2014年中考专题复习：因动点产生的面积问题

图2
图3
图4
（3）如图3，四边形PB′A′B是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的
对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图
形，对称轴是经过两底中点的直线．
考点伸展
第（2）题求四边形PB′OB的面积，也可以如图4那样分割图形，这 样运算过程更简单．
． ． 所以． 甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P： 作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE，那么点E的坐标为 (1，2)． 而矩形EB′OD与△A′OB′、△BOP是等底等高的，所以四边形EB′A′B 的面积是△A′B′O面积的4倍．因此点E就是要探求的点P．
（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式； （2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使 四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐 标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边 形？并写出它的两条性质．
满分解答
（1）设直线与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)． 在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以．所以． 因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此． 将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得 解得，． （2）由，， 得． 所以． 所以PD的最大值为． （3）当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，； 当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，．
满分解答
(1)①如图2，当E在OA上时，由可知，点E的坐标为(2b,0)，OE＝ 2b．此时S＝S△ODE＝．
②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入可知，点D的坐标为(2b－ 2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入可知，点E的坐标为，AE ＝，BE＝．此时
S＝S矩形OABC－S△OAE－ S△BDE －S△OCD ＝ ． (2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因 此DM＝DN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN 是菱形． 作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2． 设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2 －m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得．所以重叠部分菱形DMEN 的面积为．
2．当C、D、E三点共线时，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD． 3．求△PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或 下方． 4．求得了S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中， 面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A、C、B三个时刻的值．
满分解答
（1）b＝，点B的横坐标为－2c． （2）由，设E． 过点E作EH⊥x轴于H． 由于OB＝2OC，当AE//BC时，AH＝2EH． 所以．因此．所以． 当C、D、E三点在同一直线上时，．所以． 整理，得2c2＋3c－2＝0．解得c＝－2或（舍去）． 所以抛物线的解析式为．
例 3 2012年河南省中考第23题
如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y＝ax2＋bx－3交于 A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物 线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点 C，作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值； （2）设点P的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值； ②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的 值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若 不存在，请说明理由．
六、 因动点产生的面积问题
例1 2013年苏州市中考第29题
如图1，已知抛物线（b、c是常数，且c＜0）与x轴交于A、B两点 （点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1,0)．
（1）b＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c的代 数式表示）；
（2）连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的 解析式；
（2）由点(p＞1)的坐标可知，点P在直线上x轴的上方．如图2， 当y＝2时，点P的坐标为(3，2)．此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标 为(－1，2)．
由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知△PMB为等腰 直角三角形．
由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知△PNA为等 腰直角三角形．
图2
图3
图4
考点伸展
把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形 状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大 面积为，如图7所示．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式； （2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形 为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的 面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理 由．
图1
动感Baidu Nhomakorabea验
请打开几何画板文件名“10广州25”，拖动点D由C向B运动，观察S 随b变化的函数图象，可以体验到，E在OA上时，S随b的增大而增大；E 在AB上时，S随b的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点D由C 向B运动，可以观察到，E在OA上时，重叠部分的形状是菱形，面积不 变．双击按钮“第（2）题”可以切换．
（3）①当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F． 直线BC的解析式为． 设，那么，． 所以S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝． 因此当P在BC下方时，△PBC的最大值为4． 当P在BC上方时，因为S△ABC＝5，所以S△PBC＜5． 综上所述，0＜S＜5． ②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有11个．
思路点拨
1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中． 2．第（3）题把S△AMN＝4S△AMP转化为MN＝4MP，按照点M与线 段NP的位置关系分两种情况讨论．
满分解答
（1）因为点B(2，1)在双曲线上，所以m＝2．设直线l的解析式 为，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得 解得 所以直线l的解析式为．
考点伸展
在本题情景下，△AMN能否成为直角三角形？ 情形一，如图5，∠AMN＝90°，此时点M的坐标为（1，2），点P 的坐标为（3，2）． 情形二，如图6，∠MAN＝90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的 一半． 不存在∠ANM＝90°的情况．
图5
图6
例5 2010年广州市中考第25题
如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)． 点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线 OAB于点E．
（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结 PB、PC．设△PBC的面积为S．
①求S的取值范围； ②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13苏州29”，拖动点C在y轴负半轴上运动， 可以体验到，△EHA与△COB保持相似．点击按钮“C、D、E三点共 线”，此时△EHD∽△COD．拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正 整数值共有11个．
请打开超级画板文件名“13苏州29”，拖动点C在y轴负半轴上运动， 可以体验到，△EHA与△COB保持相似．点击按钮“C、D、E三点共 线”，此时△EHD∽△COD．拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正 整数值共有11个．
思路点拨
1．用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB＝ 2OC．
思路点拨
1．四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，可以转化为四边 形PB′OB的面积是 △A′B′O面积的3倍．
2．联结PO，四边形PB′OB可以分割为两个三角形． 3．过点向x轴作垂线，四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和 一个直角三角形．
满分解答
（1）△AOB绕着原点O逆时针旋转90°，点A′、B′的坐标分别为(－ 1, 0) 、(0, 2)．
（1）求m的值及直线l的解析式； （2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA； （3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有 满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11南通28”，拖动点P在射线AB上运动，可 以体验到，当直线MN经过（0，2）点时，图形中的三角形都是等腰直 角三角形；△AMN和△AMP是两个同高的三角形，MN＝4MP存在两种 情况．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12河南23”，拖动点P在直线AB下方的抛物 线上运动，可以体验到，PD随点P运动的图象是开口向下的抛物线的一 部分，当C是AB的中点时，PD达到最大值．观察面积比的度量值，可以 体验到，左右两个三角形的面积比可以是9∶10，也可以是10∶9．
思路点拨
1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角． 2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫． 3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高 DN与BM的比． 4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．
图2
考点伸展
第（3）题的思路是：△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形， 面积比等于对应高DN与BM的比．
而， BM＝4－m．
①当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，．解得． ②当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，．解得．
例 4 2011年南通市中考第28题
如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线(x＞0)交于点B(2，1)．过 点(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线(x＞0)和(x＜0)于M、N两点．
考点伸展
点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中，△PBC的面积为整数，依 次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．
当P在BC下方，S＝4时，点P在BC的中点的正下方，F是BC的中
点．
例 2 2012年菏泽市中考第21题
如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角 形A′B′O．
所以△PMB∽△PNA．
图2
图3
图4
（3）△AMN和△AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一 条直线上．
当S△AMN＝4S△AMP时，MN＝4MP． ①如图3，当M在NP上时，xM－xN＝4(xP－xM)．因此．解得或（此 时点P在x轴下方，舍去）．此时． ②如图4，当M在NP的延长线上时，xM－xN＝4(xM－xP)．因此．解 得或（此时点P在x轴下方，舍去）．此时．
思路点拨
1．数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长． 2．求△ODE的面积，要分两种情况．当E在OA上时，OE边对应的 高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求△ODE的面积． 3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形． 4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12菏泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物 线上运动，可以体验到，当四边形PB′A′B是等腰梯形时，四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O面积的4倍．
请打开超级画板文件名“12菏泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物 线上运动，可以体验到，当四边形PB′A′B是等腰梯形时，四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O面积的4倍．
因为抛物线与x轴交于A′(－1, 0)、B(2, 0)，设解析式为y＝a(x＋1)(x －2)， 代入B′(0, 2)，得a＝1．
所以该抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－2) ＝－x2＋x＋2． （2）S△A′B′O＝1． 如果S四边形PB′A′B＝4 S△A′B′O＝4，那么S四边形PB′OB＝3 S△A′B′O＝3． 如图2，作PD⊥OB，垂足为D． 设点P的坐标为 (x，－x2＋x＋2)． ． ． 所以． 解方程－x2＋2x＋2＝3，得x1＝x2＝1． 所以点P的坐标为(1，2)．