最新北师大版九年级相似三角形性质一课件
一个三角形有三条重要线段：高、中线、角平分线 ____ _____ _________ 如果两个三角形相似，
那么这些对应线段有什么关系呢？
F
探究活动： 探究相似三角形对应高的比. • 在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑 类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1： 2的比例建造了模型房梁△A’B’C’，CD和 C’D’分别是它们的立柱。
M
C D
AM AB k DN DE
(相似三角形对应边成比例).
E
N
F
结论：相似三角形对应角平分线的比等于相似比
已知△ABC ∽ △DEF， △ABC 与△DEF的相似比为K，AM1、 DN1分别为三角形的中线，它们的对应中线的比是多少？
如图，∵△ABC∽△DEF，
AB BC . ∴∠B =∠E, DE EF
结论：相似三角形对应高的比等于相似比.
分组讨论，类似结论
已知△ABC ∽ △DEF， △ABC 与△DEF的相似比 为K，AM、DN分别为三角形的角平分线，它们的对 应角平分线的比是多少？ A
如图，∵△ABC∽△DEF， ∴∠B =∠E, ∠BAC=∠EDF. 又∵AM,DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线, B ∴∠BAM=∠EDN, ∴△AMB∽△DNE (两角对应相等的两个三角形相似),
B
解：∵
△ABC∽△A´B´C´ AB BD ∴ A´B´＝ B´D´ 10 ＝ 6 B´ D ´ 2 B´D´＝ 1.2 答：B´D´的长为1.2。
A
C D B´
A´ D´ C´
课堂小结
☞
同学们：经历了这节课的探索学习，你在 知识上和方法上什么收获呢？请说说看。
相似三角形的性质: 相似三角形对应高的比,对应角平分线的 比,对应中线的比都等于相似比。
探究活动： 探究相似三角形对应高的比. • (1)试写出△ABC与△A’B’C’的对应边之 间的关系，对应角之间的关系。 • (2)△ACD与△A’C’D’相似吗？为什么？ 如果相似，指出它们的相似比。
探究活动： 探究相似三角形对应高的比. • (3)如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？ • (4)据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？
热烈欢迎 领导、老师莅临指导！
大麻中学
九年级数学(上) 第四章
图形的相似
7.相似三角形的性质（一）
大麻中学 李伟升
回顾与复习 （1）什么叫相似三角形？ 对应角相等、对应边成比例的三角形,叫做 相似三角形. （2）如何判定两个三角形相似？ ①两个角对应相等； ②两边对应成比例，且夹角相等； ③三边对应成比例.
A
又∵AM1,DN1分别是△ABC和△DEF的中线，
2 BM 1 ABDE
∴△AM1B∽△DN1E(两边对应成比例 且夹角相等的两个三角形相似).
B
M1 D
C
AM 1 AB E k N1 DN 1 DE 结论：相似三角形对应中线的比等于相似比
于多少？
1 1 （2）若 BE = BC，B'E' = B'C'，则 AE:A'E' 等于多少？. 3 3
（3）你还能提出哪些问题？与同伴交流.
探究活动二：(变式拓展)
（3）你能得到哪些结论？
相似三角形对应角的n等分线的比,对应 边的n等分线的比都等于相似比。
填一填
1.相似三角形对应边的比为2∶3,那么相似
AE SR ∴ = AD BC 1 AE 1 1 1 1 当SR = BC时， = ,∴ AE = h,∴ DE = h－ h = h 2 h 2 2 2 2
1 AE 1 1 1 2 当SR = BC时，得 = ,∴ AE = h,∴ DE = h－ h = h 3 h 3 3 3 3
课堂训练
已知△ABC∽ △A´B´C´，BD和B´D´分别是△ABC和 △A´B´C´中线，且AB＝10，A´B´＝2，BD＝6。求B´D´ 的长。
（3）相似三角形有何性质？ A B/ 相等 ①相似三角形的对应角_________ 成比例 ②相似三角形的对应边__________ B C
A/
C/
（4）什么是相似三角形的相似比？
AB AC BC 相似比=对应边的比= AB AC BC .
想一想: 它们还有哪些性质呢?
情境引入
比为_________, 2∶ 3 对应角的角平分线的比为 ______. 2∶3
2．两个相似三角形的相似比为1:4, 则对
应高的比为_________, 对应角的角平分线 1:4 的比为_________. 1:4
1 3．两个相似三角形对应中线的比为 ， 4 1 1 4 则相似比为______, 对应高的比为______ . 4
例题导航：
例1:如图 3-32，AD 是 △ABC 的高，AD = h，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，SR ⊥ AD，垂足为 E. 1 1 当 SR= BC 时，求 DE 的长．如果 SR= BC 呢？
2 3
解∵ SR⊥AD，BC⊥AD， ∴ SR∥BC． ∴ ∠ASR =∠B，∠ARS=∠C． ∴ △ASR ∽△ABC
F
相似三角形的性质 相 似 三 角 形
对应高的比
对应中线的比
都等于相似比.
对应角平分线的比
定理 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对 应中线的比都等于相似比.
议一议
如图 3-31，已知△ABC ∽△A'B'C'，△ABC 与△A'B'C' 的相似比为 k.
1 1 （1）若 ∠ BAD = ∠ BAC，∠ B'A'D' = ∠ B'A'C'，则 AD:A'D' 等 3 3
五：布置作业
课本：P108页 2、3、4
结束寄语
• 只要你能勇敢地不断地攀登，你 就能更接近于知识的顶峰,祝愿善 于探索、善于发现的你早日到达 顶峰！
那么这些对应线段有什么关系呢？
F
探究活动： 探究相似三角形对应高的比. • 在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑 类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1： 2的比例建造了模型房梁△A’B’C’，CD和 C’D’分别是它们的立柱。
M
C D
AM AB k DN DE
(相似三角形对应边成比例).
E
N
F
结论：相似三角形对应角平分线的比等于相似比
已知△ABC ∽ △DEF， △ABC 与△DEF的相似比为K，AM1、 DN1分别为三角形的中线，它们的对应中线的比是多少？
如图，∵△ABC∽△DEF，
AB BC . ∴∠B =∠E, DE EF
结论：相似三角形对应高的比等于相似比.
分组讨论，类似结论
已知△ABC ∽ △DEF， △ABC 与△DEF的相似比 为K，AM、DN分别为三角形的角平分线，它们的对 应角平分线的比是多少？ A
如图，∵△ABC∽△DEF， ∴∠B =∠E, ∠BAC=∠EDF. 又∵AM,DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线, B ∴∠BAM=∠EDN, ∴△AMB∽△DNE (两角对应相等的两个三角形相似),
B
解：∵
△ABC∽△A´B´C´ AB BD ∴ A´B´＝ B´D´ 10 ＝ 6 B´ D ´ 2 B´D´＝ 1.2 答：B´D´的长为1.2。
A
C D B´
A´ D´ C´
课堂小结
☞
同学们：经历了这节课的探索学习，你在 知识上和方法上什么收获呢？请说说看。
相似三角形的性质: 相似三角形对应高的比,对应角平分线的 比,对应中线的比都等于相似比。
探究活动： 探究相似三角形对应高的比. • (1)试写出△ABC与△A’B’C’的对应边之 间的关系，对应角之间的关系。 • (2)△ACD与△A’C’D’相似吗？为什么？ 如果相似，指出它们的相似比。
探究活动： 探究相似三角形对应高的比. • (3)如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？ • (4)据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？
热烈欢迎 领导、老师莅临指导！
大麻中学
九年级数学(上) 第四章
图形的相似
7.相似三角形的性质（一）
大麻中学 李伟升
回顾与复习 （1）什么叫相似三角形？ 对应角相等、对应边成比例的三角形,叫做 相似三角形. （2）如何判定两个三角形相似？ ①两个角对应相等； ②两边对应成比例，且夹角相等； ③三边对应成比例.
A
又∵AM1,DN1分别是△ABC和△DEF的中线，
2 BM 1 ABDE
∴△AM1B∽△DN1E(两边对应成比例 且夹角相等的两个三角形相似).
B
M1 D
C
AM 1 AB E k N1 DN 1 DE 结论：相似三角形对应中线的比等于相似比
于多少？
1 1 （2）若 BE = BC，B'E' = B'C'，则 AE:A'E' 等于多少？. 3 3
（3）你还能提出哪些问题？与同伴交流.
探究活动二：(变式拓展)
（3）你能得到哪些结论？
相似三角形对应角的n等分线的比,对应 边的n等分线的比都等于相似比。
填一填
1.相似三角形对应边的比为2∶3,那么相似
AE SR ∴ = AD BC 1 AE 1 1 1 1 当SR = BC时， = ,∴ AE = h,∴ DE = h－ h = h 2 h 2 2 2 2
1 AE 1 1 1 2 当SR = BC时，得 = ,∴ AE = h,∴ DE = h－ h = h 3 h 3 3 3 3
课堂训练
已知△ABC∽ △A´B´C´，BD和B´D´分别是△ABC和 △A´B´C´中线，且AB＝10，A´B´＝2，BD＝6。求B´D´ 的长。
（3）相似三角形有何性质？ A B/ 相等 ①相似三角形的对应角_________ 成比例 ②相似三角形的对应边__________ B C
A/
C/
（4）什么是相似三角形的相似比？
AB AC BC 相似比=对应边的比= AB AC BC .
想一想: 它们还有哪些性质呢?
情境引入
比为_________, 2∶ 3 对应角的角平分线的比为 ______. 2∶3
2．两个相似三角形的相似比为1:4, 则对
应高的比为_________, 对应角的角平分线 1:4 的比为_________. 1:4
1 3．两个相似三角形对应中线的比为 ， 4 1 1 4 则相似比为______, 对应高的比为______ . 4
例题导航：
例1:如图 3-32，AD 是 △ABC 的高，AD = h，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，SR ⊥ AD，垂足为 E. 1 1 当 SR= BC 时，求 DE 的长．如果 SR= BC 呢？
2 3
解∵ SR⊥AD，BC⊥AD， ∴ SR∥BC． ∴ ∠ASR =∠B，∠ARS=∠C． ∴ △ASR ∽△ABC
F
相似三角形的性质 相 似 三 角 形
对应高的比
对应中线的比
都等于相似比.
对应角平分线的比
定理 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对 应中线的比都等于相似比.
议一议
如图 3-31，已知△ABC ∽△A'B'C'，△ABC 与△A'B'C' 的相似比为 k.
1 1 （1）若 ∠ BAD = ∠ BAC，∠ B'A'D' = ∠ B'A'C'，则 AD:A'D' 等 3 3
五：布置作业
课本：P108页 2、3、4
结束寄语
• 只要你能勇敢地不断地攀登，你 就能更接近于知识的顶峰,祝愿善 于探索、善于发现的你早日到达 顶峰！
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初中数学《相似三角形的性质》PPT课件_【北师大版】1
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的 高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边
A
长为x毫米。 ∵PN∥BC ∴△APN∽ △ABC
PE N
∴ 因此
AE = PN
AD BC
80–x = x
80
120
B Q DM C ，得 x=48（毫米）。答：----。
例4、如图，矩形FGHN内接于△ABC，FG在BC 上，N.H分别在AB、AC上，且AD⊥BC于D，交 NH于E，AD=8cm,BC=24cm, (1) △ABC∽ △ANH成立吗？试说明理由； (2)设矩形的一边长NF=x,求矩形 FGHN 的面积y 与x的关系式。
A N EH
(３)你能求出矩形FGHN 的面积y的最大值吗？
B
F DG C
基础练习
1、判断题： （1）如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5
倍，那么它的周长也扩大为原来的5倍。（√）
（2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，
那么它的三边也扩大为原来的9倍。 （×）
2、如图，△ABC∽△A`B`C`，它们的周长分别
初 中 数 学 《 相似三 角形的 性质》 优秀课 件北师 大版1- 精品课 件ppt( 实用版 )
祝同学们学习进步！
初 中 数 学 《 相似三 角形的 性质》 优秀课 件北师 大版1- 精品课 件ppt( 实用版 )
初 中 数 学 《 相似三 角形的 性质》 优秀课 件北师 大版1- 精品课 件ppt( 实用版 ) 初 中 数 学 《 相似三 角形的 性质》 优秀课 件北师 大版1- 精品课 件ppt( 实用版 )
（4） ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似 比为k,则ΔA/B/C/
与ΔABC的相 似比是多少？ 1 k
新北师大版九年级相似三角形的性质_图文
相似，指出它们的相似比。
议一议
如图,已知△ABC∽△A’B’C’，△ABC与△A’B’C’相似比为k. 点E在BC上，点D’,E’在B’C’边上.
(1)若∠BAD= ∠BAC, ∠B’A’D’= ∠B’A’C’, 则 等于多少？
A
B
D
A’
B’ D’
C’
C
(2）若BE= BC，B’E’= B’C’,则
对应角相等，对应边成比例
情境问题
在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类 问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的 比例建造了模型房梁△A’B’C’，CD和C’D’分别是它 们的立柱。
(3)如(果1)C试D=写1.出5c△m，AB那C与么△模A型’B’房C’的的对房应梁边立之柱间C’的D’ 有多高关？系，对应角之间的关系。 (2)△ACD与△A’C’D’相似吗？为什么？如果
(1)△ASR与△ABC相似吗?
为什么?
A
(2)求正方形PQRS的边长
S
R
.
B PD
Q
C
的中A.线1之:2比为B（ 1）:3
B
D
C. 1:4 D 1:5
C
A
巩固练习
1、△ABC∽△A'B'C'，BD和B'D'是它们的对应
中线，已知
，B'D'=4cm，求BD的长.
解：∵ △ABC∽△A'B'C′， BD和B'D'是它们的对应中线
∴
（相似三角形对应中线的比等于相似比）
∴
∴
解决问题
如图, AD是△ABC的高, 点P,Q在BC边上，点S 、R分别在AB、AC上. BC=60cm，高AD=40cm， 四边形PQRS是正方形
议一议
如图,已知△ABC∽△A’B’C’，△ABC与△A’B’C’相似比为k. 点E在BC上，点D’,E’在B’C’边上.
(1)若∠BAD= ∠BAC, ∠B’A’D’= ∠B’A’C’, 则 等于多少？
A
B
D
A’
B’ D’
C’
C
(2）若BE= BC，B’E’= B’C’,则
对应角相等，对应边成比例
情境问题
在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类 问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的 比例建造了模型房梁△A’B’C’，CD和C’D’分别是它 们的立柱。
(3)如(果1)C试D=写1.出5c△m，AB那C与么△模A型’B’房C’的的对房应梁边立之柱间C’的D’ 有多高关？系，对应角之间的关系。 (2)△ACD与△A’C’D’相似吗？为什么？如果
(1)△ASR与△ABC相似吗?
为什么?
A
(2)求正方形PQRS的边长
S
R
.
B PD
Q
C
的中A.线1之:2比为B（ 1）:3
B
D
C. 1:4 D 1:5
C
A
巩固练习
1、△ABC∽△A'B'C'，BD和B'D'是它们的对应
中线，已知
，B'D'=4cm，求BD的长.
解：∵ △ABC∽△A'B'C′， BD和B'D'是它们的对应中线
∴
（相似三角形对应中线的比等于相似比）
∴
∴
解决问题
如图, AD是△ABC的高, 点P,Q在BC边上，点S 、R分别在AB、AC上. BC=60cm，高AD=40cm， 四边形PQRS是正方形
《相似三角形的性质》PPT课件 北师大版九年级数学
图1 （1） △ACD与△A′C′D′ 相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比. （2） 如果CD =1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
探究新知
图1
解：（1）△ACD与△A′C′D′ 相似. 理由是 A A，ADC ADC 90.
相似比是 1 : 2.
（2）由CD : C′D′ =1:2，得C′D′ = 2CD=3 cm，即模型房的房梁立柱高3 cm.
第四章 图形的相似
4.7 相似三角形的性质（第1课时）
回顾复习
还记得相似三角形的定义吗？还记得相似多边形的对应边、 对应角有什么关系吗？
相似三角形的对应边成比例、对应角相等.
在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例 这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质.
探究新知
如图1，小王依据图纸上的△ABC，以 1：2 的比例建造了模型房 的房梁△A′B′C′，CD 和 C′D′ 分别是它们的立柱.
C
比吗？
C'
A
B A'
B'
图1
由已知，得
C
∴ AB BC AC AB k.
AB BC AC AB
分别过点C与C′作△ABC和△A′B′C′的高CD，
C' A'
C′D′，如图2.
AD
B
D'
B'
∵定△理ABC∽△A′B′C′，
图2
∴相CC似DD 三 AA角BB 形（k周相长似三的角比形等对应于高相的似比等比于，相面似比积）比. 等于相似比的平方.
点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
（1）△ASR 与△ABC 相似吗？为什么？
探究新知
图1
解：（1）△ACD与△A′C′D′ 相似. 理由是 A A，ADC ADC 90.
相似比是 1 : 2.
（2）由CD : C′D′ =1:2，得C′D′ = 2CD=3 cm，即模型房的房梁立柱高3 cm.
第四章 图形的相似
4.7 相似三角形的性质（第1课时）
回顾复习
还记得相似三角形的定义吗？还记得相似多边形的对应边、 对应角有什么关系吗？
相似三角形的对应边成比例、对应角相等.
在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例 这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质.
探究新知
如图1，小王依据图纸上的△ABC，以 1：2 的比例建造了模型房 的房梁△A′B′C′，CD 和 C′D′ 分别是它们的立柱.
C
比吗？
C'
A
B A'
B'
图1
由已知，得
C
∴ AB BC AC AB k.
AB BC AC AB
分别过点C与C′作△ABC和△A′B′C′的高CD，
C' A'
C′D′，如图2.
AD
B
D'
B'
∵定△理ABC∽△A′B′C′，
图2
∴相CC似DD 三 AA角BB 形（k周相长似三的角比形等对应于高相的似比等比于，相面似比积）比. 等于相似比的平方.
点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
（1）△ASR 与△ABC 相似吗？为什么？
北师大版九年级数学上册探索三角形相似的条件第1课时课件
及其判定定理1
知识梳理
课时学业质量评价
3. 如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝8， BC ＝6， D 为 AB 上一点，
且 AD ＝2，若在 AC 边上取点 E ，使△ ADE 与△ ABC 类似，则 AE 的长
为
或
.
1
2
3
4
第1课时 类似三角形的定义
及其判定定理1
知识梳理
2. 定理：两角分别
、三边
相等
成比例
知识梳理
课时学业质量评价
的两个三角形叫做类似三角形.
的两个三角形类似.
第1课时 类似三角形的定义
及其判定定理1
1. 下列命题中，是真命题的是(
知识梳理
B
)
A. 两个等腰三角形类似
B. 有一个角都是120°的两个等腰三角形类似
C. 两个直角三角形类似
D. 有一个角都是30°的两个等腰三角形类似
课时学业质量评价
4. 如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 边上一点，连接 DE ， F 为线
段 DE 上一点，且∠ AFE ＝∠ B . 求证：△ ADF ∽△ DEC .
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB ∥ CD ， AD ∥ BC .
∴∠ C ＋∠ B ＝180°，∠ ADF ＝∠ DEC .
典例精讲
例1 如图4，D，E分别是△ABC 的边AB，AC上的点，
DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC 的长.
解：∵ DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC
（两角分别相等的两个三角形类似）.
知识梳理
课时学业质量评价
3. 如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝8， BC ＝6， D 为 AB 上一点，
且 AD ＝2，若在 AC 边上取点 E ，使△ ADE 与△ ABC 类似，则 AE 的长
为
或
.
1
2
3
4
第1课时 类似三角形的定义
及其判定定理1
知识梳理
2. 定理：两角分别
、三边
相等
成比例
知识梳理
课时学业质量评价
的两个三角形叫做类似三角形.
的两个三角形类似.
第1课时 类似三角形的定义
及其判定定理1
1. 下列命题中，是真命题的是(
知识梳理
B
)
A. 两个等腰三角形类似
B. 有一个角都是120°的两个等腰三角形类似
C. 两个直角三角形类似
D. 有一个角都是30°的两个等腰三角形类似
课时学业质量评价
4. 如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 边上一点，连接 DE ， F 为线
段 DE 上一点，且∠ AFE ＝∠ B . 求证：△ ADF ∽△ DEC .
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB ∥ CD ， AD ∥ BC .
∴∠ C ＋∠ B ＝180°，∠ ADF ＝∠ DEC .
典例精讲
例1 如图4，D，E分别是△ABC 的边AB，AC上的点，
DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC 的长.
解：∵ DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC
（两角分别相等的两个三角形类似）.
九年级数学上册(北师大版)相似三角形的性质(同步课件)
【提问1】什么叫做相似三角形？
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
【提问2】相似三角形的判定方法有哪些？
三角形相似判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
三角形相似判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
三角形相似判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.
【提问3】你知道相似三角形的性质有哪些？
∵
AC
A′ C′
CD
= C′ D′ =
1
2
∴ CD = 2C ′ D′ = 3cm
4）由此你发现相似三角形还有哪些性质？
探索与思考
如图， △ ∽△ ′ ′ ′ ，相似比为，其中 、 ′′分别是 、 ′′边上的中线，问
AD 、 A′D′有什么关系呢？
解：∵ △ ∽△
【详解】解：∵AD经过△ ABC的重心，∴点D是BC中点，
∵BC=12，∴CD=BD=6，
∵GE∥BC，∴△AGE∽△ADC，
AE
AC
∵点E是AC中点，∴
解得：GE=3，故选D.
=
GE
CD
1
2
GE
6
= ，即
1
2
= ，
）
探索与思考
∴BD=
1
1
BC,B’D’= B’C’
3
3
∴
AB BD
=
A′ B′ B′ D′
∴
AB AD
=
=k
A′ B′ A′ D′
∴△ABE ∽△A' B' E' .
AB BC
=
A′ B′ B′ C′
=k
课堂小结
相似三角形的性质：
1）对应角相等，对应边成比例.
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
【提问2】相似三角形的判定方法有哪些？
三角形相似判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
三角形相似判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
三角形相似判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.
【提问3】你知道相似三角形的性质有哪些？
∵
AC
A′ C′
CD
= C′ D′ =
1
2
∴ CD = 2C ′ D′ = 3cm
4）由此你发现相似三角形还有哪些性质？
探索与思考
如图， △ ∽△ ′ ′ ′ ，相似比为，其中 、 ′′分别是 、 ′′边上的中线，问
AD 、 A′D′有什么关系呢？
解：∵ △ ∽△
【详解】解：∵AD经过△ ABC的重心，∴点D是BC中点，
∵BC=12，∴CD=BD=6，
∵GE∥BC，∴△AGE∽△ADC，
AE
AC
∵点E是AC中点，∴
解得：GE=3，故选D.
=
GE
CD
1
2
GE
6
= ，即
1
2
= ，
）
探索与思考
∴BD=
1
1
BC,B’D’= B’C’
3
3
∴
AB BD
=
A′ B′ B′ D′
∴
AB AD
=
=k
A′ B′ A′ D′
∴△ABE ∽△A' B' E' .
AB BC
=
A′ B′ B′ C′
=k
课堂小结
相似三角形的性质：
1）对应角相等，对应边成比例.
北师大版九年级数学上册 探索三角形相似的条件 第1课时 课件
C
C′
A
B A′
B′
图1
注意：在写两个三角形相似时，应把表示对应顶点的字母
写在对应的位置上.
探究新知
C′
用数学符号表示： C
A
B
A'
B'
图2
由图2可知，∵ ∠A= ∠A′ , ∠B= ∠B′，∠C=∠C′,
AB BC CA A'B' B'C' C'A'
∴ △ABC∽△A′B′C′.
相似三角形的定义可以作为三角形相似的一种判定方法.
第四章 图形的相似
4.4 探索三角形相似的条件 （第1课时）
导入新课
那这样变化一下呢？
探究新知
相似三角形的定义：把三角分别相等、三边成比例的两个 三角形叫做相似三角形.
对应角？ 对应边？
它们就是相似三角形！
探究新知
△ABC 与△A′B′C′ 相似表示为：△ABC∽△A′B′C′ , 读作：△ABC 相似于△A′B′C′.
课堂小结
1.相似三角形的定义. 2.相似三角形的判定定理1.
探究新知
想一想
在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′ ，∠B= ∠B′ ，
△ABC与△A′B′C′是否相似？
A
A′
B
C 图3 B′ C′
判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似.
探究新知
用数学符号表示： A
A′
B
B′ C′ C
图3
由图3可知， ∵ ∠A=∠A′， ∠B=∠B′.
∴ △ABC ∽△A′B′C′.
典例精讲
例1 如图4，D，E分别是△ABC 的边AB，AC上的点， DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC 的长.
新北师大版九年级数学上册《相似三角形的性质》精品教学课件
AD⊥BC，A′D′⊥B′C′；AE 平分∠BAC，A′E′ 平分∠B′A′C′；F，F′ 分
别为 BC，B′C′ 的中点. 试探究 AD 与 A′D′ 的比值关系，AE 与 A′E′ 呢？
AF 与 A′F′ 呢？
A
A′
B
D
E F
C
B′ D′ E′ F′
C′
4.7.1 相似三角形中对应线段的性质
归纳
等于多少？
解：由“两边成比例且夹角相等的两个
三角形相似”，可知△ABE∽△A′B′E′，
于是
=
= k ( k > 0 ).
4.7.1 相似三角形中对应线段的性质
例 如图，AD 是△ABC 的高，点 P，Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，
点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
∴AD : A′D′ = k.
∴AF : A′F′ = k.
A
符号语言：
∵△ABC∽△A′B′C′，
且∠BAE =∠EAC，∠B′A′E′ =∠E′A′C′，
∴AE : A′E′ = k.
B
A′
D
B′ D′ E′ F′
E F
C′
C
4.7.1 相似三角形中对应线段的性质
温馨提示
这些结论以后在解决问题过程中能作为定理直接用.
3. 已知△ABC∽△DEF，BG、EH 分△ABC 和△DEF 的角平分线，BC
= 6 cm，EF = 4 cm，BG = 4.8 cm. 求 EH 的长.
A
解：∵ △ABC∽△DEF，
∴
∴
G
，
，
B
C
别为 BC，B′C′ 的中点. 试探究 AD 与 A′D′ 的比值关系，AE 与 A′E′ 呢？
AF 与 A′F′ 呢？
A
A′
B
D
E F
C
B′ D′ E′ F′
C′
4.7.1 相似三角形中对应线段的性质
归纳
等于多少？
解：由“两边成比例且夹角相等的两个
三角形相似”，可知△ABE∽△A′B′E′，
于是
=
= k ( k > 0 ).
4.7.1 相似三角形中对应线段的性质
例 如图，AD 是△ABC 的高，点 P，Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，
点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
∴AD : A′D′ = k.
∴AF : A′F′ = k.
A
符号语言：
∵△ABC∽△A′B′C′，
且∠BAE =∠EAC，∠B′A′E′ =∠E′A′C′，
∴AE : A′E′ = k.
B
A′
D
B′ D′ E′ F′
E F
C′
C
4.7.1 相似三角形中对应线段的性质
温馨提示
这些结论以后在解决问题过程中能作为定理直接用.
3. 已知△ABC∽△DEF，BG、EH 分△ABC 和△DEF 的角平分线，BC
= 6 cm，EF = 4 cm，BG = 4.8 cm. 求 EH 的长.
A
解：∵ △ABC∽△DEF，
∴
∴
G
，
，
B
C
北师大版九年级数学上册4.7相似三角形的性质课件1 (共22张PPT)
←→ BACK
课堂练习(2)
6、如图，已知DE∥BC ，BD=3AD，S△ABC =48 ，求：△ADE的面积。
解：∵ DE∥BC ∴ ∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACB ∴ △A DE ∽△ABC ∴ BD=3AD ∴ 相似比k=AD:AB=1:2
∴ S△ADE =1/4 S△ABC =12
如果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为
原来的__1_0_0__0_0______倍；
如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为
原来的______1_0________倍。
4、△ABC∽△A′B′C′，AC: A′ C′=4:3。
〔1〕假设△ABC的周长为24cm，那么△A′B′C′的周
长为 18 cm；
边：对应边成比例
角：对应角相等 问：什么是相似比？ 相似比=对应边的比值=
相似三角形对应边上的高
有什么关系呢？
右图△A B C ， AD为 BC 边上的高。
A′
则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得
△A′B′C′，并作出B′C′边上的高A′ D′ 。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？AD
4.7相似三角形的性质
识别
特征 对应边上的高
课后小结
对应边上的中线
对应角的角平分线
周长 面积
课堂练习(1) (2)
相似三角形的识别
问：相似三角形的识别方法有哪些？
证三组对应 边成比例
证二组对 应角相等
证二组对应 边成比例， 且夹角相等
BACK
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边或延
长线相交,所构成的三角形与原三角形相似
〔2〕与〔1〕的相似比＝____2__:1__________，
课堂练习(2)
6、如图，已知DE∥BC ，BD=3AD，S△ABC =48 ，求：△ADE的面积。
解：∵ DE∥BC ∴ ∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACB ∴ △A DE ∽△ABC ∴ BD=3AD ∴ 相似比k=AD:AB=1:2
∴ S△ADE =1/4 S△ABC =12
如果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为
原来的__1_0_0__0_0______倍；
如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为
原来的______1_0________倍。
4、△ABC∽△A′B′C′，AC: A′ C′=4:3。
〔1〕假设△ABC的周长为24cm，那么△A′B′C′的周
长为 18 cm；
边：对应边成比例
角：对应角相等 问：什么是相似比？ 相似比=对应边的比值=
相似三角形对应边上的高
有什么关系呢？
右图△A B C ， AD为 BC 边上的高。
A′
则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得
△A′B′C′，并作出B′C′边上的高A′ D′ 。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？AD
4.7相似三角形的性质
识别
特征 对应边上的高
课后小结
对应边上的中线
对应角的角平分线
周长 面积
课堂练习(1) (2)
相似三角形的识别
问：相似三角形的识别方法有哪些？
证三组对应 边成比例
证二组对 应角相等
证二组对应 边成比例， 且夹角相等
BACK
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边或延
长线相交,所构成的三角形与原三角形相似
〔2〕与〔1〕的相似比＝____2__:1__________，
最新北师大版九年级数学上册《相似三角形的性质》精品教学课件
(3) 设△ABD，△A′B′D′，△BCD，△B′C′D′ 的面积分别是 S△ABD，
S△A′B′D′，S△BCD，S△B′C′D′，则Biblioteka △D各是多少？
△
解：(3) ∵△ABD∽△A′B′D′，△BCD∽△A′B′D′，
A
C
且相似比都为 k.
∴
B
D′
A′
C′
B′
△
， △
′′′ ′′′
课堂小结
相似三角形周长之比等于相似比
相似三角形的性质2
相似三角形面积之比等于相似比的平方
强调：以上结论，相似多边形也成立.
4.7.2 相似三角形的周长比、面积比的性质
实践与拓展
附加：如图， 在△ABC 中， 点 D，E 分别在边 AB 和 AC 上，且 DE//BC.
(1) 若 AD : DB = 1:1，则S△ADE : S四边形DBCE = 1:3 .
如果是四边形呢？
你能通过类比得出
四边形的结论吗？
4.7.2 相似三角形的周长比、面积比的性质
例2
如图，四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′，相似比为 k ( k > 0 ).
(1) 四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 的周长比是多少？
解：(1) ∵四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′，
D
∴
A
C
B
D′
=
=
=k.
=k.
即四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 的周长比是 k .
A′
C′
B′
∴
=
4.7.2 相似三角形的周长比、面积比的性质
北师大版九年级数学上册.1相似三角形性质一课件
∴△AM1B∽△DN1E(两边对应成比例 且夹角相等的两个三角形类似).
E
F
N1
结论：类似三角形对应中线的比等于类似比
类似三角形的性质
相 对应高的比
似
三 对应中线的比
都等于类似比.
角 形
对应角平分线的比
定理 类似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对 应中线的比都等于类似比.
议一议
如图 3-31，已知△ABC ∽△A'B'C'，△ABC 与△A'B'C' 的相似比为 k.
6.【例4】如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝ 120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正 方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个 正方形零件的边长是多少？
解：设正方形的边长为 x mm， 则 AI＝AD－x＝(80－x)mm. ∵四边形 EFHG 是正方形，∴EF∥GH. ∴△AEF∽△ABC. ∴EBFC＝AADI ，即12x0＝808－0 x. 解得 x＝48. ∴这个正方形零件的边长是 48 mm.
★10.有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝ 80 mm.要把它加工成矩形零件，且此矩形是由两个并排放置 的正方形所组成，如图，此时，这个矩形零件的两条边长又 分别为多少？
解：设矩形的边长 PN＝2y mm，则 PQ＝y mm，
由条件可得△APN∽△ABC，
∴PN＝AE，即 2y ＝80－y，解得 BC AD 120 80
为K，AM、DN分别为三角形的角平分线，它们的对
应角平分线的比是多少？
A
如图，∵△ABC∽△DEF，
∴∠B =∠E, ∠BAC=∠EDF.