【考试必备】2018-2019年上海市控江中学初升高自主招生考试数学模拟试卷【11套精品试卷】
上海市控江中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析
上海市控江中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知函数()cos()3f x x π=+，则要得到其导函数'()y f x =的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ）A ．向右平移2π个单位 B ．向左平移2π个单位 C. 向右平移23π个单位 D ．左平移23π个单位2． 已知命题:()(0xp f x a a =>且1)a ≠是单调增函数；命题5:(,)44q x ππ∀∈，sin cos x x >. 则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨⌝ C. p q ⌝∧⌝ D ．p q ⌝∧ 3． 在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则210a a +=（ ）A ．12B ．16C ．20D ．24 4． 12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-25． 在下面程序框图中，输入44N =，则输出的S 的值是（ ）A ．251B ．253C ．255D ．260【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是把正整数除以4后按余数分类. 6． 已知是虚数单位，若复数)(3i a i +-（R a ∈）的实部与虚部相等，则=a （ ）A ．1-B ．2-C ．D ． 7． 以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．(0,)x π∃∈，sin tan x x =B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D ．ABC ∆中，“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2C π=”的充要条件【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．8． 给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各 面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 9． 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为4cm ，高为10cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱 柱的侧面，绕行两周到达点1A 的最短路线的长为（ ）A ．16cmB ．123cmC ．243cmD ．26cm10．设a ，b 为正实数，1122a b+≤23()4()a b ab -=，则log a b =（ ）A.0B.1-C.1 D .1-或0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 11．执行如图所示的程序，若输入的3x =，则输出的所有x 的值的和为（ ） A ．243 B ．363 C ．729 D ．1092【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（）A．四棱柱B．四棱锥C．三棱台D．三棱柱二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤02x －y ＋2≥0x ＋y －2≤0，z ＝3x ＋y ＋m 的最小值为1，则m ＝________．14．已知1a b >>，若10log log 3a b b a +=，b a a b =，则a b += ▲ ． 15．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前项和n S 取得最大值的自然数是________.16．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60︒角；④DM 与BN 是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是 （写出所有你认为正确的命题）．三、解答题（本大共6小题，共70分。
2019年上海中学自招数学试卷
2019上海中学自主招生试卷及答案1、已知0a ≠，求2323a a a a a a++=___________ 【答案】3或1-【解析】①0a >时，23231113a a a a a a++=++=； ②0a <时，23231111a a a a a a++=-+-=-； 2、因式分解：332x x -+【答案】()()212x x -+【解析】拆项()()3323222121x x x x x x x x -+=--+=--- ()()()()()()()2211211212x x x x x x x x x =+---=-+-=-+ 3、已知两个二次方程20ax ax b ++=与20ax bx b ++=各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为________【答案】3【解析】设m ，n 分别为20ax ax b ++=与20ax bx b ++=的两个实数根，1m n ⋅=，1n m ∴=，由题意得20am an b ++=①与20an bn b ++=②，将1n m=代入到20an bn b ++=有2110a b b m m++=，变形得20bm bm a ++=③，由①③联立得()()()20b a m b a m a b -+-+-=，讨论：1）0b a -=，0b a =≠时，m ，n 为210x x ++=的实数根，22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭恒成立，所以此种情况无解；2）0b a -≠时，有210m m +-=，有11m m -=-，且222221123m n m m m m ⎛⎫+=+=-+= ⎪⎝⎭4、求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为________个【答案】372【解析】设较小的两边为x 、y ，且x y ≤，则最大边为15的三角形有如下情况：15x y ≤≤，15x y +>①1x =时，15y =；②2x =时，15y =，14y =；③3x =时，15y =，14y =，13y =；④4x =时，15y =，14y =，13y =，12y =；⑤5x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =；⑥6x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =；⑦7x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =；⑧8x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =，8y =； ⑨9x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =； ……共有12345678765432164++++++++++++++=种同理：最大边为14的有1234567+765432156++++++++++++=种 最大边为13的有123456765432149++++++++++++=最大边为12的有12345665432142+++++++++++=最大边为11的有1234565432136++++++++++=最大边为10的有123455432130+++++++++=最大边为9的有12345432125++++++++=最大边为8的有1234432120+++++++=最大边为7的有123432116++++++=最大边为6的有12332112+++++=最大边为5的有123219++++=最大边为4的有12216+++=最大边为3的有1214++=最大边为2的有112+=最大边为1的有1综合共有：1246912162025303642495664=372++++++++++++++种5、已知点()3,5C ，()0,1D ，A 、B 两点在x 轴上且2AB =,已知点A 在x 轴右侧，求ABCD C 的最小值为_________ 【答案】737+6、如图，正方形ABCD 边长为2，点E 、F 分别为AB 、BC 中点，AF 分别交线段DE ，DB 于点M 、N ，求DMN S =__________【答案】815【解析】利用比例，延长AF 、DC 交于点G ，//AB CD ,::1:4AM MG AE DG ∴== ::1:2AN NG AB DG ∴==:3:2AM NM ∴=，:3:2AM NM ∴=且::2:1DN NB AD BF ==，2224825531515DMN DAN ABD S S S ==⨯=⨯= 7、已知1a >a a x x -+=143a -+- 【解析】8、已知：()11,2,3,,i x i n <=⋅⋅⋅，且12121000n n x x x x x x ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，则n 的最小值为（ ）A 、999B 、1000C 、1001D 、1002 【答案】D9、已知：在ABC 中，8AB =，6AC =，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且2AD =，当ADEACB 时，AE =_________ 【答案】32或83【解析】进行分类，按照斜A 形分为两类，画图计算可得32或83 10、如图，在ABC ，AB AC =，过点B 在ABC ∠内部作任一射线，作AH ⊥射线于点H ，在图上任取一点P ，使得//HP BC ，且12HP BC =，联结AP 、CP ，求证：AP CP ⊥【答案】见解析【解析】延长BH ，CP 交于点M ，联结AM ，借用垂直平分线求证AB AM AC ==，从而易得AP CP ⊥11、一个正方形每条边上有三个四等分点，由这些四等分点最多可组成多少个三角形？【答案】216个附：无答案试卷题目1、已知0a ≠，求2323a a a a a a++=___________ 2、因式分解：332x x -+3、已知两个二次方程20ax ax b ++=与20ax bx b ++=各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为________4、求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为________个5、已知点()3,5C ，()0,1D ，A 、B 两点在x 轴上且2AB =,已知点A 在x 轴右侧，求ABCD C 的最小值为_________6、如图，正方形ABCD 边长为2，点E 、F 分别为AB 、BC 中点，AF 分别交线段DE ，DB 于点M 、N ，求DMN S =__________7、已知1a >，解方程：a a x x -+= 8、已知：()11,2,3,,i x i n <=⋅⋅⋅，且12121000n n x x x x x x ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，则n 的最小值为（ ）A 、999B 、1000C 、1001D 、10029、已知：在ABC 中，8AB =，6AC =，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且2AD =，当ADE ACB 时，AE =_________10、如图，在ABC ，AB AC =，过点B 在ABC ∠内部作任一射线，作AH ⊥射线于点H ，在图上任取一点P ，使得//HP BC ，且12HP BC =，联结AP 、CP ，求证：AP CP ⊥11、一个正方形每条边上有三个四等分点，由这些四等分点最多可组成多少个三角形？。
2019年上海中学自主招生数学试卷
2019年上海中学自主招生数学试卷
一、填空题（共11小题，每小题0分，满分0分）
1．已知a≠0，求++＝．
2．因式分解：x3﹣3x+2＝．#MUSTA
3．已知两二次方程ax2+ax+b＝0与ax2+bx+b＝0各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为．
4．求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为个．
5．已知点C（3，5），D（0，1），A、B两点在x轴上且AB＝2．已知点A在x轴右侧，求
C ABCCD的最小值为．
6．如图，正方形ABCD边长为2，点E、F分别为边AB、BC中点，AF分别交线段DE、DB于点M、N，则S△DMN＝．
7．已知a＞1，解方程：＝x．#MUSTA
8．已知：|x i|＜1（i＝1，2，3，…，n），且|x1|+|x2|+…+|x n|＝1000+|x1+x2+…+x n|，则n的最小值为（）
A．999B．1000C．1001D．1002
9．已知，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D、E分别在边AC、AB上，且AD＝2．当△ADE∽△ACB时，AE＝．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B在∠ABC内部作任一射线，作AH⊥射线于点H，在图上取一点P，使得HP∥BC，且HP＝BC．联结AP、CP，求证：AP⊥CP．
11．一个正方形上每条边上有三个四等分点，由这些四等分点，最多可组成多少个三角形？。
2018年上海中学自主招生数学试卷及答案
上海中学自主招生试卷2018.031.因式分解：326114x x x -++=2.设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b+=-3.若210x x +-=，则3223x x ++=4.已知21()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a +=5.一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是6.直线:l y =+x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是7.一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是8.任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n ），如果n 是奇数，则将它乘以3加1（即31n +），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 所有可能取值为9.正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为10.已知212(4)(4)y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，至少有一个是正数，则m 的取值范围为11.已知a 、b 、c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：222()()()()()()()()()x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------12.已知实数a 、b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是13.（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒.14.（1）32()f x x ax bx c =+++，0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）432()f x x ax bx cx d =++++，(1)10f =，(2)20f =，(3)30f =，求(10)(6)f f +-.15.我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz d α+++=；球：2222()()()x a y b z c R -+-+-=；点(,,)a b c 到平面:0Ax By Cz d α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R >时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值；问题（21()2x y z +=++.参考答案1.(1)(34)(21)x x x --+2. 3.4 4.2 5.49 6.33(,227.4548.128、2、16、20、3、219.22cm 10.4m <11.112.133t -≤≤-13.（1）512+；（2）514-14.（1）69c <≤；（2）810415.（1）13；（2）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩。
上海市控江中学2018-2019学年高二上期中质量调研数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.直线x +2y +2=0与直线2x -y +1=0的位置关系是（ ）A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 重合2.已知向量，若且与不平行，则下列结论不正确的是（ ）⃗a、⃗b、⃗c ⃗a ⋅⃗b=1⃗a ⃗c A. B.⃗b ⋅⃗a =1(⃗a ⋅⃗b )⃗c=⃗a (⃗b ⋅⃗c)C. D.⃗a (⃗b+⃗c)=⃗a ⋅⃗b+⃗a ⋅⃗c(λ⃗a )⃗b=⃗a⋅(λ⃗b)3.如图已知A （4，0）、B （0，4）、O （0，0），若光线L 从点P （2，0）射出，直线AB 反射后到直线OB 上，在经直线OB 反射回原点P ，则光线L 所在的直线方程为（ ）A. y =x ‒2B. y =2x ‒4C.y =13x ‒23D. y =3x ‒64.若数列{a n }满足且，则a 2018为（ ）a 1=12a n +1=a n +(2‒3)1‒(2‒3)a n A.B.C. 0D. 153‒631+325二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.写出直线2x +y +1=0的一个法向量=______．⃗n 6.二元一次方程的增广矩阵为______．{x +y =12x +y =07.若，则=______．⃗a=(1，‒1)，⃗b=(2，‒1)⃗a ⋅⃗b 8.行列式中，6的代数余子式的值是______．∣123456789∣9.若向量，且，则x =______．⃗a=(x ，1)，⃗b=(‒2x ，x +1)，x ∈R⃗a∥⃗b 10.若直线l 的一个方向向量，则l 与直线x -y +1=0的夹角为______．⃗d=(1，3)11.已知数列{a n }是以1首项的等比数列，其各项和S =2，则{a n }的公比q =______．12.已知P 1=（-1，1）、P 2=（2，3），若P 在P 1P 2的长线上，且，则|⃗P 1P 2|=2|⃗P 2P|点P 的坐标为______．13.已知向量，且，则在投影为______．|⃗a|=3，|⃗b|=2(⃗a‒2⃗b)(⃗a+⃗b)=5⃗a ⃗a+⃗b 14.若直线l 经过点M （-2，1），且以A （0，-3）、B （-1，4）为端点的线段相交，则直线l 倾斜角的取值范围是______．15.如图，在△OAB中，若点M 分所成⃗OA=⃗a，⃗OB=⃗b ⃗AB 的比为2：1，若点N 分所成的比为3：1，OM 和⃗OA BN 交于点P ，则可用表示为______．⃗OP ⃗a 、⃗b 16.平面向量满足，则的最小值为⃗a，⃗b，⃗e |⃗e|=1，⃗a ⋅⃗e=1，⃗b ⋅⃗e=2，|⃗a‒⃗b|=2⃗a⋅⃗b ______．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）17.设常数m ∈R ，利用行列式解关于x 、y 的二元一次方程组，并对其解的情况进行讨论：{2x +(m +1)y =mmx +y =218.已知，是与方向相同的单位向量，是与垂直的单位向量．⃗a=(3，‒4)⃗b ⃗a ⃗c ⃗a （1）求；⃗b （2）求与的夹角大小．⃗a (⃗b‒⃗c)19.已知直线l 上两个点A （0，3）、C （3，0），其中O 为坐标原点．（1）若，求点D 的坐标，并确定点D 与直线l 的位置关系；⃗OD=13⃗OA +43⃗OC （2）已知点B 是直线l 上的一点，求证：若存在实数m 、n ，使向量，则m +n =1．⃗OB=m ⃗OA+n ⃗OC20.已知且a 1=2．a nb n +1+b n a n +1=(‒2)n+1，b n =3+(‒1)n ‒12，n ∈N ∗（1）求a 2：a 3；（2）求{a n }的通项公式；（3）设{a n }的前n 项和为S n ，求{S n +1-S n }的前n 项和．21.如图所示，将一块直角三角形板ABO 置于平面直角坐标系中，已知AB =BO =1，AB ⊥BO ，点P是三角(12，14)板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角形锯成△AMN ，设直线MN 的斜率为k ，问：（1）求直线MN 的方程；（2）若△OMP 的面积为S △OMP ，求f （k ）=S △OMP 的表达式；（3）若S 为△AMN 的面积，问是否存在实数m ，使得关于S 的不等式S 2≥m （1-2S ）有解，若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：直线x+2y+2=0与直线2x-y+1=0中，∵1×2+2×（-1）=0，∴直线x+2y+2=0与直线2x-y+1=0的位置关系是垂直．故选：B．利用两直线中x的系数积与y的系数积之和为0，得到两直线垂直．本题考查两直线的位置关系的判断，考查直线与直线平行与垂直的性质等基础知识，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵•=•=1，∴A正确；∵•（+）=•+•，∴C正确；∵（）•=λ（•）=•（），∴D正确．故选：B．数量积满足交换律，分配律，数与向量的结合律，不满足向量与向量的结合律．本题考查了平面向量的数量积的运算规律，是基础题目．3.【答案】D【解析】解：由题意知y=-x+4的点A（4，0），点B（0，4）则点P（2，0），设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，根据反射规律，则∠PMA=∠BMN；∠PNO=∠BNM．作出点P关于OB的对称点P1，作出点P关于AB的对称点P2，则∠P2MA=∠PMA=∠BMN，∠P1NO=∠PNO=∠BNM，∴P1，N，M，P2共线，∵∠P2AB=∠PAB=45°，∴P2A⊥OA；点P关于y轴的对称点P1（-2，0），设点P关于直线AB：x+y-4=0的对称点P2（a，b），∴，解得a=4，b=2，∴直线MN：，即x-3y+2=0，联立，得x=，y=，∴直线PM：，即光线L所在的直线方程为y=3x-6．故选：D．点P关于y轴的对称点P1（-2，0），设点P关于直线AB：x+y-4=0的对称点P2（a，b）列方程组求出a=4，b=2，从而求出直线MN：x-3y+2=0，联立，得M点坐标，由此能求出光线L所在的直线方程．本题考查直线方程的求法，考查点的对称、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．4.【答案】A【解析】解：设a n=tanθn，而==，∴=，即，则==tanθn=a n．∴a2018=a12×168+2=a2=．故选：A．设a n=tanθn，而==，可得，得到a n+12=a n，再由周期性求解．本题考查数列递推式，考查数列的周期性，训练了两角和正切的应用，是中档题．5.【答案】（2，1）【解析】解：化直线2x+y+1=0的方程为斜截式y=-2x-1，∴直线的斜率为-2，∴直线的一个方向向量为（1，-2），∴直线的一个法向量为（2，1）．故答案为：（2，1）．化直线方程为斜截式，求出直线的斜率，则答案可求．本题考查了直线的方向向量和法向量的意义、数量积的运算是解题的关键，是基础题．6.【答案】(111 210)【解析】解：二元一次方程的增广矩阵．故答案为：．根据二元一次方程组求得增广矩阵即可．本题考查增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组转化，考查转化思想，属于基础题．7.【答案】3【解析】解：，则=2+1=3．故答案为：3．直接利用向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用．考查计算能力．8.【答案】6【解析】解：6的代数余子式A23=-=-（1×8-2×7）=6，故答案为：6．根据代数余子式的定义6的代数余子式A23=-，利用行列式的展开，即可求得答案．本题考查三阶行列式的代数余子式的定义，考查行列式的展开，属于基础题．9.【答案】0或-3【解析】解：∵；∴x（x+1）+2x=0；∴x2+3x=0；∴x=0或-3．故答案为：0或-3．根据即可得出x（x+1）+2x=0，解出x即可．考查向量坐标的概念，向量平行时的坐标关系．10.【答案】15°【解析】解：∵直线l的一个方向向量，∴直线l的斜率为=，故l的倾斜角为60°．又直线x-y+1=0的斜率为1，故直线x-y+1=0的倾斜角为45°故l与直线x-y+1=0的夹角为60°-45°=15°，故答案为：15°．先求出两条直线的斜率，可得两条直线的倾斜角，进而得到两条直线的夹角．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，属于基础题．11.【答案】12【解析】解：由题意可得，=2，|q|＜1且q≠01=2（1-q ），∴q=．故答案为：．由无穷等比数列{a n }的各项和为2，列出方程求解即可．本题主要考查了等比数列的前n 项和，而无穷等比数列的各项和是指当，|q|＜1且q≠0时前n 项和的极限，解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前n 项和的极限存在则可得|q|＜1且q≠0，这也是考生常会漏掉的知识点．12.【答案】（）72，4【解析】解：由于P 在P 1P 2的延长线上，且，则：，所以：λ=-3，由于：P 1=（-1，1）、P 2=（2，3），则：设P （x ，y ），则：x=，y=，故：P （）．故答案为（）首先利用线段的比值求出λ，进一步利用分点坐标公式求出结果．本题考查的知识要点：分点坐标的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．13.【答案】5【解析】解：∵，∴--2=5，∴=-4，∴==，∴==，即在上的投影为．故答案为：．由，得=-4，得==．本题考查了平面向量数量积的运算，求得=-4是关键，是基础题目．14.【答案】[0，arctan3]∪[π-rac tan2，π）【解析】解：k MA =，k MB =，∵直线l 与A （0，-3）、B （-1，4）为端点的线段相交，∴直线l 的斜率k 满足-2≤k≤3．∴直线l 的倾斜角的取值范围是[0，arctan3]∪[π-ractan2，π）．故答案为：[0，arctan3]∪[π-ractan2，π）．利用斜率计算公式即可求出答案．本题考查了斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】+310⃗a 35⃗b【解析】解：根据题意得，O ，P ，M 三点共线，∴=λ=λ（+）=λ（+）=+λ①又B，P，N三点共线，∴=μ=μ（-）=μ（-）=μ，=μ+（1-μ）②由①②得=μ，=1-μ，∴μ=，λ=，∴=+．运用平面向量基本定理和三点共线的知识可解决此问题．本题考查三点共线的知识和平面向量基本定理的应用．16.【答案】5 4【解析】解：设=（x1，y1），=（x2，y2）．∵满足||=1，∴不妨取=（1，0）．∵，∴x1=1，x2=2．∴=（1，y1），=（2，y2）．∵|-|=2，∴=2，化为（y1-y2）2=3．只考虑y1y2＜0．不妨取y2＞0，y1＜0．∴•=2+y1y2=2-（-y1）y2≥2-（）2=，当且仅当-y1=y2=时取等号．∴则的最小值为．故答案为：分别设设=（x1，y1），=（x2，y2），=（1，0），由题意可得化为（y1-y2）2=3，只考虑y1y2＜0．不妨取y2＞0，y1＜0．利用基数量积运算、本不等式可求答案．本题考查了向量的数量积运算、基本不等式的性质，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17.【答案】解：D ==2×1-m （m +1）=（m +2）（1-m ），∣2m +1m1∣D x ==-m -2，∣m m +121∣D y==（2+m ）（2-m ），∣2m m 2∣（1）当m ≠-2，m ≠1时，D ≠0，原方程组有唯一组解，即，{x =1m ‒1y =m ‒2m ‒1（2）当m =1时，D =0，D x =-3≠0，原方程组无解；（3）当m =-2时，D =0，D x =0，D y =0，原方程组有无穷组解．【解析】先根据方程组中x ，y 的系数及常数项计算计算出D ，D x ，D y ，下面对m 的值进行分类讨论：（1）当m≠-2，m≠1时，（2）当m=1时，（3）当m=-2时，分别求解方程组的解即可．本小题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性，唯一性、二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．18.【答案】解：（1）已知，⃗a=(3，‒4)则：，|⃗a |=5是与方向相同的单位向量，⃗b ⃗a 则：=（），⃗b =⃗a |⃗a |35，‒45（2）是与垂直的单位向量．⃗c ⃗a 故：，⃗c =(45，35)或(‒45，‒35)所以：当时，=，⃗c =(45，35)cosθ=⃗a ⋅(⃗b ‒⃗c )|⃗a ||⃗b ‒⃗c |22解得：θ=π4当时，=，⃗c =(‒45，‒35)cosθ=⃗a ⋅(⃗b ‒⃗c )|⃗a ||⃗b ‒⃗c |22解得：，θ=π4故：．θ=π4【解析】（1）直接利用单位向量的应用和向量的共线求出结果．（2）利用向量的夹角运算和数量积运算及向量的模的运算求出结果．本题考查的知识要点：向量的夹角公式的应用，向量的数量积的运算和向量的模的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.【答案】解：根据题意得，（1）=（0，3）+（3，0）=（0，1）+（4，0）⃗OD 1343=（4，1）∴点D 的坐标为（4，1）又∵+≠11343∴点D 不在直线l 上；（2）∵点B 是直线l上的一点=λ=λ（-）⃗AB ⃗AC ⃗OC ⃗OA ∴-=λ-λ⃗OB ⃗OA ⃗OC ⃗OA ∴=+（1-λ）⃗OB λ⃗OC ⃗OA∴由=m +n 得m =1-λ；n =λ⃗OB ⃗OA ⃗OC ∴m +n =1-λ+λ=1∴命题得证．【解析】（1）运用平面向量的坐标表示可得结果；（2）运用平面向量基本定理可得结果．本题考查平面向量基本定理和平面向量的坐标运算．20.【答案】解：（1）由于，b n =3+(‒1)n ‒12可得，b n ={2(n 为奇数)1(n 为偶数)由于，a nb n +1+b n a n +1=(‒2)n +1所以当n =1时，a 1+2a 2=-1，由于a 1=2，解得，a 2=‒32当n =2时，2a 2+a 3=5，解得a 3=8；（2）当n 为奇数时，，a n +2a n +1=‒2n +1当n 为偶数时，，2a n +a n +1=2n +1可得n 为奇数时，a n +1+2n +1-a n +2=1-2n ，即有a n +2-a n =3•2n ，由a 3-a 1=3•2，a 5-a 3=3•23，…，a n -a n -2=3•2n -2，累加可得a n -a 1=3（2+23+…+2n -2）=3•=2n -2，2(1‒4n ‒12)1‒4即有a n =2n （n 为奇数），当n 为偶数时，a n =（1+2n ）-2n =-2n -1，1212综上可得a n =；{2n ，n 为奇数12‒2n ‒1，n 为偶数（3）{a n }的前n 项和为S n ，当n 为偶数时S n =（2+23+…+2n -1）+•-（2+23++…+2n -1）=，12n 2n 4当n 为奇数时，S n =S n -1+a n =+2n ，n ‒14当n 为偶数时，S n +1-S n =a n +1=2n +1，{S n +1-S n }的前n项和=a 2+a 3+…+a n +1=-（2+23++…+2n -1）+（23+25+…+2n +1）n 4=-2+2n +1；n 4当n 为奇数时，{S n +1-S n }的前n项和=-2+2n +2n =-2+2n +1．n ‒14n ‒14综上可得，当n为奇数时，所求和为-2+2n +1，n ‒14当n 为偶数时，所求和为-2+2n +1．n 4【解析】（1）令n=1，2，结合数列的递推式计算可得所求值；（2）讨论n 为奇数和偶数，运用累加法和等比数列的求和公式，可得所求通项公式；（3）讨论n 为奇数和偶数，运用分组求和，计算可得所求和．本题考查数列的通项公式和求和公式，注意运用分类讨论思想方法，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．21.【答案】解：（1）依题意有直线MN的方程为：y -14=k (x ‒12)（2）∵AB ⊥OB ，AB =OB =1∴直线OA 方程为：y =x∴直线AB 方程为：x =1由得M （，）{y ‒14=k (x ‒12}y =x 2k ‒14k ‒42k ‒14k ‒4∵2k ‒14k ‒4≥0∴k 或k ＞1≤12又由得N （1，）{y ‒14=k (x ‒12)x =12k +14∵2k +14≥0∴k ≥‒12即-12≤k ≤12由弦长公式可得OM =1+k 22k ‒14k ‒4点P 到直线OM 的距离为d =141+k 2= （-）∴S △OPM =12OM ⋅d 2k ‒132(k ‒1)12≤k ≤12（3）易得S △AMN =132[4(1‒k )+11‒k +4]设t =4（1-k ）+ （-）11‒k 12≤k ≤12由“对勾”函数性质可得4≤t ≤203∴14≤S △AMN ≤13又S 2≥m （1-2S ）且13≤1‒2S ≤12m ∴=，S ≤S 21‒2S 1(1S ‒1)2‒1∈[14，13]∵1(1s ‒1)2‒1的最小值为18∴m ≤18【解析】（1）先利用点斜式求直线方程，（2）联立直线方程求出直线交点M 点坐标，再用S△OPM=，（3）有解问题最值法，先分离变量m，S，再利用二次函数性质求函数最小值本题考查直线的一般方程与直线的性质，并且考查了函数的最值与有解问题，是一道知识交汇较好，综合性较强的题．。
精品解析：上海市控江中学2018-2019学年高三上学期开学考试数学试题(解析版)
上海市控江中学2018-2019学年高三上开学考试数学试题一、选择题（本大题共4小题）1.若函数1()21x f x =+, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( ) A. 单调递减无最小值 B. 单调递减有最小值 C. 单调递增无最大值 D. 单调递增有最大值【答案】A 【解析】【详解】本题考查函数的单调性及最值.设21x t =+，则当(),x ∈-∞+∞时为增函数，且1t >；于是()11121x y t t ==>+为减函数，其图象如图所示： 则故121x y =+为减函数且1y <；图象在y 轴上方，0y >，所以原函数既无最小值，也无最大值.故正确答案为A.2.“22a -≤≤”是“实系数一元二次方程210x ax ++=有虚根”的 （）条件． A. 必要非充分 B. 充分非必要C. 充分必要D. 非充分非必要【答案】A 【解析】 【分析】实系数一元二次方程210x ax ++=有虚根等价于0∆<，再根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．详解】解：实系数一元二次方程210x ax ++=有虚根24022a a ⇔-<⇔-<<，22a -≤≤推不出22a -<<，2222a a -<<⇒-≤≤，∴“22a -≤≤”是“实系数一元二次方程210x ax ++=有虚根”的必要非充分条件．故选：A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．3.设全集为R ，集合22|14x M x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，3|01x N x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则集合2231|24x x y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭可表示为（ ） A. M N ⋃； B. M N ⋂；C. R C M N ⋂；D. R M C N ⋂【答案】D 【解析】解：因为集合M 表示为椭圆上点的横坐标的取值范围22x -≤≤，集合N 表示不等式的解集13x -<≤那么集合表示的为圆中x 的取值范围为21x -≤≤-，可见选项为D4.已知*N k ∈，,,R x y z +∈，若222()5()k xy yz zx x y z ++>++，则对此不等式描叙正 确的是（ ）A. 若5k =，则至少存在．．．．一个以,,x y z 为边长的等边三角形 B. 若6k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形 C. 若7k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形 D. 若8k =，则对满足不等式的,,x y z 不存在．．．以,,x y z 为边长的直角三角形 【答案】B 【解析】本题可用排除法，由222222222222x y y z z x x y z xy yz zx +++++=++≥++，对于A ，若5k =，可得222xy yz zx x y z ++>++，故不存在这样,,,x y z A 错误，排除A ；对于,1,1,2C x y z ===时，()()22275xy yz zx x y z ++>++成立，而以,,x y z 为边的三角形不存在，C 错误，排除C ；对于,D 1,1,x y z ===()()22285xy yz zx x y z ++>++成立，存在以,,x y z 为边的三角形为直角三角形，故D 错误，排除,D 故选B.【 方法点睛】本题主要考查不等式的性质、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.二、填空题（本大题共12小题）5.已知集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-则AB =__________．【答案】{}12－，【解析】 【分析】直接利用集合交集的定义求解即可.【详解】因为集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=- 两个集合的公共元素为1,2- 所以{}1,2AB =-．故答案为{}1,2-.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 【此处有视频，请去附件查看】6.方程4220x x +-=的解是 【答案】0x = 【解析】 【分析】利用换元法，结合指数方程和一元二次方程之间的关系进行求解即可． 【详解】由4220x x +-=得()22220xx +-=，设t ＝2x ，则t ＞0，则方程等价为t 2+t-2＝0，即（t+2）（t ﹣1）＝0，解得t ＝1，或t ＝-2（舍） 由2x ＝1得x ＝0， 故答案为：0x =．【点睛】本题主要考查指数的方程的求解，利用换元法将方程转化为一元二次方程是解决本题的关键，属于基础题．7.若()()23f x log x =+，则它的反函数是()1f x -=______．【答案】23x - 【解析】 【分析】解方程()()23f x log x =+得()23f x x =-，再对调x 与()f x 可得反函数． 【详解】解：由()()23f x log x =+得()32f x x +=，()23f x x ∴=-，()123x f x -∴=-，故答案为：23x -．【点睛】本题考查了反函数得求法，属基础题．8.设12e e 、为单位向量，且12e e 、互相垂直，若1213,2a e e b e =-+=，则向量a 在b 方向上的投影为______． 【答案】1- 【解析】 【分析】先由已知有11e =，21e =，120e e ⋅=，()121232a b e e e ⋅=-+⋅=-又122b e ==，再由投影公式得212a b a cos bθ⋅-===-． 【详解】解：由已知有11e =，21e =，120e e ⋅=，()121121222326a b e e e e e e ∴⋅=-+⋅==-+-又122b e ==，设12,e e 的夹角为θ ，则向量a 在b 方向上的投影为：212a b a cos bθ⋅-===-， 故答案为：1-．【点睛】本题考查了向量的数量积公式及投影的概念，属基础题．9.已知某圆锥体的底面半径为3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心为23π的扇形，则该圆锥体的母线长是______． 【答案】9 【解析】 【分析】设圆锥体的母线长为R ，根据底面圆周长等于展开图扇形的弧长，列方程求出R 的值． 【详解】解：某圆锥体的底面半径为3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心为23π的扇形，设圆锥体的母线长为R ，则212232r R ππππ=⋅⋅，解得39R r ==， ∴圆锥体的母线长为9．故答案为：9．【点睛】本题考查了圆锥体的底面圆周长与侧面展开图的应用问题，是基础题．10.设函数()[][]2,0,1,0,1x f x x x ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩，若a R ∈，且()2f a =，则实数a 构成的集合为______． 【答案】{|01a a ≤≤或2}a = 【解析】 【分析】当[]0,1a ∈时，()2f a =，当[]0,1a ∉时，()2f a a ==，由此能求出实数a 构成的集合．【详解】解：函数()[][]2,0,1,0,1x f x x x ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩，a R ∈，且()2f a =， ∴当[]0,1a ∈时，()2f a =，当[]0,1a ∉时，()2f a a ==．∴实数a 构成的集合为{|01a a ≤≤或2}a =．故答案为：{|01a a ≤≤或2}a =．【点睛】本题考查实数的取值集合的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.在无穷等比数列{}n a中，121a a ==，则()1321lim n n a a a -→∞++⋯+=______．【答案】2【解析】 【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出．【详解】解：根据等比数列的性质，数列1321,,,n a a a -⋯是首项为1a ，公比为2q 的等比数列。
上海市控江中学2018-2019学年高三上学期开学考试数学试题
控江中学2018-2019学年度第一学期9月份高三开学考数学试卷一、填空题。
1.已知集合，，，，，，，2014211B A 则B A __________.2.方程0224x x 的解为_________.3.若3log 2x x f ,则它的反函数是x f 1________.4.设21e e 、为单位向量,且21e e 、互相垂直,若12123e b e e a ，，则向量a 在b 方向上的投影为_____________.5.已知某圆锥体的底面半径为3r ,沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心为32π的扇形,则该圆锥体的母线长是__________.6.设函数，，，，，10102x x x x f 若R a ,且2a f ,则实数a 构成的集合为________.7.在无穷等比数列n a 中,，，1321a a ,则1231lim n n a a a ____________.8.设21F F 、分别双曲线0012222＞，＞b a b y a x 的左右焦点,若在双曲线右支上存在点P 满足212153F F PF PF ,则该双曲线的渐近线方程是_______________.9.函数x x y 2arccos 1arcsin 的值域是_____________.10.甲、乙、丙三人相互传球,第一次由甲将球传岀,毎次传球时,传球者将球等可能地传另外两人中的任何一人,经过三次传球后,球仍在甲手中的概率是__________.11.已知函数，，，，，*321N y x x f y 对任意21，n 都有n n f f 3,且x f 是增函数,则用列举法表示函数x f 的值域是____________.12.设常数R ,无穷数列n a 满足，，211311n n a a a 若存在常数M ,使得对于任意*N n ,不等式M a n 恒成立,则的最大值是_________.二、选择题。
13.若函数，121x x f ,则该函数在，上是A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值14.“22a ”是“实系数一元二次方程012ax x 有虚根”的______条件.A.必要非充分B.充分非必要C.充分必要D.非充分非必要15.全集为R,集合，＜，013|14|22x x N y x M 则集合4123|22y x x 可表示为A.N MB.N MC.N C M RD.NM C R 16.已知R z y x N k，，，*,若2225z y x zx yz xy k ＞,则对此不等式描述正确的是A.若5k,则至少存在一个以z y x 、、为边长的等边三角形B.若6k,则对任意满足不等式的z y x 、、都存在以z y x 、、为边长的三角形C.若7k,则对任意满足不等式的z y x 、、都存在以z y x 、、为边长的三角形D.若8k ,则对满足不等式的z y x 、、不存在以为z y x 、、边长的直角三角形三、解答题17.在正三棱柱111C B A ABC 中,已知211BB AB ，,求：。
2018～2019学年上海市控江中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)
绝密★启用前上海市控江中学2018～2019学年高一年级下学期期末质量检测数学试题(解析版)2019年7月一、填空题1.函数()arcsin 2y x =-的定义域________．【答案】[]1,3.【解析】【分析】根据反正弦函数的定义得出121x -≤-≤,解出x 可得出所求函数的定义域.【详解】由反正弦的定义可得121x -≤-≤,解得13x ≤≤,因此,函数()arcsin 2y x =-的定义域为[]1,3,故答案为：[]1,3.【点睛】本题考查反正弦函数的定义域,解题的关键就是正弦值域的应用,考查运算求解能力,属于基础题.2.函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为________． 【答案】1.【解析】【分析】 根据正切型函数的周期公式可计算出函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期. 【详解】由正切型函数的周期公式得1T ππ==, 因此,函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为1,故答案为：1.【点睛】本题考查正切型函数周期的求解,解题的关键在于正切型函数周期公式的应用,考查计算能力,属于基础题.3.已知数列{}n a 是等比数列,公比为q ,且2468a a a ⋅⋅=,754a =,则q =_________．【答案】3.【解析】【分析】先利用等比中项的性质计算出4a 的值,然后由374a q a =可求出q 的值. 【详解】由等比中项的性质可得632448a a a a ⋅⋅==,得42a =,所以,37454272a q a ===,3q ∴=, 故答案为：3.【点睛】本题考查等比数列公比的计算,充分利用等比中项和等比数列相关性质的应用,可简化计算,属于中等题.4.已知tan 3α=,则226cos 3sin cos 3sin cos 2sin αααααα-=-_________． 【答案】13. 【解析】【分析】在分式中分子分母同时除以2cos α,将代数式转化为正切来进行计算.【详解】由题意得,原式222222226cos 3sin cos 63tan 6331cos cos 3sin cos 2sin 3tan 2tan 33233cos cos ααααααααααααα---⨯===-⨯-⨯-=, 故答案为：13. 【点睛】本题考查弦的分式齐次式的计算,常利用弦化切的思想求解,一般而言,弦化切思想主要应用于以下两种题型：。
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最新上海市控江中学2008-2019年初升高自主招生考试数学模拟精品试卷第一套注意：(1) 试卷共有三大题16小题，满分120分，考试时间80分钟. (2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内. 1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在( )(A) 直线y = –x 上 (B) 抛物线 y =2x 上 (C) 直线y = x 上 (D) 双曲线xy = 1上2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k 的值是 ( )(A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 203．若－1＜a ＜0，则aa a a 1,,,33一定是 ( )(A) a 1最小，3a 最大 (B) 3a 最小，a 最大(C) a 1最小，a 最大 (D) a1最小， 3a 最大4．如图，将△ADE 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连结EF 交AB 于H ，则下列结论错误的是（ ）(A) AE ⊥AF （B ）EF ：AF =2：1 (C) AF 2= FH ·FE （D ）FB ：FC = HB ：EC5．在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且CD 与BE 相交于点F ，已知△BDF 的面积为10，△BCF 的面积为20，△CEF 的面积为16，则四边形区域ADFE 的面积等于（ ）(A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)446．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（ ）第4题（A ）30 （B ）35 （C ）56 （D ） 448 二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）7．若4sin 2A – 4sinAcosA + cos 2A = 0, 则tanA = ___ ___ . 8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A 、B 两艘船相会之后，A 船以每小时12海浬的速度往南航行，B 船则以每小时3海浬的速度向北漂流. 则经过 小时后，观测站及A 、B 两船恰成一个直角三角形.9．如右图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A,B,C 三点的拋物线对应的函数关系式是 . 10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起。
已知大球的半径为20cm ，小球半径5cm, 则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 cm.11．物质A 与物质B 分别由点A(2,0)同时出发，沿正方形BCDE 的周界做环绕运动，物质A 按逆时针方向以l 单位/秒等速运动，物质B 按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是 .12．设,C ,C ,C 321… … 为一群圆, 其作法如下：1C 是半径为a 的圆, 在1C 的圆内作四个相等的圆2C (如图), 每个圆2C 和圆1C 都内切, 且相邻的两个圆2C 均外切, 再在每一个圆2C 中, 用同样的方法作四个相等的圆3C , 依此类推作出,C ,C ,C 654…… , 则(1) 圆2C 的半径长等于 (用a 表示)；(2) 圆k C 的半径为 ( k 为正整数，用a 表示，不必证明)(第9题)(第11题)第12题三、解答题（本题有4个小题，共60分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。
13.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB.(1) 求证AD = AE；(2) 若OC=AB = 4，求△BCE的面积.（1）证1.∵AD是圆O的直径，点C在圆O上，∴∠ACD = 90︒，即AC⊥DE.又∵OC∥AE，O为AD中点∴AD = AE.证2∵O为AD中点，OC∥AE，∴2OC = AE，又∵AD是圆O的直径，∴ 2OC = AD，∴AD = AE.（2）由条件得ABCO是平行四边形，∴BC∥AD，又C为中点，∴AB =BE = 4，∵AD = AE，∴BC = BE = 4，连接BD，∵点B在圆O上，∴∠DBE= 90︒，∴CE = BC= 4，即BE = BC = CE= 4，∴所求面积为43. 4分14.（本题满分14分）已知抛物线y = x2 + 2px + 2p –2的顶点为M，(1) 求证抛物线与x 轴必有两个不同交点；(2) 设抛物线与x 轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小.解：(1) ∵⊿ = 4p2– 8p + 8 = 4 ( p –1)2 + 4 >0 ,∴抛物线与x 轴必有两个不同交点. 4分(2) 设A (x1, 0 ), B( x2, 0),第13题则|AB|2 = |x 2 – x 1|2 = [ (x 1 + x 2)2 – 4x 1x 2]2 = [4p 2 – 8p + 8 ]2 = [4 ( p –1)2 + 4]2,∴|AB| = 21)1p (2+-. 5分又设顶点M ( a , b ), 由y = ( x – p)2 – ( p – 1 )2 – 1 . 得b = – ( p – 1 )2 – 1 .当p =1时，|b|及|AB|均取最小，此时S △ABM = 21|AB||b|取最小值1 . 5分15 （本小题满分16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A 队共积19分。
(1) 试判断A 队胜、平、负各几场?(2) 若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A 队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W （元），试求W 的最大值.解：（1）设A 队胜x 场，平y 场，负z 场， 得⎩⎨⎧=+=++19y x 312z y x ，可得：⎩⎨⎧-=-=7x 2z x319y 4分依题意，知x ≥0,y ≥0,z ≥0,且x 、y 、z 均为整数，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≥-0x 07x 20x 319 解得：27≤x ≤319，∴ x 可取4、5、6 4分∴ A 队胜、平、负的场数有三种情况： 当x=4时， y=7,z=1；当x=5时，y= 4,z = 3 ；当x=6时，y=1,z= 5. 4分（2）∵W=（1500+500）x + (700+500)y +500z= – 600x+19300当x = 4时，W最大，W最大值= – 60×4+19300=16900（元）答略. 4分16（本小题满分18分）已知：矩形ABCD，（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y =23x－1经过这两个顶点中的一个.（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y = ax2＋bx＋c的顶点是P点.①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y =32x－1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由.解：(1)如图，建立平面直有坐标系，∵矩形ABCD中，AB= 3，AD =2，设A(m 0)（ m > 0 ), 则有B(m＋3 0)；C(m＋3 2), D(m 2);若C点过y =32x－1；则2=32(m＋3)－1,m = －1与m＞0不合；∴C点不过y=32x－1；若点D过y=32x－1，则2=32m－1, m=2,∴ A (2, 0), B(5,0)，C(5,2 )，D(2,2)；5分（2）①∵⊙M以AB为直径，∴M(3.5 0)，由于y = ax2＋bx＋c过A(2, 0)和B(5 ,0)两点，∴0420255=++=++⎧⎨⎩a b ca b c∴b ac a=-=⎧⎨⎩7102分∴y = ax2－7ax＋10a( 也可得：y= a(x－2)(x－5)= a(x2－7x＋10) = ax2－7ax＋10a )∴y = a(x－72)2－94a；∴抛物线顶点P(72, －94a)∵顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部,∴32＜－94a ＜2,∴－98＜a＜–32.3分②设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF = n, n＞0；∵AD、BC、CF均为⊙M切线，∴CF=n＋2, DF=2－n; 在Rt∆DCF中，∵DF2＋DC2=CF2；∴32＋(2－n)2=(n＋2)2, ∴n=98, ∴F(2,98)∴当PF∥AB时，P点纵坐标为98；∴－94a =98，∴a = －12;∴抛物线的解析式为：y= －12x2＋72x－ 53分抛物线与y轴的交点为Q（0，－5），又直线y =32x－1与y轴交点（ 0，－1）；∴Q在直线y=32x－1下方.3分高一实验班选拔考试数学卷评分标准一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）1．D 2．D 3．A 4．C 5．D 6．B 二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）7．21. 8．2. 9． y = –125x 2–21x +320. 10．20. 11．( –34,–2).12．(1) 圆2C 的半径 a )12(-； (2)圆k C 的半径 (2 –1 )n – 1 a .上海市控江中学2018-2019年最新理科实验班自主招生考试数学模拟精品试卷第二套满分：100 时量：70min一、选择题（本题有8小题，每小题4分，共32分） 1．函数y ＝1x -图象的大致形状是 （ ）A B CD2．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为 （ ）A 、21 B 、π63 C 、π93 D 、π333．满足不等式3002005<n 的最大整数n 等于 （ ）yxOyxOyxOyxO（A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）114．甲、乙两车分别从A ，B 两车站同时开出相向而行，相遇后甲驶1小时到达B 站，乙再驶4小时到达A 站. 那么， 甲车速是乙车速的 （（A ）4倍 （B ）3倍 （C ）2倍 （D ）1.5倍5．图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，3，4，那么，阴影三角形的面积为 （ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 6．如图，AB ，CD 分别是⊙O 的直径和弦，AD ，BC 相交于点E ，∠AEC=α，则△CDE 与△ABE 的面积比为 （ ） （A ）cos α （B ）sin α （C ）cos 2α （D ）sin 2α7．两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油. 舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里. 这时，设咖啡杯里的奶油量为a ，奶油杯里的咖啡量为b ，那么a 和 b 的大小为 （ ） （A ）b a > （B ）b a < （C ）b a = （D ）与勺子大小有关8．设A ，B ，C 是三角形的三个内角，满足B C B A 23,53<>，这个三角形是 （ ）（A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）都有可能 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）9． 用数字1，2，3，4，5，6，7，8不重复地填写在下面连等式的方框中，使这个连等式成立：1＋□＋□=9＋□＋□=8＋□＋□=6＋□＋□ 10．如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O 是正三角形的中心，则四边形OABC 的面积等于 ______ . 11．计算：622633++++= ________ .12．五支篮球队举行单循坏赛（就是每两队必须比赛1场，并且只比赛一场），当赛程进行到某天时，A 队已赛了4场，B 队已赛了3场，C 队已赛了2场，D 队已赛了1场，那么到这天为止一共已经赛了 __ 场，E 队比赛了 ___ 场.13．已知∠AOB=30°,C 是射线OB 上的一点，且OC=4，若以C 为圆心，半径为r 的圆与射线OA 有两个不同的交点，则r 的取值范围是_____________ 14．如图，△ABC 为等腰直角三角形，若AD=31AC ，CE=31BC ，则∠1 __ ∠2（填“>”、“<”或“=”）三．解答题（共38分） 15. （１２分）今年长沙市筹备60周年国庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A B ，两种园艺造型共50个摆放在五一大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来． （2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？１６．（１２分）如图，ABC △是O 的内接三角形，AC BC =，D 为O 中AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD =． （1）求证：AE BD =；（2）若AC BC ⊥，求证：2AD BD CD +=．（第14题）ＥＡＯＤＢ１７．（１４分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q 从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC ？（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．参考答案选择题 DCDCCCCB9． 110．33 11． 26 12． 6场，2场 13．2r <≤．＝1５．（１）解：设搭配A 种造型x 个，则B 种造型为(50)x -个，依题意，得：8050(50)34904090(50)2950x x x x +-⎧⎨+-⎩≤≤ ，解这个不等式组，得：3331x x ⎧⎨⎩≤≥，3133x ∴≤≤ x 是整数，x ∴可取313233，，，∴可设计三种搭配方案： ①A 种园艺造型31个 B 种园艺造型19个 ②A 种园艺造型32个 B 种园艺造型18个 ③A 种园艺造型33个 B 种园艺造型17个．（2）应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元 １６．证明：（1）在ABC △中，CAB CBA ∠=∠．在ECD △中，CAB CBA ∠=∠．CBA CDE ∠=∠，（同弧上的圆周角相等），ACB ECD ∴∠=∠． ACB ACD ECD ADE ∴∠-∠=∠-∠．ACE BCD ∴∠=∠． 在ACE △和BCD △中，ACE BCD CE CD AC BC ∠=∠==；； ACE BCD ∴△≌△．AE BD ∴=． （2）若AC BC ACB ECD ∠=∠⊥，．9045ECD CED CDE ∴∠=∴∠=∠=，． DE ∴=，又AD BD AD EAED +=+=AD BD ∴+=１７．解：（1）t =（50＋75＋50）÷5=35（秒）时，点P 到达终点C ． 此时，QC=35×3=105，∴BQ 的长为135－105=30．（2）如图8，若PQ ∥DC ，又AD ∥BC ，则四边形为平行四边形，从而PD=QC ，由QC=3t ，BA+AP=5t得50＋75－5t=3t ，解得t=1258．经检验，当t=1258时，有PQ ∥DC ．（3）①当点E 在CD 上运动时，如图9．分别过点A 、D 作AF ⊥BC 于点F ，DH ⊥BC 于点H ，则四边形 ADHF 为矩形，且△ABF ≌△DCH ，从而FH= AD=75，于是BF=CH=30．∴DH=AF=40． 又QC=3t ，从而QE=QC ·tanC=3t ·CHDH =4t ．（注：用相似三角形求解亦可） ∴S=S ⊿QCE =12QE ·QC=6t 2；②当点E 在DA 上运动时，如图8．过点D 作DH ⊥BC 于点H ，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t ，从而ED=QH=QC －CH=3t －30． ∴S= S 梯形QCDE =12(ED ＋QC)DH =120 t －600．（4）△PQE 能成为直角三角形．上海市控江中学2018-2019年最新理科实验班自主招生考试数学模拟试卷第三套一．选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分）1. 已知113x y+=，则5334xy x y x y xy --+-的值等于 。