微分方程应讲义用举例
高等数学常微分方程讲义,试题,答案
高等数学常微分方程讲义,试题,答案常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲）内容要点一、基本概念1、常微分方程和阶2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、dyp(x)Q(y)dx(Q(y) 0) 2、齐次方程：dy dxy f x三、一阶线性方程及其推广1、dydyP(x)y Q(x) 2、P(x)y Q(x)y dxdx( 0,1)四、全微分方程及其推广（数学一）1、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足Q P2、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三）（乙）典型例题例1、求y x22Q p (RQ) (RP)但存在R(x,y)，使x y x ydydyxy的通解。
dxdx解：y (x xy)22dy0dxydyy2 x d__y x2 y1 x2yduu2令u,则u x udx x(1 u)du 0xdxu 11 udxdu u x C1 ln|xu| u C1例2C1 uce, y cedyy的通解d__ y4uyx求微分方程d__ y4dx1解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程即x y3是一阶dyydyy11dy 14 dy 133yydy C y Cy 线性方程P(y) ,Q(y) y x e yey 3例3设y e是xy p(x)y x的一个解，求此微分方程满足yx ln2 0的特解xx解：将y e代入微分方程求出P(x) xe先求出对应齐次方程x,方程化为dy(e x 1)y 1 dxx xdy(e x 1)y 0的通解y cex e根据解的结构立刻可得非齐次方程通解y ex cex e dx再由yx ln2 0得2 2ec 0,c e例4设1212故所求解y e exx e x12满足以下件F(x) f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在( , )内f (x) g(x),g (x) f(x),且f(0) 0,f(x) g(x) 2ex（1）求F(x)所满足的一阶微分方程（2）求出F(x)的表达式解：（1）由F (x) f (x)g(x) f(x)g (x) g2(x) f2(x) [f(x) g(x)]2 2f(x)g(x) (2ex)2 2F(x) 可知F(x)所满足的一阶微分方程为F (x) 2F(x) 4e2x （2）F(x) e2dx4e2xe 2dxdx c e 2x 4e4xdx c e2x ce 2x将F(0) f(0)g(0) 0代入，可知c 1 于是例52F(x) e2x e 2xdy2(1 y)的通解求微分方程(y x) xdxsec2udusec3u 解：令y tanu,x tanv, 原方程化为(tanu tanv)secv2secvdv化简为sin(u v)dudzdudz 1 再令z u v,则1,方程化为sinz 1 sinz dvdvdvdv sinz(sinz 1) 1dz dv c, 1 sinz 1 sinzdz v c,1 sinzv c21 sinz1 sinz z v c 2coszz tanz secz v c z最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。
微分方程ppt
1
dx 1 x
,
两边积分
dy
dx
2e y 1 1 x
,
e ydy dx
2e y
, 1 x
d(2 e y ) 2e y
d(1 x) , 1 x
ln 2 e y
ln1
x
C1
,
ln (2 e y )(1 x) C2, 得通解：(2 e y )(1 x) C.
故 x C1 cos kt C2 sinkt 是原方程的解.
x A, dx 0,
t 0
dt t0
C1 A,
而
dx dt
kC1
s in kt
kC2
cos kt,
C2 0.
所求特解为 x Acoskt.
注意： 1. 有些方程可能无解.
( y)2 y2 1 0 无实函数解.
u(u 1)(u 2) x 2 u 2 u u 2 u 1
x
ln u 1 3 ln(u 2) u 2 1 ln u ln x ln C ,
2
2
u1 3 Cx.
u(u 2)2
微分方程的解为 ( y x)2 Cy( y 2 x)3 .
(t 2 x)dt xdx 0,
2z x y.
xy
如果在微分方程中,自变量的个数只有一（个即未知函
数是一元函数）, 则称这种微分方常程微分为方程.
一般形式为F( x, y, y, , y(n) ) 0
自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为
偏微分方程 .
《微分方程应用》PPT课件
由于曲线过点( 2 , 3 ) ，故得初值条件:
y x2 3 (2)
3
２）求通解，将方程（１）分离变量，得：
ydy 2xdx 0
将上式两端积分，得通解： ３）求特解
y2 x2 c 2
将初值条件（２）代入通解，得： c 17
则所求曲线方程为： y2 x2 17
2
4
例2设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，
根据牛顿第二运动定律 F = ma (其中 a
为加速度)， 得函数v = v(t)的微分方程为
m dv mg kv dt
(3)
由题意，初始条件为 v t0 0 .
图2
5
因为方程(3)是可分离变量的． 分离变量后得
dv dt mg kv m
两边积分
dv mg
kv
dt m1t得k ln(mg kv) m C1
对(1)式分离变量，得
d kdt
20
两边积分
d
20
k
dt
得
ln( 20) kt lnC
20 ektlnC elnC ekt Cekt 即 Cekt 20
把初始条件 t0 100代入上式，求得 C = 80 ， 于是方程
(1)的特解为
80ek t 20
其中比例系数 k 可用问题所给的另一条件 t20 60 来确定，
s
t0
1, ds dt
t0 0
(2)
方程（１）是二阶常系数齐次线性方程，其特征方 程为
r2 g 0 6
解得特征根r1,2
g 6
故得通解为
gt
gt
s c1e 6 c2e 6 (3)
19
将（３）式对t求导，得：
常微分方程讲义精简
例2 求解方程 .解令，有原方程的参数形式为由基本关系式有积分得到从而原方程的参数形式通解为也可以消去参数t ，得到原方程的通积分为通解为例4 求解方程解令原方程的参数形式为(1.72)由基本关系式有或上式又可化为由，代入(1.72)的第三式，得原程的一个特解 .再由，解得，代入(1.72)的第三式，得原方程的通解例5求解方程(1.73)这里，假定是二次可微函数.解 (1.73)的参数形式为(1.74）由基本关系式有整理得由，得，代入(1.74)的第三式，得原方程通解(1.75)由于，由解得隐函数 ,代入(1.74)第三式，得到原方程的一个特解(1.76)（第7讲几种可降阶的高阶方程例1求解方程解令则有通解为从而积分四次，得到原方程的通解第二种可降阶的高阶方程例2求解方程．解令,则代入原方程得或积分后得"其中a"为任意常数. 解出p"得或积分后得其中 b为任意常数. 于是有或其中为任意常数.1.7.3恰当导数方程假如方程（ 1.80）的左端恰为某一函数对 x的导数，即(1.80)可化为则(1.80)称为恰当导数方程.这类方程的解法与全微分方程的解法相类似，显然可降低一阶，成为之后再设法求解这个方程.例3求解方程.解易知可将方程写成故有即.积分后即得通解例4 求解方程.解先将两端同乘不为0的因子，则有故，从而通解为参数法第10讲解的延展2.3.1 延展解、不可延展解的定义定义2.1 设是初值问题（2，2）在区间上的一个解，如果（2，2）还有一个在区间上的解，且满足(1)(2)当时，则称解是可延展的，并称是在I２上的一个延展解.否则，如果不存在满足上述条件的解，则称是初值问题(2.2)的一个不可延展解，(亦称饱和解).这里区间I１和Ｉ２可以是开的也可以是闭的..3.2 不可延展解的存在性定义2.2设定义在开区域上，如果对于D上任一点，都存在以为中心的，完全属于D的闭矩形域R，使得在R上的关于y满足李普希兹条件，对于不同的点，闭矩形域R的大小以及常数N可以不同，则称在D上关于y满足局部李普希兹条件“柯西收敛准则收敛对，N，使当1．数列，就有，存在对，N，使当2．，时，总有．存在对，A> 0，使当3．，总有．”例1试讨论方程通过点(1,1)的解和通过点(3,-1)的解的存在区间.解此时区域D是整个平面.方程右端函数满足延展定理的条件.容易算出，方程的通解是故通过(1,1)的积分曲线为它向左可无限延展，而当x →2-0时，y →+∞, 所以，其存在区间为(-∞,2)，参看图2-10.图 2-10通过(3,-1)的积分曲线为它向左不能无限延展，因为当x →2+0时，y →-∞,所以其存在区间为(2,+∞).顺便指出：这个方程只有解y = 0可以向左右两上方向无限延展.这个例子说明，尽管在整个平面满足延展定理条件，解上的点能任意接近区域D的边界，但方程的解的定义区间却不能延展到整个数轴上去.例2讨论方程解的存在区间.解方程右端函数在无界区域内连续，且对y满足李普希兹条件，其通解为过D１内任一点的初值解.图 2-11在(0,+∞)上有定义，且当x →＋0时，该积分曲线上的点无限接近D１的边界线x = 0，但不趋向其上任一点(图2-11).在区域内的讨论是类似的.延展定理是常微分方程中一个重要定理.它能帮助我们确定解的最大存在区间.从推论和上面的例子可以看出，方程的解的最大存在区间是因解而异的.例3考虑方程及在平面上连续，试证明：对于任意及假设,方程满足的解都在(-∞,+∞)上存在.图 2-12证明根据题设，可以证明方程右端函数在整个平面上满足延展定理及存在与唯一性定理的条件.易于看到，为方程在(-∞,+∞)上的解.由延展定理可知，满足任意，的解上的点应当无限远离原点，但是，由解的唯一性，又不能穿过直线，故只能向两侧延展，而无限远离原点，从而这解应在(-∞,+∞)上存在(图2-12).2.4.1 奇解在本章 2.2节的例2中，我们已经看到方程的通解是，还有一解，除解外，其余解都满足唯一性，只有解所对应的积分曲线上每一点，唯一性都被破坏. 这样的解在许多方程中存在.例1求方程的所有解.解该方程的通解是此外还有两个特解和.由于该方程右端函数的根号前只取+号，故积分曲线如图2-13所示，图 2-13显然解和所对应的积分曲线上每一点，解的唯一性均被破坏。
常微分方程应用举例说课讲解
解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到
y
任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力 H
T
M
M 点受切向张力T
H
弧段重力大小
( : 密度, s :弧长)
按静力平衡条件, 有
Ags
ox
两式相除得
(其中 aHg)
故有
y
1 a
x
0
1y2 dx
y1 1y2 a
设OA a,则得定解问题: y1a 1y2
以下求解见268页
可分离变量
例2 试设计一反光镜, 使它能将点光源发 出的光反射成为平行光
[解] 设 反 光 镜 镜 面y由 y曲 (x)绕 线x轴
旋转而成的
点光原位于坐标原点O,由点O发出的光线 经反射都成为平行于x轴的平行光
y
T
M(x, •
y)
Ao
x
由光的反射定律
于是有 AO OM x2y2
解 受力分析 1.恢复 f 力 c;x
2.阻力 Rdx;
dt
o x
x
Fm, amd2xcxdx,
d2t
dt
d2x2ndxk2x0 物体自由振动的微分方程 d2t dt
若受到铅直F干 H 扰 sin力 p,t
d2x2nd xk2xhsip nt强迫振动的方程 d2t dt
高阶线性方程
tg
y
y
y
AO x OM x x x2 y2
根据导数的几何意义
y tg
得到微分方程
y x
y x2 y2
一阶齐次
变形为
dx x x2y2x(x)21 (1)
dy y
yy
《微分方程 》课件
需要选择合适的代换变量。
详细描述
在使用变量代换法时，需要选择合适的代换变量，使得微 分方程能够被转化为更简单的形式。这个过程需要一定的 技巧和经验。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分方程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方程转化为积 分方程，从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定 形式的一阶非线性微分方程。
总结词
通过引入新的变量代换，简化微分方程的形式。
详细描述
变量代换法是通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更简单的形式，从而简化求解过程。这种方法适用于具有 特定形式的高阶微分方程。
总结词
适用于高阶微分方程。
详细描述
变量代换法主要适用于高阶微分方程，通过引入新的变量 代换，可以将高阶微分方程转化为更简单的形式，从而简 化求解过程。
解法
通常需要使用迭代法、级数法或摄动法等非线性 求解方法。
3
特例
当 p(x,y,y') = 0, q(x,y,y') = a（常数）时，方程 简化为 y'' + ay = f(x)，其解法与二阶线性微分 方程类似。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y'' + ay' + by = f(x) 的微分方程称为二阶常系数线性 微分方程。
《微分方程》PPT课件
目 录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的方程，通过微分来描述函 数的变化率。
微分方程讲义与例解
微分方程讲义与例解一．常微分方程的基本概念一．常微分方程的基本概念1．1常微分方程常微分方程::含有未知函数及未知函数的导数和自变量的等式含有未知函数及未知函数的导数和自变量的等式. . 1．2方程1阶:方程中所含未知函数导数的最高阶数方程中所含未知函数导数的最高阶数. . 1．3方程的解及初始条件方程的解及初始条件::设一般的n 阶方程为,,;(y y x F ¢…,0))(=n y ,)(x y j =是定义在某区间I 上的函数上的函数,,切满足),(),(;(x x x F j j ¢¢¢…,0))()(=x nj ,I x Î,则称)(x j 为方程的解方程的解..条件条件: :,)(,)(0000y x y y x y ¢=¢=…,)1(0)1()(--=n n y x y 称为方程,,;(y y x F ¢…,0))(=n y 的初始条件条件..满足初始条件的解称为特解满足初始条件的解称为特解..含有n 个任意常数的解称为通解个任意常数的解称为通解. .二．一阶方程二．一阶方程一般的一阶微分方程为),(y x f dxdy =或者0),(),(=+dy y x N dx y x M . 2．1可分离变量的方程可分离变量的方程::)()(y g x f dxdy =. 求解的步骤是求解的步骤是(1)分离变量得dx x f y g dy )()(=, (2)两边同时积分c dx x f y g dy +=òò)()(.如果令)(x G 为)(1x g 的某一原函数,)(x F 为)(x f 的某一原函数,则c x F x G +=)()(为方程的隐式通解.2．2齐次方程齐次方程::)(x y dxdyj =. 求解的步骤是求解的步骤是 (1) 作变换:令,u xy =则xu y =,两端同时求导得dxdu x u dxdy +=代入原方程得代入原方程得)(u dxdu xu j =+,于是xuu dx du -=)(j 为一分离变量的方程为一分离变量的方程,,由2．1可解可解,,设其通解为设其通解为c x u +=F ln )(.(2)(2)代回原变量得c x xy+=F ln )(. 2．3一阶线性方程一阶线性方程: :)()(x Q y x P y =+¢ (1)当)(x Q ≡0时,称方程称方程0)(=+¢y x P y (2)为一阶齐线性方程否则称为一阶非齐线性方程方程方程(2)(2)(2)是可分离变量方程是可分离变量方程是可分离变量方程,,其通解为其通解为ò=-)(xdx P ce y .而非齐线性方程而非齐线性方程(1)(1)(1)的通解为的通解为的通解为=y ))(()()(ò+òò-dxx P dxx P ex Q c e .2．4佰努利方程佰努利方程::ny x Q y x P y )()(=+¢,)1,0(¹n 解:以ny 除方程两端除方程两端,,得 ),()(1x Q y x P dx dy yn n=+-- )()(1111x Q y x P dxdy n n n =+---,令ny z -=1,有)()(x Q z x P dxdz =+为一阶线性方程为一阶线性方程,,求解后再把ny z -=1回代即得原方城的通解的通解. .2．5全微分方程全微分方程::对称式的微分方程对称式的微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M ,为全微分方程的充分必要条件是为全微分方程的充分必要条件是xN yM ¶¶=¶¶.其通解为其通解为c dy y x N dx y x M y x u y x y x =+=ò),(),(00),(),(),(.例1 设连续函数)(x f 满足关系式1)3()(30+=òdt tf x f x,则_________)(=x f . 解 )(3)(x f x f =¢,且1)0(=f 于是x ce x f 3)(=,又1)0(=f ,知1=c 从而从而x e x f 3)(=.例2 已知函数)(x y y =在任意点x 处的增量为处的增量为)(12x o x xy y D +D ×+=D ,且p =)0(y ,则_______)1(=y .解 21x y y +=¢或dxx y dy 21+=,这是可分离变量的方程这是可分离变量的方程,,解之得解之得 ò=+21x dx cey =xcearctan ,由p =)0(y ,知p =c ,于是xey arctanp =,4)1(pp e y =.例3 求方程22y xy y x =+¢的通解的通解. .解 当0¹x 有x yx yy -=¢2)(,令x y u =代入原方程得代入原方程得u u u x 22-=¢,uu du 22-x dx =,22cx u u =-,cx y x y =-2.例4 求方程0)1()1(=-++dy yxe dx e yx y x的通解的通解. . 解 令u y x =,yu x =,dy duy u dy dx +=,代入原方程得代入原方程得1++-=u u e u e dy duy ,01=+++y dy du ue e u u ,c u e y u =+)](ln[,因此c u e u e y =+)(,代回原变量有c yxe y yx=+)(. 例5 求微分方程x x y y sin sin =+¢的通解的通解. . 解 dx ex c ey xdxxdxò×+ò=ò-sin sinsin (xcecos1+=.例6 设函数)(x f 具有一阶连续导数具有一阶连续导数,,且0)0(=f ,若曲线积分若曲线积分ydy x f ydx e x f x Lcos )(sin ])([--ò与路径无关与路径无关,,则)(x f 的表达式为的表达式为( ). ( ).(A) )(21x x e e --.(B))(21x x e e --.(C)1)(21-+-xxe e .(D))(211x x e e -+-.解 由曲线积分与路径无关由曲线积分与路径无关,,因此有因此有y y e x f x y x f x ¶-¶=¶-¶sin ))(()cos )((,即x e x f x f =+¢)()(.解之得xxce e x f -+=21)(,由于0)0(=f ,因此1=c ,所以)(21)(x x e e x f --=,选(B). 例7 若xe y 2=是0)(=+¢y x P y 的一个特解的一个特解,,则该方程满足初始条件的特解为则该方程满足初始条件的特解为( ). ( ). (A)22+=xey .(B)12+=xey .(C)xe y 2=.(D)xe y 22=.解 dxx P ce y ò=-)(,由于有一特解xey 2=,因此知1=c ,且xxdx P e e 2)(=ò-,所以有x dx x P 2)(-=ò,2)(-=x P ,原方程为02=-¢y y ,其通解为x ce y 2=,由2)0(=y 得2=c ,因此x e y 22=,选(D).例8 求微分方程0)(=-++dy e x xy ydx y的通解的通解. .解 ye x y y dy dx y++-=1,因此因此 )()(11dy ye ec ey x ydy yy dy yy ò×ò+ò=++-)21(2yy e c y e +=-. 例9 求x y x x dx dy y =+-1412的通解的通解. . 解 原方程为x y x x dx y d =+-1422,令u y =,得 2122x u x xdx du =+-.解之解之 )]1ln()[1(4122+++=x c x u ,于是于是))1ln(()1(161222+++=x c x y .例10 求解y yx y tan cos -=¢.解 将原方程两端同乘y cos 变形为变形为y x dx dyy sin cos -=,于是有于是有y x dxyd sin sin -=,令u y =sin , 有x u dxdu+-=为一阶线性方程为一阶线性方程,,可解之可解之. . 例11已知函数)(x f 在],0[+¥上可导上可导,,且满足等式0)(11)()(0=+-+¢òdt t f x x f x f x ,求)(x f ¢的表达式的表达式. .解 由)(x f 的可导的可导,,由上式知)(x f ¢可导可导,,故)(x f 二阶可导二阶可导,,对上式两端同时对x 求导得0)()111()(=¢+++¢¢x f x x f , 解之得1)(+=¢-x ce x f x .由于1)0()0(-=-=¢f f ,1-=c ,故1)(+-=¢-x e x f x.例12 0)()1(32=++++y y x dx y 的通解的通解. .解 由y y xy y x ¶+¶=¶++¶)1()(32,因此因此,,方程是全微分方程方程是全微分方程,,存在),(y x u 使 dy y y x dx y y x du )()1(),(32++++=,,1y x u ++¶¶32y y x yu ++=¶¶,ò++=)()1(y Q dx y u )()1(y Q x y ++=, 又32)(y y x y Q x yu ++=¢+=¶¶,c y y dy y dy y y Q ++=+=òò43)(4332故c y y xy x =+++4343为其通解为其通解. .三、可降阶的高阶方程三、可降阶的高阶方程 3．1 )()(x f y n = 解1)1()(c dx x f yn +=ò-,212)2()(c x c dx x f yn ++=òò-,…,ò=y …+-+-+--ò2211)!2()!1()(nnnxn c xn cdx x f …n c +.3．2 ),(y x f y ¢=¢¢,方程中不显含变量y .解 令,p y =¢则p y ¢=¢¢,于是将原方程降为一阶方程为),(p x f dxdp =,此方程通解为此方程通解为 ),(1c x p p =,即),(1c x p dxdy =,因此21),(c dx c x p y +=ò. 3．3 ),(y y f y ¢=¢¢,方程中不显含自变量x .解 令,p y =¢把p 看作y 的函数的函数,,而y 又是x 的函数的函数,,从而y 是x 的复合函数的复合函数,,于是有于是有dydpp dx dy dy dpy ==¢¢.因此得到一阶方程为),(p y f dy dp p =,解此一阶方程得通解为),(1c y p p =,则),(1c y p dxdy =,这是可分离变量方程这是可分离变量方程,,因此可求解因此可求解. . 例1 求x x y y x ln =¢+¢¢的通解的通解. .解 方程中不含变量y ,因此令P y P y ¢=¢¢=¢,,于是于是x P P x =+¢,)41ln 21(1221x xx c x P -+=,即 )41ln 21(1221x x x c x y -+=¢,从而有从而有212ln )1(ln 41c x c x x y ++-=.例2 求初值问题的解îíì=¢==¢+¢¢.0)0(,1)0(,0)(22y y y x y解 令y P y P ¢¢=¢¢=,.02=+¢xP P ,cx P +=21,或P ≡0,由,0)0()0(=¢=y P知P ≡0,从而0==¢P y ,c y =,又由1)0(=y 知1=y .例3 求y y y y y ln )(2¢-¢¢的通解的通解. .解 令dydPPy P y =¢¢=¢,,于是于是y y P dy dPyP ln 22=-,即y P y y P dy dP ln =-为佰奴里方程为佰奴里方程,,y y y P dydP ln 2122=-,令uP =2,yy yu dy du ln 22=-,)ln 21(212y c y u +=,yc y P 21ln +=,y c y y 21ln +=¢,dx yc y dy =+21ln ,221)ln ln(ln c x y c y +=++四、高阶线性方程四、高阶线性方程++-)1(1)()(n n y x p y …)()(x f y x p n =+, (3) 当)(x f ≡0时,得到得到++-)1(1)()(n n y x p y 0)(=+y x p n , (4)方程方程(3)(3)(3)称为称为n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程,,方程方程(4)(4)(4)为方程为方程为方程(3)(3)(3)相应的相应的n 阶齐次线性方程阶齐次线性方程. .定理1．(解的叠加性解的叠加性))n 阶齐线性方程阶齐线性方程(4)(4)(4)的任意的任意k 个解),(),(21x y x y …,)(x y k的线性组合组合::++=)()(2211x y c x y c y …)(x y c k k +仍是仍是(4)(4)(4)的解的解的解,,其中,,21c c …,k c 为任意常数为任意常数. . 定理2．n 阶齐线性方程阶齐线性方程(4)(4)(4)存在存在n 个线性无关的解个线性无关的解::,,21y y …n y ,.于是它的通解为于是它的通解为+=11y c y …n n y c +.定理3．(3)(3)的一个解加上的一个解加上的一个解加上(4)(4)(4)的一个解是的一个解是的一个解是(3)(3)(3)的一个解的一个解的一个解;(3);(3);(3)的任意两个解之差是的任意两个解之差是的任意两个解之差是(4)(4)(4)的一的一个解个解. .定理4．(3)(3)的通解等于的通解等于的通解等于(4)(4)(4)的通解加上的通解加上的通解加上(3)(3)(3)的一个特解的一个特解的一个特解,,即+=11y c y …*y y c n n ++.五、常系数线性方程五、常系数线性方程((以二阶为例以二阶为例) ) 1．二阶常系数齐线性方程．二阶常系数齐线性方程021=+¢+¢¢y a y a y ,其中21,a a 为实常数为实常数. .解 其特征方程212=++a a l l ,因此因此,,特征根有三种情况特征根有三种情况: : (1)21l l ¹,两个不同的实根两个不同的实根,,则其通解为xxe c e c y 2121l l +=.(2)21l l =,两个相同的实根两个相同的实根((二重根二重根),),),则其通解为则其通解为xe x c c y1)(21l +=. (3)21l l =b a i +=,一对共轭复根一对共轭复根,,则其通解为xe x c x c y ab b )sin cos (21+=. 2．二阶常系数非齐线性方程．二阶常系数非齐线性方程)(21x f y a y a y =+¢+¢¢.(Ⅰ)x me x P xf a )()(=,其中)(x P m 是x 的m 次多项式次多项式. . 解 由定理由定理(4)(4)(4)知仅对其求一特解即可知仅对其求一特解即可知仅对其求一特解即可,,用代定系数法求一特解用代定系数法求一特解..设其特解为设其特解为: :x m k e x Q x y a )(=,其中k 取决于a 为其特征根的重次为其特征根的重次::a 不是特征根不是特征根,,0=k ;a 是单根是单根,,1=k ;a 是二重根,2=k .++=-110)(mmm mm x a x a x Q …nn a x a++-1.代入确定)(x Q m.(Ⅱ))sin )(cos )(()(x x P x x P e x f n m xb b a +=,其中)(),(x P x P n m 分别是x 的n m ,次多项式多项式. .解 设其特解为)sin )(cos )(()2()1(x x Q x x Q e x y l l x k b b a +=,其中k 取决于b a i +为特征根的重次特征根的重次::b a i +不是特征根时不是特征根时,,0=k ;b a i +为单根时为单根时,,1=k .)(),()2()1(x Q x Q ll 分别是x 两个不同的l },max{n m =次多项式次多项式. .例1 微分方程xxe y y y y -=+¢+¢¢+¢¢¢特解形式特解形式. .解 由于特征方程0)1)(1(1223=++=+++l l l l l ,1-是单特征根是单特征根,,因此因此,,方程的特解形式为xeb ax x y -*+=)(.例2 已知xxe xe y 21+=,xxe xe y -+=2,xxxe e xe y --+=23,是某二阶线性非齐次方程的三个解方程的三个解,,则此微分方程是则此微分方程是_________. _________.解 x e y y -=-31,x e y y y 23212=--,因此因此,,2,121=-=l l ,于是特征方程为于是特征方程为 (1+l )02)2(2=--=-l l l ,对应的齐次方程是02=-¢-¢¢y y .设非齐项为)(x f ,令)(2x f y y y =-¢-¢¢,将xxe xe y 21+=代入方程确定xe x xf )21()(-=,从而方程为从而方程为x e x y y y )21(2-=-¢-¢¢.例3 设21,y y 是二阶线性齐次微分方程0)()(=+¢+¢¢y x q y x p y 的两个特解的两个特解,,21,c c 是任意常数任意常数,,则(C ).(A ) 2211y c y c +一定是微分方城通解一定是微分方城通解. . (B ) 2211y c y c +不可能是通解不可能是通解. . (C ) 2211y c y c +是方程的解是方程的解. . (D ) 2211y c y c +不是方程的解不是方程的解. .例4 设)(),(),(321x y x y x y 是二阶非齐线性方程)()()(x f y x q y x p y =+¢+¢¢的三个线性无关的解线性无关的解,,21,c c 是任意常数是任意常数,,则此方程通解是则此方程通解是( ). ( ).(A )32211y y c y c ++.)(B 3212211)1(y c c y c y c --++. )(C 3212211)(y c c y c y c +-+.)(D 3212211)1(y c c y c y c ---+.例5 具有特解xe y -=1,,cos 22x y =xysin 33=的三阶线性常系数齐次微分方程是( ).)(A 0=+¢-¢¢-¢¢¢y y y y . )(B 0=-¢=¢¢+¢¢¢y y y y . )(C 0=+¢+¢¢+¢¢¢y y y y . )(D 06116=-¢+¢¢-¢¢¢y y y y .解i i -==-=321,,1l l l ,有0)1)(1(2=++l l ,即0123=+++l l l ,于是方程为于是方程为 0=+¢+¢¢+¢¢¢y y y y .例6设)(x y y =是xe y y y 32=+¢+¢¢满足0)0()0(==¢y y 的解,则极限)()1l n (lim20x y x x +®( ). )(A 不存在不存在..)(B 等于1.)(C 等于2.)(D 等于3.解 由已知得0)(lim )(lim 0==¢®®x y x y x x ,又)()(23x y x y e y x-¢-=¢¢,1)(lim 0=¢¢®x y x ,2)(2lim )(2lim )(12lim )()1ln(lim 002020=¢¢=¢=¢+=+®®®®x y x y x x y x xx y x x x x x . 例7 求12322++=¢+¢¢x x y y 的通解的通解. .解 特征方程为022=+l l ,2,021-==l l .齐方程通解为=y xe c c 221-+.所以非齐方程的特解有)(2c bx ax x y ++=*代入原方程得代入原方程得43,41,21=-==c b a ,)32(42+-=*x x x y,因此通解为因此通解为 )32(42221+-++=-x x xe c c y x .例8 求方程xex y y y -+=+¢+¢¢)13(2的通解的通解. .解 1,0122-==++l l l 为二重根为二重根,,因此齐方程的通解为因此齐方程的通解为则==,2122+=)(22-=+就变成常系数方程25+-2--)2ln +。
常微分方程讲义全文
6、恰当方程
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
判定：全微分 ⇔ ∂M ≡ ∂N ∂y ∂x
x
y
∫ ∫ 解法： M (x, y)dx + x0
y0 N (x0 , y)dy = C
初值问题: C = 0
例 2xydx + (x2 − y2 )dy = 0
解： ∂M ∂y
≡ ∂N ∂x
uz′ = −(z −1)(z − 2) /(z + 1)
z = 1, z = 2 ⇔ v = u, v = 2u ⇔ y = x + 1, y = 2x
⎛ ⎝⎜
z
3 −
2
−
z
2 −
1
⎞ ⎠⎟
dz
= − du u
⇒
(z − 2)3 (z −1)2
= C /u
( y − 2x)3 = C( y − x −1)2
一阶 线性 二阶 线性 一阶 非线性
齐方程、非齐次方程
在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。 自由项为零的方程，称为齐方程。 自由项不为零的方程，称为非齐方程。
d x = x2 dt
一阶齐线性方程
d2 y d x2
+
b
d d
y x
+
cy
=
sin
x
二阶非齐线性方程
⎜⎛ d x ⎞⎟2 − x2 = t3 ⎝ dt ⎠
一阶非齐非线性方程
微分方程的一般表示形式
n 阶微分方程的一般形式 为 F (x, y′, y′′,L, y(n) ) = 0 。
F
(x,
y′,
y′′)
第八章微分方程本章主要通过几个具体的例子，说明微分方程的应用问题
221第八章 微 分 方 程本章主要通过几个具体的例子，说明微分方程的应用问题，并介绍一些基本概念及几种常用的微分方程的解法．第一节 微分方程的基本概念例1 自由落体运动 自由落体运动是指物体在仅受到地球引力的作用下，初速度为零的运动．根据牛顿第二定律：ma F =，它的运动路程)(t s s =大小的变化规律可表示为：m g dtsd m =22． 且还满足0)0(,0)0(='=s s ，即⎪⎩⎪⎨⎧='==(2) 0)0(,0)0((1) 22s s g dt sd对（1）两边积分，得 1C gt dtds+=， （３） 对（３）两边积分，得21221C t C gt s ++=， （４） 这里21,C C 都是任意常数．将（2）代入（４），得0,012==C C ． 故自由落体运动路程的规律为221gt s =． （５） 这是微分方程应用的最早一个例子．例２ Malthus 人口模型 英国人口学家马尔萨斯（Malthus T R 1766-1834）根据百余年的人口统计资料，于18世纪末提出著名的人口模型．该模型假设人口的净相对增长率（出生率减去死亡率）是常数，即单位时间内人口的增长量与当时的人口数成正比．设时刻t 的人口为)(t x ，净相对增长率为r ，我们将)(t x 当作连续变量考虑，开始时（0=t ）的人口数量为0x ，即0)0(x x =．按照Malthus 理论，于是)(t x 满足如下方程为：⎪⎩⎪⎨⎧==(7).)0((6), 0x x rx dt dx其中r 为常数．（6）称为Malthus 人口模型． 对（6）整理，得r d t xdx=． （8） 对（8）两边积分，得rt Ce t x =)(， （9）222将（7）代入（9），得0x C =，故人口增长规律为rt e x t x 0)(=． （10）如果0>r ，（10）表明人口将以指数规律无限增长．特别地，当∞→t 时，+∞→)(t x ，这似乎不可能． 这个模型可以与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据很好地吻合，但是当后来人们用它与19世纪的人口资料比较时，误差较大．例３ Logistic 模型 荷兰生物数学家V erhulst 引入常数m x 表示自然资源和环境条件所能容许的最大人口，并假定净相对增长率等于⎪⎪⎭⎫⎝⎛-m x t x r )(1，即净相对增长率随着)(t x 增加而减少．因为随着人口的增加，自然资源，环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著．如果人口较少时（相对于资源而言）人口增长率还可以看作常数．当人口增加到一定数量后，增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少．这正是对Malthus 人口模型中人口的固定净相对增长率的修正．这样，Malthus 人口模型（6）变为：⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=(12). )0((11), )()(10x x t x x t x r dt dx m该模型的解为()rtm me x x x t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=110， （13）易看出，当+∞→t 时，m x t x →)(．这个模型称为Logistic 模型，其结果经计算与实际情况比较吻合．此模型在很多领域有着较广泛的应用．例４ 广告模型 在当今这个信息社会中，广告在商品推销中起着极其重要的作用．当生产者生产出一批产品后，便会考虑到广告的大众性和快捷性，利用广告促销作用更快更多地卖出产品．那么，广告与促销到底有何关系？广告在不同时期的效果如何？下面建立独家销售的广告模型来研究．该模型假设：商品的销售速度会因做广告而增加，但当商品在市场趋于饱和时，销售速度将趋于极限值，这时，销售速度将开始下降；自然衰减是销售速度的一种性质，商品销售速度的变化率随商品的销售率的增加而减少．设)(t s 为t 时刻商品的销售速度，M 表示销售速度的上限；0>λ为衰减因子常数，即广告作用随时间增加，而自然衰减的速度；)(t A 为t 时刻的广告水平（以费用表示）．建立方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅=(15) )0((14) )()(1)(0s s t s M t s t A p dtds λ 其中p 为响应函数，即)(t A 对)(t s 的影响力，p 为常数．223由假设知，当销售进行到某个时刻时，无论怎样作广告，都无法阻止销售速度的下降，故选择如下广告策略：⎩⎨⎧>≤≤=ττt t A t A 00)(， 其中A 为常数．在[]τ,0时间内，设用于广告的花费为a ，则τaA =，代入（14），有ττλa p s a M p dt ds ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++， 令τλa M p b ⋅+=； τpac =． 则有c bs dtds=+． （16） 解（16），得bcke t s bt+=-)( ， （17） 其中k 为任意常数．将（15）代入（17），得()bt bt e s e bct s --+-=01)(， （18） 当τ>t 时，由)(t A 的表达式，则（14）为s dtdsλ-=． （19） 其解为()t e t s t s -=τλ)()(． （20） 这样，联合（18）与（20），得到()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+-=---τττττλt e s t e s e bct s btbt )(01)(0． （21）其图形如图8-1．224图8-1上述四个例子中的关系式(1)、（6）、（11）和（14）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程．一般地，凡是含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程，都叫做微分方程．如果微分方程中，自变量的个数只有一个，则称之为常微分方程；自变量的个数为两个或两个以上，则称之为偏微分方程．本章只讨论常微分方程.微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶．例如方程（6）、（11）和（14）是一阶微分方程；方程（1）是二阶微分方程． 一般地，n 阶微分方程的形式是,,(y x F )(,,n y y ')=0 (22)其中2+n F 是个变量的函数．这里必须指出，在方程（22）中，)(n y 必须出现的，而)1(,,,,-'n y y y x 等变量则可以不出现．例如n 阶微分方程01)(=+n y中，除)(n y 外，其他变量都没有出现．如果能从方程（22）中解出最高阶导数，得微分方程),,,,()1()(-'=n n y y y x f y (23)以后我们讨论的微分方程都是这种已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程，且（23）式右端的函数在所讨论的范围内连续．由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数（解微分方程），就是说，找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式．这个函数就叫做该微分方程的解．确切地说，设函数)(x y ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，0)](,),(),(,[)(≡'x x x x F n ϕϕϕ那么函数)(x y ϕ=就叫做微分方程（22）在区间I 的解．由前面的例子，可知函数（4）和（5）都是微分方程（1）的解；函数（9）和（10）都是微分方程（6）的解；函数（13）是微分方程（11）的解；函数（21）是微分方程（14）的解．如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．例如，函数（9）是微分方程（6）的解，它含有一个任意常数，而方程（6）是一阶的，所以函数（9）是微分方程（6）的通解；函数(4)是方程（1）的解，它含有两个任意常数，而方程（1）是二阶的，所以函数（４）是方程（1）的通解．在利用微分方程求解实际问题时，所得到的含有任意常数的通解因其具有不确定性而不能满足需要，通常还要根据问题的实际背景，加上某些特定的条件，确定通解中的任意常数．用来确定通解中任意常数值的条件叫做初始条件．例1中的条件（2），例2中的条件（7）等,便是初始条件．一般地，设微分方程中的未知函数为)(x y y =，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的初始条件是,00y y x x ==时，或写成 00y yx x ==．225其中0x 、0y 都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的初始条件是：,00y y x x ==时，0y y '='， 或写成 00y yx x ==,0y y x x '='=． 其中00,y x 和0y '都是给定的值． 由初始条件确定了通解中的任意常数的解，就叫做微分方程的特解．例如（5）式是方程（1）满足条件（2）的特解；（10）式是方程（6）满足条件（7）的特解． 微分方程的解所对应的几何图形叫做微分方程的积分曲线．通解的几何图形是一族积分曲线，特解所对应的几何图形是一族积分曲线中的一条．第二节 变量分离方程从本节开始，我们将在微分方程基本概念的基础上，从求解最简单的微分方程—可分离变量的微分方程入手，从易到难地介绍一些微分方程的解法．形如)()(y x f dxdyϕ= （1） 的方程，称为变量分离方程．其中)(x f 和)(y ϕ分别是x 和y 的连续函数．下面说明方程（１）的求解方法．如果0)(≠y ϕ，我们可将方程（１）改写成dx x f y dy)()(=ϕ 这样，变量就“分离”开来了，两边积分，得到方程（1）的通解C dx x f y dy+=⎰⎰)()(ϕ （2） 这里我们把积分常数C 明确写出来，而把)(y dy ϕ⎰，dx x f )(⎰分别理解为)(1y ϕ，)(x f 的某一个原函数． 如果存在0y ，使0)(0=y ϕ，直接代入方程（1），可知0y y =也是（1）的解．如果它不包含在方程的通解（2）中．必须予以补上．例1 求微分方程xy dxdy2= (3) 的通解．226解 方程（3)是变量分离方程，变量分离后得xdx ydy2=， 两端积分⎰⎰=xdx y dy2，得 12ln C x y +=， 从而 2112x C C x e e e y ±=±=+，因1Ce ±仍是任意常数，把它记作C ，得到2x Ce y =． （4）此外，0=y 显然也是方程（3）的解，如果在（4）中允许0=C ，则0=y 也就包含在（4）中，因此，（3）的通解便是方程（4），其中C 是任意常数．例２ 解方程0)1(=++dy x xydx ． （5） 解 变量分离，得 dx x xy dy 1+-=， 两边积分，得dx x xy dy 1+-=⎰⎰， ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-+-=dx x dx x x y 111111ln ， 1ln 1ln ln C x x y +-=+-， 1ln 1lnC x x y+-=+， x Ce x y-=+1（1C C ±=）， 故所求方程的通解为x e x C y -+=)1(． （6）此外，0=y 显然也是方程（５）的解，而0=y 包含在（６）中，因此，方程（6）是（5）的通解，其中C 是任意常数．例３ 解Malthus 人口模型：227rx dtdx=， 0)0(x x =． 解 变量分离，得rdt xdx=， 两边积分，得C rt x ln ln +=，rt Ce t x =)(，因初始条件()00x x =，所以0x c =，故满足初始条件的解为rt e x t x 0)(= ．第三节 齐次方程形如)(xydx dy ϕ= （１） 的方程，称为齐次方程．这里)(u ϕ是u 的连续函数．例如：0)2()(22=---dy xy x dx y xy ，是齐次方程，因为)(21)(2222xy x yxy xyx y xy dx dy --=--=． 下面说明方程（１）的求解方法． 作变量变换，令xyu =， （２） 即ux y =，于是dxdu x u dx dy +=， （３） 将（２）和（３）代入方程（1），则原方程变为)(u dxduxu ϕ=+， 即 u u dxdux -=)(ϕ． 变量分离，得xdxu u du =-)(ϕ，两边积分，得228⎰⎰=-x dxu u du )(ϕ．求出积分后，再用xy代替u ，便得所给齐次方程的通解． 例1 解方程dxdyxydx dy x y =+22． 解 原方程可写成1)(222-=-=xy x y xxy y dx dy ， 因此是齐次方程．令,u xy=则 dxdu x u dx dy ux y +==,， 于是原方程变为12-=+u u dx du x u ，即 1-=u u dx du x ． 变量分离，得xdx du u =-)11(，两端积分，得x C u u ln ln =+-，或写为 C u xu +=ln ． 以xy代入上式中的u ，便得所给方程的通解为 C xyy +=ln ． 例2 求解方程y xy dxdyx=+2 )0(<x ． 解 将方程改写为xy x y dx dy +=2 )0(<x ，这是齐次方程． 以u xy =及u dx duu dx dy +=代入，则原方程变为 u dxdux 2=， （4） 分离变量，得到xdxudu =2，229两边积分，得到（4）的通解C x u +-=)l n (，即()[]2ln C x u +-=． )0)(l n (>+-C x 这里C 是任意常数． （5）此外，方程（4）还有解 0=u ，注意，此解并不包括在通解（5）中．代回原来的变量，即得原方程的通解[]2)l n (C x x y +-= )0)(l n (>+-C x 及解0=y ．第四节 一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程形如)()(x Q y x P dxdy=+ （1） 的方程，叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数y 及其导数是一次方程．如果0)(≡x Q 则方程（1）称为齐次的；如果)(x Q 不恒等于零，则方程（1）称为非齐次的．当0)(≡x Q 时，（１）可写成0)(=+y x P dxdy（2） 方程（2）叫做对应于非齐次线性方程（1）的齐次线性方程．（2）是变量分离方程，变量分离后得dx x P ydy)(-=， 两边积分，得⎰+-=1ln )(ln C dx x P y ，由此得)(,1)(C C Ce y dxx P ±=⎰=- （３）式（３）是所求的齐次线性方程（2）的通解．这里C 是任意常数．下面我们来讨论求非齐次线性方程（1）的通解的方法．不难看出，（2）是（3）的特殊情形，两者既有联系又有差异．因此可以设想它们的解也应该有一定的联系．我们试图利用方程（2）的通解（3）的形式去求出方程（1）的通解．显然，如果（3）中C 恒保持常数，它必不可能是（1）的解．我们设想：在（2）中，将常数C 换成x 的待定函数)(x u ，使它满足方程（１），从而求出)(x u ．该方法称为常数变易法．为此，令⎰=-dx x P ue y )( ， （４） 于是 ⎰-⎰'=--dx x P dx x P e x uP e u dxdy)()()(． （５）将（４）和（５）代入方程（1）得230)()()()()()(x Q ue x P e x uP e u dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---，即 )()(x Q e u dx x P =⎰'-，⎰='dxx P e x Q u )()(． 两边积分，得 ⎰+⎰=C dx e x Q u dxx P )()(．把上式代入（４），便得非齐次线性方程（1）的通解⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dxx P dx x P )()()(． （６）将（６）式改写成两项之和⎰⎰⎰+⎰=--dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P )()()()(． 上式右端第一项是对应的齐次线性方程（2）的通解，第二项是非齐次线性方程（1）的一个特解．由此可知，一阶非齐次线性方程通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和．例 1 求方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解．解 这是一个一阶非齐次线性方程．先求对应的齐次方程的通解．012=+-y x dx dy ， 变量分离，得12+=x dxy dy ， 两边积分，得 1ln 1ln 2ln C x y ++=，即 2)1(+=x C y （1C C ±=）．用常数变易法，把()x u C 换成，即令2)1(+=x u y ， （7）那么 )1(2)1(2+++'=x u x u dxdy， 代入所给非齐次方程，得21)1(+='x u ．两边积分，得 C x u ++=231(32）． 在把上式代入（７）式，即得所求方程的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=C x x y 232)1(32)1(．231例2 求方程1)1()1(++=-+n x x e ny dxdyx 的通解，这里n 为常数． 解： 将方程改写为 n x x e y x ndx dy )1(1+=+-， （8）首先，求齐线性方程 01=+-y x ndx dy 的通解，从dx x n y dy 1+=得到齐线性方程的通解为 n x C y )1(+=．其次，应用常数变易法求非齐线性方程的通解．为此，在上式中把C 看成为x 的待定函数)(x u ，即n x x u y )1)((+=， （9）微分之，得到)()1()1()(1x u n n x dxx du dx dy n n -+++=． （10） 以（9）及（10）代入（8），得到x e dx x du =)(， 积分之，求得 C e x u x ~)(+=，因此，以所求的)(x C 代入（9），即得原方程的通解)~()1(C e x y x n ++=． 这里C ~是任意常数 二 、 伯努利方程形如n y x Q y x P dxdy)()(=+ )1,0(≠n （11） 的方程叫做伯努利方程．当0=n 或1=n 时，这是线性微分方程．当1,0≠≠n n 时，这方程不是线性的，但是通过变量的代换，便可把它化为线性的．事实上，以n y 除方程（10）的两边，得)()(1x Q y x P dxdyyn n=+--． （12） 容易看出，上式左端第一项与)(1ny dxd -只差一个常数因子n -1，因此，我们令 n y z -=1，那么dxdy y n dx dz n --=)1(． 用)1(n -乘方程（12）的两端，再通过上述变换便得线性方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz-=-+．232求出这方程的通解后，以z y n 代-1，便可得到伯努利方程（11）的通解．此外，当0>n 时，方程还有解0=y ．例3 求方程2)(ln y x a xydx dy =+， 的通解．解 以2y 除方程的两边，得x a y xdx dy y ln 112=+--． 即 x a y xdx y d ln 1)(11=+---．令1-=y z ，则上述方程成为x a z xdx dz ln 1-=-， 这是一个线性方程，它的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2)(ln 2x a C x z ．以1-y 代z ，故得所求方程的通解为1)(ln 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x a C yx ．此外，方程还有解0=y ．在上节中，对于齐次方程⎪⎭⎫⎝⎛='x y y ϕ，我们通过变量变换xu y =，把它化为变量可分离的方程，然后分离变量，经积分求得通解．在本节中，对于一阶非齐次线性方程)()(x Q y x P y =+'，我们通过解对应的齐次线性方程找到变量变换⎰=-dxx P ue y )(，利用这一代换，把非齐次线性方程化为变量可分离的方程，然后经积分求得通解．对于伯努利方程n y x Q y x P y )()(=+'，我们通过变量变换z yn=-1，把它化为线性方程，然后按线性方程的解法求得通解，可见，以上方程都是通过变量变换化为可求解方程来求解的，该方法适合很多特殊方程求解．233第五节 可降阶的高阶微分方程从这一节起，我们讨论二阶及二阶以上的微分方程，即所谓的高阶微分方程，对于有些高阶微分方程，我们可以通过变量变换将它化成较低阶的方程来求解．下面以二阶微分方程为例来介绍：二阶微分方程的一般形式为0),,,(='''y y y x F或者),,(y y x f y '=''一般来说，二阶微分方程要比一阶微分方程的求解复杂一些．但是对于某些二阶微分方程来说，如果我们能设法作变量代换把它从二阶降至一阶，那么就有可能应用前面几节中所讲的方法来求出它的解了．下面介绍三种容易降阶的二阶微分方程的求解方法． 一、()x f y =''型的微分方程形如)(x f y ='' （１）的方程，右端仅含有自变量x ．两端同时积分一次，就化为一阶方程1)(C dx x f y +='⎰再积分一次，得到通解21])([C dx C dx x f y ++=⎰⎰一般地对())(x f y n =求解，只需对方程两端积分n 次． 例1 求解方程x e x y -+=''2s i n ．解 对所给的方程连续积分两次，得12cos 21C e x y x +--='-， 212sin 41C x C e x y x +++-=-所求的通解为212s i n 41C x C e x y x +++-=-． 例2 求微分方程x ey xc o s 2-='''．的通解．解 对所给方程连续积分三次，得C x e y x+-=''sin 212， 22cos 41C Cx x e y x+++='，23432212sin 81C x C x C x e y x ++++= ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21C C ．所求的通解为32212sin 81C x C x C x e y x ++++=．二、),(y x f y '=''型的微分方程形如),(y x f y '='' （２）的方程，右端不显含未知函数y ．这时，只要令,p y ='那么p dxdpy '=='' 而方程（２）就化为),(p x f p ='．这是一个关于变量p x 、的一阶微分方程，再按一阶方程求解．设其通解为),(1C x p ϕ=．但是dxdyp =，因此又得到一个一阶微分方程 ),(1C x dxdyϕ=． 对它进行积分，便得方程（２）的通解为⎰+=21),(C dx C x y ϕ．例3 求微分方程y x y x '=''+2)1(2，满足初始条件,10==x y 30='=x y的特解．解 所给方程是),(y x f y '=''型的．令,p y ='代入方程并分离变量后，有dx x x p dp 212+=． 两边积分，得C x p ++=)1ln(ln 2,235即 )1(21x C y p +='=． ()C e C ±=1 由条件30='=x y ，得31=C ，所以 )1(32x y +='． 两边再积分得 233C x x y ++=． 又由条件,10==x y 得12=C ，于是所求的特解为133++=x x y ．三、),(y y f y '=''型的微分方程形如),(y y f y '='' (３)的方程，其中不明显地含自变量x ．这时，只要令p y ='，并利用复合函数的求导法则把y ''化为对y 的导数，即dydppdx dy dy dp dx dp y =⋅=='' 这样方程(３)就成为),(p y f dydpp=． 这是一个关于变量p y ,的一阶微分方程，再按一阶微分方程求解．设它的通解为 ),(1C y p y ϕ=='， 分离变量并积分，便得方程（３）的通解为⎰+=21),(C x C y dyϕ．例4 求微分方程02='-''y y y的通解．解 所给方程是),(y y f y '=''型的．令 p y ='，则236dydp p y =''， 代入原方程，得02=-p dydpyp． 在0≠y 、0≠p 时，约去p 并分离变量，得ydyp dp =． 两边积分，得C y p +=ln ln ，即 y C p 1=，或y C y 1'= )(1C e C ±=． 再分离变量并两端积分，便得所求方程的通解为2'1ln C x C y +=，或 ｘＣ１e C y 2= )２＇＝（２C e C ±．第六节 二阶线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶齐次线性微分方程的形式为0)()(=+'+''y x Q y x P y ． （1）如果)()(x Q x P y y 、的系数、'均为常数，则（1）式为0=+'+''qy y p y ， （2）其中q p 、是常数，则称（2）为二阶常系数齐次线性微分方程．如果q p 、不全为常数，称（1）为二阶变系数齐次线性微分方程．下面我们主要研究二阶常系数齐次线性微分方程的解法．关于方程（２），我们不加证明地给出二阶常系数齐次线性微分方程的有关定理： 定理1 （解的叠加定理）如果21y y 、是方程（２）的两个解，那么2211y C y C y +=也是（2）的解，其中21,C C 是任意常数．237定理2 如果21y y 、是方程（２）的两个不成比例的特解（即常数≡/21y y ），则2211y C y C y +=就是方程（２）的通解，其中21,C C 是任意常数．在这里我们之所以要求21,y y 不成比例，是因为如果有21Cy y =，那么就可推出()2212211y C C C y C y C y +=+=，即通解2211y C y C y +=中的两个任意常数变成一个．根据定理2，要求（２）的通解，只要设法先求出它的两个解21,y y ，且常数≡/21y y ，则2211y C y C y +=就是方程（２）的通解．仔细观察方程（2）可知，它的解应该具有各阶导数都只相差一个常数因子的性质，因此我们推测方程（2）的解是指数函数．取rx e y =（r 为常数），选取适当的r ，使它满足方程（２），则rx e y =就是方程（2）的解． 将rx e y =代入方程（2），得到0)(2=++rx e q pr r ．由于0≠rxe，所以02=++q pr r ． （3）由此可见，只要r 满足代数方程（3），函数rx e y =就是微分方程（2）的解．我们把代数方程（3）叫做微分方程（2）的特征方程．特征方程（3）是一个二次代数方程，其中r r 、2的系数及常数项恰好依次是微分方程（2）中y y '''、及y 的系数．特征方程（3）的两个根21r r 、可以用公式2422,1qp p r -±-=求出．它们有三种不同的形式：（i ）当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根：2421q p p r -+-=，2422q p p r ---=（ii ）当042=-q p 时，21,r r 是两个相等的实根：221pr r -==238（iii ）当042<-q p 时，21,r r 是一对共轭复根：,1βαi r += ,2βαi r -=其中 ,2p-=α 242p q -=β． 相应地，微分方程（2）的通解也就有三种不同的情形．分别讨论如下： （ⅰ）特征方程有两个不相等的实根：21r r ≠． 微分方程（2）有两个解x r x r e y e y 2121==、，并且12y y 不是常数，因此微分方程（2）的通解为 x r x r e C e C y 2121+=．（ⅱ）特征方程有两个相等的实根：21r r =． 这时，微分方程（2）有一个解.11x r e y =下面求出微分方程（2）的另一个解2y ，并且要求12y y 不是常数． 设)(12x u y y =，)(12x u e y x r =即，代入微分方程（2），可得 0)(=''x u因为这里只要得到一个不为常数的解，所以不妨选取x u =，由此得到微分方程（2）的另一个解.21x r xe y =从而微分方程（2）的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 ()xr e x C C y 121+=（ⅲ） 特征方程有一对共轭复根：)0(,21≠-=+=ββαβαi r i r ． 这时，微分方程（2）有两个解()()x i xi e y ey βαβα-+==21, ，并且12y y 不是常数．但它们是复值函数形式．为了得出实值函数形式，我们先利用欧拉公式θθθsin cos i ei +=，21,y y 把改写为()),sin (cos 1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+ ())sin (cos 2x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα-=⋅==--．239由于复值函数21y y 与之间成共轭关系，因此，取它们的和除以2就得到它们的实部；取它们的差除以2i 就得到它们的虚部．根据方程（2）有关解的定理，所以实值函数,cos )(21211x e y y y x βα=+=x e y y i y x βαsin )(21212=-=还是微分方程（2）的解，且x xe xe y y x x βββααcot sin cos 21==不是常数，所以微分方程（2）的通解为)sin cos (21x C x C e y x ββα+=．综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程0=+'+''qy y p y ， 的通解的步骤如下：第一步 写出微分方程（2）的特征方程02=++q pr r ． 第二步 求出特征方程（3）的两个根21,r r ．第三步 根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解：例1 求微分方程032=-'-''y y y 的通解． 解 所给微分方程的特征方程为0322=--r r ，其根3,121=-=r r 是两个不相等的实根，因此所求通解为x x e C e C y 321+=-．例2 求方程0222=++s dt dsdts d 满足初始条件2400-='===t t s s 、的特解．解 所给微分方程的特征方程为2400122=++r r ，其根121-==r r 是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为t e t C C s -+=)(21，将初始条件2400-='===t t s s、代入通解，得41=C ，22=C于是所求特解为t e t s -+=)24(．例３ 求微分方程052=+'-''y y y 的通解． 解 所给方程的特征方程为,0522=+-r r其根i r 212,1±=为一对共轭复根．因此所求通解为)2sin 2cos (21x C x C e y x +=．二、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是),(x f qy y p y =+'+'' （4） 其中q p 、是常数，0)(≠x f ．当0)(=x f 时，（4）可写为0=+'+''qy y p y ． （5）叫作方程（4）对应的二阶常系数齐次线性微分方程．关于方程（4）的通解，我们不加证明地给出如下定理：定理3 如果*y 是方程（4）的一个特解，Y 是方程（4）对应的齐次方程（5）的通解，则方程（4）的通解为*+=y Y y ．由上述定理3可知，求二阶常系数非齐次线性微分方程（4）的通解，归结为求对应的齐次线性方程（5）的通解和非齐次方程（4）本身的一个特解．由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法已得到解决，所以这里只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解*y 的方法．本节介绍当方程（4）中的()x f 取两种常见形式时求*y 的方法．这种方法的特点是不用积分就可以求出*y 来，这种方法叫做待定系数法．)(x f 的两种形式是241（1）x m e x P x f λ)()(=，其中λ是常数，)(x P m 是x 的一个m 次多项式：m m m m m a x a x a x a x P ++⋅⋅⋅++=--1110)(．（2）]sin )(cos )([)(x x P x x P e x f n l x ωωλ+=，其中ωλ、是常数，)()(x P x P n l 、分别是x 的l 次、n 次多项式，其中有一个可为零．下面分别介绍)(x f 为上述两种形式时*y 的求法．1．)()(x P e x f m x λ=型我们知道，方程（4）的特解*y 是使（4）成为恒等式的函数．怎样的函数能使（4）成为恒等式呢？因为（4）式右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍然是同一类型，因此，我们推测x e x Q y λ)(=*(其中)(x Q 是某个多项式)可能是方程（4）的特解．把"'***y y y 及、代入方程（4），然后考虑能否选取适当的多项式)(x Q ，使x e x Q y λ)(=*满足方程（4）．为此将,)(x e x Q y λ=*[])()(x Q x Q e yx '+='*λλ， [])()(2)(2x Q x Q x Q e yx ''+'+="*λλλ 代入方程（4）并消去x e λ，得 )()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ． （6）推导可知如下结论：如果x m e x P x f λ)()(=，则二阶常系数非齐次线性微分方程（4）具有形如x m k e x Q x y λ)(=* （7）的特解，其中)(x Q m 是与)(x P m 同次m (次）的多项式，而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为10、或2． 上述结论可推广到n 阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意（7）式中的k 是特征方程含根λ的重复次数（即若λ不是特征方程的根，k 取为0；若λ是特征方程的s 重根，k 取为s ）．例1 求微分方程1332+=-'-''x y y y 的一个特解．解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数)(x f 是x m e x P λ)(型（其中0,13)(=+=λx x P m ）．与所给原方程对应的齐次线性微分方程为032=-'-''y y y ,242它的特征方程为0322=--r r ．有两个实根3,121=-=r r ，由于这里0=λ不是特征方程的根，所以应设特解为10b x b y +=*．把它代入原方程，得13323100+=---x b b x b ,比较两端x 同次幂的系数，得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b 由此求得31,110=-=b b ．于是求得一个特解为 31+-=*x y ． 例2 求微分方程x xe y y y 265=+'-''的通解．解 所给方程也是二阶常系数非齐次线性微分方程，且型是x m e x P x f λ)()(（其中）2,)(==λx x P m ． 与所给原方程对应的齐次线性微分方程为065=+'-''y y y ，它的特征方程为0652=+-r r ，有两个实根3,221==r r ，于是与所给方程对应的齐次方程的通解为x x e C e C Y 3221+=．由于2=λ是特征方程的单根，所以应设*y 为x e b x b x y 210)(+=*，把它代入所给原方程，得x b b x b =-+-10022，比较等式两端同次幂的系数，得⎩⎨⎧=-=-0212100b b b ， 解得1,2110-=-=b b ．因此求得一个特解为243x e x x y 2)121(--=*． 从而所求的通解为 x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=． 2．[]x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=型 应用欧拉公式和方程（4）有关解的定理，不加证明地可得如下结论：如果[]x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=，则二阶常系数非齐次线性微分方程（4）的特解可设为]s i n c o s )([)2()1(x R x x R e x y m m x k ωωλ+=* （8）其中)(),()2()1(x R x R m m 是m 次多项式，},max{n l m =，而ωλi k +按（或ωλi -）不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为10或．上述结论可推广到n 阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意（8）式中的k 是特征方程中含根ωλi +（或ωλi -）的重复次数．例3 求微分方程x x y y 2cos =+''的一个特解．解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且属于[]x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=型（其中0)(,)(,2,0====x P x x P n l ωλ）．与所给方程对应的齐次方程为0=+''y y ，它的特征方程为012=+r ，有两个复根i r i r -==21,，由于这里i i 2=+ωλ不是特征方程的根，所以应设特解为x d cx x b ax y 2sin )(2cos )(+++=*．把它代入所给方程，得x x x a d cx x c b ax 2cos 2sin )433(2cos )433=++-+--（．比较两端同类项的系数，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-=+-=-0430304313a d c c b a ， 由此解得 94,0,0,31===-=d c b a ． 于是求得原方程的一个特解为244 x x x y 2sin 942cos 31+-=*． 以上我们主要介绍了二阶线性微分方程的解法，该方法可以推广到高阶线性微分方程．。
常微分方程第一讲-- 国外名校讲义
Examples of Ordinary differential equations(1)y =1(2)y =x 2−1(3)y +xy =1(4)y =y(5)cos 2(y y )=(y 2−x )e y(6)y =sec(xy )(7)xy +e x y −xy =2(8)y +7y +12y =e x (9)(y )2−x 2=sin y (10)y [1+(y )2]=2(11)y =7xy −3x 2y +3x(12)xy −3(x 2−1)y =2(13)(1+x 2)y +xy =(1+x 2)5/2(14)y =x +yx −y (15)yy+x =0(16)dy dx=(x +y )6(17)(x −√xy )y =y (18)(x −y +3)dy =(x +y +1)dx(19)(x +y +2)dydx=(x +y −4)(20)e t/y (y −t )y +y (1+e t/y )=0(21)(y 2+3x )dx +xydy =0(22)xy =sin x(23)1+cos(x +y )=−y cos(x +y )(24)2t sin y +y 3e t +(t 2cos y +3y 2e t )y =0(25)3y 2+4xyy =0(26)(y 2+4ye x )dx +2(y +e x )dy =0(27)y +a (t )y =b (t )y n (Bernoulli differential equation)(28)y +xy +y 2=0(29)y =P (x )+Q (x )y +R (x )y 2(Riccati equation)(30)x 2y −2xy +3y =0(Euler equation)(31)(x −1)2y +3(x −1)y −7y =x 212(32)y =(y )2+xy (33)y +2y +y =0(34)y −7(y )3+7=cos x (35)sin(y )=y(36)x 2y −xy −y =2x +1(37)y −y +y −y =0(38)3t 2+4ty +(2y +2t 2)y =0,y (0)=1(39)2(y −1)y =3x 2+4x +2,y (0)=−1(40)y =k (1−y )(2−y ),y (0)=0(41)dy dt =2t y +yt 2,y (2)=3(42)d 2y dt 2+2dydt +5y =0,y (0)=0,y (0)=2(Initial value problem)(43)4y−4y +y =0,y (0)=y (1)=0(boundary value problem)(44)3y +4y +y =(sin t )e −t ,y (0)=1,y (2)=0(45)y −2(t +1)t 2+2t −1y +2t 2+2t −1y =0(46)(1−t 2)y −2t +2y =0(47)xy −(1+3x )y +3y =0(48)y +3y =t 3−1(49)y −y =t 2e t(50)y +y =cos t cos 2t (51)y +y =tan t(52)y =y +xe x(53)∂2u ∂x 2+∂2u ∂y 2=0(Laplace equation)(54)∂u ∂t =∂2u ∂x 2+∂2u ∂y 2(Heat equation)(55)∂2u ∂t 2=∂2u ∂x 2+∂2u ∂y 2(Wave equation)3 MA3220Ordinary Differential EquationsText:Simmons:QA372Sim,Ref:Williamson:QA371WilCh.1.First Order Equations and introduction§1.1.Introduction(Sections1,2,3,7;Chapters1.1,1.3)1.Ordinary differential equations.An ordinary differential equation(ODE for short)is a relation contain-ing one real variable x,the real dependent variable y,and some of its derivatives y ,y ,···,y(n),···,with respect to x.Remark.y can be either dydx or dydtand y(n)can be either d n ydx nor d n ydt n.The order of an ODE is defined to be the order of the highest derivative that occurs in the equation.Thus,an n-th order ODE has the general formF(x,y,y ,···,y(n))=0,F:R n+2→R.(1.1.1) We shall almost always assume that(1.1.1)can be solved explicitly for y(n) in terms of the remaining n+1quantities asy(n)=f(x,y,y ,···,y(n−1)),(1.1.2) where f is a known function of x,y,y ,···,y(n−1).Hence F(x,y,y ,···,y(n)) can be taken as y(n)−f(x,y,y ,···,y(n−1)).Example(1)y 2=x2+y2,(2)sin y =y +xy.4An n-th order ODE is linear if it can be written in the forma0(x)y(n)+a1(x)y(n−1)+···+a n(x)y=r(x).(1.1.3)The functions a j(x),0≤j≤n are called coefficients of the linear equa-tion.If r(x)≡0,(1.1.3)is called a homogeneous equation.If r(x)≡0, (1.1.3)is said to be a non-homogenous equation,and r(x)is called the non-homogeneous term.2.Solutions.A functional relation between the dependent variable y and the indepen-dent variable x that satisfies the given ODE in some interval J is called a solution of the given ODE on J.Afirst order ODE may be written asF(x,y,y )=0.(1.1.4)The function y=φ(x)is called an explicit solution of(1.1.4)in the interval J providedF(x,φ(x),φ (x))=0in J.(1.1.5)The pair of equationsx=x(t),y=y(t)(1.1.6)5is said to be a parametric solution of (1.1.4)ifF (x (t ),y (t ),˙y (t )˙x (t ))=0.Example Check that x =cos t,y =sin t is a parametric solution ofy 2(1+[y ]2)−1=0.3.Integral curves.The solutions of an ODEy =f (x,y )1.1.7represent one-parameter family of curves in the xy -plane.They are also called integral curves .Example(1)The one-parameter family of curves y =ce 2x are solutions of y =2y .(2)y =ce −x +2x −2are solutions of y =2x −y(3)tan(x +y )−sec(x +y )=x +c are solutions of y =sin(x +y ).(4)x 2+y 2=c are solutions of x +yy =0.(5)x 4+6x 2y 2+y 4=c are solutions of (x 3+3xy 2)dx +(3x 2y +y 3)dy =0.(Take note of the notation dx and dy here.)(6)(x +c )(1+tan x +y2)=−2are solutions of y =sin(x +y ).64.Separable equations and change of variables.The easier type of ODE that we can hope is separable equation!Typical separable equation can be written asy =f(x)g(y),or g(y)dy=f(x)dx.1.1.8The solution is given byg(y)dy=f(x)dx+C.(Thus,technique of integration is important in this module.)How do we know solution must be of this form?Recall Mean Value Theorem and its consequence:Theorem If f is differential on(a,b)and continuous on[a,b],then thereexists c∈(a,b)such that f (c)=f(b)−f(a)b−a.Corollary If f (x)=g (x)on(a,b),then there exists a constant C such that f(x)=g(x)+C for all x∈(a,b).Example1.y =1+y.Example2.y =−2xy,y(0)=1.Ans:y=e−x2.7Change of variableIn many cases,a change of variable is needed in order to transform theequation into a separable equation.For example,the equation y =f (yx )can be reduced to a separable equation by letting u =y x ,i.e.y =xu .Sof (u )=y =u +xu ,du f (u )−u =dxx.Example.(1)2xyy +x 2−y 2=0.Ans:x 2+y 2=cx .(2)y =x +yx −y.(3)y =(x −y )3.(4)y=sin(x +y ).Ans:(x +c )(1+tan x +y 2)=−2.8Example:equations in the formy =a1x+b1y+c1 a2x+b2y+c2.One strategy:find x0,y0such thata1x0+b1y0=c1and a2x0+b2y0=c2.(∗)Example:y =x+2y+1 x−y−1.What if(∗)has no solution?For example:y =2x−2y+1 x−y−1.Indeed,it may be easier tofind an”integrating factor”(see next section).9§1.2.Exact Equations,Integrating Factors(Sec8,9,Ch1.5)1.Exact equations.We can write afirst order ODE in the follow formM(x,y)+N(x,y)y =0(or M(x,y)dx+N(x,y)dy=0).1.2.1 (1.2.1)is called exact if there exists a function u:R2→R such thatdu dx =∂u∂x+∂u∂ydydx=M(x,y)+N(x,y)yor M(x,y)dx+N(x,y)dy=du=∂u∂xdx+∂u∂ydy.Once(1.2.1)is exact,the general solution is given byu(x,y)=c.Theorem1.1Assume M and N together with theirfirst partial deriva-tives are continuous in the rectangle S:|x−x0|<a,|y−y0|<b.A necessary and sufficient condition for(1.2.1)to be exact is∂M ∂y =∂N∂xin S.1.2.2When(1.2.2)is satisfied,a general solution of(1.2.1)is given by u(x,y)=c,whereu(x,y)= xx0M(s,y)ds+yy0N(x0,t)dt1.2.3and c is an arbitrary constant. Example(y2+x)dy+(x2+y)dx=0.10Example.(x3+3xy2)dx+(3x2y+y3)dy=0.Ans:x4+6x2y2+y4=c.Exercises y2cos xy2+(2xy cos xy2)y =0;y+xy =0;e x y+e x y =0.2.Integrating factors.A non-zero functionµ(x,y)is an integrating factor of(1.2.1)if the equiv-alent differential equationµ(x,y)M(x,y)dx+µ(x,y)N(x,y)dy=01.2.4is exact.Ifµis an integrating factor of(1.2.1)then(µM)y=(µN)x,that is,Nµx−Mµy=µ(M y−N x).1.2.5 One may look for an integrating factor of the formµ=µ(v),where v is a known function of x and y.Plugging into(1.2.5)wefind1µdµdv=M y−N xNv x−Mv y.1.2.6If M y−N xNv x−Mv yis a function of v,say,φ(v),thenµ=eφ(v)dvis an integrating factor of(1.2.1).(*)In particular,if M y−N xN is a function of x,say,φ1(x),i.e.,M y−N xN=φ1(x),then eφ1(x)dx is an integrating factor of(1.2.1).(*)Next,if−M y−N xM is a function of y,say,φ2(y),i.e.,−M y−N xM=φ2(x),then eφ2(y)dy is an integrating factor of(1.2.1).(*)Finally if M y−N xyN−xM =φ3(xy),then exyφ3(v)dv is an integrating factor of(1.2.1).Example(1)xdy−ydx=0,(2)(x2+y2+x)+xyy =0,(3)y2dx+(x2−3xy−y2)dy=0.§1.3.(Other)first Order Equations(sec10,ch1.4)1.First order linear differential equations.Afirst order homogeneous linear equation is in the formy +p(x)y=0,1.3.1 where p(x)is a continuous function on an interval J.Example.(1)y −y=e2x,(2)y −2y=e2x/(1+e2x).Ans:(1)y=ce x+e2x.2.Bernoulli equation.An ODE in the formy +p(x)y=q(x)y n,1.3.5 where n=0,1,is called Bernoulli equation.The functions p(x)and q(x) are continuous functions on an interval J.Let u=y1−n.Substituting into(1.3.5)we getu +(1−n)p(x)u=(1−n)q(x).1.3.6 This is a linear equation of order1.Example(1)y +xy=y2,(2)xy +y=x4y33.Riccati equation.An ODE of the formy =P(x)+Q(x)y+R(x)y21.3.7 is called Riccati equation.The functions P(x),Q(x),R(x)are continuous on an interval J.In general,a Riccati equation can not be solved by a sequence of integrations.However,if a particular solution is known,then (1.3.7)can be reduced to a linear equation,and thus is solvable.If P(x)=0,then it is Bernoulli!Example y =y/x+x3y2−x5.Key step:observe y=x is a solution. Let y=x=z.§1.4.First Order Implicit Equations(sec11,ch3.4)In the above we discussedfirst order explicit equations,that is,equations in the form y =f(x,y).In this section we discuss solution of somefirst order explicit equationsF(x,y,y )=01.4.1 which are not solvable in y .1.Method of differentiation.Consider an equations solvable in y:y=f(x,y ).1.4.2 Let p=y .Differentiating y=f(x,p)we get[f x(x,p)−p]dx+f p(x,p)dp=0.1.4.3 This is afirst order explicit equation in x and p.If p=φ(x)is a solution of(1.4.3),theny=f(x,φ(x))is a solution of(1.4.2).Example.y=(y )2;y=(y )2+xy Remark:Check your answer! Differentiation will produce more solutions than the original equation!2.Method of parameterization.This method can be used to solve equations where either x or y is missing. ConsiderF(y,y )=0,1.4.5 where x is missing.Let p=y and write(1.4.5)asF(y,p)=0.It determines a family of curves in yp plane.Let y=g(t),p=h(t)be one of the curves,that is,F(g(t),h(t))=0.Note thatdx dt =dydt/dydx=g (t)h(t).The solutions of(1.4.5.)are given byx= g (t)h(t)dt,y=g(t).This method can also be applied to the equationsF(x,y )=0,where y is missing.Example y(1+(y )2)=2;x(1+(y )2)=2.3.Reduction of order.Consider the equationF(x,y ,y )=0,1.4.6 where y is missing.Let p=y .Then y =p .Write(1.4.6)asF(x,p,p )=0.1.4.7 It is afirst order equation in x and p.IExample(1)y +y =x,(2)y −2xy =e x.21 Consider the equationF(y,y ,y )=0,1.4.8where x is missing.Let p=y .Then y =dpdx =dpdydydx=dpdyp.Write(1.4.8)asF(y,p,p dpdy)=0.1.4.9It is afirst order equation in y and p. Example(1)y +y=0,(2)y +yy =0.。
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解 设时刻 t , 子弹在木板中移动
到 x = x(t) ,子弹的质量为 m
0 0.1
x
根据牛顿第二定律有
d2x m dt2
k
dx2
dt
若记
dxv , a k
dt
m
及注意到
v(0)
=
200
则速度 v = v(t) 满足下初值问题:
dv av2 dt
( 可分离变量方程 )
v200
dv v2
adt
m
下面求非齐次方程的特解
(1) 当
k 时 , 设非齐次方程的特解为
m
y(t)aco t sbsi n t
代入方程整理得
b (k m 2 )sit n a (k m 2 )co t p s sitn
令
a(km2)0 解得 a(km2)p
a0
b
k
p
m2
(
k) m
非齐次方程的特解: y(t)km p2sint
非齐次方程的通解:
y(t) p sint km2
k
k
c1cosmtc2sinmt
由 y(0)0,y'(0)0,
m p c10,c2 kkm 2
所以初值问题的解
y(t)km p2(s it nm ksin m kt)
(2) 当
k m
时 , 设非齐次方程的特解为
y (t) t(a c ot sb si tn )
微分方程应用举例
精品
据牛顿第二定律有
mdd2t2ypsi ntky
初始条件: y(0)0,y'(0)0
即 y 满足初值问题:
md2ypsi ntky
dt2 y(0)0,y'(0)0
特征方程: m2k0
特征根:
1,2
k i
m
齐次方程的通解:
yh(t)c1cosm ktc2sink nt
k : 被称为固有频率
M(x,y)
0
Tx
则 tan y , tan( ) dy
x
dx
由于 ta n tan [) (]1 ta ta n n )( )t(ta a n n
y y'tan x 1y'tan
dy yax dx xay
(atan)
令 u y
x
dy dx
ya x 1 a y
x
, 则 yxu, y'uxdu, 代入方程有
Hale Waihona Puke 2k注意: 当 k 时 , 位移 y(t) 的振幅为
m
p 12t2
2k
将随 t 的增大而无限增大 , 从而引起共振现象
例 一颗子弹以速度 v0 =200 m/s 打进一块厚度
为 0.1 m 的板 , 然后穿过板 , 以速度 v1= 80 m/s 离开板 , 该板对子弹运动的阻力与运动速度平
方成正比 , 问子弹穿过板用了多少时间 ?
dTk(T2)0 (k0)
dt
( 一阶线性方程 )
T(0)100
END
dx
uxu' ua 1au
整理得
du a(u2 1) , dx x(1 au)
分离变量有
1au 1
a(1u2)du
dx x
积分得 a 1arc u t1 2a ln 1 n u (2)ln xln c1
lnc1(x
1u2)1arctuan a
c1x
1 y2 x
1arctayn
ea x
x2y2
1arctyan
代入方程可得:
ap , b0
2k
非齐次方程的特解:
y(t)ptc ost
2k
非齐次方程的通解:
y(t)ptc ost
2k
k
k
c1cosmtc2sinmt
由 y(0)0,y'(0)0可确定
p c1 0,c2 2k
所以初值问题的解
y(t)ptcotspsinkt
2k
2k m
ptc otspsi nt
2k
于是有
aT 3 400
0 .1 Tln 2(a 0 T 0 1 )4T 0ln 0 3 (1 )
aT
32
T 0.3 8.21 0 4(s) 40 ln 2 0 .5
例 求曲线 , 使它上面的任一点 M 处的切线 MT
与直线 OM 夹定角 .
y
y=y(x)
解 设所求曲线为 y = y(x) , M 为曲线上的任意一点 ,
cea x
即
1
r ce a
例 将温度为 100 ºC 的开水冲进热水瓶且塞紧
塞子后放在温度为 20 ºC 的室内 , 24 小时后 , 瓶 内热水温度降为 50 ºC , 问冲进开水 12 小时后瓶 内热水的温度是多少 ? (设瓶内热水冷却的速度与 水的温度和室温之差成正比 )
解 设时刻 t 时 , 水的温度为 TºC , 则有
1 atc v
由 v(0) = 200 c 1 v(t) 200
200
20a0t1
设子弹穿透板的所用时间为 T , 则据题意
T
T 200
0.10v(t)dt020a0t1dt
a 1ln 2(0 a 0 t1 )T 0a 1ln 2(0 a 0 T 1 )
又 v (T) = 80
200
80
20a0T1