初中数学精华资料(一线名师整理)函数图象中的存在性问题—因动点产生的面积问题(4页)
初中函数图像分析知识点归纳
初中函数图像分析知识点归纳初中阶段，我们学习了各种各样的数学知识，其中函数图像分析也是其中的一部分。
函数图像分析是学习函数的重要内容之一，它帮助我们理解函数的性质和行为。
在本文中，我将对初中函数图像分析的知识点进行归纳和总结。
一、函数的定义域和值域在图像分析中，我们首先要了解函数的定义域和值域。
函数的定义域是指函数可选取的自变量的值的集合，而函数的值域是函数对应的因变量的值的集合。
在分析函数图像时，我们要确保自变量在其定义域内取值，而因变量的取值则取决于函数所定义的规则。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在自变量取正值和负值时的对称性。
具体来说，若对于函数中的每一对自变量的值 x 和 -x，有相应的 f(x) = f(-x)，则函数是偶函数。
相反，若对于函数中的每一对自变量的值 x 和 -x，有相应的 f(x) = -f(-x)，则函数是奇函数。
学习函数的奇偶性可以帮助我们预测函数图像的对称性。
三、函数的增减性与极值点函数的增减性是指函数图像在不同区间上的上升或下降趋势。
我们可以通过函数的导数或导函数来确定函数的增减性。
具体来说，若函数在定义域的某个区间上单调递增，那么该区间内的任意两点，其对应的函数值的大小关系保持不变。
若函数在某个区间上单调递减，也满足上述条件。
另外，函数在一处取得极值时，该点称为函数的极值点。
计算函数的导数或导函数，可以帮助我们确定函数的极值点。
四、函数的零点函数的零点也称为函数的根，它是使函数取值为0的自变量值。
零点是函数图像与 x 轴的交点。
通过求解函数的零点，我们可以找到函数图像与 x 轴的交点，进而推测函数的趋势和交点的位置。
五、函数的周期性周期函数是一类特殊的函数，它在一个固定的区间内具有重复的特征。
函数的周期性可以通过观察函数图像来判断。
若函数图像在特定的间隔 (T) 内呈现出相同的形状和性质，则该函数具有周期性。
周期函数的研究可以帮助我们预测函数在整个定义域上的行为。
中考数学动点问题归纳总结2.动点与函数图象之面积问题
2.动点与函数图象之面积问题1.如图,在直角坐标系xOy 中,已知()0,1,0)A B ,以线段AB 为边向上作菱形ABCD ,且点D 在y 轴上．若菱形ABCD 以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 滑行,直至顶点D 落在x 轴上时停止．设菱形落在x 轴下方部分的面积为S ,则表示S 与滑行时间t 的函数关系的图象为( ).A ．B ．C ．D ．答案：A解析：解：∵()0,1,0)A B ,∴1,OA OB ==2AB ∴===,∵tan 1OB BAO OA ∠=== 60BAO ∴∠=︒,∴菱形ABCD 的高为22⨯= ∵菱形ABCD 以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 滑行,∴菱形沿y 轴方向滑落的速度为1,沿x ①点A 在x 轴上方时,落在x 轴下方部分是三角形,面积2122S t =⋅⋅=, ②点A 在x 轴下方,点C 在x 轴上方时,落在x 轴下方部分是梯形,面积1[(1)]22St t =-+=-, ③点C 在x 轴下方时,x 轴下方部分为菱形的面积减去x 轴上方部分的三角形的面积,2212t))22S t =⨯--=--, 纵观各选项,只有A 选项图形符合．故选A ．2.如图,AB 为半圆的直径,点P 为AB 上一动点,动点P 从点A 出发,沿AB 匀速运动到点B ,运动时间为t ,分别以AP 与PB 为直径做半圆,则图中阴影部分的面积S 与时间t 之间的函数图象大致为( ).A ．B ．C ．D ． 答案：D解析：解：设P 点运动速度为v (常量),AB a = (常量),则,-AP vt PB a vt ==； 则阴影面积222111)()()222222a vt a vt s πππ-=--（ 2222()444v t avt vavt tπππ-+==-+ 由函数关系式可以看出,D 的函数图象符合题意．故选D ．3.如图,在矩形ABCD 中,O 是对角线AC 的中点,动点,P Q 分别从点,C D 出发,沿线段,CB DC 方向匀速运动,已知,P Q 两点同时出发,并同时到达终点,B C ．连接,OP OQ ．设运动时间为t ,四边形OPCQ 的面积为S ,那么下列图象能大致刻画S 与t 之间的关系的是（ ）.A ．B ．C ．D ． 答案：A解析：作OE BC ⊥于E 点,OF CD ⊥于F 点,如图,设,BCa ABb ==,点P 的速度为x ,点F 的速度为y , 则,CP xt DQ yt ==,所以,CQ b yt =-O Q 是对角线AC 的中点,OE OF ∴、分别是ACB ACD 、V V 的中位线,11,22OE b OF a ∴==, ,P Q Q 两点同时出发,并同时到达终点,a b x y∴=,即ay bx =, 1111()22221114441(0)4OCQ OCPS S S a b yt b xt ab ayt bxt a ab t x ∴=+=⋅-+⋅⋅=-+=<<V VS ∴与t 的函数图象为常函数,且自变量的范围为0a t x<<4.如图1,E 为矩形ABCD 边AD 上一点,点P 从点B 沿折线BE ED DC --运动到点C 时停止,点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止,它们运动的速度都是1/cm s ．若,P Q 同时开始运动,设运动时间为(),t s BPQ V 的面积为()2y cm ．已知y 与t 的函数图象如图2,则下列结论错误的是（ ）.A ．6AE cm =B ．4sin 5EBC ∠= C ．当010t<≤时, 225y t = D ．当12t s =时,PBQ V 是等腰三角形答案：D解析：(1)结论A 正确,理由如下：分析函数图象可知,10,4BCcm ED cm ==, 故1046AE AD ED BC ED cm ====﹣﹣﹣.(2)结论B 正确,理由如下：如图,连接EC ,过点E 作EF BC ⊥于点F ,由函数图象可知,10BC BE cm ==114010522BEC S BC EF EF EF ==⋅⋅=⋅⋅=V 8EF ∴=,84sin 105EF EBC BE ∴∠===. (3)结论C 正确,理由如下：如图,过点P 作PG BQ ⊥于点G ,BQ BP t==Q 211142sin 22255BPQ y S BQ PG BQ BP EBC t t t ∴==⋅⋅=⋅⋅∠=⋅⋅⋅=V . (4)结论D 错误,理由如下：当12ts =时,点Q 与点C 重合,点P 运动到ED 的中点,设为N ,如图,连接,NB NC .此时8,2AN ND ==,由勾股定理求得：NB NC ==10,BC BCN =∴Q V 不是等腰三角形,即此时PBQ V 不是等腰三角形.故选D.5.如图,正方形ABCD 中,8AB cm = ,对角线AC BD 、相交于点O ,点E F 、分别从B C 、两点同时出发,以1/cm s 的速度沿BC CD 、运动,到点C D 、时停止运动,设运动时间为(),ts OEF V 的面积为()2s cm ,则()2s cm 与()t s 的函数关系可用图像表示为（ ）.A ．B ．C ．D ．答案：B解析：根据题意,8BE CF t CE t ===-,Q 四边形ABCD 为正方形,,45OB OC OBC OCD ∴=∠=∠=︒,Q 在OBE V 和OCF V中 OB OC OBE OCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()OBE OCF SAS ∴≌V V ,OBE OCF S S ∴=V V ,218164OBCOECF S S ∴==⨯=四边形V 2116(8)214162CEFOECF S S t t t t ∴-=--⋅=--四边形V21(4)8(08)2t t t =-+≤≤， ∴2()s cm与()t s 的函数图象为抛物线一部分,顶点为()4,8,自变量为08t ≤≤．6.正方形ABCD 的边长与等腰直角三角形PMN 的腰长均为4cm ,且AB 与MN 都在直线l 上,开始时点B 与点M 重合.让正方形沿直线向右平移,直到A 点与N 点重合为止,设正方形与三角形重叠部分的面积为()2ycm ，MB 的长度为()x cm ,则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）.A ．B ．C ．D ．答案：D解析：根据题意分析可得：正方形与三角形重叠部分的面积先越来越快的增大；当MB 的长度为4时,面积为8,取得最大值；随后,越来越快的减小,最后为0．7.如图,两个边长相等的正方形ABCD 和EFGH ,正方形EFGH 的顶点E 固定在正方形ABCD 的对称中心位置,正方形EFGH 绕点E 顺时针方向旋转,设它们重叠部分的面积为S ,旋转的角度为,S θ与θ的函数关系的大致图象是（ ）.A ．B ．C ．D ．答案：B解析：如图,过点E 作EM BC ⊥于点,M EN AB ⊥于点N ,Q 点E 是正方形的对称中心,EN EM ∴=,由旋转的性质可得NEK MEL ∠∠=,在Rt ENK V 和Rt EML V 中,NEK MEL EN EMENK EML ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩故可得ENK EML ≌V V ,即阴影部分的面积始终等于正方形面积的148.如图,A 点在半径为2的O e 上,过线段OA 上的一点P 作直线l ,与O e 过A 点的切线交于点B ,且60APB ∠︒=,设OP x =,则PAB V 的面积y 关于x 的函数图象大致是（ ）.A ．B ．C ．D ． 答案：D解析：因为AB 切O e 于A ,所以90PAB ∠︒=在Rt PAB V 中,2,60AP x APB ∠︒=-=60,(2)AB tan AB x AP︒∴=-⋅=Q21(2)(2)22y x y x ∴=-=-且02x ≤<.9.矩形ABCD 中,8 , 6 AD cm AB cm ==.动点E 从点C 开始沿边CB 向点B以2 /cm s 的速度运动至点B 停止,动点F 从点C 同时出发沿边CD 向点D 以1 /cm s 的速度运动至点D 停止．如图可得到矩形CFHE ,设运动时间为x (单位：s ),此时矩形ABCD 去掉矩形CFHE 后剩余部分的面积为y (单位：2cm ),则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）.A ．B ．C ．D ．答案：A 解析：分两种情况讨论：当4x ≤时,2682248y x x x⨯+⨯=-=- ,此时函数的图象为抛物线的一部分,它的最上点是抛物线的顶点(0,48),最下点为(4,16),当46x <≤时,点E 停留在点B 处,故488y x =-,此时函数的图象为直线488y x =-的一部分,它的最上点为(4,16),最下点为(60)，．结合图象可选A.10.如图,在边长为4的正方形ABCD 中,动点P 从A 点出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动,同时动点Q 从B 点出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC CD →方向运动,当P 运动到B 点时,P Q 、两点同时停止运动,设P 点运动的时间为,t APQ V 的面积为S ,则S 与t 的函数关系的图象是（ ）.A ．B ．C ．D ．答案：D 解析： 当02t<≤时,P 点在AB 上,Q 点在BC 上,这时,,2AP t BQ t == ,2122S t t t ∴⨯⨯==当24t <≤时,P 点仍在AB 上,Q 点在CD 上,这时,AP t APQ=V 的边AP 上的高为4,1422S t t ∴⨯⨯==.11.如下图所示,半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上,圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形,设穿过时间为t ,正方形除去圆部分的面积为S (阴影部分),则S 与t 的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．答案：A 解析：由图中可知：在开始的时候,阴影部分的面积最大,可以排除B,C 。
初中数学动点产生的面积问题学习方法
初中数学动点产生的面积问题学习方法
函数中的动点问题是以函数为背景，充分运用方程、转化、函数以及数形结合等思想来研究解决。
1.求不规则图形或难以同时求出底和高的三角形的面积，一般的思路是割补法：
①有一边“水平”或“竖直”的多边形，作垂线分割成直角三角形或直角梯形，如图1;
②“斜”的三角形一般不易找到它的底和高，通常过顶点作铅垂线和水平线“补”成矩形，再减去各角上的直角三角形面积，如图2.
图1
图2
2.对于“斜”三角形可用“铅垂法”求面积：如图3，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h).我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1/2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
图3
3.底或高不明显，但已知边的关系，可用相似比间接求得.①如图4，同底三角形的面积比等于高的比同高三角形的面积比等于底的比;②如图5，同底等高三角形的面积相等.
图4
图5
【典型例题】
如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(-3，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形?若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由.
(3)如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标.。
人教版九年级数学中考第二轮复习之函数图象上点的存在性问题中的距离、面积和角度
第二轮复习之函数图像上点的存在性问题中的距离、面积与角度中考说明：从07到13年我们发现各区模拟和中考中有很多考题通过距离来限制动点的位置．比如寻找等腰三角形的顶点等等． 一、线段定值问题：初中知识涉及点到点的距离，点到线的距离，平行线的距离，距离问题可分为以下几类： ① 动点P 到定点O 的距离等于定长d ，其实就是作圆（如图1）． ② 动点P 到定直线l 的距离等于定长d ，其实就是作平行线（如图2）． ③ 动点P 到两定平行直线的距离倍差，其实是作平行线（图略）． ④ 动点到两相交直线的距离相等，其实就是作角平分线．（如图3）⑤ 动点到三角形三边的距离相等，其实就是三角形的内切圆圆心和旁切圆圆心（如图4）．Pd O图1图2P 2P 1ld d图3 角平分线角平分线角平分线角平分线图4I 3I 2I 1I二、线段最值问题： 题型一： 已知AB a =，AC b =，其中a b <，求BC 的最值．如图，以点A 为圆心，线段AB 为半径作圆， A ⊙交直线AC 于点1B 、2B ，当点B 与点1B 重合时，BC 取到最大值为a b +；当点B 和点2B 重合时，BC 取到最小值为b a -．点评：首尾相连线段求最值，其实就是旋转共线，不重则大，重叠则小．题型二：在直线l 上找一点P ，使得其到直线同侧两点A B 、的距离之和最小，如图所示．作点A （或B ）关于直线l 的对称点，再连接另一点与对称点，与l 的交点即为P 点．题型三：直线12l l 、交于O ，P 是两直线间的一点，在直线12l l 、上分别找一点A B 、，使得PAB △的周长最短．如图所示，作P 点关于12l l 、的对称点12P P 、，连接12P P ，与12l l 、分别交于A B 、两点，即为所求．题型四：直线12l l 、交于O ，A B 、是两直线间的两点，从点A 出发，先到1l 上一题型一：存在问题中的距离B 1B 2CB A A'BPAl Ol 1l 2QPB'A'BAO B AP 2P 1P l 2l 1点P ，再从P 点到2l 上一点Q ，再回到B 点，求作P Q 、两点，使AP PQ QB ++最小．如图所示，作A B 、两点分别关于直线12l l 、的对称点A B ′′、，连接A B ′′分别交12l l 、于P Q 、，即为所求．点评：同侧定点问题通过轴对称转化成异侧定点，才能和直线相交．题型五：从A 点出发，先到直线l 上的一点P ，再在l 上移动一段固定的距离PQ ，再到点B ，求作P 点使移动的距离最短，如图所示．先将A 点向右平移到A ′点，使AA ′等于PQ 的长，作点B 关于l 的对称点B ′，连接A B ′′，与直线l 的交点即为Q 点，将Q 点向左平移线段PQ 的长，即得到P 点．题型六：A B 、是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为d 的河上垂直建一座桥，使得从A 村庄经过桥到B 村庄所走的路程最短．如图所示，将点A 向垂直于河岸的方向向下平移距离d ，到A ′点，连接A B ′交河岸于Q 点，过Q 点作PQ 垂直于河岸，交河岸的另一端为P ，即为所求． 点评：若有定长，则按着定长的方向平移掉定长．题型七：垂线段最短．AB ≥AM+BNNBMA斜边大于直角边C B A垂线段最短B'A'QPBAl【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y mx mx n =++经过(35)P ，，(02)A ，两点．⑴求此抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l ，直线l 与抛物线的对称轴交于C 点，求直线l 的解析式；⑶在⑵的条件下，求到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点的坐标． （北京中考）【解析】 ⑴ 由题意可得3652m m n n ++=⎧⎨=⎩解得132m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩故抛物线的解析式为：2123233y x x =++．⑵ 由2123233y x x =++可知抛物线的顶点坐标为()31B -，，故()31C --，， 由题意可知直线l 过原点()00，和()31C --，． 设直线l 的解析式为y kx =，则有31k -=-解得3k =． 故直线l 的解析式为3y x =． ⑶ 到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点有四个． 由勾股定理可知OB =OC =BC =2，故△OBC 为等边三角形，四边形ABCO 是菱形，且∠BCO =60°，连接AC 交x 轴于一点M ，易证点M 到OB 、OC 、BC 的距离相等． 由点A 在∠BCO 的平分线上，故它到BC 、CO 的距离相等均为3，同时不难计算出点A 到OB 的距离为3，故点A 也算其中一个． 同理，不难想到向左、向下可以分别作与ABCO 全等的菱形（如图所示，其中△OBC 为新菱形的一半），此时必然存在两个点，使得它到直线OB 、OC 、BC 的距离相等．此四个点的坐标分别为：230M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，()02A ，，()02-，，()230-，．【例2】 已知抛物线21y ax bx =++经过点()13A ，和点()21B ，． ⑴求此抛物线解析式；⑵点C 、D 分别是x 轴和y 轴上的动点，求四边形ABCD 周长的最小值；⑶过点B 作x 轴的垂线，垂足为E 点．点P 从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F 点，再沿FE 到达E 点，若P 点在对称轴上的运动速度是它在直线FE 上运动速度的2倍，试确定点F 的位置，使得点P 按照上述要求到达E 点所用的时间最短．（要求：简述确定F 点位置的方法，但不要求证明）（崇文一模）典题精练Bl-3-2-1C N -4-2M 12OA321y xy x331221O 1FGy xE H D 1OCBA【解析】 ⑴ 依题意：311421a b a b =++⎧⎨=++⎩解得24a b =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为2241y x x =-++．⑵ 点()13A ，关于y 轴的对称点A '的坐标是()13-，，点()21B ，关于x 轴的对称点B '的坐标是()21-，．由对称性可知 AB BC CD DA +++=AB B C CD DA ''+++≥AB A B ''+由勾股定理可求AB =5，5A B ''=．所以，四边形ABCD 周长的最小值是55AB A B ''+=+．⑶ 确定F 点位置的方法：如图，过点E 作直线EG 使对称轴与直线EG 成45︒角，则EG 与对称轴的交点为所求的F 点． 设对称轴与x 轴交于点H ，在Rt HEF △中，由1HE =，9045FHE EFH ∠=︒∠=︒，，得1HF =．所以点F 的坐标是()11，．中考说明：经过分析统计近三年北京模拟题和外地中考题，发现二次函数综合题中涉及面积的题目所占比例极大，其原因大致有两点：一是面积可以通过底和高来限制线段，二是特殊图形面积计算也是中考的考查点．【例3】 抛物线223y x x =--+与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），与y 轴交于点C ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．【分析】 求三角形面积的问题通常要用割补法或等积变换等方法，本题较特殊，还可利用直线与抛物线相切来寻找面积最大时E 点的坐标．【解析】 解法一：过点E 作EF x ⊥轴于点F ，典题精练题型二：存在问题中的面积ExOyCBA设()223E a a a --+，()30a -<<∴223EF a a =--+，3BF a =+，OF a =-∴()1122BOCE S BF EF OC EF OF =⋅++⋅四边形()()()()22113232622a a a a a a =+⋅--++--+⋅- 2399222a a =--+23363228a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，∴当32a =-时，BOCE S 四边形最大，且最大值为638．此时，点E 坐标为31524⎛⎫- ⎪⎝⎭，．解法二：过E 作EF x ⊥轴交BC 于点H ， 设E 坐标为()223a a a --+，，则()3H a a +，，∴222333EH a a a a a =--+--=--， 由()213322BEC BEH CEH S S S OB EH a a =+=⋅⋅=--△△△∴()239322BOCE S a a =-++四边形，当32a =-时，BOCE S 四边形取到最大值，此时，31524E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．解法三：过抛物线上一点作BC 平行线l ，当直线l 与抛物线有且只有一个公共点时，BEC S △取到最大值，此点即为点E ， 设直线l 解析式为y x b =+，则方程223x b x x +=--+，有两个相等实根，即0∆=，可求214b =，由此可求得方程的根，即可求出E 点坐标．【例4】 如图，已知抛物线212y x bx c =++（b ，c 是常数，且0c <）与x 轴分别交于点A ，B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(10)-，． ⑴ b ＝ ，点B 的横坐标为 （上述结果均用含c 的代数式表示）；⑵ 连接BC ，过点A 作直线AE BC ∥，与抛物线212y x bx c =++交于点E ．点D 是x轴上一点，其坐标为()20，，当C ，D ，E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；⑶ 在⑵的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连接PB ，PC ，设所得△PBC 的面积为S ．①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为整数，则这样的△PBC 共有 个．（ 苏州）【解析】（1）12c +，2c -；xy HF EOC B A（2）令0x =，得y c =，即点C 坐标为()0c ，． 设直线BC 的解析式为y kx c =+．∵点B 坐标为()20c -，， ∴20kc c +=．∵0c ≠，∴12k =．∴12y x c =+．∵AE BC ∥．∴可设直线AE 的解析式为12y x m =+．∵点A 坐标为()10-，， ∴()1102m ⨯-+=．∴12m =．∴1122y x =+． 由211221122y x c x c y x ⎧⎛⎫=+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩．解得1110x y =-⎧⎨=⎩，22121x c y c =-⎧⎨=-⎩ ∴点E 坐标为()121c c --，． ∵点C 坐标为()0c ，，点D 坐标为()20，，∴直线CD 的解析式为2cy x c =-+． ∵C 、D 、E 三点在同一直线上，∴()1122cc c c -=--+， ∴22320c c +-=，∴112c =（舍去），22c =-． ∴1322b c =+=-．∴抛物线的解析式为213222y x x =--．（3）①设点P 坐标为213222x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，∵点A 坐标为()10-，，点B 坐标为()40，，点C 坐标为()02，． ∴5AB =，2OC =，直线CB 解析式为122y x =-．当10x -<<时，0ACB S S <<△．∵152ACB S AB OC =⋅=△，∴05S <<． 当04x <<0时，过点P 作PG x ⊥轴于点G ，交CB 于点F ．∴点F 坐标为122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．∴2211312222222PF x x x x ⎛⎫=----=-+ ⎪⎝⎭．∴211124222S PF OB x x ⎛⎫=⋅=-+⨯ ⎪⎝⎭．∴24S x x =-+．∴当2x =时，4S =最大值． ∴04S <≤．∴综上所述05S <<． ②11．1.【存在问题中的角度---特殊角】中考说明：单个特殊角θ一般指30︒、45︒、60︒等，初中阶段主要考察如何利用特殊角度去构造特殊三角形，从而解决相关问题；初高中衔接知识是特殊直线tan y x m θ=⋅+与抛物线()20y ax bx c a =++≠的交点.【例5】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 为抛物线2y x =上一动点，点A 的坐标为()42，，若点P 使45AOP =︒∠，请求出点P 的坐标．PKNAMOxy图2PBKM N AxOy典题精练构造特殊三角形特殊角度45°30°题型三：存在问题中的角度AxOy【解析】方法一：构造外弦图，如图1，过点A作MN垂直x轴于M，在AN上取点N，使得AN OM=，过点N作NK OM∥，过点A作AK AO⊥，AK与NK相交于点K．易证AMO KNA△≌△∴4AN OM==，2NK AM==∴点K的坐标为()26，直线OK的解析式为3y x=联立方程组23y xy x⎧=⎨=⎩解得xy=⎧⎨=⎩（舍），39xy=⎧⎨=⎩故点P的坐标为()39，．方法二：如图2，以AO为斜边作等腰直角三角形AOK，再构造弦图，求K的坐标．2．【存在问题中的角度---构造角度相等或角度和】【例6】在平面直角坐标系xOy中，抛物线2y x bx c=++与x轴交于A B，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为(30)，，将直线y kx=沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B C，两点．⑴求直线BC及抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且APD ACB∠=∠，求点P的坐标；⑶连接CD，求OCA∠与OCD∠两角和的度数．（北京中考）【解析】⑴y kx=Q沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C，∴(03)C，．设直线BC的解析式为3y kx=+．∵(30)B，在直线BC上，∴330k+=．解得1k=-．∴直线BC的解析式为3y x=-+．Q抛物线2y x bx c=++过点B C，，∴9303b cc++=⎧⎨=⎩解得43bc=-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为243y x x=-+．⑵由243y x x=-+．可得(21)(10)D A-，，，．∴3OB=，3OC=，1OA=，2AB=．可得OBC△是等腰直角三角形．∴45OBC∠=︒，32CB=如图1，设抛物线对称轴与x轴交于点F，∴112AF AB==．过点A作AE BC⊥于点E．∴90AEB∠=︒．1Oy2 3 44321-1-2-2-1PEBDP'ACF图11137–23–2–4xy55O21MED CB A321可得BE AE =CE =在AEC △与AFP △中，90AEC AFP ∠=∠=o ，ACE APF ∠=∠， ∴AEC AFP △∽△．∴AE CEAF PF =． 解得2PF =．Q 点P 在抛物线的对称轴上，∴点P 的坐标为(22)，或(22)-，． ⑶ 解法一： 如图2，作点(10)A ，关于y 轴的对称点A '，则(10)A '-，连结A C A D ''，， 可得A C AC '=OCA OCA '∠=∠． 由勾股定理可得220CD =，210A D '=．又210A C '=，∴222A D A C CD ''+=．∴A DC '△是等腰直角三角形，90CA D '∠=︒， ∴45DCA '∠=︒． ∴45OCA OCD '∠+∠=︒． ∴45OCA OCD ∠+∠=o ． 即OCA ∠与OCD ∠两角和的度数为45︒． 解法二： 如图3，连结BD ．同解法一可得CD =AC =． 在Rt DBF △中，90DFB ∠=︒，1BF DF ==，∴DB =在CBD △和COA △中，1DB AO =3BC OC ==CD CA == ∴DB BC CD AO OC CA ==． ∴CBD COA △∽△． ∴BCD OCA ∠=∠． 45OCB ∠=︒Q ，∴45OCA OCD ∠+∠=︒．即OCA ∠与OCD ∠两角和的度数为45︒．【总结】当11tan 1,tan 2,23∠=∠=则1245.∠+∠=︒【证明】方法1：将上面三个三角形向下翻折，连接,AM EM可证：ABD MCE △≌△ ∴13∠=∠又∵AM EM =，222AM EM AE += ∴AEM △是等腰直角三角形∴45AEM ∠=︒，即2345∠+∠=︒图2 x图3123AB CD E∴1245∠+∠=︒【提示】此题中三垂直模型：方法2:连接AC∵,22CD AC AC CE ===且ACD ECA ∠=∠ ∴△ACD ∽△ECA 1,CAE ∴∠=∠12245CAE ACB ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒训练1. 如图，在直角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2()0a ≠与x 轴交于点()10A -，、()30B ，两点，抛物线交y 轴于点()03C ，，点D 为抛物线的顶点．直线1y x =-交抛物线于点M 、N 两点，过线段MN 上一点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ． ⑴求此抛物线的解析式及顶点D 的坐标；⑵问点P 在何处时，线段PQ 最长，最长为多少？⑶设E 为线段OC 上的三等分点，连接EP ，EQ ，若EP EQ =，求点P 的坐标．（浙江省中考）CDQNPMBAy xO备图O xy A BMNDC【解析】 ⑴ 由题意，得：09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩223y x x =-++=2(1)4x --+，顶点坐标为()14，.⑵ 由题意，得()1P x x -，，()223Q x x x -++，，∴线段()222112314424PQ x x x x x x ⎛⎫=-++--=-++=--+ ⎪⎝⎭当12x =时，线段PQ 最长为144.⑶ ∵E 为线段OC 上的三等分点，3OC =， ∴()01E ，或()02E ， ∵EP EQ =，PQ 与y 轴平行，即PQ 中点的纵坐标等于点E 的纵坐标2Q PE y y y +=∴()22231OE x x x =-+++-当1OE =时，1203x x ==，，点P 坐标为()01-，或()32，. 当2OE =时，11x =，22x =，点P 坐标为()10，或()21，. 训练2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线经过点()04A ，，()10B ，，()50C ，，思维拓展训练（选讲）抛物线的对称轴l 与x 轴相交于点M ． ⑴求抛物线的解析式和对称轴；⑵设点()P x y ，为抛物线上的一点，其中5x >A 、O 、M 、P 连续的正整数，请你直接写出．．．．点P 的坐标； ⑶连接AC ．探索：在直线AC 在一点N ，使NAC △点N 的坐标；若不存在，请你说明理由．【解析】 ⑴ 根据已知条件可设抛物线的解析式为)5)(1(--=x x a y ，把点A (0，4)代入上式得：54=a ， ∴=y 4(1)(5)5x x -- 2424455x x =-+ 2416(3)55x =-- ∴抛物线的对称轴是：3=x ． ⑵ 由已知，可求得P (6，4)．提示：由题意可知以A 、O 、M 、P 有两条边AO ＝4、OM ＝3，又知点P 的坐标中5>x ，所以，2M P >，AP >因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6种情况，在Rt △AOM 中，5AM ==， 因为抛物线对称轴过点M ，所以在抛物线5>x 象上有关于点A 的对称点与M 的距离为5，即＝5，此时点P 横坐标为6，即AP ＝6；故以A 、O 、M 、P 别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，此时点的坐标为(6，4)．⑶ 法一：在直线AC 的下方的抛物线上存在点N ， 使△NAC 面积最大．设N 点的横坐标为t ，此时点N 2424(4)55t t t -+，(05)t <<，过点N 作NG ∥y 轴交AC 于G ；由点A (0，4)C (5，0)可求出直线AC 的解析式为：445y x =-+；把t x =代入得：445y t =-+，则G 4(4)5t t -+，，此时：NG ＝445t -+－(2424455t t -+)＝2455t t -+．∴22211420525()52102()225522ACN S NG OC t t t t t ∆=⋅=-+⨯=-+=--+ ∴当25=t 时，△CAN 面积的最大值为252，由52t =，得：24244355y t t =-+=-，∴N (25，－3)．法二：提示：过点N 作x 轴的平行线交y 轴于点E ，作CF ⊥EN 于点F ，则ANC AEN NFC AEFC S S S S =--梯形△△△(再设出点N 的坐标，同样可求,余下过程略)训练3. 已知抛物线22y x x c =-+与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，抛物线的顶点为D点，点A 的坐标为()10-，．⑴ 求D 点的坐标；⑵ 如图1，连接AC ，BD ，并延长交于点E ，求E ∠的度数；⑶ 如图2，已知点()40P -，，点Q 在x 轴下方的抛物线上，直线PQ 交线段AC 于点M ， 当PMA E ∠=∠时，求点Q 的坐标．( 十堰)x图1图2x【解析】（1）把x =－1，y =0代入22y x x c =-+得1＋2＋c =0， ∴c =－3∴()222314y x x x =--=--∴顶点D 的坐标为（1，－4）（2）如图1，连结CD 、CB ,过D 作DF ⊥y 轴于F 点， 由2230x x --=得x 1=－1，x 2=3，∴B （3,0）． 当x =0时，2233y x x =--=- ． ∴C （0,－3），∴OB =OC =3，∵∠BOC =90°，∴∠OCB =45°，BC =32又∵DF =CF =1，∠CFD =90°，∴∠FCD =45°，CD=2，∴∠BCD =180°－∠OCB －∠FCD =90°． ∴∠BCD =∠COA ．211==,=3332CD OA CB OC 又 ∴=CD OACB OC，∴△DCB ∽△AOC ，∴∠CBD =∠OCA ． 又∠ACB =∠CBD +∠E =∠OCA +∠OCB ，∴∠E =∠OCB =45°．(3)如图2，设直线PQ 交y 轴于N 点，交BD 于H 点，作DG ⊥x 轴于G 点． ∵∠PMA =45°，∴∠EMH =45°，∴∠MHE =90°， ∴∠PHB =90°，∴∠DBG +∠OPN =90°．又∠ONP +∠OPN =90°，∴∠DBG =∠ONP ，又∠DGB =∠PON =90°，∴△DGB ∽△PON ， ∴2==44BG ON ONDG OP ,即， ∴ON =2，∴N （0，－2）．设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，则由40,2.k b b ì-+=ïïíï=-ïî 解得k =－12，b =－2， ∴122y x =--． 设Q （m ，n ）且n <0，∴122n m =--． 又Q （m ，n ）在223y x x =--上，∴223n m m =--， ∴212232m m m --=--，解得1212,2m m ==-， ∴1273,4n n =-=-，∴点Q 的坐标为（2，－3）或（－12，－74）.-1y x-4M QGNHEPA CB DO Q -1yxFEA C BD O图1题型一 存在问题中的距离 巩固练习【练习1】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++经过()20A ，、()40B ，两点，直线122y x =+交y 轴于点C ，且过点(8)D m ，． ⑴求抛物线的解析式；⑵在x 轴上找一点P ，使CP DP +的值最小，求出点P 的坐标； ⑶将抛物线2y x bx c =++左右平移，记平移后点A 的对应点为A '，点B 的对应点为B '，当四边形A B DC ''的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形A B DC ''周长的最小值．（顺义二模）【解析】 ⑴ 依题意，得4201640b c b c ++=⎧⎨++=⎩解得68b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式是268y x x =-+． ⑵ 依题意，得 (02)C ，，(86)D ，．作点(02)C ，关于x 轴的对称点(02)C '-，，求直线C D '的解析式为2y x =-，直线C D '与x 轴的交点即为P 点．因此，P 点坐标为(20)，． ⑶ 左右平移抛物线268y x x =-+，因为线段2A B ''=和CD =228445+=均是定值，所以要使四边形A B DC ''的周长最小，只要使A C B D ''+的值最小； 因为2A B ''=，因此将点C 向右平移2个单位得()122C ，，作点1C 关于x 轴的对称点2C ，2C 点的坐标为()22-，， 设直线2C D 的解析式为y kx b =+，将点()222C -，、()86D ，代入解析式，得 2286k b k b +=-⎧⎨+=⎩解得 43143k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线2C D 的解析式为41433y x =-．复习巩固∴直线2C D 与x 轴的交点即为B '点，可求702B ⎛⎫' ⎪⎝⎭，，因此302A ⎛⎫' ⎪⎝⎭，．所以当四边形A B DC ''的周长最小时，抛物线的解析式为37()()22y x x =--，即22154y x x =-+．∵2A C B D C D ''+==10=．∴四边形A B DC ''的周长最小值为21012+=+．题型二 存在问题中的面积 巩固练习【练习2】 如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点()33A ，，把直线OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点()6B m ，，与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点.⑴求m 的值；⑵求过A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；⑶若点E 是抛物线上的一个动点，是否存在点E ，使凸四边形OECD 的面积1S 是四边形OACD 面积S 的23?若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．（内蒙古乌兰察布中考）【解析】 ⑴ 设反比例函数的解析式为：ky x=，把()33A ，代入解析式中求得9k =.当6x =时，9362y ==，所以32m =；点B 的坐标为362⎛⎫ ⎪⎝⎭，.⑵ 设直线OA 的解析式为1OA y k x =，把()33A ，代入解析式中求得11k =，则有OA y x =， 设直线BD 的解析式为BD y x b =+，把362B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入解析式中求得 4.5b =-，则有 4.5BD y x =-，所以362B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，、()0 4.5D -，设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，由题意知933336624.5a b c a b c c ++=⎧⎪⎪++=⎨⎪=-⎪⎩解得0.544.5a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以20.54 4.5y x x =-+-⑶ 由 4.5BD y x =-求出()4.50C ，，四边形OACD 面积OAC OCD S S S =+△△=111353 4.5 4.5 4.5228⨯⨯+⨯⨯=，四边形OECD 的面积122135453384S S ==⨯=因为初中只研究凸四边形，经分析点E 在直线CD 的上方，四边形OECD 的面积1OCE OCD S S S =+△△则45194.5 4.5428OCE S =-⨯⨯=△所以1928OC h ⨯⨯=，求出12h =，即点E 的纵坐标是12，把12y =代人20.54 4.5y x x =-+-中得出4x =所以142E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或142E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.又因为E 在直线CD 的上方，所以142E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.题型三 存在问题中的角度 巩固练习【练习3】 如图，点P 是直线l ：22y x =--上的点，过点P 的另一条直线m 交抛物线2y x =于A 、B 两点．⑴ 若直线m 的解析式为1322y x =-+，求A ，B 两点的坐标；⑵ ① 若点P 的坐标为()2t -，．当PA AB =时，请直接写出点A 的坐标；② 试证明：对于直线l 上任意给定的一点P ，在抛物线上能找到点A ，使得PA AB= 成立．⑶ 设直线l 交y 轴于点C ，若AOB △的外心在边AB 上，且BPC OCP ∠=∠，求点P 的 坐标．m（ 武汉）【解析】⑴ 依题意，得21322y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩， 解得113294x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2211x y =⎧⎨=⎩，∴3924A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()11B ，． ⑵ ①()111A -，，()239A -， ②过点P ，B 分别作过点A 且平行于x 轴的直线的垂线，垂足分别为点G 、H ． 设()22P a a --，，()2A m m ，， ∵PA PB =，∴PAG BAH △≌△．∴AG AH =，PG BH =． ∴()22222B m a m a -++，． 将点B 坐标代入抛物线2y x =， 得2224220m am a a -+--=．∵()()222216822816168180a a a a a a ∆=---=++=++> ∴无论a 为何值时，关于m 的方程总有两个不等的实数解，即对于任意给定的点P ，抛物线上总能找到两个满足条件的点A ． ⑶ 设直线m ：()0y kx b k =+≠交y 轴于点D ， 设()2A m m ，，()2B n n ，，过A ，B 两点分别作AG ，BH 垂直x 轴于G ，H ，∵AOB △的外心在AB 上， ∴90AOB ∠=︒． 由AGO OHB △∽△，得AG OHOG BH=． ∴1mn =-．联立2y kx b y x=+⎧⎨=⎩，得20x kx b --=． 依题意，得m ，n 是方程20x kx b --=的两根． ∴mn b =-．∴1b =，即()01D ，． ∵BPC OCP ∠=∠，∴3DP DC ==．设()22P a a --，，过点P 作PQ y ⊥轴于Q ， 在Rt PDQ △中，222PQ DQ PD +=．m即()2222213a a +---=． ∴10a =（舍去），2125a =-． ∴121455P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．。
九年级二次函数综合——图形的存在性问题(讲义及答案)
1 / 11九年级二次函数综合——图形的存在性问题（讲义）➢ 知识点睛1. 二次函数的学习框架⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩一般式表达式顶点式交点式抛物线图象轴对称图形二次函数增减性性质对称性最值已知坐标计算表达式——待定系数法计算已知表达式计算坐标——联立表达式、坐标代入表达式函数与几何综合——从关键点坐标出发，横平竖直的线 2. 二次函数与方程、不等式的综合——数形结合 3. 二次函数与几何综合（1）函数与几何综合问题处理的两个原则①坐标系中处理问题的原则——作横平竖直的线，坐标和线段长互转 ②函数与几何综合问题的处理原则——从关键点坐标出发 （2）二次函数与几何综合问题的处理思路①已知表达式，设点坐标，转线段长，借助几何特征列方程 ②几何特征比较明显，设线段长、表达点坐标、代入表达式注：实际解决问题的时候，往往①②结合使用4. 存在性问题的处理框架（1）研究背景图形（2）根据不变特征，确定分类标准（3）分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解 （4）结果验证➢精讲精练1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得以P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．2/ 113 / 112. 已知抛物线21322y x x =--的图象如图所示．（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，则平移后的解析式为____________________； （2）判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得以A ，C ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．32x备用图3.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A(-1，0)，B(3，0)，与y轴相交于点C(0，-3)．（1）求这个二次函数的解析式．（2）若点P是第四象限内这个二次函数图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．4/ 114.如图，抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，直线y=-x与该抛物线交于E，F两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．备用图5/ 115.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴．（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD，BD，若∠DCB=∠CBD，求点D的坐标．（3）已知F(1，1)，若E(x，y)是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE，CF，EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．6/ 117/ 118 / 116. 如图，直线132y x =-与x 轴、y 轴分别交于点B ，C ，抛物线214y x bx c =++过B ，C 两点，且与x 轴的另一个交点为点A ，连接AC ． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点D （与点A 不重合），使得S △DBC =S △ABC ？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）有宽度为2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x 轴方向平移，与y 轴平行的一组对边交抛物线于点P 和点Q ，交直线CB 于点M 和点N ，在矩形平移过程中，当以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，求点M 的坐标．7.如图，已知直线113y x=+与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．（1）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x2+bx+c经过点C，M，求抛物线的解析式．（2）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（1）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的周长；若不存在，请说明理由．9/ 1110 / 11【参考答案】1. （1）抛物线的解析式为2142y x x =+-； （2）S 关于m 的函数关系式为S =-m 2-4m （-4＜m ＜0）；S 的最大值为4；（3）点Q 的坐标为Q 1(-4，4)，Q 2(2-+，2-，Q 3(2--2+)，Q 4(4，-4)．2. （1）213222y x x =--+；（2）△ABC 为直角三角形，理由略；（3）点P 的坐标为P 1(32-，2+)，P 2(32-，2)，P 3(32-，0)．3. （1）二次函数的解析式为y =x 2-2x -3；（2）①PM =-t 2+3t （0＜t ＜3），当t =32时，PM 取得最大值，为94；②点P 的坐标为P 1(2，-3)，P 2(3，2-． 4. （1）抛物线的解析式为224233y x x =+-； （2）PH； （3）M 点坐标为M 1(，2-+，M 2，2--，M 3(1，-2)，M 4(35-，65-)．5. （1）抛物线的解析式为224233y x x =-++；对称轴为直线x =1；（2）点D 的坐标为(1，74)； （3）△CEF 面积的最大值为4948；此时点E 的坐标为(74，5524)；11 / 11 （4）点M 的坐标为M 1(4，103-)，M 2(-2，103-)，M 3(2，2)． 6. （1）抛物线的解析式为2134y x x =--； （2）点D 的坐标为(8，5)；（3）点M 的坐标为M 1(2，-2)，M 2(2+2)，M 3(2-2)．7. （1）抛物线的解析式为2732y x x =-+；（2）菱形的周长为8或．。
专题12 二次函数中动点引起的面积最值及图形存在性问题(解析版)
专题12 二次函数中动点引起的面积最值及图形存在性问题思路提示：二次函数中的面积问题通常用转化的数学思想将面积转化为线段的最值问题求解，常见的是先分割再用三角形的面积计算方法（“铅垂高、水平宽法”）求解.题型一、四边形面积最值问题1.（2019·山东枣庄中考）如图，已知抛物线y =4232++x ax 的对称轴是直线x =3，且与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A 点右侧）与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解折式和A 、B 两点的坐标；（2）如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大?若存在，求点P 的坐标及四边形PBOC 面积的最大值；若不存在，试说明理由；（3）如图2，若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN =3时，求点M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线的对称轴为x =3， ∴3232a -=，解得：a =14- 即抛物线的解析式为：y =213442x x -++， 令y =0，得：213442x x -++=0， 解得：x =－2或x =8，即A (－2,0)，B (8,0)；（2）如图，过P 作PD ⊥x 轴交直线BC 于点D ，由题意知，C (0,4),设直线BC 的解析式为：y =kx +b ，得：480b k b =⎧⎨+=⎩，解得：412b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩， 即直线BC 的解析式为：y =12-x +4， S 四边形PBOC =S △BOC +S △PBC =1184822PD ⨯⨯+⨯⨯=4PD +16， 设P (m ，213442m m -++)，D (m ，12-m +4)，则PD =2124m m -+ ∴S 四边形PBOC =4PD +16=2816m m -++=()2432m --+∴当m =4时，四边形PBOC 的面积取最大值，为32，此时P 点坐标为（4,6）；（3）设M (x ，213442x x -++)，N (x ，12-x +4)，则MN =|2124x x -+|， ∵MN =3， ∴|2124x x -+|=3， 即2124x x -+=3（0<x <8）或2124x x -+=－3（x <0或x >8）， 解得：x 1=2，x 2=6，或x 3=4－，x 4，综上所述，当MN =3时，点M 的坐标为：(2,6)，（6,4），（4－－1），（－1）.2. （2019·四川自贡中考）如图，已知直线AB 与抛物线2:2C y ax x c =++相交于点A （－1,0）和点B （2,3）两点.（1）求抛物线C 函数表达式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线417=y 的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）把A （－1,0），B （2,3）代入抛物线得：⎩⎨⎧=++=+-34402c a c a解得⎩⎨⎧=-=31c a∴抛物线的函数表达式为：y =－x 2+2x +3（2）∵A （－1,0），B （2,3），∴直线AB 的解析式为：y =x +1，如下图所示，过M 作MN ∥y 轴交AB 于N ，设M (m ,－m 2+2m +3)，N (m ,m +1)，（－1＜m ＜2）∴MN =－m 2+m +2，∴S △ABM =S △AMN +S △BMN =1()2B A x x MN -∴S △ABM =2213127(2)3()2228m m m -++⨯=--+， ∴当21=m 时，△ABM 的面积有最大值827，而S □MANB =2S △ABM =427，此时)27,21(M（3）存在，点)415,1(F 理由如下：抛物线顶点为D ，则D （1,4），则顶点D 到直线417=y 的距离为41， 设),1(n F 、)32,(2++-x x x P ，设P 到直线417=y 的距离为PG . 则PG =22175(23)244x x x x --++=-+， ∵P 为抛物线上任意一点都有PG =PF ，∴当P 与顶点D 重合时，也有PG =PF .此时PG =41，即顶点D 到直线417=y 的距离为14， ∴PF =DF =41， ∴)415,1(F ， ∵PG =PF ，∴PG 2=PF 2， ∵2222222153(1)(23)(1)(2)44PF x x x x x x =-++--=-+-+ 2225(2)4PG x x =-+ ∴222222153(1)(23)(1)(2)44x x x x x x -++--=-+-+225(2)4x x =-+ 整理化简可得0x =0， ∴当)415,1(F 时，无论x 取任何实数，均有PG =PF . 3. （2019·甘肃中考）如图，已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；（3）点E 是二次函数第四象限图象上一点，过点E 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），∴10930b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得：b=－4，c=3，∴二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1所示，则AB＝PE＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，即点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2所示，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：22m+，即：22m+＝2，解得：m＝2，即点P（2，﹣1）；综上所述，点P（4，3），（0，3），（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S四边形AEBD＝12AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x=23924x⎛⎫--+⎪⎝⎭，∵﹣1＜0，所以四边形AEBD面积有最大值，当x＝32，其最大值为94，此时点E（32，﹣34）．4. （2019·山东枣庄中考）已知抛物线y＝ax2+32x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x ＝3， ∴322a -＝3，解得a ＝14-， ∴抛物线的解析式为：y ＝14-x 2+32x +4． 当y ＝0时，14-x 2+32x +4＝0，解得x 1＝﹣2，x 2＝8， ∴点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（8，0）．（2）当x ＝0时，y ＝4，∴点C 的坐标为（0，4），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将B （8，0），C （0，4）代入得：804k b b +=⎧⎨=⎩，解得124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝12-x +4， 过点P 作PD ∥y 轴，交直线BC 于点D ，如图所示，设点P 的坐标为（x ，14-x 2+32x +4），则点D 的坐标为（x ，12-x +4）， 则PD ＝14-x 2+32x +4﹣（12-x +4）＝14-x 2+2x ，（0＜x ＜8）， ∴S 四边形PBOC ＝S △BOC +S △PBC ＝12×8×4+12PD •OB ＝﹣（x ﹣4）2+32，∴当x ＝4时，四边形PBOC 的面积最大，最大值是32，即存在点P （4，6），使得四边形PBOC 的面积最大．（3）设点M的坐标为（m，14-m2+32m+4）则点N的坐标为（m，12-m+4），∴MN＝|14-m2+2m|，∵MN＝3，∴14-m2+2m=3或14-m2+2m=－3，解得：m1＝2，m2＝6，m3＝4﹣，m4＝，∴点M的坐标为（2，6）、（6，4）、（4﹣﹣1）或（﹣1）．题型二、三角形面积最值问题5. （2019·海南中考）如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过点A(－5,0)，B(－4，－3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD.（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是该抛物线上一动点（与B、C不重合），设点P的横坐标为t，①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所以点P的坐标，若不存在，请说明理由？【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+5经过点A(－5,0)，B(－4，－3)两点，∴2555016453a b a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得：a =1，b =6， 即抛物线的解析式为：y =x 2+6x +5.（2）①在y =x 2+6x +5中，当y =0时，x =－1或x =－5，即C （－1,0），设直线BC 的解析式为：y =mx +n ， ∴043m n m n -+=⎧⎨-+=-⎩，解得：m =1，n =1， 即直线BC 的解析式为：y =x +1，过P 作PD ∥y 轴交BC 于点E ，∴S △PBC =()12C B PE x x ⨯⨯- =32PE 设P 点坐标为（t ，t 2+6t +5），则E 点坐标为（t ，t +1），∴PE =t +1－（t 2+6t +5）=－t 2－5t －4，∴S △PBC =32PE =()23542t t --- =23527228t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ ∴当t =52-时，△PBC 面积有最大值，最大值为278； ②由y =x 2+6x +5=（x +3）2－4知，D 点坐标为（－3，－4），∴直线CD 的解析式为：y =2x +2，由B (－4，－3)，C （－1,0）得：BD 2=2，CD 2=20，BC 2=18,∴BD 2+ BC 2=CD 2，即△CBD 是直角三角形，∠DBC =90°，（i ）过B 作BE ∥CD ，则∠EBC =∠BCD ，即点P 在直线BE 上，设直线BE 的解析式为：y =2x +k ，将点B (－4，－3)代入，得：k =5，即直线BE 解析式为：y =2x +5，联立y =2x +5，y=x 2+6x +5，并解得： 0453x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或（与B 点重合，舍）， ∴P 点坐标为（0,5）；（ii ）∵∠CBD =90°，取CD 中点F ，得F 点坐标为（12--，）连接BF ，则BF =FC ，∠FBC =∠BCD ，点P 在直线BF 上，由B (－4，－3)、F （－2，－2）可得直线BF 的解析式为： y =12x －1， 联立y =12x －1，y =x 2+6x +5，并解得：342734x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩或（与B 点重合，舍）， ∴P 点坐标为（32-,74-）； 综上所述，点P 的坐标为：（0,5），（32-,74-）. 6. （2019·甘肃兰州中考）二次函数y ＝ax 2+bx +2的图象交x 轴于点A （－1，0），点B （4，0）两点，交y 轴于点C .动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN ⊥x 轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒.（1）求二次函数y ＝ax 2+bx +2的表达式；（2）连接BD ，当t ＝23时，求△DNB 的面积； （3）在直线MN 上存在一点P ，当△PBC 是以∠BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标；（4）当t ＝45时，在直线MN 上存在一点Q ，使得∠AQC +∠QAC ＝900,求点Q 的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将点A （－1，0），点B （4，0）代入y ＝ax 2+bx +2中，得： 2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 二次函数的表达式为：y ＝－21x 2+23x +2． （2）∵ t ＝23， ∴AM ＝3，∵OA ＝1,∴OM ＝2,设直线BC 的解析式为：y ＝kx +b (k ≠0),将点C （0,2）、B （4，0）代入，得：⎩⎨⎧=+=042b k b ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=221b k ， 即直线BC 的解析式为：y ＝－21x +2． 将x ＝2分别代入y ＝－21x 2+23x +2和y ＝－21x +2中，得：D （2，3）、N （2，1） ∴DN ＝2,∴ S △DNB ＝21×2×2＝2. (3)过点P 作x 轴的平行线，交y 轴于点E ，过点B 作y 轴的平行线，交EP 的延长线于点F ，设D （m ，－2m 2+2m +2）、E （0，n ）、P （m ,n ）、F （4，n ），由题意得： △PEC ≌△BFP ,∴PE ＝BF , CE ＝PF ,∴⎩⎨⎧=--=-mn n m 24∴⎩⎨⎧-==11n m点D 的坐标为：（1，3）.（4）当t ＝45时，AM ＝25,此时M 点在二次函数的对称轴上， 以M 点为圆心，AM 长为半径作圆，交MN 于Q 1、Q 2两点，∵C （0，2），M （23，0）,∴CM ＝25＝R , ∴C 点在该圆上,∴∠ACB ＝90°,∴∠CAB +∠CBA ＝90°,∵∠CQ 1A ＝∠CAB ,∴∠CQ 1A +∠CBA ＝90°,∠CQ 2A +∠CBA ＝90°,∴Q （23，25）或（23，－25）. 7. （2019·山东聊城中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣2，0），点B （4，0），与y 轴交于点C （0，8），连接BC ，又已知位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l ，沿x 轴正方向从O 运动到B （不含O 点和B 点），且分别交抛物线、线段BC 以及x 轴于点P ，D ，E ．（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC ，AP ，当直线l 运动时，求使得△PEA 和△AOC 相似的点P 的坐标；（3）作PF ⊥BC ，垂足为F ，当直线l 运动时，求Rt △PFD 面积的最大值．【答案】见解析．【解析】解：（1）将点A 、B 、C 的坐标代入二次函数表达式得：42016408a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：128a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +8；（2）∵点A （﹣2，0）、C （0，8），∴OA ＝2，OC ＝8，∵l ⊥x 轴，∴∠PEA ＝∠AOC ＝90°，∵∠PAE ≠∠CAO ，∴当∠PEA ＝∠AOC 时，PEA △∽AOC ， ∴AE PE OC OA=，即：82AE PE =， ∴AE ＝4PE ，设点P 的纵坐标为y ，则PE ＝y ，AE ＝4y ，∴OE ＝4y ﹣2，将点P 坐标（4y ﹣2，y ）代入二次函数表达式并解得：y ＝0（舍去）或2316， 即点P （154，2316）； （3）在Rt △PFD 中，∠PFD ＝∠COB ＝90°，∵l ∥y 轴，∴∠PDF ＝∠COB ，∴Rt △PFD ∽Rt △BOC ， ∴2PDF BOC S PD S BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭V V ， ∴S △PDF ＝2BOC PD S BC ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭V=21482⨯⨯⨯ =215PD ⨯，设直线BC 的解析式为：y =kx +b ，将B 、C 坐标代入并解得， 直线BC 的表达式为：y ＝﹣2x +8，设点P （m ，﹣m 2+2m +8），则点D （m ，﹣2m +8），则PD ＝﹣m 2+2m +8+2m ﹣8＝﹣（m ﹣2）2+4，∴当m ＝2时，PD 的最大值为4，1 5PD＝165．∴当PD＝4时，△PDF的面积最大，最大值为：S△PDF＝2。
中考数学复习之因动点产生的面积问题解题策略
因动点产生的面积问题解题策略一.解题策略解读:面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类:图1 图2 图3 计算面积常用到的策略还有:图4 图5 图6例1.已知抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴交于不同的两点A、 B.(1) 求m的取值范围;(2) 证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;(3) 当<m≤8时,由(2)求出的点P和点A、 B构成的△ABP的面积是否有最值,若有,求出最值及相应的m的值;若没有,请说明理由.思路:1. 已知的抛物线的解析式可以因式分解的,抛物线过x轴上的定点(-1, 0).2. 第(2)题分两步,先对m赋予两个不同的值,联立求方程组的解,再验证这个点是确定的.3. 第(3)题中△ABP的高为定值,点A为定点,求△ABP的最大面积,其实就是求点B的横坐标的最大值.例2.问题提出(1) 如图1,已知△ABC,请画出△ABC关于直线AC对称的三角形.问题探究(2) 如图2,在矩形ABCD中,AB=4, AD=6, AE=4, AF=2.是否在边BC、CD上分别存在点G、 H,使得四边形EFGH的周长最小?若存在,求出它周长的最小值;若不存在,请说明理由.问题解决(3) 如图3,有一块矩形板材ABCD, AB=3米, AD=6米,现想从此板材中截出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使∠EFG=90°,米,∠EHG=45°.经研究,只有当点E、 F、 G分别在边AD、 AB、 BC上时,且AF<BF,并满足点H在矩形ABCD内部或边上时,才有可能截出符合要求的部件.试问能否截得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件?若能,求出截得的四边形EFGH 部件的面积;若不能,请说明理由.图1 图2 图3思路:1. 第(2)题的模型是“打台球”两次碰壁问题,依据光的反射原理.2. 第(3)题需先设AF的长并求解,再验证点H在矩形内部,然后计算面积.例3.如图1,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上,OC=8, OE=17.抛物线y=x2-3x+m与y轴交于点A,抛物线的对称轴与x轴交于点B,与CD交于点K.(1) 将矩形OCDE沿AB折叠,点O恰好落在边CD上的点F处.①求点F的坐标;②请直接写出抛物线的函数表达式;(2) 将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠,点O恰好落在边CD上的点G处,连结OG,折痕与OG交于点H,点M是线段EH上的一个动点(不与点H重合),连结MG, MO,过点G作GP⊥OM于点P,交EH于点N,连结ON.点M从点E开始沿线段EH向点H运动,至与点N重合时停止,△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2,在点M的运动过程中,S1·S2(即S1与S2的积)的值是否发生变化?若变化,请直接写出变化的范围;若不变,请直接写出这个值.温馨提示: 考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.图1 备用图思路:1. 第(1)题中点F的位置是由A、 B两点确定的,A、 B两点的坐标都隐含在抛物线的解析式中.2. 第(2)题思路在画示意图过程中,点G是关键点.以E为圆心,EO为半径画弧,交CD于点G.例 4.如图,已知平行四边形ABCD的三个顶点A(n, 0)、 B(m, 0)、 D(0,2n)(m>n>0),作平行四边形ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1 D.(1) 若m=3,试求四边形CC1B1B面积S的最大值;(2) 若点B1恰好落在y轴上,试求的值.思路:1. 第(1)题先说理再计算,说理四边形CC1B1B是矩形.2. 第(2)题根据AB1=AB列关于m、 n的方程,整理就可以得到m与n的关系.例5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3, 0)和点B(2, 3),过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C,且tan∠CAO=.(1) 求这条抛物线的表达式及对称轴;(2) 连结AB、 BC,求∠ABC的正切值;(3) 若点D在x轴下方抛物线的对称轴上,当S△ABC =S△ADC时,求点D的坐标.解析:1. 直觉告诉我们,△ABC是直角三角形.2. 第(3)题的意思可以表达为: B、 D在直线AC的两侧,到直线AC的距离相等.于是我们容易想到,平行线间的距离处处相等.例6.如图,半圆O的直径AB=10,有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动(点C、D分别不与点A、 B重合),点E、 F在AB上,EC⊥CD, FD⊥CD.(1) 求证:EO=FO;(2) 连结OC,如果△ECO中有一个内角等于45°,求线段EF的长;(3) 当动弦CD在弧AB上滑动时,设变量CE=x,四边形CDFE的面积为S,周长为l,问:S与l是否分别随着x变化而变化?试用所学过的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域,以说明你的结论.思路:1. 用垂径定理和平行线等分线段定理证明点O是EF的中点.2. 第(2)题的△ECO中,∠ECO是定值,45°的角分两种情况.3. 第(3)题用x表示OE的长,在△ECO中,∠ECO是定值.例7.直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b都过点M(1, 0),且a<b.(1) 求抛物线顶点Q的坐标(用含a的式子表示);(2) 试说明抛物线与直线有两个交点;(3) 设抛物线与直线的另一个交点为N.①若-1≤a≤-时,求MN的取值范围;②求△QMN的面积最小值.思路:1. 将M(1, 0)分别代入直线和抛物线的解析式,可以确定m的值,用a表示b.2. 联立直线与抛物线的解析式,消去y,得到关于a的一元二次方程,判断Δ>0.3. 第(3)题①,分别求a=-1和a=-时直线与抛物线的交点M、 N的坐标,再求MN的长,两个MN的长,就是MN的取值范围的两端值.例8.已知Rt△EFP和矩形ABCD如图1摆放(点P与点B重合),点F、 B(P)、 C 在同一直线上,AB=EF=6cm, BC=FP=8cm, ∠EFP=90°.如图2, △EFP从图1位置出发,沿BC方向匀速运动,速度为1cm/s, EP与AB交于点G;同时,点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s.过点Q作QM⊥BD,垂足为H,交AD于点M,连结AF、 PQ.当点Q停止运动时,△EFP也停止运动.设运动时间为t(s)(0<t<6).解答下列问题:(1) 当t为何值时,PQ∥BD?(2) 设五边形AFPQM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(3) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形AFPQM ∶S矩形ABCD=9∶8?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(4) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点M在线段PG的垂直平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.图1 图2思路:1. 把线段BP、 PC、 CQ、 DQ的长用t表示出来.再把线段BG、 DM的长用t表示出来.2. 用割补法求五边形AFPQM的面积,等于直角梯形减去两个直角三角形的面积.3. 第(3)题用第(2)题的结果,直接解方程就可以了.4. 第(4)题是根据MP2=MG2列方程,需要构造以MP为斜边的直角三角形.例9.如图1,在平面直角坐标系中,过原点O及点A(8, 0)、 C(0, 6)作矩形OABC,连结OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连结DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连结EF.已知点E从点A出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.(1) 如图1,当t=3时,求DF的长;(2) 如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,∠DEF的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tan∠DEF的值;(3) 连结AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积比为1∶2时,求相应的t的值.图1 图2思路;1. 作DM⊥AB于M, DN⊥OA于N,那么△NDF与△MDE的相似比为3∶4.2. 面积比为1∶2要分两种情况讨论.把面积比转化为两个同高三角形底边的比.3. 过点E作OA的平行线,构造“8字型”相似,这样就把底边的比利用起来了.例10.如图1,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、 B两点,与y轴交于点C, OB=OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.(1) 求b、 c的值;(2) 如图1,连结BE,线段OC上点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上,求点F的坐标;(3) 如图2,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.图1 图2思路：1. 由已知抛物线的解析式可得C(0, c),再用c表示B、 D两点的坐标,然后将B、 D代入抛物线的解析式列关于b、 c的方程组.2. 第(2)题: 通过点C、 F分别与点D、 F'关于直线l对称,得到点F'是BE的中点,从而求得点F的坐标.3. 第(3)题: 设点P的横坐标为m,用m表示点M、 N的坐标,进而用m表示线段PM、 PN、 PA的长,根据两个三角形的面积相等,求出PN边上的高QH.最后讨论NQ与QH的关系.例11.如图,在平面直角坐标系中,直线y=12x+2与x 轴交于点A,与y 轴交于点C.抛物线y=-x 2+bx+c 经过A 、 C 两点,与x 轴的另一个交点为点B.(1) 求抛物线的函数表达式;(2) 点D 为直线AC 上方抛物线上一动点.① 连结BC 、 CD.设直线BD 交线段AC 于点E, △CDE 的面积为S 1, △BCE 的面积为S 2,求 12S S 的最大值; ② 过点D 作DF ⊥AC,垂足为F,连结CD.是否存在点D,使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.图1 备用图思路： 1. △CDE 与△BCE 是同高三角形,面积比等于底边的比.构造“8字型”,把底边的比转化为竖直线段的比.2. 第(3)题的第一种情况∠DCF=2∠BAC,过点C 作x 轴的平行线,通过内错角相等,再作轴对称的角,很容易找到点D 的位置.3. 第(3)题的第二种情况∠CDF=2∠BAC,先要探求2∠BAC的大小(正切值),如果这一步探究不出来,基本上进行不下去.例12.已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O 顺时针旋转60°，如题图1，连接BC.（1）填空：∠OBC= ;（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN 的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？思路：（1）由旋转的性质可以证明△OBC是等边三角形，从而可得∠OBC的度数；（2）求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x≤83时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E，利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；②当8 3＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H，利用∠CBO=60°表示出MH，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G，易求OG，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值），最后分别求出三种情况下面积最大值，从而求出整个运动过程中y的最大值．例13. 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c=++交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，43-），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=34.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动为t秒.①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.思路：本题是代数几何综合题，以平面直角坐标系为背景，考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，，方程组的解法，几何图形面积的表示，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想，三角形的面积的最值问题，综合性强，难度大，解题的关键是需要学生有良好的运算能力及分析问题和解决问题的能力，还得富有耐心．（1）利用A、B、C三点的坐标确定二次函数的解析式．（2）利用题目的已知条件表示出相关线段的长，①中利用三角函数值探索出∠PAQ=∠ACD，再根据题目中的要求使得△ADC与△PQA相似，进行分类讨论得到对应线段成比例，列出关于t的方程求解即可；②直接利用三角形的面积公式列出△APQ与△CAQ 的面积之和与时间t之间的函数关系式，再将所得的二次函数的解析式配方确定最值即可得到答案.。
函数图象上点的存在性问题中的距离与面积(常考知识点精析)
板块一探索抛物线上的点存在性之距离一、二次函数与线段定值探索：用距离来刻画动点的位置【探索1】抛物线223y x x=--+与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
【探索2】抛物线223y x x=--+与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点，若点P到直线y x=的距离为2，求点P的坐标。
【探索3】抛物线223y x x=--+与x轴交于点A、B (点A在点B右侧)，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点，若点P到对称轴和y轴的距离相等，求P点坐标。
函数图象上点的存在性问题中的距离与面积（常考知识点精析）【探索4】抛物线223=--+与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点，y x x若点P到对称轴和x轴的距离相等，求P点坐标。
【探索5】抛物线223=--+与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，点P为△BOC内一点，y x x且点P到△BOC三边所在直线的距离相等，求P点坐标。
二、二次函数与线段最值中考说明：动点满足线段间大小关系、和差最值等。
中考主要考查以下两点：1．“两点间线段最短”2．“垂线段最短”1．“两点间线段最短”下面按三大变换来分类：【旋转型】已知AB a<，求BC的最值。
=，AC b=，其中a b【轴对称型】1．在直线l上找一点P，使得其到直线同侧两点A、B的距离之和最小。
2．直线l1、l2交于O、P是两直线间的一点，在直线l1、l2上分别找一点A、B，使得△P AB的周长最短。
3．直线l1、l2交于O，A、B是两直线间的两点，从点A出发，先到l1上一点P，再从P点到l2上一点Q，再回到B点，求作P、Q两点，使AP＋PQ ＋QB最小。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x
y
A
B
C
O
第24题图
函数图象中的存在性问题——因动点产生的面积问题
例33、.如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． (1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； (2)求正方形边长及顶点C 的坐标；
(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标； (4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．
例34、如图，在平面直角坐标系xoy 中，等腰梯形OABC 的下底边OA 在x 轴的正半轴上，BC∥OA，OC=AB ．tan∠BA0=43
，点B 的坐标为(7，4)．
(1)求点A 、C 的坐标；(2)求经过点0、B 、C 的抛物线的解析式； (3)在第一象限内(2)中的抛物线上是否存在一点P ，使得经过点P 且 与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分?若存在， 请求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．
例35、如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与
端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－1
2x
＋b 交折线OAB 于点E ．
（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；
（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.
例36、如图，已知直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝AB ＝2，OC ＝3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于E 和F ．
（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长； （3）连结EF ，设△BEF 与△BFC 的面积之差为S ，问：当CF 为何值时S 最小，并求出这个最小值．
24.（2013普陀二模） 如图，抛物线c bx x y -+=2
经过直线
与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另 一个交点为C ，抛物线的顶点为D . ☆ 求此抛物线的解析式（4分）； ☆ 点P 为抛物线上的一个动点，求使
第24题。