曲线运动小船渡河问题分析
高考小船渡河问题专题解析
小船渡河问题小船渡河是典型的运动的合成问题。
需要理解运动的独立性原理，掌握合速度与分速度之间的关系。
小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动v 水（水冲船的运动），和船相对水的运动v 船（即在静水中的船的运动），船的实际运动v 是合运动。
小船渡河两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。
两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。
1、v 水<v 船时间最少在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间θυυsin 1船ddt == ，显然，当︒=90θ时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为船v d，合运动沿v 的方向进行。
位移最小结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船水υυθ=cos2、v 水>v 船 时间最少 同前 位移最小不论船的航向如何，总是被水冲向下游，即无论向哪个方向划船都不能使船头垂直于河，只能尽量使船头不那么斜。
那么怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，设船头v 船与河岸成θ角。
合速度v 与河岸成α角。
可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水船v v =θcos 船头与河岸的夹角应为水船v v arccos =θ，船沿河漂下的最短距离为：θθsin )cos (min 船船水v dv v x ⋅-=此时渡河的最短位移：船水v dv ds ==θcos 典型例题★某人以不变的速度垂直对岸游去，游到中间，水流速度加大，则此人渡河时间比预定时间A ．增加B ．减少C ．不变D ．无法确定 答案：C★某人以一定速度始终垂直河岸向对岸游去，当河水匀速流动时，他所游过的路程，过河所用的时间与水速的关系是( )A ．水速大时，路程长，时间长B ．水速大时，路程长，时间短C ．水速大时，路程长，时间不变D ．路程、时间与水速无关 答案: C★如图所示，A 、B 为两游泳运动员隔着水流湍急的河流站在两岸边，A 在较下游的位置，且A 的游泳成绩比B 好，现让两人同时下水游泳，要求两人尽快在河中相遇，试问应采用下列哪种方法才能实现？（ ）A. A 、B 均向对方游（即沿虚线方向）而不考虑水流作用B. B 沿虚线向A 游且A 沿虚线偏向上游方向游C. A 沿虚线向B 游且B 沿虚线偏向上游方向游D. 都应沿虚线偏向下游方向，且B 比A 更偏向下游 答案：A★★一条自西向东的河流，南北两岸分别有两个码头A 、B ，如图所示．已知河宽为80 m ，河水流速为5 m/s ，两个码头A 、B 沿水流的方向相距100 m ．现有一只船，它在静水中的行驶速度为4 m/s ，若使用这只船渡河，且沿直线运动，则( )A ．它可以正常来往于A 、B 两个码头 B ．它只能从A 驶向B ，无法返回C ．它只能从B 驶向A ，无法返回D ．无法判断 答案：B★在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1，摩托艇在静水中的航速为v 2，战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d ，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为( )A ．21222υυυ-d B ．0 C ．21υυd D ．12υυd答案：C★某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T 1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T 2，若船速大于水速，则船速1v 与水速2v 之比为（ ） (A)21222T T T - (B)12T T (C) 22211T T T - (D)21T T 答案：A★小船在s=200 m 宽的河中横渡,水流速度是2 m/s,船在静水中的航行速度为4 m/s.求: （1）小船渡河的最短时间.（2）要使小船航程最短,应该如何航行? 答案 （1）50 s 2）船速与上游河岸成60°★★一条河宽100米，船在静水中的速度为4m/s ，水流速度是5m/s ，则（ ）A ．该船可能垂直河岸横渡到对岸B ．当船头垂直河岸横渡时，过河所用的时间最短C ．当船头垂直河岸横渡时，船的位移最小，是100米D ．当船横渡时到对岸时，船对岸的最小位移是100米 答案： B★★河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问： (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?答案：（1）20s （2）小船的船头与上游河岸成600角时，最短航程为120m★★小河宽为d ，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，dv k kx v 04==，水，x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为0v ，则下列说法中正确的是（ ） A 、小船渡河的轨迹为曲线 B 、小船到达离河岸2d处，船渡河的速度为02v C 、小船渡河时的轨迹为直线D 、小船到达离河岸4/3d 处，船的渡河速度为010v 答案：A★如图所示，小船从A 码头出发，沿垂直河岸的方向划船，若已知河宽为d ，划船的速度v 船恒定. 河水的流速与到河岸的最短距离x 成正比，即）其中k 为常量。
小船渡河问题
小船渡河问题1.船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2.三种速度：船在静水中的速度v 1、水的流速v 2、船的实际速度v 。
3.三种情况(1)渡河时间最短：船头正对河岸，渡河时间最短，t min ＝d v 1(d 为河宽)。
(2)渡河路径最短(v 2＜v 1时)：合速度垂直于河岸，航程最短，x min ＝d 。
(3)渡河路径最短(v 2＞v 1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直河岸渡河。
确定方法如下：如图所示，以v 2矢量末端为圆心，以v 1矢量的大小为半径画弧，从v 2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。
由图可知sin θ＝v 1v 2，最短航程x min ＝d sin θ＝v 2v 1d 。
【题型1】已知某船在静水中的速度为v 1＝5 m/s ，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d ＝100 m ，水流速度为v 2＝3 m/s ，方向与河岸平行，(1)欲使船以最短时间渡河，渡河所用时间是多少？位移的大小是多少；(2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用时间是多少？(3)若水流速度为v 2′＝6 m/s ，船在静水中的速度为v 1＝5 m/s 不变，船能否垂直河岸渡河？【答案】(1)20 s 2034 m (2)25 s (3)不能【解析】(1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时，渡河所用时间最短，河水流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸渡河时，所用时间最短，最短时间为t ＝d v 1＝1005s ＝20 s. 如图甲所示，当船到达对岸时，船沿平行于河岸方向也发生了位移，由几何知识可得，船的位移为l ＝d 2＋x 2，由题意可得x ＝v 2t ＝3×20 m ＝60 m ，代入得l ＝2034 m.(2)当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，因船在静水中的速度为v 1＝5 m/s ，大于水流速度v 2＝3 m/s ，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸.如图乙所示，设船斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ，则有v 1cos θ＝v 2，cos θ＝v 2v 1＝0.6，则sin θ＝1－cos 2 θ＝0.8，船的实际速度v ＝v 1sin θ＝5×0.8 m/s ＝4 m/s ，所用的时间为t ＝d v ＝1004s ＝25 s.(3)当水流速度v 2′＝6 m/s 时，则水流速度大于船在静水中的速度v 1＝5 m/s ，不论v 1方向如何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡河.【题型2】一小船在静水中的速度为3 m/s ，它在一条河宽为150 m ，水流速度为4 m/s 的河流中渡河，则该小船( )A ．能到达正对岸B ．渡河的时间可能少于50 sC ．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200 mD ．以最短位移渡河时，位移大小为150 m【答案】C【解析】因为小船在静水中的速度小于水流速度，所以小船不能到达正对岸，故A 错误；当船头与河岸垂直时渡河时间最短，最短时间t ＝d v 船＝50 s ，故渡河时间不能少于50 s ，故B 错误；以最短时间渡河时，沿水流方向位移x ＝v 水t ＝200 m ，故C 正确；当v 船与实际运动方向垂直时渡河位移最短，设此时船头与河岸的夹角为θ，则cos θ＝34，故渡河位移s ＝d cos θ＝200 m ，故D 错误。
小船渡河模型解析版
小船渡河模型一、模型建构1、小船渡河问题：小船运动时一个方向上的位移不变，求解最短运动时间和最小位移。
2、两类问题第一类：静水船速大于水流速度一条河宽度为L，水流速度为为v水, 已知船在静水中的航速v船，v 水＜v船,（1）渡河最短时间？（2）渡河最小位移？如图所示，沿河岸和垂直河岸建立坐标系船速在y轴方向：v y=v船sinθ,渡河所需的时间：t=L/v y=L/v船sinθ在L、v船一定时，t随sinθ增大而减小当θ=90时，sinθ=1,最大，即船头与河岸垂直时，渡河时间最短t min=L/v船船的合速度v的方向与河岸垂直时，渡河的最小位移即河的宽度L。
沿河岸方向的速度分量：v x=v船cosθv水＜v船时，v水=v x=v船cosθ即cosθ=v水/v船v合=v船sinθ垂直河岸，位移最小等于河宽L。
一、解题思路：1、沿河岸和垂直河岸建立坐标系2、比较船速沿河岸分速度与水速关系3、判断小船能否垂直渡河4、列方程求最小位移和渡河时间二、解题方法：运动的合成与分解三、解题关键点：1、合理分解速度2、确定渡河位移最小时船速的方向四、解题易错点1、渡河最短时间与水速和船速的大小关系无关2、静水船速小于水流速度时，最小第二类：静水船速小于水流速度一条河宽度为L，水流速度为为v水，已知船在静水中的航速v船，v 水>v船，渡河最小位移？如图所示，沿河岸和垂直河岸建立坐标系沿河岸方向的速度分量：v x=v船cosθv水＞v船时，v x始终小于v水即v合不会垂直河岸，不能垂直渡河以v水的矢尖为圆心,v船为半径画圆,当与圆相切时α角最大。
α角越大，船到下游的距离x越短。
此时sinα=v船/v水,船的最短航程为X min=L/sinα=Lv船/v水二、例题精析例题、河宽60m，水流速度v1＝2m/s，小船在静水中速度v2＝3m/s，则：（1）它渡河的最短时间是多少？（2）最短航程是多少？【解答】（1）、当静水速的方向与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间t＝＝＝20s；（2）、船在静水中的速度v2＝3m/s，大于水流速度v1＝2m/s，因此当船的合速度垂直河岸时，则渡河位移最小，即为河宽60m；三、针对训练1．甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为v0，船在静水中的速率均为v，甲、乙两船船头均与河岸成θ角，如图所示，已知甲船恰能垂直到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，A、B之间的距离为L，则下列判断正确的是（）A．甲乙船不可能同时到达对岸B．若仅是河水流速v0增大，则两船的渡河时间都变短C．不论河水流速v0如何改变，只要适当改变θ角甲船总能到达正对岸的A点D．若仅是河水流速v0增大，则两船到达对岸时，两船之间的距离仍然为L【解答】解：A、将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，抓住分运动和合运动具有等时性，知甲、乙两船到达对岸的时间相等。
高三物理小船渡河问题分析试题答案及解析
高三物理小船渡河问题分析试题答案及解析1.一只小船渡河，水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于岸边，小船相对于水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，运动轨迹如图所示，船相对于水的初速度大小均相同，方向垂直于岸边，且船在渡河过程中船头方向始终不变，由此可以确定船（）A．沿AD轨迹运动时，船相对于水做匀减速直线运动B．沿三条不同路径渡河的时间相同C．沿AB轨迹渡河所用的时间最短D．沿AC轨迹船到达对岸的速度最小【答案】 A【解析】做曲线运动的物体所受合外力的方向指向轨迹曲线的凹侧，即加速度指向曲线凹侧，由图可知，船沿AB、AC、AD轨迹运动时，小船相对于水分别做匀速、匀加速、匀减速直线运动，故选项A正确；船渡河时的时间取决于垂直河岸方向的速度，即小船相对于水的速度，因此小船相对于水做匀加速直线运动时的时间最短，做匀减速直线运动时的时间最长，故选项B、C错误；船到达对岸的速度为沿河岸方向与垂直河岸方向速度的矢量和，在沿河岸方向船的速度始终等于水流速度，不变，因此垂直河岸方向的速度越小，合速度越小，因此当船沿AD轨迹运动时到达对岸的速度最小，故选项D错误。
【考点】本题主要考查了运动的合成与分解的应用问题。
2.一只小船在静水中的速度为3m／s，它要渡过一条宽为30m的河，河水流速为4m／s，则这只船：（）A．过河时间不可能小于10sB．不能沿垂直于河岸方向过河C．可以渡过这条河，而且所需时间可以为6sD．不可能渡过这条河【答案】AB【解析】船在过河过程同时参与两个运动，一个沿河岸向下游的水流速度，一个是船自身的运动。
垂直河岸方向位移即河的宽度，而垂直河岸方向的最大分速度即船自身的速度3m/s，所以渡河最短时间答案A对C错。
只要有垂直河岸的分速度，就可以渡过这条河答案D错。
船实际发生的运动就是合运动，如果船垂直河岸方向过河，即合速度垂直河岸方向，一个分速度沿河岸向下，与合速度垂直，那么在速度合成的平行四边形中船的速度即斜边，要求船的速度大于水的速度，而本题目中船的速度小于河水的速度不可能垂直河岸方向过河答案B对。
小船渡河于绳子末端速度的分解介绍.ppt
玻璃板生产线上，需要将毛坯玻璃切割成 统一尺寸的玻璃成品，玻璃在流水线上不停 滞地被切割，金刚石切刀要在运动中将玻璃 横向切断．如果毛坯玻璃以 4m／s 的速度在 生产线上不断地向前移动，金刚石切刀的移 动速度为 8 m／s，为了将玻璃切割成矩形， 金刚石切刀的移动方向如何控制?切割一块 宽为 9 m 的玻璃需要多长时间？
最短时间
V 船》V 水时最短唯一
V 船《V 水时最短唯一
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6
变式训练 1、 一条宽度为 L 的河流，水流速度为 V1，已知 船在静水中的速度为 V2，那么： （1）怎样渡河时间最短？ （2）若 V2＞V1，怎样渡河位移最小？ （3）若 V2＜V1，怎样渡河船漂下的距离最短？
练习、在抗洪抢险中，战士驾驶冲锋舟救人，假设江岸是平直 的，洪水沿江而下，水的流速为 5m／s，舟在静水中的航速 为 10m／s，战士救人的地点 A 离岸边最近点 0 的距离为 50m。 问：(1)战士要想通过最短的时间将人送上岸，求最短时间为 多长? (2)战士要想通过最短的航程将人送上岸，冲锋舟的驾驶员应 将舟头与河岸成多少度角？ (3) 如果水的流速是 10m/s，而舟的航速(静水中)为 5m／s， 战士想通过最短的距离将人送上岸，求这个最短的距离．
物体拉绳或绳拉物体运动速度分解问题
（1）绳子末端速度的分解，应按运动的实际效果进行。 物体实际运动的速度为合速度 V，物体速度 V 在沿绳子方向 的分速度 V1 为绳子收缩或拉伸的速度，物体速度 V 的另一个 分速度 V2 一定与 V1 垂直，也就是使绳子摆动的速度。
（2）速度投影定理：不可伸长的杆或绳，尽管各点的 速度不同，但各点速度沿绳或杆方向的投影即分速度相同。
小船渡河于绳子末端速度 的分解介绍
复习回顾
3曲线运动描述实例-小船渡河
高一物理人教新课标必修二第五章导学案 编撰人： 王高武 审定人：夏文征 姓名： 学号： 组名： 9 10曲线运动描述实例-小船渡河（预习案）【预习目标】1. 通过预习材料明确所给问题考察的知识2. 尝试利用所学知识分析该问题运动【预习内容】受热带风暴“风神”的影响，2008年6月26日白天至27日早上广东省河源市多个县市持续强降雨，江河暴涨，道路受毁，村庄受浸，山塘水库溢流．灾情就是命令，危急时刻，武警广东总队河源市支队官兵闻灾而动，支队先后派出抢险突击队2批70多名官兵及时赶到现场用冲锋舟、橡皮艇或是简陋的轮胎、木板等工具，一天内转移被洪水围困的群众8500多人请你思考：在抗洪抢险中，时间就是生命．假如你是一名战士，在救人的地点、船速和水速大小一定的情况下，你应如何驾驶冲锋舟才能在最短的时间内将人送上岸？延伸阅读加强对运动合成与分解的理解1．运动的合成和分解：由已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成；已知合运动求跟它等效的分运动，叫运动的分解．两者互为逆运算．2．合运动分解的原则：与力的分解类似．若没有限制条件，一个实际运动可分解为无数对分运动，但在实际问题中往往分解成两个便于分析求解的简单运动．3．合成和分解的方法：运动的合成和分解常包括位移、速度和加速度的合成和分解，由于它们都是矢量，所以遵循平行四边形定则．4．对于在平面内运动的物体，常将其运动在某直角坐标系中进行正交分解，则有： v x ＝v ·cos _θ，v y ＝v ·sin _θ(θ为速度方向与x 轴的夹角)x ＝s ·cos _α，y ＝s ·sin _α(α为位移方向与x 轴的夹角)．【我的疑惑】探究案【学习目标】1．理解合成与分解可以解决较复杂的运动 2．学会化繁为简研究小船渡河问题【学习重点】 分析归纳小船渡河的规律 【学习难点】 应用数学知识分析渡河【方法指导】 自主学习、交流讨论、自主归纳、练习探究一、同一直线上的运动的合成例1 某人站在自动扶梯上不动，扶梯正常运行，人经时间t 1由一楼升到二楼；如果自动扶梯不动，人从一楼沿扶梯走到二楼所用的时间为t 2．现在扶梯正常运行，人也保持原来的速率沿扶梯向上走，则人从一楼到二楼所用的时间是多少？探究二、互成角度的两运动的合成小船的实际运动(站在岸上的人看到的运动)为合运动，同时参与的两个分运动，一个是船相对于静止水的运动，它的方向与船身指向相同；另一个是船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行．船在水中的合运动(实际看到的运动)是上述两个分运动的合成．分情况讨论小船的渡河问题第一种情况：船速大于水速，即v 1＞v 2．(设船在静水中的速度为v 1，水流速度为v 2，河宽为d ) 1．怎样才能使渡河的时间最短2．怎样才能使渡河的位移最短齐贤 集成 求索 创新 最简单的回答就是行动。
第一节 曲线运动——渡河问题
a. 最短航行时间船头的航向：垂直河岸
d b. 最短航行时间为: tmin v船
c. 抵达对岸时往下游漂移的距离为：
x下游
v水 v水tmin d v船
例3、船以5m/s垂直河岸的速度渡河，水流的速 度为3m/s，若河的宽度为100m，试分析和计算： （1）船能否垂直达到对岸； （2）船需要多少时间才能达到对岸； （3）船登陆的地点离船出发点的距离是多少？ （4）设此船仍是这个速率，但是若此船要垂直 达到对岸的话，船头需要向上游偏过一个角度， 求sin.
第一节 曲线运动（3）
—运动的合成与分解（渡河）
知识回顾
物 体 在 平 面 运 动
合运动 分运动
蜡 块 的 运 动 运动的合 1.分运动:蜡块沿玻璃管在竖直方 向的运动和随管做的水平方向的运 动，叫做分运动。 2.合运动:蜡块实际发生的运动叫 做合运动 运动的合成：由已知的分运动求 跟它们等效的合运动的过程叫做 运动的合成(位移，速度加速度的 合成） 运动的分解：由已知的合运动求 跟它等效的分运动的过程叫做运 动的分解(位移，速度加速度的分 解）
（2）小船渡河的时间最短问题
例：船在静水中的速度为v船，河水的水流速度为 v水，河宽为d，河的两岸是理想的平行线，现在 让船渡河，欲使船渡河过程中的航行时间最短， 问： （1）船的航向应该怎么样？ （2）最短航行时间是多少？ （3）船到达对岸时往下游漂移的距离是多少？
总结：要使过河的时间最短，则船头必
4.渡河的处理方法： 在流动的河水中渡河的轮船的运动可分解为两 个运动： （1）假设轮船不开动，轮船随水流一起向下游运 动（v水） （2）假设河水不流动，轮船相对河水的运动（v船）
（1）小船渡河的位移最短问题
深入剖析小船渡河问题
2012-04教学实践高中物理人教版必修二第五章《曲线运动》章节中关于小船渡河的问题是本章的常见问题。
小船渡河时，船的实际速度可以看成是v 水（水的速度）和v 船（船的速度）的合速度。
处理此问题时，往往将船相对河岸运动分解为沿平行于河岸和垂直于河岸方向的两个分运动。
我在教学中体会到主要是对以下物理量进行求解，特总结如下，有不足之处敬请指正。
一、渡河时间通常取决于小船在垂直河岸方向的分速度大小。
例1.如图1所示，河宽为d ，小船在静水中的速度为v 船，水流速度为v 水，v 船与v 水间夹角为θ，试分别求解下列三种情况下小船渡河的时间t 。
水图1（1）v 船=0；（2）v 水=0，v 船≠0；（3）v 船≠0，v 水≠0。
讲析：（1）无论v 水是否为零，船皆无法渡河；（2）根据分运动的独立性，在垂直河岸方向有t =x 1v 1=d v 船sin θ；（3）思路同（2）。
点评：渡河时间也可按实际运动求解，对（2）有t =x v 船=dsin θv 船=d v船sin θ，但此法不适合对（3）求解。
使用垂直河岸分运动解题则思路始终清晰明了。
二、侧向位移小船渡河过程中，平行于河岸方向的分运动必使小船沿岸方向发生侧移。
例2.如图2所示，河宽为d ，小船在静水中的速度为v 船，水流速度为v 水，v 船与v 水间夹角为θ，试分别求解下列三种情况下小船渡河过程中沿岸方向的侧向位移x 。
水图2（1）θ<90°；（2）θ=90°；（3）90°<θ<180°。
讲析：（1）根据分运动的独立性，在沿河岸方向有x //=v //t =（v船cos θ+v 水）t在垂直河岸方向有t =x 1v 1=d v 船sin θ；代入上式有x //=d cos θsin θ=dv 水v 船sin θ（2）同理可得x //=vt =v 水dv 船（3）设α=180°-θ，则同理可得x //=v //t=（v 船cos α-v 水）t =d cos θsin θ=dv 水v 船sin θ。
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高中物理-曲线运动小船渡河问题分析
【模型概述】
在运动的合成与分解中，如何判断物体的合运动和分运动是首要问题，判断合运动的有效方法是看见的运动就是合运动。
合运动的分解从理论上说可以是任意的，但一般按运动的实际效果进行分解。
小船渡河和斜拉船等问题是常见的运动的合成与分解的典型问题
【模型讲解】
一、速度的分解要从实际情况出发
例1.如图1所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度V拉水平面上的物体A，当绳与
水平方向成e角时，求物体A的速度。
图1
解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体A的两个分运动。
物体A的运动（即
绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。
绳长缩短的速度即等于v i v ；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度e
的值。
这样就可以将V按图示方向进行分解。
所以V i及V2实际上就是V A的两个分速度，如
A
二V1V 二
图1所示，由此可得0
V A。
COSCOS
解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。
设船在e角位置经厶t时间向左行驶△ x距离，滑轮右侧的绳长缩短厶L,如图2所示，
当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC可近似看做是一直角三角形，因而有
Lx
Lxcos，两边同除以△ t得：cos
tt
即收绳速率V O V A COS，因此船的速率为：
V
V A 0
cos
图2
总结：“微元法”。
可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位 移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体 间速度大小的关系。
解法三（能量转化法）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。
人对绳子 的拉力为F ，则对绳子
做功的功率为
RFv ;绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，
Q
_
拉力大小也为F ， 则绳子对物体做功的功率为BF VA COS ，因为RF 2所以
=v 0
V A。
cos
二
口
评点：①在上述问题中，若不对物体
A 的运动认真分析，就很容易得出
V A VCOS 的
0 错误结果；②当物体 A 向左移动，B 将逐渐变大，
v 逐渐变大，虽然人做匀速运动，但 体A 却在做变速运动。
物
A
总结：解题流程：①选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）； ②确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；③确定该点合速 度的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向；④作出速度分解的示意图，寻 找速度关系。
、拉力为变力，求解做功要正确理解
例2.如图3所示，某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为 m 的重物，开始时
人在滑轮的正下方，绳下端 A 点离滑轮的距离为 H 。
人由静止拉着绳向右移动，当绳下端
图3
解析：人移动时对绳的拉力不是恒力，重物不是做匀速运动也不是做匀变速运动，故无
到B 点位置时，人的速度为 功？
v ,绳与水平面夹角为 B 。
问在这个过程中，人对重物做了多少
法用WFscos 求对重物做的功，需从动能定理的角度来分析求解。
当绳下端由A 点移到B 点时，重物上升的高度为：
重力做功的数值为:
mgH (1sin
sin
当绳在B 点实际水平速度为v 时，v 可以分解为沿绳斜向下的分速度 v 和绕定滑轮逆时
1
针转动的分速度 V ，其中沿绳斜向下的分速度 V 1和重物上升速度的大小是一致的，从图中
2 可看出：
2
V i VCOS
以重物为研究对象，根据动能定理得:
12 0 =—mv -
1
【实际应用】 小船渡河
两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。
两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。
(1) 怎样渡河时间最短？
>
(2) 右 v 船v ，怎样渡河位移最小？
<水
(3) 右
Q v 船v ，怎样渡河船漂下的距离最短?
解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是
小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。
如图
4所示。
设船头斜向上游与河岸
成任意也 也。
这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为 v 1vsin ，渡河所需要的时间Q —
°
_ _ 8 船 _
LL 船一定时，t 随sin 9增大而减小；当90时,
为t ，可以看出：L 、v
wv 船 sin
H h
H
sin
H (1sin )
sin
2 mgH (isin - .0 sin
) 2 2 )
mv cos
2
例3. 一条宽度为L 的河，水流速度为
已知船在静水中速度为
v 船，那么:
6 = sin1
（最大）。
所以，船头与河岸垂直
t min
(2)如图5所示，渡河的最小位移即河的宽度。
为了使渡河位移等于L,必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。
这时船头应指向河的上游，
并与河岸成一定的角度B,所以有v船cosv , 即卩氏
6 w图5
因为0cos1 ,
所以只有在
<V船V时，船才有可能垂直河岸渡河。
(3)右V
船V，则不水船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最
短呢？
如图6所示，设船头V船与河岸成e角。
合速度V与河岸成a角。
可以看出：a 角越大, 船漂下的距离X越短，那么，在什么条件下a角最大呢？以V水的矢尖为圆心，V船为半径画
V
圆，当V与圆相切时，a 角最大，根据cos 船
e=N
arccos 。
船头与河岸的夹角应为
V
船
arccos，船沿河漂下的最短距离为:
cos
船
误区：不分条件，认为船位移最小一定是垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最 小对应。
【模型要点】
处理“速度关联类问题”时，必须要明白“分运动”与“合运动”的关系： （1）独立性：一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果 （V 分、s 分
（2） 同时性：合运动与分运动同时开始、同时进行、同时结束。
（3） 等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动同时发生、 同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代。
功是中学物理中的重要概念，它体现了力对物体的作用在空间上的累积过程，尤其是变 力做功中更能体现出其空间积累的过程。
所以在处理变力功可采用动能定律、功能原理、图 象法、平均法等。
【模型演练】
（ 2005祁东联考）小河宽为 d ，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成 正比，
v 水kxk ，x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速
d
度为V ，则下列说法中正确的是（）
0 —
A. 小船渡河的轨迹为曲线
B. 小船到达离河岸
d
处，船渡河的速度为 2v
C. 小船渡河时的轨迹为直线
答案：A
(v v cos) min 水
船
v sin
船
此时渡河的最短位移:
4v D.小船到达离河岸3d/4处，船的渡河速度为 10v
v。