Donnan平衡和聚电解质溶液的渗透压
唐纳现象
中文名称：唐南平衡英文名称：Donnan equilibrium定义：由于半透膜两侧有蛋白质的不均匀分布，致使可扩散的小分子物质在膜两侧达到平衡时亦出现不等分布的一种平衡。
应用学科：生物化学与分子生物学（一级学科）；生物膜（二级学科）定义：在大分子电解质溶液中，因大离子不能透过半透膜，而小粒子受大离子电荷影响，能够透过半透膜，当渗透达到平衡时，膜两边小离子浓度不相等，这种现象叫唐南(Donnan)平衡或膜平衡.由英国物理化学家唐南提出。
唐南平衡的性质：对于渗析平衡体系，若半透膜一侧的不能透过膜的大分子或胶体粒子带电，则体系中本来能自由透过膜的小离子在膜的两边的浓度不再相等，产生了附加的渗透压，此即唐南效应或称唐南平衡。
具体地说：若一侧为NaCl溶液(下称溶液1)，其离子能自由透过膜；另一侧为NaR溶液(下称溶液2)，其中R-离子不能透过膜。
在两溶液均为稀溶液时，可以其离子活度视作离子浓度。
于是在平衡时，11=22。
因1=1，2=2+2，于是11=12，22=(2+2=2=22+2。
比较上述关系后可见：在平衡时，1>2；1<2。
也就是说，在平衡时，上述系统中的Na+，C1-和R-都是不均匀的。
此理论可用于解释离子交换树脂对溶液中的离子进行交换时的平衡关系。
图1.唐南平衡产生静息膜电位，同样胶体悬浮如果有个浓度梯度，宏观电场将在顶部和底部产生电荷不平衡。
唐南势能斯特关系给出了可渗透离子处于平衡态时的跨膜势，即维持平衡浓度差所需要的电压。
而唐南平衡产生静息膜电位，这个电压将造成离子浓度差。
活细胞往往有多种渗透离子，为简化我们只考虑Na+、K+、Cl－三种离子。
在细胞内存在蛋白质、核酸和呈负电性的大分子，这些大分子是不渗透的，由此产生膜电位，而此时的离子浓度不再由初始浓度和电中性条件决定。
输入Na+的同时可以排出K+或拉入Cl－，平衡时各种渗透离子分别以相同的ΔV 值达到能斯特平衡。
以钠离子为例，有ΔV=－(kBT/q) ln，钾和氯类似。
唐南平衡
02
m1>> m2, NaCl 几乎都在膜外
01
由于存在不透 过半透膜的大离子， 平衡时膜内外 NaCl 浓度不等，此为唐 南效应。Z越大， 唐南效应越明显
利用渗透压求大分子物质的相对分子质量 渗透压是由于半透膜两侧的离子个数不等所引起的
Π = cRT
Π = （zm1 + x + m1 + x – 2（m2 – x））· RT
谢谢观赏！
Na P ⇌ zNa+ + P
z
z-
开始时：膜内加入聚电解质 NazP（浓度为 m1 mol· dm-3） 膜外加入 NaCl（浓度为 m2 mol· dm-3 ）
膜内
半透膜 膜外 zm1+ x
Na+ Na+
m2 - x
m1
Pz-
Na+
m2
m1
PzClCl-
zm1
Na+
Cl-
m2
x
m2 - x
开始时
考虑一个带固定负电荷（R-）和反离子Na+的离子交换膜与氯化钠稀溶 液相接触的情况
膜相 1.H2O、 可以自 由的从溶液扩散到膜相 2.保持电中性 Na+、ClNa+
溶液相
Na+ ClH2O
ClH2O
R-
在达到平衡时，NaCl 在两相中的化学位相等，由于浓度较低，可以 近似为理想溶液。同之前推倒公式一致，可以得到如下结果
Donnan 平衡示意图
平衡时
方法1：推导初期等式的建立——基于平衡时，溶剂、溶质产生相同渗透压
方法2：推导初期等式的建立——基于平衡时，膜内外 NaCl 的化学势相等
2011年物理化学自考复习资料
一、单项选择题1．一定量的理想气体从始态分别以（1）等温可逆和（2）等温不可逆膨胀至相同的终态，则在如下的关系式中，正确的有W 1＞W 22．在263K 和大气压力下，一定量的过冷水凝结为同温同压下的冰，系统和环境的熵变分别是ΔS ＜0，ΔS 环＞0 3．在一个上有可移动活塞的导热容器中，发生Zn(s)+2HCl(aq )=ZnCl 2(aq )+H 2(g)的反应，压力保持与外压始终相同。
若以反应系统为研究对象，则该过程的Q ＜0，W ＜0，ΔU ＜0 4．下列叙述中不属于状态函数特征的是状态函数均有加和性5．从热力学基本公式可导出V S U ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=pS H ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂6．从多孔硅胶的强烈吸水性能说明自由水分子的化学势比吸附在硅胶表面的水分子的化学势低 7．卡诺热机的效率＜18．已知在298K 和标准压力下，反应C （金刚石）+21O 2（g ）=CO （g ）的标准摩尔焓变为Δr H m °，该Δr H m °值与焓变相当：CO （g ）的标准摩尔生成焓 9．单组分体系定压下能够平衡共存的最大相数为210．在一定的温度和压力下，当化学反应达到平衡时，关系式中不一定正确的是m r H ∆＜011．基元反应不可能是 简单反应 12．一贮水铁箱上被腐蚀了一个洞，今用一金属片焊接在洞外面以堵漏，为了延长铁箱的寿命，选用最好的材料是锌片13．一水平放置的玻璃毛细管，管内放有少量的纯水，在管的左端微微加热，液面将向何方移动向右方移动 14．溶胶的动力性质是由于粒子的不规则运动产生的。
在下列各种现象中不属于溶胶动力性质的是电泳15．用AgNO 3溶液和KI 溶液制备的AgI 溶胶，在AgNO 3略过量的情况下，下列电解质对溶胶聚沉能力最强的是K 3PO 416．当液体的切变速率与切应力的关系为一不通过原点的曲线时，该流体为塑流型 17．二液体组分A 和B 的沸点T A >T B ，两者可形成具有最高恒沸点的体系，恒沸物的组成为E 。
06应用化学物化试题B
西北农林科技大学本科课程考试试卷2005—2006学年第二学期《 物理化学 》课程B 卷专业年级： 应化04级 命题教师： 杨亚提 审题教师： 考生姓名： 学 号： 考试成绩： 一、选择题（每题1 分,共20分）1.理想气体的内能由U 1增加到U 2，若分别按Ⅰ等压、Ⅱ等容和Ⅲ绝热过程来完成这一变化，则 （ ） A.△T Ⅲ>△T Ⅱ>△T Ⅰ B.Q Ⅰ>Q Ⅱ>Q Ⅲ C. Q Ⅲ>Q Ⅱ>Q Ⅰ D. △H Ⅲ>△H Ⅱ>△H Ⅰ2.下列各式属于化学势的是 （ ） A ．Z n P T B n U ,,)(∂∂ B. Z n P T B n H ,,)(∂∂ C. P H B n S T ,)(∂∂ D. Z n P T Bn G,,)(∂∂3.通常在定温定压下气-固吸附过程应满足 （ ） A.△G>0,△S>0,△H>0 B.△G<0,△S<0,△H<0 C.△G>0,△S<0,△H<0 D.△G<0,△S>0,△H>04.所谓溶胶的沉降平衡是指 （ ） A.各处浓度均匀一致 B.粒子恒速下沉 C.粒子重力=阻力 D.粒子以浓度梯度分布5.表面活性剂溶液浓度达到临界胶束浓度以后，再增加浓度，溶液表面吸附量将（ ）A.维持不变B.略有增加C.略有减少D.明显增加 6.溶胶稳定性中起主导作用的是 （ ） A.布郎运动 B.聚结稳定性 C.动力稳定性 D.扩散运动 7.乳状液的形成类型取决于 （ ） A.媒剂的多少 B.媒剂的性质 C.媒质的性质 D.乳化剂的性质 8.恒温恒压下，纯液体A 、B 混合成理想溶液时 （ ） A. △mix V = 0 B. △mix H < 0 C. △mix S < 0 D. △mix G = 0 9.可以应用dG = -SdT + Vdp 的过程是 （ ） A.恒温下烧杯中进行的溶液反应 B.组成一定的混合气体膨胀 C.可逆电池中恒温恒压下化学反应 D.恒温恒压相变10.将一定浓度的强电解质溶液逐渐稀释，其摩尔电导率 （ ） A.不变 B.减小 C.增大 D.先增后减 11.若液体对毛细管壁的润湿角大于900，则当毛细管插入该液体时，毛细管中将发生： A.液面上升 B.蒸气压小于平面时的饱和蒸气压 （ ）C.液面突起D.液体能润湿毛细管壁12.某大分子溶液存在Donnan 平衡时，其渗透压 （ ） A.由大分子的浓度决定 B.由大分子溶液中各种粒子的浓度之和决定 C.由除大分子外其它粒子的浓度决定 D.由半透膜两侧粒子的浓度之差决定13．正丁醇溶于水，在溶液表面 （ ） A.正吸附 B.负吸附 C.不吸附 D.使水的表面张力增大 14.恒温恒压下，化学反应达平衡，则必有 （ ）A.0=∆θm r GB. 0=∆θm r HC. 0=∆θm r SD.0=∑B B μν15．任一均相单组分封闭体系S V U)(∂∂ 等于 （ ） A. V B. T P G )(∂∂ C.T D. T VF)(∂∂16．n mol 某理想气体在恒容下由T 1加热到T 2 ，其熵变为△S 1，相同量的该气体在恒压下 由T 1加热到T 2，其熵变为△S 2 ,则△S 1与△S 2的关系 （ ） A. △S 1 >△S 2 B. △S 1 = △S 2 C. △S 1 < △S 2 D. △S 1 = △S 2 = 0 17．最概然分布时，i ε能级上分布的粒子数N i 为 （ ） A. Ti ieg κε- B.Ti Ti iieg eg κεκε--∑C. T i e q N κε-D. T i ie g qN κε-18. 将0.001mol 的某电解质溶于100克水中形成稀溶液，其凝固点为273.094K 。
大分子溶液(6个)
第十章 大分子溶液一、本章基本要求1．掌握大分子平均摩尔质量的表示方法及常用的测定方法；大分子电解质溶液的特性；Donnan 平衡以及测定大分子电解质溶液渗透压的方法。
2．熟悉大分子的溶解特征及其在溶液中的形态；大分子溶液的渗透压及其测量方法；大分子溶液黏度的几种表示方法和用黏度法测定大分子的平均摩尔质量的原理；大分子溶液的流变性和几种典型的流变曲线。
3．了解大分子溶液与溶胶性质的异同；大分子溶液的光散射现象；沉降速率法和沉降平衡法在生物大分子研究中的应用；区带电泳和稳态电泳在生物学和医学方面的应用；凝胶的分类、形成、结构及性质。
二、基本公式和内容提要（一）基本公式数均摩尔质量公式1122B B n 12BBBB N M N M N M M N N N N MN +++=+++=∑∑ 可用依数性测定法和端基分析法测定。
质均摩尔质量公式1122B B m 12B2BB BB B B Bm M m M m M M m m m m MN M m N M +++=+++==∑∑∑∑ 可用光散射法测定。
z 均摩尔质量公式23B B B B 2B B B B BBB z m M N M M m MN M z M z ===∑∑∑∑∑∑ 可用超离心沉降法测定。
黏均摩尔质量公式1/1/(+1)B B B B ηB B B N M m M M N M m αααα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑可用黏度法测定。
大分子溶液渗透压公式2nRT RTA c c M P =+ 适用于大分子稀溶液。
大分子溶液散射光强公式()()22220,0421cos 2πr cRT n n I I L r c /c θθλ+∂⎛⎫= ⎪∂∂∏∂⎝⎭ 适用于入射光的波长大于大分子的情况。
光散射法测定大分子分子质量的基本公式o 29012Kc A c R M =+Newton 黏度公式d d F v D A xt h h ===式中η称为黏度系数，简称黏度。
第三章聚电解质及其溶液性质-浙江大学高分子科学与工程学系
统计热力学理论：
三十年代发展起来，以瑞士 Kuhn 和美国 P.J.Flory为 代表，该理论是以统计和统计物理理论为基础。
标度理论：
从六十年代开始，七十年代末形成，由法国P.G.deGennes 和英国 Edwards 创造的 “Scaling Concepts in Polymer Physics” (1979)，该理论则以固体物理理论为 基础。
23
(1) 临界交叠浓度低
24
6
（2）聚电解质溶液有散射峰出现，散射强度与浓度 的 c1/2成正比
（3）与中性高分子相比，聚电解质溶液的临界浓度 到缠结浓度之间的范围非常宽
10 3 Ce / C * 10 4
25
26
（4）聚电解质溶液的渗透压比中性高分子高几个 数量级
聚电解质溶液的渗透压 ①不电离的大分子溶液
本章内容
第三章 聚电解质及其溶液性质
联系方式：.2 聚电解质概述 3.3 聚电解质特点 3.4 聚电解质溶液理论 3.5 聚电解质应用
de Gennes,P.-G Scaling
1
2
本章内容
3.1 溶液性质－新知识 3.2 聚电解质概述 3.3 聚电解质特点 3.4 聚电解质溶液理论 3.5 聚电解质应用
油漆
稀溶液 发生交叠 亚浓溶液
c<c*
c=c*
c>c*
溶液相转化多孔膜
热致相转化 TIPS(PP、 PVDF)
凝胶和冻胶
孤立的高分子线团逐渐靠近成为线团堆积时的浓度 9
10
本章内容
3.1 溶液性质－新知识 3.2 聚电解质概述 3.3 聚电解质特点 3.4 聚电解质溶液理论 3.5 聚电解质应用
大分子溶液
大分子溶液 小分子溶液 1~100nm 慢 单分子 单相 不能 是 弱 大 大 不太敏感 可逆 <1nm 快 单分子 单相 能 是 无 小 小 不敏感 可逆
多相 不能 是否热力学稳定体系 不是 丁达尔效应 强 粘度 小，与介质相似 渗透压 小 对外加电解质 敏感 形成过程是否可逆 不可逆
三、大分子溶液的黏度与分子质量的 测定
一）黏度的表示方法
二）黏度法测定大分子的平均摩尔质量 Huggins和Kraemer根据实验得到了稀溶液 中线型大分子的增比黏度、相对黏度与 浓度的关系式：
sp
C
C
k1 c
2
r 2
ln c k
2
以ηsp/c对c作图，得一条直线，以 lnηr/c 对c作图得另一条直线。将两条直线外推 至浓度c → 0，得到特性黏度[η]。
大分子化合物的分类
平均摩尔质量大于10 kgmol-1的物质 天然大分子 淀粉、蛋白质 、纤维
素、核酸、各种生物大分子。
合成大分子 合成橡胶、树脂、纤维。
功能大分子
光敏大分子、导电大分
子、医用大分子、 大分子膜。
大分子溶液其他溶液性质的比较
溶液类型 性质 分散相大小 扩散速度 分散相存在单元 体系 能否透过半透膜 憎液溶胶 1~100nm 慢
大分子的浓度涨落
Debye根据涨落理论导出的大分子溶液散 射光强Iθ,r计算公式为
I , r 2π n n cRT 1 cos2 I0 L r c c
2 2 0 4 2 2
L为Avogadro常数，n0为溶剂折射率，c为溶液浓度，∂n/∂c为折 射率随浓度的变化率，λ为入射光的波长， r为观测散射光的距 离，θ为观测散射光与入射光的夹角，∂Π/∂c为渗透压随浓度的 变化率，I0为入射光强。 适用于入射光的波长大于大分子的情况。
胶体与表面化学（第二版）沈钟
胶体与表面化学（第二版）沈钟王果庭编著化学工业出版社目录—————————————第一章绪论第一节什么是胶体第二节胶体化学发展简史第三节胶体化学的研究对象和意义第四节胶体与表面化学的发展第二章胶体的制备和性质第一节胶体的制备和净化一、胶体制备的一般条件二、胶体制备的方法三、凝聚法原理四、溶胶的净化五、单分散溶胶六、超细颗粒第二节溶胶的运动性质一、扩散二、布朗运动三、沉降第三节溶胶的光学性质一、光散射二、显微镜及其对粒子大小和形状的测定第四节溶胶的电学性质和胶团结构一、电动现象及其应用二、质点表面电荷的来源三、胶团结构四、双电层结构模型和电动电位(ζ电位)五、扩散双电层的数学计算六、ζ电位的计算第五节胶体稳定性一、溶胶的稳定性二、溶胶的聚沉三、高聚物稳定胶体体系的理论第六节流变性质一、基本概念和术语二、稀胶体溶液的粘度三、浓分散体系的流变性质第七节胶体的形貌一、胶粒的形状二、胶粒的平均大小与多分散度三、分形（Fractal）理论第三章凝胶第一节概述一、凝胶及其通性二、凝胶的分类第二节凝胶的形成一、凝胶形成的条件二、凝胶形成的方法第三节凝胶的结构第四节胶凝作用及其影响因素一、溶胶凝胶转变时的现象二、影响胶凝作用的因素第五节凝胶的性质一、触变作用二、离浆作用三、膨胀作用四、吸附第六节凝胶中的扩散和化学反应一、扩散作用二、化学反应第七节几种重要的凝胶一、硅酸铝凝胶的制备和结构特性二、高吸水性聚合物的合成和性能三、凝胶色谱用凝胶四、凝胶薄膜第四章界面现象和吸附第一节表面张力和表面能一、净吸力和表面张力的概念二、影响表面张力的因素三、测定液体表面张力的方法四、测定固体表面张力的方法第二节弯曲界面的一些现象一、曲界面两侧压力差二、曲界面两侧压力差与曲率半径的关系三、毛细管上升和下降现象四、弯曲液面上的饱和蒸气压第三节润湿和铺展一、润湿现象和润湿角二、铺展三、润湿热第四节固体表面的吸附作用一、固体表面的特点二、吸附作用和吸附热三、吸附曲线四、吸附量测定的实验方法第五节吸附等温方程式一、Freundlich吸附等温式二、Langmuir吸附等温式——单分子层吸附理论三、BET吸附等温式——多分子层吸附理论第六节固体—气体界面吸附的影响因素一、温度二、压力三、吸附剂和吸附质性质第七节固体—溶液界面吸附一、吸附剂、溶质和溶剂的极性及其他性质对吸附量的影响二、混合（物）吸附三、多分子层吸附四、对高分子的吸附五、对表面活性剂的吸附六、对电解质的吸附七、二元液体混合物中的吸附第五章常用吸附剂的结构、性能和改性第一节多孔性物质物理结构的测定方法一、密度二、比表面积三、孔体积四、平均孔半径五、孔径分布六、粒度第二节常用吸附剂的结构和性能一、硅胶二、活性氧化铝三、活性炭四、吸附树脂五、粘土六、硅藻土七、分子筛第三节固体的表面改性及其应用一、表面改性效果的评定二、表面改性方法和机理三、表面改性的应用第六章表面活性剂第一节表面活性剂概述一、表面活性剂定义二、表面活性剂的结构特点第二节表面活性剂的分类和结构特点一、表面活性剂的分类方法二、表面活性剂的结构特点及应用第三节表面活性剂在界面上的吸附一、Gibbs吸附公式二、Gibbs公式的物理意义和有关注意事项三、吸附层结构四、表面吸附层的状态方程式及单分子层表面膜的应用五、LB膜第四节表面活性剂的体相性质一、各种性质对浓度的转折点二、表面活性剂的溶度第五节胶束理论一、胶束与临界胶束浓度二、胶束的结构三、临界胶束浓度及其影响因素第六节表面活性剂的亲水亲油平衡(HLB)问题一、概述二、求算HLB值的方法三、关于HLB值的几个问题第七节表面活性剂的作用及应用一、增溶作用二、润湿和渗透三、分散和絮凝四、起泡和消泡五、去污作用六、胶束催化第七章乳状液第一节概述第二节乳状液的制备和物理性质一、混合方式二、乳化剂的加入方式三、影响分散度的因素四、乳状液的物理性质第三节乳状液类型的鉴别一、稀释法二、染色法三、导电法第四节影响乳状液稳定性的因素一、乳状液是热力学不稳定体系二、油—水间界面的形成三、界面电荷四、乳状液的粘度五、液滴大小及其分布六、粉末乳化剂的稳定作用第五节乳化剂的选择一、乳化剂的分类二、乳化剂的HLB值及其应用三、转相温度(PIT)第六节乳状液的变型和破乳一、乳状液的变型二、影响乳状液变型的因素三、乳状液的破坏第七节微乳状液一、微乳状液的微观结构二、助表面活性剂的作用三、微乳状液的形成机理四、微乳状液的制备五、微乳状液相图六、微乳状液的性质七、微乳状液的应用前景第八节乳状液的应用一、控制反应二、农药乳剂三、沥青乳状液四、稠油的乳化降粘五、纺织工业六、制革工业七、乳化食品和医药用乳剂第九节液膜分离一、基本情况二、液膜分离机理三、液膜分离实例第八章高分子溶液第一节聚合物的分子量和分子量分布第二节高聚物的溶解、溶胀及其在溶液中的形态第三节溶液中高分子的大小一、均方根末端距二、均方回转半径第四节高分子溶液的运动性质一、扩散与超离心力场下的高分子沉降速度二、高分子溶液的粘度第五节高分子溶液的平衡性质一、高分子溶液的渗透压二、Donnan平衡三、聚电解质的渗透压第六节高分子溶液的光散射一、静态光散射——弹性光散射二、动态光散射——准弹性光散射(QELS)第七节聚电解质一、解离平衡二、粘度三、聚电解质应用举例——絮凝剂参考文献第一章绪论胶体化学(colloid chemistry)是胶体体系的科学。
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RT
（A）当加入电解质太少，c1 zc2，与(2)的情况类似：
Π 3 (c2 zc2 )RT (z 1)c2RT
（B）当加入的电解质足够多，c1 zc2 ，则与
(1)的情况类似 ：
Π 3 c2RT
这就是加入足量的小分子电解质后，使得用渗
透压法测定大分子的摩尔质量比较准确。
浓度为c1 的小分子电解质，如上图。
达到膜平衡时（如下图），为 了保持电中性，有相同数量的Na+ 和Cl-扩散到了左边。
虽然膜两边NaCl的浓度不等， 但达到膜平衡时NaCl在两边的化 学势应该相等，即：
(NaCl,左） （NaCl,右）
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a a RT ln aNaCl,左 RT ln aNaCl,右
Π 1 c2RT c2是大分子溶液的浓度
由于大分子物质的浓度不能配得很高，否则易发
生凝聚，如等电点时的蛋白质，所以产生的渗透压很
小，用这种方法测定大分子的摩尔质量误差太大。
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（2）大分子电解质带有电荷 以蛋白质的钠盐为例，
它在水中发生如下离解：
NazP zNa Pz
§14.11 Donnan平衡和聚电解质溶液的渗透压
Donnan平衡 聚电解质溶液的渗透压
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1
Donnan平衡
在大分子电解质中通常含有少量电解质杂质，即 使杂质含量很低，但按离子数目计还是很可观的。
在半透膜两边，一边放大分子电解质，一边放 纯水。大分子离子不能透过半透膜，而离解出的小 离子和杂质电解质离子可以。
由于膜两边要保持电中性，使得达到渗透平衡时 小离子在两边的浓度不等。
Donnan从热力学的角度，分析了小离子的膜平衡
情况，并得到了满意的解释。故这种平衡称为
Donnan平衡
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聚电解质溶液的渗透压
（1）不电离的大分子溶液 由于大分子P不能透过半透膜，而H2O分子可以，
所以在膜两边会产生渗透压。渗透压可以用不带电粒 子的范霍夫公式计算，即：
蛋白质分子Pz+ 不能透过半透膜，而Na+可以，但 为了保持溶液的电中性，Na+也必须留在Pz-同一侧 。
这种Na+在膜两边浓度不等的状态就是唐南平衡。 因为渗透压只与粒子的数量有关，所以：
Π 2 (z 1)cபைடு நூலகம்RT
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（3）有外加电解质时的大分子溶液
在蛋白质钠盐的另一侧加入
NaCl,左
NaCl,右
即 (aNa· aCl )左 (aNa· aCl )右
设所有活度因子均为1，得：
[Na+ ]左[Cl ]左 =[Na+ ]右[Cl ]右
即 （zc2 x)x (c1 x)2
解得
x
c12 zc2 2c1
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由于渗透压是因为膜两边的粒子数不同而引起 的，所以：
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Π 3 [(c2 zc2 2x)左 2(c1 x)右 ]RT
(c2 zc2 2c1 4x)RT
将 x 代入 Π 3 计算式得：
Π
3
zc22
2c2c1 z2c22 zc2 2c1
RT
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Π
3
zc22
2c2c1 z2c22 zc2 2c1