高三数学等比数列的概念通项公式
等比数列的定义和通项公式
解：因为 an a1qn1，所以 162 2 3n1,
所以n 5
对于通项公式an a qn1来说，有a , q , an , n四个量， 1 1 可以知三求一
类比小结 名 称 等差数列 等比数列 如果一个数列从第2项 如果一个数列从第 2 起，每一项与前一项 项起，每一项与它前 的差等于同一个常数，一项的比都等于同一 那么这个数列叫做等 个 常 数 , 那 么 这 个 数 差数列.这个常数叫做 列 叫 做 等 比 数 列 . 这 等差数列的公差，用d 个常数叫做等比数列 的公比，用q表示 表示
定 义
数学式 子表示
an+1-an=d an = a1 +（n-1）d
an1 q an
an a1q
n1
通项公式
谢谢大家！
等比数列的概念和通项公式
情境1
庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 意思：“一尺长的木棒，每日取其一 半，永远也取不完” 。 1 1 1 1 1， ， ， ， ， „ 2 4 8 16
情境2
某种细胞，如果1个细胞每分钟分裂为2个，那么 每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为
1,2,4,8,16,
问题：与等差数列相比，上面这些数列有什么特点？ 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。
等比数列定义
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它 的前一项的 比 等于 同一个常数 ，那么这个数列就叫 做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。
(q≠0）
其数学表达式
(判断一1
an1 * q(n N ) an
an 0
注意：
1. 公比是等比数列从第2项起，每一项与 前一项的比，不能颠倒。 2.对于一个给定的等比数列，它的公比是 同一个常数并且公比q ≠0 。 3. 等比数列的每一项都不能为0（an 0）
高三数学等比数列的概念通项公式
an qnm am an am qnm
思考１： 在等差数列{an}中 ，若m＋n＝p＋q，
有am＋an＝ap＋aq .
那么在等比数列 , 你能得出
怎样的结论?
在等比数列{an}中 ，若m＋n＝p＋q，
aman apaq
特例:
在等比数列{an}中 ，an1an1 an2 (n 2)
例4 . 已知正项数列 a1 , a2 , a3 , … a10 , a11 成等比数列， 且 a1 a11 = 9，
求：
log3 a1 log3 a2 log3 a3 log3 a11
例4 . 如图（1）是一个边长为1的正三角形， 将每边三等份，以中间一段为边向外作正 三角形，并擦去中间一段，得图（2) 如此 继续下去，得图（3）……试求第n个图形 的边长和周长。
数列吗?
例１
已知等比数列 ，a3 =20
a5 =80 , 求 a3 , a5的等比中项
变：已知等比数列 ，a3 =20
a７ =320 , 求 q , a5 求 a3 , a7的等比中项
例2 . 已知等比数列{an}中 ,且 a1 a5 = 8，
a2 a4 9 求 an
例3 . 已知三个数成等比数列，它们的和为 21，它们的积为64，求这三个数。
引申一:
若a, b, c 成等比数列 ，一定有ac b2
引申二: 若a, b, c 成等比数列 ，称b为a , c等比中项
思考二: 若a, b,
c
成等比数列
，一ac定有b2
,
反之对吗?
引申:
都有如an果1a数n1列 {aan2n(n}中 2，) 对于任意的,n正那(n整么数{2a)n}是等比；源自等比数列的定义1.
等比数列的概念与通项公式
教学课题 课型
2012 教师备课纸
[课题] 2.3.1等比数列的概念与通项公式 [知识摘记]
1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1
-n n a a =q （q ≠0）
2．等比数列的通项公式 ① 111(0)n n a a q a q -=⋅⋅≠②1(0)n m n m a a q a q -=⋅⋅≠ 3．证明数列{}n a 为等比数列： ①定义：证明
1n n
a a +=常数； ②中项性质：2
121
21
n n n n n n
n a a a a a a a +++++==
或；
[例题解析]
例1判断下列数列是否为等比数列： （1）1,1,1,1,1；（2）0,1,2,4,8；（3）11111,,,,24816
--.
例2．求出下列等比数列中的未知项： （1）2,,8a ； （2）14,,,2
b c -．
例3在等比数列{a n }中，
(1)已知13,2a q ==-，求6a ；（2）已知3620,160a a ==，求n a ．
【例4】在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列．。
2.4等比数列的概念及通项公式(高中数学人教A版必修五)
(1)an am (n m)d
a1 0, q 0
通项 公式
an a1q
n 1
(1)an amqnm
则 am· n=as· r . a a
(3) an2=an-1· n+1 . a （等比中项）
主要 性质
(2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*) (2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*)
其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1， 即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它 就是等比数列｛an｝的通项公式。
(1)等比数列的通项公式
通项公式一:
an a1 q
n1
(a1 , q 0)
an a1q n 1、不要错误地写成
2、每一项都可以用a1和q表示，等比数列 由首项和公比确定
1 变式训练 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝ 3 (an－1)(n∈N*)． (1)求 a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． 1 解：(1)由 S1＝ (a1－1)， 3 1 1 得 a1＝ (a1－1)，∴a1＝－ . 3 2 1 又 S2＝ (a2－1)， 3 1 1 即 a1＋a2＝ (a2－1)，得 a2＝ . 3 4
an am qn m
(1)等比数列的通项公式 如果数列 an }是等比数列，首项为 1 , 公比为q， { a
①.不完全归纳法 a2=a1q a3=a2q=a1q2 a4=a3q=a1q3 … an=a1qn1
②.叠乘法（累乘法） a2/a1=q a3/a2=q a4/a3=q … an/an-1=q 这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 所以 an=a1qn-1
等比数列的概念及通项公式(一)
等比数列通项公式的推导: 累乘法推导
证明：∵ a 2
a1
q a3 a2
q ……
an
q
an 1
将等式左右两边分别相乘可得：
n 1
a2 a3 …… an q ……q qn1
a1 a2
an1
化简得：
an q n1 a1
即：
an a1qn1
此式对n=1也成立 ∴ ana1qn1(nN )
等比数列的通项公式： an a1 qn1 （n∈N﹡,q≠0）
是,公比
q=
1 2
是,公比 q=1
(4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，… (6) 0，0，0，0，0，…
是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
(7) 1,x,x2,x3,x4, (x0)是,公比 q= x
对等比数列的理解
1. 各项不能为零,即 a n 0
2. 公比不能为零,即 q 0
学习目标
1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念． 2．掌握等比数列的通项公式及推导过程． 3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．
回顾与复习
1、等差数列定义： 如果一个数列从第二项开始，每一项与 前一项的差等于同一个常数，这个数列 叫做等差数列。
数学表达式：d=an-an-1(n≥2)或d=an+1-an
即9为该数列的第5项.
变 式 ： 3m 1是 该 数 列 中 的 项 吗 ？ 若 是 ， 是 第 几 项 ?
在等比数列｛an｝中，若已知某一项为am,公比 为q, 求该数列的任意项an。
等比数列通项公式的推广公式：
（aanm＝≠0a,maqn n≠-m0,m,n∈Z）+
等比数列求数列通项公式
等比数列求数列通项公式等比数列求数列通项公式，这可是高中数学里的一个重要知识点呢！咱先来说说啥是等比数列。
比如说，有这么一组数：2，4，8，16，32……每一项和前一项的比值都相等，这就是等比数列。
那这个比值叫啥？叫公比，一般用字母 q 表示。
那等比数列的通项公式是啥呢？设等比数列的首项是 a₁，公比是 q，那么通项公式就是 aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹。
我记得之前有个学生，叫小李，他一开始老是搞不清楚这个通项公式。
有一次上课，我出了一道题：已知等比数列的首项是3，公比是2，求第5 项是多少。
小李当时就懵了，拿着笔在那发呆。
我走到他旁边，轻声问他：“咋啦，小李，没思路？”他愁眉苦脸地说：“老师，我觉得这个公式好难记，用的时候总是弄混。
”我就跟他说：“小李，你别着急。
你看啊，咱先把这个公式写出来，aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹。
那这道题里，a₁是 3，q 是 2，要求第 5 项，那 n 就是 5。
咱们把数字带进去，就是 a₅ = 3 × 2⁵⁻¹ = 3 × 2⁴ = 3 × 16 = 48 。
你看，是不是很简单？”小李听了之后，若有所思地点点头，然后自己又重新做了一遍。
从那以后，小李遇到这类问题都会先把公式写出来，然后再一步一步地代入数字计算。
再比如说，给你一个等比数列 1，3，9，27……让你求通项公式。
那首项 a₁就是 1，公比 q 呢，3÷1 = 3，所以 q 是 3。
那通项公式就是aₙ = 1 × 3ⁿ⁻¹ = 3ⁿ⁻¹。
其实啊，等比数列求通项公式在很多实际问题中都能用到。
就像投资理财，假设每年的收益率是固定的，就可以用等比数列的知识来计算未来某一年的资金总额。
还有啊，在计算机编程里，如果要生成一个等比数列的序列，也得靠这个通项公式。
总之，掌握了等比数列求通项公式，就像是拿到了一把打开数学世界中很多扇门的钥匙。
等比数列的性质与公式
等比数列的性质与公式数列是数学中常见的一种序列，根据元素之间的规律可以分为等差数列和等比数列等。
在本文中，我们将重点讨论等比数列的性质与公式。
一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，则数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中aₙ表示第n项的值。
二、等比数列的性质1. 公比的性质公比为r的等比数列中，如果r>1，则数列是递增的；如果0<r<1，则数列是递减的；如果r=1，则数列是恒定的。
2. 通项公式等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * r^(n-1)，通过该公式可以求出任意项的值。
3. 首项、公比与项数的关系根据等比数列的通项公式aₙ = a₁ * r^(n-1)，我们可以得到首项、公比和项数之间的关系：aₙ = a₁ * r^(n-1)a₂ = a₁ * rr = a₂ / a₁a₃ = a₁ * r^2...即等比数列的第n项等于首项乘以公比的n-1次方。
4. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和记为Sₙ，可以通过以下公式计算：Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)其中n表示项数。
三、等比数列的常见问题1. 求等比数列中某一项的值如果已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，我们可以通过通项公式aₙ = a₁ * r^(n-1)计算出该项的值。
2. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，可以通过前n项和的公式Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)求得。
3. 求等比数列的项数已知等比数列的首项a₁、公比r和某一项的值aₙ，可以通过项数的对数形式求得：n = logₐ( aₙ / a₁ ) + 1其中logₐ表示以a为底的对数运算。
四、等比数列的应用等比数列在实际问题中有着广泛的应用。
例如在金融领域，利率、汇率等都可以用等比数列的形式来描述；在自然科学研究中，细胞分裂、物种繁殖等也常常涉及等比数列的计算。
等比数列的概念及其通项公式
试一试 2:(1)若{an}为等比数列,且 3a4=a6-2a5, 则公比是( B ) (A)0 (B)-1 或 3 (C)1 或-3 (D)-1 或-3 (2)在等比数列{an}中,若公比 q=4,且前三项之 和等于 21,则该数列的通项公式是 .
解析:(1)设公比为 q,则 3a1q3=a1q5-2a1q4. 3 ∵a1q ≠0, ∴q2-2q-3=0, 解得 q=-1 或 q=3.故选 B. (2)依题意 a1+4a1+42a1=21, ∴a1=1, ∴an=a1q =4 . n-1 答案:(1)B (2)an=4
n
n-1
-1),
an 得 an 1 a2 又∵ a1
1 =2 1 =2
,
,
1 ∴{a }是以2
n
1 为首项,以2
n
为公比的等比
n
1 数列,其通项公式为 a = 2
.
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n-1 n-1
等比数列的判定与证明
【例 1】 观察下面几个数列,其中一定是等比数列 的有哪些?
1 (1)数列{a }的通项公式为 a = 2
n n
·3 ;
n
(2)数列 a,a,a,„,a; (3)数列 1,2,6,18,54,„;
(4)数列{an}中,
a2 a1
=2,
a3 a2
=2;
(5)数列{an}中,
.
9 (D) 5
2
(2)若数列 x,x(x-1),x(x-1) ,„是等比数列,则 x 的取值范围是
3 5 9 解析:(1)依定义,有 = ,∴a= .故选 D. a 3 5
(2)由于等比数列的任何一项都不为 0,因此 x≠0 且 x(x-1)≠0,所以 x≠0 且 x≠1. 答案:(1)D (2)(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)
等比数列的概念与通项公式
第二章
数列
第二章
数列
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
第二章
2.4 等比数列
第二章
数列
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第二章
第 1 课时 等比数列的概念与通项公式
第二章
数列
[解析]
解法一：由等比数列的定义知 a2＝a1q，a3＝a1q2，
代入已知得，
2 a1＋a1q＋a1q ＝7 2 a · a q · a q 1 1 1 ＝8 2 a11＋q＋q ＝7 ∴ a1q＝2 2 a11＋q＋q ＝7 ，即 3 3 a1q ＝8
1.关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题， 由于每一个 格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的 2 倍， 且共有 64 个格 子 ， 各 个 格 子 里 的 麦 粒 数 依 次 是 1,2 ， ________ ， ________，„________.
22 23 263
[答案]
第二章
2.4
第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
2．某人年初投资 10 000 元，如果年收益率是 5%，那么按照 复利， 5 年内各年末的本利和依次为 10 000×1.05， ________， „， ________.
[答案]
10 000×1.052 10 000×1.055
第二章
2.4
第1课时
4 a1q＋a1q ＝18 2 5 a1q ＋a1q ＝9
① ②
② 1 由 得 q＝2，∴a1＝32. ① 1 n －1 又 an＝1，∴32×(2) ＝1， 即 26－n＝20，∴n＝6.
等比数列中的通项公式
等比数列中的通项公式等比数列指的是一个数列中，每一项与它前一项的比值都相等的数列。
这个比值称为公比，通常用字母r来表示。
比如，一个等比数列的前三项为2、4、8，则公比为2，因为8/4=4/2=2。
等比数列广泛应用于物理、数学、金融等领域，因此求解等比数列中的通项公式也很重要。
1. 前置知识在求解等比数列中的通项公式之前，需要了解一些前置知识。
（1）等比数列的性质等比数列有以下性质：①前两项之比等于公比：a2/a1=r②第n项与第m项之比等于它们前面的项之比：an/am=an-1/an-2=……=a2/a1=r③包含第一项和第n项的公比是所有项之比的n-1次方：a1×an=a2×a3×a4×…×an-1×an=rn-1×a1×a1（2）指数的基本运算指数是数学中的重要概念，指数的基本运算包括指数与数字的乘法、加法、减法、除法等。
2. 等比数列中的通项公式求解等比数列中的通项公式为：an=a1×rn-1其中，an是第n项，a1是第一项，r是公比，n是项数。
假设知道等比数列的第一项a1、公比r，以及要求的第n项an。
要求这个等比数列中的通项公式。
可以通过以下方法进行求解：（1）使用性质③：a1×an=a2×a3×a4×...×an-1×an将右边等式的an-1×an用an-1/r来代替，得到：a1×an=a2×a3×a4×...×an-1×an-1/r×an拆分一下a2:a1×an=a1×r×a3×r×a4×r…×an-1×r^n-2×an两边同时除以a1r^n-1，得到：an=a1×r^n-1（2）使用指数运算法则：an=a1×r^(n-1)这种方法可以用于直接求解等比数列中的任意一项，但其中a1和r的值需要知道。