实验三十七用动态悬挂法测定杨氏模量
实验三十七 用动态悬挂法测定杨氏模量
157实验三十七 用动态悬挂法测定杨氏模量杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。
“静态拉伸法”由于受弛豫过程等的影响不能真实地反映材料内部结构的变化，对脆性材料无法进行测量。
本实验用“动态悬挂法”测出试样振动时的固有基频，并根据试样的几何参数测得材料的杨氏模量。
一 实 验 目 的（1）悬挂法测定金属材料的杨氏模量。
（2）培养学生综合应用物理仪器的能力。
（3）设计性扩展实验，培养学生研究探索的科学精神*。
二 实 验 原 理棒的振动方程为（如图1）： 02244=∂∂+∂∂t y EJ ps x y (1)解以上方程的具体过程如下（不要求掌握）。
用分离变量法：令)()(),(t T x X t x y = 代入方程（7-1）得 2244d d 1d d 1t T T EJ s x X X ρ-= 等式两边分别是x 和t 的函数，这只有都等于一个常数才有可能，该常数设为4K ，得：0d d 444=-X K xX 0d d 422=+T s EJ K t T ρ 这两个线形常微分方程得通解分别为Kx B Kx B shKx B chKx B x X sin cos )(4321+++=)cos()(ϕω+=t A t T于是解振动方程式得通解为)cos()sin cos (),(4321ϕω++++=t A Kx B Kx B shKx B chKx B t x y 其中 214⎥⎦⎤⎢⎣⎡=s EJ K ρω (2） 称为频率公式。
对任意形状的截面，不同边界条件的试样都是成立的。
我们只要用特定的边界条件定出常数K ，并将其代入特定截面的转动惯量J ，就可以得到具体条件下的计算公式了。
如果悬线悬挂在试样的节点附近，则其边界条件为自由端横向作用力：033=∂∂-=∂∂-=xy EJ x M F 弯距 022=∂∂=xy EJ M 即 0d d 033==x x X ， 0d d 33==l x x X ， 0d d 022==x x X ， 0d d 22==l x x X 将通解代入边界条件，得到1cos =⋅chKl Kl用数值解法求得本征值K 和棒长l 应满足 Kl =0，4.730，7.853，10.966… 。
动态法测量金属的杨氏模量
L L
F S
所以： 所以：E =
F S L L
ES k = L
总结：杨氏模量是反映材料的抗拉或抗压能力。 总结：杨氏模量是反映材料的抗拉或抗压能力。 抗拉 能力
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杨氏模量的测量方法：静态法 动态法(棒状)。 杨氏模量的测量方法：静态法(丝状)和动态法 动态法 静态法: 静态法
近似法和推理法 常用的处理方法：近似法 推理法 近似法 推理法。
近似法： 近似法：阻尼越小，共振频率与固有频率之间的偏移将 越小。虽然阻尼为零的情况在现实不能存在，但尽可能减小 阻尼是可以存在的。因此只要实验中找到节点位置，然后再 节点附近测量其共振频率即可近似为固有频率。 推理法： 推理法：如果在节点附近等间距分别测量不同位置的共 振频率，那么这些测得的共振频率将遵循某个规律，然后根 据该规律通过作图法获得节点处的共振频率（即固有频率）
支撑点节点附近重复测量6 注意每测1次转动测试棒1 （支撑点节点附近重复测量6次，注意每测1次转动测试棒1次）
6．改变试样,分别测量细铜棒和细钢棒的固有频率。
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注意事项
1．因换能器为厚度约为0.1~0.3mm的压电 晶体,用胶粘在0.1mm左右的黄铜片上构成,故极 其脆弱,放置测试棒时一定要轻拿轻放,不能用力, 也不能敲打。 2．调节支撑点保证测试棒在竖直方向上振动。 3．信号源——换能器(放大器)——示波器均 应共“地”。
但是现实情况是，当支撑点真的 指到节点处时，金属棒却无法继续激 发测试棒振动，即使能振动亦无法接 收到振动信号（即观察不到共振现象）， 即观察不到共振现象） 最终也无法得到节点处共振频率 。
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面对理论要求与现实困难的冲突，该如何处理？
实验二动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量
实验二 动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数, 它标志着材料抵抗弹性形变的能力。
“静态拉伸法”由于受弛豫过程等的影响不能真实地反映材料内部结构的变化, 对脆性材料无法进行测量。
目前工程技术上常用“动态悬挂法”测量杨氏模量,也是国家标准指定的一种测量方法。
其基本操作是: 将一根截面均匀的试样（棒）悬挂在两只传感器（一只激振, 一只拾振）下面。
在两端自由的条件下, 使之作自由振动。
测出试样的固有基频, 并根据试样的几何尺寸、密度等参数, 测得材料的杨氏模量。
一、实验目的1.用动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量。
2.培养学生综合应用物理仪器的能力。
3.学习确定试样节点处共振频率的方法。
二、仪器与用具动态杨氏模量实验仪（包括试样、杨氏模量测试台、信号发生器）, 存贮示波器, 电子天平, 螺旋测微器, 游标卡尺三、实验原理对于一根水平放置的细棒, 以水平方向为 轴, 竖直方向为轴, 由棒的横振动方程:044222=∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂x yS EJ t y ρ （2.1）用分离变量法解以上方程对圆形棒得: 。
2436067.1fd m l E = （2.2）上两式中, 为杨氏模量, 为棒长, 为棒的直径, 为棒的质量, 为棒的截面积, 为棒的密度。
如果在实验中测定了试样（棒）在不同温度时的固有频率 , 即可计算出试样在不同温度时的杨氏模量 。
在国际单位制中杨氏模量的单位为（ ）。
本实验的基本问题是测量试样在不同温度时的共振频率。
由信号发生器输出的等幅正弦波信号, 加在传感器I （激振）上。
通过传感器I 把电信号转变成机械振动, 再由悬线把机械振动传给试样, 使试样受迫作横向振动。
试样另一端的悬线把试样的振动传给传感器II （拾振）, 这时机械振动又转变成电信号。
该信号经放大后送到示波器中显示。
当信号发生器的频率不等于试样的共振频率时, 试样不发生共振, 示波器上几乎没有信号波形或波形很小。
动态法测量固体材料的杨氏模量
动态法测量固体材料的杨氏模量动态法测量固体材料的杨氏模量被测样品的固有频率时，试样的振动振幅很小，拾振器的振幅也很小甚至检测不到振动，在示波器上无法合成李萨如图形，只能看到激振器的振动波形；只有当激振器的振动频率调节到试样的固有频率达到共振时，拾振器的振幅突然很大，输入示波器的两路信号才能合成李萨如图形。
3．外延法精确测量基频共振频率理论上试样在基频下共振有两个节点，要测出试样的基频共振频率，只能将试样悬挂或支撑在和的两个节点处。
但是，在两个节点处振动振幅几乎为零，悬挂或支撑在节点处的试样难以被激振和拾振。
实验时于悬丝或支撑架对试样的阻尼作用，所以检测到的共振频率是随悬挂点或支撑点的位置变化而变化的。
悬挂点偏离节点越远，可检测的共振信号越强，但试样所受到的阻尼作用也越大，离试样两端自这一定解条件的要求相差越大，产生的系统误差就越大。
于压电陶瓷换能器拾取的是悬挂点或支撑点的加速度共振信号，而不是振幅共振信号，因此所检测到的共振频率随悬挂点或支撑点到节点的距离增大而变大。
为了消除这一系统误差，测出试样的基频共振频率，可在节点两侧选取不同的点对称悬挂或支撑，用外延测量法找出节点处的共振频率。
所谓的外延法，就是所需要的数据在测量数据范围之外，一般很难直接测量，采用作图外推求值的方法求出所需要的数据。
外延法的适用条件是在所研究的范围内没有突变，否则不能使用。
本实验中就是以悬挂点或支撑点的位置为横坐标、以相对应的共振频率为纵坐标做出关系曲线，求出曲线最低点所对应的共振频率即试样的基频共振频率。
4．基频共振的判断实验测量中，激发换能器、接收换能器、悬丝、支架等部件都有自己共振频率，可能以其本身的基频或高次谐波频率发生共振。
另外，根据实验原理可知，试样本身也不只在一个频率处发生共振现象，会出现几个共振峰，以致在实验中难以确认哪个是基频共振峰，但是上述计算杨氏模量的公式～只适用于基频共振的情况。
因此，正确的判断示波器上显示出的共振信号是否为试样真正共振信号并且是否为基频共振成为关键。
大学物理实验报告实验35动态悬挂法测定杨氏模量
⼤学物理实验报告实验35动态悬挂法测定杨⽒模量⼤学物理实验教案实验名称：动态悬挂法测定杨⽒模量1 实验⽬的1）⽤动态悬挂法测定⾦属材料的杨⽒模量； 2）培养学⽣综合应⽤物理仪器的能⼒； 3）进⼀步熟悉⽰波器的使⽤。
2 实验仪器YM-2型动态杨⽒模量测试台1台、YM-2型信号发⽣器1台、⽰波器S16B 、天平1台、游标尺和螺旋测微计各⼀只、试样铜棒和不锈钢棒各⼀根。
3 实验原理3．1 实验原理杨⽒模量是⼯业材料的⼀个重要参数，它标志着材料抵抗弹性形变多的能⼒。
本实验将⼀根截⾯均匀的试样棒悬挂在两只传感器（⼀只振荡，⼀只拾振）下⾯，在两端⾃由的条件下，使做⾃由振动。
根据棒的振动⽅程42420y S yx EJ t ρ??+=??求解该⽅程，对圆棒得3241.6067l m E fd =（1）式中l 为棒的长度，d 为棒的直径，m 为棒的质量，f 为固有频率。
⽤悬挂法测量杨⽒模量时，共振频率和固有频率相⽐只偏低0.005%。
在本实验中测得的是共振频率，由于两者相差极⼩，故（1）式中的固有频率f 在数值上可以⽤试样的共振频率代替。
3．2 实验⽅法由（1）式，样品的尺⼨可以⽤卡尺和千分尺测量，质量的测量可以⽤天平。
固有频率f 的测量采⽤动态悬挂法进⾏。
由信号发⽣器输出的正弦波电压，加在传感器（激荡）上，通过传感器（激荡）把电信号转变成为机械振动，再由悬线把机械振动传给试样，使试样受迫做振动，试样另⼀端的悬线把试样的振动传给传感器（拾荡），这时机械振动⼜转变成电信号。
该信号经放⼤器后送到⽰波器中显⽰。
当信号发⽣器的频率不等于试样的共振频率时，试样不发⽣共振，⽰波器上⼏乎没有信号或信号波形或波形很⼩。
当信号发⽣器的频率等于试样的共振频率时，试样发⽣共振。
这时⽰波器上的波形突然增⼤，读出的频率就是试样在常温下的共振频率。
4 教学内容（1）实验装置熟悉及安装（2）实验数据测量1）分别⽤卡尺、千分尺、天平测定试样（铜棒、不锈钢棒）的长度l 、直径d 、质量m ，其中直径d 应在不同位置多次测量取其平均值。
动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量
动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。
目前工程技术上常用“动态悬挂法”测量杨氏模量。
其基本方法是：将一根截面均匀的试样（棒）悬挂在两只传感器（一只激振，一只拾振）下面。
在两端自由的条件下，使之作自由振动。
测出试样的固有基频，并根据试样的几何尺寸、密度等参数，测得材料的杨氏模量。
【实验目的】1. 用动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量。
2. 学习确定试样节点处共振频率的方法。
【实验要求】1. 用外延法求出节点处的共振频率。
2. 测定室温下金属材料的杨氏模量。
【实验原理】根据棒的横振动方程044222=∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∂∂xy S EJ t y ρ (1) 用分离变量法解该方程，对圆形棒得 2436067.1f dm l E = (2) 上两式中，E 为杨氏模量，l 为棒长，d 为棒直径，S 为棒截面积，ρ为棒的密度，m 为棒的质量，f 为棒横振动的固有频率，J 为极性矩。
由式（2）可知，测定出试样（棒）在不同温度时的固有频率f 及各力学参数，即可计算出它在不同温度时的杨氏模量。
测量时可采用图（1）的示意装置。
本实验只计算室温下的杨氏模量，故不用加热炉。
实验中有两个问题需加注意。
1. 式（2）给出杨氏模量E 的计算公式中的f 是棒横振动的基频，在实验中要加以判断。
2. 从图1中看到测试棒横振动的激发与拾振是通过悬丝与换能器连接的。
若连接点不在棒横振动的波节上，则横振动的方程不满足。
若连接点就在波节上，则不能激发与拾取试样的振动。
因此为测定固有频率，一般可采用外延测量法来计算固有频率。
具体做法如下：按照方程（1）的解，测试棒时应对基频的横振动的两个波节分别在0.224 l 与0.776 l 。
见图2。
(a) 先将激振与拾振的两悬丝分别连接在棒0.1l 与0.9 l 上，寻找其共振频率f 1。
(b) 将两悬丝逐渐从每间隔0.02 l 间距向里推进，分别寻找出对应的频率f 2、f 3……。
实验报告用动态法测定金属的杨氏模量
物理科学与技术学院级弘毅班吴雨桥【实验原理】对于长度≫直径、两段自由地做微小横振动地均匀细棒，其振动满足方程式中，ρ为棒地密度，为棒地截面积，称为惯量矩（取决于截面地形状），为杨氏模量，为棒振动地位移，为位置坐标，为时间变量.文档来自于网络搜索用分离变量法解方程，令（，）()()代入方程，有解得该振动方程地通解为（，）（）（ωφ）式中ω称为频率公式.频率公式对任意形状地截面、不同边界条件地试样都是成立地.我们只要用特定地边界条件定出常数，带入特定截面地惯量矩，就可以得到具体条件下地计算公式.如果悬线悬挂在试样地节点（处在共振状态地棒中，位移恒为零地位置）附近，则棒地两端均处于自由状态.此时其边界条件为自由端横向作用力和弯矩均为零，即文档来自于网络搜索弯矩故有文档来自于网络搜索将通解代入边界条件，可以得到*，可用数值解法求得本征值和棒长应满足，，，，，...文档来自于网络搜索一般将所对应地频率称为基频频率.试样在做基频振动时，存在两个节点，它们地位置距离端面为和处.将第一本征值代入频率表达式，得到自由振动地固有圆频率（基频）文档来自于网络搜索ω解出杨氏模量*对于直径为地圆形棒，惯量矩(代入上式可得式中，为棒长，为棒地直径，为棒地质量，为试样共振频率.在国际单位制中杨氏模量地单位为.文档来自于网络搜索实际上，还和试样地直径与长度之比地大小有关，所以乘以一个修正因子，则有当≫时，≈；当≫不成立时，圆棒地可查表试样与地关系当外力频率达到共振频率ω时，另一悬线处会接收到最大振幅，而固有频率与共振频率之间地关系为，为阻尼系数.对于一般地金属材料，β地最大值只有ω地左右，所以可用代替计算.文档来自于网络搜索实验中，由于细丝对试样地阻尼，所检测地共振频率大小是随悬挂点地位置而变地.理论上，测量试样地基频振动时，悬挂点应在节点处，即悬点距端点和处.但是在这种情况下，棒地振动无法被激发，振幅为零，在示波器上只能看到一条直线.欲激发棒地振动，悬点必须离开节点位置，故采用外延法测量试样地基频，即测量节点周围地点地振动频率，利用他们作图延伸至节点位置，从图像上得到试样地基频.（外延法：指所需要地数据在测量范围之外，一般较难测量，为了求得这个值，利用已得地数据绘制出曲线，再将曲线按原规律延长到待求值范围，在延长线部分求得所需地值.此方法只适用于在所研究范围内没有突变地情况.）文档来自于网络搜索【实验仪器】功率函数信号发生器、换能器(两个)、示波器、温控器、天平、游标卡尺、螺旋测微器、测试架、待测试样等.本实验地基本问题是测量在一定温度下试样地共振频率.实验中采用悬挂法.由信号发生器输出地等幅正弦波信号，加在换能器上.通过换能器把电信号转变成机械振动，再由悬线（或支撑物）把机械振动传给试样，使试样做横向振动.试样另一端地悬线（或支撑物）把机械振动传给换能器，这时机械振动又转变成电信号.该信号输入示波器中显示.文档来自于网络搜索当信号发生器地频率不等于试样地固有频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有波形和波形很小.当信号发生器地频率等于试样地固有频率时，试样发生共振，示波器地波形突然增大，这时频率计上读出地频率就是试样在该温度下地共振频率.将此值代入，即可计算出该温度下地杨氏模量.文档来自于网络搜索若将试样置于可控温加热炉中，不断改变加热炉地温度，即可测出不同温度下地杨氏模量.【实验内容】.测量试样地长度、直径和质量用米尺测量试样地长度；用游标卡尺测量试样地直径（注意在不同地部位和不同地方向多次测量）；用电子天平称量试样地质量.为提高测量精度，以上各量至少测量次，记入表中.文档来自于网络搜索.测量试样在室温时地共振频率()室温下铜和不锈钢地杨氏模量分别为**和**，估算出共振频率，以便寻找共振点.文档来自于网络搜索()安装试样棒，对称悬挂并保持试样水平，悬丝与试样垂直，选择适当地悬丝长度.()将仪器连接好，并调整仪器到正常状态.()从试样端点开始，两悬点同时向中间移动，每间隔测量一次共振频率，记录在表中.每次测量时，调节信号发生器地输出频率，使示波器上观察到地共振峰地幅度达到最大值，此时信号发生器地输出频率即为该点地共振频率.文档来自于网络搜索()真假共振峰地判别（鉴频）在寻找共振频率时，调节信号发生器要极其缓慢，到共振频率附近时改用“频率微调”旋钮调节，换能器及整个系统都有自己地共振频率，换能器地输入伴随有许多次极大值，故测量时一定要找到真地共振峰进行测量.文档来自于网络搜索）峰宽判别法.真地共振峰地频率范围很窄，细微地改变信号发生器地输出频率，共振峰地幅度就会发生突变：假地共振峰频率范围很宽.文档来自于网络搜索）幅度判别法.用手将试样托起，如果是干扰信号，则示波器上正弦波幅度不变；如果是共振信号，则共振信号地周期不变，幅度逐渐衰减.文档来自于网络搜索）声音判别法.发生共振时，拾振器会发生尖锐地啸叫..测杨氏模量将试样棒放入到加热炉中，升温后测出不同温度下地共振频率.【数据处理】测量次数平均值长度直径质量测量次数平均值长度直径质量共振频率测量悬点共振频率共振频率测量悬点共振频率回归方程^所以地共振频率为510152025303540740741742743744745746747748x/mmf /H zf-x 曲线 Cu510152025303540831832833834835836837838839840x/mmf /H zf-x 曲线 Fe回归方程^^所以地基频对于，平均* * 平均* 平均±*±*文档来自于网络搜索对于，平均* * 平均* 平均±*±*文档来自于网络搜索【误差分析】.系统误差()仪器误差：）、、、地测量因为仪器地精度问题有一定地不确定度.）金属棒上地标定刻度线有一定误差.()理论误差）理论中使用了近似估计）理论中用了图像法，必定会产生一定地误差..随机误差）读数时有一定地误差.）温度等对各个物理量地大小有一定地影响【注意事项】.试样不可随意乱放，一定要保持清洁..悬挂试样时，悬丝必须将试样捆紧.测量时应尽量避免试样摆动..实验中拿放东西要轻，不可敲击桌面和大声说话，以免对实验造成影响.。
6动态悬挂法测量金属的杨氏模量
物理实验中心实验指导书动态悬挂法测量金属的杨氏模量动态悬挂法测量金属的杨氏模量杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。
目前工程技术上常用“动态悬挂法”测量杨氏模量。
其基本方法是：将一根截面均匀的试棒悬挂在两只传感器(一只激振，一只拾振)下面。
在两端自由的条件下，使之自由振动。
测出试件的固有基频，并根据试样的几何尺寸、密度等参数，测得材料的杨氏模量。
一、实验目的1．学习用动态法测量杨氏模量的原理和方法。
2．掌握固有频率和共振频率的概念，了解用示波器观察共振现象的基本方法。
3．了解外延测量法及其适用条件。
4．了解动态法测量杨氏模量的基本过程及其注意事项。
二、实验原理任何物体都有其固有的振动频率，这个固有振动频率取决于试样的振动模式、边界条件、弹性模量、密度以及试样的几何尺寸、形状。
只要从理论上建立了一定振动模式、边界条件和试样的固有频率及其他参量之间的关系，就可通过测量试样的固有频率、质量和几何尺寸来计算弹性模量。
1．杆振动的基本方程一细长杆做微小横(弯曲)振动时，取杆的一端为坐标原点，沿杆的长度方向为x 轴建立坐标系，利用牛顿力学和材料力学的基本理论可推出杆的振动方程：02244=∂∂⋅+∂∂tz EJ S x z ρ （1） 式中),(t x U 为杆上任一点x 在时刻t 的横向位移；E 为杨氏模量；J 为绕垂直于杆并通过横截面形心的轴的惯量矩；ρ为密度。
用分离变量法求解方程得到通解，进而得到杆的振动频率与杨氏模量的关系式，即214⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=S EJ k ρω。
2．杨氏模量的测量杆的振动基频满足条件π506.11=L k ，代入频率公式，同时考虑转动惯量，即可得到振动法测量杨氏模量的公式2436067.1f dmL E = (2) 式中m 为棒的质量，单位为g ，d 为棒的直径，单位为mm ，取L 的单位亦为mm ，f 为基频振动的固有频率，计算出的杨氏模量E 的单位为N/m 2。
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实验三十七 用动态悬挂法测定杨氏模量
杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。
“静态拉伸法”由于 受弛豫过程等的影响不能真实地反映材料内部结构的变化，对脆性材料无法进行测量。
本实验用“动态悬 挂法”测出
试样振动时的固有基频，并根据试样的几何参数测得材料的杨氏模量。
目的
(1) 悬挂法测定金属材料的杨氏模量。
(2) 培养学生综合应用物理仪器的能力。
(3) 设计性扩展实验，培养学生研究探索的科学精神
二实验
棒的振动方程为(如图
1):
4 2 y ps y 0 4 2 0
x 4 EJ t 2 这两个线形常微分方程得通解分 别为
称为频率公式。
对任意形状的截面，不同边界条件的试样都是成立的。
我们只要用特定的边界条件定出常 数K ,并将其代入特定截面的转动惯量
J ，就可以得到具体条件下的计算公式了。
如果悬线悬挂在试样的节点附近，则其边界条件为自由端横向作用力： 将通解代入边界条件，得到 COS KI chKl 1
用数值解法求得本征值 K 和棒长l 应满足 Kl =0, 4.730 , 7.853 , 10.966…。
由于其中一个根“ 0”对应于静态情况，故将第二个根作为第一个根，记作
K 1l 。
一般将K 1l 所对应的 频率称为基频频率。
在上述 K m l 值中，1, 3, 5…个数值对应着“对称形振动” ，第2、4、6…个数值对应 着“反对解以上方程的具体过程如下(不要求掌握)。
用分离变量法：令
y(x,t) X(x)T(t) )得
代入方程(7-1 1 d 4X X dx 4 等式两边分别是 S 1 d 2T
2~ EJ T dt 2 x 和t 的函数，这 该 只有都等于一个常数才有可能， 常数设为K 4 ,
dx 4
立
dt 2
得: K 4X 0
测试棒
B 3 COS Kx B 4 sin Kx
X(x) BchKx B 2shKx T (t) A COS ( t )
于是解振动方程式得通解为 y(x,t) (B 1ChKx B 2ShKx B 3 COS Kx B 4 sin Kx)Acos( t )
1
K 4EJ 2 S
其中 (2
F M 3 y
x x 2
弯距
M
EJ y 0 x
即 d 3X 0,
d 3X 0 , dx 3 dx 3
x 0 x l dx 2 x 0 dx2 x l
I.'［换能器 n
称形振动”。
可见试样在作基频振动时，存在两个节点，它们的位置距离端面分别为0.2241和0.776
处。
将第一本征值 K 4730代入（2）式，得到自由振动的固有频率（基频） l
1
4
4.730 EJ 2 4 解出杨氏模量
E 1.9978 .4 .3
3 l S 2 2 l m 2 10 7.8870 10 f
J J 对圆棒： J 2 y ds d 2 S()
4
I o
式中d 为圆棒的直径。
得到 E 1.6067马 f 2
d 4
上式即为（1）式的解。
式中l 为棒长，d 为棒的直径，m 为棒的质量。
如果在实验中测定了试样（棒） 在不同温度时的固有频率 f ,即可计算出试样在不同温度时的杨氏模量 E 。
在国际单位制中杨氏模量的单
-2
位为（N ・m ）。
本实验的基本问题是测量试样在不同温度时的共振频率。
为了测出该频率，实验时可采用如图 7-1所 示装置。
由信号发生器输出的等幅正弦波信号，加在传感器 I （激振）上。
通过传感器 I 把电信号转变成机械 振动，再由悬线把机械振动传给试样，使试样受迫作横向振动。
试样另一端的悬线把试样的振动传给传感 器II （拾振），这时机械振动又转变成电信号。
该信号经放大后送到示波器中显示。
当信号发生器的频率 不等于试样的共振频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有信号波形或波形很小。
当信号发生器的频 率等于试样的共振频率时，试样发生共振。
这时示波器上的波形突然增大，这时读出的频率就是试样在该 温度下的共振频率。
根据（7-1 ）式，即可计算出该温度下的杨氏模量。
三实验仪器
杨氏模量实验仪（包括试样、杨氏模量测试台、型信号发生器（图 2））, ST16示波器（图3）。
图2 YM-2信号发生器 四实验内容
（1 ）测定试样的长度l 、直径d 和质量m ，每个物理量各测 5次。
（2 ）在室温下，不锈钢和铜的杨氏模量分别为2 X 10 11 （ N • m 2 ）和1.2 X 1010 （ N • m -2）, 先由
（1 ）式估算出共振频率f ,以便寻找共振点。
（3）把试样棒用细钢丝挂在测试台上，悬挂点的位置约距离端面0.224和0.776l 处。
（4 ）把信号发生器的输出与测试台的输入相连，测试台的输出与放大器的输入相接，放大器的 输出与示波器的 Y 输入相接。
（5）把示波器触发信号选择开关置于“内置”
（①②都置于左边），y 轴增益④置于最小档（左边第二
档），y 轴极性置于“ AC 。
（6） 因试样共振状态的建立需要有一个过程， 且共振峰十分尖锐，因此在共振点附近调节信号频率时， 必须频率显示 Hz
输岀接口
频率调节 o ol 0 0
⑤ ④
图3 ST16示波器
十分缓慢地进行，直至示波器的示波屏上出现最大的信号。
（7）记下室温下的共振频率f，求出材料的杨氏模量 E。
（8）本实验用铜棒和钢棒各做一次。
［杨氏模量实验仪的使用］
（1）使用前先将约1kz、1V的音频信号直接输入耳机检查，应该能听到轻微的声音。
（2）杨氏模量实验仪的电压表指示输出的电压幅值，其值由幅度调节旋钮调节。
信号由输出1、输出2两路并联输出，可用专用导线和传感器、示波器等相连接。
（3）频率调节分为频率粗调和频率细调，在实验室中两者必须配合使用，频率的值由五位数码显示管显示。
五数据与结果
（1）估算金属棒的长度I、直径d、和质量m的测量值及其不确定度。
I I （mm）； d d（mm）； m m（g）
（2）由（7-1 ）式分别求出钢棒和铜棒的杨氏模量 E E（Nm 2）（设信号发生器的频率不确定度为
0.1Hz ）。
其中
六思考题
（1）试讨论：试样的长度I、直径d、质量m共振频率f分别应该采用什么规格的仪器测量？为什么？
（2）估算本实验的测量误差。
提示：可从以下几个方面考虑：（1）仪器误差限；（2）悬挂点偏离节点引起的误差。