高中数学必修二2.2 直线、平面平行的判定及其性质课堂练习及答案
最新人教版高中数学必修二第二章《直线与直线、直线与平面平行的判定》精选习题(含答案解析)
最新人教版高中数学必修二第二章《直线与直线、直线与平面平行的判定》精选习题（含答案解析）一、选择题(每小题5分，共40分)1.已知l∥α，m∥α，l∩m=P且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是( )A.相交B.平行C.相交或平行D.不确定2.已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是( )A.b∥αB.b与α相交C.b⊂αD.b∥α或b与α相交3.平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD︰DB=AE︰EC，如图，则BC与α的位置关系是 ( )A.平行B.相交C.平行或相交D.异面4.有以下三种说法，其中正确的是( )①若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线；②若直线b∥平面α，直线a与直线b垂直，则直线a不可能与α平行；③直线a，b满足a∥α，a∥b，且b⊂α，则a平行于经过b的任何平面.A.①②B.①③C.②③D.①5.在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB=AF∶FD=1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )A.BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B.EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C.HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D.EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形6.正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是( )A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G7.已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下说法：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确说法的个数是( )A.0B.1C.2D.38.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，P在对角线BD1上，且BP=BD1，给出下面四个命题：(1)MN∥平面APC；(2)C1Q∥平面APC；(3)A，P，M三点共线；(4)平面MNQ∥平面APC.正确的序号为( )A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(3)(4)二、填空题(每小题5分，共10分)9.三棱锥S-ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE=2ES，则EG与平面SBC的关系为________.10.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________.(将你认为正确的都填上)三、解答题(每小题10分，共20分)11.如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，G，F分别是BE，DC的中点. 求证：GF∥平面ADE.12.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由).(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论.参考答案与解析1【解析】选B.因为l∩m=P，所以过l与m确定一个平面β，又因为l∥α，m ∥α，l∩m=P，所以β∥α.2【解析】选D.由题意画出图形，当a，b所在平面与平面α平行时，b与平面α平行，当a，b所在平面与平面α相交时，b与平面α相交.3【解析】选A.因为AD︰DB=AE︰EC，所以DE∥BC，又DE⊂α，BC⊄α，所以BC ∥α.4【解析】选D.①正确，若在α内存在一条直线b，使a∥b，则a∥α与“a与平面α相交”矛盾，故①正确；②错误，反例如图(1)所示；③错误，反例如图(2)所示，a，b可能在同一平面内.5【解析】选B.如图，由题意得，EF∥BD，且EF=BD.HG∥BD，且HG=BD.所以EF∥HG，且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形.所以EF∥平面BCD，而EH与平面ADC不平行.故选B.6【解析】选A.在平面E1FG1与平面EGH1中，因E1G1∥EG，FG1∥EH1，且E1G1∩FG1=G1，EG∩EH1=E，故平面E1FG1∥平面EGH1.7【解析】选B.设m∩n=P，则直线m，n确定一个平面，设为γ，由面面平行的判定定理知，α∥γ，β∥γ，因此，α∥β，即①正确；如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线EF平行于平面ADD1A1和平面A1B1C1D1，即满足②的条件，但平面A1B1C1D1与平面ADD1A1不平行，因此②不正确；图中，EF∥平面ADD1A1，BC∥平面A1B1C1D1，EF∥BC，但平面ADD1A1与平面A1B1C1D1不平行，所以③也不正确.8【解析】选C.(1)MN∥AC，连接AM，CN，易得AM，CN交于点P，即MN⊂平面PAC，所以MN∥平面APC是错误的；(2)平面APC延展，可知M，N在平面APC上，AN ∥C1Q，所以C1Q∥平面APC，是正确的；(3)由BP=BD1，以及相似，可得A，P，M 三点共线，是正确的；(4)直线AP延长到M，则M在平面MNQ内，又在平面APC内，所以平面MNQ∥平面APC，是错误的.9【解析】连接AG并延长交BC于点M，连接SM，则AG=2GM，又AE=2ES，所以EG∥SM，又EG⊄平面SBC，所以EG∥平面SBC.答案：平行10【解析】在④中NP平行所在正方体的那个侧面的对角线，从而平行AB，所以AB∥平面MNP；在①中设过点B且垂直于上底面的棱与上底面交点为C，则由NP∥CB，MN∥AC，可知平面MNP∥平面ABC，即AB∥平面MNP.答案：①④11【证明】取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，所以GH∥AB且GH=AB，又F是CD的中点，所以DF=CD，由四边形ABCD是矩形，得AB CD，所以GH DF，从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥HD.又DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，所以GF∥平面ADE.12【解析】(1)点F，G，H的位置如图所示.(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCD-EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC=FG，又FG∥EH，FG=EH，所以BC∥EH，BC=EH于是BCHE为平行四边形.所以BE∥CH，又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH，又BE∩BG=B，所以平面BEG∥平面ACH.。
【优质文档】2.2直线、平面平行的判定及其性质第2课时课堂练习及答案.
2.2.2 平面与平面平行的判定
一、基础过关
1．直线 l ∥平面 α，直线 m∥平面 α，直线 l 与 m 相交于点 P，且 l 与 m 确定的平面为 β，
则 α与 β的位置关系是
()
A ．相交
B ．平行
C ．异面
D ．不确定
2．平面 α与平面 β平行的条件可以是
()
A ． α内的一条直线与 β平行
B ． α内的两条直线与 β平行
C． α内的无数条直线与 β平行
D ． α内的两条相交直线分别与 β平行
3．给出下列结论，正确的有 ①平行于同一条直线的两个平面平行；
()
②平行于同一平面的两个平面平行； ③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；
④若 a， b 为异面直线，则过 a 与 b 平行的平面只有一个．
A1E∩ A1D1＝ A1，
∴ 平面 A1EFD 1∥ 平面 BCF1E1.
9． D 10.A 11.M ∈线段 FH
12． 证明
(1)∵ E、F 分别是
B1C1、C1D 1 的中点，
∴ EF
綊1 2B1D1，∵ DD 1 綊 BB 1， ∴ 四边形 D 1B1BD 是平行四边形， ∴ D 1B1∥BD . ∴ EF ∥BD ， 即 EF、 BD 确定一个平面，故 E、F 、 D、 B 四点共面． (2) ∵ M 、N 分别是 A1B1、 A1D 1 的中点， ∴ MN ∥ D1B1∥ EF. 又 MN ?平面 EFDB ， EF ? 平面 EFDB . ∴ MN ∥ 平面 EFDB . 连接 NE，则 NE 綊 A1B1 綊 AB. ∴ 四边形 NEBA 是平行四边形． ∴ AN∥ BE .又 AN?平面 EFDB ，BE? 平面 EFDB .∴ AN∥ 平面 EFDB . ∵ AN、 MN 都在平面 AMN 内，且 AN∩ MN ＝ N， ∴ 平面 AMN ∥ 平面 EFDB . 13． (1) 证明 连接 BM、 BN、 BG 并延长交 AC、 AD 、 CD 分别于 P、 F、 H .
(完整版)高中数学必修二2.2直线、平面平行的判定及其性质课堂练习及答案
2.2. 直线、平面平行的判断及其性质直线与平面平行的判断知识梳理1、直线与平面平行的判判定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：aαbβ=> a∥ αa∥ b知能训练一．选择题1．已知 m，n 是两条不同样直线，α，β，γ是三个不同样平面，以下命题中正确的选项是（）A ．若 m∥ α， n ∥ α，则 m∥ n B ．若α⊥ γ，β⊥ γ，则α∥ βC．若 m ∥ α， m ∥ β，则α∥ β D ．若 m ⊥ α， n⊥ α，则 m ∥ n 2．若直线l 不平行于平面α，且l?α，则（）A ．α内存在直线与 l 异面B ．α内存在与 l 平行的直线C．α内存在唯一的直线与 l 平行D ．α内的直线与 l 都相交3．如图， M 是正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1的棱 DD 1的中点，给出以下命题①过 M 点有且只有一条直线与直线AB 、 B 1C1都订交；②过 M 点有且只有一条直线与直线AB 、 B 1C1都垂直；③过 M 点有且只有一个平面与直线AB 、 B 1C1都订交；④过 M 点有且只有一个平面与直线AB 、 B 1C1都平行．其中真命题是（）A ．② ③ ④B ．① ③ ④C ．① ② ④D ．① ② ③4．正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1中 M ，N ，Q 分别是棱 D 1C1， A 1D 1，BC 的中点． P在对角线 BD 1上，且BP＝BD1，给出下面四个命题：（1）MN ∥面 APC；（2）C1 Q∥面 APC；（3）A ，P， M 三点共线；（4）面 MNQ ∥面 APC．正确的序号为（）A ．（ 1 ）（ 2 ）B ．（ 1 ）（ 4 ）C．（ 2）（ 3 ） D ．（ 3 ）（ 4）5．在正方体ABCD-A 1B 1C1D 1的各个极点与各棱中点共20 个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A 1BC 1平行的直线共有（）A ． 12 条B ． 18 条C ． 21 条D ． 24 条6．直线 a∥平面α，P∈ α，那么过 P 且平行于 a 的直线（）A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内7．若是直线a∥平面α，那么直线 a 与平面α内的（）A ．一条直线不相交B ．两条直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A 1B 1C1D 1中，与平面AB 1C 平行的直线是（）A ．DD 1B ．A 1 D 1C ．C 1D 1 D ．A 1 D9．如图，在三棱柱 ABC-A 1B1C1中，点 D 为 AC 的中点，点 D1是 A 1C1上的一点，若 BC 1∥平面 AB 1D 1，则等于（）A ． 1/2B ． 1C． 2 D ． 310．下面四个正方体图形中， A 、B 为正方体的两个极点，M、N 、 P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面 MNP 的图形是（）A ．①②B ．①④C．②③ D ．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段 B′ D上′有两个动点 E ，F，EF= ，则以下结论中错误的选项是（）A ． AC ⊥ BEB ． EF ∥平面 ABCDC．三棱锥 A-BEF的体积为定值D ．异面直线 AE ， BF 所成的角为定值二．填空题12．如图，在正方体ABCD-A1B 1C1D 1 中，E，F，G，H，M分别是棱AD ，DD 1，D1A 1，A 1A ，AB的中点，点 N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N 只需满足条件时，就有MN ⊥ A1C1；当N 只需满足条件时，就有MN ∥平面 B 1D 1C．13．如图，正方体ABCD-A1B 1C1D 1 中，AB=2，点E 为 AD的中点，点 F 在 CD上，若EF ∥平面AB 1C，则线段EF的长度等于．三．解答题14．如图，在三棱柱 ABC-A 1B 1 C1中，侧棱 AA 1⊥底面 ABC ，AB ⊥ BC，D 为 AC的中点， AA 1=AB=2 ．（1）求证： AB 1∥平面 BC1D ；（2）若 BC=3 ，求三棱锥 D-BC 1C 的体积．平面与平面平行的判断知识梳理1、两个平面平行的判判定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
高中数学必修二《2.2直线、平面平行的判定及其性质》测试卷及答案解析
2019-2020学年高中数学必修二《2.2直线、平面平行的判定及其性质》测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．【分析】利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案．【解答】解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；所以选项A满足题意，故选：A．【点评】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．2．已知两条直线m、n与两个平面α、β，下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥n，m⊥β，则n∥β【分析】对于A，平行于同一平面的两条直线可以平行、相交，也可以异面；对于B，平行于同一直线的两个平面也可能相交；对于C，若m⊥α，m⊥β，则m为平面α与β的公垂线，则α∥β；对于D，只有n也不在β内时成立．【解答】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m，n可以平行、相交，也可以异面，故不正确；对于B，若m∥α，m∥β，则当m平行于α，β的交线时，也成立，故不正确；对于C，若m⊥α，m⊥β，则m为平面α与β的公垂线，则α∥β，故正确；对于D，若m⊥n，m⊥β，则n∥β，n也可以在β内故选：C．【点评】本题考查空间中直线和平面的位置关系．涉及到两直线共面和异面，线面平行等知识点，在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线．当然也可以用面面平行来推导线面平行．3．下列四个正方体图形中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是（）A．B．C．D．【分析】在B中，推导出AB∥DE，AC∥EF，从而平面ABC∥平面DEF．【解答】解：在B中，如图，连结MN，PN，∵A，B，C为正方体所在棱的中点，∴AB∥MN，AC∥PN，∵MN∥DE，PN∥EF，∴AB∥DE，AC∥EF，∵AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，AB、AC⊂平面ABC，DE、EF⊂平面DEF，∴平面ABC∥平面DEF．故选：B．。
最新人教A版必修二高中数学2.2《直线、平面平行的判定及其性质》检测(1)和答案
2. 2直线、平面平行的判定及其性质一、选择题1、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线( )A.平行B.异面C.相交D.平行或异面2、下列结论中，正确的有( )①若aα,则a∥α②a∥平面α,bα则a∥b③平面α∥平面β,aα,bβ,则a∥b④平面α∥β,点P∈α,a∥β,且P∈a，则aαA.1个B.2个C.3个D.4个解析：若aα，则a∥α或a与α相交，由此知①不正确若a∥平面α,bα,则a与b异面或a∥b，∴②不正确若平面α∥β，aα，bβ，则a∥b或a与b异面，∴③不正确由平面α∥β，点P∈α知P过点P而平行平β的直线a必在平面α内，是正确的.证明如下：假设aα，过直线a作一面γ，使γ与平面α相交，则γ与平面β必相交.设γ∩α=b,γ∩β=c,则点P∈b.由面面平行性质知b∥c；由线面平行性质知a∥c,则a∥b,这与a∩b=P矛盾，∴aα.故④正确.3、在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB=CF∶FB=1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )A.平行B.相交C.在内D.不能确定参考答案与解析:解析：在平面ABC内.∵AE：EB=CF：FB=1：3，∴AC∥EF.可以证明AC平面DEF.若AC平面DEF，则AD平面DEF，BC平面DEF.由此可知ABCD为平面图形，这与ABCD是空间四边形矛盾，故AC平面DEF.∵AC∥EF，EF平面DEF.∴AC∥平面DEF.主要考察知识点:空间直线和平面4、a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是( )A.过A有且只有一个平面平行于a,bB.过A至少有一个平面平行于a,bC.过A有无数个平面平行于a,bD.过A且平行a,b的平面可能不存在参考答案与解析:解析：如当A与a确定的平面与b平行时，过A作与a,b都平行的平面不存在.答案：D主要考察知识点:空间直线和平面5、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面α,则b与α的位置关系是( )A.b∥αB.bαC.b与α相交D.以上都有可能参考答案与解析:思路解析:a与b垂直,a与b的关系可以平行、相交、异面,a与α平行,所以b与α的位置可以平行、相交、或在α内,这三种位置关系都有可能.答案:D主要考察知识点:空间直线和平面6、下列命题中正确的命题的个数为( )①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α;②若直线a在平面α外，则a∥α;③若直线a∥b,直线bα,则a∥α;④若直线a∥b,b平面α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.A.1B.2C.3D.4参考答案与解析:解析：对于①,∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内(若改为l与α内任何直线都平行，则必有l∥α),∴①是假命题.对于②，∵直线a在平面α外，包括两种情况a∥α和a与α相交，∴a与α不一定平行，∴②为假命题.对于③,∵a∥b,bα,只能说明a与b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于平面α.∴③也是假命题.对于④,∵a∥b,bα.那么aα,或a∥α.∴a可以与平面α内的无数条直线平行.∴④是真命题.综上，真命题的个数为1.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面7、下列命题正确的个数是( )(1)若直线l上有无数个点不在α内，则l∥α(2)若直线l与平面α平行，l与平面α内的任意一直线平行(3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行(4)若一直线a和平面α内一直线b平行，则a∥αA.0个B.1个C.2个D.3个参考答案与解析:解析：由直线和平面平行的判定定理知，没有正确命题.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面8、已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α,m⊥β,则α∥β;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;③若mα,nβ,m∥n,则α∥β;④若m、n是异面直线，mα,m∥β,nβ,n∥α,则α∥β.其中真命题是( )A.①和②B.①和③C.③和④ D.①和④参考答案与解析:解析：利用平面平行判定定理知①④正确.②α与β相交且均与γ垂直的情况也成立，③中α与β相交时，也能满足前提条件答案：D主要考察知识点:空间直线和平面9、长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1中点,F为BB1中点,与EF平行的长方体的面有( )A.1个B.2个C.3个D.4个参考答案与解析:解析：面A1C1,面DC1,面AC共3个.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面10、对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，M，使得l∥α,l∥β,M∥α,M∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有（）A.1个B.2个C.3个D.4个参考答案与解析:解析：取正方体相邻三个面为α、β、γ，易知α⊥γ，β⊥γ，但是α与β相交，不平行，故排除①，若α与β相交，如图所示，可在α内找到A、B、C三个点到平面β的距离相等，所以排除③.容易证明②④都是正确的.答案：B主要考察知识点:空间直线和平面二、填空题【共4道小题】1、在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP=,过P、M、N的平面与棱CD交于Q，则PQ=_________.参考答案与解析:解析：由线面平行的性质定理知MN∥PQ(∵MN∥平面AC，PQ=平面PMN∩平面AC，∴MN∥PQ).易知DP=DQ=.故.答案：主要考察知识点:空间直线和平面2、如果空间中若干点在同一平面内的射影在一条直线上，那么这些点在空间的位置是__________.参考答案与解析:共线或在与已知平面垂直的平面内主要考察知识点:空间直线和平面3、若直线a和b都与平面α平行，则a和b的位置关系是__________.参考答案与解析:相交或平行或异面主要考察知识点:空间直线和平面4、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1与过点A，C，E的平面的位置关系是_________.参考答案与解析:解析：如图所示，连结BD，设BD∩AC=O，连结BD1，在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，∴OE为△BDD1的中位线.∴OE∥BD1.又平面ACE，OE平面ACE，∴BD1∥平面ACE.答案：平行主要考察知识点:空间直线和平面三、解答题【共3道小题】1、如图，直线AC，DF被三个平行平面α、β、γ所截.①是否一定有AD∥BE∥CF；②求证：.参考答案与解析:解析：①平面α∥平面β，平面α与β没有公共点，但不一定总有AD∥BE.同理不总有BE∥CF.②过A点作DF的平行线，交β，γ于G，H两点，AH∥DF.过两条平行线AH，DF 的平面，交平面α,β,γ于AD，GE，HF.根据两平面平行的性质定理，有AD∥GE∥HF.AGED为平行四边形.∴AG=DE.同理GH=E F.又过AC，AH两相交直线之平面与平面β,γ的交线为BG，CH.根据两平面平行的性质定理，有BG∥C H.在△ACH中，.而AG=DE，GH=EF，∴.主要考察知识点:空间直线和平面2、如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点.求证：SA∥平面MDB.参考答案与解析:解析：要说明SA∥平面MDB，就要在平面MDB内找一条直线与SA 平行，注意到M是SC的中点，于是可找AC的中点，构造与SA平行的中位线，再说明此中位线在平面MDB内，即可得证.证明：连结AC交BD于N，因为ABCD是平行四边形，所以N是AC的中点.又因为M是SC的中点，所以MN∥SA.因为MN平面MDB，所以SA∥平面MDB.主要考察知识点:空间直线和平面3、如图,已知点M、N是正方体ABCD-A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，求证：MN∥平面PB1C.参考答案与解析:证明：如图，连结AC，则P为AC的中点，连结AB1，∵M、N分别是A1A与A1B1的中点，∴MN∥AB1.又∵平面PB1C，平面PB1C，故MN∥面PB1C.。
高中数学必修2试卷 直线、平面的平行判定及性质(2.2)
直线、平面的平行判定及性质(2.2)一、选择题(本大题共12题,每小题5分,共60分)1.若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的是（）A.α内的所有直线与m异面B.α内不存在与m平行的直线C.α内存在唯一的直线与m平行D.α内的直线与m都相交2.已知直线a⊂平面α，直线b与a没有公共点，则（）A.b⊂αB.b⊄αC.b∥αD.以上都有可能3.下面命题正确的个数是（）①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α;②若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α;③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任一直线平行;④若直线l在平面α外，则l∥α.A.0B.1C.2D.34.如果直线a∥平面α，则（）A.平面α内有且只有一条直线与a平行B.平面α内有无数条直线与a平行C.平面α内不存在与a垂直的直线D.平面α内有且仅有一条与a垂直的直线5.下列说法中错误．．的个数是（）①过平面外一点有一条直线和该平面平行②过平面外一点只有一条直线和该平面平行③过平面外有且只有一条直线和该平面平行A.0B.1C.2D.36.下面四种说法中：①两条平行线中的一条平行于一个平面，则另一条也平行于这个平面；②平行于平面内一条直线的直线平行于该平面；③过平面外一点只有一条直线和这个平面平行；④若一条直线和一个平面平行，则这条直线和这个平面内所有直线都平行.其中正确说法的个数是（）A.0B.1C.2D.37.在平面内总存在一条直线a与空间任一条直线l （）A.平行B.相交C.异面D.垂直8. a、b是两条异面直线，下列结论正确的是…………（）A.过不在a、b上的任一点P，可作一个平面与a、b平行B.过不在a、b上的任一点P，可作一条直线与a、b相交C.过不在a、b上的任一点P，可作一条直线与a、b都平行D.过a可以并且只可以作一平面与b平行9.已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、γ是三个不重合的平面.①a∥c，b∥c⇒a∥b②a∥γ，b∥γ⇒a∥b③a∥c，α∥c⇒a∥α④a∥γ，α∥γ⇒a∥α⑤a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α其中正确的命题是（）A.①⑤B.①②C.②④D.③⑤10. 下列命题中，假命题的个数为（）①与三角形两边平行的平面平行于这个三角形的第三边 ②与三角形两边垂直的直线垂直于第三边 ③与三角形三顶点等距离的平面平行于这个三角形所在平面 A.0 B.1 C.2 D.311. 如图所示，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 四边上的点，且它们共面，AC ∥面EG ，BD ∥面EG ，AC=m ，BD=n ，当EFGH 为菱形时，AE ∶EB 等于 （ ） A.21B.n mC.mn D.不能确定 12.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，截面BA 1C 1和直线AC 的位置关系是（ ）1AA.AC ∥平面BA 1C 1B.AC 与平面BA 1C 1相交C.AC 在平面BA 1C 1内D.上述答案均不正确 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分) 13. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知E 、F 分别为棱BB 1，B 1C 1的中点，则过点A 、E 、F 的截面的形状是 . 14.如图，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若NDANMB AM ，则MN 与平面BDC 的位置关系是 ． 15. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过点A 、E 、C 的平面的位置关系是.16. A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，若MN =34，则BD=__________.三、解答题(本大题共6小题, 共74分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 与正方形ABEF 交于AB ，M 、N 分别为AC 和BF 上的点，且AM ＝FN ．求证：MN ∥平面BE C.在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，设M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点．(1)求证：E 、F 、B 、D 四点共面； (2)求证：平面AMN ∥平面EF 、DB ，19.（本小题满分12分）ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体.(1)画出过A 、C 、B 1的平面与下底面的交线l ； (2)求直线l 与直线AC 的距离.20.（本小题满分12分）如图，设AB 、CD 分别是位于平面α两侧的异面线段，且AB ∥α，CD ∥α，AC 、AD 、BC 、BD 分别交α于E 、F 、H 、G .求证：EG 与FH 互相平分.21.（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 和正方形ADEF 的边长为a ,M 、N 分别是对角线BD 和AE 上的点，且BM =AN =22a .（1）求证：MN ∥平面CDE ； （2）求MN 的长.如图，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD ＝a，AB＝b，CD⊥AB.(1)求证：EFGH是矩形.(2)点E在什么位置时，EFGH的面积最大.备用题:1. 已知两条异面直线a、b分别与三个平行平面α、β、γ相交于点A、B、C和点P、Q、R，又AR、CP与平面β相交于点M、N（如图所示），求证：MBNQ为平行四边形.2. 已知平面α，BC∥α，D∈BC，A∉α，直线AB、AD、AC分别交α于E、F、G，且BC=a，AD=b，DF=c，求EG的长度.数学参考答案与解析1. B 解析：∵m 不平行于平面α，且m ⊄α，∴m 和平面α相交，即m 和平面α有且只有一个公共点.∴m ⊄α，由异面直线判定定理，知平面内的直线和m 成异面直线或相交直线.故选B.2.D 解析：直线b 与a 没有公共点, 则直线b 与平面α的关系可以是b ⊂α、b ⊄α、b ∥α中任意一个.3.A 解析：①直线l 上有无数个点不在平面α内，并没有说明是所有点都不在平面α内，因而直线可能与平面平行亦有可能与直线相交.解题时要注意“无数”并非“所有”.②直线l 虽与α内无数条直线平行，但l 有可能在平面α内，所以直线l 不一定平行于α.③这是初学直线与平面平行的性质时常见的错误，借助教具我们很容易看到：当l ∥α时，若m ⊂α且m ∥l ，则在平面α内，除了与m 平行的直线以外的每一条直线与α都是异面直线.④直线l 在平面α外，应包括两种情况：l ∥α和l 与α相交，所以l 与α不一定平行.4. B 解析：由直线a ∥平面α，则在平面α内一定存在一条直线a ′∥a ，而在平面α内，可作无数条直线与a ′平行，由平行公理得B 正确.5. C 解析：①正确，②、③都不正确.6. A 解析：①②均不正确，这条直线并没有确定是在平面外，不符合判定定理的条件；③不正确，过平面外一点有无数条直线与已知平面平行；④不正确，此直线与平面内的直线无公共点，但位置关系是可能平行，也可能异面.7. D 解析：当l ⊂α时，l 与a 不异面，排除C ；当l ∥α时，l 与a 没有公共点，则l 与a 不相交，排除B ； 当l ∩=P 时，l 与a 必不平行，排除A.故选D. 8. D 解析：如图所示，在直线a 上任取一点P ，过P 作b ′∥b ，则a ∩b ′=P.那么a 与b ′确定一个平面α.∵b ∥b ′，b ′⊂α，b ⊄α，∴b ∥α. ∴过a 可以作一个平面α与b 平行.假设还可作一平面β与b 平行，则α∩β=a ，b ∥α，b ∥β， ∴a ∥b.这与a 、b 异面相矛盾，即假设不成立.∴只有一个平面α. 综上所述，过a 有且只有一个平面与b 平行.故选D.9. A 解析：由公理4知①正确，由直线与平面平行的判定定理知⑤正确，从而选A.其中②是错误的，因平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交，也可能异面.③④亦错误. 10.B 解析：③是假命题，如果三个顶点不在平面的同侧，则该平面与三角形所在的平面相交.11. B 解析：∵AC ∥面EG ，面ABC ∩面EG=EF ，AC ⊂面ABC ，∴EF ∥AC.∴ACEF BA BE =. ① 同理可证BD EHBA AE =. ②又∵EFGH 是菱形，∴EF=EH. ②÷①，得BDACBE AE =.又∵AC=m ，BD=n ，∴nmBE AE =.故选B. 12. A 解析：∵AC ∥A 1C 1且A 1C 1⊂平面BA 1C 1, ∴AC ∥平面BA 1C 1.13. 等腰梯形 解析：通过作图可得该截面为一个四边形,两对边平行,另两对边相等且不平行.14. MN ∥平面BDC 解析：∵在△ABD 中， AM ∶MB ＝AN ∶ND ，∴MN ∥BD ，而BD 在平面BDC 内，MN ⊄平面BDC ∴MN ∥平面BD C.15. BD 1∥平面AEC 解析：连结AC 、BD 相交于一点O ，连结OE 、AE 、EC ， ∵四边形ABCD 为正方形，∴DO ＝BO .而DE ＝D 1E ，∴EO 为△DD 1B 的中位线， ∴EO ∥D 1B , ∴BD 1∥平面AEC .16. 4解析：连结AM 、AN 并延长交BC 、CD 于E 、F ，则E 、F 为BC 、CD 的中点，又AE AM =AF AN =32, ∴EF MN =32,而EF =21BD , ∴BD MN =31.∴BD =3MN =4.17. 证明：如图，过M 、N 分别作MR ⊥BC 于R ，NQ ⊥BE 于Q∵MR ∥AB ∥NQ又由△MRC ≌△NQB ，得MR ＝NQ ∴MNRQ 为平行四边形， ∴MN ∥RQ又RQ ⊂平面BEC ， ∴MN ∥平面BEC18. 证明：(1)分别连结B 1D 1，ED ，FB 由正方体性质知，B 1D 1∥BD ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点∴EF21B 1D 1 ∴EF 21BD∴E 、F 、B 、D 共面(2)连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、QO .∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点 ∴MN ∥EF ，EF ⊂面EFDB ∴MN ∥面EFDB ∵PQAO∴四边形PAOQ 为平行四边形， ∴PA ∥QO而QO ⊂平面EFBD ∴PA ∥平面EFBD且PA ∩MN ＝P ，PA 、MN 面AMN ∴平面AMN ∥平面EFB D.19. 解析：(1)过点B 1作直线l ∥A 1C 1，由正方体的性质知，AC ∥A 1C 1，∴AC ∥l , ∴l 为平面ACB 1和下底面A 1B 1C 1D 1的交线.(2)取AC 的中点O ，由AB 1＝CB 1， ∴B 1O ⊥AC ，∴B 1O 为AC 与l 间的距离，B 1O ＝23AB 1＝23·2a ＝26a . 20. 证明：∵AC ∩AD ＝A∴AC 和AD 可确定一个平面， 则面ACD ∩α＝EF ∵CD ∥α∴CD ∥EF ，同理CD ∥HG ∴EF ∥HG ，同理EH ∥FG∴四边形EFGH 为平行四边形 ∴EG 与FH 互相平分.21. 解析：如图，分别连结AC 、CE . ∵BM =22a =21BD ∴M 为正方形ABCD 的中心.即AC ∩BD =M ，且AM =22a =21AC 又AN =22a =21AE ∴MN21CE ∴MN ∥平面CDE ，且MN =22a . 22.解析: (1)证明：∵CD ∥面EFGH 而面EFGH ∩面BCD ＝EF ∴CD ∥EF 同理HG ∥CD ∴EF ∥HG同理HE ∥GF∴四边形EFGH 为平行四边形 由CD ∥EF ，HE ∥AB∴∠HEF 为CD 和AB 所成的角 又∵CD ⊥AB ∴HE ⊥EF∴四边形EFGH 为矩形.(2)解：由(1)可知在△BCD 中EF ∥CD ，其中DE ＝m ，EB ＝n ∴a n m nEF DB BE CD EF +=∴=, 由HE ∥AB ∴b nm mHE DB DE AB HE +==, 又∵四边形EFGH 为矩形 ∴S 矩形EFGH ＝HE ·EF ＝n m m +·b ·n m n +a ＝2)(n m m n+ab ∵m ＋n ≥2mn ，∴（m ＋n ）2≥４mn ∴2)(n m m n+≤41，当且仅当m ＝n 时取等号，即E 为BD 的中点时,S 矩形EFGH =2)(n m m n+ab ≤41ab ， 矩形EFGH 的面积最大为41ab . 备用题答案:1. 证明:连结AP .∵α∥β，平面ACP ∩平面α=AP ，平面ACP ∩平面β=BM ，∴BM ∥AP .同理QN ∥AP ，∴BM ∥QN .同理可证BN ∥MQ . ∴MBNQ 为平行四边形. 2.解析：（1）如图（1），∵BC ∥α，BC ⊂平面ABC ，平面ABC ∩α=EF ，∴BC ∥EF .∴DF AD =CG AC ，AG AC =EG BC. ∴CG AC =c b ，CG AC AC +=c b b +，即AG AC =cb b+.又∵EG BC =AG AC ，∴EG =ba (b +c ).(2)如图（2），同理EF ∥BC ，∴BC EG =AB AE =AD AF. ∵AF =DF －DA =c －b ，∴EG =ADBC AF ⋅=b b c a )(-.（3）如图（3），同理BC ∥EF ，∴BC EG =AB AE =ADAF. ∵AF =AD －DF =b －c ，∴EG =ADBC AF ⋅=b c b a )(-.(1)(2)(3)。
直线、平面平行的判定及性质第一课时练习与答案-数学必修2第二章点、直线、平面的位置关系2.2人教A版
第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及性质第一课时 2.2.1 直线与平面平行的判定测试题一、选择题1．E，F，G分别是四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱的条数是A．0 B．1 C．2 D．32．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（）A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定3．下列命题中，假命题的个数是（）①一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；②过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；A．4 B．3 C．2 D．14.下列结论正确的是（）.A.平行于同一平面的两直线平行B.直线l与平面α不相交，则l∥平面αC.A、B是平面α外两点，C、D是平面α内两点，若AC∥BD，则AB∥平面α .D.同时与两条异面直线平行的平面有无数个5.如果AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是（）.A.平行B.相交C.AC在此平面内D.平行或相交二、填空1.一条直线和一个平面平行，过这条直线和这平面平行的平面有________个2.已知平面α、β和直线a 、b 、c ，且a ∥b ∥c ，a ⊂α，b 、c ⊂β，则α与β的关系是____________________3.已知直线a 、 b 和平面 ，下列说法中正确的有________________________ ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；②若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α； ③若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ；④若直线a ∥b,直线b ⊂α，则a ∥α；⑤若直线a 在平面α外，则a ∥α⑥直线a 平行于平面α的无数条直线，则a ∥α； ⑦若直线a ∥b,b ⊂α,那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线 4.平面α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则直线a ，b 的位置关系是______________ 5.若直线a 不平行于平面α，且a ⊄α，则__________ ①α内的所有直线a 与异面②α内不存在与a 平行的直线 ③α内存在唯一的直线与a 平行④α内的直线与a 都相交 三、证明1.如图，两个完全相等的正方形ABCD 和ABEF 不在同一平面内，点M 、N 分别在它们的对角线AC 、BF 上，且CM=BN,求证：MN ∥平面BCEDE2.在正三棱柱111A B C ABC 中，点D 是BC 的中点，求证1AC ∥平面1AB D【参考答案】一、选择1.D2.C3.D4.D5.D 二、填空1.一2.平行或相交3.④⑥⑦ 4平行会或异面 5.② 三、证明1.证明：连接AE 交BF 与点O 在AE 上取一点P 使AP=AM=FN 连接PN 因为AP=AM正方形ABCD 和ABEF 全等 AC=AE 所以AM APAC AE= MP ∥CE因为AP=FN AO=FO 所以OP=ONOP ONOA OF= PN ∥AF ∥BE则平面MNP ∥平面CBE MN 在平面MNP 上 则MN ∥平面CBE 2.如图.连接1A B设1A B 与1AB 交于E 连接D∵点D 是BC 的中点 点E 是1A B 的中点 ∴DE ∥1AC ∵1AC ⊄平面1AB D ∵DE ⊂平面1AB D1AC ∥平面1AB D .。
人教A版必修二高中数学第二章 2.2.1-2.2.2同步课堂导学案【含详细解析】
2．2直线、平面平行的判定及其性质2．2.1直线与平面平行的判定2．2.2平面与平面平行的判定[学习目标]1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．[知识链接]1．直线与平面的位置关系有平行、相交、直线在平面内．2．直线a 与平面α平行的定义：直线与平面无公共点．[预习导引]a ∥β，b ∥β要点一线面平行判定定理的应用例1如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：(1)EH ∥平面BCD ；(2)BD ∥平面EFGH .证明(1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD.∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.规律方法 1.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．2．证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等．跟踪演练1如图，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证：SA∥平面MDB.证明连接AC交BD于点O，连接OM.∵M为SC的中点，O为AC的中点，∴OM∥SA.∵OM⊂平面MDB，SA⊄平面MDB，∴SA∥平面MDB.要点二面面平行判定定理的应用例2如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.证明由棱柱性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC，又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D，又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.连接DE，同理，EB1綊BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綊B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.规律方法 1.要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面．2．判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．跟踪演练2如图，三棱锥PABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．证明平面GFE∥平面PCB.证明因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，所以EF∥BC，GF∥CP.因为EF，GF⊄平面PCB，BC，CP⊂平面PCB.所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.又EF∩GF＝F，所以平面GFE∥平面PCB.要点三线面平行、面面平行判定定理的综合应用例3已知底面是平行四边形的四棱锥PABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC 上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置．解如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G 作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC.又BG∩GF＝G，∴平面BGF∥平面AEC，∴平面BGF与平面AEC无公共点，∴BF与平面AEC无公共点．∴BF∥平面AEC.∵BG∥OE，O是BD的中点，∴E是GD的中点．又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE的中点．而GF∥CE，∴F 为PC 的中点．因此，当点F 是PC 的中点时，BF ∥平面AEC .规律方法要证明面面平行，由面面平行的判定定理知需在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线．要证明线面平行，又需根据线面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线，即：线线平行――→线面平行的判定线面平行――→面面平行的判定面面平行跟踪演练3如图，S 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AM SM ＝DN NB .求证：MN ∥平面SBC .解连接AN 并延长交BC 于P ，连接SP ，因为AD ∥BC ，所以DN NB ＝ANNP，又因为AM SM ＝DN NB ，所以AM SM ＝ANNP ，所以MN ∥SP .又MN ⊄平面SBC ，SP ⊂平面SBC ，所以MN ∥平面SBC .1．过直线l 外两点，作与l 平行的平面，则这样的平面()A ．不可能作出B ．只能作出一个C ．能作出无数个D ．上述三种情况都存在答案D解析设直线外两点为A 、B ，若直线AB ∥l ，则过A 、B 可作无数个平面与l 平行；若直线AB 与l 异面，则只能作一个平面与l 平行；若直线AB 与l 相交，则过A 、B 没有平面与l 平行．2．能保证直线a与平面α平行的条件是()A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A、B∈a，C、D∈b，且AC＝BDD．a⊄α，b⊂α，a∥b答案D解析A错误，若b⊂α，a∥b，则a∥α或a⊂α；B错误，若b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a⊂α；C错误，若满足此条件，则a∥α或a⊂α或a与α相交；D正确．3．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交答案B解析直线l不平行于平面α，且l⊄α，所以l与α相交，故选B.4．在正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G答案A解析如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1，又G1F∥H1E，同理可证H 1E ∥平面E 1FG 1，又H 1E ∩EG ＝E ，∴平面E 1FG 1∥平面EGH 1.5．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α的位置关系是________．答案CD ∥α解析因为AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD ∥α.1.直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化．2．证明面面平行的一般思路：线线平行⇒线面平行⇒面面平行．3．准确把握线面平行及面面平行两个判定定理，是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键．一、基础达标1．已知三个平面α，β，γ，一条直线l ，要得到α∥β，必须满足下列条件中的()A ．l ∥α，l ∥β，且l ∥γB ．l ⊂γ，且l ∥α，l ∥βC ．α∥γ，且β∥γD ．l 与α，β所成的角相等答案C解析α∥γ⇒α与γβ∥γ⇒β与γα与β无公共点⇒α∥β.2．下列图形中能正确表示语句“平面α∩β＝l ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β”的是()答案D解析A中不能正确表达b⊂β；B中不能正确表达a∥β；C中也不能正确表达a∥β；D正确．3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行答案B解析如图，MC1⊂平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.4．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为() A．平行B．相交C．平行或相交D．可能重合答案C解析若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．5．点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是()A．0B．1C．2D．3答案C解析如图，由线面平行的判定定理可知，BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.6．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________．答案平行或相交解析三条平行线段共面时，两平面可能平行也可能相交，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行．7．如图所示的几何体中，△ABC 是任意三角形，AE ∥CD ，且AE ＝AB ＝2a ，CD ＝a ，F 为BE 的中点，求证：DF ∥平面ABC .证明如图所示，取AB 的中点G ，连接FG ，CG ，∵F ，G 分别是BE ，AB 的中点，∴FG ∥AE ，FG ＝12AE .又∵AE ＝2a ，CD ＝a ，∴CD ＝12AE .又AE ∥CD ，∴CD ∥FG ，CD ＝FG ，∴四边形CDFG 为平行四边形，∴DF ∥CG .又CG ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴DF ∥平面ABC .二、能力提升8．已知直线l ，m ，平面α，β，下列命题正确的是()A ．l ∥β，l ⊂α⇒α∥βB ．l ∥β，m ∥β，l ⊂α，m ⊂α⇒α∥βC ．l ∥m ，l ⊂α，m ⊂β⇒α∥βD ．l ∥β，m ∥β，l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝M ⇒α∥β答案D解析如图所示，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，则AB∥平面DC1，AB⊂平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.EF⊂平面BC1，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以B 错误；可证AD∥B1C1，AD⊂平面AC，B1C1⊂平面BC1，又平面AC与平面BC1不平行，所以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确．9．三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________．答案平行解析如图，延长AG交BC于F，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2，又AE∶ES＝2，∴EG∥SF，又SF⊂平面SBC，EG⊄平面SBC，∴EG∥平面SBC.10．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案①②③④解析以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的．11．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1，求证：A1B∥平面ADC1.证明连接A1C，设A1C∩AC1＝O，再连接OD.由题意知，A1ACC1是平行四边形，所以O 是A1C的中点，又D是CB的中点，因此OD是△A1CB的中位线，即OD∥A1B.又A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.三、探究与创新12.如图在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别为棱AB，CC1，AA1，C1D1的中点．求证：平面CEM∥平面BFN.证明因为E，F，M，N分别为其所在各棱的中点，如图连接CD1，A1B，易知FN∥CD1.同理，ME∥A1B.易证四边形A1BCD1为平行四边形，所以ME∥NF.连接MD1，同理可得MD1∥BF.又BF，NF为平面BFN中两相交直线，ME，MD1为平面CEM中两相交直线，故平面CEM∥平面BFN.13．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE.证明因为EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，∠ACB ＝90°，所以△ABC ∽△EFG ，∠EGF ＝90°，由于AB ＝2EF ，因此BC ＝2FG .如图，连接AF ，由于FG ∥BC ，FG ＝12BC ，在▱ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则AM ∥BC ，且AM ＝12BC ，因此FG ∥AM 且FG ＝AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM ∥FA .又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，所以GM ∥平面ABFE .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
s
i r
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1
直线与平面平行的判定●
知识梳理
1简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a α
b β => a ∥α
a ∥b
●
知能训练
一．选择题
1．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
B ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β
D ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n
2．若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则（ ）
A ．α内存在直线与l 异面
B ．α内存在与l 平行的直线
C ．α内存在唯一的直线与
l 平行
D ．α内的直线与l 都相交
3．如图，M 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出下列命题
①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都相交；②过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都垂直；
③过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都相交；④过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都平行．其中真命题是（ ）
g
o
d
f
o r
s A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③
4．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中M ，N ，Q 分别是棱D 1C 1，A 1D 1，BC 的中点．P 在对角线BD 1上，且BP ＝BD 1，给出下面四个命题：（1）MN ∥面APC ；（2）C 1Q ∥面APC ；（3）A ，P ，M 三点共线；
（4）面MNQ ∥面APC ．正确的序号为（ ）
A ．（1）（2）
B ．（1）（4）
C ．（2）（3）
D ．（3）（4）
5．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的各个顶点与各棱中点共20个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A 1BC 1平行的直线共有（ ）
A ．12条
B ．18条
C ．21条
D ．24条
6．直线a ∥平面α，P ∈α，那么过P 且平行于a 的直线（ ）
A ．只有一条，不在平面α内
B ．有无数条，不一定在平面
α内
C ．只有一条，且在平面α内
D ．有无数条，一定在平面α内
7．如果直线a ∥平面α，那么直线a 与平面α内的（ ）
A ．一条直线不相交
B ．两条直线不相交
C ．无数条直线不相交
D ．任意一条直线不相交
8．如图在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与平面AB 1C 平行的直线是（ ）
A ．DD 1
B ．A 1D 1
C ．C 1
D 1
D ．A 1D
9．如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，点D 为AC 的中点，点D 1是A 1C 1上的一点，
若BC 1∥平面AB 1D 1，则 等于（ ）
A ．1/2
B ．1
C ．2
D ．3
r
e o o
d f
o r
s
10．下面四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是（ ）
A ．①②
B ．①④
C ．②③
D ．③④
11．如图，正方体的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E ，F ，EF=，则下列结论中错误的是（ ）
A ．AC ⊥BE
B ．EF ∥平面ABCD
C ．三棱锥A-BEF 的体积为定值
D ．异面直线A
E ，B
F 所成的角为定值
的中点，AA =AB=2．
a
n d
2.2.2 平面与平面平行的判定
●知识梳理
1符号表示：
β
a β
b ∩ = β∥a b p α∥a α
∥b α
2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；
（3●
知能训练
一．选择题
1．已知两个不重合的平面α，β，给定以下条件：
①α内不共线的三点到β的距离相等；
②l ，m 是α内的两条直线，且l ∥β，m ∥β；
③l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β；其中可以判定α∥β的是（ ）
A．①B．②C．①③D．③
2．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）
A．α、β都垂直于平面r
B．α内存在不共线的三点到β的距离相等
C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β
D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
3．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系（ ）
A．平行B．相交C．异面D．以上都不对
h i n
（1）求证：平面PCD ∥平面MBE ；（2）求四棱锥M-BCDE 的体积．
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
知识梳理
1简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a ∥αa
β
a ∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2符号表示：
∥αβ
∩γ= ∥
αa a b
∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
【参考答案】2.2.1
1.D
2.A
3.C
4.C
5.D
6.C
7.D
8.D
9.B 10.A 11.D 12. 点N 在EG 上；点N 在EH 上 13.
14. 解：（1）证明：连接B 1C ，设B 1C 与BC 1相交于O ，连接OD ，∵四边形BCC 1B 1是平行四边形，∴点O 为B 1C 的中点．∵D 为AC 的中点，
∴OD 为△AB 1C 的中位线，∴OD ∥B 1A ．OD ⊂平BC 1D ，AB 1⊄平面BC 1D ，∴AB 1∥平面BC 1D ．
（2）∵三棱柱ABC-A 1B 1C 1，∴侧棱CC 1∥AA 1，又∵AA 1底面ABC ，∴侧棱CC 1⊥面ABC ，故CC 1为三棱锥C 1-BCD 的高，A 1A=CC 1=2，∴S △BCD ＝S △ABC ＝ (BC •AB )＝．
∴V D −BCC 1＝V C 1−BCD ＝CC 1•S △BCD ＝•2•＝1．2.2.2
1.D
2.D
3.A
4.1
5.②③
6. （1）证明：在四棱柱中，∵BC ∥A ′D ′，且BC=A ′D ′，∴A ′BCD ′是平行四边形，∴A ′B ∥CD ′，
又∵A ′B ⊄平面B ′CD ′，CD ′⊂B ′CD ′，
∴A ′B ∥面B ′CD ′，
又A ′B ⊂面A ′BD ，A ′D ⊂面A ′BD ，且A ′B ∩A ′D=A ′，∴平面A ′BD ∥平面B ′CD ′．
（2）解：∵A ′O=1，AB=AA ′=A ′D=．∴A ′O 2+OA 2=AA '2，A ′O 2+OB 2=A ′B 2，
∴A′O⊥OA，A′O⊥OB，
∴A′O⊥平面ABCD，
∴V C-A D D′=V D′-A C D=V A′-A C D=S△A C D•A′O=．
7. 解：（1）证明：连接AD交BE于点G，连接MG，则点G是正六边形的中心，所以G是线段AD的中点
∵M是PA的中点，∴MG∥PD
∵PD⊄平面MBE，MG⊂平面MBE
∴PD∥平面MBE
∵DC∥BE，DC⊄平面MBE，BE⊂平面MBE
∴DC∥平面MBE
∵PD∩DC=D
∴平面PCD∥平面MBE；
（2）因为六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面
ABC，AB=2，PA=2，M是PA的中点，所以所求棱锥的高为，底面面积为
3××22=3．
所以所求棱锥的体积为：×3×=．
2.2.3
1. 2. 3.9 4.2 5.4:25
6.
i
s
g
n
i
h
t
l
l
A
d
n
a
e
7.证明：连接AF，交β于G，连BG，EG，（3分）
则由β∥γ得AB:BC=AG:GF.．（7分）
由α∥β得AG:GF=DE:EF，（10分）
所以AB:BC=DE:EF．（12分）。