因动点产生的面积问题
专题04 因动点产生的面积问题(原卷版)
（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．
（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．
13．如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与直线 都经过 、 两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线和直线 的解析式；
（2）设直线 与该抛物线的对称轴交于点E，在射线 上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．
15.如图，抛物线 交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在抛物线上，且 ，求点P的坐标；
（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．
A． B． C． D．
5．如图，点A是直线y=﹣x上的动点，点B是x轴上的动点，若AB=2，则△AOB面积的最大值为（ ）
A．2B． +1C． -1D．2
6．如图，已知 ，以 为圆心， 长为半径作 ， 是 上一个动点，直线 交 轴于 点，则 面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为__________
因动点产生的面积问题
例21：2011年四川省南充市中考第22题抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m﹣4，0）和B（m，0），与直线y=﹣x+p相交于点A和点C（2m﹣4，m﹣6）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且以点P和A，C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P，Q 的坐标；（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM的最大面积及点M的坐标．解答：解：（1）∵点A（m﹣4，0）和C（2m﹣4，m﹣6）在直线y=﹣x+p上∴，解得：，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设抛物线y=ax2+bx+c=a（x﹣3）（x+1），∵C（2，﹣3），代入得：﹣3=a（2﹣3）（2+1），∴a=1∴抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3，答：抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）解：AC=3，AC所在直线的解析式为：y=﹣x﹣1，∠BAC=45°，∵平行四边形ACQP的面积为12，∴平行四边形ACQP中AC边上的高为=2，过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K，DK=2，∴DN=4，∵ACPQ，PQ所在直线在直线ACD的两侧，可能各有一条，∴PQ的解析式或为y=﹣x+3或y=﹣x﹣5，∴，解得：或，，方程无解，即P1（3，0），P2（﹣2，5），∵ACPQ是平行四边形，A（﹣1，0），C（2，﹣3），∴当P（3，0）时，Q（6，﹣3），当P（﹣2，5）时，Q（1，2），∴满足条件的P，Q点是P1（3，0），Q1（6，﹣3）或P2（﹣2，5），Q2（1，2）答：点P，Q的坐标是P1（3，0），Q1（6，﹣3）或P2（﹣2，5），Q2（1，2）．（3）解：设M（t，t2﹣2t﹣3），（﹣1＜t＜3），过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线雨点T，则T（t，﹣t+3），MT=（﹣t+3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+t+6，过点M作MS⊥PQ所在直线于点S，MS=MT=（﹣t2+t+6）=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，M（，﹣），△PQM中PQ边上高的最大值为，答：△PQM 的最大面积是，，点M 的坐标是（，﹣）．点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，平行四边形的性质，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度．例22：2010年广东省湛江市中考第28题如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标为(－3，－4)，线段OB 绕原点逆时针旋转后与x 轴的正半轴重合，点B 的对应点为点A ．(1)直接写出点A 的坐标，并求出经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点C ，使BC ＋OC 的值最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P 是抛物线上的一个动点，且在x 轴的上方，当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积最大？求出此时点P 的坐标和△PAB 的最大面积．解：(1)A(5，0) ………1分由抛物线经过点O ，可设抛物线的解析式为bx ax y +=2…2分⎩⎨⎧=-=+4390525b a b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=6561b a …………………………4分 ∴抛物线的解析式为x x y 65612+-=…………………………5分 (2)如图，由(1)得抛物线的对称轴是直线25=x ，点O 、A 关于直线25=x 对称，连接AB 交直线25=x 于点C ，则点C 使BC+OC 的值最小………………………6分设直线AB 的解析式为b kx y +=，得⎩⎨⎧-=+-=+4305b k b k ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2521b k∴直线的解析式为2521-=x y ………………………8分把25=x 代入2521-=x y ，得45-=y ，∴点C 的坐标为)45,25(-………………9分(3)如图，过点P 作y 轴的平行线交AB 于点D ，设点P 的横坐标为x ，得)6561,(2x x x P +-, )2521,(-x x D ………………10分∴PAD PBD PAB S S S ∆∆∆+==)(21B A x x PD -∙＝))((21B A D p x x y y --＝[])3(5)2521()6561(212--⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-x x x ＝1034322++-x x ＝332)1(322+--x ∴当1=x 时，PAB S ∆的最大值为332………………12分 把1=x 代入x x y 65612+-=，得32=y ，∴此时点P 的坐标为)32,1(………………13分例23：2012年广东省广州市中考数学模拟第25题平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 如图放置，点A 、C 的坐标分别为(0，3)、(1-，0)，将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°，得到平行四边形'''A B OC 。
(完整版)汇编《因动点产生的面积问题》含答案
例1如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD、PE、DE．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图如图1，边长为8的正方形ABCD 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上A 、C 两点间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F ．点D 、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD 、PE 、DE ．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值．进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数” 的点P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15河南23”，拖动点P 在A 、C 两点间的抛物线上运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，“使△PDE 的面积为整数” 的点P 共有11个．思路点拨1．第（2）题通过计算进行说理．设点P 的坐标，用两点间的距离公式表示PD 、PF 的长．2．第（3）题用第（2）题的结论，把△PDE 的周长最小值转化为求PE ＋PF 的最小值．满分解答（1）抛物线的解析式为2188y x =-+．（2）小明的判断正确，对于任意一点P ，PD －PF ＝2．说理如下： 设点P 的坐标为21(,8)8x x -+，那么PF ＝y F －y P ＝218x ．而FD 2＝22222222111+(86)+(2)(2)888x x x x x -+-=-=+，所以FD ＝2128x +． 因此PD －PF ＝2为定值． （3）“好点”共有11个．在△PDE 中，DE 为定值，因此周长的最小值取决于FD ＋PE 的最小值．而PD ＋PE ＝(PF ＋2)＋PE ＝(PF ＋PE )＋2，因此当P 、E 、F 三点共线时，△PDE 的周长最小（如图2）．此时EF ⊥x 轴，点P 的横坐标为－4．所以△PDE 周长最小时，“好点”P 的坐标为(－4, 6)．图2 图3考点伸展第（3）题的11个“好点”是这样求的：如图3，联结OP ，那么S △PDE ＝S △POD ＋S △POE －S △DOE ． 因为S △POD ＝1()32P OD x x ⋅-=-，S △POE ＝2111624P OE y x ⋅=-+，S △DOE ＝12，所以 S △PDE ＝21316124x x --+-＝21344x x --+＝21(6)134x -++． 因此S 是x 的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x ＝－6． 如图4，当－8≤x ≤0时，4≤S ≤13．所以面积的值为整数的个数为10．当S ＝12时，方程21(6)13124x -++=的两个解－8, －4都在－8≤x ≤0范围内． 所以“使△PDE 的面积为整数” 的 “好点”P 共有11个．图4例2如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于A(－2, 0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒时△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求点K的坐标．图1如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －3（a ≠0）与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒时△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2，求点K 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14昆明23”，拖动点P 从A 向B 运动，可以体验到，当P 运动到AB 的中点时，△PBQ 的面积最大．双击按钮“△PBQ 面积最大”，再拖动点K 在BC 下方的抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，有两个时刻面积比为2.5．思路点拨1．△PBQ 的面积可以表示为t 的二次函数，求二次函数的最小值． 2．△PBQ 与△PBC 是同高三角形，△PBC 与△CBK 是同底三角形，把△CBK 与△PBQ 的比转化为△CBK 与△PBC 的比．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，所以y ＝a(x ＋2)(x －4)．所以－8a ＝－3．解得38a =．所以抛物线的解析式为3(2)(4)8y x x =+-233384x x =--．（2）如图2，过点Q 作QH ⊥x 轴，垂足为H ．在Rt △BCO 中，OB ＝4，OC ＝3，所以BC ＝5，sin B ＝35．在Rt △BQH 中，BQ ＝t ，所以QH ＝BQ sin B ＝35t ．所以S △PBQ ＝211399(63)(1)2251010BP QH t t t ⋅=-⨯=--+．因为0≤t≤2，所以当t＝1时，△PBQ的面积最大，最大面积是910。
初三压轴题专项----因动点产生的面积问题
因动点产生的面积问题
教学目标
对中考可能出现的压轴题类型进行模块复习
教学内容
常见解法：
1.观察要求的图形是什么形状，各点坐标是否知道；
2.是否有一条边与x轴、y轴平行或重合，是否为规那么的图形，如是，直接用公式计算；
3.割，大多应用于四边形或多边形；
4.补，即用作差法求面积。实在没有方法就做高形成梯形，再做差。
2.如图，：抛物线 与 轴相交于 、 两点，与 轴相交于点 ，并且 = .
〔1〕求这条抛物线的解析式；
〔2〕过点 作 ∥ 轴，交抛物线于点 ，设抛物线的顶点为点 ，试判断△ 的形状，并说明理由；
〔3〕设点 在抛物线的对称轴 上，且△ 的面积等于△ 的面积，请写出点 的坐标〔无需写出解题步骤〕．
3.：抛物线 经过点 ， ，且对称轴 与 轴交于点 .
〔1〕求抛物线的表达式；
〔2〕如图，点 、 分别是 轴、对称轴 上的点，且四边形 是矩形，点 是 上一点，将 沿着直线 翻折， 点与线段 上的 点重合，求 点的坐标；
〔3〕在〔2〕的条件下，点 是对称轴 上的点，直线 交 于点 ， ，求 点坐标.
Байду номын сангаас家庭作业：
1.如图，在直角坐标平面内，点 的坐标为〔3,0〕，第一象限内的点 在直线 上，∠ =45度．
〔1〕求点 的坐标；
〔2〕如果二次函数的图像经过 、 、 三点，求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的顶点坐标 ；
〔3〕如果将第〔2〕小题中的二次函数的图像向上或向下平移，使它的顶点落在直线 上的点 处，求△ 与△ 的面积之比．
1.如图，在平面直角坐标系 中，直角梯形 的顶点 为坐标原点，顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上， ∥ ， =4， =3， =5，点 在边 上， =3，过点 作 的垂线 ，交 轴于点 ．
6、因动点问题产生的面积问题
1.6 因动点产生的面积问题例1 2013年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ．①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．图1满分解答（1）b ＝12c +，点B 的横坐标为－2c ． （2）由2111()(1)(2)222y x c x c x x c =+++=++，设E 1(,(1)(2))2x x x c ++．过点E 作EH ⊥x 轴于H ．由于OB ＝2OC ，当AE //BC 时，AH ＝2EH ．所以1(1)(2)x x x c +=++．因此12x c =-．所以(12,1)E c c --．当C 、D 、E 三点在同一直线上时，EH CO DH DO =．所以1212c cc --=--． 整理，得2c 2＋3c －2＝0．解得c ＝－2或12c =（舍去）．所以抛物线的解析式为213222y x x =--．（3）①当P 在BC 下方时，过点P 作x 轴的垂线交BC 于F ． 直线BC 的解析式为122y x =-． 设213(,2)22P m m m --，那么1(,2)2F m m -，2122FP m m =-+． 所以S △PBC ＝S △PBF ＋S △PCF ＝221()24(2)42B C FP x x FP m m m -==-+=--+．因此当P 在BC 下方时，△PBC 的最大值为4．当P 在BC 上方时，因为S △ABC ＝5，所以S △PBC ＜5． 综上所述，0＜S ＜5．②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有11个．考点伸展点P 沿抛物线从A 经过C 到达B 的过程中，△PBC 的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．当P 在BC 下方，S ＝4时，点P 在BC 的中点的正下方，F 是BC 的中点．例 2 2012年菏泽市中考第21题如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A (0, 1)、B (2, 0)、O (0, 0)，将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到三角形A ′B ′O ．（1）一抛物线经过点A ′、B ′、B ，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P ，使四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB ′A ′B 是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1满分解答（1）△AOB 绕着原点O 逆时针旋转90°，点A ′、B ′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)． 因为抛物线与x 轴交于A ′(－1, 0)、B (2, 0)，设解析式为y ＝a (x ＋1)(x －2)， 代入B ′(0, 2)，得a ＝1．所以该抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －2) ＝－x 2＋x ＋2． （2）S △A ′B ′O ＝1．如果S 四边形PB ′A ′B ＝4 S △A ′B ′O ＝4，那么S 四边形PB ′OB ＝3 S △A ′B ′O ＝3． 如图2，作PD ⊥OB ，垂足为D ． 设点P 的坐标为 (x ，－x 2＋x ＋2)．232'1111(')(22)22222PB OD S DO B O PD x x x x x x =+=-++=-++梯形． 2321113(2)(2)22222PDBS DB PD x x x x x ∆=⨯=--++=-+． 所以2'''2+2PDB PB A D PB OD S S S x x ∆=+=-+四边形梯形． 解方程－x 2＋2x ＋2＝3，得x 1＝x 2＝1．所以点P 的坐标为(1，2)．图2 图3 图4（3）如图3，四边形PB ′A ′B 是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．考点伸展第（2）题求四边形PB ′OB 的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．'11'222PB O P S B O x x x ∆=⋅=⨯=． 22112(2)222PBOP S BO y x x x x ∆=⋅=⨯-++=-++． 所以2'''2+2PB O PBO PB A D S S S x x ∆∆=+=-+四边形．甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P ：作△A ′OB ′关于抛物线的对称轴对称的△BOE ，那么点E 的坐标为(1，2)．而矩形EB ′OD 与△A ′OB ′、△BOP 是等底等高的，所以四边形EB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍．因此点E 就是要探求的点P ．例 3 2012年河南省中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．（1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值； （2）设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连结PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．图1满分解答（1）设直线112y x =+与y 轴交于点E ，那么A (－2,0)，B (4,3)，E (0,1)． 在Rt △AEO 中，OA ＝2，OE ＝1，所以5AE =．所以25sin 5AEO ∠=． 因为PC //EO ，所以∠ACP ＝∠AEO ．因此25sin 5ACP ∠=． 将A (－2,0)、B (4,3)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得4230,1643 3.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得12a =，12b =-． （2）由211(,3)22P m m m --，1(,1)2C m m +，得221111(1)(3)42222PC m m m m m =+---=-++．所以2225251595sin (4)(1)55255PD PC ACP PC m m m =∠==-++=--+． 所以PD 的最大值为955． （3）当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，52m =； 当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，329m =．图2考点伸展第（3）题的思路是：△PCD 与△PCB 是同底边PC 的两个三角形，面积比等于对应高DN 与BM 的比．而252511cos cos (4)(2)(4)5525DN PD PDN PD ACP m m m m =∠=∠=⨯-++=-+-，BM ＝4－m ．①当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，19(2)(4)(4)510m m m -+-=-．解得52m =．②当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，110(2)(4)(4)59m m m -+-=-．解得329m =．例 4 2011年南通市中考第28题如图1，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线my x=(x ＞0)交于点B (2，1)．过点(,1)P p p -(p ＞1)作x 轴的平行线分别交曲线m y x =(x ＞0)和my x=-(x ＜0)于M 、N 两点．（1）求m 的值及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．图1满分解答（1）因为点B (2，1)在双曲线my x=上，所以m ＝2．设直线l 的解析式为y kx b =+，代入点A (1，0)和点B (2，1)，得0,2 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,1.k b =⎧⎨=-⎩ 所以直线l 的解析式为1y x =-． （2）由点(,1)P p p -(p ＞1)的坐标可知，点P 在直线1y x =-上x 轴的上方．如图2，当y ＝2时，点P 的坐标为(3，2)．此时点M 的坐标为(1，2)，点N 的坐标为(－1，2)．由P (3，2)、M (1，2)、B (2，1)三点的位置关系，可知△PMB 为等腰直角三角形． 由P (3，2)、N (－1，2)、A (1，0)三点的位置关系，可知△PNA 为等腰直角三角形． 所以△PMB ∽△PNA ．图2 图3 图4（3）△AMN 和△AMP 是两个同高的三角形，底边MN 和MP 在同一条直线上． 当S △AMN ＝4S △AMP 时，MN ＝4MP ．①如图3，当M 在NP 上时，x M －x N ＝4(x P －x M )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得1132x +=或1132x -=（此时点P 在x 轴下方，舍去）．此时1132p +=． ②如图4，当M 在NP 的延长线上时，x M －x N ＝4(x M －x P )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得152x +=或152x -=（此时点P 在x 轴下方，舍去）．此时152p +=．考点伸展在本题情景下，△AMN 能否成为直角三角形？情形一，如图5，∠AMN ＝90°，此时点M 的坐标为（1，2），点P 的坐标为（3，2）． 情形二，如图6，∠MAN ＝90°，此时斜边MN 上的中线等于斜边的一半． 不存在∠ANM ＝90°的情况．图5 图6例5 2010年广州市中考第25题如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E ． （1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式； （2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图满分解答(1)①如图2，当E 在OA 上时，由12y x b =-+可知，点E 的坐标为(2b ,0)，OE ＝2b ．此时S ＝S △ODE ＝112122OE OC b b ⋅=⨯⨯=． ②如图3，当E 在AB 上时，把y ＝1代入12y x b =-+可知，点D 的坐标为(2b －2,1)，CD ＝2b －2，BD ＝5－2b ．把x ＝3代入12y x b =-+可知，点E 的坐标为3(3,)2b -，AE＝32b -，BE ＝52b -．此时S ＝S 矩形OABC －S △OAE － S △BDE －S △OCD＝1315133()()(52)1(22)22222b b b b -⨯-----⨯⨯- 252b b =-+．(2)如图4，因为四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 关于直线DE 对称，因此DM ＝DN ，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN 是菱形．作DH ⊥OA ，垂足为H ．由于CD ＝2b －2，OE ＝2b ，所以EH ＝2．设菱形DMEN 的边长为m ．在Rt △DEH 中，DH ＝1，NH ＝2－m ，DN ＝m ，所以12＋(2－m )2＝m 2．解得54m =．所以重叠部分菱形DMEN 的面积为54．图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形OABC 绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为53，如图7所示．图5 图6 图7例 6 2010年扬州市中考第28题如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，A C ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求线段AD 的长；（2）若EF ⊥AB ，当点E 在斜边AB 上移动时，①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）； ②当x 取何值时，y 有最大值？并求出最大值．（3）若点F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问，是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．图1 备用图满分解答(1) 在Rt △ABC 中， AC ＝3，BC ＝4，所以AB ＝5．在Rt △ACD 中，39cos 355AD AC A ==⨯=．(2) ①如图2，当F 在AC 上时，905x <<．在Rt △AEF 中，4tan 3EF AE A x ==．所以21223y AE EF x =⋅=． 如图3，当F 在BC 上时，955x <≤．在Rt △BEF 中，3tan (5)4EF BE B x ==-．所以21315288y AE EF x x =⋅=-+． ②当905x <<时，223y x =的最大值为5425；当955x <≤时，231588y x x =-+23575)8232x =--+(的最大值为7532． 因此，当52x =时，y 的最大值为7532．图2 图3 图4(3)△ABC 的周长等于12，面积等于6．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，AF ＝6－x ，x 的变化范围为3＜x ≤5．因此1142sin (6)(6)2255AEF S AE AF A x x x x ∆=⋅⋅=-⨯=--．解方程2(6)35x x --=，得1362x =±． 因为1362x =+在3≤x ≤5范围内（如图4），因此存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．考点伸展如果把第（3）题的条件“点F 在直角边AC 上”改为“点F 在直角边BC 上”，那么就不存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，BE ＝5－x ，BF ＝x ＋1．因此21133sin (5)(1)(45)22510BEF S BE BF B x x x x ∆=⋅⋅=-+⨯=---． 解方程23(45)310x x ---=．整理，得2450x x -+=．此方程无实数根．例7 2009年兰州市中考第29题如图1，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴上运动，当P 点到D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；（2）求正方形边长及顶点C 的坐标；（3）在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标．（4）如果点P 、Q 保持原速度速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．图1 图2满分解答（1）Q (1,0)，点P 每秒钟运动1个单位长度．（2）过点B 作BE ⊥y 轴于点E ，过点C 作x 轴的垂线交直线BE 于F ，交x 轴于H ． 在Rt △ABE 中，BE ＝8，AE ＝10－4＝6，所以AB ＝10．由△ABE ≌△BCF ，知BF ＝AE ＝4，CF ＝BE ＝6．所以EF ＝8＋6＝14，CH ＝8＋4＝12．因此点C 的坐标为（14，12）．（3）过点P 作PM ⊥y 轴于M ，PN ⊥x 轴于N ．因为PM //BE ，所以AP AM MPAB AF BF==，即1068t AM MP ==．因此34,55AM t PM t ==．于是3410,55PN OM t ON PM t ==-==． 设△OPQ 的面积为S (平方单位)，那么2113347(1)(10)52251010S OQ PN t t t t =⋅⋅=+-=-++，定义域为0≤t ≤10．因为抛物线开口向下，对称轴为直线476t =，所以当476t =时，△OPQ 的面积最大．此时P 的坐标为(9415，5310)． （4）当53t =或29513t =时, OP 与PQ 相等．图3 图4考点伸展附加题的一般思路是：点Q 的横坐标是点P 的横坐标的2倍．先求直线AB 、BC 、CD 的解析式，根据直线的解析式设点P 的坐标，再根据两点间的距离公式列方程PO ＝PQ ．附加题也可以这样解：①如图4，在Rt △AMP 中，设AM ＝3m ，MP ＝4 m ，AP ＝5m ，那么OQ ＝8m ．根据AP 、OQ 的长列方程组5,81,m t m t =⎧⎨=+⎩解得53t =．②如图5，在Rt △GMP 中，设GM ＝3m ，MP ＝4 m ，GP ＝5m ，那么OQ ＝8m ．在Rt △GAD 中，GD ＝7.5．根据GP 、OQ 的长列方程组537.5,81,m t m t =-⎧⎨=+⎩解得29513t =．③如图6，设MP ＝4m ，那么OQ ＝8m ．根据BP 、OQ 的长列方程组51010,81,m t m t -=-⎧⎨=+⎩解得53t ，但这时点P不在BC上．例9 2011年上海市松江区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C 分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA，OC＝4，BC＝3，OA＝5，点D在边OC上，CD ＝3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点B和点E．①求二次函数的解析式和它的对称轴；②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足S△CEM＝2S△ABM，求点M的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“11松江24”，拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察面积比的度量值，可以体验到，有两个时刻，面积的比值等于2．思路点拨1．这三道题目步步为赢，错一道题目，就要影响下一道的计算．2．点M 在抛物线的对称轴上且位于x 轴上方，要分两种情况讨论，分别为点M 在线段FB 和FB 的延长线上．因为用点M 的纵坐标表示△ABM 的底边长，因点M 的位置不同而不同．满分解答（1）因为BC ∥OA ，所以BC ⊥CD ．因为CD ＝CB ＝3，所以△BCD 是等腰直角三角形．因此∠BCD ＝45°．又因为BC ⊥CD ，所以∠ODE ＝45°．所以△ODE 是等腰直角三角形，OE ＝OD ＝1．所以点E 的坐标是（1，0）．（2）①因为抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点B （3，4）和点E （1，0），所以934,10.b c b c -++=⎧⎨-++=⎩解得6,5.b c =⎧⎨=-⎩所以二次函数的解析式为y ＝－x 2＋6x －5，抛物线的对称轴为直线x ＝3．②如图2，如图3，设抛物线的对称轴与x 轴交于点F ，点M 的坐标为（3，t ）．CEM MEF COE OFMC S S S S ∆∆∆=--梯形111(4)321442222tt t =+⨯-⨯⨯-⨯⨯=+． （ⅰ）如图2，当点M 位于线段BF 上时，t t S ABM -=⨯-=∆42)4(21．解方程)4(242t t -=+，得58=t ．此时点M 的坐标为（3，58）． （ⅱ）如图3，当点M 位于线段FB 延长线上时，42)4(21-=⨯-=∆t t S ABM ．解方程)4(242-=+t t，得8=t ．此时点M 的坐标为（3，8）．图2 图3考点伸展对于图2，还有几个典型结论：此时，C 、M 、A 三点在同一条直线上；△CEM 的周长最小．可以求得直线AC 的解析式为445y x =-+，当x ＝3时，85y =．因此点M （3，58）在直线AC 上． 因为点A 、E 关于抛物线的对称轴对称，所以ME ＋MC ＝MA ＋MC ． 当A 、M 、C 三点共线时，ME ＋MC 最小，△CEM 的周长最小．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ． （1）求线段AD 的长；（2）若EF ⊥AB ，当点E 在线段AB 上移动时，①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围） ②当x 取何值时，y 有最大值？并求其最大值；（3）若F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 两点均不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问：是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．。
动点产生的面积问题
运动变化题是随着图形的某一元素的运动变化，导致问题的结论改变或者保持不变的几何题，它揭示了“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的内在联系．解题的关键是分清几何元素运动的方向和捷径，注意在运动过程中哪些是变量，哪些不是变量，通常要根据几何元素所处的不同位置加以分类讨论，同时，综合运用勾股定理、方程和函数等知识，本节课的内容涉及三角形、特殊的四边形的面积问题．本节主要是在函数背景下求三角形或四边形的面积问题，较复杂的题目可以采取“割补”的思想构造较简单的图形进行求解．动点产生的面积问题内容分析知识结构模块一：面积计算的问题知识精讲【例1】 如图，已知直线l ：22y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，将直线y=x向上平移1个单位长度得到直线P A ，点Q 是直线P A 与y 轴的交点，求四边形PQOB 的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例2】 如图，已知直线AB ：2y x =+与直线OA ：13y x =交于点A ，与直线OB ：3y x =交于点B 两点．求△AOB 的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】例题解析【例3】 如图，已知直线3y x =+的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1两部分，求直线l 的解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例4】 如图，已知，在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2．（1）如图1，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（2）如图2，当四边形EFGH 为菱形，且BF =a 时，求△GFC 的面积．（用含a 的代数式表示）【难度】★★★ 【答案】 【解析】A B CDE F 图1GHABCDE F 图2GH【例5】 如图1，正方形ABCD 的边长为2，点A (0， 1)和点D 在y 轴正半轴上，点B 、C 在第一象限，一次函数y ＝kx ＋2的图像l 交AD 、CD 分别于E 、F ． （1）若△DEF 与△BCF 的面积比为1∶2，求k 的值； （2）联结BE ，当BE 平分∠FBA 时，求k 的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例6】 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，过点A 的直线交y 轴正半轴于点M ，且点M 为线段OB 的中点． （1）求直线AM 的表达式；（2）试在直线AM 上找一点P ，使得S △ABP ＝S △AOB ，请求出点P 的坐标； （3）若点H 为坐标平面内任意一点，是否存在点H ，使以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形?若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例7】 如图1，已知直角坐标平面内点A (2, 0)，P 是函数y ＝x （x ＞0）图像上一点，PQ ⊥AP 交y 轴正半轴于点Q ． （1）试证明：AP ＝PQ ；（2）设点P 的横坐标为a ，点Q 的纵坐标为b ，那么b 关于a 的函数关系式是_______；（3）当S △AOQ ＝23S △APQ 时，求点P 的坐标．【难度】★★★ 【答案】 【解析】本节主要研究点在运动的背景下，产生的面积与动点之间的关系，关键点是找出决定这个面积变化的几个量是怎样变化的，重点在于思维能力的培养，难度较大．模块二：与面积相关的函数解析式知识精讲【例8】 如图，矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，M 是CD 的中点，点P 在矩形的边上沿A B C M →→→运动，试写出△APM 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系，写出定义域，并画出函数图像． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例9】 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝CD ＝AD ＝5cm ，BC ＝11cm ，点P 从点D 出发沿DA 边以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 出发沿BC 边以每秒2cm 的速度移动（当点P 到达点A 时，点P 与点Q 同时停止移动），假设点P 移动的时间为x （秒），四边形ABQP 的面积为y （cm 2）． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在移动的过程中，求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值；（3）在移动过程中，是否存在x 使得PQ ＝AB ，若存在，求出所有的x 的值；若不存在，请说明理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】例题解析BAB CDMP【例10】已知：如图1，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），连结EG并延长交DC于点M，作MN⊥AB，垂足为N，MN交BD于P．设正方形ABCD的边长为1．（1）证明：△CMG≌△NBP；（2）设BE＝x，四边形MGBN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果按照题设方法作出的四边形BGMP是菱形，求BE的长．【难度】★★★【答案】【解析】【例11】已知：在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点E在边AB 上，CE＝CD．（1）如图1，当∠BCD为锐角时，设AD＝x，△CDE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）当CD＝5时，求△CDE的面积．【难度】★★★【答案】【解析】AB CDEA BCDEFGPMN【例12】 如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3,0），（0,1），点D是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x m =-+交折线OAB 于点E ．（1）当点E 恰为AB 中点时，求m 的值；（2）当点E 在线段OA 上，记△ODE 的面积为y ，求y 与m 的函数关系式并写出定义域；（3）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试判断四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，写出该重叠部分的面积；若改变，写出重叠部分面积S 关于m 的函数关系式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例13】 如图1，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ． （1）当E 是AB 中点时，求证AG ＝BF ；（2）当E 在边AB 上移动时，观察BF 、AG 、AE 之间具有怎样的数量关系?并证明你所得到的结论；（3）联结DF ，如果正方形的边长为2，设AE ＝x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域．【难度】★★★ 【答案】 【解析】xA BCD EFG【例14】 如图1，梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝90°，AD ＝18，BC ＝21．点P 从点A 出发沿AD 以每秒1个单位的速度向点D 匀速运动，点Q 从点C 沿CB 以每秒2个单位的速度向点B 匀速运动．点P 、Q 同时出发，其中一个点到达终点时两点停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当AB ＝10时，设A 、B 、Q 、P 四点构成的图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出定义域；（2）设E 、F 为AB 、CD 的中点，求四边形PEQF 是平行四边形时t 的值．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例15】 如图1，在菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AB ＝4．左右作平行移动的正方形EFGH 的两个顶点F 、G 始终在边BC 上．当点G 到边BC 中点时，点E 恰好在边AB 上．（1）如图1，求正方形EFGH 的边长；（2）设点B 与点F 的距离为x ，在正方形EFGH 作平行移动的过程中，正方形EFGH 与菱形ABCD 重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FH 、HC ，当△FHC 是等腰三角形时，求BF 的长． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDE PAQ 图1备用图HAB C DEF G【例16】 如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形．A (0，4)，C (5， 0)，点D 是y 轴正半轴上一点，将四边形OABC 沿着过点D 的直线翻折，使得点O 落在线段AB 上的点E 处．过点E 作y 轴的平行线与x 轴交于点N ．折痕与直线EN 交于点M ，联结DE 、OM . 设OD ＝t ，MN ＝s ． （1）试判断四边形EDOM 的形状，并证明；（2）当点D 在线段OA 上时，求s 关于t 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）用含t 的代数式表示四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分的面积．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例17】 已知：如图1，梯形ABCD 中，AD //BC ，∠A ＝90°，∠C ＝45°，AB ＝AD ＝4．E 是直线AD 上一点，联结BE ，过点E 作EF ⊥BE 交直线CD 于点F ．联结BF ．（1）若点E 是线段AD 上一点（与点A 、D 不重合），（如图1所示） ①求证：BE ＝EF ；②设DE ＝x ，△BEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出此函数的定义域；（2）直线AD 上是否存在一点E ，使△BEF 是△ABE 面积的3倍，若存在，直接写出DE 的长，若不存在，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】 【解析】AB DEFABCD图1备用图备用图ABCD【例18】如图，已知正方形ABCD的边长为3，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形的边AB、CD、DA上，AH＝1，联结CF．（1）当DG＝1时，求证菱形EFGH为正方形；（2）设DG＝x，△FCG的面积为y，写出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）当DGGHE的度数．【难度】★★★【答案】【解析】A BCDEFGH【例19】已知：如图，四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0，0)，A(8，0)，B(4，4)，C(0，4)，直线l：y＝x＋m保持与四边形OABC的边交于点M、N（M 在折线AOC上，N在折线ABC上）．设四边形OABC在l右下方部分的面积为S1，在l左上方部分的面积为S2，记S＝S1－S2（S≥0）．（1）求∠OAB的大小；（2）当M、N重合时，求l的解析式；（3）当m≤0时，线段AB上是否存在点N，使得S＝0?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由；（4）求S与m的函数关系式．【难度】★★★【答案】【解析】x【例20】 在边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，P 是对角线AC上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ，设P A =x ，PCE S y =△．（1）求证：DF =EF ；（2）当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）点P 在运动过程中能否使△PEC 为等腰三角形?如果能，请直接写出P A 的长；如果不能，请简单说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题1】 如图，直线443y x =-+与y 轴交于点A ，与直线4455y x =+交于点B ，且直线4455y x =+与x 轴交于点C ，求△ABC 【难度】★★ 【答案】 【解析】随堂检测ABCD E F P O【习题2】已知直线2y x=-+与x轴、y轴分别交于A点和B点，另一条直线(0)y kx b k=+≠经过点C（1，0），且把△AOB分成两部分．若△AOB被分成的两部分面积比为1：5，求k和b的值．【难度】★★★【答案】【解析】【习题3】直线364y x=-+与坐标轴分别交与点A、B两点，点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿O B A→→运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．【难度】★★★【答案】【解析】【习题4】 如图，已知：过点A （8，0）、B （0，y =交于点C ，平行于y 轴的直线l 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到C 点时停止；l 分别交线段BC 、OC 于点D 、E ，以DE 为边向左侧作等边△DEF ，设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为S （平方单位），直线l 的运动时间为t （秒）．（1） 写出点C 的坐标和t 的取值范围； （2） 求s 与t 的函数关系式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业1】 如图，已知直线P A ：(0)y x n n =+>与直线PB ：2()y x m m n =-+>交于点P ．（1）用m 、n 表示出A 、B 、P 点的坐标；（2）若点Q 是直线P A 与y 轴的交点，且四边形PQOB 的面积56，AB=2，试求点P 的坐标，并写出直线P A 与PB 的解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】课后作业【作业2】 如图所示，直线y kx b =+的截距为6，该直线分别交x 轴、y 轴于E 、F ，点E 的坐标为（－4，0）． （1）求直线y kx b =+的表达式；（2）若点P （x ，y ）是该直线第二象限上的一个动点，P A ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为点A 、B ，试求四边形OAPB 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业3】 如图，已知：直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°，AB =6，AD =4，DC =3，点P 从点A 出发，沿ADCB 方向移动，动点Q 从点A 出发，在AB 边上移动，设点P 移动的路程为x ，点Q 移动的路程为y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长． （1） 求y 关于x 的函数解析式，并写出x 和y 的取值范围；（2） 当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分ABCD 的面积?若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDP Q【作业4】如图，在平面直角坐标系中，两个函数162y x y x==-+，的图像交于点A，动点P从点O开始在线段O向点A方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x 轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PAMN，设它与△ABO重叠部分的面积为S．（1）求点A的坐标；（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动的时间t（秒）的关系式．【难度】★★★【答案】【解析】。
由动点产生的面积问题
因动点产生的面积问题1．（南通）如图，已知直线l 经过点A （1，0），与双曲线my x =（x ＞0）交于点B （2，1）．过点P （p ，p ﹣1）（p ＞1）作x 轴的平行线分别交双曲线m y x =（x ＞0）和my x=-（x ＜0）于点M 、N ．（1）求m 的值和直线l 的解析式；（2）若点P 在直线y =2上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数p ，使得S △AMN =4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．2．当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，（当P、Q中的某一点到达终点，则两点都停止运动.）过Q作直线QN，使QN∥PM，设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤8），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S（cm2）.（1）求S关于t的函数关系式；（2）求S的最大值.⑴略解：①当P、Q同时在AB边上运动时，0≤t≤6.AQ=t,AP=t+2, AF=t,QF=t,AG=(t+2), 由三角函数PG=(t+2),FG=AG-AF=(t+2)-t=1.S =·(QF+PG)·FG=[t+(t+2)]·1=t+.②当6＜t≤8时，S=S平行四边形ABCD-S△AQF-S△GCP.易求S平行四边形ABCD=16,S△AQF=AF·QF=t2.而S△CGP=PC·PG,PC=4-BP=4-(t+2-8)=10-t.由比例式可得∴PG=(10-t).∴S△CGP=PC·PG=(10-t)·(10-t)=(10-t)2.∴S=16-t2-(10-t)2=(6＜t≤8⑵分析:求面积的最大值时,应用函数的增减性求.若题中分多种情况,那么每一种情况都要分别求出最大值，然后综合起来得出一个结论.此题分两种情况,那么就分别求出0≤t≤6和6＜t≤8时的最大值. 0≤t≤6时,是一次函数,应用一次函数的性质,由于一次项系数是正数,面积S随t的增大而增大.当6＜t≤8时,是二次函数,应用配方法或公式法求最值.略解：由于所以t=6时，S＝；由于S＝(6＜t≤8,所以t=8时，S最大=6.综上所述, 当t=8时，S最大=6.3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l 与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).1.求A、B两点的坐标；2.设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式；3.在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？1.分析：由菱形的性质、三角函数易求A、B两点的坐标.解：∵四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∴OA=AB=BC=CO=4.如图①，过点A作AD⊥OC于D.∵∠AOC=60°，∴OD=2，AD=.∴A(2, )，B（6, ）.2.分析：直线l在运动过程中，随时间t的变化，△MON的形状也不断变化，因此，首先要把所有情况画出相应的图形，每一种图形都要相应写出自变量的取值范围。
因动点产生的面积问题
1
例题 5 如图平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线y = ������ 2 − 4������ + ������与������轴
交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与������轴的负半轴交于点 C，且OB = OC。 1) 求该抛物线的解析式及点 B 的坐标； 2) P 是线段 OB 上的一点，过点 P 作PD ⊥ ������轴，与抛物线交于 D 点，直线 BC 能 否把∆������������������分成面积之比为2: 3的两部分？如能， 请求出点 P 的坐标； 如不能， 请说明理由。
������
Hale Waihona Puke 例题 3 如图，已知直线y = 2 ������与双曲线 y = ������ （k > 0）交于 A、B 两点，且点 A
的横坐标为 4. 1) 求 K 的值； 2) 若双曲线上的一点 C 的纵坐标为 8，求 AOC 的面积； 3) 过原点 O 的另一条直线交双曲线与 P、Q 两点（P 点在第一象限） ，若由 A、 B、P、Q 为顶点组成的四边形面积为 24，求点 P 的坐标。
第五篇因动点产生的面积问题 例题 1 如图已知一次函数y = ax − a(a ≠ 0)的图像是直线l,点 E 是直线l与y轴的
交点。 1) 证明：当a取不等于 0 的实数时，直线l都经过x轴上的一个定点 P，并求这个 定点 P 的坐标； 2) 在x轴上找出点 Q，使 S∆PQE=2S∆OPE ，求出点 Q 的坐标。
例题 2 如图，点 P、点 Q 分别在x轴、y轴上。
1) 已知点 P（3，0） ，Q（0，4） ，点 M 在线段 PQ 上，直线 OM 把∆POQ 分成两 个三角形，且这两个三角形的面积的比是 2：1，求直线 MO 的函数解析式； 2) 如图，已知 P（m，0） ，Q（0，n） （m>0,n>0）,反比例函数y = ������ 的图像与线 段 PQ 交于 C、D 两点，若 S∆POC=S∆COD=S∆DOQ 求 n 的值。
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因动点产生的面积问题例1：如图所示，将两张长为8，宽为2的矩形纸片交叉，使重叠部分呈一个菱形，求菱形面积的最大值。
例2：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB为正三角形，A在第一象限上，点B的坐标为（2，0），点P是线段OB的三等分点．（1）求经过A、O两点的直线AO的解析式；（2）过点P作PC⊥AB，PD⊥AO，垂足分别为C、D，求PC+PD的值；（3）在（2）的条件下，点E在x轴的负半轴上，作直线CE交AO于点F，且△ACF和△EOF的面积相等，求直线CE的解析式．一、面积比定值问题已知：抛物线y=ax 2+bx+c 经过点O （0，0），A （7，4），且对称轴l 与x 轴交于点B （5，0）。
（1）求抛物线的表达式。
（2）如图，点E 、F 分别是y 轴、对称轴l 上的点，且四边形EOBF 是矩形，点C （5，25）是BF 上一点，将△BOC 沿着直线OC 翻折，B 点与线段EF 上的D 点重合，求D 点的坐标。
（3）在（2）的条件下，点G 是对称轴l 上的点，直线DG 交CO 于点H ，S △DOH ：S △DHC =1：4，求G 点坐标。
例.如图，在平面直角坐标系XOY 中，已知点A 的坐标为（a ，3）（其中a ＞4），射线OA 与反比例函数y=x 12的图象交于点P ，点B 、C 分别在函数y=x 12的图象上，且AB ∥x 轴，AC ∥y 轴；（1）当点P 横坐标为6，求直线AO 的表达式；（2）联结BO ，当AB=BO 时，求点A 坐标；（3）联结BP 、CP ，试猜想：ACP ABP △S △S 的值是否随a 的变化而变化？如果不变,求出ACPABP △S △S 的值；如果变化，请说明理由．例：如图，在平面直角坐标系中，已知点A （m ，0），点B （4，0）、C （4，m ），其中m ＜0，点D 是y 轴正半轴上的一点，且OD=AB ，分别连接AD 、AC 、DB 和DC ．（1）请直接写出D 点的坐标（用含m 的整式表示）；（2）判断△DAC 的形状并说明理由；（3）是否存在实数m 的值，使得m S S ABCDACB 36-=∆四边形？若存在，请求出m 的值不存在，请说明理由．二、等面积求定点坐标问题例2.如图，在平面直角坐标系XOY 中，直线1+=mx y 与反比例函数y ＝xk （k ＞0）相交于点A 、B ，点C 在x 轴正半轴上，点D （2，-3），连结OA 、OD 、DC 、AC ，四边形AODC 为菱形．（1）求k 和m 的值．（2）当x 取何值时，反比例函数值不小于一次函数值．（3）设点P 是y 轴上一动点，且△OAP 的面积等于菱形OACD 的面积，求点P 的坐标．例：如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD 为菱形，且A （0，3）、 B （-4，0）．（1）求经过点C 的反比例函数的解析式；（2）设P 是（1）中所求函数图象上一点，以P 、O 、A 顶点的三角形的面积与△COD 的面积相等．求点P 的坐标．例：如图，在平面直角坐标系中，点A 是反比例函数y 1=xk （k ≠0）图象上一点，AB ⊥x 轴于B 点，一次函数y 2=ax+b （a ≠0）的图象交y 轴于D （0，-2），交x 轴于C 点，并与反比例函数的图象交于A ，E 两点，连接OA ，若△AOD 的面积为4，且C 为OB 的中点．若点Q 在反比例函数图象上，且QAB S ∆=BAC S ∆4，求点Q 的坐标．三、面积极值问题例3：如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx ax y ++=2的图象经过矩形OABC的顶点A ，B ，与x 轴交于点E ，F ，且B ，E 两点的坐标分别为B （2，23），E （-1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）若直线BE 与抛物线的对称轴交点为P ，M 是线段CB 上的一个动点（点M 与点B ，C 不重合），过点M 作MN ∥BE 交x 轴于点N ，连接PM ，PN ，设CM 的长为t ，△PMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值；例：如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点为A 、D （A 在D 的右侧），与y 轴的交点为C ，且A （4，0）．C （0，-3），对称轴是直线x=l ．（1）求二次函数的解析式；（2）若M 是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m ，设四边形OCMA 的面积为s ．请写出s 与m 之间的函数关系式，并求出当m 为何值时，四边形OCMA 的面积最大；例:已知：在矩形AOBC 中，OB=4，OA=3．分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），过F 点的反比例函数y=xk （k ＞0）的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：△AOE 与△BOF 的面积相等；（2）记ECF OEF S S S ∆∆-=，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？例：如图1，已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过A （-3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ，（1）求二次函数的表达式；（2）如图2，若E 是线段AD 上的一个动点（E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线与点F ，交x 轴与点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ，①求S 与m 的函数表达式；②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．例：如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．（1）求点B的坐标；（2）若二次函数c+=2的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析y+axbx式；（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．四、重叠面积问题例4.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x 轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．线段AE上有一动点P（不与A 重合），从A点开始沿AE方向匀速运动，到达点E时停止．运动的速度为每秒2个单位长度，设运动的时间为t秒，过P点作AE的垂线交AD于点Q，以PQ 为边向上作正方形PQMN，正方形PQMN与矩形ABCO重叠部分（阴影部分）面积为S（平方单位）．（1）求D、E两点的坐标．（2）当重叠部分为五边形时，求S与t之间的函数关系式并直接写出t的取值范围．（3）在（2）的条件下，当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？例.在矩形OABC 中，OA=4，AB=2，以点O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．将矩形OABC 绕点O 逆时针旋转至矩形ODEF ．（1）如图1，当∠AOD=60°时，△OCF 的形状是（2）如图2，当点E 落在y 轴的正半轴上，试求CE 的长度和点D 的坐标；（3）如图3，在图2的基础上再沿y 轴的负半轴向下平移，平移速度是每秒1个单位长度．①求经过几秒，直线DE 经过点A ；②设两矩形重叠部分的面积为S ，运动时间为t ，写出重叠部分面积S 与时间t 之间的函数关系式.例.如图，在平面直角坐标系中，点A 、点C 同时从点O 出发，分别以每秒2个单位、1个单位的速度向x 轴、y 轴的正半轴方向运动，以OA 、OC 为边作矩形OABC ．以M （4，0），N （9，0）为斜边端点作直角△PMN，点P 在第一象限，且tan∠PMN＝21，当点A 出发时，△PMN 同时以每秒0.5个单位的速度沿x 轴向右平移．设点A 运动的时间为t 秒，矩形OABC 与△PMN 重叠部分的面积为S ．（1）求运动前点P 的坐标；（2）求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）若在运动过程中，要使对角线AC 上始终存在点Q ，满足∠OQM=90°，请直接写出符合条件的t 的值或t 的取值范围．五、动点经过面积问题例5.如图，已知直线y ＝−21x+1交坐标轴于A 、B 点，以线段AB 为边向上作正方形ABCD ，过点A 、D 、C 的抛物线与直线的另一个交点为E ．（1）求点C 、D 的坐标（2）求抛物线的解析式（3）若抛物线与正方形沿射线AB 下滑，直至点C 落在x 轴上时停止，求抛物线上C 、E 两点间的抛物线所扫过的面积．六、面积转化等值问题例6.已知：二次函数c x ax y +-=22的图象与x 于A 、B ，（A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴是直线x=1，平移一个单位后经过坐标原点O.（1）求这个二次函数的解析式；（2）直线y ＝−31x+1交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点．若∠DBC=α，∠CBE=β，求βα-的值；（3）在（2）问的前提下，P 为抛物线对称轴上一点，且满足PA=PC ，在y 轴右侧的抛物线上是否存在点M ，使得△BDM 的面积等于PA 2？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．七、划分面积求动点坐标问题例7.如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴、y 轴分别交于A （-1，0）、B （5，0）、C （0，4）三点，顶点为点D ．（1）求二次函数的解析式，并求出顶点坐标；（2）x 轴上方的抛物线是否存在异于B 、C 的点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点M ，使直线BC 平分△PMB 的面积？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使AQ 等于点B 到直线AQ 的距离？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．例.如图，已知直线y=x 与二次函数bx x y +=2的图象交于点A 、O ，（O 是坐标原点），点B 为二次函数图象的顶点，OA=32．（1）求b 的值及过B 、A 两点的一次函数的解析式；（2）抛物线的对称轴与x 轴交于C ，点P 在线段OA 上，Q 在抛物线上，且PQ ∥x 轴，若以O 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q 的坐标；（3）若点P 在线段OA 上，Q 在抛物线上，且PQ ∥x 轴，PQ 将△AOB 的面积二等分时，求点P 的坐标．例.如图，已知二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象与x 轴交于点A （1，0），与x 轴交于另一点C ，与y 轴交于点B （0，3），对称轴是直线x=-1，顶点是M ．（1）直接写出二次函数的解析式：；（2）点P 是抛物线上的动点，点D 是对称轴上的动点，当以P 、D 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出此时点D 的坐标：；（3）过原点的直线l 平分△MBC 的面积，求l 的解析式．八、求面积问题例8：如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，四边形ABCO 为矩形，AB=16，点D 与点A 关于y 轴对称，tan ∠ACB=34，点E 、F 分别是线段AD 、AC 上的动点，（点E 不与点A ，D 重合），且∠CEF=∠ACB ．（1）求AC 的长和点D 的坐标；（2）求证：EC EF =DCAE （3）当△EFC 为等腰三角形时，求△AEC 的面积．。