复旦附中高二期末(2018.06)
复旦附中高二期末数学试卷
2018.06
一. 填空题
1. 已知,{0,1,2,3}a b ∈，则不同的复数z a bi =+的个数是
2. 一个竖直平面内的多边形，用斜二侧画法得到的水平放置的直观图是一个边长为2的正方形，该正方形有一组对边是水平的，则原多边形的面积是
3. 若2018220180122018(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则0122018||||||||a a a a +++⋅⋅⋅+=
4. 在9()2a
x x -的展开式中，3x 的系数为94
，则常数a = 5. 已知球的体积是V ，则此球的内接正方体的体积为
6. 点(1,2,1)A 、(3,3,2)B 、(1,4,3)C λ+，若AB u u u r 、AC uuu r 的夹角为锐角，则λ的取值范围为
7. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比值是
8. 正四面体ABCD 的棱长为2，则所有与A 、B 、C 、D 距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为
9. 从集合{1,2,,30}⋅⋅⋅中取出五个不同的数组成单调递增的等差数列，则所有符合条件的不同的数列个数是
10. 在正三棱锥P -ABC 中，2PA =，1AB =，记二面角P -AB -C 、A -PC -B 的平面角依次为 α、β，则23sin 2cos αβ-=
11. 如图，顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，
母线4PA =，O 是底面圆心，B 是底面圆内一点，且
AB ⊥OB ，C 为P A 的中点，OD ⊥PB ，垂足为D ，当
三棱锥O -PCD 的体积最大时，OB =
12. 已知数列{}n a ，令k b 为1a 、2a 、…、k a 中的最大值()k ∈*N ，则称数列{}n b 为“控制 数列”，数列{}n b 中不同数的个数称为“控制数列”{}n b 的“阶数”，例如：{}n a 为1、3、 5、4、2，则“控制数列”{}n b 为1、3、5、5、5，其“阶数”为3，若数列{}n a 为1、2、3、 4、5、6构成，则能构成“控制数列”{}n b 的“阶数”为2的所有数列{}n a 的首项和是
二. 选择题
13. 在20183(23)x +的展开式中，系数为有理数的项数为（ ）
A. 336项
B. 337项
C. 338项
D. 1009项
14. 如图，某几何体的三视图是三个边长为1的正方形，及每个正方形中的一条对角线，则该几何体的表面积是（ ）
A. 42
B. 93+
C. 33+
D. 32 15. 定义“创新01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意12k m ≤≤，1a 、2a 、…、k a 中0的个数不少于1的个数，若4m =，则不同的“创新01数列”{}n a 的个数为（ ）
A. 12个
B. 14个
C. 16个
D. 18个
16. 已知椭圆方程为22
1425
x y +=，将此椭圆绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ，满 足5022.5y x y x ≥-⎧⎪≤≤⎨⎪≤⎩
的平面区域绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，则（ ）
A. 21V V =
B. 2132V V =
C. 2154
V V = D. 21,V V 无明确大小关系
三. 解答题 17. 已知空间向量a r 与b r 的夹角为66，且||2a =r ||3b =r ， 令m a b =-u r r r ，2n a b =+r r r .
（1）求a r 、b r 为邻边的平行四边形的面积S ；（2）求m u r 与n r 的夹角θ.
18. 有3名女生和5名男生，按照下列条件排队，求各有多少种不同的排队方法？
（1）3名女生排在一起；
（2）3名女生次序一定，但不一定相邻；
（3）3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻；
（4）每两名女生间至少有两名男生；
（5）3名女生中，A 、B 要相邻，A 、C 不相邻.
19. 在正四棱锥P -ABCD 中，正方形ABCD 的边长为32，高6OP =，E 是侧棱PD 上的 点且3PD PE =，F 是侧棱P A 上的点且2PA PF =，G 是 PBC 的重心，如图建立空间直 角坐标系.
（1）求平面EFG 的一个法向量；
（2）求直线AG 与平面EFG 所成角的大小；
（3）求点A 到平面EFG 的距离.
20. 如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正 方形， ADE 是等腰直角三角形且∠AED 为直角，EF ⊥平面ADE 且1EF =.
（1）求异面直线AE 和DF 所成角的大小；
（2）求二面角B -DF -C 的平面角的大小.
21. 已知p 、0q >，在()m px q +()m ∈*N 的二项展开式中，若存在连续三项的二项式系数成等差数列，将m 的所有可能值从小到大排列构成数列{}n a .
（1）求数列{}n a 的通项n a ()n ∈*N ；
（2）若在2()a px q +的二项展开式中，当且仅当第10项的系数最大，求
q p
的取值范围.
参考答案
一. 填空题
1. 16
2.
3. 20183
4. 4
5.
6. (2,4)(4,)-+∞U
7.
212ππ
+ 8. 3+ 9. 98 10. 2 11. 12. 1044 二. 选择题
13. B 14. A 15. B 16. C
三. 解答题
17.（1）S =（2）θπ=-. 18.（1）63634320P P =；（2）456786720⨯⨯⨯⨯=；（3）35452880P P =；
（4）122323542523(22)2880P P P P P P ⨯+⨯=；（5）152256526528640P P P P P ⨯+=.
19.（1）(0,1,1)；（2）；（3. 20.（1）2
π；（2）3π. 21.（1）242n a n n =++，n ∈*N ；（2）(0,10).。
2017学年复旦附中高一第二学期期末数学(2018.06)
11.对于数列 满足： ， ，其前n项和为 ，记满足条件的所有数列 中， 的最大值为a，最小值为b，则
12.设 ，用 表示所有形如 的正整数集合，其中
，且 ， 为集合 中的所有元素之和，则 的
通项公式为
二.选择题
13.“b是 与 的等差中项”是“b是 与 的等比中项”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
（2）若 ，数列 都是单调递增数列；
（3）若 ，任取 中的9项 、 、…、 构成数列
的子数列 ， ，则 都是单调数列.
A.0个B.1个C.2个D.3个
三.解答题
17.已知 是一个公差大于0的等差数列，且满足 ， ，数列 满
足等式： .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 .
18.已知b、c为常数且均不为零，数列 的通项公式为 ，并且
（2）已知数列 是首项为1，公差为 的等差数列， 是其前n项的和，若数列
是“M数列”，求d的取值范围；
（3）已知数列 是各项均为正数的“M数列”，对于n取相同的正整数时，比较
和 的大小，并说明理由.
参考答案
一.填空题
1. 6 2. 7 3. 4. 2
5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 2048 12.
性质，相应地，若正项数列 是等比数列，则数列 也是等比数列
8.观察下列式子： ， ， ，…，你可归纳出
的不等式是
9.在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为
10.对于下列数排成的数阵：
2018-2019学年上海市复旦附中高二(上)期末数学试卷
2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．（3分）抛物线x2＝4y的准线方程为．2．（3分）若方程表示椭圆，则实教m的取值范围是．3．（3分）若直线l1：ax+2y﹣10＝0与直线l2：2x+（a+3）y+5＝0平行，则l1与l2之间的距离为．4．（3分）过点（3，3）作圆（x﹣2）2+（y+1）2＝1的切线，则切线所在直线的方程为．5．（3分）若一条双曲线与有共同渐近线，且与椭圆有相同的焦点，则此双曲线的方程为．6．（3分）已知三角形ABC的顶点A（﹣3，0），B（3，0），若顶点C在抛物线y2＝6x上移动，则三角形ABC的重心的轨迹方程为．7．（3分）设P，Q分别为直线（t为参数，t∈R）和曲线：（θ为参数，θ∈R）上的点，则||PQ|的取值范围是．8．（3分）已知直线l：4x﹣3y+8＝0，若P是抛物线y2＝4x上的动点，则点P到直线l和它到y铀的距离之和的最小值为9．（3分）如果M为椭圆：上的动点，N为椭圆：上的动点，那么的最大值为．10．（3分）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．11．（3分）已知直线l：ax+by＝0与椭圆交于A，B两点，若C（5，5），则的取值范围是．12．（3分）在平面直角坐标系中，已知圆C：x2+y2＝r2与曲线交于两点M，N（M 在第一象限），与y轴正半轴交于P点，若＞，点Q（7，﹣2），则当m 和r变化时，|TP|+|NQ|的最小值为．二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13．（4分）方程3x2﹣8xy+2y2＝0所表示的曲线的对称性是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于y＝x轴对称D．关于原点对称14．（4分）已知点（a，b）是圆x2+y2＝r2外的一点，则直线ax+by＝r2与圆的位置关系（）A．相离B．相切C．相交且不过圆心D．相交且过圆心15．（4分）已知θ∈R，由所有直线L：x cosθ+（y﹣2）sinθ＝1组成的集合记为M，则下列命题中的假命题是（）A．存在一个圆与所有直线相交B．存在一个圆与所有直线不相交C．存在一个圆与所有直线相切D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等16．（4分）双曲线x2﹣y2＝1的左右焦点分别为F1，F2，若P是双曲线左支上的一个动点，则△PF1F2的内切圆的圆心可能是（）A．（﹣1，2）B．，C．，D．（﹣2，1）三、解答题（本大题共5题，共48分）17．已知圆C的圆心在直线x+y﹣8＝0，并且圆C与直线l1：y＝2x﹣21和l2：y＝2x﹣11都相切．（1）求圆C的方程；（2）若直线l：2x+ay+6a＝ax+14与圆C有两个不同的交点MN长的最小值．18．已知曲线C是到两定点F1（﹣2，0）、F2（2，0）的距离之差的绝对值等于定长2a的点的集合．（1）若a，求曲线C的方程；（2）若直线l过（0，1）点，且与（1）中曲线C只有一个公共点，求直线方程；（3）若a＝1，是否存在一直线y＝kx+2与曲线C相交于两点A、B，使得OA⊥OB，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．19．轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向，现有A，B，C三个无线电发射台，其中A在陆地上，B在海上，C在某国海岸线上，（该国这段海岸线可以近似地看作直线的一部分），如下图，已知A，B两点距离10千米，C是AB 的中点，海岸线与直线AB的夹角为45°，为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晩秒（注：无线电信号每秒传播3×105千米），在某时刻，测得轮船距离C点距离为4千米．（1）以点C为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求出该时刻轮船的位置（2）根据经验，船只在距离海岸线1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险，如果轮船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险？20．已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），短袖的两个端点分别为B1，B2，且△F1B1B2为等边三角形．（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆C的方程；（2）如果在椭圆C上存在不同的两点P，Q关于直线对称，求实数c的取值范围；（3）已知点M（0，1），椭圆C上两点A，B满足，求点B横坐标的取值范围．21．已知F1，F2为双曲线：＞的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的垂线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°．（1）求双曲线C的两条渐近线的夹角θ；（2）过点F2的直线l和双曲线C的右支交于A，B两点，求△AF1B的面积最小值；（3）过双曲线C上任意一点Q分别作该双曲线两条渐进线的平行线，它们分别交两条渐近线于Q1，Q2两点，求平行四边形OQ1QQ2的面积．。
2018-2019学年上海市复旦附中高二(下)期末数学试卷
2018-2019学年上海市复旦附中高二（下）期末数学试卷•填空题（本大题共 12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5 分）（4 分）已知全集 U = { - 1 , 0, 1 , 2, 3},集合 A = {0,1, 2）, B = { - 1, 0, 1},则（？U A ）n B =./,八、” I C A /3+I ）8 （&+8i ）,（4分）化简|「 = ________ .（4+41/（4分）从集合{ - 1, 1, 2, 3}随机取一个为m ,从集合{ - 2,- 1 , 1 , 2}随机取一个为2 2n ,则方程—，——=1可以表示 __________ 个不同的双曲线. m n（4分）在（亠-肿）6的展开式中，第4项的二项式系数是（用数字作答）（4分）已知a, B 表示两个不同的平面， m 为平面a 内的一条直线，则“ a, B 构成直二 面角”是“ m 丄B 的 ____________ 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不 充分也不必要”）（4分）若直线 x - 2y+5 = 0与直线2x+my - 6= 0互相垂直，则实数 m = __________ . （5分）复数i 1 x 10+i 2!x 9+…+i 10!X 1的虚部是 __________ .（5分）已知经停某站的高铁列车有 100个车次，随机从中选取了 40个车次进行统计，统计结果为：10个车次的正点率为 0.97, 20个车次的正点率为 0.98, 10个车次的正点率 为0.99,则经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为 ____________________ （精确到0.001） 「山豐圧A（5分）设A,B 是实数集R 的两个子集，对于x€R ，定义：m =a 诋心若对任意x€R , m+n = 1，贝U A , B , R 满足的关系式为 _________ ..（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面为正方形，侧棱与底面垂直的棱柱）高为4,体积为16,则这个球的表面积是 ___________ .（参考公式：球的表面积S = 4uR 2） .（5分）6月12日，上海市发布了《上海市生活垃圾分类投放指南》，将人们生活中产生的大部分垃圾分为七大类.某幢楼前有四个垃圾桶，分别标有“可回收物”、“有害垃圾”、 “湿垃圾”、“干垃圾”，小明同学要将鸡骨头（湿垃圾）、贝壳（干垃圾）、指甲油（有害 垃圾）、报纸（可回收物）全部投入到这四个桶中，若每种垃圾投放到每个桶中都是等可 能的，那么随机事件“ 4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中”的概率是 ____________________ .（5分）对于无理数 X ,用V x >表示与x 最接近的整数，如V n>= 3,<叨2>= 2,设 第1页（共18页）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. &9. 10 11 12 %应,，我们知道，若m€N ,n€N*（m W n ）和r €N* （r < n ）,则有以下两个恒等式成立： ①？ n m = ?n n - m ；②C n+1r = ?n 「+?n rj 那么对于正整数 n 和两个无理数 m € （0, n ） , r € （1, n ）, 序号是①？ n m = ?n n -m ；② C n+1r = ?!+?「 二、选择题（本大题共 4题，每题5分，共20分）的斜率为 「:，则该双曲线的方程为（C .ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，AB = BC = 1 , AA 匚 ：；，则异面直线 AD 1 与15. （ 5分）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理 在A 层班级，生物在 B 层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）1B .返C .逅D •冏5 6 5)A . 13. （5分）已知双曲线 2 2—b>0）的一个焦点为F （0,- 2）, 一条渐近线以下两个等式依然成立的 14.（ 5分）在长方体 DB 1所成角的余弦值为（第节 第二节 地理B 层2班 化学A 层3班 生物A 层1班 化学B 层2班 物理A 层1班 生物A 层3班 物理B 层2班 生物B 层1班 政治1班物理A 层3班A . 8种B . 10 种 第三节 第四节 地理A 层1班 化学A 层4班 生物B 层2班 历史B 层1班 物理A 层2班 生物A 层4班 物理B 层1班 物理A 层4班 政治2班政治3班 C . 12 种 D . 14 种 n€N*，对于区间（-丄.的无理数X,定义C占〉16. （5分）已知两个复数Z1、Z2的实部和虚部都是正整数，关于代数式有以下判断：①最大值为2;②无最大值；③最小值为④无最小值，其中正确判断的序P.曰（号是（三、解答题(本大题共 5题，共76分)17. (14分)如图，在多面体 ABCDEF 中，平面 ADEF 丄平面 ABCD ，四边形 ADEF 为正方 形，四边形 ABCD 为梯形，且 AD // BC ,/ BAD = 90°, AB = AD = 1, BC = 3.(I)求证：AF 丄CD ;(H)求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；(川)线段BD 上是否存在点 M ，使得直线CE //平面AFM ?若存在，求二二的值；若不BD18. (14 分)已知正整数 n >2, f (x ) = ( x+3) n = a n x n +a n -i x ° 1+ …+a i x+a o .(1 )若f (x )的展开式中，各项系数之和比二项式系数之和大992，求n 的值;(2) 若n = 2019，且a k 是a n , a n -j …a , a o 中的最大值，求k 的值. 19. (14 分)设 z€C .(1 )若z = ' _，且z 是实系数一元二次方程 x 2+bx+c = 0的一根，求b 和c 的值;1+21(2 )若一 是纯虚数，已知z = Z 0时，八取得最大值，求z 0;Z'4(3) 肖同学和谢同学同时独立地解答第( 2)小题，已知两人能正确解答该题的概率分别是0.8和0.9，求该题能被正确解答的概率.好是面积为4的正方形.(1)求椭圆E 的方程;BC 与x 轴交于点M ，若直线BC , AM 的斜率分别为k 1, k 2，试判断k 1+2k 2是否为定值, 若是，求出该定值；若不是，说明理由.第3页(共18页)21. （18 分）对于集合 A = {a 1, a 2, ........... , a n }, B = {b 1, b 2,…，b n },n€N* , m €N*，定B .①④C .②④D .②③(a >b > 0)的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰(2)若(x , y )是椭圆 E 上的动点，求 2x+y 的取值范围; (3)直线 I : y = kx+m (km z 0)与椭圆E 交于异于椭圆顶点的 A , B 两点，O 为坐标原点，直线AO 与椭圆E的另一个交点为 C 点，直线l 和直线AO 的斜率之积为1，直线20. (16分)已知以椭圆 E :=l义A+B= {x+y|x3, y€B}.集合A中的元素个数记为|A|.规定：若集合A满足|A+A| =□ 缶+l），则称集合A具有性质T.2（1 ）已知集合A= {1 , 3, 5, 7}, B = ■{丄.—一-L. —}，写出|A+A|, |B+B| 的值；3 3 3 3（2 ）已知集合A={Z, C-）2,（2）3,…，（£）n}，其中n > 3,证明：A具有性质\3 3 [3] 3T；（3）已知n = m= 2019，且集合A, B均有性质T,求|A+B|的最小值.2018-2019学年上海市复旦附中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析•填空题（本大题共 12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5 分）1. (4 分)已知全集 U = { - 1 , 0, 1 , 2, 3},集合 A = {0 , 1, 2), B = { - 1, 0, 1},则(?U A ) n B ={- 1}.【分析】根据集合的基本运算即可求 u A 和结果；【解答】解：全集 U = { - 1, 0, 1 , 2 , 3}，集合 A = {0, 1 , 2) , B = { - 1 , 0 , 1}, 则?U A = { - 1 , 3}(U A )n B = { - 1}故答案为{ -1}.【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础. 2（4八、化简]粥竝严值世i ） ] [5 2. （4 分）化间 ||=—-—.【分析】直接利用乘积的模等于模的乘积求解.故答案为：H【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题.3. （ 4分）从集合｛ - 1, 1, 2, 3｝随机取一个为m ,从集合｛ - 2,- 1 , 1 , 2｝随机取一个为 2 2n ,则方程 —■ ---- = 1可以表示 8 个不同的双曲线.m n【分析】方程「-——=1表示双曲线，得 mn v 0，从而求出方程=1表示双曲HL nm n线个数即可.【解答】解：•••从集合｛ - 1, 1, 2, 3｝随机取一个为 m ,从集合｛ - 2, - 1, 1, 2｝随机 取一个为n ,戈 2■——=1 ,••• mn v 0, n【解答】解:(4+41)4| (4+41)4 |•••方程 [R2 2•••方程二卜= 1表示双曲线的个数M = 3X 2+1 X 2= 8,in n故答案为：&【点评】本题考查考查双曲线的简单性质的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.4. （4分）在（二_/）6的展开式中，第4项的二项式系数是20 （用数字作答）【分析】第四项的二项式系数为C M = 20.6【解答】解：第四项的二项式系数为C- = 20.6故答案为：20【点评】本题考查了二项式定理，属基础题.5. （4分）已知a, B表示两个不同的平面，m为平面a内的一条直线，则“ a, B构成直二面角”是“ m丄B的必要不充分条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.【解答】解：已知a, B表示两个不同的平面，m为平面a内的一条直线，贝a, B构成直二面角”不能推出“ m丄3；若“ m丄3, m为平面a内的一条直线，则“ a丄3,能推出“ a , 3构成直二面角；由充要条件定义可知： a , 3表示两个不同的平面，m为平面a内的一条直线,则“ a , 3构成直二面角”是“ m丄3的：必要不充分条件；故答案为：必要不充分【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键.6. （4分）若直线x- 2y+5 = 0与直线2x+my- 6= 0互相垂直，则实数m= 1 .【分析】求出两条直线的斜率；利用两直线垂直斜率之积为- 1,列出方程求出m的值.【解答】解：直线x- 2y+5= 0的斜率为二22直线2x+ my - 6= 0的斜率为-二m •••两直线垂直解得m= 1故答案为：1【点评】本题考查由直线方程的一般式求直线的斜率、考查两直线垂直斜率之积为- 1.7. （5 分）复数i1x 10+i2! x 9+ …+i10! X 1 的虚部是10 .【分析】根据i4= 1知，要求复数Fx 10+i2!x 9+…+ i10!x 1的虚部，只需求出i1!x 10+i2! x 9+i3! x 8的虚部.【解答】解：••• i4= 1,故i4! x 7+i5! x 6+…+i10x 1均为实数，•••要求复数i1x 10+i2! x 9+…+ i10! x 1的虚部，只需求出i1!x 10+i2! x 9+i3x 8的虚部.••• i1! x 10+i2! x 9+i3! x 8= 10i+9i2+8i6=- 17+10i.•复数i1! x 10+i2! x 9+ …+i10! x 1 的虚部是10.故答案为：10.【点评】本题考查复数幕的运算，考查了虚数单位i的性质，属基础题.& （5分）已知经停某站的高铁列车有100个车次，随机从中选取了40个车次进行统计，统计结果为：10个车次的正点率为0.97, 20个车次的正点率为0.98, 10个车次的正点率为0.99，则经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为0.007 （精确到0.001）【分析】根据题意计算加权平均数和标准差即可.【解答】解：经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99,所以经停该站高铁列车所有车次的x( 10x 0.97+20 x 0.98+10 x 0.99)= 0.98;平均正点率为ILO+20HO经停该站的所有高铁列车正点率的标准差为s=｛爲％[10*（7・01）'吃0><於+10><0・0严]=^ x°.。
2017-2018学年上海市复旦附中高二下学期期末数学试题 解析版
绝密★启用前上海市复旦附中2017-2018学年高二下学期期末数学试卷评卷人得分一、单选题1．在的展开式中，系数为有理数的系数为A．336项B．337项C．338项D．1009项【答案】A【解析】【分析】根据题意，求出的展开式的通项，即可得项的系数，进而分析可知若系数为有理数，必有，、2、、，即可得出答案．【详解】根据题意，的展开式的通项为；其系数为，若系数为有理数，必有，、、共有336项，故选：A．【点睛】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．2．如图，某几何体的三视图是三个边长为1的正方形，及每个正方形中的一条对角线，则该几何体的表面积是A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的表面积即可．【详解】几何体的直观图如图：所以几何体的表面积为：．故选：B．【点睛】本题考查了根据三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题.3．定义“规范01数列”{an}如下：{ an }共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有()A．18个B．16个C．14个D．12个【答案】C【解析】由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0，4项为1，且必有a1＝0，a8＝1.不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有(种)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14个．故选C.4．已知椭圆方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为，满足的平面区城绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为，则A．B．C．D．，无明确大小关系【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图形，分别求出椭圆绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为与满足的平面区城绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为，则答案可求．【详解】在同一平面直角坐标系中画出椭圆与旋转体如图，椭圆绕y轴旋转一周所得的旋转体为椭球，其体积为；满足的平面区城阴影部分绕y轴旋转一周所得的旋转体是圆柱挖去一个圆锥，其体积．．故选：C．【点睛】本题主要考查了旋转体的体积及学生的计算能力，属于中档题．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题5．已知a，1，2，，则不同的复数的个数是______．【答案】16【解析】【分析】分和两种情况讨论，结合排列数公式求解．【详解】当时，复数的个数是4个；当时，由排列数公式可知，组成不同的复数的个数是个不同的复数的个数是16个．故答案为：16．【点睛】本题主要考查了排列及排列数公式，涉及分类讨论思想，属于中档题．6．一个竖直平面内的多边形，用斜二测画法得到的水平放置的直观图是一个边长为的正方形，该正方形有一组对边是水平的，则原多边形的面积是______．【答案】【解析】【分析】根据斜二测画法可知，原图形中的高在直观图中变为原来的，直观图中的高变为原高的，原来的平面图形与直观图的面积比是：1，计算即可．【详解】该多边形的直观图是一个边长为的正方形，正方形的面积为，原多边形的面积是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了斜二测画法，原图形与直观图面积的关系，属于中档题．7．已知则______．【答案】【解析】【分析】根据题意，由二项式定理可得的展开式的通项，分析可知、、为负值，在中，令可得：，即可求解．【详解】根据题意，中，其展开式的通项为，又由，则、、为负值，则在中，令可得：，又由、、为负值，则，故答案为：．【点睛】本题考查了二项式定理的应用，赋值法求项的系数和，属于中档题．8．已知球的体积是V，则此球的内接正方体的体积为______．【答案】【解析】【分析】设球的半径为R，球内接正方体的棱长为a，根据题意知球内接正方体的体对角线是球的直径，得出a与R的关系，再计算正方体的体积．【详解】设球的半径为R，球内接正方体的棱长为a，则球的体积是，；又球的内接正方体的体对角线是球的直径，即，；正方体的体积为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了球与其内接正方体的关系，属于容易题题．9．点2，，3，，4，，若的夹角为锐角，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据的夹角为锐角，可得，且不能同向共线解出即可得出．【详解】1，，2，，的夹角为锐角，，且不能同向共线．解得，．则的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了向量夹角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是__________．【答案】2π1 2π【解析】设底面圆的半径为r，圆柱高为h，则2πr h =，侧面积21S h =，全面积222212π12πS h r h ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， ∴212π12πS S +=． 11．正四面体ABCD 的棱长为2，则所有与A ，B ，C ，D 距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为______． 【答案】【解析】 【分析】根据题意知，到正四面体ABCD 四个顶点距离相等的截面分为两类：一类是由同一顶点出发的三条棱的中点构成的三角形截面，这样的截面有4个；另一类是与一组相对的棱平行，且经过其它棱的中点的四边形截面，这样的截面有3个；求出所有满足条件的截面面积之和即可． 【详解】设E 、F 、G 分别为AB 、AC 、AD 的中点，连结EF 、FG 、GE ， 则是三棱锥的中截面，可得平面平面BCD ，点A 到平面EFG 的距离等于平面EFG 与平面BCD 之间的距离，、B 、C 、D 到平面EFG 的距离相等，即平面EFG 是到四面体ABCD 四个顶点距离相等的一个平面； 正四面体ABCD 中，象这样的三角形截面共有4个．正四面体ABCD 的棱长为2，可得，是边长为1的正三角形，可得；取CD、BC的中点H、I，连结GH、HI、IE，、GH分别是、的中位线，，，得，四边形EGHI为平行四边形；又且，，，且，四边形EGHI为正方形，其边长为，由此可得正方形EGHI的面积；的中点I在平面EGHI内，、C两点到平面EGHI的距离相等；同理可得D、C两点到平面EGHI的距离相等，且A、B两点到平面EGHI的距离相等；、B、C、D到平面EGHI的距离相等，平面EGHI是到四面体ABCD四个顶点距离相等的一个平面，且正四面体ABCD中，象四边形EGHI这样的正方形截面共有3个，因此，所有满足条件的正四面体的截面面积之和等于．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正四面体的性质、点到平面距离的定义、三角形面积与四边形形面积的求法等知识，属于难题．12．从集合2，，中取出五个不同的数组成单调递增的等差数列，则所有符合条件的不同的数列个数是______．【答案】98【解析】【分析】根据题意，设满足条件的一个等差数列首项为，公差为d，确定d的可能取值为1，2，3，，7，进而分析可得答案．【详解】根据题意，设满足条件的一个等差数列首项为，公差为d，必有．则，则，则d的可能取值为1，2，3，，7．对于给定的d，，当分别取1，2，3，，时，可得递增等差数列个如：时，，当分别取1，2，3，，26时，可得递增等差数列26个：1，2，3，4，5；2，3，，6；；26，27，，30，其它同理．当d取1，2，3，，7时，可得符合要求的等差数列的个数为：个；故答案为：98．【点睛】本题主要考查了合情推理，涉及等差数列的性质，关键是确定d的取值范围，属于难题. 13．在正三棱锥中，，，记二面角，的平面角依次为，，则______．【答案】2【解析】【分析】如图所示，作平面ABC，连接CO延长交AB于点D，连接可得D为AB的中点，，于是二面角的平面角为作，垂足为E点，连接BE，根据≌，可得可得为的平面角，利用余弦定理等即可得出．【详解】如图所示，作平面ABC，连接CO延长交AB于点D，连接PD．则D为AB的中点，，．二面角的平面角为．，，，．．作，垂足为E点，连接BE，≌，．为的平面角，．．在中，．．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了正三棱锥的性质、正三角形的性质、余弦定理、勾股定理、二面角、三角形全等，属于难题．14．如图，顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，母线，O是底面圆心，B 是底面圆内一点，且，C为PA的中点，，垂足为D，当三棱锥的体积最大时，______．【答案】【解析】【分析】根据图形，说明PC是三棱锥的高，的面积在时取得最大值，求出OB即可．【详解】，可得，即面POB，所以面面POB．，则面PAB，，，又，，所以面即PC是三棱锥的高．而的面积在时取得最大值斜边的直角三角形．当时，由，知，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆锥的结构特征，棱锥的体积等知识，考查空间想象能力，属于中档题．15．已数列，令为，，，中的最大值2，，，则称数列为“控制数列”，数列中不同数的个数称为“控制数列”的“阶数”例如：为1，3，5，4，2，则“控制数列”为1，3，5，5，5，其“阶数”为3，若数列由1，2，3，4，5，6构成，则能构成“控制数列”的“阶数”为2的所有数列的首项和是______．【答案】1044【解析】【分析】根据新定义，分别利用排列、组合，求出首项为1，2，3，4，5的所有数列，再求出和即可．【详解】依题意得，首项为1的数列有1，6，a，b，c，d，故有种，首项为2的数列有2，1，6，b，c，d，或2，6，a，b，c，d，故有种，首项为3的数列有3，6，a，b，c，d，或3，1，6，b，c，d，或3，2，6，b，c，d或3，1，6，c，d或，3，2，1，6，c，d，故有种，首项为4的数列有种，即4，6，a，b，c，d，有种，4，1，6，b，c，d，或4，2，6，b，c，d，或4，3，6，b，c，d，有种，4，a，b，6，c，d，其中a，2，，则有种，4，a，b，c，6，d，其中a，b，2，，则有6种，首项为5的数列有种，即5，6，a，b，c，d，有种，5，1，6，b，c，d，或5，2，6，b，c，d，或5，3，6，b，c，d，或5，4，6，b，c，d 有种，5，a，b，6，c，d，其中a，2，3，，则有种，5，a，b，c，6，d，其中a，b，2，3，，则有24种，5，a，b，c，d，6，其中a，b，c，2，3，，则有24种，综上，所有首项的和为．故答案为：1044【点睛】本题主要考查了排列组合，考查了新定义问题，属于难题16．已知的展开式中，的系数为，则常数的值为．【答案】【解析】，所以由得，从而点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.评卷人得分三、解答题17．已知空间向量与的夹角为，且，，令，．求，为邻边的平行四边形的面积S；求的夹角．【答案】（1）（2）的夹角．【解析】【分析】根据向量的夹角为即可求出，从而根据即可求出面积S根据条件即可求出，和的值，根据向量夹角的余弦公式，即可求出，进而得出．【详解】根据条件，；；；；，；；的夹角．【点睛】本题主要考查了向量夹角，三角形的面积公式，向量数量积的运算，向量的模，属于中档题．18．有3名女生和5名男生，按照下列条件排队，求各有多少种不同的排队方法？名女生排在一起；名女生次序一定，但不一定相邻；名女生不站在排头和排尾，也互不相邻；每两名女生之间至少有两名男生；名女生中，A，B要相邻，A，C不相邻．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）【解析】【分析】根据题意，用捆绑法分2步分析：，3名女生看成一个整体，，将这个整体与5名男生全排列，由分步计数原理计算可得答案；根据题意，先计算8人排成一排的排法，由倍分法分析可得答案；根据题意，分2步分析：，将5名男生全排列，，将3名女生安排在5名男生形成的空位中，由分步计数原理计算可得答案；根据题意，分2种情况讨论：，两名女生之间有3名男生，另两名女生之间有2名男生，，任意2名女生之间都有2名男生，分别求出每种情况下的排法数目，由加法原理计算可得答案；根据题意，分2种情况讨论：，A、B、C三人相邻，则B在中间，A、C在两边，，A、B、C三人不全相邻，分别求出每种情况下的排法数目，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步分析：，3名女生看成一个整体，考虑其顺序有种情况，，将这个整体与5名男生全排列，有种情况，则3名女生排在一起的排法有种；根据题意，将8人排成一排，有种排法，由于3名女生次序一定，则有种排法；根据题意，分2步分析：，将5名男生全排列，有种情况，，除去两端，有4个空位可选，在其中任选3个，安排3名女生，有种情况，则3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻的排法有种；根据题意，将3名女生排成一排，有种情况，分2种情况讨论：，两名女生之间有3名男生，另两名女生之间有2名男生，将5名男生分成3、2的两组，分别安排在3名女生之间，有种排法；，任意2名女生之间都有2名男生，将5名男生分成2、2、1的三组，2个2人组安排在三名女生之间，1人安排在两端，有种排法；则每两名女生之间至少有两名男生的排法有种；根据题意，分2种情况分析：，A、B、C三人相邻，则B在中间，A、C在两边，三人有种排法，将3人看成一个整体，与5名男生全排列，有种情况，则此时有种排法；，A、B、C三人不全相邻，先将5名男生全排列，有种情况，将A、B看成一个整体，和C一起安排在5名男生形成的6个空位中，有种，则3名女生中，A，B要相邻，A，C不相邻的排法有种排法．【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，涉及分类、分步计数原理，属于中档题．19．在正四棱锥中，正方形ABCD的边长为，高，E是侧棱PD上的点且，F是侧棱PA上的点且，G是的重心如图建立空间直角坐标系．求平面EFG的一个法向量；求直线AG与平面EFG所成角的大小；求点A到平面EFG的距离d．【答案】（1）1，．（2）直线AG与平面EFG所成角．（3）【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出2，，4，，设平面EFG的一个法向量y，，由，能求出平面EFG的一个法向量．求出2，，由，能求出直线AG与平面EFG所成角．求出2，，由点A到平面EFG的距离，能求出结果．【详解】在正四棱锥中，正方形ABCD的边长为，高，E是侧棱PD上的点且，F是侧棱PA上的点且，G是的重心如图建立空间直角坐标系．，0，，，0，，0，，6，，0，，2，，2，，4，，设平面EFG的一个法向量y，，则，取，得：平面EFG的一个法向量1，．2，，则，直线AG与平面EFG所成角．2，，点A到平面EFG的距离．【点睛】本题主要考查了平面的法向量、线面角、点到平面的距离的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系及数形结合思想，属于中档题．20．如图，在多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，是等腰直角三角形且，平面ADE且．求异面直线AE和DF所成角的大小；求二面角的平面角的大小．【答案】（1）异面直线AE和DF所成角的大小为（2）二面角的平面角的大小为．【解析】【分析】由已知可得DA，DC，DE两两互相垂直，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．求出的坐标，利用数量积求夹角求解异面直线AE和DF所成角的大小；分别求出平面BDF与平面DFC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的平面角的大小．【详解】平面平面ABCD，且，平面ABCD，由四边形ABCD是边长为2的正方形，，DC，DE两两互相垂直，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，又平面ADE且，0，，0，，0，，2，，2，，1，，，，则，异面直线AE和DF所成角的大小为；，，设平面BDF的一个法向量为，由，取，得，又平面DFC的一个法向量为，．由图可知，二面角为锐角，二面角的平面角的大小为．【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，二面角，属于中档题．21．设点，分别是椭园C：的左、右焦点，且椭圆C上的点到的距离的最小值为，点M，N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．求椭圆C的方程；当时，求的面积；当时，求直线的方程．【答案】（1）（2）4（3）．【解析】【分析】根据椭圆的简单性质可得，求解t，即可得到椭圆C的方程；可设，根据向量的数量积求出点N的坐标，由三角形面积公式可得的面积；向量与向量平行，不妨设，设，，根据坐标之间的关系，求得M的坐标，再根据向量的模，即可求出的值，根据斜率公式求出直线的斜率，根据直线平行和点斜式即可求出直线的方程．【详解】点、分别是椭圆C：的左、右焦点，，，椭圆C上的点到点的距离的最小值为，，解得，椭圆的方程为；由可得，，点N是椭圆C上位于x轴上方的点，可设，，，，，解得，，，的面积；向量与向量平行，，，，即，设，，，，，，，，，，则，，，，解得，或舍去．，，，则，，向量与向量平行，所在直线当斜率为，直线的方程为，即为．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质，向量的运算，直线斜率，属于难题．。
复旦大学附属中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题+Word版含答案
绝密★启用前复旦大学附属中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题2018.01一.填空题1.准线方程为10+=y 的抛物线标准方程为【解析】1=-y ，开口向上，24=x y2.已知圆225+=x y 和点()1,2A ，则过点A 的圆的切线方程为【解析】点()1,2A 在圆上，所以切线方程为25+=x y3.若椭圆221369+=x y 的弦被点（4，2）平分，则此弦在直线的斜率为 【解析】由中点弦结论21222914362=-⇒⋅=-⇒=-b k k k k a 4.参数方程2cos 2sin θθ=⎧⎨=+⎩x y （θ为参数，且θ∈R ）化为普通方程是 【解析】由222sin cos 121θθ+=⇒-+=y x ，即23+=x y5.已知椭圆()222104+=>x y a a 与双曲线22193-=x y 有相同的焦点，则a 的值为 【解析】24934-=+⇒=a a6.设1F 和2F 为双曲线22421-=x y 的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足1260∠=︒F PF ，则12F PF ∆的面积是【解析】由双曲线焦点三角形面积公式21cotcot 3022S b θ==︒= 7.已知抛物线24y x =的焦点F 和()1,1A ，点P 为抛物线上的动点，则PA PF +取到最小值时点P 的坐标为【解析】过点P 作PB 垂直于准线，过A 作AH 垂直于准线，PA PF PA PB AH +=+≤，此时最小，点P 与点A 的坐标为相同，所以点P 为1(1)4， 8.椭圆2211612x y +=上的点到直线2120x y --=的距离最大值为 【解析】设直线20x y b -+=，联立椭圆，08b ∆=⇒=±，最大值d ==9.双曲线22214x y b -=的左右焦点分别为1F 、2F ，P 为右支上一点，且16PF =，120PF PF ⋅=则双曲线渐近线的夹角为 【解析】根据题意22PF =，由焦点三角形面积公式2121cot 4562S b PF PF =︒=⨯⨯=，∴26b =，渐近线为y x =，夹角为2arctan π-10.已知定点()4,0P -和定圆22:8Q x y x +=，动圆M 和圆Q 外切，且经过点P ，求圆心M 的轨迹方程【解析】结合图像可得，4MQ MP -=，M 的轨迹为双曲线221412x y -=的左支 11.设直线l 与抛物线24y x =相交于A 、B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是【解析】设()11A x y ，、()22B x y ，、()00M x y ，，点差可得02AB k y =，设圆心为O ，则005OM y k x =-，AB OM ⊥ ，00002135y x y x ∴⋅=-⇒=-，在()30M ，处和(3M ，处，确定r 的范围为（2，4）12.已知1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆()()22:114C x y +++=的一条动弦，且AB =PA PB +的最小值是【解析】12l l ⊥，1l 过定点（3，1），2l 过定点（1，3），∴P 轨迹为圆()()22222x y -+-=， 作垂直线段CD AB ⊥，1CD =22PA PB PC CA PC CB PC CD PD +=+++=+=，结合图像可知，最小值为1。
2017-2018学年上海市复旦附中高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2017-2018学年上海市复旦附中高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．当时，方程所表示的曲线是（）A．焦点在轴的椭圆B．焦点在轴的双曲线C．焦点在轴的椭圆D．焦点在轴的双曲线【答案】D【解析】【分析】先化简方程得，即得曲线是焦点在轴的双曲线.【详解】化简得，因为ab＜0,所以＞0，所以曲线是焦点在轴的双曲线.故答案为：D【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 2．已知的方程，点是圆内一点，以为中心点的弦所在的直线为，直线的方程为，则（）A．，且与圆相离B．，且与圆相交C．与重合，且与圆相离D．，且与圆相交【答案】A【解析】【分析】利用直线m是以P为中点的弦所在的直线可求得其斜率，进而根据直线n的方程可判断出两直线平行；表示出点到直线n的距离，根据点P在圆内判断出a，b和r的关系，进而判断出圆心到直线n的距离大于半径，判断出二者的关系是相离．【详解】直线m是以P为中点的弦所在的直线∴直线m⊥PO，∴m的斜率为﹣，∵直线n的斜率为﹣，∴n∥m圆心到直线n的距离为∵P在圆内，∴a2+b2＜r2，∴＞r，∴直线n与圆相离.故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查直线的位置关系，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)判断直线与圆的位置关系常用的方法，(几何法)：比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系：①②③3．椭圆上有个不同的点，椭圆右焦点，数列是公差大于的等差数列，则的最大值为（）A．2017 B．2018 C．4036 D．4037【答案】C【解析】【分析】由已知求出c，可得椭圆上点到点F距离的最大最小值，由等差数列的通项公式求得公差，再由公差大于求得n的最大值．【详解】由已知椭圆方程可得：a2=16，b2=15，则c=1．∴|P1F|=a﹣c=3，当n最大时，|P n F|=a+c=5．设公差为d，则5=3+（n﹣1）d，∴d=，由，可得n＜4037，∴n的最大值为4036．故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查等差数列的通项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题解题的关键是分析得到当n最大时，|P n F|=a+c=5．4．如图，过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若，则的大小为（）A．15°B．30°C．45°D．不确定【答案】B【解析】【分析】画出图形，利用抛物线的简单几何性质转化求解即可．【详解】取AB中点C，连结MC，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，以AB为直径的圆与准线l的公共点为M，根据抛物线性质，∴MC平行于x轴，且MF⊥AB，∵∠AMF=60°，∴∠CAM=∠CMA=30°，∴∠CMF=∠MFO=30°，故答案为：B【点睛】（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查平面几何知识，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是证明MC平行于x轴，且MF⊥AB.二、填空题5．准线方程为的抛物线标准方程为_______【答案】【解析】【分析】根据准线方程得到抛物线的开口方向和p的值，即得抛物线的标准方程.【详解】，所以抛物线的开口向上，设抛物线方程为，所以抛物线的标准方程为.故答案为：【点睛】(1)本题主要考查抛物线的标准方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)求抛物线的标准方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量. 6．已知圆和点，则过点的圆的切线方程为______【答案】【解析】【分析】先由题得到点A在圆上，再设出切线方程为利用直线和圆相切得到k的值，即得过点A的圆的切线方程.【详解】因为，所以点在圆上，设切线方程为即kx-y-k+2=0,因为直线和圆相切，所以，所以切线方程为，所以切线方程为，故答案为：【点睛】（1）本题主要考查圆的切线方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)点到直线的距离.7．若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦在直线的斜率为_______【答案】【解析】【分析】利用点差法求直线的斜率.【详解】设弦的端点为则，所以所以所以.故答案为：【点睛】（1）本题主要考查点差法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 如果已知中涉及圆锥曲线的弦的中点，一般利用点差法，可以减少运算，提高解题效率.使用点差法，一般先“设点代点”，再作差，最后化简，最后可以得到中点的坐标和直线的斜率的关系.8．参数方程（为参数，且）化为普通方程是_____【答案】【解析】【分析】由题得，再把两式相加即得参数方程的普通方程.【详解】由题得，两式相加得.所以普通方程为.故答案为:【点睛】(1)本题主要考查参数方程化普通方程，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 参数方程消参常用的方法有三种.①加减消参：直接把两个方程相加减即可消去参数.②代入消参：通过其中的一个方程求出参数的值，再代入另外一个方程化简.③恒等式消参：通过方程计算出，再利用三角恒等式消去参数.9．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为______【答案】4【解析】【分析】由题得，解之即得a的值.【详解】由题得，所以a=4,故答案为：4【点睛】（1）本题主要考查椭圆和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)椭圆中，双曲线中10．设和为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积是_______【答案】【解析】【分析】先求出双曲线的a,b,c,再利用求出，即得三角形的面积.【详解】由题得.由题得所以.故答案为：【点睛】(1)本题主要考查双曲线的几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形的面积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答圆锥曲线问题时，看到焦点和焦半径要联想到曲线的定义提高解题效率.11．已知抛物线的焦点和，点为抛物线上的动点，则取到最小值时点的坐标为________【答案】【解析】【分析】设点P在准线上的射影为D，由抛物线的定义把问题转化为求|PA|+|PD|的最小值，同时可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得．【详解】过点P作PB垂直于准线，过A作AH垂直于准线，PA+PF=PA+PB≤AH，此时最小，点P与点A的坐标为相同，所以点P为.故答案为：【点睛】(1)本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2) 解答圆锥曲线问题时，看到焦点和焦半径要联想到曲线的定义提高解题效率.12．双曲线的左右焦点分别为、，为右支上一点，且，则双曲线渐近线的夹角为_______【答案】，或【解析】【分析】利用双曲线的定义，求出，通过焦点三角形面积公式求出b，然后求出双曲线的渐近线方程，即可得到双曲线渐近线的夹角．【详解】根据题意，，由焦点三角形面积公式,渐近线为，夹角为，或.故答案为：，或【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，注意焦点三角形面积公式的应用．13．已知定点和定圆，动圆和圆外切，且经过点，求圆心的轨迹方程_______【答案】双曲线的左支【解析】【分析】画出图形，利用双曲线的定义转化求解即可．【详解】结合图象可得，|MQ|﹣|MP|=4，可得a=2，c=4，则b=，M的轨迹为双曲线的左支．故答案为：双曲线的左支．【点睛】(1)本题主要考查点的轨迹方程,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求轨迹方程的四种主要方法:①待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程.②代入法：如果点的运动是由于点的运动引起的，可以先用点的坐标表示点的坐标，然后代入点满足的方程，即得动点的轨迹方程.③直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程.④参数法：动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参.14．（题文）设直线与抛物线相交于、两点，与圆相切于点，且为线段的中点，若这样的直线恰有4条，则的取值范围是_______【答案】（2，4）【解析】设直线的方程为，，把直线的方程代入抛物线方程，整理可得：则，，则线段的中点由题意可得直线与直线垂直，且当时，有即，整理得把代入到可得，即由于圆心到直线的距离等于半径即，此时满足题意且不垂直于轴的直线有两条当时，这样的直线恰有条，即，综上所述，若这样的直线恰有条，则的取值范围是点睛：本题主要考查的知识点是直线与抛物线，圆的位置关系，考查了学生分析解决问题的能力，属于中档题。
上海市复旦附中2018-2019学年高二生物下学期期末模拟试卷+（8份试卷合集）
上海市复旦附中2018-2019学年⾼⼆⽣物下学期期末模拟试卷+（8份试卷合集）2019年⾼⼆下学期⽣物期末模拟试卷注意事项：1. 答题前，考⽣先将⾃⼰的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考⽣信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使⽤2B铅笔填涂；⾮选择题必须使⽤0.5毫⽶⿊⾊字迹的签字笔书写，字体⼯整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题⽬的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案⽆效；在草稿纸、试题卷上答题⽆效。
4．保持卡⾯清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使⽤涂改液、修正带、刮纸⼑。
⼀、选择题（共40个，每题1.5分）1.下列有关脂质的叙述,正确的是( )A.脂质中的磷脂是细胞膜的组成成分B.维⽣素D和性激素不属于固醇类物质C.脂肪⽐相同质量的多糖彻底氧化产能少D.脂质在核糖体、内质及⾼尔基体上合成2.下列关于植物体内⽔分的叙述,错误的是( )A.植物体内的⽔分参与营养物质的运输B.⽔是构成叶⾁细胞的重要化合物之⼀C.⾃由⽔可作为细胞内化学反应的反应物D.同种植物萌发种⼦的含⽔量与休眠种⼦的相同3.下列关于细胞中化合物及其化学键的叙述,正确的是A.tRNA分⼦中含有⼀定数量的氢键nB.每个ADP分⼦中含有两个⾼能磷酸键C.⾎红蛋⽩中不同肽链之间通过肽键连接D.DNA的两条脱氧核苷酸链之间通过磷酸⼆酯键连接4下列关于叶绿体和线粒体⽐较的叙述，正确的是A．叶绿体中可发⽣CO2→C3→C6H12O6的变化，在线粒体中则会发⽣C6H12O6→C3→CO2的变化B．[H]在叶绿体中随⽔的分解⽽产⽣，在线粒体中随⽔的⽣成⽽产⽣C．光能转变成化学能发⽣在叶绿体中，化学能转变成光能发⽣在线粒体中D．都具有较⼤膜⾯积和复杂的酶系统，有利于新陈代谢⾼效⽽有序地进⾏5.⽣物体的⽣命活动离不开⽔。
下列关于⽔的叙述,错误的是( )A.在最基本⽣命系统中,H2O有⾃由⽔和结合⽔两种存在形式B.由氨基酸形成多肽链时,⽣成物H2O中的氢来⾃氨基和羧基C.有氧呼吸时,⽣成物H2O中的氢来⾃线粒体中丙酮酸的分解D.H2O在光下分解,产⽣的[H]将固定的CO2还原成(CH2O)6.⽤蛋⽩酶去除⼤肠杆菌核糖体的蛋⽩质,处理后的核糖体仍可催化氨基酸的脱⽔缩合反应。
2017-2018年上海市复旦附中高二第二学期期末数学试卷和参考答案
2017-2018学年上海市复旦附中高二第二学期期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分48分）1．（4分）已知a，b∈{0，1，2，3}，则不同的复数z＝a+bi的个数是．2．（4分）一个竖直平面内的多边形，用斜二测画法得到的水平放置的直观图是一个边长为的正方形，该正方形有一组对边是水平的，则原多边形的面积是．3．（4分）已知则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2018|＝．4．（4分）已知（﹣）9的展开式中，x3的系数为，则常数a的值为．5．（4分）已知球的体积是V，则此球的内接正方体的体积为．6．（4分）点A（1，2，1），B（3，3，2），C（λ+1，4，3），若的夹角为锐角，则λ的取值范围为．7．（4分）若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是．8．（4分）正四面体ABCD的棱长为2，则所有与A，B，C，D距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为．9．（4分）从集合{1，2，…，30}中取出五个不同的数组成单调递增的等差数列，则所有符合条件的不同的数列个数是．10．（4分）在正三棱锥P﹣ABC中，P A＝2，AB＝1，记二面角P﹣AB﹣C，A﹣PC﹣B 的平面角依次为α，β，则3sin2α﹣2cosβ＝．11．（4分）如图，顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，母线P A＝4，O是底面圆心，B是底面圆内一点，且AB⊥OB，C为P A的中点，OD⊥PB，垂足为D，当三棱锥O﹣PCD的体积最大时，OB＝．12．（4分）已数列{a n}，令b k为a1，a2，…，a k中的最大值（k＝1，2，…，n），则称数列{b n}为“控制数列”，数列{b n}中不同数的个数称为“控制数列”{b n}的“阶数”．例如：{a n}为1，3，5，4，2，则“控制数列”{b n}为1，3，5，5，5，其“阶数”为3，若数列{a n}由1，2，3，4，5，6构成，则能构成“控制数列”{b n}的“阶数”为2的所有数列{a n}的首项和是．二、选择题（本大题共有4题，满分16）13．（4分）在的展开式中，系数为有理数的项数为（）A．336项B．337项C．338项D．1009项14．（4分）如图，某几何体的三视图是三个边长为1的正方形，及每个正方形中的一条对角线，则该几何体的表面积是（）A．4+B．C．D．3+15．（4分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个16．（4分）已知椭圆方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1，满足的平面区城绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，则（）A．V2＝V1B．V2＝V1C．V2＝V1D．V2，V1无明确大小关系三、解答题（本大题共有5题，满分56分）17．（10分）已知空间向量与的夹角为arccos，且||＝，，令，．（1）求，为邻边的平行四边形的面积S；（2）求的夹角θ．18．（10分）有3名女生和5名男生，按照下列条件排队，求各有多少种不同的排队方法？（1）3名女生排在一起；（2）3名女生次序一定，但不一定相邻；（3）3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻；（4）每两名女生之间至少有两名男生；（5）3名女生中，A，B要相邻，A，C不相邻．19．（12分）在正四棱锥P﹣BCD中，正方形ABCD的边长为3，高OP＝6，E是侧棱PD上的点且PE＝PD，F是侧棱P A上的点且PF＝P A，G是△PBC的重心．如图建立空间直角坐标系．（1）求平面EFG的一个法向量；（2）求直线AG与平面EFG所成角θ的大小；（3）求点A到平面EFG的距离d．20．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ADE是等腰直角三角形且∠ADE＝，EF⊥平面ADE且EF＝1．（1）求异面直线AE和DF所成角的大小；（2）求二面角B﹣DF﹣C的平面角的大小．21．（12分）设点F1，F2分别是椭园C：（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C 上的点到F2的距离的最小值为，点M，N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C的方程；（2）当＝0时，求△F1NF2的面积；（3）当时，求直线F2N的方程．2017-2018学年上海市复旦附中高二第二学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分48分）1．【考点】A1：虚数单位i、复数．【解答】解：当a＝b时，复数z＝a+bi的个数是4个；当a≠b时，由排列数公式可知，组成不同的复数z＝a+bi的个数是个．∴不同的复数z＝a+bi的个数是16个．故答案为：16．【点评】本题考查排列及排列数公式，是基础题．2．【考点】LD：斜二测法画直观图．【解答】解：该多边形的直观图是一个边长为的正方形，正方形的面积为S正方形＝＝2，∴原多边形的面积是2×2＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了斜二测画法中原平面图形与直观图的面积比应用问题，是基础题．3．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：根据题意，（1﹣2x）2018中，其展开式的通项为T r+1＝（﹣2x）r，又由，则a1、a3、……a2017为负值，则在（1﹣2x）2018中，令x＝﹣1可得：32018＝a0﹣a1+a2﹣a3+……+a2017﹣a2018，又由a1、a3、……a2017为负值，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2018|＝a0﹣a1+a2﹣a3+……+a2017﹣a2018＝32018，故答案为：32018．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意二项式定理的形式，属于基础题．4．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：（﹣）9的展开式中，通项公式为T r+1＝••（﹣1）r•a9﹣r •，令﹣9＝3，求得r＝8，故x3的系数为•a＝，∴a＝4，故答案为：4．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．5．【考点】LR：球内接多面体．【解答】解：设球的半径为R，球内接正方体的棱长为a，则球的体积是V＝πR3，∴R＝；又球的内接正方体的体对角线是球的直径，即3a2＝4R2，∴a＝R；∴正方体的体积为V正方体＝＝×＝．故答案为：．【点评】本题考查了球与其内接正方体的关系应用问题，是基础题．6．【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式．【解答】解：＝（2，1，1），＝（λ，2，2），∵的夹角为锐角，∴•＝2λ+2+2＞0，且不能同向共线．解得λ＞﹣2，λ≠4．则λ的取值范围为（﹣2，4）∪（4，+∞）．故答案为：（﹣2，4）∪（4，+∞）．【点评】本题考查了向量夹角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【解答】解：可以设该侧面的正方形边长为A，则S侧面积＝A2全面积S＝A2+2π则圆柱的全面积与侧面积的比＝＝故答案：【点评】本题考查的是圆柱的表面积与侧面积，利用已知分别求出全面积和侧面积是解答本题的关键，另外全面积＝侧面积+底面积×2，中易解为全面积＝侧面积+底面积．8．【考点】L3：棱锥的结构特征．【解答】解：设E、F、G分别为AB、AC、AD的中点，连结EF、FG、GE，则△EFG是三棱锥A﹣BCD的中截面，可得平面EFG∥平面BCD，点A到平面EFG的距离等于平面EFG与平面BCD之间的距离，∴A、B、C、D到平面EFG的距离相等，即平面EFG是到四面体ABCD四个顶点距离相等的一个平面；正四面体ABCD中，象△EFG这样的三角形截面共有4个．∵正四面体ABCD的棱长为2，可得EF＝FG＝GE＝1，∴△EFG是边长为1的正三角形，可得S△EFG＝EF•FG•sin60°＝；取CD、BC的中点H、I，连结GH、HI、IE，∵EI、GH分别是△ABC、△ADC的中位线，∴EI AC，GH AC，得EI GH，∴四边形EGHI为平行四边形；又∵AC＝BD且AC⊥BD，EI AC，HI BD，∴EI＝HI且EI⊥HI，∴四边形EGHI为正方形，其边长为AB＝1，由此可得正方形EGHI的面积S EGHI＝1；∵BC的中点I在平面EGHI内，∴B、C两点到平面EGHI的距离相等；同理可得D、C两点到平面EGHI的距离相等，且A、B两点到平面EGHI的距离相等；∴A、B、C、D到平面EGHI的距离相等，∴平面EGHI是到四面体ABCD四个顶点距离相等的一个平面，且正四面体ABCD中，象四边形EGHI这样的正方形截面共有3个，因此，所有满足条件的正四面体的截面面积之和等于4S△EFG+3S EGHI＝4×+3×1＝+3．故答案为：+3．【点评】本题考查了正四面体的性质、点到平面距离的定义、三角形面积与四边形形面积的求法等知识，是难题．9．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题；F4：进行简单的合情推理．【解答】解：根据题意，设满足条件的一个等差数列首项为a1，公差为d，必有d∈N*．则a5＝a1+4d，则d＝≤＝，则d的可能取值为1，2，3， (7)对于给定的d，a1＝a5﹣4d≤30﹣4d，当a1分别取1，2，3，…，30﹣4d时，可得递增等差数列30﹣4d个（如：d＝1时，a1≤26，当a1分别取1，2，3，…，26时，可得递增等差数列26个：1，2，3，4，5；2，3，...，6；...；26，27， (30)其它同理）．当d取1，2，3，…，7时，可得符合要求的等差数列的个数为：×（2+26）×7＝98个；故答案为：98．【点评】本题考查合情推理的应用，涉及等差数列的性质，关键是确定d的取值范围，属于偏难题．10．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【解答】解：如图所示，作PO⊥平面ABC，连接CO延长交AB于点D，连接PD．则D为AB的中点，CD⊥AB，∴AB⊥PD．∴二面角P﹣AB﹣C的平面角为∠PDO＝α．∵PD＝＝，CD＝，OD＝CD＝，∴OP＝＝．∴sinα＝＝．作AE⊥PC，垂足为E点，连接BE，∵△P AC≌△PBC，∴BE⊥PC．∴∠AEB为A﹣PC﹣B的平面角β，∵cos∠PCA＝＝．∴AE＝AC•sin∠PCA＝1×＝．在△AEB中，cosβ＝＝．∴3sin2α﹣2cosβ＝﹣＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了正三棱锥的性质、正三角形的性质、余弦定理勾股定理、二面角、三角形全等，考查了推理能力与计算能力，属于难题．11．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【解答】解：AB⊥OB，可得PB⊥AB，即AB⊥面POB，所以面P AB⊥面POB．OD⊥PB，则OD⊥面P AB，OD⊥DC，OD⊥PC，又，PC⊥OC，所以PC⊥面OCD．即PC是三棱锥P﹣OCD的高．PC＝OC＝2．而△OCD的面积在OD＝DC＝时取得最大值（斜边＝2的直角三角形）．当OD＝时，由PO＝2，知∠OPB＝30°，OB＝PO tan30°＝．故答案为：．【点评】本题考查圆锥的结构特征，棱锥的体积等知识，考查空间想象能力，是中档题．12．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：依题意得，首项为1的数列有1，6，a，b，c，d，故有A44＝24种，首项为2的数列有2，1，6，b，c，d，或2，6，a，b，c，d，故有A44+A33＝30种，首项为3的数列有3，6，a，b，c，d，或3，1，6，b，c，d，或3，2，6，b，c，d或3，1，6，c，d或，3，2，1，6，c，d，故有A44+2A33+2A22＝40种，首项为4的数列有24+18+12+6＝60种，即4，6，a，b，c，d，有A44＝24种，4，1，6，b，c，d，或4，2，6，b，c，d，或4，3，6，b，c，d，有3A33＝18种，4，a，b，6，c，d，（其中a，b∈{1，2，3}），则有A32A22＝12种，4，a，b，c，6，d，（其中a，b，c∈{1，2，3}），则有6种，首项为5的数列有24×5＝120种，即5，6，a，b，c，d，有A44＝24种，5，1，6，b，c，d，或5，2，6，b，c，d，或5，3，6，b，c，d，或5，4，6，b，c，d有4A33＝24种，5，a，b，6，c，d，（其中a，b∈{1，2，3，4}），则有A42A22＝24种，5，a，b，c，6，d，（其中a，b，c∈{1，2，3，4}），则有24种，5，a，b，c，d，6，（其中a，b，c，d∈{1，2，3，4}），则有24种，综上，所有首项的和为24×1+30×2+40×3+60×4+120×5＝1044．故答案为：1044【点评】本题考查了排列组合问题，考查了新定义问题，考查了运算能力和转化能力，属于难题二、选择题（本大题共有4题，满分16）13．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：根据题意，的展开式的通项为T r+1＝（x）2018﹣r（）r＝××x2018﹣r；其系数为×，若系数为有理数，必有r＝6n，（n＝1、2 (336)共有336项，故选：A．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．14．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：几何体的直观图如图：所以几何体的表面积为：3+3×+＝．故选：B．【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．15．【考点】8B：数列的应用．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m＝4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．16．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【解答】解：在同一平面直角坐标系中画出椭圆与旋转体如图，椭圆绕y轴旋转一周所得的旋转体为椭球，其体积为V1＝；满足的平面区城阴影部分绕y轴旋转一周所得的旋转体是圆柱挖去一个圆锥，其体积V2＝＝．∴．故选：C．【点评】本题主要考查旋转体的体积的大小比较，考察学生的计算能力，是中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分56分）17．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【解答】解：（1）根据条件，；∴；∴＝；（2）＝﹣2×3＝﹣3；＝，；∴＝；∴的夹角．【点评】考查向量夹角的概念，sin2α＝1﹣cos2α，三角形的面积公式，向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式．18．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：（1）根据题意，分2步分析：①，3名女生看成一个整体，考虑其顺序有A33＝6种情况，②，将这个整体与5名男生全排列，有A66＝720种情况，则3名女生排在一起的排法有6×720＝4320种；（2）根据题意，将8人排成一排，有A88种排法，由于3名女生次序一定，则有＝6720种排法；（3）根据题意，分2步分析：①，将5名男生全排列，有A55＝120种情况，②，除去两端，有4个空位可选，在其中任选3个，安排3名女生，有A43＝24种情况，则3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻的排法有120×24＝2880种；（4）根据题意，将3名女生排成一排，有A33＝6种情况，分2种情况讨论：①，两名女生之间有3名男生，另两名女生之间有2名男生，将5名男生分成3、2的两组，分别安排在3名女生之间，有6×××A33×A22＝1440种排法；②，任意2名女生之间都有2名男生，将5名男生分成2、2、1的三组，2个2人组安排在三名女生之间，1人安排在两端，有6×××××＝1440种排法；则每两名女生之间至少有两名男生的排法有1440+1440＝2880种；（5）根据题意，分2种情况分析：①，A、B、C三人相邻，则B在中间，A、C在两边，三人有A22＝2种排法，将3人看成一个整体，与5名男生全排列，有A66＝720种情况，则此时有2×720＝1440种排法；②，A、B、C三人不全相邻，先将5名男生全排列，有A55＝120种情况，将A、B看成一个整体，和C一起安排在5名男生形成的6个空位中，有120××＝7200种，则3名女生中，A，B要相邻，A，C不相邻的排法有1440+7200＝8640种排法．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，注意常见问题的处理方法，属于中档题．19．【考点】MI：直线与平面所成的角；MK：点、线、面间的距离计算．【解答】解：（1）∵在正四棱锥P﹣BCD中，正方形ABCD的边长为3，高OP＝6，E是侧棱PD上的点且PE＝PD，F是侧棱P A上的点且PF＝P A，G是△PBC的重心．如图建立空间直角坐标系．∴D（0，﹣6，0），P（0，0，6），E（0，﹣2，4），A（6，0，0），F（3，0，3），B（0，6，0），C（﹣6，0，0），G（﹣2，2，2），＝（3，2，﹣1），＝（﹣2，4，﹣2），设平面EFG的一个法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得：平面EFG的一个法向量＝（0，1，2）．（2）＝（﹣8，2，2），则sinθ＝|cos＜＞|＝＝＝，∴直线AG与平面EFG所成角θ＝arcsin．（3）＝（6，2，﹣4），∴点A到平面EFG的距离d＝＝＝．【点评】本题考查平面的法向量、线面角、点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20．【考点】LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【解答】解：∵平面ADE⊥平面ABCD，且∠ADE＝，∴DE⊥平面ABCD，由四边形ABCD是边长为2的正方形，∴DA，DC，DE两两互相垂直，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，又EF⊥平面ADE且EF＝1，∴D（0，0，0），A（2，0，0），E（0，0，2），C（0，2，0），B（2，2，0），F（0，1，2），（1），，则cos＜＞＝，∴异面直线AE和DF所成角的大小为arccos；（2），，设平面BDF的一个法向量为，由，取z＝1，得，又平面DFC的一个法向量为，∴cos＜＞＝．由图可知，二面角B﹣DF﹣C为锐角，∴二面角B﹣DF﹣C的平面角的大小为arccos．【点评】本题考查空间角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．21．【考点】K4：椭圆的性质；KL：直线与椭圆的综合．【解答】解：（1）点F1、F2分别是椭圆C：（t＞0）的左、右焦点，∴a＝t，c＝t，∵椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为2﹣2，∴a﹣c＝t﹣t＝2﹣2，解得t＝2，∴椭圆的方程为；（2）由（1）可得F1（﹣2，0），F2（2，0），点N是椭圆C上位于x轴上方的点，可设N（2cosθ，2sinθ），∴＝（2cosθ+2，2sinθ），＝（2cosθ﹣2，2sinθ），∵＝0，∴（2cosθ+2）（2cosθ﹣2）+4sin2θ＝0，解得cosθ＝0，sinθ＝1，∴N（0，2），∴△F1NF2的面积S＝|F1F2|•y N＝×4×2＝4；（3）∵向量与向量平行，∴λ＝，∵，∴（|λ|﹣1）||＝，即|λ|＞1，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴λ（x1+2）＝x2﹣2，y2＝λy1，∴x2＝λx1+2（λ+1）∵，∴x22+2y22＝8，∴[λx1+2（λ+1）]2+2λ2y12＝12λ2+8λ+4+4λ（λ+1）x1＝8，∴4λ（λ+1）x1＝（1﹣3λ）（λ+1），∴x1＝＝，∴y12＝4﹣，则||2＝（x1+2）2+y12＝（﹣3+2）2+4﹣＝，∴||＝，∴（λ﹣1）•＝，∴3λ2﹣8λ﹣3＝0，解得λ＝3，或λ＝（舍去）．∴x1＝﹣3＝，y12＝4﹣＝，∴y1＝，则M（，），∴＝，∵向量与向量平行，∴F2N所在直线当斜率为﹣1，∴直线F2N的方程为y﹣0＝﹣（x﹣2），即为x+y﹣2＝0．【点评】题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量的运算和及其斜率计算公式等知识与基本方法，属于难题．。
上海市复旦大学附属中学2018学年高二上学期期中考试数学试题 含答案
复旦大学附中2018学年第一学期高二数学期中试卷2018.11一. 填空题1. 已知向量(1,)a k = ，(9,6)b k =-，若a ∥b ，则实数k =2. 方程组32521x y x y +=⎧⎨+=-⎩的增广矩阵为3. 已知23014x x +<，则实数x 的取值范围是4. 计算：1111393lim 1111242nn n→∞+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ 5. 若实数,x y 满足100x y x y -≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值是6. 已知直线l 经过点(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是7. 直线1l 与2l 的斜率分别是方程2610x x +-=的两根，则直线1l 与2l 的夹角为 8. 已知(1,1)A 、(2,3)B -，直线1y ax =-与线段AB 相交，则实数a 的范围是 9. 直线l 过点(3,3)P ，点(1,1)Q -到它的距离等于4，则直线l 的方程是10. 已知△ABC 为等边三角形，2AB =，设点,P Q 满足AP AB λ= ，(1)AQ AC λ=-，R λ∈，若32BQ CP ⋅=- ，则λ=11. 直线2360x y +-=分别交,x y 轴于,A B 两点，点P 在直线1y x =--上，则||PA +||PB 的最小值是12. 已知两个不相等的非零向量,a b，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由2个 a 和3个b 排列而成，记1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅，min S 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）① S 有5个不同的值；② 若a b ⊥ ，则m i n S 与||a 无关；③ 若a ∥b ，则m i n S 与||a无关；④ 若||4||b a > ，则m in 0S >；⑤ 若||2||b a = ，2min 8||S a = ，则a 与b 的夹角为4π；二. 选择题13. 有下面四个命题：① 若22lim n n a A →∞=，则lim n n a A →∞=；② 若0n a >，lim n n a A →∞=，则0A >；③ 若lim n n a A →∞=，则22lim n n a A →∞=；④ 若lim()0n n n a b →∞-=，则lim lim n n n n a b →∞→∞=；其中正确结论的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个14. 对于任意实数m ，直线130mx y m -+-=必经过的定点坐标是（ ） A. (3,1) B. (1,3) C. 1(,3)m m- D. 无法确定 15. 记,min{,},y x yx y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面内的非零向量，则（ ） A. min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B. 2222min{||,||}a b a b a b +-≥+C. min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥D. 2222min{||,||}a b a b a b +-≤+16. 已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和 y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）A. 无论12,,k P P 如何，总是无解B. 无论12,,k P P 如何，总有唯一解C. 存在12,,k P P ，使之恰有两解D. 存在12,,k P P ，使之有无穷多解三. 解答题17. 已知a 与b 所成的角为56π，且||2a =，||b = |32|a b + ，并求32a b + 与 a的夹角；18. 已知直线1:(2)(3)50l m x m y +++-=和2:6(21)50l x m y +--=，问实数m 为何值 时，分别有：（1）1l 与2l 相交？（2）1l ∥2l ？（3）1l 与2l 重合？19. 在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1)A 、(2,3)B 、(3,2)C ，点(,)P x y 在△ABC 三边 围成的区域（含边界）上；（1）若0PA PB PC ++= ，求||OP ；（2）设OP mAB nAC =+(,)m n R ∈，用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值；20. 已知直线1:2l y x =，2:2l y x =-，过点(2,0)M -的直线l 分别与直线12,l l 交于,A B ， 其中点A 在第三象限，点B 在第二象限，点(1,0)N ； （1）若△NAB 的面积为16，求直线l 的方程；（2）直线AN 交2l 于点P ，直线BN 交1l 于点Q ，若直线l 、PQ 的斜率均存在，分别设 为12,k k ，判断12k k 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由；21. 在直角坐标平面xOy 内有一列点11(1,)A a 、22(2,)A a ，…、(,)n n A n a 、…，记为{}n A ， 若由1n n n b A A j +=⋅ 构成的数列{}n b 满足1n n b b +>(1,2,)n =⋅⋅⋅，其中j为方向与y 轴正方向相同的单位向量，则称{}n A 为T 点列；（1）判断1(1,1)A 、21(2,)2A ，…，1(,)n A n n，…是否为T 点列，并说明理由；（2）若{}n A 是T 点列，且点2A 在点1A 的右上方，任取其中连续三点12,,k k k A A A ++，判断△12k k k A A A ++的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并证明； （3）（本小题为附加题，如果解答正确，加6分，但全卷总分不超过120分） 若{}n A 是T 点列，正整数1m n p q ≤<<<满足m q n p +=+；求证：n q m p A A j A A j ⋅>⋅ ；参考答案一. 填空题 1. 34-2. 325121⎛⎫ ⎪-⎝⎭3. (,2)(6,)-∞-+∞4. 34 5. 1 6. 5x y +=或230x y -= 7.4π8. (,2][2,)-∞-+∞ 9. 3x =或34210x y +-= 10.1211. 12. ②④二. 选择题13. A 14. A 15. D 16. B三. 解答题17. |32|a b += ，夹角为6π；18.（1）52m ≠-，4m ≠；（2）52m =-；（3）4m =；19.（1）（2）m n y x -=-，最大值为1； 20.（1）480x y ±+=；（2）15-； 21.（1）是；（2）钝角三角形；（3）略；。
2018-2019学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的一个焦点为()0,2F ,一条渐近线的斜率为则该双曲线的方程为（ ）A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=【答案】C【解析】根据双曲线一个焦点()0,2F 可以求出c ,可求出,a b 的关系,最后联立222c a b =+,解方程求出,a b ,求出方程即可. 【详解】因为双曲线一个焦点的坐标为()0,2F ,所以2c =,所以有ab=而222c a b =+,所以224a b =+,因此有2241a b a a b b⎧=+⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎪⎩. 故选：C 【点睛】本题考查了求双曲线方程,考查了双曲线的渐近线方程,考查了数学运算能力.2．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15B．6CD．2【答案】C【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1D A B D ,所以11(1(1,1AD DB u u u u v u u u u v=-=,因为111111cos ,5AD DB AD DB AD DB ⋅===u u u u v u u u u vu u u u v u u u u v u u u u v u u u u v ，所以异面直线1AD 与1DB 所成角，选C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.3．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有A ．8种B ．10种C ．12种D ．14种【答案】B【解析】根据表格进行逻辑推理即可得到结果. 【详解】张毅不同的选课方法如下：（1）生物B 层1班，政治1班，物理A 层2班； （2）生物B 层1班，政治1班，物理A 层4班； （3）生物B 层1班，政治2班，物理A 层1班； （4）生物B 层1班，政治2班，物理A 层4班； （5）生物B 层1班，政治3班，物理A 层1班； （6）生物B 层1班，政治3班，物理A 层2班；（7）生物B 层2班，政治1班，物理A 层3班； （8）生物B 层2班，政治1班，物理A 层4班； （9）生物B 层2班，政治3班，物理A 层1班； （10）生物B 层2班，政治3班，物理A 层3班； 共10种，故选B. 【点睛】本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题. 4．已知两个复数1z ,2z 的实部和虚部都是正整数,:①最大值为2；②无最大值;；④无最小值.其中正确判断的序号是（ ） A ．①③ B ．①④C ．②④D ．②③【答案】C【解析】设两个复数1z ,2z ,12z z +在复平面内对应点,,A B C ,利用平面向量的加法的几的最值情况.【详解】设两个复数1z ,2z ,12z z +在复平面内对应点,,A B C ,因此有：====因为, 复数1z ,2z 的实部和虚部都是正整数,所以,[0,)2OA OB π<>∈u u u r u u u r,2OA OB OB OA +≥=u u u r u u u r u u u r u u u r (当且仅当OA OB =u u u r u u u r )，而cos ,OA OB <>u u u r u u u r 是正数,故,对任意正整数M ,11z i =+,2z M Mi =+,OA OB M OB OA +>u u u r u u u ru u ur u u u r ,故,因此②④说法正确.故选：C 【点睛】本题考查了复数的向量表示,考查了平面向量的数量积的计算,考查了数学运算能力.二、填空题5．已知全集{}1,0,1,2,3U =-,集合{}0,1,2A =,{}1,0,1B =-,则()U A B =I ð______. 【答案】{}1-【解析】利用集合补集和交集的定义直接求解即可. 【详解】因为全集{}1,0,1,2,3U =-,集合{}0,1,2A =,{}1,0,1B =-,所以{}(){}=1,31U UA AB -∴=-I 痧.故答案为：{}1- 【点睛】本题考查了集合的补集、交集的定义,属于基础题.6=______.【答案】564【解析】利用模的性质、复数的乘方运算法则、模的计算公式直接求解即可. 【详解】()4481080525646441i i ⋅===⨯⋅+. 故答案为：564【点睛】本题考查了复数模的性质及计算公式,考查了复数的乘方运算,考查了数学运算能力. 7．从集合{}1,1,2,3-随机取一个为m ,从集合{}2,1,1,2--随机取一个为n ,则方程221x y m n+=可以表示___个不同的双曲线. 【答案】8【解析】根据双曲线方程的特点,结合分类和分步计数原理直接求解即可. 【详解】因为方程221x y m n+=表示双曲线,所以0mn <.因此可以分成两类：第一类：从集合{}1,1,2,3-中取一个正数,从集合{}2,1,1,2--取一个负数,有326⨯=种不同的取法；第二类：从集合{}1,1,2,3-中取一个负数,从集合{}2,1,1,2--取一个正数,有122⨯=种不同的取法.所以一共有32128⨯+⨯=种不同的方法. 故答案为：8 【点睛】本题考查了双曲线方程的特点,考查了分类和分步计数原理,考查了数学运算能力.8．在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,第4项的二项式系数是______（用数字作答）. 【答案】20【解析】利用二项式的通项公式即可求出. 【详解】二项式621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为：62361661()()(1)r r r r r r r T C x C xx --+=⋅⋅-=⋅-⋅. 令3r =, 所以第4项的二项式系数是3620C =故答案为：20 【点睛】本题考查了二项式某项的二项式系数,解决本题要注意与二项式某项的展开式系数的不同.9．已知,αβ表示两个不同的平面,m 为平面α内的一条直线,则“,αβ构成直二面角”是“m β⊥”的______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“或”“既不充分也不必要”）.【答案】必要不充分【解析】根据直二面角的定义、面面垂直的判定理、充分性、必要性的定义可以直接判断. 【详解】,αβ构成直二面角,说明平面,αβ互相垂直,但是m β⊥不一定成立,比如这两个相交平面的交线显然是平面α内的一条直线,它就不垂直于平面β；当m β⊥时, m 为平面α内的一条直线,由面面垂直的判定定理可知：,αβ互相垂直,因此,αβ构成直二面角,故由m β⊥可以推出,αβ构成直二面角,故“,αβ构成直二面角”是“m β⊥”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,考查了面面垂直的判定定理.10．若直线与直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =_______ 【答案】1【解析】：121212,,,12k k k k m ==-∴⋅=-Q 直线互相垂直，即12()1,12m m⋅-=-∴=11．复数11211011091i i i ⨯+⨯++⨯L 的虚部是______. 【答案】5-【解析】利用错位相消法可以化简式子,最后求出它的虚部. 【详解】令11211011091(1)S i i i=⨯+⨯++⨯L ,1021311111091(2)i S i i i ⋅=⨯+⨯++⨯L ,(1)(2)-得, 10112131101111(1)10()i S i i i i i -⋅=⨯-+++-L ,2110910[1()]21021051i i S i i S i S i i-=--+⇒=-⇒=--. 故答案为：5- 【点睛】本题考查了错位相消法,考查了等比数列的前n 项和公式,考查了i 乘方运算的性质,考查了数学运算能力.12．已知经停某站的高铁列车有100个车次,随机从中选取了40个车次进行统计,统计结果为：10个车次的正点率为0.97,20个车次的正点率为0.98,10个车次的正点率为0.99,则经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为______（精确到0.001）. 【答案】0.007【解析】根据平均数的公式,求出平均数,再根据标准差公式求出标准差即可.【详解】由题意可知：所有高铁列车平均正点率为：1(100.97200.98100.99)0.98102010x =⨯⨯+⨯+⨯=++.所以经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为：2221210(0.01)200100.010.010.007070.00740s ⎡⎤=⨯⨯-+⨯+⨯=⨯=≈⎣⎦ 故答案为：0.007 【点睛】本题考查了平均数和标准差的运算公式,考查了应用数学知识解决实际问题的能力.13．设A ,B 是实数集R 的两个子集,对于x ∈R ,定义：0,,1,,x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩ 0,,1,,x B n x B ∉⎧=⎨∈⎩若对任意x ∈R ,1m n +=,则A ,B ,R 满足的关系式为______. 【答案】R A C B =或R B C A =.【解析】根据新定义、1m n +=可以得到两种情况,一种0,1m n ==,另一种情况1,0==m n ,这样就可以确定A ,B ,R 满足的关系.【详解】因为对任意x ∈R ,1m n +=,所以,m n 必有一个0,一个是1.根据定义可知：当x A ∈时,则有x B ∉,当x A ∉时,则有x B ∈,根据补集定义可知：R A C B =或R B C A =.故答案为：R A C B =或R B C A =. 【点睛】本题考查了新定义题,考查了数学阅读能力,考查了集合补集定义的理解.14．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________. 【答案】24π【解析】试题分析：正四棱柱的高是4，体积是16，则底面边长为2，底面正方形的对角线长度为，所以正四棱柱体对角线的长度为，四棱柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为244624S r πππ==⋅=．【考点】正四棱柱外接球表面积．15．6月12日,上海市发布了《上海市生活垃圾分类投放指南》,将人们生活中产生的大部分垃圾分为七大类.某幢楼前有四个垃圾桶,分别标有“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”,小明同学要将鸡骨头（湿垃圾）、贝壳（干垃圾）、指甲油（有害垃圾）、报纸（可回收物）全部投入到这四个桶中,若每种垃圾投放到每个桶中都是等可能的,那么随机事件“4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中”的概率是______. 【答案】67256【解析】先求出基本事件的个数,再求出4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中的事件的个数,最后利用古典概型求出概率即可. 【详解】由题意可知：基本事件的个数为4444256⨯⨯⨯=.设事件A 为4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中,则事件A 包含的基本事件个数为：22114433167C C ⋅+⋅+=,所以67()256P A =. 故答案为：67256【点睛】本题考查了古典概型计算公式,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力.16．对于无理数x ,用x 表示与x 最接近的整数,如3=,2=.设n *∈N ，对于区间11,22n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的无理数x ,定义x xm m C C =,我们知道,若m *∈N ,()n m n *∈N ≤和()r r n *∈N ≤,则有以下两个恒等式成立：①m n m n n C C -=；②11r r r m m m C C C -+=+,那么对于正整数n 和两个无理数()0,m n ∈,()1,r n ∈,以下两个等式依然成立的序号是______；①m n m n n C C -=；②11r r r n n n C C C -+=+.【答案】①，②..【解析】根据新定义,结合组合数公式,进行分类讨论即可. 【详解】当1()2m n +>时,由定义可知：m n 〈〉=,01,1m m n n m n m n n n n nn C C C C C C 〈〉-〈-〉======, 当1()2m n +<时,由定义可知：1m n 〈〉=-,11,m m n n m n m n n n n n n C C C n C C C n 〈〉--〈-〉======,故①m n mn n C C -=成立；当1()2r n +>时,由定义可知：r n 〈〉=,1111111,1r r n r r r r n n n n n n nn n n n C C C n C C C C C C n 〈〉-〈〉〈-〉-+++===++=+=+=+, 当1()2r n +<时,由定义可知：1r n 〈〉=-,11112111(1)(1)(1),222r r n r r r r n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C n 〈〉--〈〉〈-〉--++++-+===+=+=+=+=故②11r r r n n n C C C -+=+成立.故答案为：①，②. 【点睛】本题考查了新定义题,考查了数学阅读能力,考查了组合数的计算公式,考查了分类讨论思想.三、解答题17．如图,在多面体ABCDEF 中,FA ⊥平面ABCD ,四边形ADEF 为正方形,四边形ABCD 为梯形,且AD BC ∥,90BAD ∠=︒,1AB AD ==,3BC =.(1)求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；(2)线段BD 上是否存在点M ,使得直线CE P 平面AFM ？若存在,求BMBD的值：若不存在,请说明理由. 【答案】(1)105；(2) 23.【解析】建立适当的空间直角坐标系.(1)求出平面CDE 的法向量,利用空间向量夹角公式可以求出直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；(2)求出平面AFM 的法向量,结合线面平行的性质,空间向量共线的性质,如果求出BMBD的值,也就证明出存在线段BD 上是否存在点M ,使得直线CE P 平面AFM ,反之就不存在. 【详解】以A 为空间直角坐标系的原点, 向量,,AB AD AF u u u r u u u r u u u r所在的直线为,,x y z 轴.如下所示：(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)A B C D E F.(1)平面CDE 的法向量为111(,,)m x y z =u r ,(1,2,0),(0,0,1),(1,0,1)DC DE BF ===-u u u r u u u r u u u r. 111200(2,1,0)00x y m DC m DC m z m DE m DE +=⎧⎧⎧⊥⋅=⇒⇒∴=-⎨⎨⎨=⊥⋅=⎩⎩⎩u u u v u u u v v v v u u uv u u u v v v . 直线BF 与平面CDE 所成角为θ,所以有210sin 552m BF m BFθ⋅-===⨯⋅u r u u u r ur u u u r ;(2)假设线段BD 上是存在点M ,使得直线CE P 平面AFM .设([0,1])BMBDλλ=∈,因此BM BDλ=u u u u r u u u r,所以M 的坐标为：(1,,0)λλ-.(1,2,1)CE =--u u u r . 设平面AFM 的法向量为222(,,)n x y z =r ,(0,0,1),(1,,0)AF AM λλ==-u u u r u u u u r,22200(,1,0)(1)00z n AF n AF n x y n AM n AM λλλλ=⎧⎧⎧⊥⋅=⇒⇒∴=--⎨⎨⎨-+=⊥⋅=⎩⎩⎩u u u v u u u v v v v u u u u v u u u u v v v , 因为直线CE P 平面AFM ,所以有22(1)03CE n λλλ⊥⇒--=⇒=u u u r r ,即23BM BD =. 【点睛】本题考查了线面角的求法以及线面平行的性质,考查了数学运算能力. 18．已知正整数2n ≥,()()1103nn n n n f x x a x a x a x a --=+=++⋅⋅⋅++1. (1)若()f x 的展开式中,各项系数之和比二项式系数之和大992,求n 的值； (2)若2019n =,且k a 是110,,,,n n a a a a -⋅⋅⋅中的最大值,求k 的值.【答案】(1) 5n =；(2)504k =或505k =.【解析】(1)令1x =求出()f x 的展开式中各项系数和,结合二项式系数和公式,可由题意列出方程,解方程即可求出n 的值(2)根据数列最大项的定义,可以列出不等式组,解这个不等式组即可求出k 的值. 【详解】(1) 令1x =,所以()f x 的展开式中各项系数和为：4n ,二项式系数和为：2n ,由题意可知：42992(232)(231)0232n n n n n -=⇒-+=⇒=或221n =-(舍去),所以5n =；(2) 二项式()3nx +的通项公式为：2019120193r rr r T C x-+=⋅⋅. 因为k a 是110,,,,n n a a a a -⋅⋅⋅中的最大项,所以有：201920192018201812019201920192019202020201201920195043350450550533k k kk k k k k k kk k a a k C C k a a k C C ----+-----≥⎧≥⋅≥⋅⎧⎧⇒⇒⇒≤≤⎨⎨⎨≥≤⋅≥⋅⎩⎩⎩, 因此504k =或505k =. 【点睛】本题考查了二项式系数之和公式和展开式系数之和算法,考查了二项式展开式系数最大值问题,考查了数学运算能力. 19．设z C ∈. (1)若312iz i+=+,且z 是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一根,求b 和c 的值； (2)若4zz -是纯虚数,已知0z z =时,z +取得最大值,求0z ； (3)肖同学和谢同学同时独立地解答第（2）小题,己知两人能正确解答该题的概率分别是0.8和0.9,求该题能被正确解答的概率.【答案】(1) 2,2-；(2) 03z =+；(3) 0.98. 【解析】(1)利用复数除法的运算法则化简312iz i+=+,再根据实系数一元二次方程的性质和根与系数关系可以求出b 和c 的值；(2)设出复数z 的代数形式,利用复数的除法法则和4zz -是纯虚数,可得出复数z 的实问部和虚部之间的关系,再由0z z =时,z +取得最大值,这样可以求出0z ； (3)求出该题不能被正确解答的概率,然后运用对立事件概率公式求出该题能被正确解答的概率.【详解】 (1) 3(3)(12)112(12)(12)i i i z i i i i ++⋅-===-++⋅-.因为z 是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一根,所以1i +也是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一根,因此由根与系数关系可知：(1)(1)2(1)(1)2i i c b i i b c +-==-⎧⎧⇒⎨⎨++-=-=⎩⎩,所以b 和c 的值分别为2,2-； (2)设(,)z x yi x y R =+∈.222()(4)(4)444(4)(4)(4)z x yi x yi x yi x x y yi z x yi x yi x yi x y ++⋅---+-===-+-+-⋅---+是纯虚数,所以有 222(4)0,0(2)4,0x x y y x y y -+=≠⇒-+=≠,它表示以(2,0)A 为圆心，2为半径的圆, z +的几何意义是圆上的点(,)P x y到点(0,B -是距离. ,,P A B 在同一条直线上且,PA PB u u u r u u u r同向时,z +取得最大值, 因为2,6PA PB ==u u u r u u u r ,所以 13PA PB =u u u r u u u r所以1(2,)(,)3x y x y --=--,因此12()331()()3x x x y y y ⎧-=-⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪-=--⎪⎩所以03z =+(3) 该题不能被正确解答的概率为(10.9)(10.8)0.02-⨯-=,因此能被正确解答的概率为：10.020.98-=.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的根的性质和根与系数关系,考查了根据复数的类别求轨迹问题,考查了对立事件的计算公式.20．已知以椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形. (1)求椭圆E 的方程：(2)若(),x y 是椭圆E 上的动点,求2x y +的取值范围；(3)直线l ：()0y kx m km =+≠与椭圆E 交于异于椭圆顶点的A ,B 两点,O 为坐标原点,直线AO 与椭圆E 的另一个交点为C 点,直线l 和直线AO 的斜率之积为1,直线BC 与x 轴交于点M .若直线BC ,AM 的斜率分别为1k ,2k 试判断122k k +,是否为定值,若是,求出该定值；若不是,说明理由.【答案】(1) 22142x y +=；(2) (2)[x y +∈-； (3)是定值,为0.【解析】(1)由题意可知：22224b ca abc =⎧⎪=⎨⎪=+⎩,解这个方程组即可； (2)把椭圆的方程化为参数方程,根据辅助角公式可以求出2x y +的取值范围； (3)直线方程与椭圆E 的标准方程联立,利用根与系数关系,可以判断出122k k +为定值. 【详解】(1)因为以椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形.所以有22224b ca abc =⎧⎪=⎨⎪=+⎩,解得224,2a b ==,所以椭圆E 的方程为：22142x y += (2)椭圆椭圆E的参数方程为：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数且[0,2]θπ∈).因为(),x y 是椭圆E 上的动点,所以24cos )x y θθθϕ+==+,其中1sin 3ϕϕ==. sin()[1,1]θϕ+∈-Q.(2)[x y ∴+∈-(3)设()()()11221122,,,,0,0A x y B x y x y x y ≠≠,则()11,C x y --,11AO y k x =.直线l ：()0y kx m km =+≠与椭圆E 的方程联立为：22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()222124240k xkmx m +++-=,由根与系数关系可得：()121121212122121421,2121222y y y kmm x x y y k x x m k k k x x k x ++=-+=++=∴==-=-+++直线BC 的方程为：()11112y y y x x x +=-+,令0y =,因为10y ≠,所以13x x =-. ()11121113,0,34y yM x k x x x ∴-==+。