上海中学2019年自招数学试题及答案(pdf版)
2019年上海中学自招数学试卷
2019上海中学自主招生试卷及答案1、已知0a ≠，求2323a a a a a a++=___________ 【答案】3或1-【解析】①0a >时，23231113a a a a a a++=++=； ②0a <时，23231111a a a a a a++=-+-=-； 2、因式分解：332x x -+【答案】()()212x x -+【解析】拆项()()3323222121x x x x x x x x -+=--+=--- ()()()()()()()2211211212x x x x x x x x x =+---=-+-=-+ 3、已知两个二次方程20ax ax b ++=与20ax bx b ++=各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为________【答案】3【解析】设m ，n 分别为20ax ax b ++=与20ax bx b ++=的两个实数根，1m n ⋅=，1n m ∴=，由题意得20am an b ++=①与20an bn b ++=②，将1n m=代入到20an bn b ++=有2110a b b m m++=，变形得20bm bm a ++=③，由①③联立得()()()20b a m b a m a b -+-+-=，讨论：1）0b a -=，0b a =≠时，m ，n 为210x x ++=的实数根，22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭恒成立，所以此种情况无解；2）0b a -≠时，有210m m +-=，有11m m -=-，且222221123m n m m m m ⎛⎫+=+=-+= ⎪⎝⎭4、求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为________个【答案】372【解析】设较小的两边为x 、y ，且x y ≤，则最大边为15的三角形有如下情况：15x y ≤≤，15x y +>①1x =时，15y =；②2x =时，15y =，14y =；③3x =时，15y =，14y =，13y =；④4x =时，15y =，14y =，13y =，12y =；⑤5x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =；⑥6x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =；⑦7x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =；⑧8x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =，8y =； ⑨9x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =； ……共有12345678765432164++++++++++++++=种同理：最大边为14的有1234567+765432156++++++++++++=种 最大边为13的有123456765432149++++++++++++=最大边为12的有12345665432142+++++++++++=最大边为11的有1234565432136++++++++++=最大边为10的有123455432130+++++++++=最大边为9的有12345432125++++++++=最大边为8的有1234432120+++++++=最大边为7的有123432116++++++=最大边为6的有12332112+++++=最大边为5的有123219++++=最大边为4的有12216+++=最大边为3的有1214++=最大边为2的有112+=最大边为1的有1综合共有：1246912162025303642495664=372++++++++++++++种5、已知点()3,5C ，()0,1D ，A 、B 两点在x 轴上且2AB =,已知点A 在x 轴右侧，求ABCD C 的最小值为_________ 【答案】737+6、如图，正方形ABCD 边长为2，点E 、F 分别为AB 、BC 中点，AF 分别交线段DE ，DB 于点M 、N ，求DMN S =__________【答案】815【解析】利用比例，延长AF 、DC 交于点G ，//AB CD ,::1:4AM MG AE DG ∴== ::1:2AN NG AB DG ∴==:3:2AM NM ∴=，:3:2AM NM ∴=且::2:1DN NB AD BF ==，2224825531515DMN DAN ABD S S S ==⨯=⨯= 7、已知1a >a a x x -+=143a -+- 【解析】8、已知：()11,2,3,,i x i n <=⋅⋅⋅，且12121000n n x x x x x x ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，则n 的最小值为（ ）A 、999B 、1000C 、1001D 、1002 【答案】D9、已知：在ABC 中，8AB =，6AC =，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且2AD =，当ADEACB 时，AE =_________ 【答案】32或83【解析】进行分类，按照斜A 形分为两类，画图计算可得32或83 10、如图，在ABC ，AB AC =，过点B 在ABC ∠内部作任一射线，作AH ⊥射线于点H ，在图上任取一点P ，使得//HP BC ，且12HP BC =，联结AP 、CP ，求证：AP CP ⊥【答案】见解析【解析】延长BH ，CP 交于点M ，联结AM ，借用垂直平分线求证AB AM AC ==，从而易得AP CP ⊥11、一个正方形每条边上有三个四等分点，由这些四等分点最多可组成多少个三角形？【答案】216个附：无答案试卷题目1、已知0a ≠，求2323a a a a a a++=___________ 2、因式分解：332x x -+3、已知两个二次方程20ax ax b ++=与20ax bx b ++=各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为________4、求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为________个5、已知点()3,5C ，()0,1D ，A 、B 两点在x 轴上且2AB =,已知点A 在x 轴右侧，求ABCD C 的最小值为_________6、如图，正方形ABCD 边长为2，点E 、F 分别为AB 、BC 中点，AF 分别交线段DE ，DB 于点M 、N ，求DMN S =__________7、已知1a >，解方程：a a x x -+= 8、已知：()11,2,3,,i x i n <=⋅⋅⋅，且12121000n n x x x x x x ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，则n 的最小值为（ ）A 、999B 、1000C 、1001D 、10029、已知：在ABC 中，8AB =，6AC =，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且2AD =，当ADE ACB 时，AE =_________10、如图，在ABC ，AB AC =，过点B 在ABC ∠内部作任一射线，作AH ⊥射线于点H ，在图上任取一点P ，使得//HP BC ，且12HP BC =，联结AP 、CP ，求证：AP CP ⊥11、一个正方形每条边上有三个四等分点，由这些四等分点最多可组成多少个三角形？。
上海交大附中2019自招数学真题及答案
2019年交大附中自招数学试卷1.求值：cos30sin 45tan 60︒⋅︒⋅︒=2.反比例函数1y x=与二次函数243y x x =-+-的图像的交点个数为3.已知210x x --=，则3223x x -+=4.设方程(1)(11)(11)(21)(1)(21)0x x x x x x ++++++++=的两根为1x 、2x ，则12(1)(1)x x ++的值为5.直线y x k =+（0k <）上依次有A 、B 、C 、D 四点，它们分别是直线与x 轴、双曲线k y x=、y 轴的交点，若AB BC CD ==，则k 的值为6.交大附中文化体育设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体锻课，英才班部分学生参加篮球小组，其余学生参加排球小组，篮球小组中男生比女生多五分之一，排球小组男女生人数相等，一段时间后，有一名男生从篮球小组转到排球小组，一名女生从排球小组转到篮球小组，这样篮球小组的男女生人数相等，排球小组女生人数比男生人数少四分之一，问英才班有多少人？7.已知a 、b 、c 、n 是互不相等的正整数，且1111a b c n+++也是整数，则n 的最大值为8.如图，ABCDE 是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为9.若关于x 的方程2(4)(6)0x x x m --+=的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m 的值为10.设△ABC 的三边a 、b 、c 均为正整数，且40a b c ++=，则当乘积abc 最大时，△ABC 的面积为11.如图，在直角坐标系中，将△OAB 绕原点旋转到△OCD ，其中(3,1)A -、(4,3)B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为12.如图，数轴上从左到右依次有A 、B 、C 、D 四个点，它们对应的实数分别为a 、b 、c 、d ，如果存在实数λ，满足：对线段AB 和CD 上的任意一点M ，其对应的实数为x ，实数xλ对应的点N 仍然在线段AB 或CD 上，则称(,,,,)a b c d λ为“完美数组“，例如：(1,2,3,6,6)就是一组”完美数组“，已知||1AB =，||5BC =，||4CD =，求此时所有的”完美数组“，写出你的结论和推算过程.参考答案1.42.3个3.24.20035.92- 6.36人7.428.4π9.65910.11.913(,)55-12.(4,3,2,6,12)--，(2,1,8,4,8)---，(2,3,8,12,24)2019年交大附中自招数学试卷（二）1.()S n 为n 的各位数字之和，例(2019)201912S =+++=.（1）当1099n ≤≤时，求()n S n 的最小值；（2）当100999n ≤≤时，求()n S n 的最小值；（3）当10009999n ≤≤时，求()n S n 的最小值.2.（1）如图，2AB =，1BC =，3CD =，M 为以BD 为直径的圆上任意一点，求证：AM MC为定值.（2）尺规作图：以上图结论画出点P ，使::1:1:2PA PB PC =，保留作图痕迹并写出步骤.。
上海市交通大学附属中学(交大附中)2019年-自主招生数学试卷 (PDF版 含答案)
2019年交大附中自招数学试卷一、填空题1、求值：cos30sin 45tan 60⋅⋅=.2、反比例函数1y x =与二次函数243y x x =-+-的图像的交点个数为.3、已知210x x --=，则3223x x -+=.4、设方程()()()()()()11111211210x x x x x x ++++++++=的两根为1x ，2x ，则()()1211x x ++=.5、直线y x k =+（0k <）上依次有,,,A B C D 四点，它们分别是直线与x 轴、双曲线k y x=、y 轴的交点，若AB BC CD ==，则k =.6、交大附中文化体行设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体育课，英才班部分学生参加篮球小组、其余学生参加排球小组。
篮球小组中男生比女生多五分之一，排球小组男女生人数相等；一段时间后，有一名男生从篮球小组转到排球小组，一名女生从排球小组转到篮球小组，这样篮球小组的男女生人数相等，排球小组女生人数比男生人数少四分之一，问英才班有人.7、已知,,,a b c n 是互不相等的正整数，且1111a b c n +++也是整数，则n 的最大值是.8、如图，ABCDE 是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为.9、若关于x 的方程()()2460x x x m --+=的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m =.10、设ABC 的三边,,a b c 均为正整数，且40a b c ++=，当乘积abc 最大时，ABC 的面积为.11、如图，在直角坐标系中，将AOB 绕原点旋转到OCD ，其中()3,1A -，()4,3B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为.二、解答题12、如图，数轴上从左到右依次有,,,A B C D 四个点，它们对应的实数分别为,,,a b c d ，如果存在实数λ,满足：对线段AB 和CD 上的任意M W，其对应的数为x ，实数xλ对应的点N 仍然在线段AB 或CD 上，则称(),,,,a b c d λ为“完美数组”。
最新上海中学自招数学卷及答案
2013年上海中学“创新素养培育项目肝数学测试卷答案请写衽答题紙上 一、填空JS （本部分共10道题.毎蛊8分.共刑分）] ] I1 + F 迈+第+ * 回迈皿0135. 二氏函ft j=a?+fcrhc 的图像与工轮冇两个交点Af 、氐 顶点为R ・ 三箱形，则d ____________ .>6. 如图为"个小正方廨鉅成的5x5棋直*其中含冇符号“尸 的各 种正方形共科 ____工平面上有甘个点，其中任意三点都呈直怖三肃形的顶点，则川的 量夫值为 __________ 。
a.若方疽四个非零实根，且它的四个点聊观拌列，则实豔 fc=■9- 1个老人有/!匹马，他把马全部井给两小儿子.犬儿于建JC 匹、小儿子得F%*（^1>, 弄且満足工是刃+1的的数，$也<n+l 的勵ft 则正植数昶共有—禅可能的取值丫10.呂知tfM ）且不尊式】畑勺恰有三个正嫂解，JW 当不軒式2啦r 3含有鼓多皓整誥解时. 正敷a 的取值范用为 _______________ .二、鮮答JS （車部井共四iSMt 其中前两厲耶愿”分.后補惠每題九分.共70幷，宴求 玛出必要的解題步驟）仇设方程 A-1-0的两个根为附th 求需足血円,贞炉4贞1）-1的二次踊数贞町L 计算2.设命片書为整数且滑足乳y 严‘亠如“1,吋代叠式耐“MF+i 询3的值为 ________________4 足1国・ MBC 中.,1C=3+ BC=4, AB=^ 抵段 DE 丄dB,且 ABDE 的面親捷3（7面积的三分之一.那么，域段E 口长为 ________________ 着丛曲哈好是等辿12.已知1+2+3+…和刊0广1)2 这里n为任盘正整捡・请林利用恒等式(n+ l)J=rt3+3«2+3n+l s< 导出F+H+F+, ..-ht1的计隼公式13.解方程组=1 + 0-分卜―2+匸—r -3+(x-y)214 rl知也45(?・CA=5. AB=・BC=7. MEC中.ZJ^ZX, ZS - ZB,但AJ:B r C的大小和恃强不定*艸£到古为定绐？r. ft* R出此定逬；FM、是.说珈淳由,BQ的即离为3・皮到川亡的叩离为1(如圏J问：U到曲的即离杲2013年上海中学“创新素养培育项目"数学测试卷参考答案工林析：”的理大值就^2x2=4,构造阁春见闱砸中的A^Cn1汇解析：电瞩矣比递推式的屈用*恒算式(Hiy^P+^F+mfr+l ・即(h+lp-p 今F+3*+lM ^-lMxiMxi+i 令 処 3J -2J =3X2M X 2+1 令和九 则 4f-3Mxl J +3X3+l令和叽(JI (n+1)3—/?J_3Xjt :+3Xn+l上述各式相抑’得到(n H)3-l 3-3X(lM :+32+.r ^2)+SX(W+3+...+n >4-lXji5 一 4ar=12: 6.共有1+4+姑4+1=1"牛・2“丄? 109 F 只隹取1』・所以.片只張取3・或買两种可能. 1L 介）=一/+21 ^513-1；4. 1B8.Jt=7/4故(l2+2a+3a+...+fl^ [<>rH?-P-n].3-n(jr+l)/2^{n+lXjrK2)/3-jT(n+l)/2==n(H+lX2ir+l)/6 B. Mi煤方程爼可以用平方菱公式化为（这是量关慷的步）(X+J-2)(X-J+Z )= l * Cy+--x)0,-z + x) = 2(z+x^y)(z^x+y)^3令 E*-二r=＞七一二［规察发規规律*字母轮換人 则方程粗可以简代为； 尬-1*必=2 ffitz a:M:3. bc=\ 2t HP (r:6:c-2:3:6・l 充分利用比例杵质.化成連比)2H ? = 3L令l 乩 A 弘 i, I 连比常用的的方袪人 则护-1・—6从而 a= *： J5 J . b= ＜ 歯 2 c= t 歯一咸乩 通束咼到 yk) « 耐妇*麻' 代人毎个式于不游得利4乩c lilM 「即刻将工朵的二元二执方崔广I 代为「二元 决方宦也.隆沈方法两两相加，(观察仔？即捕笈现號律人可得到*y+:-x-±4^I 丄解折：过心川件£＜：的平行浅厶*过点E'蒂丿(T 的半忏浅丄:.愛干点昭.第种特殊悄昭就是点£与点M 重件时.M^IAB 的呼离也等干C ■到血的呼离(设", 则点M 将JJBC 划井为三牛三角瞻，分别为XdEV. 昶CM*由商职戈系・竭利：Sna^^i+i V +S M *产％« 帆 i卞边二牛二角形血祀由底理以高除以.2得別*右边三角旳由丁己二边反・叶戍求由祝可 以榊海伦公式*叮 0 5 I C LV +5^ 1+7 ・ “ =^PCP -aXp-b)(p-c),这里 严3決)2 o=7+RV=E 皈JP =9 R 汁茸帶到1=1(^——本跑还冇 个特殊情况就是A 二B\ C 、三点重汴于点M.站论同样建立°严黑一点=超日应谏说明A* , B ，在3C 内部，因为到宜纽跑离相爭的点可以分布狂该 直线的两需.这时轴杲恐怡要不3G 第三个国的结论是x=2齿翻.第101种團舟的结论是 半同定〔岸・B\ C 都冇附种可址.故ft ^=S 可能。
2019年上海数学·自招(中考)第12讲 三角形拓展
第12讲 三角形拓展例1 证明勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和一定等于斜边的平方.例2 证明：三角形三条中线交于一点，且该点是中线三等分点.例3 证明：三角形三边上的三条高线交于一点.例4 求证：在任意三角形ABC 中，垂心H 到顶点B 的距离等于外心O 到边AC 的距离的2倍.例5 若(,,)a b c 是一个基本勾股数，则a 、b 中一个是奇数，一个是偶数，c 是奇数.例6 在直角三角形ABC 中，90C ∠=o，三边长均为整数，周长为30，且有一直角边长为素数，求其三边长.例7 已知ABC ∆的三个角A 、B 、C 对应边分别为a 、b 、c ，求证：2222cos a b c bc A =+-.例8 已知ABC ∆的外接圆半径为R ，三个角A 、B 、C 对应边分别为a 、b 、c ，求证：2sin sin sin a b cR A B C===.例9 设'A 、'B 、'C 分别是ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上的点，若'A 、'B 、'C 三点在一条直线上，则''''''1BA CB AC AC B A C B∙∙=.例10 设'A 、'B 、'C 分别是ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上的点，若'AA 、'BB 、'CC 三条直线平行或相交于一点，则''''''1BA CB AC AC B A C B∙∙=.挑战自我1、证明：若三角形三边长分别为a 、b 、c ，面积为s ，则内切圆半径为2sr a b c=++.2、如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，求最大正方形E 的面积.3、“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形.如图所示，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），求投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（韩边线）的概率.4、如图，已知Rt ABC ∆中，3AC =，4BC =，过直角顶点C 作1CA AB ⊥，垂足为1A ，再过1A 作11AC BC ⊥，垂足为1C ，过1C 作12C A AB ⊥，垂足为2A ，再过2A 作22A C BC ⊥，垂足为2C ，……，这样已知作下去，得到了一组线段11112,,,CA AC C A …，求：1CA 的长及4555C AA C的值.5、已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=o，4AB =，分别以AC 、BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，求12S S +的值.6、ABC ∆中，D E 、是边BC 的三等分点，点M 是AC 的中点，BM 交AD 于G ，交AE 于H ，求::BG GH HM 的值.7、在PQR ∆中，延长PQ 到S ，使PQ QS =，点U 在边PR 上，且23PU UR =，连接SU ，设SU 与QR 交点为T ，求QTQR的值.8、如图，已知D 、F 分别是ABC ∆边AB AC 、上的点，且::23AD DB CF FA ==：，连接DF 交BC 边延长线于E 点，求:EF FD .9、如图，已知D E 、分别是ABC ∆的边BC CA 、上的点，且23BD DC =，34AE EC =，AD BE 、交于F ，求AF BFFD FE∙的值.DFEC B AEFDCBA10、若ABC ∆的A ∠的外角平分线与边BC 的延长线交于点P ，B ∠的平分线交边AC 于Q ，C ∠的平分线交边AB 于R （见图），则P Q R 、、三点共线.11、如图，设M 是ABC ∆内一点，BM 交AC 于E ，CM 交AB 于F ，若//BC EF ，求证：AM 过BC 的中点.12、如图，ABC ∆中，AD BE CF 、、交于点P D E F 、、、关于各边BC AC AB 、、中点的对称点分别是'''D E F 、、，求证：'''AD BE CF 、、三线共点.RQPCBAMEFDCBAPE'EF'FD'D CBA。
上海中学自招真题解析
ABCDEF 的相似比为1: 3 ，因此面积比为1: 3 ．因为 ABCDEF 的面积是 6cm2 ，所以阴影部分的面积为 6 3 2(cm2 ) ．
10、已知 y1 2x2 4 m x 4 m 与 y2 mx 在 x 取任意实数时， y1 ， y2 至少有一个是正
数，m 的取值范围是________． 【答案】 m 4 ． 【解析】取 x 0 ，则 y1 4 m ， y2 0 ， 4 m 0 ， m 4，
，解得 3
m n
3 2 3 2
，另一解与
O
重合，舍去．因此 C(3 2
,
3)． 2
7、一张矩形纸片 ABCD ， AD 9 ， AB 12 ，将纸片折叠，使 A 、 C 两点重合，折痕长是
．
【答案】 45 ． 4
【解析】由题意知折痕是线段 AC 的中垂线，设它与 AB , CD 分别交于 M , N ．设 MB x ，
上海中学自主招生试题
1、因式分解： 6x3 11x2 x 4
．
【答案】 x 13x 42x 1 ．
【解析】容易发现 x 1是方程 6x3 11x2 x 4 0 的解，因此原式可以提出因式 (x 1) ，
得到 (x 1)(6x2 5x 4) ，对 (6x2 5x 4) 用十字相乘可以得到原式等于 (x 1)不相等的实数，x 是任意实数，化简：
a
x a2 ba
c
c
x b2 ba
b
c
x c2 ac
b
________．
【答案】1．
【解析】令
f
x
a
x a2 ba
c
c
x b2 ba
b
c
x c2 ac
上海中考自招试卷(数学)及答案要点(pdf版)
高中自主招生练习卷数学试卷考生注意：1.本试卷共18题.2.试卷满分150分，考试时间100分钟.3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.4.除第一大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、填空题（41分，第1~5题每题3分，第6~7题每题8分，第8题10分）1.32++-=x x y 的最小值是.2.不等式0232≥++bx x 的解是全体实数，则b 的取值范围是.3.如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝3cm ，AB ＝6cm ，且MN ∥PQ ∥AB ，DM ＝MP ＝PA ，则MN ＝cm ，PQ ＝cm.4．已知关于x 的不等式122++mx mx >0的解是一切实数，则m 的取值范围为___________.5.已知关于x 的方程111112-=--+-x mx x x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是.6.若多项式b x x -+1732分解因式的结果中有一个因式为4+x ，则b 的值为.7.若y x ，为正实数，且4=+y x ，则4122+++y x 的最小值为.8.对任意A 中任取两个元素x ，y ，定义运算x*y ＝ax+by+cxy ，其中a ，b ，c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算．已知1*2＝3，2*3＝4，并且集合A 中存在一个非零常数m ，使得对任意x ，都有x*m ＝x ，则称m 是集合A 的“钉子”．集合A ＝{x|0≤x ≤4}的“钉子”为．二、简答题（共109分）9.（8分）已知实数a ,b 满足122=b a ＋,0＞ab ,求2211a b b a -+-的值.10.（8分）已知集合A ＝{0，1}，B ＝{a 2，2a }，其中a ∈R ，我们把集合{x |x ＝D C MP N Q ABx 1+x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，记作A ×B ，若集合A ×B 中的最大元素是2a +1，求a 的取值范围.11.（8分）设f x ax bx ()=+2，且112214≤-≤≤≤f f ()()，，求f ()-2的取值范围。
(高清打印版)2019届交大附中初升高自招数学
精品文档，欢迎下载！2019年交大附中自招数学试卷1.求值：cos30sin 45tan 60︒⋅︒⋅︒=2.反比例函数1y x=与二次函数243y x x =-+-的图像的交点个数为3.已知210x x --=，则3223x x -+=4.设方程(1)(11)(11)(21)(1)(21)0x x x x x x ++++++++=的两根为1x 、2x ，则12(1)(1)x x ++的值为5.直线y x k =+（0k <）上依次有A 、B 、C 、D 四点，它们分别是直线与x 轴、双曲线k y x=、y 轴的交点，若AB BC CD ==，则k 的值为6.交大附中文化体育设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体锻课，英才班部分学生参加篮球小组，其余学生参加排球小组，篮球小组中男生比女生多五分之一，排球小组男女生人数相等，一段时间后，有一名男生从篮球小组转到排球小组，一名女生从排球小组转到篮球小组，这样篮球小组的男女生人数相等，排球小组女生人数比男生人数少四分之一，问英才班有多少人？7.已知a 、b 、c 、n 是互不相等的正整数，且1111a b c n+++也是整数，则n 的最大值为8.如图，ABCDE 是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为9.若关于x 的方程2(4)(6)0x x x m --+=的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m 的值为10.设△ABC 的三边a 、b 、c 均为正整数，且40a b c ++=，则当乘积abc 最大时，△ABC 的面积为11.如图，在直角坐标系中，将△OAB 绕原点旋转到△OCD ，其中(3,1)A -、(4,3)B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为12.如图，数轴上从左到右依次有A 、B 、C 、D 四个点，它们对应的实数分别为a 、b 、c 、d ，如果存在实数λ，满足：对线段AB 和CD 上的任意一点M ，其对应的实数为x ，实数xλ对应的点N 仍然在线段AB 或CD 上，则称(,,,,)a b c d λ为“完美数组“，例如：(1,2,3,6,6)就是一组”完美数组“，已知||1AB =，||5BC =，||4CD =，求此时所有的”完美数组“，写出你的结论和推算过程.参考答案1.42.3个3.24.20035.92- 6.36人7.428.4π9.65910.11.913(,)55-12.(4,3,2,6,12)--，(2,1,8,4,8)---，(2,3,8,12,24)2019年交大附中自招数学试卷（二）1.()S n 为n 的各位数字之和，例(2019)201912S =+++=.（1）当1099n ≤≤时，求()n S n 的最小值；（2）当100999n ≤≤时，求()n S n 的最小值；（3）当10009999n ≤≤时，求()n S n 的最小值.2.（1）如图，2AB =，1BC =，3CD =，M 为以BD 为直径的圆上任意一点，求证：AM MC为定值.（2）尺规作图：以上图结论画出点P ，使::1:1:2PA PB PC =，保留作图痕迹并写出步骤.。
上海中学自招数学真题(含答案)
上海中学自主招生试题1、因式分解：326114x x x -++=．【答案】()()()13421x x x --+．【解析】容易发现1x =是方程3261140x x x -++=的解，因此原式可以提出因式(1)x -，得到2(1)(654)x x x ---，对2(654)x x --用十字相乘可以得到原式等于(1)(34)(21)x x x --+．2、设0a b >>，224a b ab +=，则a ba b+=- ．【解析】由条件可得2()6a b ab +=，2()2a b ab -=．因此22()63()2a b aba b ab+==-．由于0a b +>，0a b ->，所以a ba b+=-3、若210x x +-=，则3223x x ++=．【答案】4．【解析】对多项式用带余除法可得32223(1)(1)4x x x x x ++=+-++，而由条件2(1)(1)0x x x +-+=，因此原式的值等于4．4、已知()()()24b c a b c a -=--，且0a ≠，则b ca+=_________． 【答案】2．【解析】令a b m -=，c a n -=，则c b m n -=+， 代入()()()24b c a b c a -=--中得()24m n mn +=， ()20m n ∴-=，m n ∴=，即a b c a -=-，即2a b c =+，2b ca+∴=．5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是 ．【答案】49．【解析】第一次取出红球的概率为23，且无论第一次取出什么球，第二次取出红球的概率仍为23，因此两次都是红球的概率是224339⨯=．6、直线:l y =与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是．【答案】32⎛ ⎝⎭．【解析】根据函数解析式可以算出A 、B 的坐标分别为(1,0)A，B ．由于ACB 是AOB 关于直线AB 对称得到的，所以AC AO =，BC BO =．设(,)C m n，则可列方程组2222(1)1(3m n m n ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得32m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩O重合，舍去．因此3(2C ．7、一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是． 【答案】454． 【解析】由题意知折痕是线段AC 的中垂线，设它与AB ,CD 分别交于,M N ．设MB x =，则由MC MA =可列方程2229(12)x x +=-，解得218x =．同理有218DN =．作ME CD ⊥，垂足为E ，则四边形MECB 是矩形，因此9ME BC ==，218CE BM ==．可知274NE CD DN CE =--=．而454MN ===．因此折痕长为454．8、任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半——得到2n，如果n 是奇数，则将它乘以3加1——得到31n +，不断重复这样的运算，如果对正整数n （视为首项）按照上述规则实施变换后（有些书可能多次出现）的第8项为1，则n 的所有可能取值为________． 【答案】128，21，20，3，16，2．【解析】设某一项为k ，则它的前一项应该为2k 或者13k -． 其中13k -必为奇数，即()4mod 6k ≡， 按照上述方法从1开始反向操作7次即可．9、正六边形ABCDED 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为．【答案】22cm ．【解析】右图中，阴影部分是正六边形，且与正六边形ABCDEF的相似比为1:3．因为ABCDEF 的面积是26cm ，所以阴影部分的面积为2632()cm ÷=．10、已知()()21244y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，1y ，2y 至少有一个是正数，m 的取值范围是________． 【答案】4m <．【解析】取0x =，则14y m =-，20y =，40m ∴->，4m <， 此时函数1y 的对称轴404mx -=-<， 则对任意0x ≥总有10y >，只需考虑0x <； 若04m ≤<，此时20y ≤， 则对任意0x <，有10y >，()()24840m m ∴∆=---<，解得04m ≤<；若0m <，此时20y >对0x <恒成立； 综上，4m <．11、已知a ，b ，c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：()()()()()()()()()222x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------________．【答案】1．【解析】令()()()()()()()()()()2222x a x b x c f x mx nx k a b a c c b a b c a c b ---=++=++------， ()()()1f a f b f c ∴===，即222111ma na k mb nb k mc nc k ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，01m n k ==⎧∴⎨=⎩ ，即()1f x ≡．12、已知实数a ，b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是________．【答案】133t -≤≤-．【解析】方法一：考虑基本不等式222a b ab +≥． 则2212a b ab ab +=-≥，则113ab -≤≤， 又2221t ab a b ab =--=-，133t ∴-≤≤-，其中1a =，1b =-时，3t =-成立；a b ==时，13t =-成立． 方法二：逆用韦达定理． 12t ab +=，()2302t a b ++=≥，3t ∴≥-，a b +=，故a ,b 是方程2102t x ++=的两个根， 314022t t ++∴∆=-⨯≥，解得13t ≤-，133t ∴-≤≤-．13、（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒．【答案】（1（2． 【解析】（1）设正五边形ABCDE ，联结,AC BE ，且设它们交于点M ．可以计算得到36ABM ABC ∠=∠=︒，因此ABM ACB ，可得2AB AM AC =⋅．同时，72BMC CBM ∠=∠=︒，所以BC MC =．若正五边形边长为1，则1AB BC CM ===，设AC x =，则由2AB AM AC =⋅可列方程21(1)x x =-，解得x去）． （2）根据诱导公式，sin18cos72︒=︒．在（1）的五边形中，BM AM AC CM ==-=．作CH BM ⊥，垂足为H ，则等腰三角形BMC 中12BH HM BM ===72CBM ∠=︒，所以sin18cos72BH BC ︒=︒==．14、（1）()32f x x ax bx c =+++，()()()01233f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）()432f x x ax bx cx d =++++，()110f =，()220f =，()330f =，求()()106f f +-．【答案】（1）69c <≤ ；（2）8104．【解析】（1）()()()01233f f f <-=-=-≤，()0f x k ∴-=有三个实根1,2,3x =---，()()()()123f x k x x x ∴-=+++，展开得6c k =+，69c ∴<≤；（2）方程()100f x x -=有三个实根1,2,3x =，记第4个根为x p =，则()()()()()10123f x x x p x x x -=----，()()()()()12310f x x p x x x x ∴=----+，()()()()()()()106109871006789608104f f p p ∴+-=-⨯⨯⨯++--⨯-⨯-⨯--=．15、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz D α+++=； 球：()()()2222x a y b z c R -+-+-=；点(),,a b c 到平面:0Ax By Cz D α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R >时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值； 问题（2）()12x y z =++． 【答案】（1）13；（2）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【解析】（1）条件可转化为点(,,)m n k 在平面10x y z ++-=上，而222m n k ++的最小值即该点到原点距离平方的最小值．这个距离最小为原点到平面10x y z ++-=的距离，而原点到平面的距离可由材料公式计算得到：3d ==，因此222m n k ++的最小值为213d =，等号在13m n k ===时取到．（2）移项后配方可以得到2221111)1)1)0222-+-+=，因此必有101010-==-=，于是解得123xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．。
上海初三自招真题含详细答案
A
D
A
D
B
B
B
E
C
B
EH
C
【答】 3 或 3 ． 2
【解析】设 BE x ，过 B 作 BH BC 于 H ，
（1） BEC 90 ， AEB 45 ， x AB 3 ，
（2） BCE 90 ， B 在 CD 上， H 与 C 重合，
由 BB AE ， BB 2 x 3 ， BH BB 3
的取值范围是______________．
【答】 a 2 ．
A
D
【解析】以 AD 中点为圆心 a 为半径作圆应与 BC 有交点， 2
a 1 a 2． 2
B
C
7. 已知锐角 ABC 的三边长恰为三个连续正整数，AB BC CA ，若 BC 边上的高为 AD，
则 BD DC ______________．
36x
显然 k 0 ，当 y kx 过 3, 2 则 k 2 ，恰有两交点，
3
当 k 2 ，三条直线平行，于是 2 k 2 ． 3
5. 如图，在梯形 ABCD 中， AB / /CD ， CD AB ，设 E、F 分别是 AC、BD 的中点，AC 与 BD 交于点 O，已知 OEF 是边长为 1 的正三角形， BOC 的面积为 15 3 ，则梯形 4 ABCD 的面积为______________．
锐角 ，连接 CD、BD，且 CD a ，则 BD ______________．
【答】 2a ．
【解析】设 OC 1 ，则 OB 4 ，
D
OD OA 2 ， OC OB OD2 ，
OCD ∽ ODB ，相似比1: 2
BD 2CD 2a ．
O
C