动点产生的面积问题

运动变化题是随着图形的某一元素的运动变化，导致问题的结论改变或者保持不变的几何题，它揭示了“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的内在联系．解题的关键是分清几何元素运动的方向和捷径，注意在运动过程中哪些是变量，哪些不是变量，通常要根据几何元素所处的不同位置加以分类讨论，同时，综合运用勾股定理、方程和函数等知识，本节课的内容涉及三角形、特殊的四边形的面积问题．

本节主要是在函数背景下求三角形或四边形的面积问题，较复杂的题目可以采取“割补”的思想构造较简单的图形进行求解．

动点产生的面积问题

内容分析

知识结构

模块一：面积计算的问题

知识精讲

【例1】 如图，已知直线l ：22y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，将直线y=x

向上平移1个单位长度得到直线P A ，点Q 是直线P A 与y 轴的交点，求四边形PQOB 的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】

【例2】 如图，已知直线AB ：2y x =+与直线OA ：13

y x =交于点A ，与直线OB ：3y x =

交于点B 两点．求△AOB 的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】

例题解析

【例3】 如图，已知直线3y x =+的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线l 经

过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1两部分，求直线l 的解

析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】

【例4】 如图，已知，在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、

F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2．

（1）如图1，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；

（2）如图2，当四边形EFGH 为菱形，且BF =a 时，求△GFC 的面积．（用含a 的代数式表示）

【难度】★★★ 【答案】 【解析】

A B C

D

E F 图1

G

H

A

B

C

D

E F 图2

G

H

【例5】 如图1，正方形ABCD 的边长为2，点A (0， 1)和点D 在y 轴正半轴上，点B 、

C 在第一象限，一次函数y ＝kx ＋2的图像l 交A

D 、CD 分别于

E 、

F ． （1）若△DEF 与△BCF 的面积比为1∶2，求k 的值； （2）联结BE ，当BE 平分∠FBA 时，求k 的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】

【例6】 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、

B 两点，过点A 的直线交y 轴正半轴于点M ，且点M 为线段OB 的中点． （1）求直线AM 的表达式；

（2）试在直线AM 上找一点P ，使得S △ABP ＝S △AOB ，请求出点P 的坐标； （3）若点H 为坐标平面内任意一点，是否存在点H ，使以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形?若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】

【例7】 如图1，已知直角坐标平面内点A (2, 0)，P 是函数y ＝x （x ＞0）图像上一点，

PQ ⊥AP 交y 轴正半轴于点Q ． （1）试证明：AP ＝PQ ；

（2）设点P 的横坐标为a ，点Q 的纵坐标为b ，那么b 关于a 的函数关系式是_______；

（3）当S △AOQ ＝2

3S △APQ 时，求点P 的坐标．

【难度】★★★ 【答案】 【解析】

本节主要研究点在运动的背景下，产生的面积与动点之间的关系，关键点是找出决定这个面积变化的几个量是怎样变化的，重点在于思维能力的培养，难度较大．

模块二：与面积相关的函数解析式

知识精讲

【例8】 如图，矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，M 是CD 的中点，点P 在矩形的边上

沿A B C M →→→运动，试写出△APM 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系，写出定义域，并画出函数图像． 【难度】★★ 【答案】 【解析】

【例9】 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝CD ＝AD ＝5cm ，BC ＝11cm ，点P 从

点D 出发沿DA 边以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 出发沿BC 边以每秒2cm 的速度移动（当点P 到达点A 时，点P 与点Q 同时停止移动），假设点P 移动的时间为x （秒），四边形ABQP 的面积为y （cm 2）． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；

（2）在移动的过程中，求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值；

（3）在移动过程中，是否存在x 使得PQ ＝AB ，若存在，求出所有的x 的值；若不存在，请说明理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】

例题解析

B

A

B C

D

M

P

【例10】已知：如图1，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），连结EG并延长交DC于点M，作MN⊥AB，垂足为N，MN交BD于P．设正方形ABCD的边长为1．

（1）证明：△CMG≌△NBP；

（2）设BE＝x，四边形MGBN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（3）如果按照题设方法作出的四边形BGMP是菱形，求BE的长．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例11】已知：在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点E在边AB 上，CE＝CD．

（1）如图1，当∠BCD为锐角时，设AD＝x，△CDE的面积为y，求y与x之间

的函数解析式，并写出函数的定义域；

（2）当CD＝5时，求△CDE的面积．【难度】★★★

【答案】

【解析】

A

B C

D

E

A B

C

D

E

F

G

P

M

N