6.2.3向量的数乘运算
6.2.3向量的数乘运算习题课件—2020-2021学年高一下学期数学人教A版(2019)
知识对点练
课时综合练
2．已知向量 a，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使 a，
b 共线的是( )
①2a－3b＝4e 且 a＋2b＝－2e；
②存在相异实数 λ，μ，使 λa－μb＝0；
③xa＋yb＝0(其中实数 x，y 满足 x＋y＝0)；
→
→
④已知梯形 ABCD，其中AB＝a，CD＝b.
知识对点练
课时综合练
课时易错点
易错点 用已知向量表示未知向量时，考虑问题不全面致误
→
→
10．在△ABC 中，点 D 为 BC 的三等分点，设向量 a＝AB，b＝AC，用
→ 向量 a，b 表示AD为________．
易错分析 本题出错的原因是忽视了三等分点是两种情况，应有B→D＝13
B→C或B→D＝23B→C.解题时条件转化要全面准确． 答案 13a＋23b 或23a＋13b
知识对点练
课时综合练
正解 因为 D 为 BC 的三等分点，
当 BD＝13BC 时，如图 1，
所以A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋13B→C
＝A→B＋13(A→C－A→B)
＝23A→B＋13A→C＝23a＋13b.
知识对点练
课时综合练
当 BD＝23BC 时， 如图 2，
所以A→D＝A→B＋B→D
＝A→B＋23(A→C－A→B)
联立得方程组3mm－＋32nn＝＝ba，，
m＝131a＋121b， 解得n＝111a－131b.
知识对点练
课时综合练
10. 如图，平行四边形 OACB 中，BD＝13BC，OD 与 BA 相交于点 E.求 证：BE＝14BA.
知识对点练
课时综合练
6.2.3 向量的数乘运算 (精讲)(原卷版)
6.2.3向量的数乘运算 (精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1: 几何图形中用已知向量表示未知向量题型2：向量共线的判定题型3：利用向量共线证明线线平行题型4：利用向量共线定理判断三点共线题型5：利用向量共线定理求参数三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：向量的数乘 与向量a 的积是一个向量a λ.它的长度与方向规定如下： |||||a a λλ=0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当a λ的方向与a 的方向相反；当0时，0a λ=.）向量数乘的几何意义a λ：①从代数角度看，是实数，a 是向量，它们的积仍然是向量．a λ的条件是0a =0．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量a 的有向线段在原方向(0)λ>或相反方向上伸长了λ倍；当时，意味着表示向量a 的有向线段在原方向(010)λ<<上缩短了λ倍．实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如a λ+，a λ-都无意义． 实数与向量的积满足下面的运算律：设是实数，a 、b 是向量，则：)a a μλμ=()a a a λμλμ+=+ ()a b a b λλλ=++ ：向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量a ,b ,以及任意实数λ,1μ,2μ,1212)a b a b μλμλμ±=±.：向量共线定理）内容：向量b 与非零向量a 共线，则存在唯一一个实数，b a λ=. ）向量共线定理的注意问题：①定理的运用过程中要特别注意0a ≠．特别地，若0a b ==，实数λ仍存在，但不唯一．②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数λ沟通了两个向量b 与a 的关系．③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数题型．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方形满足2CF FB =，那么EF =1123AB AD - 1132AB AD +1223AB AD -1142AB AD + 2．（2022春·黑龙江哈尔滨·在ABCD 中，AB a =，AD b =，3AN NC =，为BC 的中点，则MN 等于（ ）1144a b +B ．1122a b -+．12a b +D ．3344a b -+．（多选）（2022·高一单元测试）在等边三角形ABC 中，,2,BD DC EC AE AD →→→→==交于点F ,则下列结论中正确的是（ ）1()2AB AC →→=+2133BC BA →→→=+12AF AD →→=D ．13BC →高一假期作业）如图所示，在ABC 中，点则DE =（ ）1136BA BC - 1163BA BC - 5163BA BC -5163BA BC +．（2022秋·吉林长春·高一长春市实验中学校考阶段练习）在ABC 中，设AB a =，AC b =，又2AD DC =，=BE ED ，则AE =（ ．1123a b +B ．1133a b +1126a b +D 2133a b +3．（2022秋·广西百色·高一统考期末）在OAB 中，P 为AB 上的一点，且2BP PA =，OP xOA yOB =+，则（ ）A ．23x =，13y =B ．13x =，23y =C ．34x =，14y = D ．x =例题1．（2022春·甘肃定西·高二统考开学考试）对于非零向量a 、b ，“0a b +=”是“//a b ”的（ ．充分不必要条件．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件例题2．（2022·河南·校联考三模）已知a 、b 、c 均为非零向量，且2a b =，3b c =-，则（ ） ．a 与c 垂直．b 与c 同向C ．a 与c 反向．a 与b 反向同类题型演练高一课时练习）已知12a e e =+，1222b e e =--，求证：a 与b 共线．：利用向量共线证明线线平行典型例题例题1．（2022·高一课时练习）已知在四边形中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，求证：四边形在ABC 中，已知11,33AM AB AN AC ==.用平面向量证明题型4：利用向量共线定理判断三点共线典型例题例题1．（2023·广东·高三统考学业考试）已知向量a ，b 不共线，若2AB a b =+，37BC a b =-+，45CD a b =-，则（ ）A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线例题2．（2022春·江西南昌·高二统考期末）已知空间向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）A ．、、ABC B ．B CD 、、 C ．A B D 、、 D ．A C D 、、例题3．（2022秋·江苏扬州·高一统考期中）已知a ，b 为不共线的向量，且5AB a b =+，28BC a b =-+，42CD a b =+则（ ）A ．,,ABC 共线B ．,,A B D 共线C ．,,A CD 共线D ．,,B C D 共线同类题型演练1．（2022·高一课时练习）已知()1221123,,2AB e e CB e e CD e e =+=-=+，则下列结论中成立的是（ ）A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，D ，C 三点共线D ．D ，B ，C 三点共线2．（2022·高一课时练习）已知5,28,210AB a b BC a b BD a b =+=-+=+，则共线的三点为（ ） A ．,,B C DB ．,,A B CC ．,,A C DD ．,,A B D题型5：利用向量共线定理求参数典型例题·全国·高三专题练习）已知向量1e ，2e 是两个不共线的向量，122a e e =-与12b e e λ=+共线，则．22例题2．（2022秋·江苏淮安·高一统考期末）已知1e ，2e 是平面内的一组基底，1232OA e e =+，124OB e ke =+，1254OC e e -=，若A 三点共线，则实数A ．1- B ．0 C ．1 例题3．（2022·上海·高二专题练习）设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知1212122,3,2AB e ke BC e e CD e e =+=+=-，若A 、B 、D 三点共线，的值为__________例题4．（2022秋·江西宜春·高一奉新县第一中学校考阶段练习）设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与()2b a --共线，则λ＝_______同类题型演练．（2023·全国·高三专题练习）已知向量a ，b 不共线，且c a b λ=+，()21b d a λ=+-，若c 与d 反向共线，则实数λ的值为（ ） ．1 B ．12-．1或12-D ．1-或2-．（2022·高一单元测试）已知a ，b 是不共线的向量，,32OA a b OB a b λμ=+=-，23OC a b =+,λμ满足（ 5μ=+ ．135μλ=-3．（2022秋·陕西咸阳高一统考期中）已知向量a 与b 不共线，且()1AB a mb m =+≠，AC na b =+．若A 、，n 满足的条件为 ) A ．1m n +=1mn =D ．1mn =-4．（2022春·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）设,a b 是两个不共线的向量，若向量2ka b +与8a kb +的方向相同，则________.5．（2022春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）已知向量a 与b 不共线，且3a b λ-与2a b λ-共线，则λ=___________．．（2023·全国·高三专题练习）设a ，b 是两个不共线的非零向量，若向量2ka b +与8a kb +的方向相反，则k ＝________.1．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）在ABC 中，点2AM MB =，若3CM CA CB λμ=+，则μA ．3 B C ．．（2022·河南·校联考模拟预测）已知ABC 的边在ABC 所在平面内，且2BD BE BA →→→=-，若AB →=，则C ．D ．23．（2022·云南昆明统考模拟预测）梯形ABCD 中，2AB DC =，设AB m =，AD n =，则AC BD +=（ ）A ．122m n -+B ．122m n -C ．2m n -2m n -+4．（2022·四川绵阳·统考一模）为ABC 所在平面内两点，AD DC =，2CB BE =，则DE =（ ）．32AB AC -+B ．32AB AC -．32AB AC -D ．32AB AC -+．（2022·湖南·校联考模拟预测）设E 、F 分别为ABC 三边则23(DA EB FC ++= ．12AD 32AD12AC 32AC ．（2022·河南·校联考二模）正方形，F 分别是CD ，的中点，那么EF = ．1122AB AD + 1122AB AD - 1122AB AD + 1122AB AD - 2022·内蒙古兴安盟·乌兰浩特一中校考模拟预测）在△ABC 中，AD AD 的中点，则EB =3144AB AC - 1344AB AC - 3144+AB AC1344+AB AC。
6.2.3 向量的数乘运算(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
（1） a 2e,b 2e; （2） a e1 e2,b 2e1 2e2; （3） a e1 e2,b e1 2e2 。
（1）共线 （2）共线 （3） 不共线
向量的数乘运算
例练结合
例1：计算 (1) (3) 4a; 解：（1）原式= (-3 4) a 12a;
(2) 3(a b) 2(a b) a;
（2）原式= 3a 3b 2a 2b a 5b;
(3) (2a 3b c) (3a 2b c).
（3）原式= 2a 3b c 3a 2b c a 5b 2c.
向量的数乘运算
方法小结
3:6
向量的数乘运算
例练结合
例2：□ABCD的两条对角线相交于点M，且 AB a, AD b, 试用 a, b
解析：因为A→B∥C→D，|A→B|＝2|C→D|，所以A→B＝2D→C，D→C＝1A→B. 2
(1)A→C＝A→D＋D→C＝e2＋12e1.
(2)M→N＝M→D＋D→A＋A→N＝－1D→C－A→D＋1A→B＝－1e1－e2＋1e1＝1e1－e2.
2
2
4
24
向量的数乘运算
例练结合
在本例中，若条件改为B→C＝e1，A→D＝e2，试用 e1，e2 表示向量M→N.
B．－1A→B－1A→D 22
C．－1A→B＋1A→D D．1A→B－1A→D
22
22
4.已知 e1，e2 是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若 a 与 b 是共线向量，则实数
k＝________.
1.B 2.C 3.D 4.－2
向量的数乘运算
课堂小结
思考：
(1)通过这节课，你学到了什么知识？ (2)在解决问题时，用到了哪些数学思想？
新人教版高中数学必修2课件：6.2.3 向量的数乘运算
)
2.4(a-b)-3(a+b)-b等于(
)
A.a-2b B.a
第六章
6.2.3 向量的数乘运算
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算律,理解其几何意
义.(数学抽象、直观想象)
2.理解两个平面向量共线的含义.(数学抽象、直观想象)
3.了解平面向量的线性运算性质,能用已知向量表示未知向
量.(数学运算、直观想象)
2
1 3
7
2 5 11
5 11
③原式=3 4-3 + 3 - 2 + 4 = 3 (2a-12b)=3a-18b.
(2)由 x-4y=2b,可得 x=4y+2b,代入 2x+3y=a,可得 2(4y+2b)+3y=a,
1 4
于是 8y+4b+3y=a,解得 y=11a-11b,
4
6
再代入 x=4y+2b 中可得 x=11a+11b.
2
1 1
③3 (4-3) + 3 - 4 (6-7) .
(2)已知 2x+3y=a,x-4y=2b,试用 a,b 表示 x,y.
分析(1)根据向量的线性运算法则求解.(2)运用实数的二元一次方程组的解
法求解.
解 (1)①原式=18a+3b-9a-3b=9a.
②原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.
探究三
向量共线问题
例 3(1)已知非零向量 e1,e2 不共线,如果 =e1+2e2, =-5e1+6e2, =7e1-2e2,
必修第二册6.2.3向量的数乘运算课件(人教版)
线如何用向量a表示？
++
问题2：该向量的长度为多少？与
向量 的模长有何关系？
Ԧ
| + + | = = ||
问题3：该向量方向与向量 Ԧ 有何关系？
相同
新知生成
O
A
B
C
= + + = Ԧ + Ԧ + .
2
3
，=
b=2 Ԧ
1
3
1
b=− Ԧ
2
7
b=− Ԧ
4
（2）=8 ，=-14
（4）=−
3
，
4
=−
2
3
8
b= Ԧ
9
实数与向量的积与原向量有何位置关系？
向量共线定理：
向量 （ ≠ 0 ）与 共线的充要条件：存在唯一一个实数 λ ，
使 = .
四、向量共线定理
【考点一】判定向量共线与三点共线
= λ(或者 = λ)即可。
四、向量共线定理
例4：如图，已知任意两个非零向量 ，，试做
Ԧ
= Ԧ + ，
= Ԧ + 2， = Ԧ + 3.猜想A, B, C三点之间的位置关系，
并证明你的猜想。
证明：由题意可知
= − = (Ԧ + 2) − (Ԧ + ) =
= − = (Ԧ + 3) − (Ԧ + ) = 2
所以， = 2，且有公共点A
因此A，B，C三点共线。
C
B
A
6.2.3向量的数乘运算-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件
2(a b) = 2a 2b
ab
2a 2b
ab
a b
2b
b
a
2a
（3）(a b) a b
三、探究向量数乘运算的运算律
问题3 我们知道实数的乘法有很好的运算律，那 么，向量数乘运算有哪些运算律呢?请你写出来并加以 验证．
运算律：设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：
①λ(μa)=(λμ)a
a
B
2
2
22
MB
1
DB
1
(a
b)
1
a
1
b
2
2
22
MC 1 AC 1 a 1 b
2
22
MD MB 1 DB 1 (a b) 1 a 1 b
2
2
22
五、课堂练习
教科书第15页的练习．
六、布置作业
习题6.2的第8题．
目标检测设计
1．设a，b为向量，计算下列各式：
（1） 1×4a； （2）3(a-b)+(a- 1 b)．
注：向量与实数之间可以象多项式一样进行运算 .
四、巩固新知
例2.如图, ABCD的两条对角线相交于点M , 且AB a,
AD b,用a,b表示MA, MB, MC和MD.
D
C
解: 在 ABCD中.
M
AC AB AD a b，DB AB AD a b b
MA 1 AC 1 (a b) 1 a 1 b A
λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b．
Hale Waihona Puke 四、巩固新知例1.计算： (1)(3) 4a; (2)3(a b) 2(a b) a; (3)(2a 3b c) (3a 2b c).
向量的数乘运算+课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
2
3
4
例3 在△ABC中.
(1)若 D 是 BC 边的中点,试用, 表示;
(2)若 E 是 BC 边上一点,且 =
1
,试用, 表示.
4
(2)如图,因为 = + ,
而
1
= 4
所以
1
1
= 5 = 5 ( − ),
1
4
1
= + 5 ( − )=5 + 5 .
(1 ± 2) = 1 ± ��．
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，线性运算的
结果仍为向量
(1)根据定义,求作向量()和() (为非零向量),并进行比较.
(2)已知向量求作向量( + )和 + ，并进行比较.
a
（
3 2a）
6a
a
结合律
向量的数乘
定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算
叫做向量的数乘，记作．
（1）长度： || = || · ||
（2）方向：当 > 0时，的方向与 方向相同；
当 < 0时，的方向与方向相反；
特别地，当 = 0时， = ．当 = −1时， = −
OP xOA yOB且x y 1.
归纳提升
证明或判断三点共线的方法：
1．证明或判断三点共线的方法
(1)一般来说，要判定 A，B，C 三点是否共线，只需看是否存在
→
→
→
→
实数 λ，使得AB＝λAC(或BC＝λAB等)即可．
(2)利用结论：若 A，B，C 三点共线，O 为直线外一点⇔存在实
③和向量 a 方向相同的单位向量是什么？
6.2.3 向量的数乘运算
(3) ( x y )a ( x y )a [( x y ) ( x y )]a 2 ya
例析
例6.如图，□ 的两条对角线相交于点，且 = ， = ，
用，表示，，和.
解：在□中， = + = + ， = − = − .
= + 3.猜想, , 三点之间的位置关系，并证明你的猜想.
解：分别作向量，，，过点，作直线(如图).观察发现，
不论向量，怎样变化，点始终在直线上，猜想, , 三点共线.
3
事实上，因为 = − = + 2 − ( + ) = ，
(1) 5(3a 2b) 4(2b 3a ) 15a 10b 8b 12a 3a 2b;
1
1
1
(2) (a 2b ) (3a 2b ) (a b )
3
4
2
1
2
3
1
1
1
11
1
a b a b a b a b
3
3
4
2
2
2
12
3
(3)原式= 2 + 3 − − 3 + 2 − = − + 5 − 2.
2. 化简：课本练习（第16页）
(1) 5(3a 2b) 4(2b 3a );
1
1
1
(2) (a 2b ) (3a 2b ) ( a b );
3
4
2
(3) ( x y )a ( x y )a .
量.
新知探索
人教A版(新教材)必修第二册 6.2.3 向量的数乘运算 学案(含答案)
人教A版（新教材）必修第二册 6.2.3 向量的数乘运算学案（含答案）6.2.3向量的数乘运算向量的数乘运算学习目标1.了解向量数乘的概念.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法.知识点一向量数乘的定义实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，其长度与方向规定如下1|a||||a|.2aa0的方向当0时，与a的方向相同；当0时，与a的方向相反.特别地，当0时，a0.当1时，1aa.知识点二向量数乘的运算律1.1aa.2aaa.3abab.特别地，aaa，abab.2.向量的线性运算向量的加.减.数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有1a2b1a2b.知识点三向量共线定理向量aa0与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使ba.思考向量共线定理中为什么规定a0答案若将条件a0去掉，即当a0时，显然a与b共线.1若b0，则不存在实数，使ba.2若b0，则对任意实数，都有ba.1.若向量b与a共线，则存在唯一的实数使ba.提示当b0，a0时，实数不唯一.2.若ba，则a与b共线.3.若a0，则a0.提示若a0，则a0或0.4.|a||a|.提示|a||||a|.一.向量的线性运算例11若a2bc，化简3a2b23bc2ab等于A.aB.bC.cD.以上都不对答案C解析原式3a6b6b2c2a2ba2b2c2bc2b2cc.2若3xa2x2a4xab0，则x________.答案4b3a解析由已知，得3x3a2x4a4x4a4b0，所以x3a4b0，所以x4b3a.反思感悟向量线性运算的基本方法1类比法向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号.移项.合并同类项.提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”.“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.2方程法向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.跟踪训练1计算ab3ab8a.解ab3ab8aa3ab3b8a2a4b8a10a4b.二.用已知向量表示其他向量例2如图，在ABCD中，E是BC 的中点，若ABa，ADb，则DE等于A.12abB.12abC.a12bD.a12b答案D解析因为E是BC的中点，所以CE12CB12AD12b，所以DEDCCEABCEa12b.反思感悟用已知向量表示其他向量的两种方法1直接法2方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.跟踪训练2在ABC中，若点D满足BD2DC，则AD等于A.13AC23ABB.53AB23ACC.23AC13ABD.23AC13AB答案D解析示意图如图所示，由题意可得ADABBDAB23BCAB23ACAB13AB23AC.三.向量共线的判定及应用例3设a，b是不共线的两个向量.1若OA2ab，OB3ab，OCa3b，求证A，B，C三点共线；2若8akb与ka2b共线，求实数k的值.1证明ABOBOA3ab2aba2b，而BCOCOBa3b3ab2a4b2AB，AB与BC共线，且有公共点B，A，B，C三点共线.2解8akb与ka2b共线，存在实数，使得8akbka2b，即8kak2b0，a与b不共线，8k0，k20，解得2，k24.反思感悟1证明或判断三点共线的方法一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得ABAC或BCAB 等即可.2利用向量共线求参数的方法已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.跟踪训练3已知向量e1，e2不共线，如果ABe12e2，BC5e16e2，CD7e12e2，则共线的三个点是________.答案A，B，D解析ABe12e2，BDBCCD5e16e27e12e22e12e22AB，AB，BD共线，且有公共点B，A，B，D三点共线.三点共线的常用结论典例如图所示，在ABC 中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若ABmAM，ACnAN，则mn的值为A.1B.2C.3D.4答案B解析连接AO图略，O是BC的中点，AO12ABAC.又ABmAM，ACnAN，AOm2AMn2AN.又M，O，N三点共线，m2n21，则mn2.素养提升1本题主要是应用判断三点共线的一个常用结论若A，B，C三点共线，O为直线外一点存在实数x，y，使OAxOByOC，且xy1.2应用时一定注意O是共同的起点，主要是培养学生逻辑推理的核心素养.1.下列运算正确的个数是32a6a；2ab2ba3a；a2b2ba0.A.0B.1C.2D.3答案C解析根据向量数乘运算和加减运算规律知正确；a2b2baa2b2ba0，是零向量，而不是0，所以该运算错误.所以运算正确的个数为2.2.如图，已知AM是ABC的边BC上的中线，若ABa，ACb，则AM等于A.12abB.12abC.12abD.12ab答案C解析因为M是BC的中点，所以AM12ab.3.设P是ABC所在平面内一点，BCBA2BP，则A.PAPB0B.PCPA0C.PBPC0D.PAPBPC0答案B解析因为BCBA2BP，所以点P为线段AC的中点，故选项B正确.4.化简4a3b62ba________.答案10a解析4a3b62ba4a12b12b6a10a.5.设e1与e2是两个不共线向量，AB3e12e2，CBke1e2，CD3e12ke2，若A，B，D三点共线，则k________.答案94解析因为A，B，D三点共线，故存在一个实数，使得ABBD，又AB3e12e2，CBke1e2，CD3e12ke2，所以BDCDCB3e12ke2ke1e23ke12k1e2，所以3e12e23ke12k1e2，所以33k，22k1，解得k94.1.知识清单1向量的数乘及运算律.2向量共线定理.2.方法归纳数形结合.分类讨论.3.常见误区忽视零向量这一个特殊向量.。
高中数学第六章平面向量及其应用-向量的数乘运算课件及答案
【对点练清】 1．若典例 3 中条件“―A→B ＝2e1－8e2”改为“―A→B ＝2e1＋ke2”且 A，B，D
三点共线，如何求 k 的值？
解：因为 A，B，D 三点共线，所以―A→B 与―B→D 共线．设―A→B ＝λ―B→D (λ∈R)， ∵―B→D ＝―C→D －―C→B ＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
2e2＝3e1＋6e2， ―B→D ＝―B→C ＋―C→D ＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2e1＋4e2， ―A→C ＝―A→B ＋―B→C ＝e1＋2e2－5e1＋6e2＝－4e1＋8e2. (1)―A→D ＝3(e1＋2e2)＝3―A→B ，∴―A→B 与―A→D 共线． (2)―B→C 与―B→D 不共线．(3)―C→D 与―A→C 不共线．
【对点练清】
1．设向量
a
＝3i＋2j，b
＝2i－j，求13a
－b
－a
－23b
＋(2b
－a
)．
解：原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a
＝13－1－1a ＋－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b
＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j)＝－53i－5j.
2．已知 a 与 b ，且 5x＋2y ＝a ,3x－y ＝b ，求 x，y .
知识点一 向量的数乘运算 (一)教材梳理填空 1．向量的数乘运算：
定义
一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一个_向__量___，这种运算叫做 向量的数乘，记作 λa
长度
|λa |＝|λ||a |
λ＝0
方 向
λ＞0
λ＝0
λa 的方向与 a 的方向_相__同___ λa ＝_0__
λa 的方向与 a 的方向_相__反___
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例题讲解 例3、如图,已知任意两个非零向量a,b,试作
OA a + b,OB a 2b, OC a 3b
你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?并证明你的猜想。
C
a
b
3b B
AB OB OA
a 2b a b b
AC OC OA
a 3b a b 2b
AC 2AB
人教必修二 第六章
6.2.3向量的数乘运算
旧知导入 思考1：如图，已知向量a、b，求作向量a+b.
b
a
作法1：三角形法则
●
A
O
作法2：平行四边形法则
A O●
B
OB= a + b
B
C
OC= a + b
探究新知
思考2：已知非零向量a，作出：a a a 和(a) (a) (a) .
a
O·
A· B·
则这两条直线重合。
例如：AB AC,则AB与AC共线，又AB与AC有公共点A,
从而A, B,C三点共线。这是证明三点共线的重要方法。
课堂小结 1、数乘向量的定义
2、数乘向量的运算律
3、平面向量共线基本定理 4、定理的应用
向量a a 0 与b共线的充要条件是：（1）向量共线（2）三点共线
存在唯一一个实数，使b e2 2 e1
1 4
e1
e2
方法总结 (1)直接法
用已知向量表示其他向量的两种方法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首 先利用三角形法则和平行四边形法则 建立关于所求向量和已知向量的等量 关系，然后解关于所求向量的方程．
知识探究（四）：平面向量共线基本定理
思考：通过练习，你能发现实数与向量的积与原向量 之间的位置关系吗？
，M、N分别是DC，AB的中点，已知AB e1, AD e2, 试用
e1, e2表示下列向量。1AC ，2MN
1因为 AB // CD, AB 2 CD
所以AB 2CD, DC 1 AB 2
所以AC AD DC
e2
1 2
e1
2MN MD DA AN
1 DC AD 1 AB
C·
N·
M·
Q· P·
思考3：a a a 和(a) (a) (a) 与a有什么关系？
如上图，OC OA AB BC a a a 类比数的乘法，a a a 3a OC
由图像得 3a的方向与 a的方向相同，3a 3 a
同理可得， a a a 3a PM
AC AB AD a b
b M
DB AB AD a b 由平行四边形的两条对角线互相平分，得
A
a
B MA 1 AC 1 a b 1 a 1 b
MB 21
DB
1
2 a
b
1
a
2
1
b
2
2
2
22
MC 1 AC 1 a 1 b MD 1 DB 1 a 1 b
2 1 a 2b 1 3a 2b 1 a b 11 a 1 b
3
4
2
12 3
3 x ya - x ya =2ya
提升训练
2、设e1，e2是两个不共线的向量， 已知 AB 2e1 ke2 CB e1 3e2,CD 2e1 e2,若A、B、D三点共线，求 k的值。
作业布置 课本P23 习题6.2 第8、9题
板书设计
6.2.3 向量的数乘运算
一、旧知导入 二、探索新知
1.定义
2.运算律
3.平面向量共线 基本定理 例1、2、3、4
三、课堂小结 四、作业布置
沿 a 的反方向缩短了 倍.
由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的相似问 题.
知识探究（三）：数乘运算的运算律
思考5：如果把非零向量 a 的长度伸长到原来的3.5倍， 方向不变得到向量 b ，向量 b 该如何表示？向量 a
b 之间的关系怎样？
由已知得：b 3.5a b与a的方向相同，b 3.5 a
解：1原式 34a 12a 2原式 3a 3b 2a 2b a 5b 3原式 2a 3b c 3a 2b c
a 5b 2c
例题讲解
例2：如图平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M ,且AB a
AD b,用a,b表示MA, MB, MC和MD
D
C 解：在平行四边形 ABCD中，
共线时，t 1 3
小试牛刀
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数λ与向量a的积还是向量．( √ ) (2)3a与a的方向相同，－3a与a的方向相反．( √ ) (3)若ma＝mb，则a＝b.( × ) (4)向量共线定理中，条件a≠0可以去掉．( × )
提升训练
1、化简
1 53a - 2b 42b 3a; =3a-2b
2 2
即t 1 a 3 1b
2 2
由a,b不共线，必有t 1
2
3 0
2
由a,b不共线，必有t 1 3 0 否则，不妨设t 1 0
3 1
22
2
由两个向量共线的充要条件知，a, b共线，与已知矛盾
则a
2 t
1 2
b
由t23121
0 , 0
解得t
1 3
因此，当向量b ta, 1 a 3 b 22
思考6：如果把思考4中 b 的长度再伸长到原来的2倍，
方向不变得到向量 c ，向量 c 该如何表示？向量 a
c 之间的关系怎样？
由已知得：c 2b,又因为b 3.5a，可得c 7a 根据向量数乘运算的定 义可得：
c的方向与 a的方向相同，c 7 a
知识探究（三）：数乘运算的运算律
数乘运算的运算律
所以,A、B、C三点共线
2b
A
b a
O
例题讲解 例4：已知a，b是两个不共线的向量，向量b ta, 1 a 3 b
22
共线，求实数t的值。
解：由a，b不共线，易知 1 a 3 b为非零向量 .由b ta, 22
1 a 3 b共线，可知存在实数 ，使得b ta 1 a 3 b
22
2
22
2
22
小试牛刀
1、用a表示下列各题中的 b
(1)a 3e,b 6e;
(2)a 8e,b 14e;
(3)a 2 e,b 1 e; 33
(4)a 3 e,b 2 e;
4
3
e a 8
e 3a 2
e 4a 3
b 2a
b7a 4
b1a 2
b 8a 9
小试牛刀
2、如图，四边形ABCD是一个梯形，AB // CD且 AB 2 CD
解：因为BD e1 - 4e2，而A, B, D三点共线 所以 AB与BD共线 故存在实数 ，使得 AB BD
即2e1 ke2 e1 - 4e2
解得 2，k 4,即k 8
方法总结
向量共线定理的应用
1若b a a 0 ，且b与a所在的直线无公共点，
则这两条直线平行。
2若b a a 0 ，且b与a所在的直线有公共点，
实数与向量的积与原向量共线
平面向量共线基本定理：
向量a a 0 与b共线的充要条件是：
存在唯一一个实数，使b a
备注：根据这一定理，设非零向量a位于直线l上，那么对于直
线l上的任意一个向量b，都存在唯一的一个实数，使b a.
也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上 的一个非零向量表示。
1 a a 2 a a a 3 a b a b
特别地：
a a a a b a b
思考7：向量的加法、减法、数乘运算有什么共同点？ 向量的加法、减法、数乘运算的结果仍是向量。 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
例题讲解
例1：计算：
134a 23 a b 2 a b a 3 2a 3b c 3a 2b c
由图像得 3a的方向与 a的方向相反， 3a 3 a
知识探究（一）：数乘运算的定义
规定：实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的
数乘运算.记作 a
它的长度和方向规定如下：
1a a
2当 0时，a的方向与a的方向相同；
当 0时，a的方向与 a的方向相反。 当 0时，a 0，方向任意。
知识探究（二）：数乘运算的几何意义
思考4：你能说明 a 的几何意义吗？
数乘向量的几何意义就是把向量 a 沿 a 的方向或反方
向放大或缩短.
若 a 0 ,当 1时，沿a 的方向放大了 倍.当〈0 〈1时，
沿 a 的方向缩短了 倍. 当 1时 ,沿 a 的反方向放大了 倍.当 〈1 〈0时，