中线的用法(倍长中线法)
5.倍长中线法
DC BA全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法△ABC 中,AD 是BC 边中线方式1:直接倍长，(图1)： 延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 方式2：间接倍长1) （图2）作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E , 连接BE 2) （图3）延长MD 到N ，使DN =MD ，连接CD【经典例题】例1已知，如图△ABC 中，AB =5，AC =3， 则中线AD 的取值范围是_________.（提示：画出图形，倍长中线AD ，利用三角形两边之和大于第三边）例2：已知在△ABC 中，AB =AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上， DE 交BC 于F ，且DF =EF . 求证：BD =CE .（提示：方法1：过D 作DG ∥AE 交BC 于G ，证明ΔDGF ≌ΔCEFEDFC BA方法2：过E 作EG ∥AB 交BC 的延长线于G ，证明ΔEFG ≌ΔDFB方法3：过D 作DG ⊥BC 于G ，过E 作EH ⊥BC 的延长线于H ，证明ΔBDG ≌ΔECH ）例3、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE +CF 与EF 的大小.变式：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F . 求证：EF CF BE >+（提示：方法1：在DA 上截取DG =BD ，连结EG 、FG ， 证明ΔBDE ≌ΔGDE ΔDCF ≌ΔDGF 所以BE =EG 、CF =FG 利用三角形两边之和大于第三边 方法2：倍长ED 至H ，连结CH 、FH ，证明FH =EF 、CH =BE ，利用三角形两边之和大于第三边）例4：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF =EF（提示：方法1：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形。
倍长中线法
倍长中线法
倍长中线的意思是：延长底边的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。
此法常用于构造全等三角形，进而证明边之间的关系。
倍长中线法
中文名倍长中线
思想方法构造全等三角形领域平面几何外文名nethod of times the length of line 目的证明边之间的关系
1定义
所谓“倍长中线”，就是加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，
然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。
常用于构造全等三角形。
中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
说简单一点，倍长中线就是指：延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，构造全等三角形。
高手过招必备技能——“倍长中线法”
高手过招必备技能——“倍长中线法”三大辅助线技巧——倍长中线【方法说明】遇到一个中点的时候，通常会延长过该中点的线段．倍长中线指延长一边的中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等．如图所示，点D为△ABC 边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）．【方法归纳】1．如图，AD为△ABC边BC的中线．延长AD至点E，使得AD ＝DE．若连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）；若连接CE，则△ADB≌△EDC（SAS）．2．如图，点D为△ABC边BC的中点．延长ED至点F，使得DE ＝DF，并连接BF，则△EDC≌△FDB（SAS）．3．如图，AB∥CD，点E为线段AD的中点．延长CE交AB于点F，则△EDC≌△EAF（ASA）．【典型例题】1．（09莱芜）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG＝CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF 中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．【思路点拨】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG ＝EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF 的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG＝CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG＝NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG＝EG；最后证出CG＝EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG．【解题过程】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF＝90°，在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG＝1/2FD，同理，在Rt△DEF中，EG＝1/2FD，∴CG＝EG．（2）（1）中结论仍然成立，即EG＝CG．【方法一】连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG＝CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM＝∠FGN，FG＝DG，∠MDG＝∠NFG，∴△DMG≌△FNG （ASA），∴MG＝NG；∵∠EAM＝∠AEN＝∠AMN＝90°，∴四边形AENM 是矩形，在矩形AENM中，AM＝EN，在△AMG与△ENG中，∵AM＝EN，∠AMG＝∠ENG，MG＝NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG＝EG，∴EG＝CG．【方法二】延长CG至M，使MG＝CG，连接MF，ME，EC，在△DCG与△FMG中，∵FG＝DG，∠MGF＝∠CGD，MG＝CG，∴△DCG≌△FMG．∴MF＝CD，∠FMG＝∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF＝CB，∠MFE＝∠EBC，EF＝BE，∴△MFE≌△CBE，∴∠MEF＝∠CEB．∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG＝CG，∴EG＝1/2MC，∴EG＝CG．（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F 作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD＝FM，又因为BE＝EF，易证∠EFM＝∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM＝∠BEC，EM＝EC，∵∠FEC＋∠BEC＝90°，∴∠FEC＋∠FEM＝90°，即∠MEC＝90°，∴△MEC是等腰直角三角形，∵G为CM中点，∴EG＝CG，EG⊥CG．。
倍长中线最全总结。例题+练习(附答案)
倍长中线最全总结。
例题+练习(附答案)中线是三角形中的重要线段之一。
在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。
倍长中线指的是延长三角形中线，使得延长后的线段是原中线的2倍。
其目的是为了构造一对8字型全等三角形（SAS），从而实现边角的转移。
以三角形ABC为例，延长中线AD至点E，使得DE=AD，连接BE。
根据三角形的SAS全等条件，可以得出结论：△ACD≌△BED，AC=BE，∠CAD=∠BED，AC∥BE。
同样地，延长中线CD至点F，使得DE=DF，连接CF。
根据三角形的SAS全等条件，可以得出结论：△BED≌△CFD，CF=BE，∠CFD=∠BED，CF∥BE。
在利用倍长中线法时，需要注意延长哪一条线段或者类中线。
倍长之后，需要考虑连接哪一条线段从而构造全等，实现所需的线段进行转移。
举例来说，如图所示，在三角形ABC中，需要证明AB+AC>2AD。
延长中线AD至点E，使得DE=AD，构造△ADC和△EDB，根据三角形的三边关系可得AB+AC>2AD。
另外，还有一道题目是需要求解AD的取值范围。
在三角形ABC中，D为BC的中点。
根据三角形的三边关系可得5-3<2AD<5+3，即AD的取值范围为1<AD<4.证明：延长AD到F，使DF=AD，连接BF（如图）。
因为AD是中线，所以BD=DC=AC，又因为DF=AD，所以BD=BF，所以AB>BF。
由三角形的三边关系，在三角形ABF中，有AB+BF>AF，即2AD<AB+AC，证毕。
2）因为AD是中线，所以BD=DC=AC，又因为DF=AD，所以BD=BF，所以AB>BF。
由相似三角形ADC和FDB，得到∠CAD=∠F，由边的大小关系可得到∠BAD>∠DAC，证毕。
3）同（2），由相似三角形ADC和FDB，得到AE/AD=BF/BD<1，即AE<AD，证毕。
初中数学倍长中线法
初中数学倍长中线法
在初中数学中，倍长中线法是一种求解三角形面积的方法。
它基于中线的性质：连接三角形两边中点的线段叫做中线，且中线的长度等于这两边之和的一半。
因此，对于任意三角形ABC，可以先求出它的三条中线长度，分别记为m<sub>a</sub>、m<sub>b</sub>、m<sub>c</sub>。
然后，用海龙公式：
s = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
其中，s 是三角形的半周长，a、b、c是三边长度。
而半周长 s 可以用三条中线的长度求出：
s = 1/2(m<sub>a</sub> + m<sub>b</sub> + m<sub>c</sub>) 这样，就可以用倍长中线法求出任意三角形的面积了。
需要注意的是，倍长中线法只适用于求解面积，不能用来求解三角形的其他属性。
但在一些实际问题中，求解面积就足够了。
- 1 -。
第二讲中线倍长法
第二讲：全等三角形之倍长中线法图1：△ABC 中，AD 是BC 边中线 图2：方式1：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE图3：方式2：间接倍长，在AB 上取点M ，延长MD 到N ， 使DN=MD ，连接CD 图4：方式3：间接倍长，作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E ，连接BE 典型例题例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围。
例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：（2004•郑州）已知：如图，△ABC （AB ≠AC ）中，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF∥BA 交AE 于点F ，DF=AC ．求证：AE 平分∠BAC ．FEC AB DFEDABC例5：如图，D 是△ABC 的BC 边上一点且CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线． 求证：∠C=∠BAE ．例6：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F ．例7：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+例8：已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图DF CBEADABCMTE。
倍长中线法
倍长中线法
知识网络详解：
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．
所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．
倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）
倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线
经典例题讲解：
例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围
例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE
例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC 于F，求证：AF=EF
例4：已知：如图，在ABC 中，ACAB ，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE 于点F，DF=AC.
求证：AE平分∠BAC
例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE
、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE
在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论
.。
倍长中线法(经典例题)
倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中 方式1： 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线 使DE=AD ，连接BE方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ， 连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围D ABCEDAB C F EDC B AN D C B AM例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠FE DA B CFEC ABD AB F D E C例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.E D ABCF EAB C D3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图DF CBEADABCMTE。
倍长中线法加倍法
求证：
例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD 旳中线，
求证：∠C=∠BAE
1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC旳中点， 求证，AD平分∠BAE。
• 倍长中线最主要旳一点，延长中线一倍，完毕 SAS全等三角形模型旳构造。
例1：△ABC中，AB=5，AC=3， 求中线AD旳取值范围。
例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E 在AC旳延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，
求证：BD=CE
例3：已知在△ABC中，AD是BC边上旳中线，E 是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，
倍长中线法（加倍法）
• 知识网络详解： • 中线是三角形中旳主要线段之一，在利用中线
处理几何问题时，经常采用“倍长中线法”添加辅 助线．
• 所谓倍长中线法，就是将三角形旳中线延长一 倍，以便构造出全等三角形，从而利用全等三角 形旳有关知识来处理问题旳措施．
• 倍长中线法旳过程：延长某某到某点，使某某 等于某某，使什么等于什么（延长旳那一条）， 用SAS证全等（对顶角）
完整版)倍长中线法(经典例题)
完整版)倍长中线法(经典例题)
倍长中线法是解决几何问题中常用的方法之一。
在利用中线解决问题时，我们可以通过添加辅助线，采用倍长中线法来构造全等三角形，从而运用全等三角形的知识来解决问题。
具体来说，倍长中线法的过程是：延长某一中线一倍，使其构造出全等三角形，然后利用全等三角形的有关知识来解决问题。
在构造全等三角形时，我们可以采用两种常用的方法：一是将中线延长到某一点，使其等于另一条中线，然后利用对顶角的SAS证明全等；二是通过间接倍长的方法，利用垂线和平行线构造出全等三角形。
倍长中线法最重要的一点是延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
我们可以通过经典例题来练这种方法，例如求中线的取值范围、证明BD等于CE、证明AF等于EF 等问题。
自检自测题也是巩固这种方法的好办法。
例如证明AD平分∠BAE、探究线段AB与AF、CF之间的数量关系、证明BE+CF>EF等问题都可以通过倍长中线法来解决。
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针对对象：初二学生 期末分值：8~10分
（2013·台州市中考）在△ABC中，AD为BC边上的中线， 且AD平分∠BAC，则△ABC为___________三角形。
A
B
D
C
造全等——倍长中线法
A
A
2
B
1D
C
2
B
D1
C
E
E
倍长中线造法：延长AD到点E,使得AD=DE,连结BE（或者EC）。
AD=DE ∴△ADC ≌ △BDE (SAS) ∴AC=BE,∠E=∠1,∠EBD=∠C
∵三角形两边之和大于第三边 ∴AB+BE>AE ∴AB+AC>2AD
题型识别： 出现中线
口诀： 倍长中线
步骤： 延长一倍 构造全等 边角关系
【例2】如图在△ABC，AB=5，AC=3，则中线AD
的取值范围是？ A
的取值范围是？ A 75
接例1，BE=AC=5， AE=2AD=14
B
D
C ∵在△ABE中,
AE-BE<AB<AE+BE
∴9<AB<19
E
题型识别： 出现中线
口诀： 倍长中线
步骤： 延长一倍 构造全等 边角关系
【例4】如图在△ABC,AB=AC,延长AB到D,使得BD=
AB，取AB的中点E，连结CD和CE，求证CD=2CE。
∴ ∠CBF=∠CBD
∵CB=CB
∵△CBF≌△BCD SAS
∴CD=CF
∴CD=2CE
（2013·台州市中考）在△ABC中，AD为BC边上的中线， 且AD平分∠BAC，则△ABC为___________三角形。
A
B
D
C
THANK YOU
全等原因：SAS
注意：往左往右都可以，只连一条。
题型识别： 出现中线
口诀： 倍长中线
步骤： 延长一倍 构造全等 边角关系
【例1】如图AD是△ABC的中线，求证AB+AC>2AD
A
证明：延长AD到点E,使得AD=DE,
1
连结BE。
B
D
E
∵AD是△ABC的中线 ∴BD=DC
C ∵BD=DC, ∠BDE= ∠ADC,
C
2 3
A E 1B
F
证明：延长AE到点F,使得CE=EF,连结BF。
∵E是AB的中点 ∴AE=EB
∵CE=EF,∠AEC=∠BEF
∴△AEC≌△BEF(SAS)
∴∠A=∠1,∠F=∠ACE,FB=AC
D
∵ AC=AB=BD ∴∠2=∠3, FB=BD=AC=AB
∵∠CBF=∠1+∠3,∠CBD=∠A+∠2
接上题，BE=AC=3,AB+形两边之差小于第三边
∴AB-BE<AE
B
D
C ∴AB-BE<2AD
∴AB-BE<2AD<AB+BE
∴2<2AD<8
E
∴1<AD<4
题型识别： 出现中线
口诀： 倍长中线
步骤： 延长一倍 构造全等 边角关系
【例3】如图在△ABC，AC=5，中线AD=7，则AB边