重庆一中2019年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案

高一上期期末考试

数 学 试 题 卷

数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。

1.设集合{|20}A x x =+=,集合2

{|40}B x x =-=,则A

B =( )

A.{2}-

B.{2}

C.{2,2}-

D.?

2.已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时,21

()f x x x =+

,则(1)f -=（ ）

A.2

B.-2

C.0

D.1

3.已知α是第四象限的角，若

3

cos 5α=，则tan α=（ ） A.34 B.34- C.43 D. 43-

4.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA CD FB ++等于( ) A ．0 B.BE C.AD D.CF

5.函数

()33x

f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是（ ）

A.3

B.2

C.1

D.0

6.已知函数

()()sin (0,0,0)

2f x A x A ω?πω?=+>><<的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是（ ）

A.

()()2sin 23f x x π=+ B. ()()

2sin 3f x x π

=+ C.

()()2sin 26f x x π=+ D ．()()

2sin 6f x x π

=+ 7.下列函数中，既是偶函数，又在区间

()1,2内是增函数的为 （ ）

A.cos y x =

B. ln ||y x =

C.

2x x

e e y --=

D.tan 2y x = 8.设,cos55tan 35,sin 23b c a ?=?==?，则（ ）

O

y

x

7π6

2π3

2

-2

A ．a b c >>

B ．b c a >>

C ．c b a >>

D ．c a b >>

9. （原创）定义域为R 的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，

32

1()()2x f x -=-，则5()2f -=（ ） A.14 B.1

8

C.12-

D.1

4-

10.（原创） 函数cos 2

()32cos sin x f x x x -=

-+的值域是（ ）

A. 322,???

B. 233,?-??

C. 332???

D. 322,???

二.填空题.(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)

11.

5tan 6π=

. 12.（原创）如右下图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点M 是线段OD 的中点，设,AB a AD b ==，则AM = .（结果用,a b 表示）

13. 1

21

(lg 25lg )1004--÷=

．

14.

()

13t sin an 5010?+?=

.

15.（原创） 设()1g x x =-，已知222()(1),(2)()

()()(),(2)()g x g x g x g x f x g x g x g x g x --≤?=?

->?，若关于x 的方

程()f x m =恰有三个互不相等的实根123,,x x x ，则222

123x x x ++的取值范围

是 .

三.解答题.( 本大题共6小题,共75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 16. （原创）（本小题13分）已知2παπ

<<，

3

1tan tan 2αα-

=-.

（Ⅰ）求tan α的值；

（Ⅱ）求3cos()cos()

2

sin()

2παπαπα+---的值.

17.（原创）（本小题13分）平面内给定三个向量(3,2)a =，(1,2)b =-，(4,1)c =．

(Ⅰ)设向量

5788d a b λλ

=

+，且||10d =，求向量d 的坐标；

(Ⅱ) 若()a kc +//(2)b a -，求实数k 的值．

18. (原创)（本小题13分）已知函数

()(0,1)x

f x a a a ≠=>在区间[1,2]-上的最大值是最小值的8倍.

(Ⅰ)求a 的值；

(Ⅱ)当1a >时，解不等式

2

log (22)log (1)a a a x x +<+.

19. （原创）（本小题12分）已知函数()2()4sin(),()cos (0)

3g x x h x x πωωπω=+=+>.

（Ⅰ）当2ω=时，把()y g x =的图像向右平移6π

个单位得到函数()y p x =的图像，求函数()y p x =的图像的对称中心坐标；

（Ⅱ）设()()()f x g x h

x =，若()f x 的图象与直线2y =的相邻两个交点之间的距离为

π，求ω的值，并求函数()f x 的单调递增区间．

20.（原创） （本小题12分）已知函数

2()log (41)x f x mx

=++.

(Ⅰ)若()f x 是偶函数，求实数m 的值；

(Ⅱ)当0m >时，关于x 的方程

()

242148(log )2log 41

f x x m ++-=

在区间上恰有

两个不同的实数解，求m 的范围.

21.（原创）（本小题13分）已知定义在(,1)

(1,)-∞-+∞的奇函数满足：①(4)1f =；②对

任意2x >均有()0f x >；③对任意1,1x y >>，均有()()(2)f x f y f xy x y +=--+. (Ⅰ)求(2)f 的值；

(Ⅱ)证明：()f x 在(1,)+∞上为增函数； (Ⅲ)是否存在实数k ，使得

()sin 2(4)(sin cos )2

f k k θθθ--++<对任意的[0,]θπ∈恒

成立？若存在，求出k 的范围；若不存在说明理由. 李长鸿 王中苏

2015年重庆一中高2017级高一上期期末考试 数学参考答案 2015.1 一.选择题：1-5：ABDAC:6——10：BBADA

10. 解：

cos 22cos ()32cos sin 1(64cos 2sin )

2x x f x x x x x --=

=-+-+

2

2

2222(2cos )2(2cos )1(2cos )(1sin )[(44cos cos )(12sin sin )]2x x x x x x x x --==-

-++-++++2

2

1sin 1()2cos x =++-令

1sin 2cos x m x +=-，则

1sin 2cos x m m x

+=-，

sin cos 21

x m x m +=-，

21)2n(1m x m ?=+-+得

221)sin(1x m m ?-=++，由2

11m ≤+解得

403m ≤≤，22()1f x m =+单增，值域为322,???

二.填空题.(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)

11.3；12.1344a b +；13. 20；14.1；15. 63?

-??.

15.解：

222

2

21122(2),2,0

()21211(1),,0x x x x x x x f x x x x x x x x -≤-----≤??==??->-----+>??，绘出简图 若方程()f x m =有三个根，则

1

04m <<，且当0x >时方程可化为20x x m -+-=，易知，231x x +=，23x x m =；当0x ≤时方程可化为2

20x x m --=，可解得1118m x -+=

记

y =22222

12312323121818()212m m x x x x x x x x m -+++++=++-=+-31918288m m =-++

令t =，则

2312116816y t t =--+

，求得y ?

∈?? 三.解答题.( 本大题共6小题,共75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 16. 解：(Ⅰ)令tan x α=，则132x x -

=-，22320x x +-=，解得12x =或2x =-，

2

παπ

<<，tan 0α<，故tan 2α=-；

（Ⅱ）3cos()cos()

sin cos 2tan 1211

cos sin()

2παπααααπαα+--+==+=-+=--

17. 解：(Ⅰ)

571510714,,(,3)885888d a b

λλλλλλλλ????=

+=+-= ? ?????

2||d λ=+=1±，(1,3)d =或(1,3)d =-- (Ⅱ) (34,2),2(5,2)a kc k k b a +=++-=-，由题得(34)(5)(2)02k k ?+--?+=，解

得

1613k =- 18.解：(Ⅰ)当1a >时，

2

1

max min (),()f x a f x a -==，则22

1

8a a a -==，解得2a =；

当01a <<时，

1

2

max min (),()f x a f x a -==，则13

2

8a a a --==，解得

12a =； (Ⅱ) 当1a >时，由前知2a =，不等式

2

log (22)log (1)a a a x x +<+即为222log (42)log (1)x x +<+

2

24202421230x x x x x x +>>-??????+<+-->??

2

13x x >-???<->?或得解集为(2,1)(3,)--+∞.

19.

解

：

（

Ⅰ

）

当

2

ω=时

，

2()4sin(2)3g x x π=+2()4sin(2)

4sin(2)

6333g x x x ππππ-=-+=+

()4sin(2)3p x x π=+，令23x k ππ+=2k π+，中心为,0()62k k Z ππ??-+

∈ ???；

（Ⅱ）

2()4sin()(cos )3f x x x πωω=+

-14sin ()cos cos 2x x x ωωω?=-?-+??

2

2sin cos x x x ωωω=

-sin 2cos2)x x ωω=-+

2sin(2)3x πω=--由题意，T π=，2,12ππωω∴==

令

23t x π

=-是x

的增函数，则需2sin y t =是t 的增函数 故

222232k x k πππππ-≤-≤+，522266k x k ππππ-≤≤+，

51212k x k ππ

ππ-≤≤+ 函数()f x 的单增区间是5,()1212k k k Z ππππ??-+∈????.

20.解：(Ⅰ) 若()f x 是偶函数，则有()()f x f x -=恒成立，即：

22log (41)log (41)x x mx mx -+-=++

于是2222412log (41)log (41)log ()log (41)24x

x

x

x x mx x -+=+-+=-+=-

即是22mx x =-对x R ∈恒成立，故1m =- (Ⅱ)当0m >时，

2log (41)x y =+，在R 上单增，y mx =在R 上也单增

所以

2()log (41)x

f x mx =++在R 上单增，且(0)1f = 则

()

242418(log )2log 41

f x x m ++-=可化为

()

242418(log )2log 4(0)

f x f x m ++-= 又

()

f x 单增，得

242418(log )2log 40

x x m ++-=，换底

得

22

22log 48(

)2log 40log 4x x m -+-=

即22242(log )2log 40x x m -+-=，令2log t x =，则3[0,]2t ∈，问题转换化为 242240t t m -+-=在3[0,]2t ∈有两解24224

t t m ?=-++

令2

224y t t =-++

，

212()2y t =--+，max 19

()22y y ==，

作出29312()(0)

222y t t =--+≤≤与4y m =的简图知，4942m ≤<解得819m <≤ 又0m >，故8

1

9m <≤.

21.

解

：

(

Ⅰ

)

由

[][]()()(2)(1)(1)1(1)(1)1f x f y f xy x y f x y y f y x +=--+=-+-+=--+

令1,1m x n y =-=-，则,0m n >，且有(1)(1)(1)f m f n f mn +++=+对任意,0m n >均成立

令1m n ==即有(2)(2)(2)f f f +=，得(2)0f =；

(Ⅱ)由(1)(1)(1)f m f n f mn +++=+有(1)(1)(1)f mn f n f m +-+=+，只需1m >就好 设211,1x mn x n =+=+，其中,0,1n m m >>，则21(1)0x x n m -=->，故21x x > 则21()()(1)(1)(1)f x f x f mn f n f m -=+-+=+，1,12m m >+>所以(1)0f m +>，

即

21()()0f x f x ->，21()()f x f x >，()f x 在(1,)+∞单调递增

(Ⅲ)由(1)(1)(1)f m f n f mn +++=+

令3m n ==，有(4)(4)(10)f f f +=，(10)2f =

令

19,9m n ==

，由1(91)(1)(911)099f f f ?+++==+，故10

()2

9f =-，由奇偶性

10

()29f -

=-

则()2f x <的解集是

10

(,)(1,10)

9

-∞-

于是问题等价于是否存在实数k 使

10sin 2(4)(sin cos )9k k θθθ--++<-

或1sin 2(4)(sin cos )10k k θθθ<--++<对任意的[0,]θπ∈恒成立

令sin cos ,[t t θθ=+∈-，问题等价于

210

(4)19t k t k --+-<-

或2

1(4)110t k t k <--+-<

对[t ∈-恒成立

令2

()(4)1g t t k t k =--+-，则

10

()9g t <-

对[t ∈-恒成立的必要条件是

10(1)9109g g ?-<-????<-??

即12309

1109k k ?-+

?+++

得1391989k k ?+++??

同理1()10g t <<

恒成立的必要条件是1(1)10

110g g <-

<

，即124101(1110k k <-

解得

5

72

18k k ?<

5

72k <<；

当572k <<时，2

()(4)1g t t k t k =--+-的对称轴

042k t -=33,42??

∈- ???， （1

）当47k +≤<

时，对称轴

04322k t -?

=

∈??

，在区间[-的右侧 2

()(4)1g t t k t k =--+-

在[-单调递减，1()10g t <<

恒成立1(1)10

110

g g <-

<

故47k +≤<时，1()10g t <<恒成立；

（2）

当542k <<+时，042k t -

=34?∈- ? ，

2

()(4)1g t t k t k =--+-

在[-先减后增

1()10g t <<恒成立还需

min

4()12k g t g -??=> ???，即2

(4)4(4)1142k k k k ----+->

化简为2

12240k k -+<，

2(6)12k -<，

即6k -<-<，解

得66k -<<+

故有665

42k k ?-<<+??<<+??

解得64k -<<+

综上所述存

在

(

)67

k ∈-，使()sin 2(4)(sin cos )2f k k θθθ--++<对任意的

[0,]θπ∈恒成立.