线性方程组求解
第三章 线性方程组 §1 消元法
一、线性方程组的初等变换
现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为
??
?
??
?
?=+++=+++=+++s n sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111,
, (1) 的方程组，其中n x x x ,,,21 代表n 个未知量，s 是方程的个数，
),,2,1;,,2,1(n j s i a ij ==称为线性方程组的系数，)
,,2,1(s j b j =称为常数项.
方程组中未知量的个数n 与方程的个数s 不一定相等.系数ij a 的第一个指标i 表示它在第i 个方程，第二个指标j 表示它是j x 的系数.
所谓方程组(1)的一个解就是指由n 个数n k k k ,,,21 组成的有序数组
),,,(21n k k k ，当n x x x ,,,21 分别用n
k k k ,,,21 代入后，(1)中每个等式都变成恒
等式. 方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.
显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了.确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵
????
??
? ??s sn
s s n n b a a a b a a a b a a a
21
222221111211 (2) 来表示.实际上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(1)就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.
例如，解方程组
???
??=++=++=+-.
522,4524,132321
321321x x x x x x x x x 第二个方程组减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成
??
???=-=-=+-.
42,24,1323232321
x x x x x x x 第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三两个方程的次序互换，即得
??
???-==-=+-.
6,42,132332321x x x x x x
这样，就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）.
分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：
1. 用一非零数乘某一方程；
2. 把一个方程的倍数加到另一个方程；
3. 互换两个方程的位置.
定义1 变换1，2，3称为线性方程组的初等变换. 二、线性方程组的解的情形
消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组.
下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组.
对于方程组(1)，首先检查1x 的系数.如果1x 的系数12111,,,s a a a 全为零，那么方程组(1)对1x 没有任何限制，1x 就可以取任何值，而方程组(1)可以看作
n x x ,,2 的方程组来解.如果1x 的系数不全为零，那么利用初等变换
3，可以设
011≠a .利用初等变换2，分别把第一个方程的11
1a a i -
倍加到第i 个方程(n i ,,2 =).
于是方程组(1)就变成
??
?
?
??
'='++''='++',,222222*********s n sn s n n n n b x a x a b x a x a (3) 其中
n j s i a a a a a j i ij ij
,,2,,,2,111
1 ==?-='
这样，解方程组(1)的问题就归结为解方程组
???
??'
='++''='++'n n sn s n n b x a x a b x a x a
2
222222
, (4) 的问题.显然(4)的一个解，代入(3)的第一个方程就定出1x 的值，这就得出(3)的一个解；(3)的解显然都是(4)的解.这就是说，方程组(3)有解的充要条件为方程组(4)有解，而(3)与(1)是同解的，因之，方程组(1)有解的充要条件为方程组(4)有解.
对(4)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为
??
?
??
?
?
?
???
?
?====++=++++=++++++.00,00,0,,
,
1222222111212111 r r n rn r rr n n r r n n r r d d x c x c d x c x c x c d x c x c x c x c (5) 其中r i c ii ,,2,1,0 =≠.方程组(5)中的“0=0”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，这时去掉它们也不影响(5)的解.而且(1)与(5)是同解的.
现在考虑(5)的解的情况.
如(5)中有方程10+=r d ，而01≠+r d .这时不管n x x x ,,,21 取什么值都不能使它成为等式.故(5)无解，因而(1)无解.
当1+r d 是零或(5)中根本没有“0=0”的方程时，分两种情况： 1）n r =.这时阶梯形方程组为
??
?
?
?
?
==++,,2222211212111n n nn n n n n d x c d x c x c (6) 其中n i c ii ,,2,1,0 =≠.由最后一个方程开始，11,,,x x x n n -的值就可以逐个地唯一决定了.在这个情形，方程组(6)也就是方程组(1)有唯一的解.
例1 解线性方程组
???
??=++=++=+-.
522,4524,132321
321321x x x x x x x x x 2）n r <.这时阶梯形方程组为
??
?
?
?
?
?=+++=+++++=++++++++++++,,,
11,2211,222221111,11212111r n rn r r r r rr n n r r r r n n r r r r d x c x c x c d x c x c x c x c d x c x c x c x c x c 其中r i c ii ,,2,1,0 =≠.把它改写成
??
?
?
?
?
?---=---=++---=+++++++++.,,11,211,222222111,111212111n rn r r r r r rr n n r r r r n n r r r r x c x c d x c x c x c d x c x c x c x c d x c x c x c (7) 由此可见，任给n r x x ,,1 +一组值，就唯一地定出r x x x ,,,21 的值，也就是定出方程组(7)的一个解.一般地，由(7)我们可以把r x x x ,,,21 通过n r x x ,,1 +表示出来，这样一组表达式称为方程组(1)的一般解，而n r x x ,,1 +称为一组自由未知量.
例2 解线性方程组
???
??-=+-=+-=+-.
142,4524,
132321
321321x x x x x x x x x 从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是(5)的样子，但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成(5)的样子.
以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出现的话)去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数r 等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数r 小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解.
定理1 在齐次线性方程组
??
?
??
?
?=+++=+++=+++0,
0,0221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 中，如果n s <，那么它必有非零解.
矩阵
????
??
? ??s sn
s s n n b a a a b a a a b a a a
21
222221111211 (10) 称为线性方程组(1)的增广矩阵.显然，用初等变换化方程组(1)成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵(10)成阶梯形矩阵.因此，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解.
例3 解线性方程组
???
??=+-=+-=+-.
042,4524,
132321
321321x x x x x x x x x
§2 n 维向量空间
定义2 所谓数域P 上一个n 维向量就是由数域P 中n 个数组成的有序数组
),,,(21n a a a
(1)
i a 称为向量(1)的分量.
用小写希腊字母 ,,,γβα来代表向量. 定义3 如果n 维向量
),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα
的对应分量都相等，即
),,2,1(n i b a i
i ==.
就称这两个向量是相等的，记作βα=.
n 维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的.
定义4 向量
),,,(2211n n b a b a b a +++= γ
称为向量
),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα
的和，记为
βαγ+=
由定义立即推出：
交换律： αββα+=+. (2) 结合律： γβαγβα++=++)()(. (3) 定义5 分量全为零的向量
)0,,0,0(
称为零向量，记为0;向量),,,(21n a a a --- 称为向量),,,(21n a a a =α的负向量，记为α-.
显然对于所有的α，都有
αα=+0. (4)
0)(=-+αα. (5) (2)—(5)是向量加法的四条基本运算规律.
定义6 )(βαβα-+=-
定义7 设k 为数域P 中的数，向量
),,,(21n ka ka ka
称为向量),,,(21n a a a =α与数k 的数量乘积，记为αk
由定义立即推出：
βαβαk k k +=+)(, (6)
αααl k l k +=+)(, (7)
αα)()(kl l k =, (8)
α
α=1. (9)
(6)—(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6)—(9)或由定义不难推出：
00=α, (10)
αα-=-)1(, (11)
0=k . (12)
如果0,0≠≠αk ，那么
≠αk . (13)
定义8 以数域P 中的数作为分量的n 维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域P 上的n 维向量空间.
在3=n 时，3维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间. 以上已把数域P 上全体n 维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数结构，即数域P 上n 维向量空间.
向量通常是写成一行：
),,,(21n a a a =α.
有时也可以写成一列：
??????
?
??=n
a a a 2
1
α. 为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同.
§3 线性相关性
一般向量空间除只有一个零向量构成的零空间外，都含有无穷多个向量，这些向量之间有怎样的关系，对于弄清向量空间的结构至关重要。
一、线性相关与线性无关
两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量α与β成比例就是说有一数
k
使
βαk =.
定义9 向量α称为向量组s βββ,,,21 的一个线性组合，如果有数域P 中的数s k k k ,,,21 ，使
s s k k k βββα+++= 2211,
其中s k k k ,,,21 叫做这个线性组合的系数.
例如，任一个n 维向量),,,(21n a a a =α都是向量组
?????
??===)1,,0,0(,
)0,,1,0(,)0,,0,1(21 n
εεε （1）
的一个线性组合.
向量n εεε,,,21 称为n 维单位向量. 零向量是任意向量组的线性组合.
当向量α是向量组s βββ,,,21 的一个线性组合时，也说α可以经向量组
s βββ,,,21 线性表出.
定义10 如果向量组t ααα,,,21 中每一个向量),,2,1(t i i =α都可以经向量组s βββ,,,21 线性表出，那么向量组t ααα,,,21 就称为可以经向量组
s βββ,,,21 线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.
由定义有，每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组
t ααα,,,21 可以经向量组s βββ,,,21 线性表出，向量组s βββ,,,21 可以经向量
组p γγγ,,,21 线性表出，那么向量组t ααα,,,21 可以经向量组线性表出.
向量组之间等价具有以下性质：
1）反身性：每一个向量组都与它自身等价.
2）对称性：如果向量组s ααα,,,21 与t βββ,,,21 等价，那么向量组
t βββ,,,21 与s ααα,,,21 等价.
3）传递性：如果向量组s ααα,,,21 与t βββ,,,21 等价，t βββ,,,21 与
p
γ
γγ,,,21 等价，那么向量组s ααα,,,21 与p γγγ,,,21 等价.
定义11 如果向量组s ααα,,,21 )2(≥s 中有一个向量是可以由其余的向量的线性表出，那么向量组s ααα,,,21 线性相关.
从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组
21,αα线性相关就表示21ααk =或者12ααk =(这两个式子不一定能同时成立).
在P 为实数域，并且是三维时，就表示向量1α与2α共线.三个向量321,,ααα线性相关的几何意义就是它们共面.
定义11′向量组s ααα,,,21 )1(≥s 称为线性相关的，如果有数域P 中不全为零的数s k k k ,,,21 ，使
02211=+++s s k k k ααα
这两个定义在2≥s 的时候是一致的.
定义12 一向量组s ααα,,,21 )1(≥s 不线性相关，即没有不全为零的数
s k k k ,,,21 ，使
02211=+++s s k k k ααα
就称为线性无关；或者说，一向量组s ααα,,,21 称为线性无关，如果由
02211=+++s s k k k ααα
可以推出
21====s k k k
由定义有，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.换句话说，如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量组中一定不能包含两个成比例的向量.
定义11′包含了由一个向量组构成的向量组的情形. 单独一个零向量线性相关，单独一个非零向量线性无关.
不难看出，由n 维单位向量n εεε,,,21 组成的向量组是线性无关的. 具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题.要判断一个向量组
s i a a a in i i i ,,2,1),,,(21 ==α (2)
是否线性相关，根据定义11，就是看方程
2211=+++s s x x x ααα (3)
有无非零解.(3)式按分量写出来就是
?????
?
?=+++=+++=+++.
0,
0,
0221
122221*********s sn n n s s s s x a x a x a x a x a x a x a x a x a
(4) 因之，向量组s ααα,,,21 线性无关的充要条件是齐次线性方程组(4)只有零解.
例1 判断3P 的向量
)9,7,1(),0,1,2(),3,2,1(321-==-=ααα
是否线性相关。
例2 在向量空间][x P 里，对于任意非负整数n
n x
x x ,,,,12
线性无关.
例3 若向量组321,,ααα线性无关，则向量组13322134,5,2αααααα+++也线性无关.
从而，如果向量组(2)线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的
1+n 维的向量组
s i a a a a n i in i i i ,,2,1,),,,,(1,21 ==+β (5)
也线性无关.
定理2 设r ααα,,,21 与s βββ,,,21 是两个向量组.如果 1）向量组r ααα,,,21 可以经s βββ,,,21 线性表出， 2） s r >，
那么向量组r ααα,,,21 必线性相关.
推论 1 如果向量组r ααα,,,21 可以经向量组s βββ,,,21 线性表出，且
r ααα,,,21 线性无关，那么s r ≤.
推论2 任意1+n 个n 维向量必线性相关.
推论3 两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量.
定理2的几何意义是清楚的：在三维向量的情形，如果2=s ，那么可以由向量21,ββ线性表出的向量当然都在21,ββ所在的平面上，因而这些向量是共面的，也就是说，当2>r 时，这些向量线性相关.两个向量组21,αα与21,ββ等价，就意味着它们在同一平面上.
二、极大线性无关组
定义13 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话)，所得的部分向量组都线性相关.
一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身.
极大线性无关组的一个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价.
例4 看3P 的向量组
)0,1,1(),0,1,0(),0,0,1(321===ααα
在这里｛21,αα｝线性无关，而213ααα+=，所以｛21,αα｝是一个极大线性无关组.另一方面，｛31,αα｝，｛32,αα｝也都是向量组｛321,,ααα｝的极大线性无
关组.
由上面的例子可以看出，向量组的极大线性无关组不是唯一的.但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价，因而，一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的.
定理3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.
定理3表明，极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关，它直接反映了向量组本身的性质.因此有
定义14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同. 每一向量组都与它的极大线性无关组等价.由等价的传递性可知，任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价.所以，等价的向量组必有相同的秩.
含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个线性无关的部分向量都能扩充成一极大线性无关组.全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组.规定这样的向量组的秩为零.
现在把上面的概念与方程组的解的关系进行联系，给定一个方程组
?????
?
?=+++=+++=+++)
(,
)(,)(,
221
1222222121111212111s s n sn s s n n n n A d x a x a x a A d x a x a x a A d x a x a x a
各个方程所对应的向量分别是
,),,,,,(),,,,,(22222121112111 d a a a d a a a n n ==αα ),,,,(21s sn s s s d a a a =α.设有另一个方程
)
(,
2211B d x b x b x b n n =+++ 它对应的向量为),,,,(21d b b b n =β.则β是s ααα,,,21 的线性组合，
s s l l l αααβ+++= 2211当且仅当)()()()(2211s s A l A l A l B +++= ，即方程(B)
是方程)(,),(),(21s A A A 的线性组合.容易验证，方程组)(,),(),(21s A A A 的解一定满足(B).进一步设方程组
?????
?
?=+++=+++=+++)
(,
)(,)(,221
1222222121111212111r r n rn r r n n n n B c x b x b x b B c x b x b x b B c x b x b x b
它的方程所对应的向量为r βββ,,,21 .若r βββ,,,21 可经s ααα,,,21 线性表出，则方程组)(,),(),(21s A A A 的解是方程组)(,),(),(21r B B B 的解.再进一步，当s ααα,,,21 与r βββ,,,21 等价时，两个方程组同解.
例5 （1）设321,,ααα线性无关，证明321211,,αααααα+++也线性无关；对n 个线性无关向量组n ααα,,,21 ，以上命题是否成立？
（2）当321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++也线性无关，当
n ααα,,,21 线性无关时，
113221,,,,αααααααα++++-n n n 是否也线性无关？ 例6 设在向量组n ααα,,,21 中，01=≠α且每个i α都不能表成它的前1-i 个向量121,,,-i ααα 的线性组合，证明n ααα,,,21 线性无关.
§4 矩阵的秩
一、矩阵的秩
如果把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以认为是由这些向量组成的.同样，如果把每一列看成一个向量，那么矩阵也可以认为是由列向量组成的.
定义15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.
例如，矩阵
??????
?
?
?-=00
0500041201311A 的行向量组是
)0,0,0,0(,)5,0,0,0(,)4,1,2,0(,)1,3,1,1(4321==-==αααα
它的秩是3.它的列向量组是
)0,5,4,1(,)0,0,1,3(,)0,0,2,1(,)0,0,0,1(4321'='-='='=ββββ
它的秩也是3.
矩阵A 的行秩等于列秩，这点不是偶然的. 引理 如果齐次线性方程组
??
?
??
?
?=+++=+++=+++0,
0,
0221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1） 的系数矩阵
??????
?
??=sn
s s n n a a a a a a a a a A
21
22221
11211 的行秩n r <，那么它有非零解.
定理4 矩阵的行秩与列秩相等.
因为行秩等于列秩，所以下面就统称为矩阵的秩. 二、矩阵的秩与行列式的联系
定理5 n n ?矩阵
??????
?
??=nn
n n n n a a a a a a a a a A
21
22221
11211 的行列式为零的充要条件是A 的秩小于n .
推论 齐次线性方程组
??
?
??
?
?=+++=+++=+++0,
0,0221122221211212111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充要条件是它的系数矩阵
??????
?
??=nn
n n n n a a a a a a a a a A
21
22221
11211 的行列式等于零.
定义16 在一个n s ?矩阵A 中任意选定k 行和k 列，位于这些选定的行和列的交点上的2k 个元素按原来的次序所组成的k 级行列式，称为A 的一个k 级子式.
在定义中，当然有),min(n s k ≤，这里),min(n s 表示n s ,中较小的一个. 定理6 一矩阵的秩是r 的充要条件为矩阵中有一个r 级子式不为零，同时所有1+r 级子式全为零.
从定理的证明可以看出，这个定理实际上包含两部分，一部分是，矩阵A 的秩r ≥的充要条件为有一个r 级子式不为零；另一部分是，矩阵的秩r ≤的充要条件为的所有1+r 级子式全为零.从定理的证明还可以看出，在秩为r 的矩阵中，不为零的r 级子式所在的行正是它行向量组的一个极大线性无关组，所在的列正是它列向量的一个极大线性无关组.
三、矩阵的秩的计算
在前面，作为解线性方程组的一个方法，对矩阵作行的初等变换，把矩阵化成阶梯形.实际上，这也是计算矩阵的秩的一个方法.
首先，矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组.等价的向量组有相同的秩，因此，初等行变换不改变矩阵的秩.同样初等列变换也不改变矩阵的秩.
其次，阶梯形矩阵的秩就等于其中非零的行的数目.
上面的讨论说明，为了计算一个矩阵的秩，只要用初等行变换把它变成阶梯形，这个阶梯形矩阵中非零的行的个数就是原来矩阵的秩.
以上的讨论还说明，用初等变换化一个线性方程组成阶梯形，最后留下来的方程的个数与变换的过程无关，因为它就等于增广矩阵的秩.
例 利用初等变换求下面矩阵的秩：
????
??
?
?
?=1611
5
4
113943110732175211A .
§5 线性方程组有解判别定理
设线性方程组为
??
?
??
?
?=+++=+++=+++s n sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111,
, (1) 引入向量
????
??
? ??=??????? ??=??????? ??=??????? ??=s sn n n n s s b b b a a a a a a a a a 2121222122121111,,,,βααα. (2)
于是线性方程组(1)可以改写成向量方程
β
ααα=+++n n x x x 2211. (3)
显然，线性方程组(1)有解的充要条件为向量β可以表成向量组n
ααα,,,21 的线性组合.用秩的概念，线性方程组(1)有解的条件可以叙述如下：
定理7(线性方程组有解判别定理) 线性方程组(1)有解的充要条件为它的系数矩阵
???????
??=sn
s s n n a a a a a a a a a A
21
22221
11211
与增广矩阵
??????
?
??=s sn
s s n n b a a a b a a a b a a a A
21
222221
111211
有相同的秩.
应该指出，这个判别条件与以前的消元法是一致的.用消元法解线性方程组(1)的第一步就是用初等行变换把增广矩阵A 化成阶梯形.这个阶梯形矩阵在适当调动前列的顺序之后可能有两种情形：
????????????
? ?
?+0
00
0000000000001222221111211
r r rn rr n r n r d d c c d c c c d c c c c 或者
????????????
?
??00
0000000000000222221111211
r rn rr n r n r d c c d c c c d c c c c 其中0,,,2,1,01≠=≠+r ii d r i c .在前一种情形，原方程组无解，而在后一种情形方程组有解.实际上，把这个阶梯形矩阵最后一列去掉，那就是线性方程组(1)的系数矩阵A 经过初等行变换所化成的阶梯形.这就是说，当系数矩阵与增广矩阵的秩相等时，方程组有解；当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1时，方程组无解.
以上的说明可以认为是判别定理的另一个证明.
根据克拉默法则，也可以给出一般线性方程组的一个解法.
设线性方程组(1)有解，矩阵A 与A 的秩都等于r ，而D 是矩阵A 的一个不为零的r 级子式(当然它也是A 的一个不为零的子式)，为了方便起见，不妨设D 位于A 的左上角.
显然，在这种情况下，A 的前r 行就是一个极大线性无关组，第s r ,,1 +行都可以经它们线性表出.因此，线性方程组(1)与
??
?
??
?
?=++++=++++=++++r n rn r rr r n n r r n n r r b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 11222121111111,
, (4) 同解.
当n r =时，由克拉默法则，线性方程组(4)有唯一解，也就是线性方程组(1)有唯一解.
当n r <时，将线性方程组(4)改写为
??
?
??
?
?---=++---=++---=++++++++.,
,11,11211,222121111,111111n rn r r r r r rr r n n r r r r n n r r r r x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a
(5) (5)作为r x x ,,1 的一个方程组，它的系数行列式.由克拉默法则，对于n r x x ,,1 +的任意一组值，线性方程组(5)，也就是线性方程组(1)，都有唯一的解. n r x x ,,1 +就是线性方程组(1)的一组自由未知量.对(5)用克拉默法则，可以解出r x x ,,1 ：
??
?
???
?'--'-'='--'-'='--'-'=++++++.,,11,211,22
2111,1
11n rn r r r r r n n r r n n r r x c x c d x x c x c d x x c x c d x
(6) (6)就是线性方程组(1)的一般解.
例 λ取怎样的数值时，线性方程组
???
??=++=++=++,
,,
12321
321321λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解，没有解，有无穷多解？
§6 线性方程组解的结构
在解决线性方程组有解的判别条件之后，进一步来讨论线性方程组解的结构.所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题. 一、齐次线性方程组的解的结构 设
??
?
??
??=+++=+++=+++0,
0,
0221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (1)
是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质：
1. 两个解的和还是方程组的解.
2. 一个解的倍数还是方程组的解.
从几何上看，这两个性质是清楚的.在3=n 时，每个齐次方程表示一个过得点的平面.于是方程组的解，也就是这些平面的交点，如果不只是原点的话，就是一条过原点的直线或一个过原点的平面.以原点为起点，而端点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述的性质.
对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解.这个性质说明了，如果方程组有几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多的解.基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合给出？
定义17 齐次线性方程组(1)的一组解t ηηη,,,21 称为(1)的一个基础解系，如果
1）(1)的任一个解都能表成t ηηη,,,21 的线性组合； 2）t ηηη,,,21 线性无关.
应该注意，定义中的条件2)是为了保证基础解系中没有多余的解. 定理8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于r n -，这里r 表示系数矩阵的秩(以下将看到，r n -也就是自由未知量的个数).
定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的方法.
c 解线性方程组的几种方法
//解线性方程组 #include
2021年常系数线性方程组基解矩阵的计算
常系数线性方程组基解矩阵的计算 欧阳光明（2021.03.07） 董治军 （巢湖学院数学系，安徽巢湖238000） 摘要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，不少问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数exp A t，给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法. 关键词；常系数奇次线性微分方程组；基解矩阵；矩阵指数Calculation of Basic solution Matrix of Linear Homogeneous System with Constant Coefficients Zhijun Dong (Department of Mathematics,Chaohu CollegeAnhui,Chaohu) Abstract:Differential equations application in engineering technology is very extensive, when many problems are attributable to its solving problem, base solution matrix existence and specific seek is different things, general homogeneous linear differential equations is not the
Matlab线性方程组求解(Gauss消去法)
Matlab线性方程组求解 1. Gauss消元法： function x=DelGauss(a,b) % Gauss消去法 [n,m]=size(a); nb=length(b); det=1; %存储行列式值 x=zeros(n,1); for k=1:n-1 for i=k+1:n if a(k,k)==0 return end m=a(i,k)/a(k,k); for j=k+1:n a(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j); end b(i)=b(i)-m*b(k); end det=det*a(k,k); %计算行列式 end det=det*a(n,n); for k=n:-1:1 %回代求解 for j=k+1:n b(k)=b(k)-a(k,j)*x(j); end x(k)=b(k)/a(k,k);
end Example: >> A=[1.0170 -0.0092 0.0095;-0.0092 0.9903 0.0136;0.0095 0.0136 0.9898]; >> b=[1 0 1]'; >> x=DelGauss(A,b) x = 0.9739 -0.0047 1.0010 2. 列主元Gauss消去法： function x=detGauss(a,b) % Gauss列主元消去法 [n,m]=size(a); nb=length(b); det=1; %存储行列式值 x=zeros(n,1); for k=1:n-1 amax=0; %选主元 for i=k:n if abs(a(i,k))>amax amax=abs(a(i,k));r=i; end end if amax<1e-10 return; end if r>k %交换两行 for j=k:n
总结求线性方程组的方法
总结求线性方程组的方法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
华北水利水电大学 总结求线性方程组的方法 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2014年12月31日
摘要：线性方程组的求解是当代代数学中的一个重要组成部分。它广泛应用在数学以及其他领域。它与矩阵、线性变换、行列式、向量组的线性相关性，二次型，这些型之间有着相当密切的联系。线性方程组是线性代数中一个相当基础的内容必须要学会以及熟悉内容。本文章主要说明和讨论线性方程组的基本结构，然后应用克拉莫法则，高斯消元法来来求解。 关键词：线性方程组、高斯消元法、克拉莫法则； Summary for the method of liner equations Abstract: Solution of the system of linear equations is an important component part of algebra. It is widely used in mathematics and other areas. It and determinant, matrix, linear transformation, linear correlation vector group, quadratic form, has the close relation. System of linear equations is a very basic content in linear algebra must grasp and familiar with the content. This article mainly explain and discuss the basic structure of system of linear equations, then apply law of kramer, gauss elimination method to solve.
第一章-第四讲-n元线性方程组求解
第四讲 n 元线性方程组求解 上一讲我们介绍了当n 元一次线性方程组的系数矩阵A 可逆时，可求出方程组解1X A b -=， 实际上这也是方程组的唯一解。如果方程组系数矩阵A 不可逆或A 不是方阵时，该如何来讨论方程组的解？这一讲将通过矩阵的初等变换来研究n 元一次线性方程组（齐次、非齐次）在什么条件下有解、如何求解以及各种解的表达形式等. n 元一次线性方程组是指形如 ???????=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112 22221211 1212111 ... ...（4.1） 令 111212122212 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ???L L L L L L L ，12n x x X x ?? ? ?= ? ???M ，12m b b b b ?? ? ?= ? ??? M 则方程组的矩阵方程形式AX b =.其中：A 称为方程组（4.1）的系数矩阵，°()A A b =称为方程组（4.1）的增广矩阵。 当b O ≠时，称（4.1）式为一元线性非齐次线性方程组; 当b O =时，称 (4.2 ) 式为一元线性齐次线性方程组，其矩阵形式AX O =. 111122121122221122000 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=?? ??+++=?L L L L L L L L L L L L L L L ... ...(4.2) 显然X O =是（4.2）式的当然解。所以说，齐次线性方程组的解只有两种情况：唯一解(零解)和无穷多解(非零解)。 把非齐次线性方程组（4.1）式的每个方程右边的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组。（即：（4.2）是（4.1）的导出组） 在第二讲的例2.12中，非齐次方程组的解是通过对方程组的增广矩阵实施初等行变换得到的. 那么，这种求解方法是不是对任意的线性方程组都适用？答案是肯定的。下面我们就给出理论证明. 定理4.1 若将非齐次线性方程组AX b =的增广矩阵°()A A b =用初等行变换化为
线性方程组的解法
线性方程组的解法 1 引言 在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题，而这些问题往往需要求数值解。在进行数值求解时，经离散后，常常归结为求解形如Ax= b的大型线性方程组。而如插值公式，拟合公式等的建立，微分方程差分格式的构造等，均可归结为求解线性方程组的问题．在工程技术的科学计算中，线性方程组的求解也是最基本的工作之一．因此，线性方程组的解法一直是科学和工程计算中研究最为普遍的问题，它在数值分析中占有极其重要的地位。20世纪50年代至70年代，由于电子计算机的发展，人们开始考虑和研究在计算机上用迭代法求线性方程组Ax =b的近似解，用某种极限过程去逐渐逼近精确解，并发展了许多非常有效的迭代方法，迭代法具有需要计算机存储单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。例如Jacobi方法、Gauss—Seidel 方法、SOR方法、SSOR 方法，这几种迭代方法是最常用的一阶线性定常迭代法。 2 主要算法 20世纪50年代至70年代，人们开始考虑和研究用迭代法求解线性方程组。 Ax = b (1) 的近似解，发展了许多有效的方法，其中有Jacobi方法、Gauss—Seidel方法，SOR方法、SSOR方法，这几种迭代方法均属一阶线性定常迭代法，即若系数矩阵A的一个分裂：A =M-N ；M 为可逆矩阵，线性方程组(1)化为： (M－N)X =b； →M X = NX + b； →X= M -1NX+ M-1b 得到迭代方法的一般公式： X（k+1）=HX（k）+d （2） 其中：H =MN-1，d=M-1b，对任意初始向量X（0） 一阶定常迭代法收敛的充分必要条件是: 迭代矩H的谱半径小于1，即ρ(H) < 1；又因为对于任何矩阵范数恒有ρ(H)≤‖H‖，故又可得到收敛的一个充分条件为：‖H‖< 1。 2.1 Jacobi迭代法 若D为A的对角素构成的对角矩阵，且对角线元素全不为零。系数矩阵A的一个分解：A =
Maab求解线性方程组非线性方程组
M a a b求解线性方程组非 线性方程组 The latest revision on November 22, 2020
求解线性方程组solve，linsolve例：A=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1];%矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格B=[3;1;1;0]X=zeros(4,1);%建立一个4元列向量 X=linsolve(A,B)diff（fun，var，n）：对表达式fun中的变量var求n阶导数。 例如：F=sym（'u(x,y)*v(x,y)'）; %sym（）用来定义一个符号表达式diff(F); %matlab区分大小写pretty(ans) %pretty（）：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式 非线性方程求解 fsolve(fun,x0,options) 其中fun为待解方程或方程组的文件名； x0位求解方程的初始向量或矩阵； option为设置命令参数 建立文件： function y=fun(x) y=[x(1)*sin(x(1))*cos(x(2)), ... x(2) - *cos(x(1))+*sin(x(2))]; >>clear;x0=[,];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve'))注：...为续行符m文件必须以function 为文件头，调用符为@；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。 Matlab求解线性方程组AX=B或XA=B在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。如：X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；X＝B/A表示矩阵方程XA=B 的解。对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A 的列数，方程X＝B/A同理。 如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有：m＝n 恰定方程，求解精确解；m>n 超定方程，寻求最小二乘解；m 1 / 3 第四节 线性方程组解的判定 从本节开始,讨论含有n 个未知量、m 个方程的线性方程组的解. 11112211211222221122n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++= ? (13—2） 主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解?有解时解有多少?如何求出方程组的解。 线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具,将带来极大的方便。 方程组（13-2)中各未知量的系数组成的矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ??????=?????? 称为方程组（13-2）的系数矩阵.由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A ，即 11121121 222212n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b ??????=?????? 方程组(13-2)中的未知量组成一个n 行、1列的矩阵（或列向量）,记作X ；常数项组成一个m 行、1列 的矩阵（或列向量），记作b ，即12n x x X x ??????=??????,12m b b b b ??????=?????? 由矩阵运算,方程组（13—2)实际上是如下关系111212122212 n n m m mn a a a a a a a a a ????????????12n x x x ????????????=12m b b b ???????????? 即 AX=b 解线性方程组的直接解法 一、实验目的及要求 关于线性方程组的数值解法一般分为两大类：直接法与迭代法。直接法是在没有舍入误差的情况下，通过有限步运算来求方程组解的方法。通过本次试验的学习，应该掌握各种直接法，如：高斯列主元消去法，LU分解法和平方根法等算法的基本思想和原理，了解它们各自的优缺点及适用范围。 二、相关理论知识 求解线性方程组的直接方法有以下几种： 1、利用左除运算符直接求解 线性方程组为b x\ =即可。 A Ax=，则输入b 2、列主元的高斯消元法 程序流程图： 输入系数矩阵A，向量b，输出线性方程组的解x。 根据矩阵的秩判断是否有解，若无解停止；否则，顺序进行； 对于1 p :1- =n 选择第p列中最大元，并且交换行； 消元计算； 回代求解。（此部分可以参看课本第150页相关算法） 3、利用矩阵的分解求解线性方程组 （1）LU分解 调用matlab中的函数lu即可，调用格式如下： [L,U]=lu（A） 注意：L往往不是一个下三角，但是可以经过行的变换化为单位下三角。 （2）平方根法 调用matlab 中的函数chol 即可，调用格式如下： R=chol （A ） 输出的是一个上三角矩阵R ，使得R R A T =。 三、研究、解答以下问题 问题1、先将矩阵A 进行楚列斯基分解，然后解方程组b Ax =(即利用平方根法求解线性方程组，直接调用函数)： ??????? ??--------=19631699723723312312A ，?????? ? ??-=71636b 解答： 程序： A=[12 -3 2 1;-3 23 -7 -3;2 -7 99 -6;1 -3 -6 19]; R=chol(A) b=[6 3 -16 7]'; y=inv(R')*b %y=R'\b x=inv(R)*y %x=R\y 结果： R =3.4641 -0.8660 0.5774 0.2887 0 4.7170 -1.3780 -0.5830 0 0 9.8371 -0.7085 0 0 0 4.2514 y =1.7321 0.9540 -1.5945 1.3940 x =0.5463 0.2023 -0.1385 0.3279 问题 2、先将矩阵A 进行LU 分解，然后解方程组b Ax =（直接调用函数）： ?????????? ??----=8162517623158765211331056897031354376231A ，????????? ? ??-=715513252b 线性方程组解题方法技巧与题型归纳 题型一 线性方程组解的基本概念 【例题1】如果α1、α2是方程组 123131233231 2104 x x ax x x x ax x --=?? -=??-++=? 的两 个不同的解向量，则a 的取值如何 解： 因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)= r(Ab)＜3， 对增广矩阵进行初等行变换： 21131132031022352104002314510a a a a a a a ----???? ? ?-→-- ? ? ? ?-----???? 易见仅当a=-2时，r(A)= r(Ab)=2＜3， 故知a=-2。 【例题2】设A 是秩为3的5×4矩阵， α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b 的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T , 3α1+α2= （2，4，6，8）T ,求方程组Ax=b 的通解。 解:因为r(A)= 3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成， 又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2） =2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T , 是Ax=0的解， 即其基础解系可以是（0，2，3，4）T , 由A （α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b 知1/4 （α1+α2+2α3）是Ax=b 的一个解， 故Ax=b 的通解是 ()1,0,0,00,2,3,42T T k ?? + ??? 【例题3】已知ξ1=（-9，1，2，11）T ，ξ2=（1，- 5，13，0）T ，ξ3=（-7，-9，24，11）T 是方程组 12234411223441 234432332494x a x x a x d x b x x b x x x x c x d +++=?? +++=??+++=?的三个解，求此方程组的通解。 分析：求Ax=b 的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。 解：A 是3×4矩阵， r(A)≤3，由于A 中第2，3两行不成比例，故r(A)≥2，又因为 η1=ξ1-ξ2=（-10，6，-11，11）T , η2=ξ2-ξ3= (8,4,-11,-11)T 是Ax=0的两个线性无关的解向量， 于是4- r(A)≥2，因此r(A)=2，所以ξ1+k 1η1+k 2η2是通解。 总结： 不要花时间去求方程组，太繁琐，由于ξ1-ξ2，ξ1-ξ3或ξ3-ξ1，ξ3-ξ2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系，ξ1，ξ2，ξ3都是特解，此类题答案不唯一。 题型2 线性方程组求解 线性方程组的解法及其应用 The solution of linear equation and its application 专业：测控技术与仪器 班级： 2010-1班 作者：刘颖 学号： 20100310110105 摘要 线性方程组是线性代数的一个重要组成部分，也在现实生产生活中有着广泛的运用，在电子工程、软件开发、人员管理、交通运输等领域都起着重要的作用。在一些学科领域的研究中，线性方程组也有着不可撼动的辅助性作用，在实验和调查后期利用线性方程组对大量的数据进行处理是很方便简捷的选择。本文主要围绕如何解线性方程组来进行讲解，对于不同类型的线性方程组的不同方法，并简述线性方程组的一些实际应用。 关键词： 齐次线性方程组，非齐次线性方程组，克莱姆法则，消元法，矩阵，矩阵的秩，特解，通解。 Abstract Linear equations linear algebra is one of the important component parts, and in real life has extensive production use，and it plays an important role in electronic engineering, software development, personnel management, transportation, etc. In some discipline study, it also has the reigns of linear equations of the auxiliary function.In experiment and survey using the linear equations of the late on the data processing is very convenient simple choice. This article, focusing on how to solve linear equations to explain, for different types of linear equations of different methods, and briefly introduces some of the practical application of linear equations. Keywords: Homogeneous linear equations, Non homogeneous linear equation,Clem’s law,Elimination method,Matrix,Rank of matrix,Special solution,General solution. 《线性方程组求解》实验报告 实验名称：线性方程组求解成绩：___________ 专业班级：数学与应用数学1202班姓名：张晓彤学号：2012254010227 实验日期： 2014年11月21日 实验报告日期： 2014年11月21日 一、实验目的 （1）掌握四种求解线性方程组的直接左除法、LU分解法、QR分解法以及Cholesky 分解法. （2）掌握求解线性方程组过程中的基本理论思想. （3）能够熟练使用matla软件对线性方程组进行不同方式的求解. （4）能够区分四种求解方法的不同，以及每种方法的特点和优劣. 二、实验内容 2 .1（验证性实验）验证求解线性方程组的直接左除法、LU分解法、QR分解 法以及Cholesky分解法.给出相关例题进行验证. 例三：用QR 分解法求解线性方程组1231231 234543727105x x x x x x x x x -+=??-+=??++=?，要求写出分解出的 矩阵L 和U. 例四：用Cholesky 分解法求解线性方程组Ax b =，给出A 和b 分别为： 211121113A ?? ?=- ? ?-??，634b ?? ?= ? ??? 2.2借用实例来区分四种方法的不同 三、实验环境 该实验应用matlab2014来进行实验的验证和设计. 四、实验步骤和结果 b=[8;6;5;1]; [L,U]=lu(A) x=U\(L\b) 得到方程组的解为： L = 1.0000 0 0 0 -0.3000 -0.0400 1.0000 0 0.5000 1.0000 0 0 0.2000 0.9600 -0.7742 1.0000 U = 10.0000 -7.0000 0 1.0000 0 2.5000 5.0000 -1.5000 0 0 6.2000 2.2400 0 0 0 4.9742 x = 湖北民族学院理学院2016届 本科毕业论文(设计) 线性方程组的求解方法及应用 学生姓名：付世辉学号： 0 专业：数学与应用数学指导老师：刘先平 答辩时间：装订时间： A Graduation Thesis (Project) Submitted to School of Science, Hubei University for Nationalities In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree In the Year of 2016 The calculation method and application of the system of linear equations Student Name: Fu Shihui Student No.: 0 Specialty:Mathematics And Applied Mathematics Supervisor: Liu Xianping Date of Thesis Defense:Date of Bookbinding: 摘要 线性方程组在数学领域中的应用非常广泛，是线性代数的主要内容之一. 矩阵及其基本理论是学习线性代数的一种基本工具，矩阵的初等变换则是线性方程组求解的工具. 线性方程组常用的求解方法有一般消元法、克拉默法则、LU分解法等一系列方法，根据问题的不同，我们在求解的过程中选择的方法也就多种多样. 这些方法可以很好地解决线性方程组的求解问题，在求解过程中，向量和矩阵起着一个不可或缺的作用. 在线性方程组的应用方面，除了跟数学理论知识有着密不可分的联系，还和我们的实际生活联系的极其紧密. 关键词：线性方程组，矩阵，初等变换，克拉默法则，LU分解法 线性方程组的几种解法 线性方程组形式如下： 常记为矩阵形式 其中 一、高斯消元法 高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x 向量。现举例说明如下： （一）消元过程 第一步：将(1)/3使x 1的系数化为1 得 再将(2)、(3)式中x 1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1) 得 )1(32)2( (03) 4 32=+x x )1(321)1(......23132=++ x x x 由(3)-4×(1)(1) 得 第二步：将(2)(1) 除以2/3，使x 2系数化为1，得 再将(3)(1) 式中x 2系数化为零，即 由(3)(1) -(-14/3)*(2)(2) ，得 第三步：将(3)(2) 除以18/3，使x 3系数化为1，得 经消元后，得到如下三角代数方程组： （二）回代过程 由(3)(3) 得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2) 得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1) 得x 2=1 所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T （三）、用矩阵演示进行消元过程 第一步： 先将方程写成增广矩阵的形式 第二步：然后对矩阵进行初等行变换 初等行变换包含如下操作 （1） 将某行同乘或同除一个非零实数 ) 3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63) 18-=x ) 2(32) 2(......02=+x x ) 1(32)3( (63) 10 314-=-- x x （2）将某行加入到另一行 （3）将任意两行互换 第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形式如下： 示例： （四）高斯消元的公式 综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为 1．消元 （1）令 a ij(1) = a ij , （i,j=1,2,3,…,n） b i(1) =b i , （i=1,2,3,…,n） （2）对k=1到n-1，若a kk(k)≠0，进行 l ik = a ik(k) / a kk(k) , （i=k+1,k+2,…,n） a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), （i,j= k+1,k+2,…,n） b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), （i= k+1,k+2,…,n） 2．回代 若a nn(n) ≠0 x n = b n(n) / a nn(n) x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n ) （五）高斯消元法的条件 消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲，a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。 注意A的顺序主子式D i（i=1,2,…,n）,在消元的过程中不变，这是因为消元所作的变换是“将某行的若干倍加到另一行”。若高斯消元法的过程进行了k-1步(a ii(i) ≠0,i Matlab求解线性方程组、非线性方程组 姓名：罗宝晶学号：15 专业：材料学院高分子系 第一部分数值计算 Matlab求解线性方程组AX=B或XA=B 在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用除法运算符“/”和“\”。如：X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解； X＝B/A表示矩阵方程XA=B的解。 对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。 如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有： m＝n 恰定方程，求解精确解； m>n 超定方程，寻求最小二乘解； m 第三章 线性方程组 §1 消元法 一、线性方程组的初等变换 现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为 ?? ? ?? ? ?=+++=+++=+++s n sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111, , (1) 的方程组，其中n x x x ,,,21 代表n 个未知量，s 是方程的个数， ),,2,1;,,2,1(n j s i a ij ==称为线性方程组的系数，) ,,2,1(s j b j =称为常数项. 方程组中未知量的个数n 与方程的个数s 不一定相等.系数ij a 的第一个指标i 表示它在第i 个方程，第二个指标j 表示它是j x 的系数. 所谓方程组(1)的一个解就是指由n 个数n k k k ,,,21 组成的有序数组 ),,,(21n k k k ，当n x x x ,,,21 分别用n k k k ,,,21 代入后，(1)中每个等式都变成恒 等式. 方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的. 显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了.确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵 ???? ?? ? ??s sn s s n n b a a a b a a a b a a a 21 222221111211 (2) 来表示.实际上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(1)就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组. 例如，解方程组 第2章线性方程组的直接解法 2.1实验目的 理解线性方程组计算机解法中的直接解法的求解过程和特点，学习科学计算的方法和简单的编程技术。 2.2概念与结论 1. n阶线性方程组 如果未知量的个数为 n ,而且关于这些未知量x1,x2, …,x n的幂次都是一次的(线性的)那末, n 个方程 a11x1+a12x2+ … +a1n x n=b1 ┆┆┆ (1) a n1x1+a n2x2+ … +a nn x n= b n 构成一个含n个未知量的线性方程组,称为n阶线性方程组。其中,系数a11,…,a1n,a21, …,a2n, …,a n1, …,a nn 和b1, …,b n都是给定的常数。 方程组(1)也常用矩阵的形式表示,写为 Ax=b 其中,A是由系数按次序排列构成的一个n阶矩阵,称为方程组的系数矩阵,x和b都是n维向量,b称为方程组的右端向量。 2. n阶线性方程组的解 使方程组(1)中每一个方程都成立的一组数x1*,x2*, …,x n*称为式(1)的解,把它记为向量的形式,称为解向量. 3.一些特殊的线性方程组 1) 上三角方程组 2) 三对角方程组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - n n nn n n n n n n n n b b b x x x a a a a a a a a a a a a 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 23 22 1 1 1 13 12 11 4.矩阵的Doolittle 分解 5.Doolittle 分解的紧凑格式 6．矩阵的Crout 分解 ????????? ? ??=?????????? ???????????? ? ?--n n n n n n d d d x x x b a c b c b a c b a c b 21 2111333 22211???? ?? ? ? ???????? ??=??????? ??nn n n n n nn n n n n u u u u u u l l l a a a a a a a a a 222 11211 2 1 21 2 1 2222111211111 ???? ?? ? ? ???????? ??=??????? ??11 1 21122 1 2221 11 2 1 2222111211 n n nn n n nn n n n n u u u l l l l l l a a a a a a a a a ????? ?? ? ??nn n n n n n n u l l l u u l l u u u l u u u u 3 2 1 333323122322211131211 §1 消元法 引例 求解线性方程组 ?????=++=++=++288338 219432321321321x x x x x x x x x （1.1） 解: 用i r 表示方程组中的第i 个方程，采用消元法求解此线性方程组： 方程组（1.1）???→??21r r ?????=++=++=++2883319 43282321321321x x x x x x x x x ?? ???==+=++??????→?--423 0823,23323211312x x x x x x r r r r （1.2） ?????===???????→?÷+-23 12),(3213321x x x r r r r （1.3） 由于方程组(1.1)与(1.3)同解，从而得到(1.1)的解T x x x x ),,(321=T )2,3,1(= 定义 以下变换1，2，3称为线性方程组的初等变换。 1． 将某一方程乘以一个非零的倍数； 2． 将某一方程的某个倍数加到另外一方程上去； 3． 对调两方程的位置。 命题 初等变换总是把方程组变成同解的方程组。 用消元法求解线性方程组的过程：首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的恒等式“0=0”（如果出现的话）去掉。如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一个非零的数，那么方程组无解，否则有解。在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数小于未知量的个数，那么方程组有无穷多个解。 定理 在齐次线性方程组 111122121122221122000 n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=????+++=?L L L L L L L L L L L L L L 中，如果s 目录 摘要................................................................................... I Abstract. ............................................................................. II 第一章绪论............................................................................ I 1.1引言 (1) 1.2线性方程组解的求解方法的研究现状 (1) 1.3本文对线性方程组解法的研究结构 (1) 第二章线性方程组理论基础 (2) 2.1 线性方程组概念 (2) 2.2 线性方程组的解的情况分析 (2) 2.3 齐次线性方程组解的结构 (4) 2.4非齐次线性方程组解的结构 (4) 第三章线性方程组的数值解 (5) 3.1 迭代法 (5) 3.1.1 Jacobi方法 (6) 3.2.2 高斯-赛德尔方法 (8) 第四章全文总结和展望 (10) 4.1 全文总结 (10) 4.2 未来展望 (10) 参考文献 (11) 致谢................................................................. 错误！未定义书签。 线性方程组的求解方法 学生：指导教师： 摘要：本文在对线性方程组解的结构的研究背景与意义分析的基础上，对线性方程组的求解方法的研究现状进行了介绍，之后针对线性方程组展开了研究，包括线性方程组的概念、线性方程组的求解方法以及线性方程组的作用等，在对线性方程组有了全面的认识后，基于线性方程组解的结构展开了研究，包括线性方程组解的基本定理，齐次和非齐次线性方程组解的结构形式，以及齐次和非齐次线性方程组解的结构，我们用迭代法中最常用的Jacobi方法中的相似上三角矩阵定理和迭代法中的收敛性讨论线性方程组的数值解法，并用高斯-赛德尔方法进行验证。得到线性方程组的数值解的一般方法。最后，对全文进行了总结和展望。 关键词：线性方程组;数值解；迭代法；Jacobi方法；高斯-赛德尔方法线性方程组解的判定
解线性方程组的直接解法
线性方程组解题方法技巧与题型归纳
线性方程组的解法及其应用
求解线性方程组
线性方程组的求解方法与应用
线性方程组的几种求解方法
Matlab求解线性方程组、非线性方程组
线性方程组求解
线性方程组的直接解法
求解线性方程组的几种方法
浅析线性方程组的解法