最新直线与平面平行经典题目
直线与平面平行的性质习题及答案
§2.2.3 直线与平面平行的性质※基础达标1．已知直线l A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面2．梯形ABCD 中AB ⊂⊄A. 平行B. 平行和异面C. 平行和相交D. 异面和相交3．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）.A. 异面B. 相交C. 平行D. 不能确定4．若直线a 、b 均平行于平面α，则a 与b 的关系是（ ）.A. 平行B. 相交C. 异面D. 平行或相交或异面5．已知l 是过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点的平面AB 1D 1与下底面ABCD 所在平面的交线，下列结论错误的是（ ）.A. D 1B 1∥lB. BD l ∥平面A 1D 1B 1 D. l ⊥B 1 C 16．已知正方体1AC 的棱长为1，点P 是的面11AA D D 的中心，点Q 是面1111A B C D 的对角线11B D 上一点，且//PQ 平面11AA B B ，则线段PQ 的长为 .7．设不同的直线a ,b 和不同的平面α，β，γ，给出下列四个说法：① a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ② a ∥α, a ∥β, 则α∥β； ③α∥γ，β∥γ，则α∥β；④ a ∥b ,b ⊂α,则a ∥α. 其中说法正确的序号依次是 .※能力提高 8．如图，空间四边形ABCD 被一平面所截，截面EFGH是平行四边形. （1）求证：CD ∥平面EFGH ；（2）如果AB ⊥CD ，AB =a ，CD =b 是定值，求截面EFGH 的面积.9．如右图，直线AB 和CD 是异面直线，//AB α，//CD α，F DB C H G E A A αB C D MNAC M α=I ，BD N α=I ，求证：AM BN MC ND=.※探究创新10．如下图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=12AB ，点E 、M 分别为A 1B 、C 1C 的中点，过点A 1、B 、M 三点的平面A 1BMN 交C 1D 1于点N .（1）求证：EM ∥平面A 1B 1C 1D 1； （2）设截面A 1BMN 把该正四棱柱截成两个几何体的体积分别为V 1、V 2（V 1＜V 2)，求V 1∶V 2的值.第14练 §2.2.3 直线与平面平行的性质【第14练】 1～5 DBCDD ； 6. 2； 7. ③. 8. 解：（1）证明：∵ EFGH 是平行四边形， ∴ EF ⊄⊂∵ EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面BDC =DC ， ∴ EF （2）截面EFGH 的面积为 14S ab =.9. 证明：如图，连结AD 交平面α于点Q ，连结MQ 、QN .////AB AQ BN AB ABD AB QN QD NDABD QN αα⎫⎪⊂⇒⇒=⎬⎪=⎭I 平面平面平面，////CD AQ AM CD ACD CD MQ QD MCACD MQ αα⎫⎪⊂⇒⇒=⎬⎪=⎭I 平面平面平面， ∴AM BNMC ND =.10. 解：（1）证明：设A 1B 1的中点为F ，连结EF 、FC 1. ∵E 为A 1B 的中点，∴EF //12B 1B . 又C 1M //12B 1B ，∴EF //MC 1.∴四边形EMC 1F 为平行四边形.∴EM ∥FC 1.∵EM ⊄平面A 1B 1C 1D 1，FC 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴EM ∥平面A 1B 1C 1D 1.（2）延长A 1N 与B 1C 1交于P ，则P ∈平面A 1BMN ，且P ∈平面BB 1C 1C . 又∵平面A 1BMN ∩平面BB 1C 1C =BM ， ∴P ∈BM ，即直线A 1N 、B 1C 1、BM 交于一点P .又∵平面MNC 1∥平面BA 1B 1， ∴几何体MNC 1—BA 1B 1为棱台. ∵S =12·2a ·a =a 2， S =12·a ·12a =14 a 2，棱台MNC 1—BA 1B 1的高为B 1C 1=2a ，V 1=13·2a ·（a 2+2214a a ⋅+14a 2）=76a 3，∴V 2=2a ·2a ·a －76a 3=176a 3. ∴12V V =717.N A αB C D M Q。
高中-空间直线、平面的平行试题-
空间直线、平面的平行考法一线面平行【例1-1】（2021·海原县第一中学高一期末）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 中点．求证：1//BD 平面AEC ．【例1-2】（2020·浙江高一期末）如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，PD ⊥面ABCD ，E 、F 分别为PA 、BC 的中点．（1）求证：//EF 面PCD ；（2）若2AB =，1AD PD ==，求三棱锥P BEF -的体积．【一隅三反】1．（2020·陕西西安市·高一期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点，12AA AB ==，3BC =．求证：1//AB 平面1BC D ；2．（2021·全国高一课时练习）如图，在三棱锥S ABC -中，已知SAC 是正三角形，G 为SAC 的重心，D ，E 分别为SC ，AB 的中点，F 在AB 上，且13AF AB =求证：//DE 平面SGF3．（2020·咸阳市高新一中高一月考）正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P ，Q ，且AP DQ =．求证：//PQ 平面BCE ．考法二面面平行【例2】（2021·全国高一课时练习）如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点，求证：（1）直线EG //平面BDD 1B 1；（2）平面EFG //平面BDD 1B 1.【一隅三反】1．（2021·全国高一专题练习）下列四个正方体图形中，A，B，C 为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF 的是A．B．C．D．2．（2021·全国高一课时练习）如图：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.（1）求证：1//BD 平面AEC ；（2）若F 为1CC 的中点，求证：平面//AEC 平面1BFD .3．（2021·全国高一）如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，E 、F 分别为PD 、PA 的中点，AC 、BD 交于点O .（1）求证：平面//PBC 平面EFO ；（2）求三棱锥A EFO -与四棱锥P ABCD -的体积之比.考法三平行的综合运用【例3】（2020·全国高一课时练习）如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，CC1，C 1D 1，A 1A 的中点．求证：(1)BF ∥HD 1；(2)EG ∥平面BB 1D 1D ；(3)平面BDF ∥平面B 1D 1H .【一隅三反】1．（2020·北京大兴区·高一期末）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//BC 平面PAD ，12BC AD =，E 是PD 的中点.（1）求证：//BC AD ；（2）求证：//CE 平面PAB ；（3）若M 是线段CE 上一动点，则线段AD 上是否存在点N ，使//MN 平面PAB ？说明理由.考法四线面、面面平行的性质【例4-】（2020·全国高一课时练习）在如图所示的几何体中，D 、H 、G 分别是AC 、BF 、CE 的中点，//EF DB ．求证：//GH 平面ABC ．【例4-2】（2020·全国高一课时练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点D 为AC 的中点，点1D 是11A C 上的一点，若1BC //平面11AB D ，则1111A DD C=（）A．12B．1C．2D．3【一隅三反】1．（2020·北京人大附中高一期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，11AA AB AC ===，1CC 的中点为H ，点N 在棱11A B 上，//HN 平面1A BC ，则111A NA B 的值为________.2．（2021·全国高一课时练习）已知平面α//平面β，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C 两点，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D 两点，且6PA =，9AC =，8PD =，则BD 的长为___________.3．（2020·河南高一月考）如图，一个侧棱长为l 的直三棱柱111ABC A B C -容器中盛有液体（不计容器厚度）．若液面恰好分别过棱AC ，BC ，11B C ，11A C 的中点D ，E ，F ，G ．（1）求证：平面//DEFG 平面11ABB A ；（2）当底面ABC 水平放置时，求液面的高．4．（2020·浙江杭州市·高一期末）如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，高为32，过AB 的截面与上底面交于PQ ，且点P 在棱11A C 上，点Q 在棱11B C 上．（Ⅰ）证明：11//PQ A B ；（Ⅱ）当点P 为棱11A C 的中点时，求四棱锥C ABQP -的体积．。
直线与平面平行的判定及其性质 测试题(答案)
直线与平面平行的判定和性质年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共26题，题分合计130分)1.直线a //平面M ,直线b ⊂/M ,那么a //b 是b //M 的 条件. A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要2.已知l 、m 、n 为两两垂直且异面的三条直线，过l 作平面α与m 垂直，则直线n 与平面α的关系是A.n //αB.n //α或n ⊂αC.n ⊂α或n 不平行于αD.n ⊂α3.能保证直线a 与平面α平行的条件是A.b a b a //，，αα⊂⊄B.b a b //，α⊂C.c a b a c b //////，，，αα⊂D.b D b C a B a A b ∈∈∈∈⊂，，，，α且BD AC =4.如果直线a 平行于平面α,则A.平面α内有且只有一直线与a 平行B.平面α内无数条直线与a 平行C.平面α内不存在与a 平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a 都平行5.如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α,则b 与α的位置关系A.相交B.α//bC.α⊂bD.α//b 或α⊂b6.下列命题正确的个数是（1）若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α（2）若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一直线平行（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 （4）若一直线a 和平面α内一直线b 平行,则a ∥α A.0个 B.1个 C.2个 D.3个7.若直线a ⊥b ,且a ∥平面α,则直线b 与平面α的位置关系是A.b ⊂αB.b ∥αC.b ⊂α或b ∥αD.b 与α相交或b ∥α或b ⊂α都有可能8.已知α､β是两个不同的平面,在下列条件中,可判断平面α与平面β平行的是A.α､β都垂直于平面γB.a ､b 是α内两条直线,且a ∥β,b ∥βC.α内不共线的三个点到β的距离相等D.a ､b 为异面直线,且a ∥α,b ∥α,a ∥β,b ∥β9.下列命题正确的个数是①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行 ④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个10.b 是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b ∥α是A.b 与α内的一条直线不相交B.b 与α内的两条直线不相交C.b 与α内的无数条直线不相交D.b 与α内的所有直线不相交11.已知直线l 1、l 2，平面α，l 1∥l 2,l 1∥α，则l 2与α的位置关系是A.l 2∥αB.l 2⊂αC.l 2∥α或l 2⊂αD.l 2与α相交12.已知两条相交直线a 、b ，a ∥平面α，则b 与α的位置关系A.b ∥αB.b 与α相交C.b ⊂αD.b ∥α或b 与α相交13.下列命题中正确的是①过一点，一定存在和两条异面直线都平行的平面②垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行③若两条直线没有公共点，则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行 A.① B.③ C.①③ D.①②③14.a、b为平面M外的两条直线，在a∥M的前提下，a∥b是b∥M的A.充要条件B.充分条件C.必要条件D.以上情况都不15.α和β是两个不重合的平面,在下列条件中可判定平面α与β平行的是A.α､β都垂直于平面γB.α内不共线的三点到β的距离相等C.l,m是α平面内的直线,且l∥β,m∥βD.l､m是两条异面直线且l∥α,m∥α,m∥β,l∥β16.在空间中，下述命题正确的A.若直线a∥平面M，直线b⊥直线a，则直线b⊥平面MB.若平面M∥平面N，则平面M内任意一条直线a∥平面NC.若平面M与平面N的交线为a，平面M内的直线b⊥直线a，则直线b⊥平面ND.若平面N内的两条直线都平行于平面M，则平面N∥平面M17.设直线a在平面M内，则直线M平行于平面N是直线a平行于平面N的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件18.设a、b是平面α外的任意两条直线，则"a、b长相等"是"a、b在平面α内的射影长相等"的A.既不充分也不必要条件B.充分必要条件C.必要但不充分条件D.充分但不必要条件19.如果平面α和直线l满足l和α内两条平行直线垂直,则A.l αB.l∥αC.l与α相交D.以上都不对20.如果一条直线和一个平面平行，为了使夹在它们之间的两条线段的长相等，以下结论正确的是A.其充分条件是这两条线段平行B.其必要条件是这两条线段平行C.其充要条件是这两条线段平行D.其必要条件是这两条线段平行21.直线a∥平面α,平面α内有n条直线交于一点,那么这几条直线中与直线a平行的A.至少有一条B.至多有一条C.有且只有一条D.不可能有22.若直线m平面α,则“平面α∥平面β”是“直线m∥平面β”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件23.平行于同一个平面的两条直线的位置关系是A.平行B.相交C.异面D.平行或相交或异面24.下列四个命题中假命题的个数是①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行②两条直线没有公共点，则这两条直线平行③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行A.4B.3C.2D.125.如果一条直线和一个平面平行,为了使夹在它们之间的两条线段的长相等,以下结论正确的是A.其充分条件是这两条线段平行B.其必要条件是这两条线段平行C.其充要条件是这两条线段平行D.其必要条件是这两条线段平行26.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.任意一条直线都不相交D.无数条直线不相交二、填空题(共6题，题分合计25分)1.如图，空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 上的点.且32==CD CG CB CF ,若BD =6 cm ，梯形EFGH 的面积为28 cm 2，则平行线EH 与FG 间的距离为_______.2.一条直线与平面α相交于点A ，在平面α内不过A 点的直线与这条直线所成角的最大值为_________.3.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过点A 、E 、C 的平面的位置关系是__________.4.几何体ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为A 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝31a ，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝___________.5.如果两条直线a 与b 互相平行，且a ∥平面α，那么b 与α的位置关系是 ．6.直线a ∥平面α，直线b 、c 都在α 内且a ∥b ∥c ，若a 到b ， c 的距离分别为d 1、d 2，且d 1＞d 2，则直线a 到α 的距离d 的取值范围是___________.三、解答题(共12题，题分合计112分)1.求证:若直线l与平面α有一个公共点,且l平行于α内的一条直线,则l α..2.如图，P是△ABC所在平面外一点，M∈PB，试过AM作一平面平行于BC，并说明画法的理论依据Array3.设AB、CD为夹在两个平行平面α、β之间线段,且直线AB、CD为异面直线,М、P分别为AB、CD的中点,求证:MP ∥α.4.ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，(1)画出过A、C、B1的平面与下底面的交线l；(2)求l与直线AC的距离.5.正方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1分别有E、F，且B1E=C1F，求证：EF∥平面ABCD.6.平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面.7.设a、b是异面直线，自AB的中点O作平面α与a、ｂ分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与α交于点P，求证：P是MN的中点.8.求证：如果一条直线和两个相交的平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行.9.α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a,若直线a∥直线b,你能得到什么结论?10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.求证：EF∥平面BB1C1C.11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B.12.如图，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.(1)求证：EFGH是矩形.(2)点E在什么位置时，EFGH的面积最大.直线与平面平行的判定和性质答案一、选择题(共26题，合计130分)1.答案：A2.答案：A3.答案：A4.答案：B5.答案：D6.答案：A7.答案：D8.答案：B9.答案：B10.答案：D11.答案：C12.答案：D13.答案：B14.答案：B15.答案：D16.答案：B17.答案：A18.答案：A19.答案：D20.答案：A21.答案：B22.答案：A23.答案：D24.答案：A25.答案：A26.答案：C二、填空题(共6题，合计25分)1.答案：8 cm2.答案：90°3.答案：BD1∥平面AEC4.答案：a2 325.答案：b∥α或b α6.答案：) ,0(2 d三、解答题(共12题，合计112分)1.答案：见注释2.答案：见注释3.答案：见注释4.答案：. 26 a5.答案：见注释6.答案：见注释7.答案：见注释8.答案：见注释9.答案：见注释10.答案：见注释11.答案：见注释12.答案：（1）见注释（2）E为BD的中点时。
高中数学直线与平面平行的判定练习题含答案
高中数学直线与平面平行的判定练习题含答案
一、基础过关
1．直线 m∥平面α，直线 n∥m，则
()
A．n∥α C．n⊂α
B．n 与α相交 D．n∥α或 n⊂α
2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是 ( )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．不相交
3．已知 a，b 是两条相交直线，a∥α，则 b 与α的位置关系是
AB⊄平面 DCF OF⊂ 平面 DCF ⇒AB∥平面 DCF. AB∥OF 9．A 10．D 11．12 12．证明 取 A′D 的中点 G，连接 GF，GE，
由条件易知 FG∥CD，FG＝1CD，BE∥CD，BE＝1CD，
2
2
所以 FG∥BE，FG＝BE，故四边形 BEGF 为平行四边形， 所以 BF∥EG.因为 EG⊂平面 A′DE，
∴PQ∥平面 BCE.
BF⊄平面 A′DE，
所以 BF∥平面 A′DE.
13．证明 如图所示，连接 AQ 并延长交 BC 于 K，连接 EK. ∵KB∥AD，∴DQ＝AQ. BQ QK
∵AP＝DQ，AE＝BD，
∴BQ＝PE. ∴DQ＝AP.∴AQ＝AP.∴PQ∥EK.
BQ PE QK PE
又 PQ⊄平面 BCE，EK⊂平面 BCE，
C．能作出无数个
D．以上都有可能
11．过平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 任意两条棱的中点作直线，其中与平面 DBB1D1 平行的
直线共有________条．
12．如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为线段 AB 的中点，将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A′DE，
F 为线段 A′C 的中点．求证：BF∥平面 A′DE.
直线与平面平行的性质经典例题
2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质一、基础达标1．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是() A．平行B．异面C．相交D．平行或异面或相交答案 D解析如图(1)，(2)，(3)所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．2．(2014·郑州高一检测)已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线() A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不一定都在平面α内D．有无数条，不一定都在平面α内答案 B解析如图所示，∵l∥平面α，P∈α，∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的．3．三棱锥S－ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则() A．EF与BC相交B．EF与BC平行C．EF与BC异面D．以上均有可能答案 B解析由线面平行的性质定理可知EF∥BC.4．(2014·呼和浩特高一检测)如图，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC 上的点，且MN∥平面P AD，则()A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能答案 B解析∵MN∥平面P AD，MN⊂平面P AC，平面P AD∩平面P AC＝P A，∴MN∥P A.5．下列说法正确的是() A．平行于同一条直线的两个平面平行B．平行于同一个平面的两个平面平行C．一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行D．若三直线a，b，c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有一个平面与b，c均平行答案 B解析平行于同一条直线的两个平面可以平行也可以相交，所以A错；B正确；C中没有指明这三个点在平面的同侧还是异侧，不正确；D不正确，因为过直线a的平面中，只要b，c不在其平面内，则与b，c均平行．6．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．答案平行解析由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．7.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1，B，C1的平面与平面ABC的交线为l，试判断l与直线A1C1的位置关系，并给以证明．解l∥A1C1证明在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴A1C1∥平面ABC.又∵A1C1⊂平面A1BC1，且平面A1BC1∩平面ABC＝l，∴A1C1∥l.二、能力提升8．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点答案 D解析∵l⊄α，∴l∥α或l与α相交．(1)若l ∥α，则由线面平行的性质可知l ∥a ，l ∥b ，l ∥c ，… ∴a ，b ，c ，…这些交线都平行．(2)若l 与α相交，不妨设l ∩α＝A ，则A ∈l ，又由题意可知A ∈a ，A ∈b ，A ∈c ，…，∴这些交线交于同一点A .综上可知D 正确．9.如图所示，直线a ∥平面α，A ∉α，并且a 和A 位于平面α两侧，点B ，C ∈a ，AB 、AC 分别交平面α于点E 、F ，若BC ＝4，CF ＝5，AF ＝3，则EF ＝________.答案 32解析 EF 可看成为直线a 与点A 确定的平面与平面α的交线，∵a ∥α，由线面平行的性质定理知，BC ∥EF ，由条件知AC ＝AF ＋CF ＝3＋5＝8. 又EF BC ＝AFAC ，∴EF ＝AF ×BC AC ＝3×48＝32.10.如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′S △ABC＝________.答案 425解析 由平面α∥平面ABC ，得AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′，AC ∥A ′C ′， 由等角定理得∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，∠BCA ＝∠B ′C ′A ′，∠CAB ＝∠C ′A ′B ′， 从而△ABC ∽△A ′B ′C ′，△P AB ∽△P A ′B ′， S △A ′B ′C ′S △ABC＝⎝⎛⎭⎪⎫A ′B ′AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫P A ′P A 2＝425. 11.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点． 证明 ∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ， 平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ， 平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ， ∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1， ∴四边形ANC 1M 为平行四边形， ∴AN ＝C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ， ∴N 为AC 的中点． 三、探究与创新12.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．解能．取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1，∵A1N∥PC1且A1N＝PC1，PC1∥MC，PC1＝MC.∴四边形A1MCN是平行四边形，又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，∴平面A1MCN∥平面PBC1，因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形．连接MN，作A1H⊥MN于点H，∵A1M＝A1N＝5，MN＝22，∴A1H＝ 3.∴S△A1MN＝12×22×3＝ 6.故S▱A1MCN＝2S△A1MN＝2 6.13．如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论．解法一(1)证明：因为BC∥AD，BC⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BC∥平面P AD.又因为平面PBC∩平面P AD＝l，所以BC∥l.(2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM. 可知四边形AMNE为平行四边形．所以MN∥AE，又因为MN⊄平面APD，AE⊂平面APD，所以MN∥平面APD. 法二(1)证明：由AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因为平面PBC∩平面P AD＝l，所以l∥AD，l∥BC.(2)设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，则MQ∥AD，NQ∥PD，而MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面P AD.MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面P AD.。
专题08 空间直线与平面的平行问题-高中数学专项训练测试卷(解析版)
专题08空间直线与平面的平行问题知识点1直线与平面平行的判定定理：1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行2、符号语言：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.3、图形语言：知识点2直线与平面平行的性质定理1、文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．2、符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.3、图形语言：知识点3平面与平面平行的判定定理1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)2、符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α⇒β∥α.3、图形：4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．知识点4平面与平面平行的性质定理1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行2、符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.3、图形：4、平面与平面平行其他常用性质推论（1）平行于同一个平面的两个平面平行.（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.（3）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.知识点5三种平行关系的转化考点1平行关系的判定【例1】（2023春·全国·高一专题练习）已知a ，b ，c 为三条不同的直线,,αβγ为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．若//a b ，b α⊂，则//a αB ．若a α⊂，b β⊂，//a b ，则//αβC ．若//αβ，//a α，则//a βD ．若a αβ⋂=，b βγ= ，c αγ⋂=，//a b ，则//b c【答案】D【解析】若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂，故A 选项错误；若a α⊂，b β⊂，//a b ，则//αβ或α与β相交，故B 选项错误．若//αβ，//a α，则//a β或a β⊂，故C 选项错误；若a αβ⋂=，b βγ= ，c αγ⋂=，//a b ，则//b c ，正确，证明如下：//a b ，a γ⊄，b γ⊂，//a γ∴，又a α⊂，且c αγ⋂=，//a c ∴，则//b c ，故D 选项正确；故选：D ．【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）已知直线a ，b ，c ，平面α.下述命题中，真命题的个数是（）（1）若a 与b 是异面直线，b 与c 是异面直线，则a 与c 是异面直线；（2）若a b ，b c P ，则a c P ；（3）若a b ，b α⊂，则a αP ；（4）若a αP ，b αP ，则a b ．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】（1）若a 与b 是异面直线，b 与c 是异面直线，则a 与c 可能是异面直线，也可能不是异面直线，故命题错误；（2）由线线平行关系的传递性可知，命题正确；（3）由线面平行的判断定理可得a αP 或者a α⊂，命题错误；（4）由线面平行的概念可知，a 与b 相交，或者平行或者a 与b 异面，故命题错误.综上所述，真命题的个数是1.故选：A.【变式1-2】（2023·全国·高一专题练习）已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．①a //c ，b //c ⇒a //b ；②a //β，b //β⇒a //b ；③a //c ，c //α⇒a //α；④a //β，a //α⇒α//β；⑤a ⊄α，b ⊂α，a //b ⇒a //α.其中正确的命题是（）A ．①⑤B ．①②C ．②④D ．③⑤【答案】A【解析】对于①，由平行的传递性公理，则正确；对于②，由//a β，b β//，则,a b 共面或异面，故错误；对于③，由//a c ，//c α，则//a α或a α⊂，故错误；对于④，由//a β，//a α，则,αβ平行或相交，故错误；对于⑤，由a α⊄，b α⊂，//a b ，根据线面平行判定定理，可得//a α，故正确.故选：A.【变式1-3】（2023·全国·高一专题练习）已知,m n 是不同的直线,,αβ是不同的平面,下列命题中真命题为（）A ．若,m n αα⊂∥,则m n∥B ．若,m m αβ∥∥,则αβ∥C ．若,m αββ⊂∥,则m αD ．若,m αβα∥∥,则m β【答案】C【解析】由题知,不妨将,m n ,,αβ放在长方体中可知,关于选项A,如图所示可知A 错误,关于选项B,如图所示可知B 错误,关于选项D,如图所示可知D 错误,根据面面平行的性质定理可知,选项C 正确.故选:C【变式1-4】（2022春·黑龙江·高一哈九中校考期中）设a ，b 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，①a α⊂、b β⊂，a β∥，b αP ；②αγ∥，βγ∥；③αγ⊥，βγ⊥；④a α⊥，b β⊥，a b ．则αβ∥的充分条件可以是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④【答案】D 【解析】因为a ，b 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，①a α⊂、b β⊂，a β∥，b αP ，则α与β平行或相交，故①错误；②αγ∥，βγ∥，则αβ∥，故②正确；③αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，故③错误；④a α⊥，b β⊥，a b ，则αβ∥，故④正确；综上②④正确，故选：D【变式1-5】（2023·全国·高一专题练习）如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线//MN 平面ABC 的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】对于A ，由正方体的性质可得////MN EF AC ，可得直线//MN 平面ABC ，能满足；对于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得//MN AD，可得直线//MN平面ABC，能满足；对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得//BDMN，可得直线//MN平面ABC，能满足；对于D，作出完整的截面，如下图ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足.故选：D.考点2线线平行的证明中，底面ABCD为矩【例2】（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱锥P ABCD形，E为棱PB上一点（不与P、B重合），平面ADE交棱PC于点F．求证：//AD EF.【答案】证明见解析【解析】因为四边形ABCD 为矩形，所以，//AD BC ，因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以，//AD 平面PBC ，因为AD ⊂平面ADE ，平面ADE 平面PBC EF =，所以，//AD EF .【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）在正四棱锥P ABCD -中，已知2AB =，3PA =，E ，G 分别为PB ，PD 的中点，平面AEG 平面ABCD l =．求证：//EG l ；【答案】证明见解析【解析】证明：连接BD ，∵E ，G 分别为PB ，PD 的中点，即EG 是三角形ABD 的中位线，∴//EG BD又∵EG ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴//EG 平面ABCD ，又∵EG ⊂平面AGE ，平面AGE 平面ABCD l =，∴//EG l【变式2-2】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，E 为侧棱PC 的中点．设经过A 、B 、E 三点的平面交PD 于F ，证明：F 为PD 的中点.【答案】证明见解析【解析】如下图所示：因为四边形ABCD 为矩形，则//CD AB ，因为CD ⊄平面ABE ，AB ⊂平面ABE ，所以，//CD 平面ABE ，因为CD ⊂平面PCD ，平面PCD 平面ABE EF =，所以，//EF CD ，又因为E 为PC 的中点，所以，点F 为PD 的中点.【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，其中侧面11B BCC 为平行四边形，,E F 分别为11,BC B C 的中点，P 在线段AE 上，且满足:1:2AP PE =，过11B C 和点P 的平面交AB 于G ，交DC 于H .证明：11//B C GH ；【答案】证明见解析【解析】由题意四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面ABCD //平面1111D C B A ，因为过11B C 和点P 的平面交AB 于G ，交DC 于H ，则,G H ∈平面ABCD ，设过11B C 和P 的平面为α，则平面ABCD GH α= ，平面111111A B C D B C α= ，11B C ∴//GH .【变式2-4】（2023·全国·高一专题练习）如图，⊥AE 平面ABCD ，//BF 平面ADE ，//CF AE ，求证：//AD BC【答案】证明见解析【解析】由题意//CF AE ，CF ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，∴//CF 平面ADE ，又//BF 平面ADE ，BF CF F ⋂=，∴平面//BCF 平面ADE ，而平面BCF ⋂平面ABCD AD =，平面ADE 平面ABCD BC =，∴//AD BC .考点3线面平行的证明【例3】（2023·全国·高一专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，15AA AB ==，D 是AB 的中点．（1）求三棱锥1D BCB -的体积；（2）求证：1//AC 平面1CDB ；【答案】（1）5；（2）证明见解析【解析】（1）因为3AC =，4BC =，15AA AB ==，所以222AC BC AB +=，即AC BC ⊥，又D 是AB 的中点，所以111111134522325D BCB B DBC ABC B V V ---===⨯⨯⨯⨯⨯=；（2）设1B C 与1BC 相交于点E ，连接ED ，在1C AB △中，D 为AB 的中点，E 为1C B 的中点，所以1//AC DE ，因为1AC ⊄平面1CDB ，DE ⊂平面1CDB ，所以1//AC 平面1CDB ；【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）如图所示的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，2AD BD ==，π3BDC ∠=，3BC =PD ⊥平面ABCD ，2FC PF =.证明：//AP 平面BDF ；【答案】证明见解析【解析】证明：//AB CD Q ，π3DBA BDC ∴∠=∠=，AD BD = ，DAB ∴ 为等边三角形，2AB DB ∴==，在BDC 中，2DB =，π3BDC ∠=，23BC =由余弦定理得2222cos BC BD CD BD CD BDC =+∠-⋅⋅，即2221(23)2222CD CD =+-⨯⨯⨯，4CD ∴=，如图，连接AC 交BD 于点E ，连接EF ，//AB CD Q ，ABE CDE ∴△∽△，::1:2AE EC AB CD ∴==，:1:2PF FC = ，//EF AP ∴，又AP ⊂/平面BDF ，EF ⊂平面BDF ，//AP ∴平面BDF 【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E 、F 分别是棱AC 、11A B 的中点，求证：//EF 平面11BCC B ；【答案】证明见解析【解析】设G 为11B C 的中点，连接FG ，GC ，因为点E ，F ，G 分别为AC ，11A B ，11B C 的中点，所以11FG A C ∥且1112FG A C =，11EC A C ∥，111122EC AC A C ==，所以EC FG ∥，且EC FG =，所以四边形ECGF 是平行四边形，所以EF CG ∥，又因为CG ⊂平面11BCC B ，EF ⊄平面11BCC B ，所以//EF 平面11BCC B ．【变式3-3】（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点，求证：（1）直线EG ∥平面11BDD B ；（2）H 为线段1DD 上一点，且13DD DH =，求证：BH ∥平面EFG【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）连接SB ，在三角形SBC 中，G 是SC 的中点，E 是BC 的中点，所以EG SB ∥，EG ⊄平面11BDD B ，SB ⊂平面11BDD B ，所以EG ∥平面11BDD B （2）连接SD ，F ，G 分别是DC ，SC 的中点，FG SD∴∥又FG ⊄ 平面11BDD B ，SD ⊂平面11BDD B ，FG ∴∥平面11BDD B 由（1）得EG ∥平面11BDD B ，FG ⊂平面EFG ，EG ⊂平面EFG ，EG FG G= ∴平面EFG ∥平面11BDD B 又BH ⊂ 平面11BDD B ，BH ∴∥平面EFG ．【变式3-4】（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，1112224AB BC CD DD D C ====，P 为棱1CC 的中点，证明：//AC 平面1B DP .【答案】证明见解析【解析】在四棱台1111ABCD A B C D -中，在BB 1上取点Q ，使1113B Q BB =，连BD 交AC 于点O ，连接OQ ，如图，延长CC 1，BB 1交于点V ，由111112B C D C BC DC ==，则1113VB B B B Q ==，11122VC C C C P CP ===，则113VB VP PC B Q ==，即1//B P QC ，又QC ⊄平面1B DP ，1B P ⊂平面1B DP ，于是得//QC 平面1B DP ，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，则112B QDO CD OB AB QB ===，于是得1//OQ DB ，又OQ ⊄平面1B DP ，1DB ⊂平面1B DP ，则//OQ 平面1B DP ，又OQ QC Q ⋂=，,OQ QC ⊂平面OQC ，因此得平面1//B DP 平面OQC ，又AC ⊂平面OQC ，所以//AC 平面1B DP .考点4面面平行的证明【例4】（2023·高一课时练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1,2AB AD ==，E ，F ，Q 分别为1,,AD AA BC 的中点，求证：平面//BEF 平面1A DQ ．【答案】证明见解析【解析】因为E 是AD 的中点，Q 是BC 的中点，所以,ED BQ ED BQ =∥，所以四边形BEDQ 是平行四边形，所以BE DQ ∥．又因为BE ⊄平面1,A DQ DQ ⊂平面1A DQ ，所以BE ∥平面1A DQ ．又因为F 是1A A 的中点，所以1EF A D ∥，因为EF ⊄平面11,A DQ A D ⊂平面1A DQ ，所以EF P 平面1A DQ ．因为,BE EF E EF ⋂=⊂平面,BEF BE ⊂平面BEF ，所以平面BEF ∥平面1A DQ ．【变式4-1】（2022·高一课时练习）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1D 、D 分别为11B C ，BC 的中点，求证：平面11//A BD 平面1AC D .【答案】证明见解析【解析】证明：在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11B BCC 、11A ACC 为平行四边形，又1D 、D 分别为11B C ，BC 的中点，所以11//D C BD 且11D C BD =，所以四边形11D C DB 为平行四边形，所以11//D B DC ，因为1D B ⊄平面1AC D ，1DC ⊂平面1AC D ，所以1//D B 平面1AC D ，连接1AC 、1A C ，11A C AC M = ，再连接DM ，由四边形11A ACC 为平行四边形，所以M 为1A C 的中点，所以1//DM A B ，因为1A B ⊄平面1AC D ，DM ⊂平面1AC D ，所以1//A B 平面1AC D ，又11B A D B B = ，11,A B D B ⊂平面11BD A ，所以平面11//A BD 平面1AC D .【变式4-2】（2023春·全国·高一专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，H ，G 分别是棱''A B ，''A D ，''C D ，B C ''的中点.求证：平面//AEF 平面HGBD .【答案】证明见解析【解析】连接B D ''，因为E ，F ，G ，H 分别是棱A B ''，A D ''，B C ''，C D ''的中点，所以//EF B D ''，//HG B D ''，所以//EF HG ，又EF ⊂平面AEF ，HG ⊂平面AEF ，所以//HG 平面AEF ，连接AC BD O = ，连接A C ''交EF 于M ，交GH 于N ，交B D ''于O '，则12A M C N AO '''==，所以12C MN A ''=，又12AO AC =，AC A C =''，//AC A C ''，所以四边形AONM 是平行四边形，所以//AM ON ，又AM ⊂平面AEF ，ON ⊂/平面AEF ，所以//ON 平面AEF ，又ON ⊂平面BGHD ，HG ⊂平面BGHD ，HG ON N ⋂=，所以平面//AEF 平面BGHD .【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD为正方形，O 为BD 的中点，124A A AB ==，求证：平面1A BD ∥平面11CD B 【答案】证明见解析【解析】因为四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，所以11A B ∥AB ，11A B AB =，AB ∥CD ，AB CD =，所以11A B ∥CD ，11A B CD =，所以四边形11A B CD 为平行四边形，所以1A D ∥1B C ．又1A D ⊄平面11CD B ，1B C ⊂平面11CD B ，所以1A D ∥平面11CD B ，同理可证：1A B ∥平面11CD B ．又111A D A B A ⋂=，1A D ⊂平面1A BD ,1A B ⊂平面1A BD所以平面1A BD ∥平面11CD B ．考点5平行关系的探索性问题【例5】（2023·全国·高一专题练习）如图所示正四棱锥S ABCD -，2,2SA SB SC SD AB =====，P 为侧棱SD 上的点．且3SP PD =，求：侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC ．若存在，求SE EC的值；若不存在，试说明理由．【答案】在侧棱SC 上存在一点E ，使//BE 平面PAC ，满足2SE EC =【解析】在侧棱SC 上存在一点E ，使//BE 平面PAC ，满足2SE EC=．理由如下：取SD 中点为Q ，因为3SP PD =，则PQ PD =，过Q 作PC 的平行线交SC 于E ，连接BQ ，BE ．在BDQ △中，有//BQ PO ，PO ⊂ 平面PAC ，⊄BQ 平面PAC ，//BQ ∴平面PAC ，由于2SQ QP =，∴2SE SQ EC QP ==．又由于//QE PC ，PC ⊂平面PAC ，QE ⊄平面PAC ，//QE ∴平面PAC ，BQ QE Q ⋂= ，∴平面//BEQ 平面PAC ，又BE ⊂平面BEQ ，//BE ∴平面PAC ，【变式5-1】（2022春·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考阶段练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是AB ，1CC ，AD 的中点.（1）求异面直线1B E 与BG 所成角的余弦值；（2）棱CD 上是否存在点T ，使得//AT 平面1B EF ？若存在，求出DT DC的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）25；（2）存在，14DT DC =.【解析】（1）取11A D 中点M ，连接1MB ，ME ，GE ，MG .因为1111ABCD A B C D -是正方体，M ，G 分别为11A D ，AD 的中点，所以1//BG B M ，所以1MB E ∠（或补角）为异面直线1B E 与BG 所成角.设正方体的棱长为2，则115MB B E ==6ME =所以12cos 5255MB E ∠==⨯⨯，即异面直线1B E 与BG 所成角的余弦值为25.（2）存在，且14DT DC =，证明如下：延长BC ，1B F 交于H ，连接EH 交DC 于K ，因为11//CC BB ，F 是1CC 的中点，所以C 为BH 中点.因为//CD AB ，所以//KC AB ，且1124KC EB CD ==，当14DT DC =时，//TK AE ，且TK AE =，即四边形AKET 为平行四边形，所以//AT EK ，即//AT EH ，又EH ⊂平面1B EF ，AT ⊄平面1B EF ，所以//AT 平面1B EF .【变式5-2】（2022秋·陕西西安·高一统考期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，M 、N 、Q 分别为BC 、PA 、PB 的中点.（1）证明：平面//MNQ 平面PCD ；（2）在线段PD 上是否存在一点E ，使得//MN 平面ACE ？若存在，求出PE PD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，12PE PD =.【解析】（1）∵ABCD 是平行四边形，M 、N 、Q 分别为BC 、PA 、PB 的中点，∴////NQ AB CD ，//MQ PC ，又NQ ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，MQ ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，∴//NQ 平面PCD ，//MQ 平面PCD ，∵NQ MQ Q = ，且NQ 、MQ Ì平面MNQ ，∴平面//MNQ 平面PCD .（2）存在点E 是线段PD 的中点，使得//MN 平面ACE ，且12PE PD =.证明如下：取PD 中点E ，连接NE 、CE ，∵N 、E 、M 分别是AP 、PD 、BC 的中点，∴11//,=22NE AD NE AD ，且//,=BC AD BC AD ，即11//,=22MC AD MC AD ，∴//,=NE MC NE MC ，∴四边形MCEN 是平行四边形，∴//MN CE ，∵MN ⊄平面ACE ，CE ⊂平面ACE ，∴//MN 平面ACE ，且12PE PD =.【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，PB ⊥平面ABCD ，MA ∥PB ，PB ＝2MA .在线段PB 上是否存在一点F ，使平面AFC ∥平面PMD ？若存在，请确定点F 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】存在，点F 是PB 的中点，证明见解析【解析】当点F 是PB 的中点时，平面AFC ∥平面PMD ，证明如下：如图连接BD 与AC 交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是BD 的中点，∴OF ∥PD .又OF ⊄平面PMD ，PD ⊂平面PMD ，∴OF ∥平面PMD .又MA ∥PB 且PB ＝2MA .∴PF ∥MA 且PF ＝MA ，∴四边形AFPM 是平行四边形，∴AF ∥PM .又AF ⊄平面PMD ，PM ⊂平面PMD ，∴AF ∥平面PMD .又AF ∩OF ＝F ，AF ⊂平面AFC ，OF ⊂平面AFC ，∴平面AFC ∥平面PMD .【变式5-4】（2022·全国·高三专题练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，已知AB AD =，E 为AD 的中点，在线段11B C 上是否存在点F ，使得平面1//A AF 平面1ECC ？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由【答案】存在，证明见解析．【解析】存在，当点F 为线段11B C 的中点时，平面1A AF ∕∕平面1ECC ，证明：连接1,A F AF ，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA CC ∕∕，11AD B C ∕∕．又因为1CC ⊂平面1ECC ，1AA ⊂平面1ECC ，所以1AA ∕∕平面1ECC ，又E 为AD 的中点，F 为11B C 的中点，所以1AE FC ∕∕，且1AE FC =．故四边形1AEC F 为平行四边形，所以1AF EC ∕∕，又因为1EC ⊂平面1ECC ，AF ⊄平面1ECC ，所以AF ∕∕平面1ECC ，又因为1AF AA A = ，1AA ⊂平面1A AF ，AF ⊂平面1A AF ，所以平面1A AF ∕∕平面1ECC ．考点6利用平行关系求解截面问题【例6】（2022春·辽宁沈阳·高一校联考期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，过11A B 的截面与AC 交于点D ，与BC 交于点E ，该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则CD AC =（）A ．13B ．12C ．232D ．312【答案】D【解析】由题可知平面11A B ED 与棱柱上，下底面分别交于11A B ，ED ，则11A B ∥ED ，ED AB ∥，显然111CDE C A B -是三棱台，设ABC 的面积为1，CDE 的面积为S ，三棱柱的高为h ，111(123h h S S ∴⋅⋅=+312S -=由CDE CAB ∽△△，可得3121CD S AC -==.故选：D.【变式6-1】（2022·高一课时练习）棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，过C 、M 、1D 作正方体的截面，则截面的面积是_________．【答案】92【解析】连接1A B ，设截面交棱AB 于点N ，连接MN 、CN ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D BC 且11A D BC =，则四边形11A BCD 为平行四边形，所以，11//A B CD ，因为平面11//AA B B 平面11CC D D ，平面1CMD 平面11AA B B MN =，平面1CMD 平面111CC D D CD =，所以，1//MN CD ，则1//MN A B ，M 为1AA 的中点，则N 为AB 的中点，由勾股定理可得222MN AM AN =+=15D M CN ==12CD =所以，四边形1CD MN 为等腰梯形，过点M 、N 分别在平面1CD MN 内作1ME CD ⊥、1NF CD ⊥，垂足分别为点E 、F ，由等腰梯形的性质可得1NCF MD E ∠=∠，1CN D M =，又因为190CFN D EM ∠=∠= ，所以，1CFN D EM △≌△，所以，1CF D E =，因为//MN EF ，ME EF ⊥，NF EF ⊥，则四边形MNFE 为矩形，所以，2EF MN =，所以，11222CD MN CF D E -===，则22322NF CN CF =-=，因此，截面面积为()1922EF CD NF+⋅=.【变式6-2】（2023春·全国·高一专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点．（1）求证：平面EFG //平面11BDD B ；（2）若正方体棱长为1，过A ，E ，1C 三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积．【答案】（1）证明见解析；（262【解析】（1）证明：如下图所示，连接SB ，由EG 为△CSB 的中位线，可得//EG SB ，由EG ⊄平面11BDD B ，SB ⊂平面11BDD B ，可得EG //平面11BDD B ；由EF 为△CDB 的中位线，可得//EF DB ，由EF ⊄平面11BDD B ，DB ⊂平面11BDD B ，可得//EF 平面11BDD B ，又EF EG E = ，,EF EG ⊂面EFG ，可得平面//EFG 平面11BDD B ；（2）取11B C 的中点N ，连接1A N ，NE ，显然1111////,NE BB AA NE BB AA ==，所以1AENA 为平行四边形，可得1//AE A N ，1AE A N =，取11A D 的中点M ，连接1MC ，AM ，显然1111//,MA C N MA C N =，所以11A NC M 为平行四边形，可得11MC A N =，11//MC A N ，综上，截面1AEC M 为平行四边形，又1151421AE EC AM MC ====+，所以截面1AEC M 为菱形，截面的面积为1111632222AC ME ⨯⨯==．【变式6-3】（2022春·福建福州·高一福建省福州格致中学校考期末）一块三棱锥形木块如图所示，点G 是SAC 的重心，过点G 将木块锯开，使截面平行于侧面SBC .（1）画出截面与木块表面的交线，并说明理由；（2）若ABC为等边三角形，32SA SB SC ====，求夹在截面与平面SBC 之间的几何体的体积.【答案】（1）答案见解析；（2）196【解析】（1）过点G 作//EF SC 交,SA AC 于,E F 点，过点F 作//EH BS 交AB 于H ，则平面//SBC 平面EFH ，EFH △边所在直线即为所画线.理由如下：因为//EF SC ，EF ⊄平面SBC ，SC ⊂平面SBC ，所以//EF 平面SBC ，因为//EH BS ，EH ⊄平面SBC ，SB ⊂平面SBC ，所以//EH 平面SBC ，因为,,EF EH E EF EH =⊂ 平面EFH ，所以平面//SBC 平面EFH.（2）因为ABC为等边三角形，3SA SB SC ====，所以三棱锥S ABC -为正三棱锥，所以点S 在平面ABC 内的射影为ABC 的中心O ，则SO ⊥平面ABC ，如图2连接AO ，由ABC 为等边三角形，ABC 的中心为O，AB =所以223AO ==所以三棱锥S ABC -=所以三棱锥S ABC -的体积为21193342S ABC ABC V S h -==⨯= ，连接AG 并延长，交SC 于点M ，因为点G 是SAC 的重心，所以23AG AM =，所以249EFH SBC S AG S AM ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以328()327A EFH A SBCV V --==，所以，8889427272723A EFH A SBC S ABC V V V---⨯====，所以，截面与平面SBC 之间的几何体的体积为9419236S ABC A EFH V V ---=-=【变式6-4】（2022·高一单元测试）如图：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为2，E ，F 分别为DD 1，BB 1的中点.（1）求证：CF //平面A 1EC 1；（2）过点D 作正方体截面使其与平面A 1EC 1平行，请给以证明并求出该截面的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，6【解析】（1）取1CC 中点M ，连接ME由1MC FB //，可得四边形1MCFB 为平行四边形，则1FC MB //由11ME AB //，可得四边形11M EAB 为平行四边形，则11A E MB //则1//A E FC ，又1A E ⊂平面11A EC ，CF ⊄平面11A EC ，则//FC 平面11A EC ；（2）取AA 1，CC 1中点G ，H ，连接DG ，CB 1，B 1H ，HD ，因为四边形ADHF 为平行四边形，所以AF //DH因为四边形AFB 1G 为平行四边形，所以GB 1//AF ，所以GB 1//DH所以GDHB 1即为过点D 长方体截面，∵DG //A 1E ，1A E ⊂平面AEC 1，DG ⊄平面AEC 1，∴DG //平面AEC 1∵DH //C 1E ，1C E ⊂平面AEC 1，DH ⊄平面AEC 1，∴DH //平面AEC 1又∵DH DG D = ，∴平面DHB 1G //平面AEC 1.112223262GDHB S =⨯⨯=1．（2021春·吉林长春·高一长春市第二十九中学校考期末）下列命题中，正确的是（）A ．若//,,a b b α⊂则//a αB ．若//a α，b α⊂则//a bC ．若//,//a b αα，则//a bD ．若//,//a b b α,a α⊄则//a α【答案】D【解析】A .若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂，所以该选项错误；B .若//a α，b α⊂，则//a b 或,a b 异面，所以该选项错误；C .若//a α，//b α，则//a b 或,a b 异面或,a b 相交，所以该选项错误；D .若//,//a b b α,a α⊄，由b //α，过b 作平面γ，使α∩γ=m ,则b //m ,又∵a //b ,∴a //m ,∵,a m ⊄⊂αα，∴//a α，所以该选项正确.故选：D2．（2022春·云南昆明·高一昆明市第三中学校考期中）已知直线l ，m 和平面α、β，下列命题正确的是（）A ．//m l ，////l m αα⇒B ．l //β，//m β，l ⊂α，//m ααβ⊂⇒C ．//l m ，l ⊂α，//m βαβ⊂⇒D ．l //β，//m β，l ⊂α，m α⊂，//l m M αβ⋂=⇒【答案】D【解析】A ：//m l ，//l α，则//m α或m α⊂，错误；B ：若//m l 时，//αβ或,αβ相交；若,m l 相交时，//αβ，错误；C ：//l m ，l ⊂α，m β⊂，则,αβ平行、相交、重合都有可能，错误；D ：,l m α⊂，l m M = 且l //β，//m β，根据面面平行的判定知：//αβ，正确.故选：D3．（2022春·广东茂名·高一统考期中）已知正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是它们所在线段的中点，则满足1//A F 平面1BD E 的图形个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】①中，平移1A F 至1D F '，可知1D F '与面1BD E 只有一个交点1D ，则1A F 与平面1BD E 不平行；②中，由于11//A F D E ，而AF ⊄平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，故1//A F 平面1BD E ；③中，平移1A F 至1D F '，可知1D F '与面1BD E 只有一个交点1D ，则1A F 与平面1BD E 不平行；故选：B ．4．（2023春·全国·高一专题练习）已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PA AB =，点E 是PD 的中点，点F 是棱PC 上的点且2PF FC =，则平面BEF 截四棱锥P ABCD -所得的截面图形是（）A ．斜三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．两组对边均不平行的四边形【答案】D【解析】如图，延长EF 和DC ，设其交点为G ，连接BG ，延长DA 并与直线BG 交于点H ，连接HE 交PA 于点K ，连接KB ，得四边形EFBK ，假设//KE BF ，BF ⊄平面PAD ，KE ⊂平面PAD ，得//BF 平面P AD ，（线面平行的判定定理的应用）因为//BC AD ，BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，//BC 平面PAD ，且BC BF B = ,,BC BF ⊂平面PBC ，所以平面//PBC 平面P AD ，（面面平行的判定定理的应用）与平面PBC 与平面P AD 有公共点P 矛盾，故假设不成立，因此KE 与BF 不平行，同理可证KB 与EF 不平行，因此四边形EFBK 的两组对边均不平行.故选：D5．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知12,,AB BC BB AB BC D ===⊥为AB 的中点.求证：1BC ∥平面1A CD .【答案】证明见解析【解析】连接1AC 与1A C 交于点O ，则O 是1A C 的中点，连接OD ，如图，因为D 是AB 的中点，所以1∥OD BC ，OD ⊂ 平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，1BC ∴∥平面1A CD .6．（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PD ⊥平面ABCD ，点E 是AB 的中点，过点E 作平行于平面PAD 的截面，与直线,,CD PC PB 分别交于点,,F G H .证明：//GH EF .【答案】证明见解析【解析】证明：因为//,BC AD BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以//BC 平面PAD ，又平面//PAD 平面 EFGH ，BC ⊄平面 EFGH ，所以//BC 平面 EFGH ，又BC ⊂平面PBC ，平面PBC ⋂平面EFGH GH =，.所以//BC GH ,同理，//BC EF ，所以//GH EF .7．（2023春·全国·高一专题练习）如图，四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，12AD BC =，点E 为PC 上一点，F 为PB 的中点，且//AF 平面BDE .（1）若平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，求证：//l 平面ABCD ；（2）求证：//AF DE .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）∵//BC AD ，AD ⊂平面,PAD BC ⊄平面PAD ，∴//BC 平面PAD .∵BC ⊂平面PBC ，平面PBC ⋂平面PAD l =，∴//BC l .∵BC ⊂平面,ABCD l ⊄平面ABCD ，∴//l 平面ABCD .（2）连接,AC FC ，设AC BD O = ，FC BE M ⋂=，连接OM ，∵//AF 平面,BDE AF ⊂平面AFC ，平面AFC 平面BDE OM =，∴//AF OM，∵//AD BC，12AD BC=，所以12AO ADOC BC==，∴12 FM AOMC OC==，∴点M是PBC的重心，∴点E是PC的中点，∴12EM DOMB OB==，∴//OM DE，∴//AF DE.8．（2022春·安徽芜湖·高一校考期中）如图，在正四面体S ABC-中，4AB=，E，F，R分别是SB，SC，SA的中点，取SE，SF的中点M，N，点Q为平面SBC内一点（1）求证：平面MNR 平面AEF（2）若RQ 平面AEF，求线段RQ的最小值，【答案】（1）证明见解析；（2112【解析】（1）∵M，N分别为SE，SF的中点，∴MN EF，又∵MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN 平面AEF，∵R，M分别为SA，SE的中点，∴RM AE，又∵RM⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴RM 平面AEF，又∵MN RM M⋂=，MN⊂平面MNR，RM⊂平面MNR，∴平面MNR 平面AEF.（2）由（1）知，平面MNR 平面AEF，∴若平面SBC内存在一点Q，使RQ 平面AEF，则Q在线段MN上，∴线段RQ的最小值为R到直线MN的距离，即MNR在边MN上的高，∵E ，F 分别为SB ，SC 的中点，M ，N 分别为SE ，SF 的中点，∴11124MN EF BC ===，又∵4AS AB ==，2SE BE ==∴AE SB ⊥，2223AE AB BE =-=又∵R ，M 分别为SA ，SE 的中点，∴132RM AE ==3RN =∴当Q 为MN 中点时，RQ MN ⊥，此时MNR 在边MN 上的高，RQ 取最小值，∴线段RQ 的最小值()2222min 111322RQ RM MQ ⎛⎫--= ⎪⎝⎭.9．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,E F 分别是1,A D BD 的中点.（1）求证：平面1A BD //平面11CB D ；（2）求证：EF //平面11DCC D ；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）由正方体的性质可得11111111////,A D B C BC A D B C BC ==，∴四边形11A D CB 为平行四边形，∴11//A B CD ，1⊄A B 平面11B D C ，1CD ⊂平面11B D C ，∴1//A B 平面11B D C ，同理可得//BD 平面11B D C ，又11,A B BD B A B BD =⊂ ，平面1A BD ，∴平面1A BD //平面11CB D ；（2）因为,E F 分别是1,A D BD 的中点，所以1//EF A B ，又11//A B CD ，∴1//EF CD ，又EF ⊄平面11DCC D ，1CD ⊂平面11DCC D ，∴//EF 平面11DCC D .10．（2023·全国·高一专题练习）已知正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 分别为对角线BD 、1CD 上的点，且123CQ BP QD PD ==.作出平面PQC 和平面11AA D D 的交线（保留作图痕迹），并求证：//PQ 平面11A D DA；【答案】作图见解析，证明见解析【解析】连接CP 并延长与DA 的延长线交于M 点，则平面PQC 和平面11AA D D 的交线为1D M ，证明：因为四边形ABCD 为正方形，所以//BC AD，故PBC PDM ，所以23CP BP PM PD ==，又因为123CQ BP QD PD ==，所以123CQ CP QD PM ==，所以1//PQ MD .又1MD ⊂平面11A D DA ，PQ ⊄平面11A D DA ，故//PQ 平面11A D DA .11．（2022春·河北唐山·高一统考期中）如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1为菱形，∠A 1AC ＝60°，AC ＝2，侧面CBB 1C 1为正方形，平面ACC 1A 1⊥平面AB C ．点M 为A 1C 的中点，点N 为AB 的中点．（1）证明：MN∥平面BCC1B1；（2）求三棱锥A1－ABC1的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）233【解析】（1）证明：连接AC1，BC1，因为四边形ACC1A1为菱形，点M为A1C的中点，所以AC1∩A1C＝M，点M为A1C的中点，又点N为AB中点，所以MN∥BC1，而BC1⊂平面BCC1B1，MN⊄平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1；（2）∵侧面ACC1A1为菱形，∠A1AC＝60°，∴△AA1C为等边三角形，AA1＝A1C＝AC＝2.取AC的中点H，连接A1H，则A1H⊥A C.又∵平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，A1H⊂平面ACC1A1，∴A1H⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1H⊥B C.而四边形CBB1C1为正方形，∴BC⊥CC1.又AA1∥CC1，∴BC⊥AA1，又AA1∩A1H＝A1，AA1和A1H在平面ACC1A1上，∴BC⊥平面ACC1A1，×2×2×sin120°3又△AA1C1的面积S＝12∴11A ABC V -＝11B A AC V -＝132323312．（2023春·全国·高一专题练习）如图，四边形ABCD 中，,,6,24AB AD AD BC AD BC AB ⊥===∥，E ，F 分别在BC ，AD 上，EF AB ∥，现将四边形ABCD 沿EF 折起，使BE EC ⊥．（1）若3BE =，在折叠后的线段AD 上是否存在一点P ，使得//CP 平面ABEF ？若存在，求出AP PD的值；若不存在，说明理由．（2）求三棱锥A CDF -的体积的最大值，并求出此时点F 到平面ACD 的距离．【答案】（1）存在，12AP PD =；（2）最大值为3，此时点F 到平面ACD 3【解析】（1）AD 上存在一点P ，使得//CP 平面ABEF ，此时12AP PD =，理由如下：当12AP PD =时，13AP AD =，如图，过点P 作PM FD ∥交AF 于点M ，连接ME ，则13MP AP FD AD ==，∵3BE =，∴3FD =，∴1MP =，又1EC =，MP FD EC ∥∥，∴MP EC ∥，故四边形MPCE 为平行四边形，∴CP ME ∥，又CP Ë平面ABEF ，ME ⊂平面ABEF ，∴//CP 平面ABEF .综上，存在点P ，使得//CP 平面ABEF ，12AP PD =.（2）设BE x =，则(04),6AF x x FD x =<≤=-，故21112(6)(3)3323A CDF V x x x -=⨯⨯⨯-⨯=--+，∴当3x =时，A CDF V -有最大值，且最大值为3，∴此时1EC =，3AF =，3FD =，22DC =，∴2232AD AF FD =+=22214AC EF EC AF =++=在ACD 中，由余弦定理得1cos 223222ADC ∠==⨯⨯，3sin 2ADC ∠=，1sin 332ACD S DC AD ADC =⋅⋅⋅∠= 设F 到平面ACD 的距离为h ，A CDF F ACD V V --=，13,33ACD S h h ⋅⋅==△综上，三棱锥A CDF -的最大值为3，此时点F 到平面ACD 的距离313．（2023·全国·高一专题练习）由四棱柱1111ABCD A B C D -截去三棱锥111C B CD -后得到的几何体如图所示，四边形ABCD 为平行四边形，O 为AC 与BD 的交点．（1）求证：1A O ∥平面11B CD ；（2）求证：平面1A BD ∥平面11B CD ；（3）设平面11B CD 与底面ABCD 的交线为l ，求证：BD l ∥．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】（1）取11B D 的中点1O ，连接111,CO AO ，∵1111ABCD A B C D -是四棱柱，∴11A O OC ∥，∴四边形11A OCO 为平行四边形，∴11A O O C ∥，又1O C ⊂平面111,B CD AO ⊄平面11B CD ，∴1AO ∥平面11B CD ．（2）∵111BB AA DD ∥∥，∴四边形11BB D D 是平行四边形，∴11BD B D ∥，∵BD ⊄平面1111,B CD B D ⊂平面11B CD ，∴BD ∥平面11B CD ，由（1）得1AO ∥平面11B CD 且1BD AO O = ，1BD A O ⊂、平面1A BD ，∴平面1A BD ∥平面11B CD ．（3）由（2）得：BD ∥平面11B CD ，又BD ⊂平面ABCD ，平面11B CD ⋂平面ABCD l =，∴BD l ∥．14．（2023·高一课时练习）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF =14AB．（1）求证：EF ∥平面BDC 1；（2）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）点G 不存在，理由见解析【解析】（1）证明：取AB 的中点M ，∵AF =14AB ，∴F 为AM 的中点，又∵E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1M在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，M 分别为A 1B 1，AB 的中点，∴A 1D ∥BM ，A 1D =BM ，∴A 1DBM 为平行四边形，∴AM ∥BD ，∴EF ∥BD ．∵BD ⊂平面BC 1D ，EF ⊄平面BC 1D ，∴EF ∥平面BC 1D ．（2）设AC 上存在一点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为1：15，则111:1:16E AFG ABC A B C V V --=，∵111111sin 321sin 2E AFG ABC A B C AF AG GAF AE V V AB AC CAB AA --⨯⋅∠⋅=⋅∠⋅111134224AG AG AC AC =⨯⨯⨯=⋅∴112416AG AC ⋅=，∴32AG AC =，∴AG =32AC >AC ．所以符合要求的点G 不存在．15．（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,,D E F 分别为11,,BC AC A C 的中点，AB BC =．求证：（1）11//A B 平面1DEC ；（2）平面//ABF 平面1DEC ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1） 在三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,BC AC 的中点，1111/////,,/DE AB AB A B DE A B ∴∴，DE ⊂ 平面111,DEC A B ⊄平面1DEC ，11//A B ∴平面1DEC ．（2）//,AB DE AB ⊄ 平面1DEC ，DE ⊄平面1DEC ，//AB ∴平面1DEC ．,F E 分别为11,A C AC 的中点，11//A C AC ，1//FC AE ∴，且1FC AE =．∴四边形1FC EA 是平行四边形．1//AF EC ∴．又1EC ⊂平面1,DEC AF ⊄平面1DEC ，//AF ∴平面1DEC ．又,AB AF ⊂平面,ABF AB AF A ⋂=，∴平面//ABF 平面1DEC ．16．（2023·全国·高一专题练习）P 为正方形ABCD 所在平面外一点，E ，F ，G 分别为PD ，AB ，DC 的中点，如图．求证：。
完整版)线线、线面、面面平行练习题(含答案)
完整版)线线、线面、面面平行练习题(含答案)一、选择题1.B2.C3.B4.B5.A6.A二、填空题7.直线MN与直线BD异面。
三、解答题10.因为D是AC的中点，所以BD平分角ABC，即∠ABD=∠CBD。
又因为AB=AC，所以△ABD≌△CBD，从而BD=BD，即BD//平面ABC。
又因为A1D1//ABC，所以BD//A1D1，即BD//平面A1BD。
因此，BD//平面A1BD，即B1C1//平面A1BD，即B1C1//平面ABD。
11.1) 因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以MN//CD，MN=CD/2.又因为ABCD是平行六面体，所以BD//AC，从而△BDA≌△CDA1，即BD=AC，BD=2AC/√3.所以MN=CD/2=AC/√3=BD/2√3，即MN//B1D1.2) 因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以MN=CD/2=AC/√3，EN=CG=AC/2.又因为ABCD是平行六面体，所以BD//AC，从而△BDA≌△CDA1，即BD=AC，BD=2AC/√3.所以AE=BD/2=AC/√3，从而AE=EN，即AEEN是平行四边形，即AE//EN。
又因为XXX，所以AE//MN，即平面AEM//平面MNC。
又因为平面AEM与平面ABC的交线是直线AE，平面MNC与平面ABC的交线是直线MN，所以AE//MN//BD，即B1D1//平面AEM。
因此，AC1//平面AEM//B1D1，即AC1//平面EB1D1.3) 因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以MN=CD/2=AC/√3，EN=CG=AC/2.又因为ABCD是平行六面体，所以BD//AC，从而△BDA≌△CDA1，即BD=AC，BD=2AC/√3.又因为D1是BD的中点，所以D1C1=BC/2=AC/2√2.所以MN=CD/2=AC/√3=D1C1√2/√3，即MN//D1C1.又因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以EG=CC1/2=AC/2√2.又因为ABCD是平行六面体，所以AD//BC，从而△ABD≌△CBA1，即AD=BC，AD=2AC/√3.所以EG=CC1/2=AC/2√2=AD/2√2，即EG//AD。
直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细答案
平面平行的判定及其性质羄直线、1.2.薂下列命题中，正确命题的是④.；肇①若直线I上有无数个点不在平面：.内，则I // ：•芆②若直线I与平面「平行，则I与平面「内的任意一条直线都平行；莁③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线I与平面「平行，则I与平面:.内的任意一条直线都没有公共点3.4. 芀下列条件中，不能判断两个平面平行的是____________ （填序号）肇①一个平面内的一条直线平行于另一个平面蚆②一个平面内的两条直线平行于另一个平面膃③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面聿④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案①②③5.5. 腿对于平面和共面的直线m n,下列命题中假命题是________________ （填序号）肇①若mL用,m丄n,贝V n / 、丄薁②若mil :- , n // :•，贝V m// n膂③若m二：z , n// :•，贝U m// n芇④若m n与：•所成的角相等，则m// n 答案①②④7.6. 膄已知直线a, b,平面「，则以下三个命题：芃①若a // b, b二：乂，则a //⑶袁②若a // b, a //芒,贝U b //芒;莆③若 a // ：•, b // :-,则 a // b.薅其中真命题的个数是答案09.7. 羅直线a//平面M直线b M那么a// b是b〃M的条件.蚀A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要11.12.蒆能保证直线a与平面〉平行的条件是， a// b p bu a， a//b肆A. a 広a, b u a， c//a，a//b，a//c蒃C. b u a£a，C^b， D e b 且AC=BD葿D. b u 口，A^a，B13.14. 薆如果直线a平行于平面?,则 _________a平行 B.平面〉内无数条直线与a平行蒇A.平面?内有且只有一直线与a平行的直线 D.平面〉内的任意直线与直线a都平行膅C.平面〉内不存在与15.15. 蒂如果两直线a// b,且a//平面〉,则b与〉的位置关系__________蚆A.相交B. b〃° c.匕匚口D.b〃°或b u°17.16. 薄下列命题正确的个数是______19.17. 蚃（1）若直线I上有无数个点不在平面a内,则I // al与平面a平行,则l与平面a内的任意一直线平行芁（2）若直线，那么另一条也与这个平面平行蚆（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行a和平面a内一直线b平行，则a // a羅（4 ）若一直线莄A.0个 B.1个 C.2个 D.3个21.22. 罿b是平面a外的一条直线，下列条件中可得出b/ a是肀A. b与a内的一条直线不相交 B. b与a内的两条直线不相交莅C.b与a内的无数条直线不相交 D.b与a内的所有直线不相交23.23. 螂已知两条相交直线a、b, a//平面a ,则b与a的位置关系肂A. b / a B.b与a相交 C.b」a D.b/ a或b与a相交25.24. 膀如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC, SGSAB上的高，D E、F分别是AC BC SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.螆解SG//平面DEF证明如下：薄方法一：三角形中位线连接CG交螁••• DE是厶ABC的中位线，芀••• DE// AB.腿在△ ACG中, D是AC的中点，羂且DH// AG薀• H为CG的中点.艿• FH是厶SCG的中位线，芄• FH// SG蚄又SG亿平面DEF FHU平面DEF,荿••• SG//平面DEF荿方法二：平面平行的性质蚅••• EF为厶SBC的中位线，• EF/ SB膂••• EF伉平面SAB SBu平面SAB莂• EF//平面SAB葿同理可证，DF//平面SAB EF A DF=F ,肆.••平面SAB/平面DEF,又SG二平面SAB • SG//平面DEF27.25. 袄如图所示，在正方体ABC—ABC1D1中，E、F、G H分别是BC CG、賺CD、A1A的中点.求证：蕿（1）BF/ HD;蒇（2）EG//平面BBDD;莁（3）平面BDF/平面BDH袀证明平行四边形的性质，平行线的传递性虿（1 ）如图所示，取BB的中点M易证四边形蚄又••• MC/ BF,「. BF/ HD.肃（2）取BD的中点0,连接E0, D0,贝U OE^蚈又DG& I DC• OE^ DG2蝿.••四边形OEGD是平行四边形，• GE// DO.肄又D 0-平面BB D D, • EG/平面BBD D.蒁（3）由（1）知DH// BF,又BD// BD, BD、HD =平面HBD, BF、BH 平面BDF,且BD A HD=D, DBA BF=B,「.平面BDF// 平面B D H.29.26. 螁如图所示，在三棱柱ABC-A i B C中，M N分别是BC和A i B i的中点. 衿求证：MN//平面AACC.蒅证明方法一：平行四边形的性质膃设AC中点为F,连接NF, FC,蒀••• N为A i B i中点,衿••• NF// BQ,且NF=^B C i,2祎又由棱柱性质知B i C i庄BC蚁又M是BC的中点，艿• NF MC羈.••四边形NFCM^平行四边形.芇• MIN/ CF,又CF 平面AA C i, MN二平面AA C ,• MIN/平面AAC C. 莃方法二：三角形中位线的性质节连接AM交C C于点P,连接A i P, 肇T M是BC的中点，且MC/ B i C i,莄• M是B i P的中点,肅又••• N为A B中点,肁• MN// A P,又 A PU 平面AA C , MW 平面AAC,：MIN/平面AACC.膈方法三：平面平行的性质 螅设BiG 中点为Q 连接NQ MQ ,薃•••M Q 是BG BG 的中点，袀•••MQ CG ,又 CGu 平面 AAGC, MQ 伉平面 AAGC, 芈•••MQ/平面 AA C i C.膆•••N 、Q 是A B i 、B i C 的中点,芅• NQ 二 AQ ,又 A i C 二平面 AAC C, NQ 二平面 AAC C, 蕿• NQ//平面 AA C i C.莈又••• MQ P NQB ,「.平面 MNQ 平面 AAC C, 薇又MN 二平面MNQ. MIN/平面AA C C.3 i .32.螂如图所示，正方体 ABC — A B i C D 中，侧面对角线 AB , BC 上分 别有两点 E , F ,且B E=C F. 蚁求证： EF //平面 ABCD 蒈方法一：平行四边形的性质螃过E 作ES// BB 交AB 于S,过F 作FT // BB 交BC 于 T ,蒄连接ST ,则-AE 更，且AB i B i B BC i C i C莀T B i E=C F , B A=CB,. AE=BF蒈•••旦,••• ES=FTB i B CC i膄又••• ES// B B// FT ,.四边形 EFTS 为平行四边形Bl ______ G袂•••EF// ST ,又 ST=平面 ABCD EFC ：平面 ABCD ： EF//平面 ABCD腿方法二：相似三角形的性质 薈连接BF 交BC 于点Q 连接AQ薅••• BQ // BC, • B 1L =圧BQ C 1B膂• EF // AQ 又 AQ=平面 ABCD EF 二平面 ABCD •- EF//平面 ABCD 蚇方法三：平面平行的性质 羆过E 作EG/ AB 交BB 于G,肂连接GF,则B 11史£ ,B 1A B 1B羁 TB i E=C i F , BA=CB ,螇••• C i E =B i G , • FG // B l C i // BC C 1B B i B 莇又 EG A FG P G , AB A BC=B ,螄.••平面 EFG/平面 ABCD 而EF 二平面EFG螀• EF//平面ABCD33.34.袇如图所示，在正方体 ABC — A B i C D 中，O 为底面ABCD 的中心,P 是DD 的中点，设薄T B i E=C i F , BiA=GB,B L E B ,FB 1D B i QQ是CC上的点，问：当点Q在什么位置时，平面DBQ// 平面PAO蒄解面面平行的判定节当Q为CC的中点时，A B葿平面 DBQ//平面PAO羇••• Q 为CG 的中点，P 为DD 的中点，••• QB// PA袅：P 、O 为 DD 、DB 的中点，• DB// PO羄又 PO P PA=P , DB A QB=B , 薂DB //平面PAO QB//平面 PAO 肇.••平面 DBQ//平面PAO芆直线与平面平行的性质定理35.EFGH 为空间四边形ABCD 勺一个截面，若截面为平行四边形芀(1)求证：AB//平面 EFGH CD//平面 EFGH肇(2)若AB=4, CD=6,求四边形EFGH 周长的取值范围 蚆(1)证明•••四边形EFGH 为平行四边形，• EF// HG膃•••HX 平面 ABD • EF//平面 ABD 聿•••EF 平面 ABC 平面 ABD A 平面 ABCAB腿• EF// AB. • AB//平面 EFGH 肇同理可证，CD//平面EFGH薁⑵ 解 设EF=x (O v x v 4)，由于四边形 EFGH 为平行四边形,膂•••CF=x 则 FG = B F = B C -C F =1- x .从而 F G=6- 1 2 3x . •••四边形 EFGH 的周长 CB 4 6 BC BC 4 21 =2(x+6-5)=12- x.又0v x v 4,则有8v l v 12, •四边形 EFGH 周长的取值范围是(8,212) 37.36.莁如图所示，四边形 AC38.芇如图所示，平面：• //平面［，点A € :. , C €「，点B € 1 , D € ［，点E , F 分别在线 段 AB CD 上，且 AE ： EB=CF ： FD薆••• AC// DH, •••四边形 ACDH 是平行四边形, 蒇在AH 上取一点 G,使AG ： GH=CF ： FD,膅又••• AE ： EB=CF ： FD, • GF// HD EG// BH 蒂又EG A GFG, •平面 EFG//平面-蚆•••EF 平面 EFG •- EF / l 综上,EF// I薄（2）解三角形中位线膄（1）求证：EF / -; :. / :,:.门平面 ACDHAC,蚃 如图所示，连接 AD,取AD 的中点 M 连接 ME MF.芁••• E , F 分别为AB, CD 的中点，蚆••• ME// BD, MF// AC,羅且 M ^Z BGB , MF=LAC=2,2 2莄•••/ EMF 为AC 与BD 所成的角（或其补角），罿EMF=60。
直线与平面平行习题
直线与平面平行的习题一、选择题1．已知点A∈直线a，点A∈平面β，那么（）（A） aβ（B）a∩β=A（C）a∥β（D）非上面所述的结论2．直经a在平面β外，则（）（A）a∥β（B）a与β至少有一个公共点（C）aβ=A（D）a与β至多有一个公共点3．能够保证直线a平行于平面β的条件是（）（A）aβ，bβ，a∥b（B）bβ，a∥b（B）a∥b∥c，bβ，cβ （D）bβ，A∈a，C、D∈b，AC=BD4．已知下列四个命题：（1）直线与平面没有公共点，则直线与平面平行（2）直线上有两点到平面距离（不为零）相等，则直线与平面平行（3）直线与平面内的任意一条直线不相交，则直线与平面平行（4）直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行，其中正确命题为（）（A）（1）（2）（B）（1）（3）（C）（1）（2）（3）（D）（1）（2）（3）（4）5．矩形ABCD 的边AB 在平面α内，当矩形绕直线AB 旋转时，直线CD 与平面α的位置关系是（ ）（A ）平行 （B ）平行或相交（C ）平行或CD 在α内 （D ）平行或相交或CD 在α内6．四条直线两两平行，任何三条不共面，如果经过其中任意两条作平面，那么可作平面的个数为 （ ）(A)2 (B)4 (C)6 (D)87．空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 上的点，且AE ：EB=AF ：FD=1：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则 （ ）（A ）BD∥平面EFG ，且EFGH 是矩形 （B ） EF∥平面BCD ，且EFGH 是梯形（C ）HG∥平面ABD ，且EFGH 是菱形 （D ）EH∥平面ADC ，且EFGH 是平形四边形8．下列命题中，正确的命题是 （ ）（A ）平行于同一平面的两直线平行（B ）同时与两条异面直线平行的平面有无数多个（C ）A 、B 两点与平面α上两点C 、D 满足AC=BD≠0，则AB∥平面α（C ）直线l 与平面α不相交，则l∥平面α9.平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A ．α内有无穷多条直线都与β平行Ｂ．直线a α∥，a β∥，且直线a 不在α内，也不在β内Ｃ．直线a α⊂，直线b β⊂，且a β∥，b α∥Ｄ．α内的任何直线都与β平行10.下列命题中，错误的是（）Ａ．平行于同一条直线的两个平面平行Ｂ．平行于同一个平面的两个平面平行Ｃ．一个平面与两个平行平面相交，交线平行Ｄ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交∈，那么过点P且平行于α的直线（）11. 已知直线a∥平面α，PαＡ．只有一条，不在平面α内Ｂ．有无数条，不一定在α内Ｃ．只有一条，且在平面α内Ｄ．有无数条，一定在α内12．平面α与平面β平行的条件可以是( )A．α内有无穷多条直线都与β平行 B．直线a∥α，a∥β且a⊄α，a⊄βC．直线a⊂α，b⊂β且α∥β，b∥α D．α内任何中直线都与β平行13．下列命题中，错误的是( )A．平行于同一条直线的两个平面平行B．平行于同一个平面的两个平面平行C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交14．下列命题中，正确的是个数是( )①若两个不同平面不相交，那么它们平行②若一个平面内无数条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行③空间的两个相等的角所在的平面也平行。
线面平行练习题
线面平行练习题一、选择题1. 已知直线a与平面α平行，直线b在平面α内，下列说法正确的是：A. 直线a与直线b平行B. 直线a与直线b异面C. 直线a与直线b相交D. 直线a与直线b可能平行，也可能异面2. 若直线m与平面α平行，直线n在平面α内，且直线m与直线n不平行，则直线m与直线n：A. 平行B. 异面C. 相交D. 无法确定3. 直线l在平面β内，且与平面α平行，若直线m与平面α平行，直线m不在平面β内，则直线l与直线m：A. 平行B. 异面C. 相交D. 垂直二、填空题4. 若直线a与平面α平行，直线b与平面α垂直，则直线a与直线b_________。
5. 已知直线m平行于平面α内的直线n，若直线m在平面β内，且平面α与平面β相交于直线l，则直线m与直线l_________。
6. 若直线a与平面α平行，直线b在平面α内，且直线a与直线b不平行，则直线a与直线b_________。
三、判断题7. 若直线a与平面α平行，直线b在平面α内，则直线a与直线b一定平行。
（）8. 若直线m与平面α平行，直线n在平面α内，且直线m与直线n平行，则直线m与直线n一定在同一平面内。
（）9. 若直线a与平面α平行，直线b与平面α垂直，则直线a与直线b垂直。
（）四、简答题10. 已知直线l平行于平面α，平面α与平面β相交于直线m，求证：直线l与直线m平行或异面。
11. 若直线a与平面α平行，平面α与平面β相交于直线l，直线b在平面β内且与直线l不平行，求证：直线a与直线b平行或异面。
五、证明题12. 已知平面α内的直线a与平面β平行，直线b在平面β内，且直线a与直线b不平行。
证明：直线a与直线b异面。
13. 已知直线m与平面α平行，直线n在平面α内，且直线m与直线n不相交。
证明：直线m与直线n异面。
14. 若直线a与平面α平行，直线b在平面α内，且直线a与直线b 垂直，求证：直线a与平面α垂直。
六、解答题15. 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知直线AB₁与直线CD₁平行，求证：直线AB₁与平面ABCD平行。
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在Rt△POE中，PO= ，PE= ，
∴sin∠PEO= = .
故MN与平面ABCD所成的角为arcsin .
【例3】如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，
（I）求证：AC⊥BC1；（ ）求证：AC1//平面CDB1；
（ ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．
∴ AC1//平面CDB1；
（ ）∵ DE//AC1，∴ ∠CED为AC1与B1C所成的角，在△CED中，
ED= AC1= ，CD= AB= ，CE= CB1=2 ，
∴ ，
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值 .
●闯关训练
夯实基础
1.（07福建理）已知m、n为两条不同的直线， 为两个不同的平面，
则下列命题中正确的是
A.①②B.②③C.③④D.①④
解析：①②显然正确.③中m与n可能相交或异面.④考虑长方体的顶点，α与β可以相交.
答案：A
3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是
A.异面B.相交C.平行D.不能确定
解析：设α∩β=l，a∥α，a∥β，
过直线a作与α、β都相交的平面γ，
（填所选件的序号）
●典例剖析
【例1】 如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.
证法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足（如上图），连结PQ.
∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ.
又NQ= BN= CM=MP，∴MPQN是平行四边形.
特别提示
证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.
【例2】 已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.
∴MN∥PQ，PQ 平面BCE.而MN 平面BCE，∴MN∥平面BCE.
证法二：过M作MG∥BC，交AB于点G（如下图），连结NG.
∵MG∥BC，BC 平面BCE，MG 平面BCE，∴MG∥平面BCE.
又 = = ，∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCE.
又面MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCE.又MN 平面MNG.∴MN∥平面BCE.
A. ∥ ，n∥ ∥ B. ∥ ， ， m∥n
C.m⊥ ，m⊥n n∥ D. n∥m,n⊥ m⊥
解析：A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C中n可以在 内，不正确，选D
2.（06福建卷）对于平面 和共面的直线m、n，下列命题中真命题是
A.若m⊥ ，m⊥n，则n∥ B.若m∥ ，n∥ ，则m∥n
记α∩γ=b，β∩γ=c，
则a∥b且a∥c，
∴b∥c.
又b α，α∩β=l，∴b∥l.∴a∥l.
答案：C
4.(06重庆卷)对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与l
A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线
解析：对于任意的直线 与平面 ，若 在平面α内，则存在直线m⊥ ；若 不在平面α内，
作直线,其中与平面 平行的直线共有12条，选D.
4.(06重庆卷)若 是平面 外一点，则下列命题正确的是
A.过 只能作一条直线与平面 相交B.过 可作无数条直线与平面 垂直
且 ⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于 ，若 不在平面α内，且 于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面 内必有直线 垂直于它的射影，则 与 垂直，
综上所述，选C.
5.已知平面 和直线，给出条件：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
（i）当满足条件③⑤时，有 ；（ii）当满足条件②⑤时，有 .
9.2 直线与平面平行
●知识梳理
1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.
2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.
3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.
C.若m ，n∥ ，则m∥nD.若m、n与 所成的角相等，则n∥m
解：对于平面 和共面的直线 、 真命题是“若 则 ”， 选C.
3.（06湖南卷）过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的 中点
作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有 ( )
A. 4条 B.6条 C.8条 D.12条
解：如图，过平行六面体 任意两条棱的中点
●点击双基
1.设有平面α、β和直线m、n，则m∥α的一个充分条件是
A.α⊥β且m⊥βB.α∩β=n且m∥nC.m∥n且n∥αD.α∥β且m β
答案：D
2.设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
（1）求证：直线MN∥平面PBC；
（2）求直线MN与平面ABCD所成的角.
（1）证明：∵P—ABCD是正四棱锥，
∴ABCD是正方形.连结AN并延长交BC于点E，连结PE.
∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶ND.
又∵BN∶ND=PM∶MA，
∴EN∶AN=PM∶MA. ∴MN∥PE.
又∵PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC.
解析：（ ）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4,AB=5，
∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1；
（ ）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，
E是BC1的中点，∴ DE//AC1，
∵ DE 平面CDB1，AC1 平面CDB1，
（2）解：由（1）知MN∥PE，∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角.
设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角.
由正棱锥的性质知PO= = .
由（1）知，BE∶AD=BN∶ND=5∶8， ∴BE= .
在△PEB中，∠PBE=60°，PB=13，BE= ，