八年级数学竞赛例题专题讲解：面积法
八年级竞赛辅导之图形的面积
八年级数学竞赛辅导之面积问题平面几何学的产生起源于人们对土地面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，联系着几何图形中的重要元素边与角．计算图形的面积是几何问题中一种常见问题，求面积的基本方法有： 1．直接法：根据面积公式和性质直接进行运算．2．割补法：通过分割或补形，把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题． 3．等积法：根据面积的等积性质进行转化求解，常见的有同底等高、同高等底和全等的等积转化．4．等比法：将面积比转化为对应线段的比． 熟悉以下基本图形中常见的面积关系：注 等积定理：等底等高的两个三角形面积相等．等比定理：同底(或等底)的两个三角形面积之比等于对应高之比，同高(或等高)的两个三角形面积之比等于对应底之比．1．如图，是一个圆形花坛，中间的鲜花构成了一个菱形图案(图中尺寸单位为米)，如果每平方米种植鲜花20株，那么这个菱形图案中共有鲜花 株． 2．直角三角形斜边上中线长为1，周长为.3．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝135°，∠B =∠D =90°，BC =23，AD =2，则四边形ABCD 的面积为( )A ．42B ．43C ．4D ．6 (2001年湖北省荆州市中考题) 4．ABCD 是边长为1的正方形，△BPC 是等边三角形，则厶BPD 的面积为( )A ．41B ．413-C ．81D ．8132- (2001年武汉市选拔赛题)5．有一块缺角矩形地皮ABCDE (如图)，其中AB ＝110m ，BC =80m ，CD =90m ，∠EDC =135°．现准备用此块地建一座地基为长方形(图中用阴影部分表示)的教学大楼，以下四个方案中，地基面积最大的是( ) 6．今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路将这块土地分成形状相同且面积相等的4部分．若道路的宽度可忽略不计，请设计4种不同的修筑方案．7．如图，已知梯形ABCD 的面积为34cm 2，AE =BF ，CE 与DF 相交于O ，△OCD 的面积为11cm 2，求蝶形(阴影部分)的面积．8．探究规律：如图a ，已知：直线m ∥ n ，A 、B 为直线n 上两点，C 、P 为直线m 上两点． (1)请写出图a 中，面积相等的各对三角形 ；(2)如果A 、B 、C 为三个定点，点P 在m 上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有 与△ABC 的面积相等．理由是： ． 解决问题：如图b ，五边形ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图．经过多年开垦荒地，现已变成如图c 所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路(即图c 中折线CDE )还保留着．张大爷想过正点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．(不计分界小路与直路的占地面积) (1)写出设计方案，并在图c 中画出相应的图形； (2)说明方案设计理由． (2003年河北省中考题)9．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为 ． (全国初中数学联赛试题)10．如图，E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连结AF 、CE ，设AF 与CE 的交点为G ，则AB C D A G C D S S 矩形四边形等于( ) A ．65 B ．54 C ．43 D ．32第9题图 第10题图11．已知菱形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是( ) A ．165° D ．135° C ． 150° D ．120° (“希望杯”邀请赛试题)12．如图，设凸四边形ABCD 的一组对边AB 、CD 的中点分别为K 、M ，求证：S 四边形ABCD =S △ABM +S △DCK ．13.如图，设G (也称重心)为△ABC 三条中线AD 、BE 、CF 的交点，则2===GFCGGE BG GD AG ，请读者证明．（14题图）14. 如图，在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD ＝4，CE =6，那么△ABC 的面积等于( )A ．12B ．14C ．16D ．18(全国初中数学联赛试题) 15. 如图甲，AB 、CD 是两条线段，M 是AB 的中点，S △DMC 、S △DAC 、S △DBC 分别表示△DMC 、△DAC 、△DBC的面积，当AB ∥CD 时，有S △DMC =2DBCDAC S S ∆∆+·(1)如图乙，若图甲中AB 不平行CD ，①式是否成立?请说明理由；(2)如图丙，若图甲中A 月与CD 相交于点O 时，问S △DMC 和S △DAC 和S △DBC 有何种相等关系?试证明你的结论． (2001年安徽省中考题)16．已知凸四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且△ABC ，△ACD ，△ABD 的面积分别为S 1=5，S 2=10，S 3=6．求△ABO 的面积17．如图2-129，AD ，BE ，CF 交于△ABC 内的一点P ，并将△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC 的面积．18.如图1，在直角坐标系中，点A是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是双曲线y =（0x >）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，△OAB 的面积将会（ A ．逐渐增大 B ．不变 C ．逐渐减小 D ．先增大后减小19．(2009·牡丹江)如图2，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += ． 20.（2009莆田）在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数()20y x x=≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，得直角三角形1112233344455OP A A P A A P A A P A A P A 2、、、、，并设其面积分别为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为 ． 21．在直角三角形ABC 中，∠A =90°，AD ，AE 分别是高和角平分线，且△ABE ，△AED 的面积分别为S 1=30，S 2=6，求△ADC 的面积S ．22．如图，△ABC 的面积为1，分别延长AB 、BC 、CA 到D 、E 、F ，使AB =BD ，BC =CE ，CA =AF ，连DE 、EF 、FD ，求△DEF 的面积。
初中数学几何与面积法综合应用含答案竞赛题精选
F G E 图 2ACBD面积法1、常见规那么图形的面积公式；2、等积定理；3、面积比定理。
A 卷1、如图1，凸四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 、DA 的长分别是3、4、12、13，︒=∠90ABC ，那么四边形ABCD 的面积为 .2、如图2，ABC ∆中，D 、E 、F 、G 均为BC 边上的点，且CG BD =，BD GF DE 21==， DE EF 3=，假设1=∆ABC S ，那么图中所有三角形的面积之和为 .图 1ACBD3、如图3，□ABCD 的面积是m ，点E 、F 分别平分AB 、BC ，那么_______=∆DEF S .4、如图4，边长为a 的正方形ABCD ，E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，那么BPD ∆的面积的值是 .F E图 3ACBDECFA BDGFPE图 4AC BDO图 5AC BD5、如图5，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O 点，如果5=∆ABD S ，6=∆ABC S ，10=∆BCD S ，那么_________=∆OBC S .6、〔第5届“希望杯〞邀请赛题〕在ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 上，分别取AD 、BE 、CF ，使AB AD 41=，BC BE 41=，AC CF 41=，那么DEF ∆的面积是ABC ∆的面积的〔 〕 A 、41 B 、83 C 、85 D 、167FEC ABDS 2图 6 ACBS 1S 4S 37、〔2004年第15届“希望杯〞初二年级竞赛题〕如图6，在直角扇形ABC 内，分别以AB 和AC 为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D ，整个图形被分成S 1，S 2，S 3，S 4四局部，那么S 2和S 4的大小关系是〔 〕A 、42S SB 、42S S =C 、42S SD 、无法确定8、在矩形ABCD 中，2=AB ，1=BC ，那么矩形的内接三角形的面积总比数的〔 〕小或相等。
初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题23 面积的计算_答案-精编
专题23 面积的计算例1．22 提示：连接AF ． 例2．选C 提示：连接DE ．例3．12- 提示：连接GA ，HB ，EC ，FD ，AC ，BD ，则(1)(1)HAE HAB ABD S m S m mS =+=+∙△△△，同理(1)FCG BCD S m m S =+△△，故+(1)HAE FCG ABCD S S m m S =+∙△△，同理+(1)EBF GDH ABCD S S m m S =+△△.例4． 提示：过E 作EF ∥BC 交AB 于F ，△AEF ≌△ADE ≌△ADQ ，又△AED ∽△PEC ，则AD DEPC CE=，积AD ·CE =PC ·DE ． 例5． 提示：（1）362y x =-+（0≤x ≤4）（2）22336(2)622S x x x =-+=--+，当x =2时，S 最大值=6.例6．（1）如图，分别过P ，A 作BC 的垂线，垂足为P 1，A 1．11111212PBCABCBC PP S PP PD S AA AD BC AA ===△△则． 同理PCA ABC S PE BE S =△△，=PABABCS PF CF S △△， 故++=1BPC PCA PAB ABCS S S PD PE PF AD BE CF S ++=△△△△． （2）=3()2PD PB PC PD PE PFAD BE CF AD BE CF++-++=. A 级1．54cm2．18cm3．324．3155．C6．C7．D 8．C9．提示：当正方形ABCD 与正方形A ’B ’C ’D ’的对应边平行时，两者重合部分面积为正方形面积的14；转动后，两者重合面积仍为定值． 10． 提示：过A 、K 、B 分别作CD 的垂线． 11．（1）结论仍然成立，证明略． （2）2DBC DACDMC S S S -=△△△12．（1）略 （2）△ACA ’∽△BCB ’2213ACA BCB S AC S BC ''==△△（3）120°，32aB 级12．256 3．3122n m + 4提示：S 梯形ABCD=2+5．B 6．C 7．D 8．（1）略 （2）10 9．提示：（1）当t =4时，Q 与B 重合，P 与D 重合，如图a ，重合部分是△BDC ， S △BDC=122⨯⨯=． （2）①当4≤t ≤6时，如图b ，BQ =t －4，CR =6－4， 由△PQR ∽△BQM ∽△CRN ，得22(),CRN PQRS CR SPQ ==PQRBQM S S ∆∆＝(PQ BQ )2＝(324-t )2， ∴S ＝S △PQR －S △BQM －S △CRN ＝235)5(32+--t ．当t ＝5时，S 最大值＝325．②当6＜t ≤10时，如图c ，BR ＝10－t ，BK ⊥RK ，且∠KRB ＝30°，所以BK ＝21BR ＝21(10－t )，KR ＝23(10－t )，S ＝21BK ·KR ＝83(10－t )2．当t ＝6时，S 最大值＝23． 综合①②，当t ＝5时，S 最大值＝325．图c图b图aA10．提示：（1）S ＝2cm 2；S ＝2cm 2．（2）当0＜x ≤4时，如图a ，DG ＝AD ＝x ，AE ＝EF ＝x ＋2，S ＝2)(DEDG EF ⨯+＝2x ＋2cm 2．（3）当4＜x ＜10时，应分两种情况进行讨论：①当4＜x ＜6时，如图b ，DG ＝AD ＝x ，EF ＝BE ＝12－x －2＝10－x ，S ＝S △ABC －S △ADG －S △BEF ＝－x 2＋10x －14＝－(x －5)2＋11，故当x ＝5时，S 最大值＝11．②当6≤x ＜10时，如图c ，BD ＝DG ＝12－x ，EF ＝BE ＝10－x ，S ＝22－x ，当x ＝6时，S 最大值＝10． 综上所述，4＜x ＜10时，S 的最大值为11cm 2．图a图b图c11．∵∠HBD ＝∠HAE ，∴Rt △BDH ∽Rt △ADC ．∴HDDC BD AD =．又BD ＝DC ＝21BC ， ∴AD ·HD ＝BD ·DC ＝41BC 2．∴S △ABC ·S △HBC ＝(21AD ·BC )(21HD ·BC )＝161BC 4．而BC 是不变的，∴当点A 至BC 的距离变小时，乘积S △ABC ·S △HBC 保持不变． 12．（1）（2）略（3）如图，存在符合条件的直线l ．过点D 作DA ⊥OB 于A ，则点P (4，2)为矩形ABCD 的对称中心． ∴过点P 的直线只要平分△DOA 的面积即可．易知，在OD 边上必存在点H ，使得直线PH 将△DOA 的面积平分，从而，直线PH 平分梯形OBCD 的面积，直线PH 即为所求直线l ．设直线PH 的表达式为y ＝kx ＋b ，且点P (4，2)，∴2＝4k ＋b ，即b ＝2－4k ，∴y ＝kx ＋2－4k ． ∵直线OD 的表达式为y ＝2x ，∴⎩⎨⎧=-+=x y k kx y 242，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=k k y k k x 284242，∴点H 的坐标为(k k --242，kk --284)． ∴PH 与线段AD 的交点F 的坐标为(2，2－2k )， ∴0＜2－2k ＜4，∴－1＜k ＜1．∴S △DHF ＝21(4－2＋2k )·(2－kk --242)＝21×21×2×4，解得k ＝2313-(k ＝2313--不合题意，舍去)．∴b ＝8－213，∴直线l 的表达式为y ＝2313-x ＋8－213．。
初中数学竞赛中考讲义之多边形内切圆
第20讲多边形内切圆【例题讲解】例题1、已知Rt △ABC ，AB ＝4，BC ＝3，求内切圆⊙O 的半径.方法一：利用切线长定理方法二：面积法如图，OD ＝OE ＝BE ＝BD ＝r ∵S △AOB ＋S △AOC ＋S △BOC ＝S △ABC∴AD ＝AF ＝4－r ，CE ＝CF ＝3－r ∴21⋅4⋅r ＋21⋅5⋅r ＋21⋅3⋅r ＝21⋅3⋅4∴4－r ＋3－r ＝5解得r ＝1解得r ＝1利用切线长定理，可推导出直角三角形内切圆半径r ＝2cb a -+（a 、b 为直角边，C 为斜边）利用面积法，可推导出直角三角形内切圆半径r ＝CS2（S 为面积，C 为周长）例题2、如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点P 在边AB 上，以P 为圆心的⊙P 分别与边AC 、BC 相切于点E 、F ，则⊙P 的半径PE 的长为.答案：2411.例题3、如图，AB 为半圆O 的在直径，AD 、BC 分别切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙0于点E ，连接OD 、OC ，下列结论：①∠DOC ＝90°，②AD ＋BC ＝CD ，③S △A 0D :S △BOC ＝AD 2：AO 2，④OD :OC ＝DE :EC ，⑤0D 2＝DE ·CD ，正确的有（）A .2个B .3个C .4个D .5个答案：D.例题4、如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB＝10cm，点P由点C出发以每秒2cm的速度沿线段CA向点A运动（不运动至A点），⊙0的圆心在BP上，且⊙0分别与AB、AC相切于点E、D，当点P运动2秒钟时，⊙O的半径是（）A.712cmB.512cmC.35cmD.2cm答案：A.【巩固练习】1、如图，在Rt△ABC中，BC＝8，AC＝6，以斜边AB上一点0为圆心作半圆，使它与BC、AC都相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径为.2、如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点为D、F、E，若CE、BF的长是方程x2－13x＋30＝0的两个根，则△ABC的面积是.3、如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，E、F、G、H是切点，点P是优弧EFH上异于E、H的点，若∠A＝50°，则∠EPH＝.4、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，正方形EFGH的各边cm.分别与半圆相切且平行于AB或BC，如果正方形EFGH的面积是144cm2，则Rt△ABC的周长是E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的5、如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，周长为（用r表示）6、如图，以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB边于点E，则三角形ADE和直角梯形EBCD的周长比为.3AE，7、如图，矩形ABCD中，AD＝4，O是BC边上的点，以OC为半径作⊙0交AB于点E，BE＝5把四边形AECD沿着CE所在的直线对折（线段AD对应AD），当⊙0与A’D’相切时，线段AB的长是.8、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝12，过点A ，D 两点的⊙0与BC 边相切于点E ，则⊙0的半径为.9、如图，一个半径为r 的⊙O 与矩形ABCD 的两边AB 、BC 都相切，BC ＝4.若将矩形的边AD 沿AE 对折后和⊙O 相切于点D ’，折痕AE 的长为5，则半径r 的值为.10、如图，圆O 与正方形ABCD 的两边AB 、AD 相切，且DE 与圆O 相切于E 点.若圆O 的半径为5，且AB ＝11，则DE 的长度为.11、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝3，点E 在中线AD 上，以E 为圆心的OE 分别与AB 、BC 相切，则OE 的半径为（）.A .78B .67C .56D .112、如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 上的一点，将△BCE 沿CE 折叠至△FCE ，若CF ，CE 恰好与以正方形ABCD 的中心为圆心的⊙0相切，则折痕CE 的长为.13、如图，⊙0切△ABC 的三边于D 、E 、F ，那么三角形DEF 是（）A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .以上都有可能14、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD 、AB 、BC 分别与⊙0相切于E 、F 、G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为.15、如图，OA 在x 轴上，OB 在y 轴上，OA ＝8，AB ＝10，点C 在边OA 上，AC ＝2，⊙P 的圆心P在线段BC 上，且⊙P 与边AB ，AO 都相切.若反比例函数y ＝k x（k ≠0）的图象经过圆心P ，则k ＝.16、如图，PA ，PB 切⊙0于A 、B 两点，CD 切⊙0于点E ，交PA ，PB 于C ，D .若⊙0的半径为r ，△PCD 的周长等于3r ，则tan ∠APB 的值是（）A .51312B .125C .3135D .213317、将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转30°，得正方形AB 1C 1D 1，B 1C 1交CD 于点E ，AB＝3，则四边形AB 1ED 的内切圆半径为（）A .312+B .332-C .313+D .333-18、如图，AC 是矩形ABCD 的对角线，⊙0是△ABC 的内切圆，现将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，使点D 与点O 重合，折痕为FG ，点F ，G 分别在AD ，BC 上，连结OG ，DG ，若OG ⊥DG ，且⊙O 的半径长为1，则下列结论不成立的是（）A .BC －AB ＝2B .BC ＋AB 3＋4C .CD －DF 3－3D .CD ＋DF ＝419、（1）已知：如图①，△ABC的周长为1，面积为S，其内切圆圆心为0，半径为r，求证：r＝2s l（2）已知：如图②，△ABC中A、B、C三点的坐标分别为A（－3，0），B（2，0），C（0，4），若△ABC内心为D，求点D的坐标；（3）与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆，叫旁切圆，圆心叫旁心，请求出条件（2）中的△ABC位于第一象限的旁心的坐标。
八年级数学尖子班面积法
面积法解题【知识要点】1.常见面积公式： ①ah S 21=∆ ②))()((c s b s a s s S ---=∆（S 为三角形周长的一半，c b a ,,为三角形三边） 海伦公式③平行四边形S =ah ④h b a S )(21+=梯形 ⑤2121l l S =菱形（21,l l 为菱形两对角线长） ⑥2a S =正方形 ⑦ab S =矩形 2.面积比定理：①两个三角形面积之比，等于它们的底高之积的比；②等底（高）的两个三角形面积之比，等于它们的高（底）之比； ③相似三角形（多边形）面积之比等于它们对应边的平方比. 3.等积定理：①两个全等图形的面积相等； ②等底、等高的两个三角形面积相等；③两个等积三角形，若它们的底相等，则它们的高相等，若它们的高相等，则它们的底也相等；④一个图形的面积等于它的各部分面积之和. 4.两个基本图形： · 1S 3SS 4S P DC【典型例题】例1 求证：有一个30度角的菱形，边长是两条对角线的比例中项例2 在矩形ABCD 中，P 为CD 上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，求证：PE+PF 为定值.例3 如图，在□ABCD 中，AE=CF ，证：BO 平分∠AOC.AC例4 AD 、BE 、CF 交于ABC ∆内一点P ，并将ABC ∆分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出，求ABC ∆的面积.例5 如图，过等边ABC ∆内一点P ，向三边作垂线，PQ=6，PR=8，PS=10，求ABC ∆的面积.思考：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值。
例6 如图已知：△ABC 中，∠ABC ＝Rt ∠，AC ＝2AB ，△ACM 和△BCN 都是等边三角形。
求证：MN 被AC 平分。
例7 已知MN 是△ABC 的中位线，P 在MN 上，BP ，CP 交对边于D 、E ， 求证：1=+DCADBE AE 。
例8 如图，设P 为ABC ∆内任一点，直线AP 、BP 、CP 交BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F. 求证：（1）1=++CF PF BE PE AD PD ；（2）2=++CFPCBE PB AD PA . ABC DEFPABC【大展身手】1 如图△ABC 面积是96，D 分BC 为2∶1， E 分AB 为3∶1则△ADE 面积是＿＿＿2 几条直线都平行于三角形的同一边，并分其它两边为10个相等的线段，同时把三角形分成10个不同的部分，已知这些部分中最大的面积是38，那么原三角形的面积是＿＿＿＿3 △ABC 三边a,b,c 上的高分别是h a =6, h b =4, h c =3,那么a ∶b ∶c=＿＿＿＿4 S 正方形ABCD ＝k,M ，N 分别是边AB ，BC 的中点AN ，CM 相交于O ，那么S 四边形AOCD ＝＿＿＿5 平行四边形ABCD 中，E 分AB 为1∶2，F 分BC 为2∶1，DE 和AF 交于G ，那么AGDAEGS △△S ＝＿＿＿6 如图平行四边形ABCD 中P ，Q 分别是BC ，CD 的中点，写出和△ABP 等积的三角形 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿（1985年福建省初中数学联赛题） （5）（7 已知：△ABC 中AB ＝10，D ，E 分别在边AB ，AC 上，且在DE ∥BC ， S △ADE ∶S △BDC ＝2， 求ABCADES △△SBCN DFD BC8 已知：△ABC 中，O 是形内任一点，AO ，BO ，CO 延长线交对边于D ，E ，F 求证：①1=++CF OF BE OE AD OD ② ODAOFB AF EC AE =+9 △ABC 内一点P ，过P 作三边的平行线，所得的小三角形面积分别为4，9，49那么△ABC 面积是多少？10 △ABC 中，点D ，E ，F 分别分BC ，CA ，AB 为1∶2，AD ，BE ，CF 相交于P ，Q ，R 求△PQR 与△ABC 的面积比CABACD11 梯形ABCD 中AB ∥CD ，O 是对角线的交点，若S △COD ＝3，S △AOB ＝11求S 梯形ABCD (1989 年泉州市初二数学双基赛题)12 四边形ABCD 的对角线AC ＝BD ＝15cm ，O 是交点，∠AOB ＝150，求S ABCD (1988 年泉州市初二数学双基赛题)13 四边形ABCD 中，E ，F 分别在BC ，CD 上，DF ∶FC ＝1，CE ∶EB ＝2，若S △ADF ＝m ，S 四边形AECF ＝n (m>n),则S 四边形ABCD ＝＿＿＿（1989年全国初中数学联赛题）BCDB14 在四边形ABCD 中，ADO S ∆=25，ABO S ∆=49，CDO S ∆=125，则△CBO 面积为多少？15 如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别在三边上，AD 、BE 、CF 交于一点G ，BD=2CD ，面积S 1=3，面积S 2=4，求S △ABC 。
(完整版)初中数学培优竞赛讲座第23讲__简单的面积问题
第二十三讲简单的面积问题几何起源于对图形的面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，求图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一．平面几何图形形状不同，繁简不一，计算图形的面积有以下常用方法：1．和差法把图形面积用常见图形面积的和差表示，通过常规图形面积公式计算．2．运动法有时直接求图形面积有困难，可通过平移、旋转、割补等方式，将图形中的部分图形运动起来，把图形转化为容易观察或解决的形状，就可在动中求解．3．等积变形法即找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形，通过代换转化求图形的面积．例题【例1】(1)如图a，边长为3cm，与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是cm2(π取3)．( “希望杯”邀请赛试题)(2)如果图b中4个圆的半径都为a，那么阴影部分的面积为．(江苏省竞赛题)思路点拨通过连结或补形，把图形进行分割和重新组合，变不规则图形为规则图形．(1)连AC、BF．S是由ABCD围成阴影面积的6倍．(2)连AD，BC，CD，则阴影注：促使面积比与对应线段比之间的相互转化．是求图形面积的一个常用技巧，解题的关键是加强对图形结构的分析，寻找，共高或共底的三角形．【例2】如图，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已知ΔAOB和ΔBOC的面积分别为25cm2和35cm2，那么梯形的面积是m2．A．144 B．140 C．160 D．无法确定( “五羊杯”邀请赛试题)思路点拨图形隐含多对面积相等的三角形，要求梯形的面积只需求ΔDOC的面积，解题的关键是通过线段的比把三角形面积联系起来．【例3】根据图中绘出的小三角形面积的数据，求△ABC的面积．(新加坡数学竞赛题) 思路点拨设S△AGE＝x，S△BFG=y，建立关x，y的方程组，通过代数化解题．【例4】如图，△ABC的面积为1，D、E为AC的三等分点，F、G为BC的三等分点．求：(1)四边形PECF的面积；(2)四边形PFGN的面积．思路点拨(1)连CP ，设S △FCF =x ，S △FCE =y ，可建立关于x ，y 的方程组，解题的关键是把相关图形的面积用于x ，y 的代数式表示，并利用等分点导出隐含图形的面积；(2)连NC ，仿(1)，先求出△BNC 的面积，再得出△BNG 面积，进而可求四边形PFGN 的面积．注：求一些关系复杂的图形面积，代数化是一个重要技巧，利用代数化，能清晰明朗地表示图形面积之间的关系，从而可以化解或降低问题的难度．【例5】在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，在2×2方格纸中，以格点连线为边作面积为2的多边形．请尽可能多地找出答案，在寻找答案的过程中你能发现什么规律吗?思路点拨本例是一道开放式探索性问题，若没有规律性的认识，则难免遗漏或重复，适当的方法是：选择一些图形作基本图形，再通过基本图形的组合尽可能多地找出解答．学力训练1．如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，图中阴影部分为红色．若每个小长方形的面积都是1，则红色的面积是．(山西省中考题)2．如图，4个半径为lcm 的圆相靠着放在一个正方形内，则阴影部分的面积是cm 2(精确到0．01)．3．如图，在长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，若ABDF 的面积为6平方厘米，则长方形ABCD 的面积是平方厘米．4．如图，若长方形APHM 、BNHP 、CQHN 的面积分别为7、4、6，则阴影部分的面积是．(“五羊杯”竞赛题)5．如图，一个大长方形被两条线段AB 、CD 分成四个小长方形，如果其中图形I 、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8，6，5，那么阴影部分的面积为( )．(江苏省竞赛题) A ．29B ．27C ．310D ．8156．如图．正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形(阴影部分)的面积为()．A ．22aaB ．222aa C ．2221aaD ．2241aa（广东省中考题)7．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别在三边上，F 是AC 的中点，AD 、BE 、CF 交于一点G ，BD ＝2DC ，S △GEC ＝3，S △GDC ＝4，则△ABC 的面积是()．(2002年湖北省荆州市中考题)A ．25B ．30C ．35D ．408．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，AE 、DE 、BF 、AF 把正方形分成8小块，各小块的面积分别为S 1、S 2、…S 8，试比较S 3与S 2+S 7+S 8的大小，并说明理由．(江苏省竞赛题)9．将△ABC 分成面积相等的5部分，并指出面积相等的是哪5部分(只在图上保留分割痕迹和必要的标注，不写作法)．10．2002年8月，在北京召开了国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，则每个直角三角形的两条边的立方和等于．11．如图，在长方形ABCD 中，DM ：MC=2：1，AN ＝a ，NB ＝b ，DN 是以A 为圆心，a 为半径的一段圆弧，NK 是以B 为圆心，b 为半径的一段圆弧，则阴影部分的面积S 阴=．(广西竞赛题)12．如图，ABCD 是平行四边形，E 在AB 上，F 在AD 上，S △BCE =2S △CDF ＝41S ABCD =1，则S △CEF =．( “希望杯”邀请赛试题)13．如图，三角形ABC 的面积为1，BD ：DC ＝2：1，E 是AC 的中点，AD 与BE 相交于点P ，那么四边形PDCE 的面积为．(江苏省竞赛题)14．如图，点E 、F 分别是长方形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF ，CE ，设AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCD S S 长方形四边形=（）．(全国数学竞赛题)A ．65B ．54C ．43D ．3215．如图，凸四边形AB(0中，对角线AC 、BD 相交于O 点，若三角形AOD 的面积是2，三角形OOD 的面积是l ，三角形COB 的面积是4，则四边形ABCD 的面积是()．A ．16D ．15C ．14D ．13( “希望杯”邀请赛试题)16．如图，S △ABC ＝1，若S △BDE ＝S △DEC =S △ACE ，则S △ADE ( )．A ．51B ．61C ．71D ．8117．己如，△ABC 的面积为1，分别延长AB 、BC 、CA 到D 、E 、F ，使AB=BD ，BC=CE ，CA ＝AF ，连DE 、EF 、FD ，求△DEF 的面积．18．如图，已知长方形的面积是36平方厘米，在边AB 、AD 上分别取点E 、F ，使得AE=3EB ，DF ＝2AF ，DE 与CF 的交点为O ，求△FOD 的面积．(第1l 届“希望杯”邀请赛试题)19．有一个正方形的花坛，现要将它分成面积相同的8块，分别种上不同颜色的花．(1)如果要求这样分成的8块的形状也相同，请你画出几种设计方案；(2)为了画出更多的设计方案，你能从中找出，—些规律吗?(3)如果要8块中的每4块形状相同，应如何设计?试尽可能精确地画出你的创意．20．如图，已知四边形ABCD 面积为S ，E 、F 为AB 的三等分点，M 、N 为DC 的三等分点．试用S 的代数式表示四边形EFNM 的面积．参考答案。
初中数学竞赛 知识点和真题 第22讲 面积问题和面积法
A第22讲 面积问题和面积法可以用一次的想法是一个诀窍，如果它可以用两次以上，那它就成为一种方法了. ——G.波利亚知识方法扫描面积问题指用面积公式计算常规的平面图形的面积，且能用割补法和等积变形求较复杂图形的面积。
面积法通指运用面积关系求解一些几何题甚至代数问题。
1．要熟练掌握平面图形的面积公式，特别是三角形的面积公式，如① S=12ah a ； ② S=12absinC ； ③S=1pr ； ④ ；⑤ S=4abc R。
以上各式中，三角形三边为a ，b ，c ；h a 是BC 边上的高；p=12(a+b+c)是半周长，R 和r 分别是外接圆和内切圆半径。
2．掌握面积与线段之间的下列重要的关系：① 高（或底）相等的两个三角形的面积之比，等于底（或高）的比； ② 有一个角相等的两个三角形的面积之比，等于夹这个角的两边乘积之比；③相似三角形的面积之比，等于相似比的平方。
3．凡涉及三角形的高、垂线或角的平分线的问题，都可以尝试用面积法。
线段比与面积比的转化，是常用的技巧经典例题解析例1（2004竞赛试题）设点E 、F 、G 、H 分别在面积为1边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上，且EB AE＝FC BF ＝GD CG ＝HADH ＝k (k 是正数），求四边形EFGH 的面积。
解 连结AC ，过点G 作GP ∥AC 交DH 于点P ，有DCDG DA DP =. 由已知k HA DH GD CG ==，则1+=k k DA DH .于是有11+==k DC DG DA DP ，从而k DPDH S S DPG DHG ==∆∆. 又由于△DPG ∽△DAC ，我们有2)1(1+=∆∆k S S DAC DPG ，故2)1(+=∆∆k k S S D A CDHG 因此 D A C D H G S k k S ∆∆+=2)1(. ① 同理 B A C B E F S k k S ∆∆+=2)1(. ② ①+②得：222)1()1()()1(+=+=++=+∆∆∆∆k k S k k S S k k S S ABCD BAC DAC BEF DHG . 连结BD ，同理可证2)1(+=+∆∆k k S S CFG AEH . 所以()EFGH ABCD AEH BEF CFG DHG S S S S S S ∆∆∆∆=-+++222211(1)(1)k k k k +=-=++。
初中数学竞赛讲座《面积问题》
【面积问题的解题方法望而生畏， 不知从何下手，通过观察，显然该三角形 不是一个特殊的三角形，不宜直接求解。 由根号内的代数式是两数的平方和，联想 到勾股定理，进而想到构造长和宽分别为 2a，2b的矩形，再由面积的割补来求解。
【面积问题的解题方法 】
七、有关比例定理的运用 例7．已知凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且 △ABC，△ACD，△ABD的面积分别为S1=5，S2=10，S3=6．求 △ABO的面积．
九年级竞赛辅导
面积问题
【赛点解读】
面积题在竞赛中经常出现，主要形式之 一是求阴影部分的面积，也有一些题表面 上不是求面积，实际上通常是用面积关系 来求解．常用到以下公式、公理和定理．
【面积问题的解题方法 】
一、用规则图形的和、差求面积
【面积问题的解题方法 】
二、割补法求面积
【面积问题的解题方法 】
三、等积变形法
【面积问题的解题方法 】
四、格点多边形法
【面积问题的解题方法 】
五、用方程（组）思想求面积：根据图形的对称性，将图形分成几类，
用字母表示这些图形的面积，然后根据图形列出方程组，通过解方程组来求 所求图形的面积。
例5．如图，在边长为a的正方形内，分别以四边为直径画四个 半圆，求这四个半圆所围成的阴影部分的面积。
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八年级数学竞赛例题专题讲解：面积法
阅读与思考
平面几何学的产生源于人们测量土地面积的需要，面积关联着几何图形的重要元素边与角．
所谓面积法是指借助面积有关的知识来解决一些直接或间接与面积问题有关的数学问题的一种方法．有许多数学问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积联系着几何图形的重要元素，所以借助于有关面积的知识求解，常常简捷明快．
用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采用不同方法或从不同角度去计算，就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果．下列情况可以考虑用面积法：
（1）涉及三角形的高、垂线等问题；
（2）涉及角平分线的问题．
例题与求解
【例1】如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的边长为______________．
(全国初中数学联赛试题) 解题思路：从寻求三条垂线段与等边三角形的高的关系入手．
等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高，那么等边三角形呢？等腰梯形呢？
【例2】如图，△AOB中，∠O＝，OA＝OB，正方形CDEF的顶点C在DA上，点D在OB上，点F在AB上，如果正方形CDEF的面积是△AOB的面积的，则OC：OD等于( )
A．3：1 B．2：1
C．3：2 D．5：3
解题思路：由面积关系，可能想到边、角之间的关系，这时通过设元，即可把几何问题代数化来解决．
【例3】如图，在□ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BE＝DF，BE与DF交于G，求证：∠BGC＝∠DGC.
（长春市竞赛试题）解题思路：要证∠BGC＝∠DGC，即证CG为∠BGD的平分线，不妨用面积法寻找证题的突破口．
【例4】如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP，BP，CP交BC，CA，AB于点D、E、F.
求证：（1）；
（2）.
（南京市竞赛试题）
解题思路：过P点作平行线，产生比例线段.
【例5】如图，在△ABC中，E，F，P分别在BC，CA，AB上，已知AE，BF，CP相交于一点D，
且，求的
值.
解题思路：利用上例的结论，通过代数恒等变形求值.
（黄冈市竞赛试题）
【例6】如图，设点E，F，G，H分别在面积为1的四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，
且（是正
数），求四边形EFGH的面积．
（河北省竞赛试题）解题思路：连对角线，把四边形分割成三角形，将线段的比转化为三角形的面积比．
线段比与面积比的相互转化，是解面积问题的常用技巧．转化的基本知识有：
(1) 等高三角形面积比，等于它们的底之比；
(2) 等底三角形面积比，等于它们的高之比；
(3) 相似三角形面积比，等于它们相似比的平方．
能力训练
1．如图，正方形ABCD的边长为4cm，E是AD的中点，BM⊥EC，垂足为M，则BM＝______.
（福建省中考试题）2．如图，矩形ABCD中，P为AB上一点，AP＝2BP，CE⊥DP于E，AD＝
，AB＝，则
CE＝__________.
（南宁市中考试题）
第1题图第2题
图第3题图
3．如图，已知八边形ABCDEFGH中四个正方形的面积分别为25，48，121，114，PR＝13，则该八边形的面积为____________.
（江苏省竞赛试题） 4. 在△ABC中，三边长为，
，，
表示边上的高的长，，
的意义类似，则(＋＋
)
的值为____________. （上海
市竞赛试题）
5．如图，△ABC的边AB＝2，AC＝3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分别表示以AB，BC，CA为边的正方形，则图中三个阴影部分的面积之和的最大值是__________.
（全国竞赛试题） 6．如图，过等边△ABC内一点P向三边作垂线，PQ＝6，PR＝8，PS＝10，则△ABC的面积是 ( )．
A. B.
C.
D.
（湖北省黄冈市竞赛试题）
第5题图第6题图第7题图
7．如图，点D是△ABC的边BC上一点，若∠CAD＝∠DAB＝
，AC＝3，AB＝6，则AD的长是( )．
A．2 B. C.3 D.
8．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，AN，BN，DM，CM划分四边形所
成的7个区域的面积分别为，
，，
，，
，，那么恒
成立的关系式是( )．
A.
+=
B.+=
C.
+= D．+=
9．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为
，，
，△ABC的高为．若点P在一边BC上（如图1），此时，可得结论：
＋＋
＝.
请直接用上述信息解决下列问题：
当点P在△ABC内（如图2）、点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还
成立？若成立．请给予证明；若不成立，，
，与
之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明．
（黑龙江省中考试题）
10.如图，已知D，E，F分别是锐角△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD、BE、CF相交于P点，AP＝BP＝CP＝6，设PD＝，PE＝
，PF＝，若，求的值．
（“希望杯”邀请赛试题）
11.如图，在凸五边形ABCDE中，已知AB∥CE，BC∥AD，BE∥CD，DE∥AC，求证：AE∥BD.
（加拿大数学奥林匹克试题）
12.如图，在锐角△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA边上的三等分点. P，Q，R分别是△ADF，△BDE，△CEF的三条中线的交点.
(1) 求△DEF与△ABC的面积比；
(2) 求△PDF与△ADF的面积比；
(3) 求多边形PDQERF与△ABC的面积比.
13．如图，依次延长四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，使
，
若，求的值．（上海市竞赛试题）
14.如图，一直线截△ABC的边AB，AC及BC的延长线分别交于F，E，D三点，求证：
．
（梅涅劳斯定理）
15．如图，在△ABC中，已知，求
的值.
（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）。