2019-2020学年广东省中山市高二上学期期末考试数学试卷及答案
2
2
弦定理得 sin 3 sin ，在由（1）中 sin cos 2 0 ，可求得方程
2 3 sin2 sin 3 0 ，即可求解角 的值.
试题解析：（1）如图：∵ ( 2 ) 2 ，∴ sin sin(2 ) cos 2 ，
2
2
2
即 sin cos 2 0 .
设数列bn的公差为 d ，
由
a1 a2
b1 b2 b2 b3
，即
11 17
2b1 2b1
d 3d
，
可解得 b1 4 ， d 3，
所以 bn 3n 1；
（2）由（1）知
cn
(6n 6)n1 (3n 3)n
3(n 1) 2n1 ，
所以 Tn 3 2 22 3 23 4 24 (n 1) 22 n1 ，
（1）求数列an ，bn 的通项公式；
（2）令 cn
an 1 n1 bn 2n
，求数列cn 的前 n 项和 Tn
.
20．已知直线 l : x y 1 0 与焦点为 F 的抛物线 C : y2 2 px( p 0) 相切.
（Ⅰ）求抛物线 C 的方程； （Ⅱ）过点 F 的直线 m 与抛物线 C 交于 A，B 两点，求 A，B 两点到直线 l 的距离之和 的最小值.
C．17
D．18
3．如图在一个120 的二面角的棱上有两点 A, B ，线段 AC, BD 分别在这个二面角的
两个半平面内，且均与棱 AB 垂直，若 AB 2 ， AC 1 ， BD 2 ，则 CD 的长为
（ ）.
A．2
B．3
C． 2 3
D．4
4．已知等比数列{an} 的各项均为正数，前 n 项和为 Sn ，若 a2 2, S6 S4 6a4 ，则 a5
A． x2 1
y2
1
B． x2 1
y2
1
C． x2 1
y2
1
D． x2 1
y2
1
二、多选题
9．若 1 1 0 ，则下列结论中正确的是（ ） ab
A． a2 b2
B． ab b2
C． | a | | b || a b | D． a3 b3
10．在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边的长分别为 a, b, c ，则满足下面条件的三角形一
三、填空题
13．命题 p : x0 R ， x02 2x0 5 0 是__________（填“全称命题”或“特称命题”），
它是_________命题（填“真”或“假”）.
14．已知点
M
在平面
ABC
内，并且对空间任意一点
O，有
OM
xOA
1
OB
1
OC
，
33
则 x＝________.
15．已知直线 l : x y m 0 经过抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点，与 C 交于 A、B 两
A． 4
B．10
C． 16
D． 32
5．《几何原本》卷 2 的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处
理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并
称之为“无字证明”.现有如下图形： AB 是半圆 O 的直径，点 D 在半圆周上，CD AB 于点 C ，设 AC a ，BC b ，直接通过比较线段 OD 与线段 CD 的长度可以完成的“无
字证明”为（
）
A．
b a
m m
b a
(b
a
0, m
0)
B． a2 b2 2 (a b)(a 0,b 0) 2
C．
2ab ab
ab(a 0,b 0)
D． a b ab(a 0,b 0) 2
6．已知点 A 是双曲线
x2 a2
y2 b2
1（a
0，b
0 ）的右支上一点， F
是右焦点，若
2019-2020 学年广东省中山市高二上学期期末考试数学试卷及答案
一、单选题
1．“ x 0 ”是“ x 1 2 ”的 x
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．在等差数列an 中，若 a1 a2 a3 3,a5 9，则a8 的值是( )
A．15
B．16
定为直角三角形的是（ ）
A． sin A sin B sin C cos A cos B
B．
tan tan
A B
a2 b2
C． cos2 B a c 2 2c
D． a cos B b cos A c
11．已知点 M 3, 0 和点 N 3, 0 ，直线 PM ， PN 的斜率乘积为常数 a a 0 ，设
线段 AB 中点 M 2t2 1, 2t
x1 x2 ty1 1 ty2 1 4t 2 2
设 A, B, M 到直线 l 距离分别为 dA, dB , dM
2t2 2t 2
则 dA dB 2dM 2
2 2
2 t2 t 1 2
2
t
1 2
2
3 4
t
1 2
2
3 4
3 4
（1）证明 sin cos 2 0 ； （2）若 AC 3DC ，求 的值. 18．两城市 A 和 B 相距 20km ，现计划在两城市外以 AB 为直径的半圆 AB 上选择一点 C 建造垃圾处理场，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城 A 和城 B 的 总影响度为城 A 和城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 xkm ，建在 C 处的垃圾 处理场对城 A 和城 B 的总影响度为 y ，统计调查表明：垃圾处理场对城 A 的影响度与 所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4，对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k ，当垃圾处理场建在 AB 的中点时，对城 A 和
2
3
∵0
2
，∴ sin
3 ，所以 .
2
3
18、（1）由题意得
y
4 x2
k 400
x2
0
x
20 ，
又 当 x 10 2 时， y 0.065 ，
k
9 ，
y
4 x2
9 400
x2
0
x
20 .
（2）
y
4 x2
9 400 x2
5 x2 320 x4 400x2
0
x
20 ，
令
t
x2
320
点，若| AB | 6 ，则 p 的值为__________．
16．若数列 an 满足：an an1 n 1 n 1 ，若数列an 的前 99 项之和为 3 11 ，
则 a100 __________．
四、解答题
17．如图，D 是直角 ABC 斜边 BC 上一点，AB AD ，记 CAD , ABC .
否过 x 轴上的定点，如果不过请说明理由，如果过定点，请求出定点 E 的坐标
数学试题参考答案
1-8CCBCD DCA 9-12ABD ACD BD 15、 3 2
16、10 3
11
17、（1）由题意得 ( 2 ) 2 ，即可化简得证；（2）在 ADC 中，由正
D．不存在非零常数 a ，使 C 上所有点到两点 0, 4 ，0, 4 距离之差的绝对值为定值
12．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，
斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列an 满足： a1 1 ， a2 1，
an an1 an2 n 3,n N * .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格
l 与 C 相切 4 p2 8 p 0 ，解得： p 2
抛物线 C 的方程为： y2 4x
（Ⅱ）由题意知，直线 m 斜率不为 0 ，可设直线 m 方程为： x ty 1
联立
y2 4x
得：
x ty 1
y2
4ty
4
0
设 A x1, y1 ， B x2, y2 ，则 y1 y2 4t
城 B 的总影响度为 0.065；
（1）将 y 表示成 x 的函数； （2）判断 AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理场对城 A 和城 B 的总影响度最
小?若存在，求出该点到城 A 的距离；若不存在，说明理由；
19．已知数列an 的前 n 项和 Sn 3n2 8n ，bn是等差数列，且 an bn bn1 .
320,
720
，则
y
t
5 230400
t
1040
1 16
，
当且仅当 t 480 ，即 x 4 10 时，等号成立， 弧 AB 上存在一点，使建在此处的垃圾处理场对城 A 和城 B 的总影响度最小.
19、（1）由题意知当 n 2 时， an Sn Sn1 6n 5 ，
当 n 1 时， a1 S1 11，所以 an 6n 5 ，
（2）在 ADC 中，由正弦定理得
DC sin
AC sin( )
DC sin
3DC sin
，∴ sin
3 sin
由（1）得 sin cos 2 ，∴ sin 3 cos 2 3(1 2 sin2 ) ，
即 2 3 sin2 sin 3 0 ，解得 sin 3 或 sin 3
测得 BEC 60 .若测得 DC 2 3 ， CE 2 （单位：百米），则 A, B 两点之间的距
离为（ ）
A． 6
B． 2 2
C． 3
D． 2 3
8．设动点 P 到点 A1, 0 和 B 1,0 的距离分别为 d1 和 d2 ， APB 2 ，且存在常
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷及答案解析
第 1 页 共 16 页2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小題给出的四个选项中，只有一只符合题目要求的.1．（5分）命题“∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3＜0”的否定是（ ） A ．∀x ≤0，x 2﹣4x +3＜0 B ．∃x 0≤0，x 02﹣4x 0+3＜0C ．∀x ＞0，x 2﹣4x +3≥0D ．∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3≥02．（5分）双曲线x 264−y 236=1的焦距是（ ）A ．10B ．20C ．2√7D ．4√73．（5分）在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＝3a n ﹣1+2（n ≥2），则a 3＝（ ） A ．2B ．6C ．8D ．144．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =π6，B =π4，a =√6，则b ＝（ ） A ．2√3B ．3√62C ．3√3D ．2√65．（5分）已知点P （﹣2，4）在抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A ．（0，2） B ．（0，4） C ．（2，0）D ．（4，0）6．（5分）已知双曲线x 2m−y 22=1的焦点与椭圆x 24+y 2=1的焦点相同，则m ＝（ ）A ．1B ．3C ．4D ．57．（5分）“﹣1＜m ＜3”是“方程x 2m+1+y 27−m=1表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．（5分）已知双曲线x 216−y 248=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是该双曲线上的一点，且|PF 1|＝10，则|PF 2|＝（ ） A ．2或18B ．2C ．18D ．49．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin 2B ＝b cos A cos B ，则△ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定。
广东省中山市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(附答案及解析)
广东省中山市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题一、解答题 本大题共1道小题。
1.已知圆O 的方程为224x y +=，若抛物线C 过点()()1,01,0A B -，，且以圆0的切线为准线，F 为抛物线的焦点，点F 的轨迹为曲线'C . (1)求曲线'C 的方程;(2)过点B 作直线L 交曲线'C 与P 、Q 两点，'P P 、关于x 轴对称，请问:直线'P Q 是否过x 轴上的定点，如果不过请说明理由，如果过定点，请求出定点E 的坐标试卷答案1.（1）22143x y +=（2）直线P Q '过x 轴上的定点4,0E（）分析：设直线m 和圆O 相切与点M ，过A B 、分别向直线m 作垂线，垂足分别为A B ''、，则2AA BB OM ''+=，由抛物线定义可知，,AA AF BB BF =''=，所以24AF BF OM +==，由椭圆的定义可知，点F 的轨迹为以A B 、为焦点，以4为长轴的椭圆，则曲线'C 的方程可求； (2)设()()1122,,,P x y Q x y ，则()11,,P x y '-直线P Q '的方程为()212221y y y y x x x x +-=--令y=0，122112x y x y x y y +=+，设直线L ：1x ny =+，则1212122ny y y y x y y ++=+（*） 联立直线和椭圆方程()2234690n y ny ++-=，可得1212,y y y y +的表达式，代入（*）式得：4x =，即可证明直线'P Q 过x 轴上的定点4,0E（）. 详解：(1)设直线m 和圆O 相切与点M ，过A B 、分别向直线m 作垂线，垂足分别为A B ''、，则2AA BB OM ''+=，由抛物线定义可知，,AA AF BB BF =''=，所以24AF BF OM +==，由椭圆的定义可知，点F 的轨迹为以A B 、为焦点，以4为长轴的椭圆，方程为22143x y +=.(2)设()()1122,,,P x y Q x y ，则()11,,P x y '-直线P Q '的方程为()212221y y y y x x x x +-=--令y=0，122112x y x y x y y +=+，设直线L ：1x ny =+， 则1221121212122x y x y ny y y y x y y y y +++==++（*） 联立直线和椭圆方程()2234690n y ny ++-=，则12122269,3434n y y y y n n --+==++，代入（*）式得：4x =,所以直线P Q '过x 轴上的定点4,0E （）. 点睛：本题考查利用定义求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．。
广东省中山市2019-2020学年数学高二下学期理数期末考试试卷C卷
广东省中山市2019-2020学年数学高二下学期理数期末考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知,为虚数单位则（）A . 1B . 2C .D .2. （2分）据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是（）A .B .C .D .3. （2分）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为(1)；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)，则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A . 分层抽样法，系统抽样法B . 分层抽样法，简单随机抽样法C . 系统抽样法，分层抽样法D . 简单随机抽样法，分层抽样法4. （2分）在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（）.A .B .C .D .5. （2分）如图，在矩形OABC内：记抛物线与直线围成的区域为M（图中阴影部分）．随机往矩形OABC内投一点P，则点P落在区域M内的概率是（）A .B .C .D .6. （2分）(2014·新课标II卷理) 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A . 0.8B . 0.75C . 0.6D . 0.457. （2分）已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式的解集为（）A .B .C .D .8. （2分）已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且E（ξ）=7，D（ξ）=6，则p等于（）A .B .C .D .9. （2分）根据历年气象统计资料，宜都三月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为．则在吹东风的条件下下雨的概率为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二下·三门峡期中) 一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有（）A . 6种B . 8种C . 36种D . 48种11. （2分） (2018高二下·四川期中) 函数的单调增区间为（）A .B .C .D .12. （2分）(2020·甘肃模拟) 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二下·郑州期中) 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长满足关系：AB2+AC2=BC2 ．若三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积满足的关系为________．14. （1分）已知随机变量，则E（5ξ+2）=________．15. （1分） (2016高二下·宜春期中) 二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为________．16. （1分） (2016高一下·黄山期末) 已知f（m）=（3m﹣1）a+b﹣2m，当m∈[0，1]时，f（m）≤1恒成立，则a+b的最大值是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）(2020·海南模拟) 某大型企业生产的某批产品细分为个等级，为了了解这批产品的等级分布情况，从仓库存放的件产品中随机抽取件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行打分：级或级产品打分；级或级产品打分；级、级、级或级产品打分；其余产品打分.现在有如下检测统计表：等级12345678910频数10901002002001001001007030规定：打分不低于分的为优良级.（1）①试估计该企业库存的件产品为优良级的概率；②请估计该企业库存的件产品的平均得分.（2）从该企业库存的件产品中随机抽取件，请估计这件产品的打分之和为分的概率.18. （5分） (2017高二下·太仆寺旗期末) 已知展开式各项系数的和比它的二项式系数的和大992.（Ⅰ）求n；（Ⅱ）求展开式中的项；（Ⅲ）求展开式系数最大项.19. （10分）为了解某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：千元/吨）和利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：x12345y76542（1）求y关于x的线性回归方程 = x﹣；（2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？（保留两位小数）参考公式： = = ， = ﹣．20. （5分）某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取100个进行调研，按成绩分组：第l组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示：若要在成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查：（I）已知学生甲和学生乙的成绩均在第四组，求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率；（Ⅱ）在已抽取到的6名学生中随机抽取3名学生接受篮球项目的考核，设第三组中有ξ名学生接受篮球项目的考核，求接受篮球项目的考核学生的分布列和数学期望．21. （10分）(2017·南通模拟) 两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．（1）将y表示成x的函数；（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．22. （10分） (2019高三上·临沂期中) 已知函数 .（1）若曲线在点处的切线与y轴垂直，求的值；（2）若在区间上至少存在一点，使得成立，求的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
广东省中山市2019-2020学年高二上学期期末统一考试数学答案
中山市2019—2020学年度高二级第一学期期末统一考试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.（2）在ADC △中，由正弦定理得sin sin()DC AC απβ=-，即3sin sin DC αβ=，∴sin βα=，由（1）sin cos 2αβ=-，∴2sin 22sin )βββ==-．即2sin 0ββ--=，解得sin 2β=或sin 3β=-，又因为02πβ<<，所以3πβ=.18．（12分）设数列{}n b 的公差为d ，由112223a b b a b b =+⎧⎨=+⎩，即111121723b d b d =+⎧⎨=+⎩，可解得14,3b d ==，所以31n b n =+．（2）由（1）知()()()116631233n n n nn c n n +++==+⋅+，所以()2341322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，()34522322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，2213221)24A B d d d t t t⎤⎛⎫+==-+=-+ ⎪⎥⎝⎭⎦，∴当12t =时，可使A 、B 两点到直线l .21．（12分）解：(1)由菱形的性质可得：AC BD ⊥，结合三角形中位线的性质可知：//OE BD ，故OE AC ⊥，又PO ⊥底面ABCD ，AC Ì底面ABCD ，故AC OP ⊥，且OP OE O = ，故AC ⊥平面POE ，)()333,0,00,0,0,,3,022E ⎛⎫⎪⎝⎭，(6,3C -POE 的一个法向量为(9,33,0)AC=-，)，sin PB P A B ACCq ×==´ (3)由题意可得()()()3,0,0,,3,0,0D C A --，假设满足题意的点F 存在，设(,,)F x y z ，(01)DF DC λλ=≤≤，据此可得()()3,,x y z λ+=-，即：330x y z λ=--⎧⎪=⎨⎪=⎩,从而点F的坐标为()3,0F λ--，21令0y =，则221221121212122186234344634n nx y x y ny y y y n n x n y y y y n --++++++====-+++，所以直线P Q '过x 轴上的定点4,0E （）.。
广东省19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)
广东省19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∃x0∈(0,+∞)，x03−e x0>1”的否定为()A. ∃x0∈(0,+∞)，x03−e x0<1B. ∃x0∈(0,+∞)，x03−e x0≤1C. ∀x∈(0,+∞)，x3−e x<1D. ∀x∈(0,+∞)，x3−e x≤12.双曲线x23−y22=1的焦距为()A. 3√2B. √5C. 2√5D. 4√53.数列{a n}满足：a1=1，a n=a n−1+3n，则a4等于()A. 4B. 13C. 28D. 434.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=√3，A=π6，则角B等于()A. π3B. π6C. π3或2π3D. π6或5π65.已知点P(−2,4)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上，则该抛物线的焦点坐标是()A. (0,2)B. (0,4)C. (2,0)D. (4,0)6.已知双曲线x2a −y22=1的焦点与椭圆x26+y22=1的焦点相同，则双曲线的离心率为()A. √22B. √2C. √3D. 27.“1<m<3”是“方程x2m−1+y23−m=1表示椭圆”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足PF2⊥x轴．若|F1F2|=12，|PF2|=5，则该双曲线的离心率为()A. 3B. 32C. 125D. 13129.在△ABC中，cos2A2=b+c2c，则△ABC的形状为()A. 直角三角形B. 等腰三角形或直角三角形C. 正三角形D. 等腰直角三角形10.已知直线y=kx+3与椭圆x216+y24=1有两个公共点，则实数k的取值范围是()A. (√54,+∞)B. (−∞,−√54)C. (−∞,−√54)∪(√54,+∞)D. (−√54,√54) 11. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 3+a 7=8，则S 9等于( )A. 272B. 36C. 54D. 108 12. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P ，Q ，若点P 是线段F 1Q 的中点，且QF 1⊥QF 2，则此双曲线的渐近线方程为( )A. y =±√2xB. y =±√3xC. y =±2xD. y =±3x二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为(2,0)，且点(2,3)在椭圆上，则椭圆的短轴长为______ ． 14. 已知a >0，b >0，且3a+2+3b+2=1，则a +2b 的最小值为______．15. 如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若AB =15m ，AC =25m ，∠BCM =30∘，则tanθ的最大值是 (仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)16. A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)是抛物线y 2=2x 上相异的两点，且在x 轴同侧，点C(1,0).若直线AC ，BC的斜率互为相反数，则y 1y 2= ______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p ：(x +2)(x −6)≤0，q ：2−m ≤x ≤2+m ．(Ⅰ)若m =5，“p 或q ”为真命题，“¬p ”为真命题，求实数x 的取值范围；(Ⅱ)若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且△ABC的面积为10√3，a+b=13，∠C=60°，求这个三角形的各边长．19.已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点M(1,−2√2)，直线l经过抛物线的焦点F与抛物线交于A，B两点．(1)若直线l的方程为y=x−2，求|AB|的值；(2)若直线OA，OB的斜率为k1，k2，且k1+k2=2，求直线l的方程．20.已知数列{a n}的前n项和为S n,n∈N∗，且S n=32a n−12．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若b n=na n+1，求数列{b n}的前n项和T n．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PD⊥平面ABCD，∠PAD=∠DAB=60°，E为AB的中点．(1)证明：PE⊥CD．(2)求二面角A−PE−C的余弦值．22.已知椭圆E:x2a +y2=1(a>1)，过点A(0,−1)和B(a,0)的直线与原点的距离为√32．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)直线l：y=kx+1与椭圆E交于C、D两点，以线段CD为直径的圆过点M(−1,0)，求直线l的方程．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查命题的否定、特称命题和全称命题，属于基础题；根据特称命题与全称命题的关系，利用特称命题的否定为全称命题进行求解．解：命题“，x03−e x0>1”的否定为：∀x∈(0,+∞),x3−e x≤1；故选D．2.答案：C解析：解：由双曲线x23−y22=1，易知c2=3+2=5，∴c=√5，∴双曲线x23−y22=1的焦距为2√5．故选：C．由双曲线x23−y22=1，易知c2=3+2=5，求出c，即可求出双曲线x23−y22=1的焦距．本题考查双曲线的标准方程，双曲线标准方程中的参数a，b，c的关系：c2=a2+b2，双曲线焦距的概念．3.答案：C解析：解：数列{a n}满足：a1=1，a n=a n−1+3n，可得a2=a1+3=1+3×2=7，a3=a2+3×3=7+9=16，a4=a3+3×4=28．故选：C．利用数列的递推关系式，逐步求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．解析：解：∵a=1，b=√3，A=π6，∴由正弦定理得，asinA =bsinB，则sinB=b⋅sinAa =√3×121=√32，又∵0<B<π，b>a，∴B=π3或2π3，故选：C．由题意和正弦定理求出sin B的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角B．本题考查正弦定理，以及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．5.答案：C解析：本题考查抛物线的准线和焦点坐标，属于基础题．求出p=4，即可得解．解：抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点P(−2,4)，所以−p2=−2，∴p=4，则该抛物线的焦点坐标为(2,0)．故选C．6.答案：B解析：解：双曲线x2a −y22=1的焦点与椭圆x26+y22=1的焦点相同，可得6−2=a+2，解得a=2，所以双曲线的离心率为：e=ca =√2+2√2=√2．故选：B．求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，推出a，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，属于基础题． 根据椭圆的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若方程x 2m−1+y 23−m =1表示椭圆，则满足{m −1>03−m >0m −1≠3−m ，即{m >1m <3m ≠2, 即1<m <3且m ≠2，此时1<m <3成立，即必要性成立，当m =2时，满足1<m <3，但此时方程x 2m−1+y 23−m =1等价为x 21+y 21=1为圆，不是椭圆，不满足条件，即充分性不成立，故“1<m <3”是“方程x 2m−1+y 23−m =1表示椭圆”的必要不充分条件， 故选B ． 8.答案：B解析：解：在RT △PF 1F 2中,|PF 1|=√122+52=13,那么2a =13−5=8，故e =128=32． 故选：B ．利用已知条件转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．9.答案：A解析：本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理与两角和的正弦的应用，属于中档题．解：在△ABC 中，∵cos 2A 2=1+cosA 2=b+c 2c =b 2c +12， ∴cosA 2=sinB 2sinC ， ∴sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC =cosAsinC ，∴sinAcosC =0，∵sinA >0，∴cosC =0，C =π2，∴△ABC 的形状是直角三角形，故选A ．10.答案：C解析：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，解题的关键是熟练掌握直线与椭圆直线与椭圆的位置关系的计算，根据已知及直线与椭圆的位置关系的计算，求出实数k 的取值范围．解：由{y =kx +3,x 216+y 24=1 得(4k 2+1)x 2+24kx +20=0，当Δ=16(16k 2−5)>0，即k >√54或k <−√54时，直线和椭圆有两个公共点． 故选C ．11.答案：B解析：解：∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 3+a 7=8，∴S 9=92(a 3+a 7)=92×8=36．故选：B ．由等差数列性质得S 9=92(a 3+a 7)，由此能求出结果．本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 12.答案：B解析：本题综合考查了双曲线的标准方程及其性质、三角形的中位线定理、勾股定理、相互垂直的直线之间的关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题．点P是F1Q的中点，O是F1F2的中点，利用三角形的中位线定理可得OP//F2Q.已知QF1⊥QF2，可得F1Q⊥OP.进而得到直线F1P的方程，即可得到点P的坐标，利用余弦定理，即可求得双曲线的渐近线方程．解：如图所示，∵点P是F1Q的中点，O是F1F2的中点，∴OP//F2Q.∵QF1⊥QF2，∴F1Q⊥OP．∵OP的方程为y=−ba x，∴k F1P=ab，∴直线F1P的方程为y=ab(x+c)．联立{y=−baxy=ab(x+c)，解得{x=−a2cy=abc，即P(−a2c,abc).∴|PF1|=|PQ|=b，|PO|=a，|OF1|=|OF2|=|OQ|=c，|QF2|=2a，∵tan∠QOF2=ba ，∴cos∠QOF2=ac，由余弦定理，得cos∠QOF2=c2+c2−4a22c2=1−2a2c2=ac，∴1−2e2=1e，即e2−e−2=0，解得e=2，或e=−1(舍)，∴b=√3a，∴双曲线的渐近线方程为y=±√3x.故选B．13.答案：4√3解析：解：椭圆C：x2a +y2b=1(a>b>0)的右焦点为(2,0)，且点(2,3)在椭圆上，可得c=2，2a=√(2−2)2+(3−0)2+√(2+2)2+(3−0)2=8，可得a=4，b2=a2−c2=12，可得b=2√3，椭圆的短轴长为：4√3．故答案为：4√3．利用已知条件求出椭圆的方程，即可得到结果．本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查计算能力．14.答案：3+6√2解析：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．实数a>0，b>0，且3a+2+3b+2=1，则a+2b=[(a+2)+2(b+2)](3a+2+3b+2)−6=3+6(b+2)a+2+3(a+2)b+2，再利用基本不等式的性质即可得出．解：因为a>0，b>0，且3a+2+3b+2=1，则a+2b=[(a+2)+2(b+2)](3a+2+3b+2)−6=3+6(b+2)a+2+3(a+2)b+2≥3+2√6(b+2)a+2×3(a+2)b+2=3+6√2；当且仅当a+2=√2(b+2)时取等号．∴a+2b的最小值是3+6√2．故答案为：3+6√2．15.答案：5√39解析：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题过P 作PP′⊥BC ，交BC 于P′，连接AP′，则tanθ=PP′AP′，求出PP′，AP′，利用函数的性质，分类讨论，即可得出结论．解：∵AB =15m ，AC =25m ，∠ABC =90°，∴BC =20m ，过P 作PP′⊥BC ，交BC 于P′，连接AP′，则tanθ=PP′AP′，设BP′=x ，则CP′=20−x ，由∠BCM =30°，得PP′=CP′tan30°=√33(20−x)， 在直角△ABP′中，AP′=√225+x 2，∴tanθ=√33√225+x 2， 令y =2，则函数在x ∈[0,20]单调递减，∴x =0时，取得最大值为20√345=4√39. 若P′在CB 的延长线上，PP′=CP′tan30°=√33(20+x)， 在直角△ABP′中，AP′=√225+x 2， ∴tanθ=√33√225+x 2， 令y =(20+x)2225+x 2，则y′=0可得x =454时，函数取得最大值5√39， 故答案为5√39.16.答案：2解析：解：由题意可得，y 12=2x 1，y 22=2x 2，k AC =y 1−0y 122−1，k BC =y 2−0y 222−1， 若直线AC ，BC 的斜率互为相反数，则k AC +k BC =0，即为2y 1y 12−2+2y 2y 22−2=0， 即y 1y 22−2y 1+y i 2y 2−2y 2=0，即为(y 1y 2−2)(y 1+y 2)=0，由于y 1y 2>0，即y 1y 2=2．故答案为：2．运用A ，B 在抛物线上，满足抛物线方程，再由直线的斜率公式，化简整理计算即可得到所求值． 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，以及直线的斜率公式，考查化简整理的能力，属于中档题．17.答案：解：对于p ：由(x +2)(x −6)≤0，解得−2≤x ≤6，(Ⅰ)当m =5时，q ：−3≤x ≤7，∵“p 或q ”为真命题，“¬p ”为真命题，∴p 假q 真，由{x <−2或x >6−3≤x ≤7，得−3≤x <−2或6<x ≤7， ∴实数x 的取值范围为[−3,−2)∪(6,7].(Ⅱ)设A =[−2,6]，B =[2−m,2+m]，∵q 是p 的充分不必要条件，∴B ⊊A ．当B =⌀时，2−m >2+m ，解得m <0，当B ≠⌀时，∴{2−m ≤2+m2−m ≥−22+m ≤6，得0≤m ≤4，当m =4时，A =B ，∴实数m 的取值范围为m <4．解析：本题考查了复合命题的真假判断方法、充要条件、集合之间的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．对于p ：由(x +2)(x −6)≤0，解得−2≤x ≤6，(Ⅰ)当m =5时，q ：−3≤x ≤7.由“p 或q ”为真命题，“¬p ”为真命题，可得p 假q 真，解出即可．(Ⅱ)设A =[−2,6]，B =[2−m,2+m]，由于q 是p 的充分不必要条件，可得B ⊊A.分类讨论：当B =⌀时，当B ≠⌀时，即可得出．18.答案：解：∵△ABC中，S=12ab⋅sin C，∴10√3=12absin60°，即ab=40，又a+b=13，∴解得：a=5，b=8或a=8，b=5，∴c2=a2+b2−2abcos C=49，∴解得：c=7．故三角形三边长为a=5cm，b=8cm，c=7cm或a=8cm，b=5cm，c=7cm．解析：由已知及三角形面积公式可求ab=40，结合a+b=13，可得a，b的值，利用余弦定理可求c，从而得解．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19.答案：解：(1)将点M(1,−2√2)代入抛物线方程，可得p=4，则抛物线方程为y2=8x．设A(x1,y1)，B(x2,y2)联立{y2=8x,y=x−2,可得x2−12x+4=0．∴x1+x2=12，则|AB|=x1+x2+4=16．(2)由题意知直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程为y=k(x−2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)联立{y2=8xy=k(x−2)，可得k2x2−(4k2+8)x+4k2=0，显然Δ>0，从而x1+x2=4k2+8k2，x1x2=4．∴k1+k2=y1x1+y2x2=k(x1−2)x1+k(x2−2)x2=2k−(2kx1+2kx2)=2k−2k(x1+x2)x1⋅x2=2k−2k 4k2+8k24=−4k=2，∴k=−2．∴直线l的方程为2x+y−4=0．解析：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法以及性质的应用，考查计算能力．(1)先求出抛物线方程，线l经过抛物线的焦点F与抛物线交于A，B两点．联立方程组，利用韦达定理，弦长公式求出|AB|．(2)设直线l方程为y=k(x−2)，联立方程组，利用韦达定理可求出k的值，即可求出直线l的方程．20.答案：解：(Ⅰ)当n=1时，a1=32a1−12，得a1=1，当n≥2时，S n−S n−1=a n=32(a n−a n−1)，得a n=3a n−1，∴数列{a n}是公比为3的等比数列，∴a n=3n−1．(Ⅱ)由(Ⅰ)得：b n=2na n+2−a n+1=n3n，又T n=13+232+⋯+n3n①∴13T n=132+233+⋯+n3n+1②两式相减得：23T n=13+132+⋯+13n−n3n+1，故23T n=13(1−13n)1−13−n3n+1，∴T n=34−3+2n4×3n<34．解析：(Ⅰ)利用数列的递推关系式求出数列是等比数列，然后求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)化简b n=na n+1，利用错位相减法求解数列的和，即可得到结果．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．21.答案：证明：(1)连结DE，BD，∵四边形ABCD是菱形，且∠DAB=60°，E为AB的中点，∴DE⊥AB，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB，又DE∩PD=D，∴AB⊥平面PDE，∴AB⊥PE，∵AB//CD，∴PE⊥CD．解：(2)设AC，BD交点为O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则P(−1,0，2√3)，A(0,−√3,0)，E(12,−√32,0)，C(0,√3,0)， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,2√3)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,0)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,−2√3)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−3√32,0)， 设平面APE 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3y +2√3z =0n⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12x +√32y =0，取z =1，得n ⃗ =(√3,−1,1)， 设平面PCE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +√3y −2√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −3√32z =0，取y =1，得m ⃗⃗⃗ =(3√3,1，2)， 设二面角A −PE −C 的平面角为θ，由图知θ为钝角，∴cosθ=−|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√5⋅√32=−√104． ∴二面角A −PE −C 的余弦值为−√104．解析：(1)连结DE ，BD ，推导出DE ⊥AB ，PD ⊥AB ，从而AB ⊥平面PDE ，进而AB ⊥PE ，由此能证明PE ⊥CD ．(2)设AC ，BD 交点为O ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −PE −C 的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：(Ⅰ)由题意，直线AB 的方程为：x −ay −a =0，∵过点A(0,−1)和B(a,0)的直线与原点的距离为√32， ∴√a 2+1=√32， ∴a =√3，∴椭圆E 的方程为x 23+y 2=1．(Ⅱ)设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，将直线l ：y =kx +1代入椭圆E ，消元可得(1+3k 2)x 2+6kx =0，∴x 1=0，x 2=−6k1+3k 2，∴y 1=1，y 2=1−3k 21+3k 2，∵以线段CD 为直径的圆过点M(−1,0)，∴MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=0，∴−6k 1+3k 2+1+1−3k 21+3k 2=0, ∴k =13, ∴直线l 的方程为y =13x +1.．解析：(Ⅰ)求得直线AB 的方程为：x −ay −a =0，利用过点A(0,−1)和B(a,0)的直线与原点的距离为√32，求得a 的值，即可得到椭圆E 的方程； (Ⅱ)将直线l ：y =kx +1代入椭圆E ，消元可得(1+3k 2)x 2+6kx =0，求得C ，D 的坐标，利用MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可求得直线l 的方程．。
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试题一、单选题1．命题“00x ∃>，200430x x -+<”的否定是（ ） A ．0x ∀≤，200430x x -+< B ．0x ∀>，2430x x -+≥C ．00x ∃≤，200430x x -+≥D ．00x ∃>，200430x x -+≥【答案】B【解析】本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可． 【详解】解：命题“00x ∃>，200430x x -+<”是特称命题，故其否定为：0x ∀>，2430x x -+≥ 故选：B 【点睛】本题考查命题的否定，正确解答本题，关键是掌握住命题的否定的定义及书写规则，对于两特殊命题特称命题与全称命题的否定，注意变换量词，属于基础题．2．双曲线2216436x y -=的焦距是（ ）A ．10B ．20C ．D ．【答案】B【解析】双曲线的方程得8a =，6b =，可求10c ==，即可求出焦距． 【详解】解：双曲线2216436x y -=中8a =，6b =，10c ∴==， 220c ∴=．故选：B ． 【点睛】本题考查的重点是双曲线的几何性质，解题的关键是掌握c ，属于基础题．3．在数列{}n a 中，10a =，()1322n n a a n -=+≥，则3a =（ ） A ．2 B ．6C ．8D ．14【答案】C【解析】根据数列的递推公式求出2a ，即可求得3a . 【详解】解：因为10a =，132n n a a -=+， 所以21322a a =+=， 则32328a a =+=. 故选：C 【点睛】本题考查利用递推公式求数列的项的问题，属于基础题. 4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，6A π=，4B π=，a =则b =（ ） A．B．2C．D．【答案】A【解析】直接利用正弦定理得到sin sin a Bb A=，代入数据计算得到答案. 【详解】根据正弦定理sin sin a b A B =，所以sin 21sin 2a Bb A===.故选：A 【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.5．已知点()2,4P -在抛物线()220y px p =>的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A ．()0,2 B ．()0,4C ．()2,0D ．()4,0【答案】C【解析】首先表示出抛物线的准线，根据点()2,4P -在抛物线的准线上，即可求出参数p ，即可求出抛物线的焦点. 【详解】解：抛物线()220y px p =>的准线为2p x =-因为()2,4P -在抛物线的准线上22p∴-=- 4p ∴=28y x ∴=故其焦点为()2,0故选：C 【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题.6．已知双曲线2212x y m -=的焦点与椭圆2214x y +=的焦点相同，则m =（ ）A ．1B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】由椭圆的方程可得焦点坐标，根据双曲线的性质即可得m 的值. 【详解】在椭圆2214x y +=中，2a =，1b =，c =，即椭圆的焦点坐标为()，∴双曲线2212x y m -=的焦点为()，∴23m +=，解得1m =， 故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的焦点坐标以及双曲线的焦点坐标，属于中档题.7．“13m -<<”是“方程22117x y m m+=+-表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】方程22117x y m m+=+-表示椭圆解得13m -<<或37m <<，根据范围大小判断得到答案. 【详解】因为方程22117x ym m +=+-表示椭圆，所以107017m m m m+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得13m -<<或37m <<.故“13m -<<”是“方程22117x y m m+=+-表示椭圆”的充分不必要条件.故选：A 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.8．已知双曲线2211648x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是该双曲线上的一点，且110PF =，则2PF =（ ）A ．2或18B ．2C ．18D ．4【答案】C【解析】首先根据1PF a c <+可判断出点P 在该双曲线左支上，再根据双曲线的定义即可得结果. 【详解】在双曲线2211648x y -=中，4a =，b =8c =，因为11012PF a c =<+=，所以点P 在该双曲线左支上，则212241018PF a PF =+=⨯+=， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，判断出点P 的位置是解题的关键，属于中档题. 9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a B b A B =，则ABC ∆的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】B【解析】根据正弦定理得到2sin sin sin cos cos A B B A B =，化简得到()sin cos 0B A B -+=，计算得到答案.【详解】2sin cos cos a B b A B =，所以2sin sin sin cos cos A B B A B =，所以()sin sin sin cos cos 0B A B A B -=，即()sin cos 0B A B -+=. 因为0A π<<，0B π<<，所以2A B π+=，故ABC ∆是直角三角形.故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理和三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的综合应用.10．直线l ：2y kx =+与椭圆C ：2212x y +=有公共点，则k 的取值范围是（ ）A．22⎡-⎢⎣⎦B．,,22⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭UC．⎡⎣D．(),-∞+∞U【答案】B【解析】联立直线与曲线方程消元，利用根的判别式求出参数的取值范围. 【详解】解：联立直线与椭圆方程得22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2212860k x kx +++= 二次项系数2121k +≥因为直线l ：2y kx =+与椭圆C ：2212x y +=有公共点，()()22841260k k ∴∆=-⨯+⨯≥解得2k ≥或2k ≤-即,22k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭U 故选：B【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系求参数的取值范围，属于基础题. 11．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最小值，且111210a a -<<，则使得0n S >成立的n 的最小值是（ ） A ．11 B ．12C ．21D ．22【答案】D【解析】由题意可知公差0d >，又111210a a -<<，故120a >，110a <，且11120a a +>，根据前n 项和公式及下标和公式，可得其220S >，21S 0<即可得解. 【详解】解：由题意可得等差数列{}n a 的公差0d >.因为111210a a -<<，所以120a >，110a <，所以11120a a +>，则()()1121211122221102a a a a S +==+>，2111S 210a =<.故使得0n S >成立的n 的最小值是22.故选：D 【点睛】本题考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题.12．双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线l 交1l 于点P ，交2l 于点Q ，若12PQ F P =u u u r u u u r，则双曲线的离心率为（ ）A ．BC ．2D ．3【答案】B【解析】设1l ：b y x a =-，2l ：by x a =，联立方程得到2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再计算2PQ b =，OQ =4224430c a c a -+=，计算得到答案.【详解】记O 为坐标原点.由题意可得()1,0F c -，不妨设1l ：b y x a =-，2l ：by x a=则直线l ：()a y x c b =+.联立()a y x c b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2a x c aby c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭故1PF b =，OP a =.因为12PQ F P =u u u r u u u r ，所以12PQ PF = 所以2PQ b =，OQ =22221cos QOF ∠=.因为2tan b QOF a ∠=，所以2cos aQOF c∠=，22220ac+=，整理得4224430c a c a -+=，则42430e e -+=解得e =故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的离心率问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.二、填空题13．椭圆224624x y +=的短轴长是______. 【答案】4【解析】椭圆标准方程为22164x y +=，再直接利用椭圆的短轴公式得到答案.【详解】椭圆方程为22164x y +=，则2b =，则短轴长是24b =.故答案为：4 【点睛】本题考查了椭圆的短轴长，属于简单题. 14．已知0a b >>，且2a b +=，则515a b+的最小值是______. 【答案】185【解析】变形得到()51151525a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开利用均值不等式得到答案.【详解】因为2a b +=，所以()511511526525255b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0a b >>，所以525b a a b +≥，当且仅当53a =，13b =时，等号成立 所以511261825255a b ⎛⎫+≥⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：185【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，变换()51151525a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭是解题的关键. 15．从某建筑物的正南方向的A 处测得该建筑物的顶部C 的仰角是45︒，从该建筑物的北偏东30°的B 处测得该建筑物的顶部C 的仰角是30°，A ，B 之间的距离是35米，则该建筑物的高为______米.【答案】【解析】设该建筑物的高OC h =（O 为该建筑物的底部），由题意可得OA h =，OB =，利用余弦定理求得h 的值.【详解】解：设该建筑物的高OC h =（O 为该建筑物的底部），由题意可得OA h =，OB =，35AB =，150AOB ∠=︒，则2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-∠，即22223532h h ⎛=+-⨯- ⎝⎭，解得h =【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.16．已知抛物线C ：24y x =，点Q 在x 轴上，直线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点，若直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，则点Q 的坐标是______. 【答案】()2,0-【解析】设出()22121212,,,,4,04,y y M y N y y y Q a ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点，即,,M N P 三点共线，//PM PN u u u u r u u u r，根据直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，MQ NQ k k =，即可求出Q 点坐标. 【详解】考虑直线l ：()2240m x y m ---+=，即()2240m x x y ---+=，所以直线恒过定点()2,0P ，设()22121212,,,,4,04,y y M y N y y y Q a ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 直线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点， 即,,M N P 三点共线，//PM PN u u u u r u u u r，2212122,,2,44y y PM y PN y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ，22122122044y y y y ⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2212212122044y y y y y y --+= 化简得： ()1212204y y y y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭所以128y y =-，直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，1222124,4MQ NQ y y k k y y a a =+-=-即222112044y y y a y a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立 22121212044y y y y ay ay -+-= ()121204y y a y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则1204y y a -= 所以1224y y a ==-即点Q 的坐标是 ()2,0- 故答案为：()2,0- 【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，关键在于合理使用点的坐标关系将题目所给条件转化为代数运算求解参数.三、解答题17．已知p ：函数()()0f x ax m a =-≠在区间[)1,+∞上单调递增，q ：关于x 的不等式20x mx m ++≤的解集非空.（1）当3a =时，若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当0a >时，若p 为假命题是q 为真命题的充分不必要条件，求a 的取值范围. 【答案】（1）(],3-∞； （2）[)4,+∞.【解析】（1）当3a =时，()3f x x m =-，根据单调性得到13m≤，计算得到答案. （2）p 为假命题，则m a >；q 为真命题，则0m ≤或4m ≥；根据充分不必要条件得到范围大小关系得到答案. 【详解】（1）当3a =时，()3f x x m =-.因为p 为真命题，所以13m≤，即3m ≤， 故m 的取值范围是(],3-∞. （2）因为p 为假命题，所以1ma>，因为0a >，所以m a >. 记满足p 为假命题的m 的取值集合为(),A a =+∞. 因为q 为真命题，所以240m m -≥，解得0m ≤或4m ≥. 记满足q 为真命题的m 的取值集合为(][),04,B =-∞+∞U . 因为p 为假命题是q 为真命题的充分不必要条件所以集合A 是集合B 的真子集，则4a ≥.故a 的取值范围是[)4,+∞. 【点睛】本题考查了命题的真假判断，充分不必要条件，根据充分不必要条件得到范围的大小关系是解题的关键.18．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b a =，221c C a=+. （1）求C ；（2）若c =ABC ∆的面积.【答案】（1）23C π=； （2）【解析】（1）利用余弦定理得到22254cos c a a C =-，再根据221c C a=+整理得到1sin 62C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，计算得到答案.（2）根据（1）代入数据计算得到c =2a =，24b a ==.，代入面积公式计算得到答案. 【详解】（1）因为2b a =，所以222222cos 54cos c a b ab C a a C =+-=-.所以2254cos 1c C C a=-=+，整理得1sin 62C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.又因为()0,C π∈，所以23C π=.（2）由（1）可知23C π=，22254cos c a a C =-，又因为c = 所以2a =，24b a ==.所以1sin 2ABC S ab C ∆==. 【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式的应用，意在考查学生对于三角公式的灵活运用. 19．已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于,M N 两点. （1）若直线l 的方程为3y x =+，求||||MF NF +的值；（2）若直线l 的斜率为2，l 与y 轴的交点为P ，且2MP NP =u u u r u u u r，求||MN .【答案】（1）18；（2）3. 【解析】（1）设出点的坐标联立直线与抛物线的方程，消去x ，由韦达定理可得1214y y +=，由抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等即可得结果.（2）可设直线l 的方程为2y x t =+，联立直线与抛物线的方程，消去y ，结合韦达定理以及2MP NP =u u u r u u u r可解出1323x =，2163x =，根据弦长公式12|||MN x x =-即可得结果. 【详解】（1）设()11,M x y ，()22,N x y .联立28,3,x y y x ⎧=⎨=+⎩整理得21490y y -+=，则1214y y +=.因为,M N 均在抛物线C 上，所以12||||418MF NF y y +=++=. （2）设(0,)P t ，则直线l 的方程为2y x t =+.联立28,2,x y y x t ⎧=⎨=+⎩整理得21680x x t --=，则1216x x +=，128x x t =-， 且216320t ∆=+>，即8t >-.因为2MP NP =u u u r u u u r，所以点N 为线段MP 的中点，所以122x x =.因为1216x x +=，所以1323x =，2163x =， 此时51289t -=，6489t =->-，故123216|||33MN x x ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，直线与抛物线相交时所得的弦长问题，注意抛物线性质的应用，属于中档题.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*123n n S a a n N=-∈，数列{}nb 满足14b =，()*21n n n b S na n N =++∈.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）13-=n n a ； （2）()25354n nn T +⨯-=. 【解析】（1）利用公式1n n n a S S -=-化简得到()*132,n n a a n n N -=≥∈，再利用14b =计算11a =得到数列{}n a 的通项公式. （2）由（1）可得13-=n n a ，则()133n n b n -=+⨯，再利用错位相减法计算前n 项和.【详解】（1）因为()*123n n S a a n N=-∈，所以()*111232,n n Sa a n n N --=-≥∈，所以()*12332,n n n a a a n n N-=-≥∈，即()*132,nn a a n n N -=≥∈.因为14b =，()*21n n n b S na n N =++∈，所以111214b S a =++=，所以11a =. 故数列{}n a 是以1为首项，以3为公比的等比数列，1113n n n a a q --==.（2）由（1）可得13-=n n a ，则()()121333n n n n n b S na n a n -=++=+=+⨯，从而()214536333n n T n -=+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，①()23343536333n n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯L ，②①-②得()212433333n nn T n --=+++⋅⋅⋅+-+⨯()335254333222n n nn n -+=+-+⨯=-⨯，故()25354n nn T +⨯-=. 【点睛】本题考查了求通项公式，利用错位相减法计算前n 项和，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB AD ⊥，//AD BC ，PA PB PD ==，2PE EC =，O 为BD 的中点.（1）证明：OP ⊥平面ABCD ；（2）若2AB =，243BC AD ==，4PA =，求二面角C BD E --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）25. 【解析】（1）取AD 的中点F ，连接,PF OF ，易得AD PF ⊥，OF AD ⊥，由线面垂直判定定理可得AD ⊥平面POF ，进而AD OP ⊥，再将PO BD ⊥与线面垂直判定定理相结合即可得结果.（2）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，可求出平面BDE 的一个法向量(3,1,4)m =-，取平面BCD 的一个法向量(0,0,1)n =r，根据图象结合||cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=〈〉=u r ru r r u r r 即可得结果. 【详解】（1）证明：取AD 的中点F ，连接,PF OF . 因为PA PD =，F 为AD 的中点，所以AD PF ⊥. 因为O 为BD 中点，F 为AD 的中点，所以//OF AB . 因为AB AD ⊥，所以OF AD ⊥，因为OF PF F ⋂=，OF ⊂平面POF ，PF ⊂平面POF ，所以AD ⊥平面POF . 又OP ⊂平面POF ，所以AD OP ⊥.因为PB PD =，O 为BD 的中点，所以PO BD ⊥.因为AD BD D =I ，AD ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以OP ⊥平面ABCD .（2）解：以O 为坐标原点，FO 所在直线为x 轴，平行AD 的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，∵PA PB PD ==， ∴122OA OB OD BD ====，∴3OP = 则(0,0,0)O ，(1,3,0)B ，(3,0)D -，(1,33,0)C ，(0,0,23)P ，因为2PE EC =，所以2,3E ⎛ ⎝⎭，故(2,BD =-u u u r，53DE ⎛= ⎝⎭u u u r .设平面BDE 的法向量(,,)m x y z =u r，则20503m BD x m DE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u vu u u v不妨取x =4)m =-平面BCD 的一个法向量(0,0,1)n =r，记二面角C BD E --的大小为θ，由图可知θ为锐角，则||cos |cos ,|5||||m n m n m n θ⋅=〈〉===u r ru r r ur r . 【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，利用向量法求二面角的大小，求出面的法向量是解题的关键，属于中档题.22．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为点A 在椭圆E 上，且OA 的（O 为坐标原点）. （1）求椭圆E 的标准方程.（2）已知动直线l 与圆O ：()2220x y tt +=>相切，且与椭圆E 交于P ，Q 两点.是否存在实数t ，使得OP OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在3t = 【解析】（1）根据焦距和椭圆的几何意义即可求出椭圆标准方程；（2）分别对斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，相切即圆心到直线距离等于半径，OP OQ ⊥即向量的数量积为零，进行代数运算即可求解.【详解】（1）因为OA，所以b =因为椭圆E的焦距为2c =，即c =所以2224a b c =+=，故椭圆E 的标准方程是22142x y +=；（2）①当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 与圆O 相切，所以直线l 的方程为x t =±，则直线l 与椭圆E的交点为,t ⎛ ⎝⎭或,t ⎛- ⎝⎭， 因为OP OQ ⊥，所以2212128204t x x y y t -+=-=，所以243t =，即3t =， ②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y .联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222214240k x kmx m +++-=， 则122421km x x k +=-+，21222421-=+m x x k ， 因为()11,P x y ，()22,Q x y 在直线l 上，所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，将122421km x x k +=-+，21222421-=+m x x k 代入上式，得()2222212222442121k m k m y y m k k -=-+++222421m k k -=+， 因为OP OQ ⊥，所以22212122224402121m m k x x y y k k --+=+=++，即()22341m k =+， 因为动直线l 与圆Ot =，所以222413m t k ==+，即3t =，综上，存在3t =，使得OP OQ ⊥. 【点睛】此题考查根据椭圆的几何意义求解椭圆方程，根据直线与曲线的位置关系结合韦达定理解决探索性问题.。
广东省中山市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(含答案解析)
广东省中山市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习广东省中山市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题（含答案解析）1 “”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案解析】 C先考虑充分性,当x>0时，，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立.再考虑必要性，当时，如果x>0时，成立，当x=1时取等.当x时，不等式不成立. 所以x>0.故选C.2 在等差数列{an}中，若的值是( )A. 15B. 16C. 17D. 18【答案解析】 C【分析】由已知直接利用等差数列的性质求解．【详解】在等差数列{an}中，由a1+a2+a3=3，得3a2=3，即a2=1，又a5=9，∴a8=2a5-a2=18-1=17．故选C．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础题．3 如图在一个120°的二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若，，，则CD的长为（）.A. 2B. 3C.D. 4【答案解析】 B【分析】由，两边平方后展开整理，即可求得，则的长可求．【详解】解：，，，，，，．，，故选：．【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4 已知等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若，则A. 4B. 10C. 16D. 32【答案解析】 C由得，，解得，从而，故选C.5 《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：AB是半圆O的直径，点D在半圆周上，于点C，设，，直接通过比较线段OD与线段CD的长度可以完成的“无字证明”为（）A.B.C.D.【答案解析】 D是半圆的半径，为圆的直径，，由射影定理可知，，在中，，，当与重合时，，所以，故选D.6 已知点A是双曲线（，）的右支上一点，F是右焦点，若（O是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线的离心率e为A. B.C. D.【答案解析】 D【分析】利用（是坐标原点）是等边三角形求出坐标，代入双曲线方程，可得关系，然后求解离心率即可.【详解】因为（是坐标原点）是等边三角形，所以由三角函数定义,得点A(ccos,csin),即A(c, c)，代入双曲线方程，可得b2c2−3a2c2=4a2b2,又c2=a2+b2,得e2=4+2,e=+1，故选D.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，从而可解决问题，其中，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7 如图，为了测量某湿地A、B两点之间的距离，观察者找到在同一条直线上的三点C、D、E.从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，（单位：百米），则A、B两点之间的距离为（）A. B. C. 3 D.【答案解析】 C【分析】在中根据三角形内角和为可求得，从而得到；在中利用正弦定理可求得；在中利用余弦定理可求得结果.【详解】在中，，，则在中，，，则由正弦定理得：在中，，，由余弦定理得：故选：【点睛】本题考查解三角形的实际应用中的距离类问题的求解，涉及到正弦定理、余弦定理的应用；关键是能够将所求长度放到三角形中，通过求解三角形中的边长和角度，通过余弦定理求得结果.8 设动点P到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得，则动点P的轨迹C的方程为（）A. B.C. D.【答案解析】 A【分析】首先利用余弦定理找出边角关系，再根据和的关系求出曲线方程.【详解】由题知在中，，根据余弦定理有，整理有，即，故点的是以，为焦点的双曲线，且，又因为，所以，所以双曲线中，，，故双曲线方程为.故选：A.【点睛】本题主要考查了求点的轨迹方程，双曲线的定义，余弦定理，属于基础题.9 （多选题）若，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案解析】 ABD【分析】首先根据求出，关系，再根据，关系判断选项是否正确.【详解】由题知，所以，对于A选项，由于在上单调递减，所以当时，可以得到，故A正确，对于B选项，因为，不等式两边同乘负数得，故B正确，对于C选项，因为，所以，故C错误，对于D选项，由于在上单调递增，所以当时，可以得到，故D正确，故选：ABD.【点睛】本题主要考查了根据函数单调性判断函数值的大小，不等式的基本性质，属于基础题.10 （多选题）在△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，则满足下面条件的三角形一定为直角三角形的是（）A. B.C D.【答案解析】 ACD【分析】根据选项的边角关系，结合正弦定理，判断选项是否为直角三角形.【详解】对于A选项，，利用正弦定理角化边有，整理得，有，因为，所以，故选项A正确，对于B选项，可知当三角形为等边三角形时，等式同样成立，故选项B错误，对于C选项，，根据半角公式有，，整理得，故选项C正确，对于D选项，，因为在任意的三角形中都有，所以两式相加可得，整理得，故选项D正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，属于基础题.11 （多选题）已知点和点，直线PM，PN的斜率乘积为常数，设点P的轨迹为C，下列说法正确的是（）A. 存在非零常数a，使C上所有点到两点(－4,0)，(4,0)距离之和为定值B. 存在非零常数a，使C上所有点到两点(0,－4)，(0,4)距离之和为定值C. 不存在非零常数a，使C上所有点到两点(－4,0)，(4,0)距离之差的绝对值为定值D. 不存在非零常数a，使C上所有点到两点(0,－4)，(0,4)距离之差的绝对值为定值【答案解析】 BD【分析】首先求出点的轨迹方程，然后分类讨论，即可判断出选项是否正确.【详解】设点坐标，因为直线，的斜率乘积为常数，所以，可知当，轨迹为圆，当，轨迹为椭圆，当，轨迹为双曲线，且焦点在轴上，对于A选项，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且焦点的距离为，由轨迹方程知，椭圆的长轴长为，长轴长小于焦距，这样的椭圆不存在，故A错误，对于B选项，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且焦点的距离为，由轨迹方程知，椭圆的长轴长为，短轴长为，有，故B正确，对于C选项，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线，且焦点的距离为，由轨迹方程知，双曲线的实轴长为，虚轴长为，有，故C错误，对于D选项，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线，但题中轨迹方程焦点在轴上，故满足条件的非零常数不存在，故D正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，双曲线的定义，点的轨迹方程，属于一般题.12 （多选题）意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列{an}满足：，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为Sn，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为cn，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案解析】 ABD【分析】根据题中递推公式，求出，，数列的前项和，数列的奇数项和，与选项对比即可. 【详解】对于A选项，因为斐波那契数列总满足，所以，，，类似的有，，累加得，由题知，故选项A正确，对于B选项，因为，，，类似的有，累加得，故选项B正确，对于C选项，因为，，，类似的有，累加得，故选项C错误，对于D选项，可知扇形面积，故，故选项D正确，故选：ABD.【点睛】本题考查了利用数列的递推公式求数列的性质，属于一般题.13 命题p:，是__________（填“全称命题”或“特称命题”），它是_________命题（填“真”或“假”）.【答案解析】特称命题；假【分析】根据题中命题判断命题类型，再根据命题是否成立判断命题的真假.【详解】由题知命题:，中条件为，故命题为特称命题，又因为方程中，故方程没有根，所以命题为假命题.故答案为：特称命题；假.【点睛】本题主要考查了特称命题的判断，命题真假的判断，属于基础题.14 已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则x ＝________.【答案解析】【分析】四点共面的向量表示的条件是三个向量的系数和为1，即可求出x的值.【详解】已知且M，A，B，C四点共面，则，解得x=【点睛】本题考查了空间向量的共面问题，向量共面定理的推论：对空间内任一点P与不共线的三点A,B,C共面的充要条件是，存在唯一的有序数组{x,y,z}，使得,且x+y+z=1，其中O为空间内任一点.15 已知直线经过抛物线的焦点，与C交于A、B两点，若，则p的值为__________．【答案解析】由得设则又直线经过抛物线的焦点解得又|即答案为.16 若数列{an}满足：，若数列{an}的前99项之和为，则__________．【答案解析】分析：知道数列的前99项之和为，故要求，可先求数列的前100项之和.由条件可得，，，以上式子相加可求得，再根据即可求得结果．详解：由可得以上各式相加可得．因为数列的前99项之和为，所以．点睛：（1）知道数列的前项之和,求．注意与之间的关系（2）数列求和问题，注意求和的方法有：裂项抵消、错位相减法、倒序相加、公式法．17 如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，，记,.（1）证明；（2）若，求的值.【答案解析】（1）根据两角和差的公式，以及诱导公式来得到证明．（2）试题分析：（1）由题意得，即可化简得证；（2）在中，由正弦定理得，在由（1）中，可求得方程，即可求解角的值.试题解析：（1）如图：∵，∴，即.（2）在中，由正弦定理得，∴由（1）得，∴，即，解得或∵，∴，所以.考点：正弦定理；三角恒等变换.18 两城市A和B相距20km，现计划在两城市外以AB为直径的半圆上选择一点C建造垃圾处理场，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A和城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理场对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理场对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4，对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理场建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065；（1）将y表示成x的函数；（2）判断上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理场对城A和城B的总影响度最小?若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由；【答案解析】（1）；（2）存在，该点到城市A的距离时，总影响度最小；【分析】（1）根据“垃圾处理场对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为4，对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为”，建立函数模型：，再根据当时，，求得即可. （2）总影响度最小，即为：求的最小值时的状态，令，将函数转化为：，再用基本不等式求解.【详解】（1）由题意得，又当时，，，（2），令，则，当且仅当，即时，等号成立，弧上存在一点，使建在此处的垃圾处理场对城和城的总影响度最小.【点睛】本题主要考查了函数模型的建立和应用，主要涉及了换元法，基本不等式和转化思想，属于中档题.19 已知数列{an}的前n项和，{bn}是等差数列，且.（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）令，求数列{cn}的前n项和.【答案解析】（1），；（2）.【分析】（1）首先根据题中数列的前项和求出数列的通项公式，然后根据列方程求解数列的首项和公差即可求出数列的通项公式；（2）首先代入数列，的通项公式求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求数列的前项和即可.【详解】（1）由题意知当时，，当时，，所以，设数列的公差为，由，即，可解得，，所以；（2）由（1）知，所以，，两式作差，得，所以.【点睛】本题主要考查了数列通项公式的求解，利用错位相减求数列前项和，属于一般题. 注意，对于等差乘等比的数列求和，常用的方法就是错位相减法.20 已知直线与焦点为F的抛物线相切.（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）联立和，利用即可求得，从而得到抛物线方程；（Ⅱ）设直线为，与抛物线联立后可利用韦达定理求得，进而得到；由中点坐标公式可求得中点；利用点到距离之和等于点到的距离的倍，可将所求距离变为关于的函数，求解函数的最小值即可得到所求距离之和的最小值.【详解】（Ⅰ）将与抛物线联立得：与相切，解得：抛物线的方程为：（Ⅱ）由题意知，直线斜率不为，可设直线方程为：联立得：设，，则线段中点设到直线距离分别为则当时，两点到直线的距离之和的最小值为：【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到根据直线与抛物线的位置关系求解抛物线方程、抛物线中的最值问题的求解等知识；求解最值的关键是能够将所求距离之和转变为中点到直线的距离，利用点到直线距离公式得到函数关系，利用函数最值的求解方法求得结果.21 在四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PO⊥底面ABCD，O，E 分别是AD，AB的中点，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线PB与平面POE所成角的正弦值；（III）在DC边上是否存在点F，使BF与PA所成角的余弦值为，若存在，确定点F 的位置；若不存在，说明理由.【答案解析】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.【分析】(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得平面，据此证明题中的结论即可；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的一个法向量，然后求解线面角的正弦值即可；(Ⅲ)假设满足题意的点存在，设，由直线与的方向向量得到关于的方程，解方程即可确定点F的位置.【详解】(Ⅰ)由菱形的性质可得：，结合三角形中位线的性质可知：，故，底面，底面，故，且，故平面，平面，(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知，，，以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则：，设平面的一个法向量为,则：，据此可得平面的一个法向量为，而，设直线与平面所成角为，则.(Ⅲ)由题意可得：，假设满足题意的点存在，设，，据此可得：，即：,从而点F的坐标为，据此可得：，结合题意有：，解得：.故点F为中点时满足题意.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理，线面角的向量求法，立体几何中的探索性问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22 已知圆O的方程为，若抛物线C过点，且以圆0的切线为准线，F为抛物线的焦点，点F的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过点B作直线L交曲线与P、Q两点，关于x轴对称，请问:直线是否过x轴上的定点，如果不过请说明理由，如果过定点，请求出定点E的坐标【答案解析】（1）（2）直线过轴上的定点分析：设直线和圆相切与点，过分别向直线m作垂线，垂足分别为，则，由抛物线定义可知，，所以，由椭圆的定义可知，点F的轨迹为以为焦点，以4为长轴的椭圆，则曲线的方程可求；(2)设，则直线的方程为令y=0，，设直线L：，则（*）联立直线和椭圆方程，可得的表达式，代入（*）式得：，即可证明直线过轴上的定点.详解：(1)设直线和圆相切与点，过分别向直线m作垂线，垂足分别为，则，由抛物线定义可知，，所以，由椭圆的定义可知，点F的轨迹为以为焦点，以4为长轴的椭圆，方程为.(2)设，则直线的方程为令y=0，，设直线L：，则（*）联立直线和椭圆方程，则，代入（*）式得：,所以直线过轴上的定点.点睛：本题考查利用定义求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．。
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷及答案解析
第 1 页 共 16 页2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小題给出的四个选项中，只有一只符合题目要求的.1．命题“∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3＜0”的否定是（ ） A ．∀x ≤0，x 2﹣4x +3＜0 B ．∃x 0≤0，x 02﹣4x 0+3＜0C ．∀x ＞0，x 2﹣4x +3≥0D ．∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3≥02．双曲线x 264−y 236=1的焦距是（ ）A ．10B ．20C ．2√7D ．4√73．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＝3a n ﹣1+2（n ≥2），则a 3＝（ ） A ．2B ．6C ．8D ．144．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =π6，B =π4，a =√6，则b ＝（ ） A ．2√3B ．3√62C ．3√3D ．2√65．已知点P （﹣2，4）在抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A ．（0，2） B ．（0，4）C ．（2，0）D ．（4，0）6．已知双曲线x 2m−y 22=1的焦点与椭圆x 24+y 2=1的焦点相同，则m ＝（ ）A ．1B ．3C ．4D ．57．“﹣1＜m ＜3”是“方程x 2m+1+y 27−m=1表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知双曲线x 216−y 248=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是该双曲线上的一点，且|PF 1|＝10，则|PF 2|＝（ ） A ．2或18B ．2C ．18D ．49．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin 2B ＝b cos A cos B ，则△ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定10．直线l ：y ＝kx +2与椭圆C ：x 22+y 2=1有公共点，则k 的取值范围是（ ）。
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试及答案
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试及答案一、单选题1．命题“00x ∃>，200430x x -+<”的否定是（ ） A ．0x ∀≤，200430x x -+< B ．0x ∀>，2430x x -+≥ C ．00x ∃≤，200430x x -+≥ D ．00x ∃>，200430x x -+≥【答案】B【解析】本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可． 【详解】解：命题“00x ∃>，200430x x -+<”是特称命题， 故其否定为：0x ∀>，2430x x -+≥ 故选：B 【点睛】本题考查命题的否定，正确解答本题，关键是掌握住命题的否定的定义及书写规则，对于两特殊命题特称命题与全称命题的否定，注意变换量词，属于基础题．2．双曲线2216436x y -=的焦距是（）A ．10B ．20C ．D ．【答案】B【解析】双曲线的方程得8a =，6b =，可求10c ==，即可求出焦距．解：双曲线2216436x y -=中8a =，6b =，10c ∴==， 220c ∴=．故选：B ． 【点睛】本题考查的重点是双曲线的几何性质，解题的关键是掌握c ，属于基础题．3．在数列{}n a 中，10a =，()1322n n a a n -=+≥，则3a =（ ） A ．2 B ．6 C ．8 D ．14【答案】C【解析】根据数列的递推公式求出2a ，即可求得3a . 【详解】解：因为10a =，132n n a a -=+， 所以21322a a =+=， 则32328a a =+=. 故选：C 【点睛】本题考查利用递推公式求数列的项的问题，属于基础题. 4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，6A π=，4B π=，a =b =（）A ．BC ．D ．【解析】直接利用正弦定理得到sin sin a Bb A=，代入数据计算得到答案. 【详解】根据正弦定理sin sin a b A B =，所以sin 21sin 2a Bb A===.故选：A 【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力. 5．已知点()2,4P -在抛物线()220y px p =>的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A ．()0,2 B ．()0,4 C ．()2,0 D ．()4,0【答案】C【解析】首先表示出抛物线的准线，根据点()2,4P -在抛物线的准线上，即可求出参数p ，即可求出抛物线的焦点. 【详解】 解：抛物线()220ypx p =>的准线为2p x =-因为()2,4P -在抛物线的准线上22p∴-=- 4p ∴=28y x ∴=故其焦点为()2,0故选：C 【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题.6．已知双曲线2212x y m -=的焦点与椭圆2214x y +=的焦点相同，则m =（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A【解析】由椭圆的方程可得焦点坐标，根据双曲线的性质即可得m 的值. 【详解】在椭圆2214x y +=中，2a =，1b =，c =即椭圆的焦点坐标为()，∴双曲线2212x y m -=的焦点为()，∴23m +=，解得1m =， 故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的焦点坐标以及双曲线的焦点坐标，属于中档题.7．“13m -<<”是“方程22117x y m m +=+-表示椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】方程22117x y m m +=+-表示椭圆解得13m -<<或37m <<，根据范围大小判断得到答案. 【详解】因为方程22117x ym m +=+-表示椭圆，所以107017m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得13m -<<或37m <<.故“13m -<<”是“方程22117x y m m +=+-表示椭圆”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.8．已知双曲线2211648x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是该双曲线上的一点，且110PF =，则2PF =（ ） A ．2或18 B ．2C ．18D ．4【答案】C【解析】首先根据1PF a c <+可判断出点P 在该双曲线左支上，再根据双曲线的定义即可得结果. 【详解】在双曲线2211648x y -=中，4a =，b =8c =，因为11012PF a c =<+=，所以点P 在该双曲线左支上，则212241018PF a PF =+=⨯+=，故选：C. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，判断出点P 的位置是解题的关键，属于中档题.9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a B b A B =，则ABC ∆的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】B【解析】根据正弦定理得到2sin sin sin cos cos A B B A B =，化简得到()sin cos 0B A B -+=，计算得到答案. 【详解】2sin cos cos a B b A B =，所以2sin sin sin cos cos A B B A B =，所以()sin sin sin cos cos 0B A B A B -=，即()sin cos 0B A B -+=. 因为0A π<<，0B π<<，所以2A B π+=，故ABC ∆是直角三角形. 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理和三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的综合应用. 10．直线l ：2y kx =+与椭圆C ：2212x y +=有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．22⎡-⎢⎣⎦B ．6,,22⎛⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭C ．⎡⎣D ．(),6,⎡-∞+∞⎣【答案】B【解析】联立直线与曲线方程消元，利用根的判别式求出参数的取值范围. 【详解】解：联立直线与椭圆方程得22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2212860k xkx +++=二次项系数2121k +≥因为直线l ：2y kx =+与椭圆C ：2212x y +=有公共点， ()()22841260k k ∴∆=-⨯+⨯≥解得k ≥或k ≤即6,,k ⎛⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭故选：B 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系求参数的取值范围，属于基础题.11．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最小值，且111210aa -<<，则使得0n S >成立的n 的最小值是（ ） A ．11 B ．12 C ．21 D ．22【答案】D【解析】由题意可知公差0d >，又111210a a -<<，故120a >，110a <，且11120a a +>，根据前n 项和公式及下标和公式，可得其220S >，21S 0<即可得解.【详解】解：由题意可得等差数列{}n a 的公差0d >.因为111210a a -<<，所以120a >，110a <，所以11120a a +>，则()()1121211122221102a a a a S +==+>，2111S 210a =<.故使得0n S >成立的n 的最小值是22.故选：D 【点睛】本题考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题.12．双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线l 交1l 于点P ，交2l 于点Q ，若12PQ F P =，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D ．3【答案】B【解析】设1l ：b y x a =-，2l ：by x a =，联立方程得到2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再计算2PQ b =，OQ =4224430c a c a -+=，计算得到答案.【详解】记O 为坐标原点.由题意可得()1,0F c -，不妨设1l ：by x a=-，2l ：b y x a= 则直线l ：()a y x c b =+.联立()a y x c b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2a x cab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭故1PF b =，OP a =.因为12PQ F P =，所以12PQ PF =所以2PQ b =，OQ =22221cos QOF ∠=.因为2tan b QOF a ∠=，所以2cos aQOF c∠=， 22220ac=，整理得4224430c a c a -+=，则42430e e -+=解得e =故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的离心率问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.二、填空题13．椭圆224624x y +=的短轴长是______. 【答案】4【解析】椭圆标准方程为22164x y +=，再直接利用椭圆的短轴公式得到答案. 【详解】 椭圆方程为22164x y +=，则2b =，则短轴长是24b =. 故答案为：4 【点睛】本题考查了椭圆的短轴长，属于简单题.14．已知0a b >>，且2a b +=，则515a b +的最小值是______. 【答案】185【解析】变形得到()51151525a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开利用均值不等式得到答案. 【详解】因为2a b +=，所以()511511526525255b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0a b >>，所以525b a a b +≥，当且仅当53a =，13b =时，等号成立所以511261825255a b ⎛⎫+≥⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：185【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，变换()51151525a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭是解题的关键. 15．从某建筑物的正南方向的A 处测得该建筑物的顶部C 的仰角是45︒，从该建筑物的北偏东30的B 处测得该建筑物的顶部C 的仰角是30，A ，B 之间的距离是35米，则该建筑物的高为______米. 【答案】【解析】设该建筑物的高OC h =（O 为该建筑物的底部），由题意可得OA h =，OB =，利用余弦定理求得h 的值.【详解】解：设该建筑物的高OC h =（O 为该建筑物的底部），由题意可得OA h =，OB =，35AB =，150AOB ∠=︒，则2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-∠，即2222353h h ⎛=+-⨯ ⎝⎭，解得h =【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题. 16．已知抛物线C ：24y x =，点Q 在x 轴上，直线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点，若直线QM与直线QN 的斜率互为相反数，则点Q 的坐标是______. 【答案】()2,0-【解析】设出()22121212,,,,4,04,y y M y N y y y Q a ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点，即,,M N P 三点共线，//PM PN ，根据直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，MQ NQ k k =，即可求出Q 点坐标. 【详解】考虑直线l ：()2240m x y m ---+=，即()2240m x x y ---+=， 所以直线恒过定点()2,0P ，设()22121212,,,,4,04,y y M y N y y y Q a ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 直线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点， 即,,M N P 三点共线，//PM PN ，2212122,,2,44y y PM y PN y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 22122122044y y y y ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2212212122044y y y y y y --+= 化简得：()1212204y y y y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭所以128y y =-，直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，1222124,4MQ NQ y y k k yy a a =+-=-即222112044y y y a y a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立 22121212044y y y y ay ay -+-= ()121204y y a y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则1204y y a -= 所以1224y y a ==- 即点Q 的坐标是 ()2,0- 故答案为：()2,0- 【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，关键在于合理使用点的坐标关系将题目所给条件转化为代数运算求解参数.三、解答题17．已知p ：函数()()0f x ax m a =-≠在区间[)1,+∞上单调递增，q ：关于x 的不等式20x mx m ++≤的解集非空.（1）当3a =时，若p 为真命题，求m 的取值范围； （2）当0a >时，若p 为假命题是q 为真命题的充分不必要条件，求a 的取值范围.【答案】（1）(],3-∞； （2）[)4,+∞.【解析】（1）当3a =时，()3f x x m =-，根据单调性得到13m≤，计算得到答案.（2）p 为假命题，则m a >；q 为真命题，则0m ≤或4m ≥；根据充分不必要条件得到范围大小关系得到答案. 【详解】（1）当3a =时，()3f x x m =-.因为p 为真命题，所以13m ≤，即3m ≤，故m 的取值范围是(],3-∞. （2）因为p 为假命题，所以1ma>，因为0a >，所以m a >.记满足p 为假命题的m 的取值集合为(),A a =+∞. 因为q 为真命题，所以240m m -≥，解得0m ≤或4m ≥. 记满足q 为真命题的m 的取值集合为(][),04,B =-∞+∞. 因为p 为假命题是q 为真命题的充分不必要条件 所以集合A 是集合B 的真子集，则4a ≥.故a 的取值范围是[)4,+∞.【点睛】本题考查了命题的真假判断，充分不必要条件，根据充分不必要条件得到范围的大小关系是解题的关键.18．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b a =，221c C a =+. （1）求C ； （2）若c =ABC ∆的面积.【答案】（1）23C π=； （2）【解析】（1）利用余弦定理得到22254cos c a a C =-，再根据221c C a=+整理得到1sin 62C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，计算得到答案.（2）根据（1）代入数据计算得到c =2a =，24b a ==.，代入面积公式计算得到答案. 【详解】（1）因为2b a =，所以222222cos 54cos c a b ab C a a C =+-=-.所以2254cos 1c C C a =-=+，整理得1sin 62C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 又因为()0,C π∈，所以23C π=.（2）由（1）可知23C π=，22254cos c a a C =-，又因为c = 所以2a =，24b a ==. 所以1sin 232ABC S ab C ∆.【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式的应用，意在考查学生对于三角公式的灵活运用. 19．已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于,M N 两点.（1）若直线l 的方程为3yx，求||||MF NF +的值；（2）若直线l 的斜率为2，l 与y 轴的交点为P ，且2MP NP =，求||MN .【答案】（1）18；（2【解析】（1）设出点的坐标联立直线与抛物线的方程，消去x ，由韦达定理可得1214y y +=，由抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等即可得结果.（2）可设直线l 的方程为2y x t =+，联立直线与抛物线的方程，消去y ，结合韦达定理以及2MP NP =可解出1323x =，2163x =，根据弦长公式12|||MN x x =-即可得结果.【详解】（1）设()11,M x y ，()22,N x y .联立28,3,x y y x ⎧=⎨=+⎩整理得21490y y -+=，则1214y y +=.因为,M N 均在抛物线C 上，所以12||||418MF NF y y +=++=. （2）设(0,)P t ，则直线l 的方程为2y x t =+.联立28,2,x y y x t ⎧=⎨=+⎩整理得21680x x t --=，则1216x x +=，128x x t =-， 且216320t ∆=+>，即8t >-.因为2MP NP =，所以点N 为线段MP 的中点，所以122x x =. 因为1216x x +=，所以1323x =，2163x =， 此时51289t -=，6489t =->-，故123216|||333MN x x ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，直线与抛物线相交时所得的弦长问题，注意抛物线性质的应用，属于中档题.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*123n n S a a n N =-∈，数列{}n b 满足14b =，()*21n n n b S na n N =++∈.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和nT .【答案】（1）13-=n na； （2）()25354n nn T +⨯-=.【解析】（1）利用公式1n n n a S S -=-化简得到()*132,n n a a n n N -=≥∈，再利用14b =计算11a =得到数列{}n a 的通项公式.（2）由（1）可得13-=n na ，则()133n n b n -=+⨯，再利用错位相减法计算前n 项和. 【详解】（1）因为()*123n n S a a n N =-∈，所以()*111232,n n S a a n n N --=-≥∈， 所以()*12332,n n n a a a n n N -=-≥∈，即()*132,n n a a n n N -=≥∈. 因为14b =，()*21n n n b S na n N =++∈，所以111214b S a =++=，所以11a =.故数列{}n a 是以1为首项，以3为公比的等比数列，1113n n n a a q --==.（2）由（1）可得13-=n na，则()()121333n n n n n b S na n a n -=++=+=+⨯，从而()214536333n n T n -=+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，① ()23343536333n n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯，②①-②得()212433333n nn T n --=+++⋅⋅⋅+-+⨯()335254333222n n nn n -+=+-+⨯=-⨯， 故()25354n nn T +⨯-=.【点睛】本题考查了求通项公式，利用错位相减法计算前n 项和，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB AD ⊥，//AD BC ，PA PB PD ==，2PE EC =，O为BD 的中点.（1）证明：OP ⊥平面ABCD ； （2）若2AB =，243BC AD ==4PA =，求二面角C BD E --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）25.【解析】（1）取AD 的中点F ，连接,PF OF ，易得AD PF ⊥，OF AD ⊥，由线面垂直判定定理可得AD ⊥平面POF ，进而AD OP ⊥，再将PO BD ⊥与线面垂直判定定理相结合即可得结果.（2）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，可求出平面BDE 的一个法向量(3,1,4)m =-，取平面BCD 的一个法向量(0,0,1)n =，根据图象结合||cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=〈〉=即可得结果. 【详解】（1）证明：取AD 的中点F ，连接,PF OF . 因为PA PD =，F 为AD 的中点，所以AD PF ⊥. 因为O 为BD 中点，F 为AD 的中点，所以//OF AB .因为AB AD ⊥，所以OF AD ⊥，因为OF PF F ⋂=，OF ⊂平面POF ，PF ⊂平面POF ，所以AD ⊥平面POF .又OP ⊂平面POF ，所以AD OP ⊥.因为PB PD =，O 为BD 的中点，所以PO BD ⊥. 因为ADBD D =，AD ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD .（2）解：以O 为坐标原点，FO 所在直线为x 轴，平行AD的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，∵PA PB PD ==， ∴122OA OB OD BD ====，∴3OP =则(0,0,0)O ，(1,3,0)B ，(3,0)D -，(1,33,0)C ，(0,0,3)P ，因为2PE EC =，所以223,23,3E ⎛ ⎝⎭，故(2,3,0)BD =-，5233,33DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.设平面BDE 的法向量(,,)m x y z =，则22305233033m BD x m DE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩不妨取3x =3,1,4)m =-平面BCD 的一个法向量(0,0,1)n =，记二面角C BD E --的大小为θ，由图可知θ为锐角，则||cos |cos ,|||||25m n m n m n θ⋅=〈〉===【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，利用向量法求二面角的大小，求出面的法向量是解题的关键，属于中档题.22．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为，点A 在椭圆E 上，且OA O 为坐标原点）.（1）求椭圆E 的标准方程.（2）已知动直线l 与圆O ：()2220xy t t +=>相切，且与椭圆E交于P ，Q 两点.是否存在实数t ，使得OP OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在3t =【解析】（1）根据焦距和椭圆的几何意义即可求出椭圆标准方程；（2）分别对斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，相切即圆心到直线距离等于半径，OP OQ ⊥即向量的数量积为零，进行代数运算即可求解. 【详解】（1）因为OA 的最小值是，所以b =因为椭圆E 的焦距为2c =，即c =所以2224a b c =+=，故椭圆E 的标准方程是22142x y +=；（2）①当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 与圆O 相切，所以直线l 的方程为x t =±，则直线l 与椭圆E的交点为,2t ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭或,2t ⎛-± ⎪⎝⎭， 因为OP OQ ⊥，所以2212128204t x x y y t -+=-=，所以243t =，即t =，②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y .联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222214240k x kmx m +++-=，则122421km x x k +=-+，21222421-=+m x x k ，因为()11,P x y ，()22,Q x y 在直线l 上，所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，将122421km x x k +=-+，21222421-=+m x x k 代入上式，得()2222212222442121k m k m y y m k k -=-+++222421m k k -=+，因为OP OQ ⊥，所以22212122224402121m m k x x y y k k --+=+=++，即()22341m k =+，因为动直线l 与圆Ot =，所以222413m t k ==+，即3t =，综上，存在t =，使得OP OQ ⊥.【点睛】此题考查根据椭圆的几何意义求解椭圆方程，根据直线与曲线的位置关系结合韦达定理解决探索性问题.第 21 页共 21 页。
2019-2020学年广东省中山市高三(上)期末数学试卷(理科)附答案解析
2019-2020学年广东省中山市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合A＝{x|x2﹣5x+6≥0}，B＝{x|2x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，2]∪[3，+∞）B．（）C．（]D．（，2]∪[3，+∞）2．（5分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z+3|＝（）A．B．C．D．53．（5分）计算sin133°cos197°+cos47°cos73°的结果为（）A．B．C．D．﹣4．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是（）A．B．C．D．5．（5分）若a＝log63，b＝log105，c＝log147，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞b＞a6．（5分）已知x，y满足不等式组，则z＝|x+y﹣1|的最小值为（）A．2B．C．D．17．（5分）电路从A到B上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率为，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A到B连通的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）有5名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（）A．8种B．16种C．32种D．48种9．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（{A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最小正周期是π，若f（α）＝1，则f（α+）＝（）A．﹣2B．﹣C．1D．﹣110．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的堑堵，AC⊥BC，若A1A＝AB＝2，当阳马B﹣A1ACC1体积最大时，则堑堵ABC﹣A1B1C1的外接球的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，若S2+a2＝S3﹣3，则a4+3a2的最小值为（）A．9B．12C．16D．1812．（5分）若关于x的方程有三个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3，其中m∈R，e＝2.718为自然对数的底数，则的值为（）A．e B．1﹣m C．1+m D．1二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4，a10是方程x2﹣8x+1＝0的两根，则：S13＝．14．（5分）已知向量与的夹角是，且||＝|+|，则向量与的夹角是．15．（5分）已知（x2+1）（x﹣2）9＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a11（x﹣1）11，则a1+a2+a3+…+a11的值为．16．（5分）已知函数，若有f（a）+f（a﹣2）＞4，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设S n为数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，n n+1＝2a n+1．（1）证明{a n+1}为等比数列．（2）判断n，a n，S n是否成等差数列？并说明理由．18．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（1）若cos A：cos B：cos C＝2：2：7，求sin B；（2）若sin A：cos B：tan A＝2：2：7，试判断△ABC的形状．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，二面角B﹣AD﹣C是直二面角，AB⊥AC，AB ＝3，AD＝DF＝FC＝．（1）求证：AB⊥平面ACFD；（2）求二面角F﹣BE﹣D的平面角的余弦值．20．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ex2+ax（a∈R）．（1）若f（x）在（0，1）上单调，求a的取值范围．（2）若y＝f（x）+exlnx的图象恒在x轴上方，求a的取值范围．21．（12分）某种零件的质量指标值为整数，指标值为8时称为合格品，指标值为7或者9时称为准合格品，指标值为6或10时称为废品，某单位拥有一台制造该零件的机器，为了了解机器性能，随机抽取了该机器制造的100个零件，不同的质量指标值对应的零件个数如表所示；质量指标值678910零件个数61860124使用该机器制造的一个零件成本为5元，合格品可以以每个X元的价格出售给批发商，准合格品与废品无法岀售（1）估计该机器制造零件的质量指标值的平均数；（2）若该单位接到一张订单，需要该零件2100个，为使此次交易获利达到1400元，估计x的最小值；（3）该单位引进了一台加工设备，每个零件花费2元可以被加工一次，加工结果会等可能出现以下三种情况：①质量指标值增加1，②质量指标值不变，③质量指标值减少1．己知每个零件最多可被加工一次，且该单位计划将所有准合格品逐一加工，在（2）的条件下，估计x的最小值（精确到0.01）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线C3的极坐标方程为ρ＝﹣2sinθ．（1）求出曲线C2，C3的参数方程；（2）若P，Q分别是曲线C2，C3上的动点，求|PQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23．已知a+b+c＝3，且a、b、c都是正数．（1）求证；a2+b2+c2≥3；（2）求证：++≥．2019-2020学年广东省中山市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣5x+6≥0}＝{x|x≤2或x≥3}，B＝{x|2x﹣1＞0}＝{x|x＞}，则A∩B＝{x|＜x≤2或x≥3}＝（，2]∪[3，+∞）．故选：D．2．【解答】解：由，得z•i＝（1﹣i）（3+2i）＝5﹣i，∴z＝，则z+3＝2﹣5i，∴|z+3|＝|2﹣5i|＝．故选：A．3．【解答】解：sin133°cos197°+cos47°cos73°＝sin47°（﹣cos17°）+cos47°sin17°＝sin（17°﹣47°）＝sin（﹣30°）＝﹣，故选：B．4．【解答】解：对于A，AB为体对角线，MN，MQ，NQ分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于面对角线，连接另一条面对角线，由三垂线定理可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得AB垂直于平面MNQ；对于B，AB为上底面的对角线，显然AB垂直于MN，与AB相对的下底面的面对角线平行，且与直线NQ垂直，可得AB垂直于平面MNQ；对于C，AB为前面的面对角线，显然AB垂直于MN，QN在下底面且与棱平行，此棱垂直于AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ；对于D，AB为上底面的对角线，MN平行于前面的一条对角线，此对角线与AB所成角为60°，则AB不垂直于平面MNQ．故选：D．5．【解答】解：令f（x）＝＝1﹣log x2＝1﹣在x＞2时单调递增，∴log63＜log105＜log147，则a＜b＜c，故选：D．6．【解答】解：由x，y满足不等式组，作出可行域如图，由可行域可知A（5，3），B（2，0），u＝x+y﹣1的最大值为：7，最小值为：1，则z＝|x+y﹣1|的最小值为：1．故选：D．7．【解答】解：∵电路从A到B上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率为，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A到B连通的概率是：P＝（1﹣）×[1﹣（1﹣）（1﹣）]＝．故选：B．8．【解答】解：根据题意，假设有1、2、3、4、5，共5个位置，分3步进行分析：①，甲必须站在正中间，将甲安排在3号位置，②，在1、2、4、5中一个位置任选1个，安排乙，有4种情况，由于乙、丙两位同学不能相邻，则丙有2种安排方法，③，将剩下的2名同学全排列，安排在剩下的2个位置，有A22＝2种安排方法，则有1×4×2×2＝16种安排方法；故选：B．9．【解答】解：因为函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的周期为T＝＝π，∴ω＝2，∴f（x）＝A sin（2x+φ），又f（α）＝A sin（2α+φ）＝1，∴f（α+）＝A sin[2（α+）+φ]＝A sin（2α+3π+φ）＝﹣A sin（2α+φ）＝﹣1．故选：D．10．【解答】解：设AC＝x，BC＝y，由题意得x＞0，y＞0，x2+y2＝4，∵当阳马B﹣A1ACC1体积最大，∴V＝×2x×y＝xy取最大值，∵xy≤＝2，当且仅当x＝y＝时，取等号，∴当阳马B﹣A1ACC1体积最大时，AC＝BC＝，以CA、CB、CC1为棱构造长方体，则这个长方体的外接球就是堑堵ABC﹣A1B1C1的外接球，∴堑堵ABC﹣A1B1C1的外接球的半径R＝＝，∴堑堵ABC﹣A1B1C1的外接球的体积V＝＝．故选：B．11．【解答】解：根据题意，等比数列{a n}中，若S2+a2＝S3﹣3，则S3﹣S2＝a2+3，即a3﹣a2＝3，变形可得：a2（q﹣1）＝3，即a2＝，必有q＞1，又由a4+3a2＝a2q2+3a2＝a2（q2+3）＝×（q2+3）＝＝3（q﹣1）++6，又由q＞1，则3（q﹣1）++6≥2×+6＝18，当且仅当q＝3时等号成立；则a4+3a2的最小值为18；故选：D．12．【解答】解：由方程⇒，令，则有t++m＝0．⇒t2+（m﹣1）t+1′﹣m＝0，令函数g（x）＝，，∴g（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，其图象如下，要使关于x的方程有3个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3结合图象可得关于t的方程t2+（m﹣1）t+1′﹣m＝0一定有两个实根t1，t2，（t1＜0＜t2）且，∴＝[（t1﹣1）（t2﹣1）]2．（t1﹣1）（t2﹣1）＝t1t2﹣（t1+t2）+1＝（1﹣m）﹣（1﹣m）+1＝1．∴＝[（t1﹣1）（t2﹣1）]2＝1．二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．【解答】解：∵a4，a10是方程x2﹣8x+1＝0的两根，∴a4+a10＝8，∴a4+a10＝2a7＝8∴S13＝13a7＝52，故答案为：52．14．【解答】解：向量与的夹角是，且||＝|+|，∴＝+2•+，∴2•+＝0，即2||×||×cos+＝0，化简得||＝||，∴cosθ＝＝＝＝﹣，∴向量与+的夹角是120°．故答案为：120°．15．【解答】解：∵已知，∴令x＝1，可得a0＝﹣2，再令x＝2，可得0＝﹣2+a1+a2+…+a11，求得a1+a2+…+a11＝2，故答案为：2．16．【解答】解：令函数，满足g（﹣x）＝﹣g（x），为奇函数，故f（a）+f（a﹣2）＞4，可化为：g（a）+g（a﹣2）＞0，即g（a）＞﹣g（a﹣2）＝g（2﹣a），又由＝1﹣为增函数，解得：a∈（1，+∞）故答案为：（1，+∞）三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（1）证明：a2＝3，a n+1＝2a n+1，可得a1＝1，即有a n+1+1＝2（a n+1），则{a n+1}为首项为1，公比为2的等比数列；（2）由（1）可得a n+1＝2n，即有a n＝2n﹣1，S n＝﹣n＝2n+1﹣2﹣n，由n+S n﹣2a n＝n+2n+1﹣2﹣n﹣2（2n﹣1）＝0，可得n，a n，S n成等差数列．18．【解答】解：（1）由题意可得，设cos A＝cos B＝2x，cos C＝7x，且C＜A＝B＜，cos C＝cos（π﹣2A）＝﹣cos2A＝sin2A﹣cos2A，可得1﹣4x2﹣4x2＝7x，解得x＝，可得cos A＝cos B＝，可得sin B＝＝，（2）由题意可得，设sin A＝cos B＝2x，tan A＝7x，且A，B均小于，由sin A＝tan A•cos A，可得2x＝7x•，解得x＝，可得sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，可得cos C＝cos A cos B﹣sin A sin B＝0，可得C为直角，△ABC为直角三角形．19．【解答】证明：（1）连接CD，在等腰梯形ACFD中，过D作DG⊥AC交AC于点G，因为AD＝DF＝FC＝＝1，所以AG＝，DG＝，CG＝，所以CD＝，所以AD2+CD2＝AC2，即CD⊥AD，（2分）又二面角B﹣AD﹣C是直二面角，CD⊂平面ACFD，所以CD⊥平面ABED，（4分）又AB⊂平面ABED，所以AB⊥CD，又因为AB⊥AC，AC∩CD＝C，AC、CD⊂平面ACFD，所以AB⊥平面ACFD．（6分）解：（2）如图，在平面ACFD内，过点A作AH⊥AC，由（1）可知AB⊥AH，以A为原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A ﹣xyz．则B（3，0，0），D（0，），F（0，），C（0，2，0），（7分）所以＝（﹣3，2，0），＝（0，﹣），设是平面FBE的一个法向量，则，取x＝2，得＝（2，3，），（9分）由（1）可知CD⊥平面BED，所以＝（0，﹣，）是平面BED的一个法向量，（10分）所以cos＜＞＝＝﹣＝﹣，（11分）又二面角F﹣BE﹣D的平面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的平面角的余弦值为．（12分）20．【解答】解：（1）f′（x）＝e x﹣2ex+a，由f（x）在（0，1）上单调，知f′（x）＝e x﹣2ex+a在（0，1）上大于等于0或小于等于0恒成立，令g（x）＝e x﹣2ex+a，则g′（x）＝e x﹣2e，令g′（x）＝0，解得x＝ln（2e），当0＜x＜1＜ln（2e）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减，∴由题意得，g（1）≥0或g（0）≤0，解得a≤﹣1或a≥e，∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[e，+∞）；（2）y＝e x﹣ex2+ax+exlnx的图象恒在x轴上方，即当x∈（0，+∞）时，y＞0恒成立，亦即在（0，+∞）上恒成立，令，则，令h′（x）＞0，解得0＜x＜1；令h′（x）＜0，解得x＞1，∴函数h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）在x＝1处取得最大值，最大值为h（1）＝0，∴实数a的取值范围为（0，+∞）．21．【解答】解：（1）设机器制造零件的质量指标的平均数为，由题意得：＝（6×6+7×18+8×60+9×12+10×4）×＝7.9．∴机器制造零件的质量指标值的平均数为7.9个．（2）一个零件成本为5元，以每个X元的价格出售，得到：2100x﹣（2100+）≥1400，解得x≥9，∴x的最小值为9．（2）依题意得准合格品加工后有能合格，用于销售，设为满足订单需制作y个零件，则（）y＝2100，解得y＝3000，故要使获利达到1400，需要2100x﹣y•5﹣≥1400，解得x≥≈8.67．∴x的最小值为8.67．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．【解答】解：（1）曲线经过伸缩变换后得到曲线C2，∴曲线C2的方程为+y2＝1∴曲线C2的参数方程为，（α为参数）．∵曲线C3的极坐标方程为ρ＝﹣2sinθ．即ρ2＝﹣2ρsinθ，∴曲线C3的直角坐标方程为x2+y2＝﹣2y，即x2+（y+1）2＝1，∴曲线C3的参数方程为，（β为参数）．（2）设P（2cosα，sinα），则P到曲线C3的圆心（0，﹣1）的距离：d＝＝．∵sinα∈[﹣1，1]，∴当sinα＝时，d max＝．∴|PQ|max＝d max+r＝+1＝．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23．【解答】证明：（1）∵a+b+c＝3，且a、b、c都是正数，∴（a+b+c）2＝9，∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝9，又a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，∴2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ac），∴a2+b2+c2+2（a2+b2+c2）≥9，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，∴a2+b2+c2≥3．（2）∵a+b+c＝3，且a、b、c都是正数，∴++＝＝，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，∴++＞．。