．已知定义域为R 的函数f(x)在上为减函数，且函数y=f(x+8)为偶函数,则（ ）A ．f(6)>f(7)B ．f(6)>f(9)C ．f(7)>f(9)D ．f(7)>f(10)10．如图，在四边形ABCD 中，||||||4,0,AB BD DC AB BD BD DC →→→→→→→++=⋅=⋅=→→→→=⋅+⋅4||||||||DC BD BD AB ，则→→→⋅+AC DC AB )(的值为（ ）A ．2B ．22C ．4D ．24二、填空题 11．复数322ii+的虚部为________. 12．已知x,y 满足，则函数z = x+3y 的最大值是________.13．若函数R ，则a 的取值范围为_______. 14．设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程24830x x -+=的两根， 则__________.15．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有___________种．（以数字作答） 16．过双曲线的右焦点F 作倾斜角为的直线，交双曲线于P 、Q 两点，则|FP|⋅|FQ|的值为__________.三、解答题17．(本小题满分13分)设f (x) = x x 2sin 3cos 62- （1）求f(x)的最大值及最小正周期； (9分)（2）若锐角α满足323)(-=αf ，求tan α54的值。
2007年全国各地高考数学试卷及答案(37套)word--完整版
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（四川.文）含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（天津.理）含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（天津.文）含答案
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2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（湖南.理）含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（湖南.文）含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（江西.理）含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（江西.文）含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（山东.理）含答案
2007年全国各地高考数学试卷及答案（37套）--完整版
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国卷Ⅰ.理）含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国卷Ⅰ.文）含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国卷Ⅱ.理）含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国卷Ⅱ.文）含答案
宁夏和海南都是新课标教材，使用的是同一套数学题。
பைடு நூலகம் 四川省蓬安中学校 张万建 整理 zwjozwj@
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷 (宁夏.海南.理) 含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷 (宁夏.海南.文) 含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（江苏卷不分文理）含答案
注：使用全国卷Ⅰ的省份：河北 河南 山西 广西 ；
使用全国卷Ⅱ的省份：吉林 黑龙江 云南 贵州 新疆 青海 甘肃 内蒙 西藏
2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I)数学(理科)试卷参考答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I ）数学（理科）试卷参考答案一、选择题： 1．D 2．B 3．A 4．A 5．C 6．C 7．D 8．D9．B10．D11．C12．A二、填空题： 13．3614．3()xx ∈R15．1316．三、解答题： 17．解：（Ⅰ）由a=2bsinA ，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA ，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =。
（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。
由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=。
2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+<⎪⎝⎭。
3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cosA+sinC的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，。
18．解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”。
知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=。
（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元。
(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=。
η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯=240（元）。
19．解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD 。
因为SA=SB ，所以AO=BO ，又45ABC=∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥。
2007年全国统一高考数学试卷ⅰ(理科)解析
2007年全国统一高考数学试卷Ⅰ（理科）一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）α是第四象限角，，则sinα=（）A ．B．C．D．2．（4分）设a是实数，且是实数，则a=（）A ．B．1 C．D．23．（4分）已知向量，，则与（）A ．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向4．（4分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A ．B．C．D．5．（4分）设a，b∈R，集合，则b﹣a=（）A ．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．（4分）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A ．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）7．（4分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A ．B．C．D．A ．B．2 C．D．49．（4分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件10．（4分）的展开式中，常数项为15，则n=（）A ．3 B．4 C．5 D．611．（4分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A ．4 B．C．D．812．（4分）函数的一个单调增区间是（）A ．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_________种．（用数字作答）14．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x （x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=_________．15．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为_________．16．（5分）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为_________．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．18．（12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 5P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．19．（14分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．20．（14分）设函数f（x）=e x﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．21．（14分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．22．（16分）已知数列{a n}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…2007年全国统一高考数学试卷Ⅰ（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）同角三角函数间的基本关系．考点：分根据tanα=，sin2α+cos2α=1，即可得答案．析：解解：∵α是第四象限角，=，sin2α+cos2α=1答：∴sinα=﹣故选D．点三角函数的基本关系是三角函数的基本，是高考必考内容．评：2．（4分）考复数代数形式的混合运算．点：复数分母实数化，化简为a+bi（a、b∈R）的形式，虚部等于0，可求得结果．分析：解解．设a是实数，=是实数，则a=1，答：故选B．本题考查复数代数形式的运算，复数的分类，是基础题．点评：3．（4分）数量积判断两个平面向量的垂直关系．考点：专计算题．题：根据向量平行垂直坐标公式运算即得．分析：解解：∵向量，，得，答：∴⊥，故选A．本题单纯的考两个向量的位置关系，且是坐标考查，直接考垂直或平行公式．点评：4．（4分）考双曲线的简单性质．点：专计算题．分析：根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．解答：解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．5．（4分）考点：集合的相等；集合的确定性、互异性、无序性．分析：根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得a+b=0，进而分析可得a、b的值，计算可得答案．解答：解：根据题意，集合，又∵a≠0，∴a+b=0，即a=﹣b，∴，b=1；故a=﹣1，b=1，则b﹣a=2，故选C．点评：本题考查集合元素的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利于找到解题切入点．6．（4分）考点：简单线性规划的应用．分析：要找出到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点，我们可以将答案中的四个点逐一代入验证，不难得到结论．解答：解．给出的四个点中，（1，1），（﹣1，1），（﹣1，﹣1）三点到直线x﹣y+1=0的距离都为，但∵，仅有（﹣1，﹣1）点位于表示的平面区域内故选C点评：本题考查的知识点是二元一次不等式与平面区域，要想判断一个点是否在不等式组表示的区域内，仅需将点的坐标代入验证即可．7．（4分）考异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．解答：解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为，故选D．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．8．（4分）考点：对数函数的单调性与特殊点．分析：因为a＞1，函数f（x）=log a x是单调递增函数，最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1，所以log a2a﹣log a a=，即可得答案．解答：解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a=1，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选D点评：本题主要考查对数函数的单调性与最值问题．对数函数当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．9．（4分）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数奇偶性的判断．专题：压轴题．分析：本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值．解答：解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x），∴“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2﹣x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，故选B点评：本题考查充要条件的判断和函数奇偶性的判断，属基本题．10．（4分）考点：二项式定理的应用．题：分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项，据n的特点求出n的值．解答：解：的展开式中，常数项为15，则，所以n可以被3整除，当n=3时，C31=3≠15，当n=6时，C62=15，故选项为D点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．11．（4分）考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．解答：解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4故选C．点评：本题主要考查抛物线的基本性质和直线和抛物线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的热点要重视．12．（4分）考点：复合三角函数的单调性．专题：计算题；压轴题；转化思想；换元法．分析：化简函数为关于cosx的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误．解答：解．函数=cos2x﹣cosx﹣1，原函数看作g（t）=t2﹣t﹣1，t=cosx，对于g（t）=t2﹣t﹣1，当时，g（t）为减函数，当时，g（t）为增函数，当时，t=cosx减函数，且，∴原函数此时是单调增，故选A点本题考查三角函数的单调性，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）考点：排列、组合的实际应用．分析：由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题，先从除甲与乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，写出即可．解答：解．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，∵先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，∴不同的选法共有C31•A42=3×4×3=36种．点评：排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题．14．（5分）考点：反函数．专题：计算题；方程思想．分析：由题意推出f（x）与函数y=log3x （x＞0）互为反函数，求解即可．解答：解．函数y=f（x）的图象与函数y=log3x （x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）与函数y=log3x （x＞0）互为反函数，f（x）=3x（x∈R）故答案为：=3x（x∈R）点评：本题考查反函数的知识，考查计算能力，是基础题．15．（5分）考点：等比数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比赛数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．解答：解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．16．（5分）考点：棱柱的结构特征；三角形中的几何计算．专题：计算题；压轴题．分析：由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．答：已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，∴斜边EF的长为2．故答案为：2．点评：本小题主要考查棱柱的结构特征、三角形中的几何计算等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）考点：正弦定理；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：（1）先利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B．（2）把（1）中求得B代入cosA+sinC中利用两角和公式化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的性质求得cosA+sinC的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）===．由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜．，所以．由此有，所以，cosA+sinC的取值范围为．点评：本题主要考查了正弦定理得应用和三角函数中两角和公式的运用．涉及了正弦函数的性质，考查了学生对三角函数知识的把握．18．（12分）考点：离散型随机变量及其分布列；互斥事件与对立事件；离散型随机变量的期望与方差．题：分析：（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，根据对立事件的概率公式得到结果．（2）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，∴．（Ⅱ）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，P（η=300）=1﹣P（η=200）﹣P（η=250）=1﹣0.4﹣0.4=0.2．∴η的分布列为η200 250 300P 0.4 0.4 0.2∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．19．（14分）考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：综合题；转化思想．分析：解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，说明SO⊥底面ABCD．利用三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，设AD∥BC，连接SE．说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角，通过，求出直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，通过证明，推出SA⊥BC．（Ⅱ）.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，利用α与β互余．通过，，推出直线SD与平面SBC所成的角为．解答：解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，由，，．又，作DE⊥BC，垂足为E，则DE⊥平面SBC，连接SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．所以，直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，因为，，又，所以，，．S（0，0，1），，，，所以SA⊥BC．（Ⅱ），.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，所以α与β互余．，，所以，直线SD与平面SBC所成的角为．点评：本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20．（14分）考点：导数的运算；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）先求出f（x）的导函数，利用a+b≥2当且仅当a=b时取等号．得到f'（x）≥2；（Ⅱ）把不等式变形令g（x）=f（x）﹣ax并求出导函数令其=0得到驻点，在x≥0上求出a的取值范围即可．解答：解：（Ⅰ）f（x）的导数f'（x）=e x+e﹣x．由于，故f'（x）≥2．（当且仅当x=0时，等号成立）．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣ax，则g'（x）=f'（x）﹣a=e x+e﹣x﹣a，（ⅰ）若a≤2，当x＞0时，g'（x）=e x+e﹣x﹣a＞2﹣a≥0，故g（x）在（0，+∞）上为增函数，所以，x≥0时，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax．（ⅱ）若a＞2，方程g'（x）=0的正根为，此时，若x∈（0，x1），则g'（x）＜0，故g（x）在该区间为减函数．所以，x∈（0，x1）时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax，与题设f（x）≥ax相矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是（﹣∞，2]．点评：考查学生利用导数运算的能力，利用导数求闭区间上函数的最值的能力．21．（14分）考点：椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．分（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，由此可析：以证出．（Ⅱ）设BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B （x1，y1），D（x2，y2），由题意知|BD|=再求出|AC|=，由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值．解证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，答：由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），则，|BD|=；因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为，所以，|AC|=．四边形ABCD的面积•|BD||AC|=．当k2=1时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．综上，四边形ABCD的面积的最小值为．点本题综合考查椭圆的性质信其应用，难度较大，解题时要认真审题，仔细计算，注意公式的灵活运用，避免评：出现不应有的错误．22．（16分）考点：数列递推式；数学归纳法．专题：证明题；综合题；压轴题；归纳法．分析：（Ⅰ）先对进行整理可得到，即数列是首项为，公比为的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到，进而得到．（Ⅱ）用数学归纳法证明．当n=1时可得到b1=a1=2满足条件，然后假设当n=k时满足条件进而得到当n=k+1时再对进行整理得到=，进而可得证．解答：解：（Ⅰ）由题设：==，．所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，即a n的通项公式为，n=1，2，3，．（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当n=1时，因，b1=a1=2，所以，结论成立．（ⅱ）假设当n=k时，结论成立，即，也即．当n=k+1时，==，又，所以=．也就是说，当n=k+1时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知，n=1，2，3，．点评：本题主要考查求数列的通项公式的方法﹣﹣构造法和数学归纳法的一般过程．考查综合运用能力和计算能力．。
2007年重庆高考数学(理科)试题答案
绝密★启用前 解密时间：2008年6月7日17：00 【考试时间：6月7日15：00—17：00】2007年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷（理工农医类）一、 选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）（1）若等差数列{n a }的前三项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ ） A ．3 B.4 C. 5 D. 6（2）命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（ ）A ．若12≥x ，则1≥x 或1-≤x B.若11<<-x ，则12<x C.若1>x 或1-<x ，则12>x D.若1≥x 或1-≤x ，则12≥x（3）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）A ．5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分（4）若n xx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）A.10B.20C.30D.120 （5）在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =（ ）A.33-B.2C.2D.33+（6）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所 取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）A ．41B ．12079C ． 43D ．2423（7）若a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则||2||2b a ab+的最大值为（ ）A.1552 B.42 C.55 D.22（8）设正数a,b 满足4)(22lim =-+→b ax x x , 则=++--+∞→nn n n n b a ab a 2111lim （ ） A ．0 B ．41 C ．21D ．1 （9）已知定义域为R 的函数f(x)在),8(+∞上为减函数，且函数y=f(x+8)函数为偶函数，则（ ）BAA.f(6)>f(7)B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9)D.f(7)>f(10) （10）如图，在四边形ABCD ||||||4,0,AB BD DC AB BD BD DC →→→→→→→++=⋅=⋅=→→→→=⋅+⋅4||||||||DC BD BD AB ，则→→→⋅+AC DC AB )(的值为（ A.2 B. 22 C.4 D.24二、填空题：本大题共6小题，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上（11）复数322ii+的虚部为________. （12）已知x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-1421x y x y x ，则函数z = x+3y 的最大值是________.（13）若函数R ，则a 的取值范围为_______.（14）设{n a }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程24830x x -+=的两根，则=+20072006a a __________.（15）某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有___________种。